4Geomagnetisme en paleomagnetisme

Een basaltstroom die zestig miljoen jaar geleden uitbarstte, koelde af met zijn piepkleine magnetietkorrels vastgelegd evenwijdig aan het veld van die tijd. Vandaag geboord, ter plaatse georiënteerd, in kleine cilinders gezaagd en stap voor stap verhit in een kamer die is afgeschermd van het huidige veld, vertelt hij nog steeds hoe ver hij toen van de pool lag en welke kant hij op wees. Duizenden zulke metingen, van elk continent en uit elke tijd, hebben laten zien hoe de continenten bewogen voordat de oceaanbodems ontstonden die hun beweging registreren, en in welke volgorde het veld is omgekeerd door de lagen van een sedimentaire sectie heen. Dit hoofdstuk beschrijft het veld zoals het er vandaag uitziet, hoe gesteenten het vastleggen, hoe een richting wordt bepaald en gemiddeld, en wat een paleomagnetische pool zegt over de beweging van een plaat.

Wat je al weet

De Aarde als magneet en de magnetische declinatie staan in de schoolboeken van de natuurkundeboeken; magnetische domeinen, hysterese, remanentie en de Curietemperatuur in hun Boek 3; het veld van een magnetische dipool in hun Boek 1. Magnetische omkeringen en de normale en omgekeerde polariteiten kwamen aan bod in leerjaar 11. De grootcirkel en de bolvormige driehoek werden gedefinieerd in Boek 1, in het hoofdstuk over bolastronomie; het polariteitschron, de geomagnetische polariteitsschaal, de marien magnetische anomalie en eindige rotaties om een Eulerpool in het hoofdstuk over plaatkinematica op een bol; het hotspotspoor in het hoofdstuk over hotspots. Sferische harmonischen en de Schmidt-genormaliseerde Legendre-functies $P_n^m$ werden voor de zwaartekracht gebruikt in het hoofdstuk over zwaartekracht en de vorm van de Aarde (zie Hoofdstuk 3).

4.1 Het hoofdveld

Definitie 4.1 (Geomagnetisch hoofdveld; geocentrische axiale dipool)

Het geomagnetisch hoofdveld is het deel van het magnetisch veld van de Aarde dat binnen de Aarde wordt opgewekt, in de vloeibare ijzeren buitenkern; het verandert over jaren tot miljoenen jaren, anders dan de velden van de ionosfeer en de magnetosfeer, die over seconden tot dagen veranderen. De geocentrische axiale dipool is het veld van een magnetische dipool die in het middelpunt van de Aarde is geplaatst en met zijn rotatieas is uitgelijnd, wijzend naar het zuiden, zodat de veldlijnen het zuidelijk halfrond verlaten en het noordelijk halfrond binnengaan.

Op elk punt van het oppervlak is het veld $\mathbf F$ een vector. Het wordt beschreven in een lokaal assenstelsel (figuur hieronder): $X$ naar geografisch noord, $Y$ naar het oosten, $Z$ naar beneden. Zijn horizontale component is $H = \sqrt{X^2 + Y^2}$, zijn totale intensiteit $F = |\mathbf F|$, zijn magnetische declinatie $D$ de hoek van geografisch noord naar $\mathbf H$, rechtsom geteld, en zijn inclinatie $I$ de hoek van de horizontaal naar $\mathbf F$.

Definitie 4.2 (Magnetische inclinatie)

De magnetische inclinatie $I$ van het veld op een punt is de hoek tussen de veldvector en het horizontale vlak, positief wanneer het veld naar beneden wijst: $\tan I = Z/H$, met $-90{}^{\circ} \le I \le 90{}^{\circ}$.

Stelling 4.3 (De dipoolformule)

Aan het oppervlak van een bol met straal $a$ geldt voor het veld van een geocentrische axiale dipool met moment $m$ op breedtegraad $\lambda$:

$$H = B_0\cos\lambda,\qquad Z = 2B_0\sin\lambda,\qquad F = B_0\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda},\qquad \tan I = 2\tan\lambda,\qquad D = 0,$$

waarbij $B_0 = \mu_0 m/(4\pi a^3)$ het veld aan de evenaar is. Dit is de dipoolformule.

