6Convección del manto y fuerzas motoras de las placas

La costa del norte de Suecia emerge del mar a un ritmo de cerca de un centímetro al año, diez mil años después de que el casquete de hielo que la cubría se fundiera. Las orillas de la bahía de Hudson se elevan con la misma rapidez. Nada las empuja hacia arriba salvo el manto, que fluye lentamente de vuelta bajo el lugar que el hielo había hundido. La velocidad a la que el suelo recupera su posición pesa sobre la viscosidad del manto, y esa misma viscosidad determina la rapidez con que el manto convecta y se mueven las placas. Este capítulo se pregunta por qué el manto sólido convecta en absoluto, con qué rapidez debe fluir para transportar el calor de la Tierra, qué fuerzas mueven las placas y qué dice el rebote del terreno sobre la viscosidad del manto.

Lo que ya sabes

La viscosidad, el flujo reptante de un fluido viscoso (las ecuaciones de Stokes $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$, $\nabla\cdot\mathbf u = 0$), la ley de Stokes para una esfera, el número de Reynolds y la flotabilidad están en los volúmenes universitarios de los libros de física. La convección del manto y el rebote isostático se vieron en el volumen de secundaria (año 12); el empuje de la dorsal y el tirón de la losa, en su parte de año 11. La capa límite térmica, la litosfera térmica y la adiabática del manto se encuentran en el volumen de primer año, en su capítulo sobre el balance térmico de la Tierra; los puntos calientes, las plumas del manto y las grandes provincias ígneas en su capítulo sobre puntos calientes. El modelo de enfriamiento de semiespacio figura en el Capítulo 5, la flexión de la litosfera en el Capítulo 3, la tomografía sísmica en el Capítulo 1.

6.1 Por qué convecta el manto

El manto es sólido: transmite ondas S. Sin embargo, a lo largo de millones de años, se deforma por fluencia como un fluido de enorme viscosidad, y una capa de fluido calentada desde abajo y enfriada desde arriba puede permanecer en reposo, atravesándola el calor por conducción, o volcar. Una masa de fluido caliente de tamaño $d$, más ligera que su entorno en $\rho\alpha\,\Delta T$, asciende a una velocidad del orden de $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$; pierde su calor por difusión en un tiempo del orden de $d^2/\kappa$. Si puede ascender a través de la capa antes de haberse enfriado, la capa vuelca.

Definición 6.1 (Número de Rayleigh)

Para una capa de fluido de espesor $d$, densidad $\rho$, coeficiente de expansión térmica $\alpha$, difusividad térmica $\kappa$ y viscosidad $\eta$, bajo la gravedad $g$, con una diferencia de temperatura $\Delta T$ entre su base y su techo, el número de Rayleigh es

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

la razón entre el tiempo de difusión $d^2/\kappa$ y el tiempo de ascenso por flotabilidad $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$.

Definición 6.2 (Número de Rayleigh crítico)

El número de Rayleigh crítico $\mathrm{Ra}_c$ de una capa es el valor del número de Rayleigh por encima del cual una pequeña perturbación del estado de reposo crece hasta dar lugar a convección, y por debajo del cual se extingue.

Proposición 6.3 (Inicio de la convección)

Para una capa cuyas caras superior e inferior están libres de esfuerzo de cizalla y se mantienen a temperatura fija, una perturbación de número de onda horizontal $k$ (en unidades de $1/d$) crece cuando $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$. El mínimo del miembro derecho, en $k = \pi/\sqrt2$, da

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

y las primeras celdas en aparecer tienen $2\sqrt2\,d$ de anchura. Entre fronteras rígidas, $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$.

El análisis de estabilidad lineal en que se basa, una perturbación de las ecuaciones de calor y de Stokes alrededor del estado conductivo, está en el tratamiento de la convección de los libros de física; el ejercicio 11 comprueba el mínimo.

