10Stuwwallen en orogene wiggen

Duw een bulldozer in nat zand of sneeuw, en er hoopt zich een wig van materiaal op voor het schuifblad. Die vervormt tot het oppervlak een bepaalde helling bereikt; vanaf dat moment schuift hij als geheel vooruit en groeit hij in dezelfde vorm, en neemt hij aan zijn teen nieuw materiaal op. De buitenste delen van bergketens, van Taiwan tot de voorheuvels van de Alpen, gedragen zich op dezelfde manier: het zijn wiggen gesteente dat van een plaat is afgeschraapt en over een zwakke basis is geduwd, en hun oppervlaktehelling en de helling van hun basis vertellen hoe zwak die basis is en hoe hoog de druk van de vloeistoffen erin is. Dit hoofdstuk bouwt de geometrie van stuwwallen, de mechanica van de wig en de klokken die meten hoe snel de gesteenten van de wig naar het oppervlak komen.

Wat je al weet

Overschuivingen, vergentie en plooigeometrie staan in Boek 3, in het hoofdstuk over breuken, plooien en fabrics; het Coulomb-criterium, de wet van Byerlee, de effectieve spanning en de porievloeistofverhouding $\lambda = P/\sigma_v$ in het hoofdstuk over spanning, rek en reologie; sluitingstemperatuur en afkoelingsouderdom in het hoofdstuk over radiometrische dateringsmethoden. Het décollement, de plooi-en-overschuivingsgordel, dunhuidige en dikhuidige tektoniek en de gebalanceerde doorsnede staan in Boek 4, in het hoofdstuk over de anatomie van een bergketen; exhumatie en de exhumatiesnelheid in het hoofdstuk over P–T–t-paden. De kinkconstructie en het overschotoppervlak $A = Sh$ van een plooi boven een onthechting staan in Hoofdstuk 8; het thermisch Pécletgetal in Hoofdstuk 5.

10.1 De geometrie van overschuivingen

Een overschuiving snijdt een gelaagde reeks niet langs één rechte vlak door. Ze volgt een zwakke laag, een schalie of een evaporiet, over grote afstanden, en klimt dan steil door de sterke lagen erboven naar de volgende zwakke laag. De trapvorm die ze zo tekent, bepaalt de plooien van de hangende wand.

Definitie 10.1 (Ramp, flat, duplex, overschuiving buiten de normale volgorde)

Een flat (overschuiving) is een segment van een overschuiving dat evenwijdig aan de gelaagdheid loopt, meestal in een zwakke laag; een ramp (overschuiving) is een segment dat de gelaagdheid snijdt, meestal van $20{}^{\circ}$ tot $30{}^{\circ}$, en verbindt een lagere flat met een hogere. Een duplex (overschuiving) is een stapel breukbegrensde schollen, de horses, ingesloten tussen een vloeroverschuiving onder en een dakoverschuiving boven, waarbij elke horse wordt afgesneden door een ramp die de twee verbindt. Overschuivingen ontstaan meestal in volgorde, elke nieuwe in de liggende wand van de vorige, dichter bij het voorland; een overschuiving buiten de normale volgorde is er een die achter het actieve front ontstaat of opnieuw beweegt en oudere overschuivingen snijdt.

Wanneer de hangende wand over een knik in de breuk schuift, moet hij plooien om contact met de breuk te houden: waar hij de ramp binnengaat ontstaat een synclinaal en waar hij er weer uit komt een anticlinaal.

Definitie 10.2 (Breukbuigplooi, breukpropagatieplooi en onthechtingsplooi)

Een breukbuigplooi is een plooi van de hangende wand van een overschuiving die ontstaat terwijl deze over een knik van de breuk schuift, een ramp tussen twee flats. Een breukpropagatieplooi groeit boven de top van een overschuiving die nog omhoog propageert: de verkorting die de breuk niet meer draagt, wordt opgevangen door plooiing voor de top, wat een steile of overgekantelde voorpoot geeft. Een onthechtingsplooi groeit boven een flat zonder ramp: de verkorting wordt opgevangen door plooiing en door een zwakke laag, zout of schalie, die in de kern ervan stroomt.

De figuur hieronder bouwt een breukbuigplooi. Hier beweegt de hangende wand evenwijdig aan het breuksegment eronder en plooit langs axiale vlakken die elke knik halveren, een kinematisch model dat breukparallelle stroming heet. Het klassieke model van constante laagdikte en laaglengte geeft dezelfde platte anticlinaal met een steilere voorpoot, tegen de prijs van een langere constructie (hier erkend). Beide modellen zijn gebonden aan het behoud van oppervlakte.

Propositie 10.3 (Overschotoppervlak van een breukbuigplooi)

Beschouw een overschuiving die haar hangende wand over een ramp van hoogte $r$ omhoog brengt, van een onderste flat naar een bovenste flat, met de verschuiving $S$ op de onderste flat. Voor elke laag van de hangende wand die boven de bovenste flat ligt, is het oppervlak ingesloten tussen de geplooide laag en het oorspronkelijke niveau $A = Sr$, voor elke zodanige laag hetzelfde.

Het overschotoppervlak van een breukbuigplooi meet de verschuiving maal de hoogte van de ramp, en niet maal de diepte tot het décollement, zoals bij een onthechtingsplooi (zie Hoofdstuk 8). De twee soorten plooi moeten van elkaar worden onderscheiden voordat een oppervlak wordt omgezet in verkorting.