De inclinatie is nul aan de evenaar, $90{}^{\circ}$ aan de noordpool, en negatief op het zuidelijk halfrond; de intensiteit is aan de polen twee keer zo groot als aan de evenaar. Het werkelijke veld is geen perfecte dipool, en het wordt, net als de zwaartekracht, beschreven met bolfuncties.

Definitie 4.4 (International Geomagnetic Reference Field)

Het International Geomagnetic Reference Field (IGRF) is het internationaal overeengekomen model van het hoofdveld: de potentiaal, op en boven het oppervlak,

$$V(r,\theta,\varphi) = a\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\sum_{m=0}^{n} \bigl(g_n^m\cos m\varphi + h_n^m\sin m\varphi\bigr)P_n^m(\cos\theta),$$

met $a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mathbf B = -\nabla V$, en Gauss-coëfficiënten $g_n^m$, $h_n^m$ (in $\mathrm{nT}$) die sinds 1900 elke vijf jaar worden gegeven, samen met hun veranderingssnelheid over de komende vijf jaar.

Het model wordt onderhouden door de International Association of Geomagnetism and Aeronomy; de veertiende generatie werd in november 2024 voltooid en is afgekapt bij graad $N = 13$. De eerste term, $g_1^0$, is de axiale dipool: vergeleken met het bewijs hierboven geldt $B_0 = -g_1^0$, en $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$ in 2025. Met de twee andere graad-1-termen is de dipool gekanteld; zijn as snijdt het oppervlak in de noordelijke geomagnetische pool, op $80.79{}^{\circ}$ N, $72.76{}^{\circ}$ W in 2025, en zijn moment is $m = 4\pi a^3\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2}/\mu_0 = 7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$.

De kaarten hierboven laten zien hoe sterk het veld van een dipool afwijkt. De dip-evenaar wijkt tot ongeveer $12{}^{\circ}$ af van de geografische evenaar, en de intensiteit, die een dipool langs een breedtecirkel uniform zou maken, varieert met een factor drie, met een brede lage zone boven de Zuid-Atlantische Oceaan.

Definitie 4.5 (Seculaire variatie)

De seculaire variatie is de langzame verandering van het hoofdveld in de tijd, over jaren tot eeuwen, gemeten aan de hand van de veranderingssnelheid van de Gauss-coëfficiënten of van de elementen op één plaats.

In de afgelopen 125 jaar is het dipoolmoment gedaald van $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ naar $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, met $7.6\,\%$, en is de noordelijke geomagnetische pool verschoven van $78.61{}^{\circ}$ N, $68.79{}^{\circ}$ W naar zijn huidige positie (figuur hieronder); $g_1^0$ neemt nog steeds toe met $12.6\,\mathrm{nT}$ per jaar, wat wijst op een verzwakking van de dipool.

Waar komt het veld vandaan? Een permanente magneet valt af: de Curietemperatuur van magnetiet is ongeveer $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en die van hematiet $675\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de diepe Aarde is veel heter. Het veld wordt voortdurend opgewekt door de beweging van de geleidende vloeistof van de buitenkern.

Definitie 4.6 (Geodynamo)

De geodynamo is het zichzelf in stand houdende proces waarbij convectie van de elektrisch geleidende vloeibare ijzerlegering van de buitenkern, afgebogen door de rotatie van de Aarde, elektrische stromen opwekt waarvan het magnetische veld zichzelf handhaaft tegen ohmse vervaging.

Propositie 4.7 (Inductievergelijking)

In een geleider met magnetische diffusiviteit $\eta = 1/(\mu_0\sigma)$ die beweegt met de snelheid $\mathbf u$, gehoorzaamt het magnetisch veld aan

$$\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = \nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B) + \eta\nabla^2\mathbf B .$$

De eerste term rekt de veldlijnen uit die door de stroming worden meegevoerd en draait ze, de tweede laat het veld vervallen, in een lichaam van grootte $L$, in een tijd van orde $L^2/\eta$. Een dynamo werkt wanneer de stroming sneller veld aanmaakt dan het wegdiffundeert. Computersimulaties van een convecterende, roterende schil van vloeistof leveren een overheersend axiaal dipool op en af en toe een omkering; maar de vergelijkingen van de geodynamo, gekoppeld aan die van de stroming, vallen buiten dit boek. Naast de volledige omkeringen bevat het archief kortere gebeurtenissen.