La figura siguiente muestra la capa en convección. Los valores del manto, con la profundidad de la frontera núcleo–manto, $d = 2891\,\mathrm{km}$, la densidad media del manto, $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y $g$ entre 9.8 y $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, todos ellos del modelo sísmico terrestre PREM; $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ según el modelo de placas que aparece en el Capítulo 5; $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; y $\eta$ entre $10^{21}$ y $10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (en la Sección 6.5), dan $\mathrm{Ra}$ entre $4.9 \times 10^{6}$ y $4.9 \times 10^{7}$, unas siete mil a setenta mil veces el valor crítico. El manto no puede sino convectar.

El manto también se calienta desde dentro, por la desintegración de elementos radiactivos, y desde abajo, por el núcleo. Una capa calentada solo desde dentro no tiene capa límite caliente en su base: su flujo está impulsado por láminas frías que se hunden desde la parte superior, siendo el flujo ascendente un retorno amplio y pasivo. Las losas son láminas de ese tipo, y las plumas necesitan el calor del núcleo.

6.2 Capas límite y la intensidad de la convección

Definición 6.4 (Número de Nusselt)

El número de Nusselt de una capa en convección es el flujo de calor que la atraviesa dividido por el flujo de calor que la conducción por sí sola transportaría a través de la misma capa, $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$.

Teorema 6.5 (Escalamiento de la convección por capa límite)

En una capa en convección con $\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$, si cada capa límite térmica crece hasta que su propio número de Rayleigh, construido sobre su espesor $\delta$ y la caída de temperatura $\Delta T/2$ a través de ella, alcanza $\mathrm{Ra}_c$, entonces

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

donde $u$ es la escala de velocidad del flujo, definida exigiendo que la capa crezca hasta $\delta$ mientras el fluido atraviesa la celda. Esta es la escalamiento de la convección por capa límite.

El flujo de calor crece solo como la raíz cúbica de $\mathrm{Ra}$: una viscosidad cien veces menor da menos de cinco veces más calor. Con el $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$ del manto, el escalamiento da $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} \approx 17$, un flujo de calor de $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ con $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, y $u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (figura inferior). La capa límite tiene un espesor igual al de la placa oceánica del Capítulo 5, $95\,\mathrm{km}$; las velocidades medias cuadráticas de las placas actuales van de $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (América del Sur) a $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (Cocos), $4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ para la litosfera en conjunto. El flujo de calor medio de la Tierra, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, es entre tres y cuatro veces el del escalamiento: el calor producido dentro del manto, que una capa calentada desde abajo omite, y las constantes de orden uno que el escalamiento ignora; ambas pesan. Para una ley con una sola entrada, los órdenes de magnitud son correctos: las placas son la capa límite superior de un manto con $\mathrm{Ra} \sim 10^7$.

6.3 Las fuerzas sobre una placa

Una placa se mueve a velocidad constante: las fuerzas sobre ella se equilibran. Tres la impulsan o la frenan desde sus bordes y su base (figura inferior). La fuerza que la losa que se hunde ejerce sobre su placa, el tirón de la losa, procede del exceso de densidad de una losa fría en el manto más caliente. El empuje de la dorsal, el que ejerce la dorsal alta y caliente sobre la placa más fría contigua, se deduce del modelo de enfriamiento de semiespacio expuesto en el Capítulo 5.

Proposición 6.6 (Fuerza de empuje de la dorsal)

En el modelo de enfriamiento de semiespacio, con temperatura del manto $T_m$, temperatura superficial $T_0$ y compensación isostática, la fuerza horizontal por unidad de longitud de dorsal que la columna en la dorsal ejerce sobre la placa de edad $t$, la fuerza de empuje de la dorsal, es

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

El empuje de la dorsal crece linealmente con la edad: no es un empuje en el eje sino un gradiente de presión repartido por toda la placa que se enfría. Con los valores del Capítulo 5, el corchete vale 1.04 y $F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ a $100\,\mathrm{Myr}$. En el modelo de placa deja de crecer con la profundidad, hacia $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ (figura inferior). El tirón de la losa es mayor: una losa de $95\,\mathrm{km}$ de espesor, en promedio $(T_m - T_0)/2$ más fría que el manto, y por tanto más densa en $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, que cuelga hasta $670\,\mathrm{km}$, pesa $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ más que el manto que desplaza, doce veces el empuje de la dorsal. Gran parte de ese peso se invierte en el manto viscoso que se opone al hundimiento de la losa, y solo una parte llega a la placa.