Een duplex (de figuur hieronder) groeit wanneer de overschuiving, in plaats van haar hangende wand steeds verder langs dezelfde ramp te dragen, die laat varen en een nieuwe ramp snijdt in haar liggende wand, voor de oude. De plak tussen de oude en de nieuwe ramp wordt een horse, omhoog over de nieuwe ramp getild en onder het dak gestapeld; de volgende ramp vormt zich opnieuw verder voorwaarts. Elke horse wordt verkort van zijn oorspronkelijke lengte naar de lengte die hij nu langs de vloer inneemt, en de verkorting van de duplex is de som over zijn horses. Overschuivingen buiten de normale volgorde doorbreken deze volgorde: ze vormen zich wanneer de wig achter het front moet verdikken, een geval dat de mechanica van de volgende paragraaf voorspelt.

10.2 De kritische wighoek

Een plooi-en-overschuivingsgordel is in doorsnede een wig: dun aan het front, waar het décollement het oppervlak bereikt, en dikker wordend richting het achterland. Het bovenoppervlak helt richting het voorland onder de hoek $\alpha$; de basis, het décollement, helt richting het achterland onder de hoek $\beta$. De wighoek van de wig is de hoek ertussen, $\alpha + \beta$.

Definitie 10.4 (Kritische wighoek)

De kritische wighoek van een wig die van achteren over een basis wordt geduwd, is de wighoek waarbij de wig overal op de rand van bezwijken staat, binnenin en langs de basis, onder horizontale compressie. Een wig op haar kritische wighoek schuift over haar basis zonder intern te vervormen; een wig eronder (subkritisch) vervormt en verdikt totdat hij die bereikt; een wig erboven (superkritisch) schuift zonder te vervormen.

Stelling 10.5 (Vergelijking van de kritische wighoek)

Beschouw een bovengronds gelegen wig met uniforme dichtheid $\rho$, opgebouwd uit kohesieloos Coulomb-materiaal met inwendige wrijving $\mu = \tan\phi$, met de poriëndrukverhouding $\lambda$, op een basis met wrijving $\mu_b$ en de poriëndrukverhouding $\lambda_b$. Als $\alpha$ en $\beta$ klein zijn en $\sigma_1$ horizontaal is, luidt de vergelijking van de kritische wighoek

$$\alpha + \beta = \frac{\beta + \mu_b(1 - \lambda_b)}{1 + K(1 - \lambda)}, \qquad K = \frac{2\sin\phi}{1 - \sin\phi},$$

met de hoeken in radialen.

De vergelijking zegt, ten eerste, dat de wighoek wordt bepaald door de verhouding van de sterkte van de basis, in de teller, tot de sterkte van de wig, in de noemer: een zwakke basis geeft een dunne wig, een sterke basis een dikke. Ten tweede daalt de oppervlaktehelling naarmate de basis steiler helt. Ten derde verlaagt de vloeistofdruk de wighoek: het verhogen van $\lambda = \lambda_b$ neemt evenredig meer van de sterkte van de basis af dan van de sterkte van de wig. De figuur hieronder toont de kritische oppervlaktehelling voor de wrijvingscoëfficiënten die zijn gefit voor West-Taiwan. Punten onder elke lijn zijn subkritische wiggen, die verdikken; punten erboven zijn superkritisch en schuiven.

Een wig is geen statisch object: er wordt materiaal eraan toegevoegd en er uit verwijderd, en elke verandering duwt hem van zijn kritische wighoek af.

Definitie 10.6 (Frontale accretie, tektonische underplating)

Frontale accretie is het toevoegen van materiaal aan een wig bij de teen ervan, terwijl het décollement zich voortplant in de onvervormde sedimenten van het voorland en er wordt een nieuwe overschuivingsschijf afgesneden. Tektonische underplating is het toevoegen van materiaal aan de basis van de wig, achter de teen, doordat schijven van de onderste plaat worden losgemaakt en eronder opgestapeld, vaak als duplexen.

Frontale accretie verlengt de wig bij constante wighoek. Underplating verdikt het achterste deel en steilt het oppervlak op: daar wordt de wig superkritisch en kan zich door normale breuken uitbreiden totdat de wighoek weer daalt. Erosie werkt juist andersom: ze verlaagt de oppervlaktehelling, de wig wordt subkritisch en ze verdikt door overschuiving buiten de normale volgorde achter het front. Erosie en vervorming zijn dus aan elkaar gekoppeld: een snel geërodeerde wig behoudt zijn wighoek doordat hij gesteente sneller omhoog verplaatst, en de gesteenten die hij naar het oppervlak brengt zijn jonger in de zin van de volgende paragraaf.

In het laboratorium — Zandbakmodellen

In een analoog zandbakmodel worden lagen droog zand van verschillende kleuren horizontaal in een lange bak met glazen wanden gelegd. Een motor duwt langzaam een verticale wand de lagen in, of trekt een plaat van onderen weg; een camera naast het glas fotografeert de doorsnede met regelmatige stappen. Het zand bezwijkt langs overschuivingen, vormt een wig die een constante wighoek behoudt, en vormt ramps, duplexen en achterwaartse overschuivingen zoals in echte gordels. Een laag glazen kraaltjes of siliconenkit onder het zand speelt de rol van een zwak décollement, waardoor de wig dan dunner en breder groeit. Davis, Suppe en Dahlen vonden dat hun experimenten met droog zand overeenkwamen met de theorie van de kritische wighoek. Het correleren van de opeenvolgende foto’s geeft het verplaatsingsveld binnenin het model.