Definitie 4.8 (Geomagnetische excursie)

Een geomagnetische excursie is een grote afwijking van de veldrichting ten opzichte van die van het axiale dipool, waarbij de virtuele geomagnetische pool (Definitie 4.16) zich ver van de geografische pool wegbeweegt, en die terugkeert naar de oorspronkelijke polariteit in plaats van een omkering te voltooien.

4.2 Hoe gesteenten het veld vastleggen

Ferromagnetische mineralen in de brede zin, vooral magnetiet in stollingsgesteenten en hematiet in rode sedimenten, dragen een remanentie. Boven hun Curietemperatuur heeft een korrel er geen; daaronder is een kleine korrel een enkel magnetisch domein waarvan het moment thermisch geactiveerd tussen zijn voorkeursrichtingen omklapt, na een relaxatietijd

waarbij $K$ de anisotropie-energie per volume-eenheid is, $V$ het volume van de korrel en $C$ een frequentiefactor. Dit is de relaxatiewet van Néel, hier aangenomen. Omdat $\tau$ exponentieel groeit naarmate $T$ daalt, gaat een korrel binnen een smal temperatuurinterval over van vrij omklappen naar het vasthouden van zijn moment gedurende miljarden jaren.

Definitie 4.9 (Blokkeringstemperatuur)

De blokkeringstemperatuur van een magnetische korrel is de temperatuur waaronder zijn relaxatietijd groter is dan de duur van het experiment, zodat zijn moment vastligt: bij afkoeling door deze temperatuur legt de korrel het veld vast; bij verhitting door deze temperatuur in een nulveld verliest de korrel die registratie.

Definitie 4.10 (Natuurlijke, thermische, detritische en chemische remanente magnetisatie)

De natuurlijke remanente magnetisatie (NRM) van een gesteente is de remanentie die het draagt op het moment dat het wordt verzameld, de som van componenten die op verschillende tijdstippen zijn verkregen. Een thermoremanente magnetisatie (TRM) ontstaat door afkoeling door de blokkeringstemperaturen in een veld, zoals in een lavastroom of intrusie. Een detritische remanente magnetisatie (DRM) ontstaat wanneer magnetische korrels die in water bezinken, of in het natte sediment net onder het oppervlak, zich in het veld richten voordat ze worden vastgelegd. Een chemische remanente magnetisatie (CRM) ontstaat wanneer een magnetisch mineraal groeit, door een blokkeringsvolume heen, in een veld, zoals hematiet doet wanneer een rode laag zich vormt.

Een TRM legt het veld vast op het moment van afkoeling; een DRM binnen de tijd die het sediment nodig heeft om te compacteren; een CRM, telkens wanneer het mineraal groeide, wat lang na de afzetting kan zijn. Een latere verhitting, of het huidige veld dat gedurende lange tijd inwerkt op korrels met een korte relaxatietijd, voegt een secundaire component toe bovenop: een viskeuze remanentie langs het recente veld.

4.3 Van monster naar richting

Georiënteerde boorkernen worden op meerdere locaties in een formatie geboord, enkele kernen per locatie, en gesneden tot monsters van enkele kubieke centimeters. Van elk monster wordt de NRM gemeten en vervolgens stapsgewijs verwijderd.

Definitie 4.11 (Stapsgewijze demagnetisatie)

Stapsgewijze demagnetisatie is het verwijderen van de remanentie van een monster in stappen van toenemende intensiteit, waarbij na elke stap wordt de resterende vector gemeten: door verhitting tot steeds hogere temperaturen en afkoeling in een nulveld (thermische demagnetisatie), waarbij eerst de componenten met een lagere blokkeringstemperatuur verdwijnen, of door wisselvelden met toenemende piekwaarde die naar nul terugvallen (wisselveld-demagnetisatie), waarbij eerst die met een lagere coërciviteit verdwijnen.

Definitie 4.12 (Zijderveld-diagram; karakteristieke remanente magnetisatie)

Een Zijderveld-diagram zet de eindpunten van de resterende remanentievector na elke stap van demagnetisatie tegelijk uit op twee vlakken, het horizontale (noord tegen oost) en een verticaal vlak (noord tegen omlaag), met een gemeenschappelijke noordas. Een component die afzonderlijk over een reeks stappen wordt verwijderd, geeft een rechte lijn; een lijnstuk dat in de oorsprong eindigt is de karakteristieke remanente magnetisatie (ChRM), de meest stabiele component, die als de primaire wordt geïnterpreteerd wanneer de toetsen dat toelaten.