Definición 6.7 (Arrastre basal)

El arrastre basal es la fuerza de cizalla por unidad de superficie que el manto bajo una placa ejerce sobre la base de la placa. Para una placa que se mueve a velocidad $u$ sobre una capa de espesor $h$ y viscosidad $\eta$ cuya base está en reposo, es $\eta u/h$, opuesta al movimiento; impulsa la placa donde el manto subyacente se mueve más deprisa que la placa.

Qué fuerzas importan puede leerse en las propias placas. El balance de momentos en cada placa, ajustado a los movimientos de las placas, indica que las fuerzas que actúan sobre la losa que se hunde controlan la velocidad de las placas oceánicas y son unas diez veces más intensas que cualesquiera otras, y que la resistencia en la base es mayor bajo los continentes que bajo los océanos. Las velocidades concuerdan: las placas más rápidas, Cocos a $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, Nazca a 70 y el Pacífico a $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, son placas oceánicas cuyos bordes se hunden en fosas largas; las más lentas portan grandes continentes, Eurasia a 23, América del Norte a 20, América del Sur a $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

6.4 Plumas

Las láminas de material caliente que ascienden desde la base del manto se agrupan en columnas: las plumas del manto tratadas en el volumen de primer año, con una cabeza grande y una cola delgada (figura de más abajo). El abombamiento de un punto caliente, una elevación amplia del fondo marino alrededor y aguas abajo de los volcanes, mide cuánta flotabilidad aporta su pluma.

Definición 6.8 (Flujo de flotabilidad de la pluma)

El flujo de flotabilidad de la pluma $B$ es el déficit de masa, respecto del manto circundante, que una pluma transporta hacia arriba por unidad de tiempo; para una pluma de flujo volumétrico $Q_v$ y exceso de temperatura $\Delta T$, $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$.

Proposición 6.9 (Flotabilidad a partir de un abombamiento)

Si una placa que se mueve a la velocidad $u$ sobre una pluma arrastra un abombamiento de área de sección transversal $A$ a lo largo de la traza, sostenido isostáticamente por el material de la pluma situado debajo, el flujo de flotabilidad de la pluma es

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

A partir de las secciones transversales de los abombamientos, los flujos de flotabilidad de los puntos calientes varían en un factor de veinte: Hawái, el mayor, $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; Islandia $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; 37 puntos calientes en conjunto, unos $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$. Cada kilogramo de flotabilidad equivale a $c_p/\alpha$ julios de calor en exceso, de modo que el flujo de calor es $c_pB/\alpha$; con $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, los 37 puntos calientes transportan unos $1.9\,\mathrm{TW}$, o $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ sobre los $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ de la Tierra, cerca de los $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ publicados junto con los flujos: unos pocos por ciento de los $47\,\mathrm{TW}$ que pierde la Tierra. Las plumas son el socio menor del balance de calor; las placas transportan el resto.

Una cabeza de pluma es una esfera de manto flotante que asciende a través del manto viscoso: la ley de Stokes de la física, $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$, da su velocidad en orden de magnitud: una fracción de metro al año para una cabeza de unos pocos cientos de kilómetros de diámetro (ejercicio 8), de modo que cruza el manto en millones de años.