10.3 Echte wiggen

In de actieve plooi- en overschuivingsgordel van westelijk Taiwan zijn de oppervlaktehelling, de helling van het décollement en de porendrukken allemaal bekend, uit topografie, seismische doorsneden en boringen. Davis, Suppe en Dahlen gebruikten ze om de vergelijking van de kritische wighoek op te lossen voor de sterkte van de wig en vonden $\mu = 1.03$ binnenin en $\mu_b = 0.85$ aan de basis: de wrijving van Byerlee op de basis, en een wig die sterker is dan zijn eigen breuken, omdat ze niet allemaal georiënteerd zijn om gemakkelijk te schuiven. Met deze twee coëfficiënten zetten ze de waargenomen wighoeken van andere actieve wiggen, op het land en onder zee, om in porendrukverhoudingen, en vonden ze overal boven hydrostatisch, in lijn met boringen. Ze vonden ook waar de theorie ophoudt: de wighoek daalt abrupt waar wiggen dikker worden dan ongeveer $15\,\mathrm{km}$, de diepte waarop kwartsrijke gesteenten plastisch worden bij gebruikelijke geothermen, en de basis gehoorzaamt niet langer aan een wrijvingswet.

Aan het front van de westelijke Alpen is de Jura een overschuivingswig met een smalle hoek van slechts 3 tot $4{}^{\circ}$. Het décollement ligt grotendeels in halietrijke lagen van Triassische ouderdom, en de vloeistoffen daar zijn niet overdrukt: de zwakte van zout alleen verklaart de smalle wighoek. Ten zuiden van de Jura, waar de Triassische lagen geen halliet bevatten, heeft hetzelfde front een wighoek van 12 tot $13{}^{\circ}$, met stapels overschuivingsschijven, hoewel de daar gemeten vloeistofdrukken hoog zijn. In de Centrale Alpen levert de analyse van de kritische wighoek op de oppervlaktehelling een basale sterkte $\mu_b(1 - \lambda_b)$ (met een kleine cohesieterm) onder 0.1, en zelfs 0.05 in evaporieten en schalies nabij het front, die toeneemt richting het achterland, met porendrukverhoudingen boven 0.54. De basis van een wig is vaak veel zwakker dan de wet van Byerlee zou aangeven, door zijn gesteentetype en door zijn vloeistoffen.

10.4 Flux door een wig

Een wig bij zijn kritische wighoek groeit door accretie, bij vaste vorm: zijn lengte en hoogte nemen samen toe. Erosie verwijdert gesteente van het oppervlak. Wanneer de twee elkaar in evenwicht houden, behoudt de wig zijn omvang, en stroomt er gesteente door de wig.

Propositie 10.7 (Balans van de flux in stationaire toestand)

Een wig met breedte $W$ langs de transportrichting ontvangt, per eenheid van lengte van de gordel, de accretieflux $F_a = v h$, waarbij $v$ de convergentiesnelheid is en $h$ de dikte van de inkomende laag boven het décollement. Ze verliest de erosieflux $F_e = \bar e W$, waarbij $\bar e$ de gemiddelde erosiesnelheid over het oppervlak is. Haar dwarsdoorsnede verandert met de snelheid $F_a - F_e$; in stationaire toestand geldt $\bar e = vh/W$.

Met $v = 10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $h = 4\,\mathrm{km}$ en $W = 60\,\mathrm{km}$ is de erosiesnelheid die voor de stationaire toestand nodig is $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Exhumatie in de zin van Boek 4 is het verwijderen van het gesteente boven een bepaald gesteente: in stationaire toestand bereiken gesteenten het oppervlak met de snelheid waarmee erosie het verlaagt, en de wig brengt ze omhoog vanuit diepten waar ze heet waren. Meten hoe snel dat gaat, vereist een klok die begint bij een bekende temperatuur.

10.5 Thermochronologie

Definitie 10.8 (Thermochronologie, thermochronometer)

Thermochronologie is het gebruik van radiometrische afkoelingsouderdommen om het tijdstip te dateren waarop een gesteente een bepaalde temperatuur passeerde, en zo de thermische geschiedenis ervan te reconstrueren. Een thermochronometer is een combinatie van een mineraal en een dateringsmethode met de bijbehorende sluitingstemperatuur: bijvoorbeeld apatiet met de (U–Th)/He-methode, of zirkoon met fissiesporen.

De onderstaande tabel ordent de belangrijkste thermochronometers naar sluitingstemperatuur; de dieptes gaan uit van een gemiddelde oppervlaktetemperatuur van $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en een uniforme gradiënt van $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Een gesteente dat afkoelt terwijl het wordt geëxhumeerd, passeert ze achtereenvolgens, en de ouderdommen nemen toe van de methoden met lage temperatuur naar die met hoge temperatuur. De fysica van fissiesporen en van heliumdiffusie, die deze temperaturen bepaalt, staat in Hoofdstuk 13.

Deze dieptes zijn slechts een eerste schatting, omdat erosie de geotherm verandert.