Het monster in de onderstaande figuur draagt twee componenten: een viskeuze overprint langs het huidige veld, verwijderd bij $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en een ChRM die vrijkomt van 300 tot $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de Curietemperatuur van magnetiet. Boven $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ lopen beide projecties recht naar de oorsprong; de richting van dat lijnstuk is de ChRM.

De richtingen van de monsters van een vindplaats spreiden zich rond een gemiddelde, en de statistiek van die spreiding is die van een verdeling op de bol.

Propositie 4.13 (Fisher-verdeling)

De Fisher-verdeling met de precisieparameter $\kappa > 0$ rond een gemiddelde richting geeft aan een eenheidsvector de kansdichtheid, per eenheid van ruimtehoek,

$$f(\theta) = \frac{\kappa}{4\pi\sinh\kappa}\,e^{\kappa\cos\theta},$$

waarbij $\theta$ de hoek met het gemiddelde is. Gegeven $N$ eenheidsvectoren $\mathbf u_i$ die eruit getrokken zijn, met resultante $\mathbf R = \sum\mathbf u_i$ van lengte $R$, is de beste schatting van de gemiddelde richting die van $\mathbf R$; de precisie wordt geschat door $k = (N - 1)/(N - R)$; en het ware gemiddelde ligt met kans $1 - p$ binnen de hoek $\alpha_{1-p}$ van het geschatte gemiddelde, waarbij

$$\cos\alpha_{1-p} = 1 - \frac{N - R}{R}\Bigl[\Bigl(\frac1p\Bigr)^{1/(N-1)} - 1\Bigr].$$

Definitie 4.14 (Alpha-95)

De alpha-95 ($\alpha_{95}$) van een gemiddelde richting is de halve hoek van zijn kegel van 95 procent betrouwbaarheid, de hoek $\alpha_{1-p}$ van Propositie 4.13 voor $p = 0.05$.

De dichtheid integreert tot één: met $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta$ volgt $\int_0^\pi f\,2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta = \frac{\kappa}{2\sinh\kappa}\cdot\frac{e^\kappa - e^{-\kappa}}{\kappa} = 1$. Richtingen worden als eenheidsvectoren gemiddeld, nooit als hoeken: het gemiddelde van de declinaties $350{}^{\circ}$ en $10{}^{\circ}$ is noord, niet zuid. Een grote $k$ betekent een strakke cluster, en $\alpha_{95}$ krimpt ongeveer evenredig met $1/\sqrt{kN}$.

Methode 4.15 (Veldtests van een paleomagnetische richting)

Men kan met een test in het veld aantonen dat een ChRM ouder is dan een gebeurtenis.

• Plooitest. Vindplaatsen op beide flanken van een plooi: als de richtingen beter clusteren nadat de lagen teruggedraaid zijn naar horizontaal dan ervoor, is de magnetisatie ouder dan de plooiing.
• Omkeringstest. Bevat een formatie beide polariteiten, dan moet het gemiddelde van de omgekeerde richtingen, omgekeerd, samenvallen met het gemiddelde van de normale binnen hun betrouwbaarheidskegels; een viskeuze overprint die niet verwijderd is, zou beide in dezelfde zin verschuiven en de antipodaliteit verbreken.
• Gebakken-contacttest. Een gang verhit het gesteente ernaast, dat een nieuwe TRM verwerft: als het gebakken gesteente de richting van de gang draagt en het verder weg gelegen gesteente een andere, dan is de magnetisatie van de gang sinds het afkoelen niet teruggezet.

4.4 Polen en platen

Als het veld, gemiddeld over enkele duizenden jaren om de seculaire variatie uit te middelen, een geocentrische axiale dipool is, dan zet de dipoolformule de gemiddelde inclinatie om in een breedte, en wijst de gemiddelde declinatie naar de pool.

Definitie 4.16 (Paleobreedte; virtuele geomagnetische pool)

De paleobreedte van een vindplaats is de breedte $\lambda$ die volgt uit haar gemiddelde inclinatie via de dipoolformule, $\tan I = 2\tan\lambda$. De virtuele geomagnetische pool (VGP) van een richting $(D, I)$ die op een vindplaats is waargenomen, is de noordpool van de geocentrische dipool die die richting daar zou opwekken.