6.5 Ajuste isostático glaciar y viscosidad del manto

Definición 6.10 (Ajuste isostático glaciar, viscosidad del manto)

El ajuste isostático glaciar (GIA, por sus siglas en inglés) es la deformación lenta de la Tierra sólida, y el cambio de su campo gravitatorio y del nivel del mar, a medida que regresa hacia el equilibrio isostático tras crecer o fundirse un casquete de hielo. La viscosidad del manto es la viscosidad efectiva $\eta$ que relaciona la fluencia lenta y estacionaria del manto con los esfuerzos que la impulsan, en escalas de miles de años o más.

Cuando se funde un casquete de hielo, la depresión que deja queda fuera del equilibrio isostático: bajo ella, la presión del manto es menor que en los alrededores, y el manto fluye hacia dentro para elevar de nuevo el suelo. Hoy la costa del golfo de Botnia se eleva hasta $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, cerca de Umeå; la bahía de Hudson, unos $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, donde el hielo era más grueso, mientras que el terreno al sur de los Grandes Lagos se hunde entre 1 y $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, a medida que se hunde el abombamiento que el hielo había elevado a su alrededor. En las costas, antiguas líneas de costa se encuentran ahora por encima del mar, las playas levantadas del recuadro de campo de más abajo.

Teorema 6.11 (Relajación de un semiespacio viscoso)

Una depresión $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ de la superficie de un semiespacio de viscosidad uniforme $\eta$ y densidad $\rho$, sin carga, decae como $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ con

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

Definición 6.12 (Tiempo de relajación isostática)

El tiempo de relajación isostática $\tau$ de una carga de escala horizontal $\lambda$ es el tiempo en el que su desviación del equilibrio isostático decae en un factor $e$.

Un semiespacio uniforme relaja más rápido las depresiones amplias que las estrechas, y el flujo bajo una carga de longitud de onda $\lambda$ decae con la profundidad como $e^{-kz}$, sobre una profundidad $\lambda/2\pi$: un casquete de hielo grande agita el manto en profundidad, un lago pequeño solo su parte superior. Para una depresión de $3000\,\mathrm{km}$ de ancho y $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, con $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\tau = 4.1\,\mathrm{kyr}$ (figura siguiente): tras diez mil años, queda $e^{-2.4} = 9\,\%$ de la depresión, y como $\dot w = -w/\tau$, un levantamiento de $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ significa que aún quedan por llegar unos $40\,\mathrm{m}$ de ascenso.

El manto real no es uniforme, y su rebote se interpreta con modelos que lo estratifican y añaden una litosfera elástica, que sostiene las cargas estrechas por flexión. La primera estimación, a partir del rebote de Fennoscandia, dio $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y el decaimiento del levantamiento en el río Angerman, en Suecia, y en Richmond Gulf, en la bahía de Hudson, da un promedio de 0.65 a $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ desde la base de la litosfera hasta unos $1400\,\mathrm{km}$, con el manto superior unas diez veces menos viscoso que el inferior. Las inversiones de las tasas de levantamiento GNSS de Fennoscandia dan viscosidades del manto superior de $5 \times 10^{20}$ a $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en un estudio y de $3.4 \times 10^{20}$ a $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en otro, viscosidades del manto inferior de $5 \times 10^{21}$ a $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y una litosfera de entre 93 y $110\,\mathrm{km}$ de espesor. Las estimaciones difieren en factores de dos o tres, pero coinciden en el orden de magnitud y en el aumento con la profundidad.

Definición 6.13 (Tiempo de Maxwell)

El tiempo de Maxwell de un material de viscosidad $\eta$ y módulo de cizalla $\mu$ es $\tau_M = \eta/\mu$: las cargas aplicadas durante mucho menos que $\tau_M$ encuentran un sólido elástico, las aplicadas durante mucho más un fluido viscoso.

Con $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ a $300\,\mathrm{km}$ en PREM y $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, unos cuatrocientos años. Una onda sísmica, que dura segundos, atraviesa un manto elástico; una edad de hielo y la convección deforman un fluido. La misma roca es ambas cosas, según el tiempo durante el que se la empuje.