Propositie 10.9 (Geotherm in stationaire toestand met erosie)

Laat gesteente met de constante snelheid $v$ opstijgen door een laag met dikte $L$ waarvan het oppervlak ($z = 0$) op $T_s$ wordt gehouden en de basis op $T_L$, zonder warmteproductie. De stationaire temperatuur is

$$T(z) = T_s + (T_L - T_s)\,\frac{1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L}}{1 - e^{-\mathrm{Pe}}}, \qquad \mathrm{Pe} = \frac{vL}{\kappa},$$

en de gradiënt aan het oppervlak is $\mathrm{Pe}/(1 - e^{-\mathrm{Pe}})$ maal de conductieve gradiënt $(T_L - T_s)/L$.

Voor $\mathrm{Pe} \ll 1$ nadert de factor 1: conductie wint en de geotherm blijft recht. Voor $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ over $30\,\mathrm{km}$, met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Pe} = 0.95$ en de gradiënt aan het oppervlak stijgt van 30 naar $46\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$: de isothermen drukken naar het oppervlak en elke thermochronometer sluit op een ondiepere diepte.

Definitie 10.10 (Ouderdom–hoogterelatie)

De ouderdom–hoogterelatie van een thermochronometer is de grafiek van de afkoelingsouderdommen van monsters die over een reeks hoogten zijn verzameld, meestal langs een steile helling of een verticaal profiel, uitgezet tegen hun hoogten.

Propositie 10.11 (Helling van de ouderdom–hoogterelatie)

Laat gesteenten verticaal opstijgen met de constante snelheid $v$ onder een stationaire topografie, en laat de sluitingsisotherm op de hoogte $e(x) = e_0 + f\,h(x)$ liggen, waarbij $h(x)$ de hoogte van het oppervlak is en $0 \le f < 1$. Een monster dat aan het oppervlak op hoogte $h$ is verzameld, heeft de ouderdom $t = (h - e)/v$, en de ouderdom–hoogterelatie is een rechte lijn met helling

$$\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac{v}{1 - f}.$$

Bij een vlakke isotherm is $f = 0$ en is de helling de exhumatiesnelheid.

Isothermen liggen onder een reliëf niet vlak: het oppervlak is op de toppen kouder dan in de dalen, met de atmosferische temperatuurgradiënt, maar veel minder dan het gesteente op dezelfde hoogte ondergronds zou zijn, en de ondiepe isothermen volgen de topografie op een gedempte manier. Voor een sinusvormige topografie met golflengte $\Lambda$ en een atmosferische temperatuurgradiënt $\Gamma$ levert een oplossing van de eerste orde van de stationaire vergelijking op:

waarin $z_c$ de diepte van de sluitingsisotherm onder het gemiddelde oppervlak is, $G_0$ de oppervlaktegradiënt en $G(z_c)$ de gradiënt op $z_c$ (aangenomen; het script toetst dit). De storing neemt met de diepte af over de afstand $1/m$, hooguit $\Lambda/2\pi$: thermochronometers met een lage sluitingstemperatuur, die ondiep sluiten, voelen het reliëf het sterkst. De figuur hierboven toont het effect voor apatiet (U–Th)/He.

Een ouderdom–hoogteprofiel meet de exhumatiesnelheid alleen waar de sluitingsisotherm onder het reliëf vlak is. Elders overschat het de snelheid met de factor $1/(1 - f)$, die voor apatiet (U–Th)/He bij een reliëf met een golflengte van $20\,\mathrm{km}$ tot twee of meer oploopt. Ouderdommen van meerdere thermochronometers aan dezelfde monsters en thermische modellen van het reliëf corrigeren hiervoor.

10.6 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Bereken $K$ en de verhouding $\sigma'_1/\sigma'_3$ bij bezwijking voor een wig met $\phi = 30{}^{\circ}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

$\sin30{}^{\circ} = 0.5$: $K = 2\times0.5/0.5 = 2$ en $\sigma'_1/\sigma'_3 = 1 + K = 3$.

Oefening 10.2 ★

Een zandbakwig van droog zand ($\lambda = \lambda_b = 0$) heeft $\mu = 0.6$ binnenin en $\mu_b = 0.3$ aan de basis. Bereken de kritische oppervlaktehelling op een horizontale basis, en vervolgens op een basis die $3{}^{\circ}$ helt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

$\phi = \arctan0.6 = 31.0{}^{\circ}$, $\sin\phi = 0.514$, $K = 2.12$. Op een horizontale basis, $\alpha = 0.3/3.12 = 0.0962\,\mathrm{rad} = 5.5{}^{\circ}$. Op een hellende basis $3{}^{\circ} = 0.0524\,\mathrm{rad}$, $\alpha + \beta = 0.352/3.12 = 0.113\,\mathrm{rad} = 6.5{}^{\circ}$, dus $\alpha = 3.5{}^{\circ}$.

Oefening 10.3 ★

Controleer bij een oppervlak op $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en een gradiënt van $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$, de dieptes uit de tabel met sluitingstemperaturen voor apatiet (U–Th)/He, apatiet-sporenfissie en zirkoon-sporenfissie. Welke thermochronometer is het geschiktst om exhumatie vanaf $5\,\mathrm{km}$ te dateren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

Diepte $= (T - 10)/30$: apatiet (U–Th)/He 1.3 tot $2.3\,\mathrm{km}$; apatiet-fissiesporen 2.7 tot $3.7\,\mathrm{km}$; zirkoon-fissiesporen $270/30 = 9.0\,\mathrm{km}$. Op $5\,\mathrm{km}$ diepte lag het gesteente op $10 + 150 = 160\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: zirkoon (U–Th)/He, die sluit bij 160 tot $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 5.0 tot $6.3\,\mathrm{km}$ diep.