Stelling 4.17 (De pool van een richting)

Laat een vindplaats breedte $\lambda_s$ en lengte $\varphi_s$ hebben en een gemiddelde richting $(D, I)$. Laat $p$ de paleocolatitude zijn, $\cot p = \tfrac12\tan I$, met $0 \le p \le 180{}^{\circ}$. De virtuele geomagnetische pool heeft breedte $\lambda_p$ en lengte $\varphi_p$, gegeven door

$$\sin\lambda_p = \sin\lambda_s\cos p + \cos\lambda_s\sin p\cos D,\qquad \sin\beta = \frac{\sin p\sin D}{\cos\lambda_p},$$

met $\varphi_p = \varphi_s + \beta$ als $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$, en $\varphi_p = \varphi_s + 180{}^{\circ} - \beta$ anders.

De kegel $\alpha_{95}$ rond de gemiddelde richting wordt een ovaal rond de pool, met halve assen $\mathrm dp = \tfrac12\alpha_{95}(1 + 3\cos^2p)$ langs de grootcirkel vanaf de vindplaats, en $\mathrm dm = \alpha_{95}\sin p/\cos I$ dwars daarop. Een pool die gemiddeld is over meerdere vindplaatsen van een formatie, elk een VGP, is een paleomagnetische pool met een eigen kegel, $A_{95}$. Gesteenten van dezelfde ouderdom op één starre plaat geven dezelfde pool; gesteenten van verschillende ouderdom geven verschillende polen.

Definitie 4.18 (Schijnbare poolverschuiving; schijnbaar poolverschuivingspad)

Schijnbare poolverschuiving is de verandering, met de ouderdom van de gesteenten, van de paleomagnetische pool van een plaat gezien vanaf die plaat, die vastgehouden wordt. Een schijnbaar poolverschuivingspad is de kromme die de paleomagnetische polen van een plaat in volgorde van ouderdom verbindt.

De pool beweegt zelf niet: de plaat beweegt, en het pad registreert die beweging in omgekeerde richting. Twee platen die uit elkaar zijn bewogen, hebben verschillende paden voor de tijd vóór hun scheiding, en elk pad wordt door de eindige rotatie die de oceaan ertussen heeft gesloten, op het andere gedraaid. Een paleomagnetische pool legt de breedtegraad van een blok en zijn oriëntatie vast, maar niet zijn lengtegraad: een rotatie van het blok om de draaias verandert geen van beide.

Een verplaatst blok, een terrein, wordt getoetst aan het pad van de stabiele plaat waar het nu deel van uitmaakt. Uit de referentiepool van de juiste ouderdom berekent men de verwachte richting $(D_x, I_x)$ op de vindplaats, door Stelling 4.17 achterstevoren te lezen. Een rotatie van het blok met de klok mee om een verticale as wordt gemeten met $R = D_o - D_x$, de verplaatsing naar de pool toe met $P = \lambda_x - \lambda_o$, het verschil tussen verwachte en waargenomen paleobreedten; de fout van een declinatie is ongeveer $\Delta D = \arcsin(\sin\alpha_{95}/\cos I)$, en fouten worden gecombineerd als de wortel uit de som van hun kwadraten. De Hawaï–Keizerketen werd in Boek 3 aan deze toets onderworpen, in het hoofdstuk over hotspots: de paleobreedten gemeten op de Keizerzeebergen toonden de hotspot zelf naar het zuiden bewegen, met meer dan $40\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ van 81 tot $47\,\mathrm{Ma}$.

Een pool die beweegt ten opzichte van de draaias kan betekenen dat de platen bewogen zijn, of dat de hele vaste Aarde onder de draaias is gedraaid.

Definitie 4.19 (Ware poolverschuiving)

Ware poolverschuiving is de rotatie van de hele vaste Aarde, mantel en korst samen, ten opzichte van haar draaias, aangedreven door veranderingen in de verdeling van massa in haar binnenste. Zij verplaatst alle paleomagnetische polen van alle platen samen, met dezelfde rotatie, terwijl plaatbeweging de polen van elke plaat afzonderlijk verplaatst.