Sobre el terreno — Playas levantadas

En las costas de tierras antes glaciares, un geomorfólogo encuentra el antiguo trabajo del mar varado tierra adentro: crestas de guijarros redondeados, muescas y plataformas planas talladas por las olas, hoy por encima del alcance de las mareas más altas actuales, a veces en una escalera de varios niveles. Cada nivel fue una línea de costa cuando el mar estaba allí; la tierra se ha elevado desde entonces. Las conchas y la madera flotante de las playas antiguas se datan por radiocarbono, y las alturas de los niveles datados, nivelados a un punto de referencia, dan el levantamiento frente al tiempo. Trazada a lo largo de una costa, una línea de costa antigua resulta tener pendiente, más alta donde el hielo era más grueso: la inclinación refleja la forma del rebote.

6.6 Convección de todo el manto y su estructura profunda

¿Convecta el manto como una sola capa o como dos, por encima y por debajo de la discontinuidad de $670\,\mathrm{km}$? La tomografía (véase el Capítulo 1) responde en parte: algunas losas se aplanan por encima de la discontinuidad, mientras que otras se hunden a través de ella hasta el manto inferior, de modo que la masa la atraviesa y las dos capas no están aisladas entre sí. El aumento de la viscosidad con la profundidad hace que el manto inferior fluya con mayor lentitud, y las losas se ralenticen y engrosen al entrar en él.

En la base del manto, la tomografía muestra dos amplias regiones de baja velocidad de las ondas S, bajo África y bajo el Pacífico, las grandes provincias de baja velocidad de cizalla (LLSVP). Probablemente son químicamente distintas del manto que tienen encima y más densas: acumulaciones y no plumas calientes. Las grandes provincias ígneas y las kimberlitas de los últimos cientos de millones de años entraron en erupción sobre todo encima de sus márgenes, como si las plumas ascendieran desde los bordes de las acumulaciones, allí donde la capa límite caliente de la base del manto es empujada contra ellas.

6.7 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

Calcúlese el número de Rayleigh de una capa del manto superior de $670\,\mathrm{km}$ de espesor con $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. ¿Cuántas veces supera al valor crítico para contornos de deslizamiento libre?

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$, unas 950 veces el número de Rayleigh crítico 657.5: la capa convecta con vigor.

Ejercicio 6.2 ★

Calcúlese el tiempo de Maxwell de un manto de viscosidad $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ y de módulo de cizalla $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, en años. ¿Responde el manto de forma elástica o viscosa a la marea terrestre semidiurna, a la fusión de un casquete de hielo y al hundimiento de una losa?

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, unos $412\,\mathrm{yr}$. La marea, que dura horas, encuentra un manto elástico; el deshielo de un casquete de hielo, durante miles de años, y el hundimiento de una losa, durante millones, encuentran un manto viscoso.

Ejercicio 6.3 ★

Con $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, calcúlese el tiempo de relajación de un semiespacio uniforme para cargas de longitud de onda de 1000 y $3000\,\mathrm{km}$. ¿Cuál se recupera más rápido?

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$: $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $12.3\,\mathrm{kyr}$ para $1000\,\mathrm{km}$, y $4.1\,\mathrm{kyr}$ para $3000\,\mathrm{km}$. La carga más extensa se recupera antes.

Ejercicio 6.4 ★

Con $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, calcúlese la fuerza de empuje de la dorsal a $50\,\mathrm{Myr}$. ¿Cuántas veces menor es que un tirón de la losa de $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$?

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$; el corchete es $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$, así que $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, 24 veces menor que el tirón de la losa.

Ejercicio 6.5 ★★

Una masa de manto de $10\,\mathrm{km}$ de diámetro, $300\,\mathrm{K}$ más caliente que sus alrededores, asciende a la velocidad $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ (tómese $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$). (a) Calcúlese su tiempo de ascenso a lo largo de su propio tamaño y su tiempo de difusión $d^2/\kappa$, y muéstrese que el cociente entre ambos es su número de Rayleigh. (b) ¿Asciende o se enfría primero? (c) ¿Qué tamaño debe tener para que su número de Rayleigh alcance 657.5?