Oefening 10.4 ★

Een ramp van $2\,\mathrm{km}$ hoog helt $30{}^{\circ}$. Bereken de horizontale lengte en de lengte langs de helling. Hoeveel wordt een laag van de hangende wand opgetild nadat hij de hele ramp is gepasseerd, en welke verschuiving brengt de snijlijn van de onderste laag van de voet van de ramp naar de bovenste flat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

Horizontale lengte $2/\tan30{}^{\circ} = 3.46\,\mathrm{km}$; langs de helling $2/\sin30{}^{\circ} = 4.0\,\mathrm{km}$. De laag wordt opgetild door de rampshoogte, $2\,\mathrm{km}$. De afsnede moet de hele ramp afleggen: een verplaatsing van $4.0\,\mathrm{km}$.

Oefening 10.5 ★★

Bereken met de Taiwan-coëfficiënten de kritische oppervlaktehelling op een basis die $6{}^{\circ}$ helt voor $\lambda = \lambda_b = 0.4$ en $0.9$. Wat doet een toename van de vloeistofdruk met een wig die op zijn kritische wighoek stond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

$\phi = \arctan1.03 = 45.8{}^{\circ}$, $K = 5.08$; $\beta = 0.105\,\mathrm{rad}$. Voor $\lambda = 0.4$: $\alpha + \beta = (0.105 + 0.85\times0.6)/(1 + 5.08\times0.6) = 0.615/4.05 = 0.152\,\mathrm{rad} = 8.7{}^{\circ}$, $\alpha = 2.7{}^{\circ}$. Voor $\lambda = 0.9$: $0.190/1.51 = 0.126\,\mathrm{rad} = 7.2{}^{\circ}$, $\alpha = 1.2{}^{\circ}$. Verhoging van de vloeistofdruk verlaagt de kritische wighoek: de wig wordt superkritisch, schuift op zijn basis naar voren zonder te verdikken, en de voorkant rukt op tot accretie en erosie hem weer naar de nieuwe wighoek brengen.

Oefening 10.6 ★★

Een breukbuigplooi ligt boven een ramp van $1.5\,\mathrm{km}$ hoog; een laag boven de bovenste flat vertoont een overschot aan oppervlak van $6.0\,\mathrm{km}^{2}$. Bereken de verschuiving. Een collega leest dezelfde plooi als een onthechtingsplooi, waarbij de laag $3.0\,\mathrm{km}$ boven het décollement ligt. Welke verkorting zou hij vinden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

$S = A/r = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$. Gelezen als onthechtingsplooi, $S = A/h = 6.0/3.0 = 2.0\,\mathrm{km}$: de helft van de juiste waarde. De twee lezingen moeten onderscheiden worden aan de vorm van de plooi en de aanwezigheid van een ramp.

Oefening 10.7 ★★

Neem $\mu = 0.6$ binnenin zowel de Jura-wig (wighoek $3.5{}^{\circ}$) als de wig ten zuiden ervan (wighoek $12.5{}^{\circ}$), een hydrostatische $\lambda = 0.4$ binnenin beide, en een basishelling van $2{}^{\circ}$ voor beide. Bereken de basissterkte $\mu_b(1 - \lambda_b)$ die elke wighoek vereist, en vergelijk die met Byerlee’s $0.85$ bij hydrostatische druk. Is het resultaat in overeenstemming met het décollement in halliet onder de Jura?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

$K = 2.12$ en $1 + K(1 - 0.4) = 2.27$. De vergelijking geeft $\mu_b(1 - \lambda_b) = (\alpha + \beta)\times2.27 - \beta$, met $\beta = 0.0349\,\mathrm{rad}$. Jura: $0.0611\times2.27 - 0.0349 = 0.10$. Zuid: $0.218\times2.27 - 0.0349 = 0.46$. Byerlee bij hydrostatische druk: $0.85\times0.6 = 0.51$. De basis in het zuiden ligt dicht bij die van Byerlee; de Jurabasis is bijna vijf keer zwakker, zoals verwacht van een décollement in haliet, waarvan de wrijving laag is, onder vloeistoffen zonder overdruk.

Oefening 10.8 ★★

Gesteente stijgt met $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ door een laag van $30\,\mathrm{km}$ dik, van $910\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan de basis tot $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak, met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Bereken het thermisch Pécletgetal, de oppervlaktegradiënt, en de diepte van de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$-isotherm. Vergelijk met de diepte zonder erosie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} = 31.6\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$, en $v = 1\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: $\mathrm{Pe} = 30/31.6 = 0.951$. De factor $0.951/(1 - e^{-0.951}) = 1.55$ verhoogt de gradiënt van 30 naar $46.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Voor $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L} = (55/900)(1 - e^{-0.951}) = 0.0375$, dus $\mathrm{Pe}\,z/L = 0.0382$ en $z = 1.21\,\mathrm{km}$, tegenover $55/30 = 1.83\,\mathrm{km}$ zonder erosie.

Oefening 10.9 ★★

Twee monsters van dezelfde helling, op 1200 en $2000\,\mathrm{m}$, hebben apatiet (U–Th)/He-ouderdommen van 3.4 en $4.6\,\mathrm{Myr}$. Bereken de schijnbare exhumatiesnelheid. Een thermisch model van het reliëf geeft $f = 0.5$: wat is de werkelijke snelheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

$\mathrm dh/\mathrm dt = 0.8\,\mathrm{km}/1.2\,\mathrm{Myr} = 0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Met $f = 0.5$, $v = 0.67\times(1 - 0.5) = 0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Oefening 10.10 ★★★

Toon aan dat voor $\lambda = \lambda_b$ de kritische oppervlaktehelling verdwijnt bij een basishelling $\beta^* = \mu_b/K$ die niet van $\lambda$ afhangt. Bereken deze voor Taiwan. Wat gebeurt er met een wig waarvan de basis steiler helt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

Met $\alpha = 0$ en $u = 1 - \lambda$: $\beta(1 + Ku) = \beta + \mu_b u$, dus $\beta Ku = \mu_b u$ en $\beta^* = \mu_b/K$, ongeacht $u$. Voor Taiwan, $0.85/5.08 = 0.167\,\mathrm{rad} = 9.6{}^{\circ}$. Op een steilere basis is de kritische oppervlaktehelling is negatief: elke wig met een vlak of naar het voorland hellend oppervlak is al superkritisch, en hij glijdt op zijn basis zonder te verdikken. Een overschuivingsgordel kan daar zijn normale vorm niet aannemen.

Oefening 10.11 ★★★

Toon aan dat voor een zeer lange golflengte en een zeer trage exhumatie $f$ naar $1 - \Gamma/G$ neigt, waarbij $G$ de uniforme gradiënt is; evalueer het voor $G = 30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ en $\Gamma = 6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Wat is dan de helling van de ouderdom–hoogterelatie? Neem $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en de waarden van oefening 8 ($z_c = 1.21\,\mathrm{km}$, $G_0 = 46.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$, $G(z_c) = 44.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$) en bereken $f$ voor golflengten van 5 en $20\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

Als $\Lambda \to \infty$ en $v \to 0$, $m \to 0$, dus $e^{-mz_c} \to 1$, en de geotherm is rechtlijnig, $G_0 = G(z_c) = G$: $f \to (G - \Gamma)/G = 1 - \Gamma/G = 1 - 6.5/30 = 0.78$. De helling is dan $v/(1 - f) = vG/\Gamma = 4.6v$. Voor $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $v/2\kappa = 0.0158\,\mathrm{km}^{-1}$. Op $5\,\mathrm{km}$: $m = 0.0158 + \sqrt{0.0158^2 + 1.257^2} = 1.273\,\mathrm{km}^{-1}$, $e^{-1.273\times1.21} = 0.215$, $f = 40.0\times0.215/44.7 = 0.19$. Op $20\,\mathrm{km}$: $m = 0.0158 + 0.3146 = 0.330\,\mathrm{km}^{-1}$, $e^{-0.399} = 0.671$, $f = 40.0\times0.671/44.7 = 0.60$.

Oefening 10.12 ★★★

Een wig groeit op zijn kritische wighoek $\alpha + \beta$ uitsluitend door frontale accretie, zonder erosie, vanuit de flux $F_a$. Toon aan dat de breedte ervan groeit als $W = \sqrt{2F_at/\tan(\alpha + \beta)}$. Neem $F_a = 40\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$ en een wighoek van $6{}^{\circ}$. Hoe breed is de wig na $2\,\mathrm{Myr}$, en hoe lang duurt het voordat hij $60\,\mathrm{km}$ bereikt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.12.

De doorsnede is een driehoek met basis $W$ en hoogte $W\tan(\alpha + \beta)$: $A = W^2\tan(\alpha + \beta)/2$. Met $\mathrm dA/\mathrm dt = F_a$ en $A = 0$ bij $t = 0$, $A = F_at$, wat $W$ geeft. Met $\tan6{}^{\circ} = 0.105$: $W = \sqrt{2\times40\times2/0.105} = 39\,\mathrm{km}$ na $2\,\mathrm{Myr}$; $t = 60^2\times0.105/(2\times40) = 4.7\,\mathrm{Myr}$ om $60\,\mathrm{km}$ te bereiken.

10.7 Probleem: Het front van de Kestrelwig

Probleem 10.1

Weekendprobleem — de verkorting, mechanica, flux en exhumatie van een verzonnen overschuivingswig

De Kestrelketen is het verzonnen front van een bergketen, een bovengronds plooi-en-overschuivingsgordel van $60\,\mathrm{km}$ breed, die met $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ wordt geduwd over een voorland waarvan de sedimentlaag $4.0\,\mathrm{km}$ dik is boven een schalie-décollement. De frontale overschuiving volgt het décollement $4.5\,\mathrm{km}$ onder het oppervlak, klimt over een ramp met een helling van $25{}^{\circ}$ en loopt langs een bovenste flat $1.5\,\mathrm{km}$ diep. Aan het front staat het oppervlak $0.3\,\mathrm{km}$ boven zeeniveau en ligt het décollement $4.0\,\mathrm{km}$ eronder; $60\,\mathrm{km}$ achter het front staat het oppervlak op $2.4\,\mathrm{km}$ en ligt het décollement $8.2\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau. Neem, zoals in Taiwan, $\mu = 1.03$ en $\mu_b = 0.85$, een gesteentedichtheid van $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, water van $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

Deel I — Geometrie van de overschuiving.