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

(a) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; el tiempo de ascenso a lo largo de $10\,\mathrm{km}$ es $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, $10.9\,\mathrm{Myr}$, el tiempo de difusión $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$, $3.2\,\mathrm{Myr}$. Su razón es $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$. (b) Se enfría primero: las masas pequeñas no convectan. (c) $\mathrm{Ra} \propto d^3$, así que $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 6.6 ★★

Para una capa de $2891\,\mathrm{km}$ de profundidad con $\mathrm{Ra} = 10^{7}$, con $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ y $\mathrm{Ra}_c = 657.5$, calcúlese el espesor de la capa límite, el número de Nusselt, la escala de velocidad en $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ y el flujo de calor.

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ y $\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$, cuya raíz cúbica es 19.66. $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, y $q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Ejercicio 6.7 ★★

Un abultamiento de punto caliente ficticio tiene una sección transversal de $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ a través de la traza, y la placa suprayacente se mueve a $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$. Con $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcúlese su flujo de flotabilidad, y su flujo de calor con $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. ¿Qué fracción de los $46.7\,\mathrm{TW}$ de la Tierra representa?

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$, unas tres quintas partes de la de Hawái. El flujo de calor es $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$, $0.2\,\mathrm{TW}$, o $0.42\,\%$ de la pérdida de calor de la Tierra.

Ejercicio 6.8 ★★

Una cabeza de pluma de radio $400\,\mathrm{km}$, más ligera que el manto en $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, asciende a través de un manto de viscosidad $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Con la ley de Stokes, calcúlese su velocidad en $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$ y el tiempo que tarda en ascender $2000\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$; $2000\,\mathrm{km}$ tardan $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, unos $6\,\mathrm{Myr}$.

Ejercicio 6.9 ★★

Una región se deprimió $300\,\mathrm{m}$ cuando se fundió su hielo, hace $10\,\mathrm{kyr}$, y se relaja con $\tau = 4.4\,\mathrm{kyr}$. Calcúlese la depresión que queda hoy y la tasa de levantamiento actual. Compárese con los $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ medidos cerca de Umeå.

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ y $\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, dos tercios de la velocidad medida cerca de Umeå: un semiespacio uniforme con este $\tau$ está en el rango correcto, pero el rebote real es más rápido o su depresión es más profunda.

Ejercicio 6.10 ★★★

(a) A partir de la expresión de $F_{rp}$ en la demostración de la Proposición 6.6, muéstrese que el primer término, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$, es el segundo término del corchete. (b) Muéstrese que $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$, integrando por partes. (c) Con los valores del ejercicio 4, calcúlense los dos términos a $100\,\mathrm{Myr}$.

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

(a) Con $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$,

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(b) Por partes, $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$. (c) A $100\,\mathrm{Myr}$, $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ y, con $w = 3705\,\mathrm{m}$, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$: el término del agua es solo $4\,\%$ de la fuerza.

Ejercicio 6.11 ★★★

Muéstrese que $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ es mínima en $k = \pi/\sqrt2$, donde vale $27\pi^4/4$. Dedúzcase la anchura de un par de celdas de convección en el umbral, en unidades de $d$, y la anchura de una celda.

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$, cuya derivada $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ se anula cuando $3k^2 = \pi^2 + k^2$, $k^2 = \pi^2/2$. Allí $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$. La longitud de onda $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ abarca un par de celdas de rotación contraria, cada una con una anchura de $\sqrt2\,d = 1.41\,d$.