1. Bereken de hoogte van de ramp, de horizontale lengte ervan en de lengte langs de helling.
2. Hoeveel is een laag van de hangende wand omhooggekomen nadat ze de hele ramp is gepasseerd?
3. Boven de ramp vertoont een laag die op de bovenste flat ligt een extra oppervlakte van $16.5\,\mathrm{km}^{2}$ boven haar regionale niveau. Bereken de verschuiving.
4. Welke extra oppervlakte voorspelt men voor een ondiepere laag? Had de plooi als onthechtingsplooi over het décollement gelezen moeten worden, met de laag $4.0\,\mathrm{km}$ erboven, welke verkorting zou dan zijn gevonden?
5. Achter de ramp toont een seismische sectie een duplex van vier paarden, elk nu $2.5\,\mathrm{km}$ lang langs de vloeroverschuiving, gesneden uit plakken van $6.0\,\mathrm{km}$ lengte. Bereken de verkorting die door de paarden is opgenomen, en vergelijk die met de verschuiving op de frontale ramp.
6. De paarden zijn na elkaar gevormd. Welke is de jongste, en waarom is de dakoverschuiving geplooid?

Deel II — De wighoek.

7. Bereken de oppervlaktehelling $\alpha$, de basale helling $\beta$ en de wighoek.
8. Bereken de dikte van de wig $60\,\mathrm{km}$ achter het front. Kan de Coulomb-wigtheorie worden gebruikt?
9. Bereken $K$. Welke oppervlaktehelling zou een droge wig op deze basis hebben?
10. Welke oppervlaktehelling zou hij hebben bij hydrostatische vloeistofdruk in de wig en aan zijn basis? Is de wig daarmee consistent?
11. Los de vergelijking van de kritische wighoek op voor $\lambda = \lambda_b$.
12. Bereken de verticale spanning, de vloeistofdruk en de hydrostatische druk aan de basis van de wig $60\,\mathrm{km}$ achter het front.
13. Drainage verlaagt $\lambda$ tot 0.7. Bereken de nieuwe kritische oppervlaktehelling. Hoe reageert de wig?

Deel III — De flux.

14. Bereken de accretieflux per kilometer van de gordel.
15. Welke gemiddelde erosiesnelheid houdt de wig in de stationaire toestand?
16. Bereken het volume en de massa gesteente die per jaar uit $100\,\mathrm{km}$ van de gordel worden geërodeerd.
17. Als erosie zou stoppen, hoe snel zou de wig dan in eerste instantie verbreden?
18. Als de helft van de inkomende laag als tektonische underplating onder het achterste deel van de wig terechtkomt in plaats van aan zijn front geaccreteerd, zou de gemiddelde erosiesnelheid in de stationaire toestand dan veranderen? Waar zou de erosie zich concentreren?

Deel IV — De klok. Neem de laag $30\,\mathrm{km}$ dik, $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het gemiddelde oppervlak ($2.0\,\mathrm{km}$ boven zeeniveau) en $910\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan haar basis, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, een sluitingstemperatuur van $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor apatiet (U–Th)/He, een verticale temperatuurgradiënt van $6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ en een reliëf met golflengte $20\,\mathrm{km}$. Vijf monsters die aan één dalwand zijn verzameld, geven:

hoogte ($\mathrm{km}$)	1.30	1.65	2.00	2.35	2.70
apatiet (U–Th)/He-ouderdom ($\mathrm{Myr}$)	1.60	1.83	2.07	2.30	2.54

19. Neem de erosiesnelheid van vraag 15 als exhumatiesnelheid en bereken het thermische Pécletgetal en de oppervlaktegradiënt.
20. Bereken de diepte van de sluitingsisotherm onder het gemiddelde oppervlak en de gradiënt daar.
21. Welke ouderdom zou een monster op de gemiddelde hoogte hebben bij een vlakke sluitingsisotherm? Vergelijk met de gegevens.
22. Bereken $m$ en de doorbuigingsfactor $f$.
23. Pas een rechte lijn aan op de ouderdom–hoogtegegevens. Welke schijnbare exhumatiesnelheid geeft de helling?
24. Corrigeer die voor de doorbuiging van de isotherm.
25. Vergelijk met Deel III en geef de exhumatiesnelheid van de Kestrelwig.

Oplossing

Oplossing van Probleem 10.1.

1. $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{km}$ hoog; $3.0/\tan25{}^{\circ} = 6.43\,\mathrm{km}$ in horizontale lengte; $3.0/\sin25{}^{\circ} = 7.10\,\mathrm{km}$ langs de helling.

2. Door de rampshoogte, $3.0\,\mathrm{km}$.

3. $S = A/r = 16.5/3.0 = 5.5\,\mathrm{km}$.

4. Hetzelfde, $16.5\,\mathrm{km}^{2}$: in een breukbuigplooi is de overtollige oppervlakte van elke laag boven de bovenste flat is $Sr$. Als onthechtingsplooi, $16.5/4.0 = 4.1\,\mathrm{km}$: een kwart te weinig.

5. $4\times(6.0 - 2.5) = 14.0\,\mathrm{km}$, tweeënhalf keer de $5.5\,\mathrm{km}$ verschuiving op de frontale ramp.