Ejercicio 6.12 ★★★

Una placa de $6000\,\mathrm{km}$ de longitud se mueve a $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ sobre una capa del manto de $150\,\mathrm{km}$ de espesor, de viscosidad $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, cuya base está en reposo. (a) Calcúlese el arrastre basal en $\mathrm{MPa}$ y la fuerza de arrastre por unidad de longitud de la placa. (b) Compárese con un empuje de la dorsal de $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ y con un tirón de la losa de $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (c) Si llega a la placa una décima parte del tirón de la losa, ¿a qué velocidad equilibra el arrastre a las fuerzas motrices?

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

(a) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$, y a lo largo de $6000\,\mathrm{km}$, $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) El doble del empuje de la dorsal y una sexta parte del tirón de la losa: el arrastre puede resistir el empuje de la dorsal por sí solo, pero no la losa. (c) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ da $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, la velocidad de las placas oceánicas rápidas.

6.8 Problema: rebote del lago Ardo

Problema 6.1

Problema de fin de semana — el rebote de una cuenca lacustre inventada, la viscosidad del manto bajo ella y la convección que esa viscosidad permite

El lago Ardo, un lago inventado, llenó una cuenca de $250\,\mathrm{km}$ de anchura, represada por un casquete de hielo, y tuvo $300\,\mathrm{m}$ de profundidad durante unos cincuenta mil años. Hace catorce mil años la presa de hielo falló y el lago se vació en unas pocas semanas. Su línea de costa más alta, horizontal cuando se formó, está ahora inclinada; las líneas de costa datadas de los pequeños lagos que quedan en la cuenca dan el levantamiento del centro desde el vaciado, con respecto al borde, que apenas se movió:

tiempo desde el vaciado (kyr)	1	2	4	6	9	14
levantamiento del centro (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

Tómense $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, y trátese el manto como un semiespacio viscoso uniforme.

Parte I — La carga.

1. Calcúlese la presión del lago sobre su fondo.
2. Calcúlese la depresión del fondo en equilibrio isostático, y explíquese por qué en ella aparece la densidad del manto, y no la de la corteza.
3. Considerando el lago como un disco, calcúlese la masa de su agua.
4. Explíquese por qué la línea de costa más alta está ahora inclinada, y calcúlese su pendiente media desde el borde hasta el centro, en metros por kilómetro.
5. La depresión se trata como un armónico único cuya mitad deprimida, desde $-\lambda/4$ a $\lambda/4$, abarca el lago. Dense $\lambda$ y $k = 2\pi/\lambda$.
6. ¿A qué profundidad disminuye el flujo bajo una carga así en un factor $e$?

Parte II — El tiempo de relajación.

7. Suponiendo que el lago había alcanzado el equilibrio, calcúlese la depresión que queda en cada fecha de la tabla.
8. Demuéstrese que, si la depresión decae exponencialmente, su logaritmo disminuye linealmente con el tiempo.
9. Calcúlese $\tau$ a partir de las fechas 1 y $14\,\mathrm{kyr}$.
10. Prevéase el levantamiento a $6\,\mathrm{kyr}$ con ese $\tau$ y compárese con la tabla.
11. Calcúlese la depresión que queda hoy y la velocidad actual de levantamiento del centro, en $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
12. ¿Cuánto levantamiento queda todavía por llegar?
13. ¿En cuántos años más la velocidad de levantamiento caerá por debajo de $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Parte III — La viscosidad.

14. Calcúlese la viscosidad del semiespacio a partir de $\tau$.
15. Compárese con las viscosidades del manto superior de $3.4 \times 10^{20}$ a $1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ halladas bajo Fennoscandia. ¿Qué parte del manto muestra el rebote del lago Ardo?
16. Con esa viscosidad, calcúlese el tiempo de relajación de una carga de $3000\,\mathrm{km}$ de longitud de onda. ¿Por qué un casquete de hielo real de ese tamaño se relajaría más lentamente que esto?
17. ¿Qué hace una litosfera elástica, despreciada aquí, con el rebote de una carga de solo $250\,\mathrm{km}$ de anchura?
18. Calcúlese el tiempo de Maxwell del manto con $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, y explíquese si estaba justificado un modelo viscoso.
19. Compruébese la hipótesis de la pregunta 7: ¿qué fracción de la depresión de equilibrio se alcanzó mientras el lago estuvo en pie?
20. ¿En cuánto cambiaría $\log_{10}\eta$ si $\lambda$ se tomara como $250\,\mathrm{km}$?

Parte IV — Convección. Tómese una capa del manto superior de $670\,\mathrm{km}$ de profundidad con $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y la viscosidad de la Parte III.

21. Calcúlese el número de Rayleigh de la capa.
22. ¿Cuántas veces supera el valor crítico ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$)?
23. Calcúlese el espesor de la capa límite y el número de Nusselt.
24. Calcúlese la escala de velocidad en $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, y compárese con las velocidades de placa de 1 a $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$.
25. Calcúlese el flujo de calor, y dense dos razones por las que queda por debajo del valor medio de la Tierra, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
26. Dese la viscosidad del manto superior bajo el lago Ardo como $\log_{10}$ de $\eta$ en $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$.

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$. La corteza se hunde como un bloque; lo que se desplaza desde debajo de la carga, y luego regresa, es el manto, así que la columna se compensa con manto desplazado en profundidad.

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$, y el agua pesa $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

4. La línea de costa se formó nivelada, cuando el fondo estaba más deprimido en el centro; el centro se ha elevado más que el borde desde entonces, así que la línea ahora asciende hacia el centro, $77.2\,\mathrm{m}$ a lo largo de $125\,\mathrm{km}$: $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$.

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$, luego $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ y $k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$.

7. $w = 90.9 - \text{levantamiento}$: 79.4, 69.3, 52.9, 40.4, 26.9 y $13.7\,\mathrm{m}$.

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ da $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$, una recta de pendiente $-1/\tau$.

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{kyr}$.

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$, con un levantamiento de $50.5\,\mathrm{m}$, como en la tabla.

11. Quedan $13.7\,\mathrm{m}$; $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

12. Los $13.7\,\mathrm{m}$ enteros, alcanzados cada vez más lentamente.

13. La velocidad disminuye como $e^{-t/\tau}$: $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{kyr}$, unos 9700 años más.

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, y $\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

15. Justo por debajo del extremo inferior del intervalo fenoescandinavo. El flujo bajo una carga de $500\,\mathrm{km}$ de longitud de onda decae en $80\,\mathrm{km}$: el rebote muestrea el manto más somero y débil, bajo y en parte dentro de lo que en la Tierra real, es la litosfera.

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{kyr}$. Bajo una carga tan amplia el flujo alcanza hasta $477\,\mathrm{km}$ y más, hacia un manto inferior diez veces más viscoso, que lo frena.

17. Sostiene en parte una carga estrecha por flexión: la depresión en equilibrio es más somera y más ancha que los $90.9\,\mathrm{m}$ isostáticos, y parte del rebote es elástica e inmediata. Un semiespacio viscoso uniforme ajustado al levantamiento da entonces una viscosidad que mezcla ambos efectos.

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, unos $124\,\mathrm{yr}$, sesenta veces más corto que $\tau$: a lo largo de miles de años el manto responde como un fluido viscoso.

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$: se alcanzó el $99.9\,\%$ de la depresión de equilibrio, y el supuesto se cumple.

20. $\eta \propto \lambda$: al reducir $\lambda$ a la mitad, $\eta$ se reduce a la mitad, y $\log_{10}\eta$ disminuye en $\log_{10}2 = 0.30$.

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$.

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ veces el valor crítico.

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$: $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ y $\mathrm{Nu} = 5.4$.

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, de dos a catorce veces más lenta que las placas.

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. La capa excluye el calor producido dentro del manto y el calor procedente del núcleo y del manto inferior; y el escalamiento omite sus constantes de orden uno, mientras que las placas, que se enfrían como semiespacios desde las dorsales, pierden mucho más calor sobre suelo oceánico joven que el que perdería una capa límite media.

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$.