6. De frontale schub, die het dichtst bij het voorland ligt: elke nieuwe ramp vormt zich in de liggende wand vóór de vorige. Elke schub, langs zijn ramp omhooggedragen, tilt de dakoverschuiving en de bedekking erboven op, net zoals een breukbuigplooi zijn hangende wand optilt, zodat het dak over de stapel wordt geplooid.

7. $\alpha = \arctan(2.1/60) = 2.00{}^{\circ}$; $\beta = \arctan(4.2/60) = 4.00{}^{\circ}$; wighoek $6.0{}^{\circ}$.

8. $2.4 + 8.2 = 10.6\,\mathrm{km}$, minder dan ongeveer $15\,\mathrm{km}$: de basis is nog wrijvend, en de theorie van Coulomb is van toepassing.

9. $\phi = 45.8{}^{\circ}$, $\sin\phi = 0.717$, $K = 5.08$. Droog: $\alpha + \beta = (0.0699 + 0.85)/6.08 = 0.151\,\mathrm{rad} = 8.7{}^{\circ}$, $\alpha = 4.7{}^{\circ}$.

10. $\lambda = 1000/2500 = 0.40$: $(0.0699 + 0.51)/4.05 = 0.143\,\mathrm{rad} = 8.2{}^{\circ}$, $\alpha = 4.2{}^{\circ}$. De waargenomen $2.0{}^{\circ}$ zou de wig sterk subkritisch maken, zodat die eerder verdikt dan oprukt: de fluïda moeten overdruk hebben.

11. Met $T = 0.1049\,\mathrm{rad}$ en $u = 1 - \lambda$, $T(1 + Ku) = \beta + \mu_bu$ geeft $u = (\beta - T)/(TK - \mu_b) = (0.0699 - 0.1049)/(0.5327 - 0.85) = 0.110$: $\lambda = 0.89$.

12. $\sigma_v = 2500\times9.81\times10\,600 = 260\,\mathrm{MPa}$; $P = 0.89\times260 = 231\,\mathrm{MPa}$; hydrostatisch $1000\times9.81\times10\,600 = 104\,\mathrm{MPa}$. De fluïda dragen $127\,\mathrm{MPa}$ meer dan een kolom water zou dragen.

13. $(0.0699 + 0.85\times0.3)/(1 + 5.08\times0.3) = 0.325/2.52 = 0.129\,\mathrm{rad} = 7.4{}^{\circ}$, $\alpha = 3.4{}^{\circ}$. De wig, bij $2.0{}^{\circ}$, is nu subkritisch: hij houdt op met oprukken en verdikt door overschuiving buiten de normale volgorde achter zijn voorkant, totdat zijn oppervlaktehelling $3.4{}^{\circ}$ bereikt.

14. $F_a = 10\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}\times4.0\,\mathrm{km} = 40\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$, dat is $4.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{yr}$ per kilometer van de gordel.

15. $\bar e = 40/60 = 0.67\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

16. $40\times100 = 4000\,\mathrm{km}^{3}/\mathrm{Myr} = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{yr}$, of $1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$ (10 miljoen ton per jaar).

17. $\mathrm dW/\mathrm dt = F_a/(W\tan(\alpha + \beta)) = 40/(60\times0.105) = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$.

18. Nee: in stationaire toestand moet de erosie nog steeds de hele inkomende flux verwijderen, dus de gemiddelde snelheid blijft $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Maar het gesteente dat onder de achterkant wordt toegevoegd, wordt daar opgetild: erosie en exhumatie zouden het snelst optreden boven de achterkant, waar de jongste afkoelingsouderdommen zouden worden gevonden.

19. $v = 0.667\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: $\mathrm{Pe} = 0.667\times30/31.6 = 0.634$; $G_0 = 30\times0.634/(1 - e^{-0.634}) = 30\times1.35 = 40.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$.

20. $1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L} = (55/900)(1 - e^{-0.634}) = 0.0287$, dus $\mathrm{Pe}\,z/L = 0.0291$ en $z_c = 1.38\,\mathrm{km}$; $G(z_c) = 40.5\,e^{-0.0291} = 39.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$.

21. $1.38/0.667 = 2.07\,\mathrm{Myr}$, de ouderdom van het monster op $2.00\,\mathrm{km}$: op de gemiddelde hoogte is de doorbuiging van de isotherm nul.

22. $v/2\kappa = 0.667/63.1 = 0.0106\,\mathrm{km}^{-1}$, $2\pi/\Lambda = 0.314\,\mathrm{km}^{-1}$: $m = 0.0106 + 0.3143 = 0.325\,\mathrm{km}^{-1}$; $e^{-0.325\times1.38} = 0.639$; $f = (40.5 - 6.5)\times0.639/39.3 = 0.552$.

23. De gemiddelde hoogte is $2.00\,\mathrm{km}$ en de gemiddelde ouderdom $2.068\,\mathrm{Myr}$; $\sum\Delta t\,\Delta h = 0.823$ en $\sum\Delta t^2 = 0.552$, dus de helling is $1.49\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: een schijnbare snelheid van $1.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

24. $v = 1.49\times(1 - 0.552) = 0.667\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

25. De thermochronometer en de fluxbalans komen overeen: de wig is in stationaire toestand, en de schijnbare helling voor waar aannemen zou de snelheid meer dan twee keer te hoog hebben ingeschat. De exhumatiesnelheid van de wig Kestrel is $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.