Zij wordt alleen gedetecteerd door de paden van alle platen te vergelijken binnen een referentiekader dat onafhankelijk is van de draaias, zoals dat van de hotspots; hoe groot ze is geweest, is nog steeds omstreden, en er wordt hier geen snelheid genoemd.

4.5 Magnetostratigrafie

Definitie 4.20 (Magnetostratigrafie)

Magnetostratigrafie is de onderverdeling van een reeks gesteenten in polariteitszones, intervallen van uniforme normale of omgekeerde polariteit, en de datering van de reeks door het patroon van zones te laten overeenkomen met dat van de geomagnetische polariteitsschaal.

Een omkering wordt, binnen de resolutie van de bemonstering, overal op hetzelfde moment vastgelegd: een omkeringsgrens in een profiel is een isochroon oppervlak. Het patroon van zones, hun aantal en hun relatieve dikten, is wat wordt vergeleken; een enkele zone, op zichzelf, kan elk chron van die polariteit zijn. Eén of twee onafhankelijke ouderdommen, uit een vulkanische as of een fossiel, verankeren de overeenkomst, waarna elke omkeringsgrens het profiel dateert. In de figuur hieronder toont een profiel van $64\,\mathrm{m}$ toont drie normale zones; gepast op de normale subchrons van chron C2An, van 3.596 tot $2.581\,\mathrm{Ma}$, geven de grenzen een sedimentatiesnelheid van ongeveer $40\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ onder $20\,\mathrm{m}$ en $55\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ boven.

In het laboratorium — Een afgeschermd paleomagnetisch laboratorium

Het laboratorium is een ruimte binnen een magnetische afscherming, lagen van metaal met een hoge permeabiliteit die het aardveld terugbrengen tot een klein deel van zijn waarde, zodat de monsters tijdens het hanteren geen nieuwe remanentie verwerven. Een paleomagnetist laadt de monsters, kleine cilinders van gesteente die elk zijn voorzien van een oriëntatiepijl, op een lange lade die ze een voor een meeneemt naar een cryogene magnetometer, waarvan de supergeleidende sensoren, gekoeld door vloeibaar helium, de drie componenten van remanenties meten die veel zwakker zijn dan een kompas kan waarnemen. Tussen de metingen gaan de monsters naar een afgeschermde oven voor de volgende verhittingsstap, of door de spoelen van een wisselveld-demagnetiseerder die op dezelfde lijn is aangesloten, en de software tekent elk Zijderveld-diagram terwijl de stappen zich opstapelen.

4.6 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Bereken in een geocentrisch axiaal dipoolveld de inclinatie op breedtegraad $30{}^{\circ}$ NB, en de breedtegraad van een locatie waar de inclinatie $-20{}^{\circ}$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

$\tan I = 2\tan30{}^{\circ} = 1.1547$, dus $I = 49.1{}^{\circ}$. Omgekeerd, $\tan\lambda = \tfrac12\tan(-20{}^{\circ}) = -0.1820$, dus $\lambda = -10.3{}^{\circ}$, dat is $10.3{}^{\circ}$ Z.

Oefening 4.2 ★

Op een station heeft het veld de componenten $X = 20\,000\,\mathrm{nT}$, $Y = -2000\,\mathrm{nT}$ en $Z = 40\,000\,\mathrm{nT}$. Bereken $H$, $F$, de magnetische declinatie en de inclinatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

$H = \sqrt{20000^2 + 2000^2} = 20\,100\,\mathrm{nT}$; $F = \sqrt{20000^2 + 2000^2 + 40000^2} = 44\,770\,\mathrm{nT}$. De magnetische declinatie is $\arctan(-2000/20000) = -5.7{}^{\circ}$, $5.7{}^{\circ}$ naar het westen van het noorden; de inclinatie $\arctan(40000/20100) = 63.3{}^{\circ}$, naar beneden.

Oefening 4.3 ★

In 2025 geldt $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$. Neem het veld als een axiale dipool en bereken het veld aan de evenaar en aan de polen, en het dipoolmoment ($a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$B_0 = -g_1^0 = 29\,350\,\mathrm{nT}$ aan de evenaar, en $2B_0 = 58\,700\,\mathrm{nT}$ bij de polen. $m = 4\pi a^3B_0/\mu_0 = a^3B_0/10^{-7} = 2.5862 \times 10^{20}\times 2.935 \times 10^{-5}/10^{-7} = 7.59 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, iets minder dan de $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ van de volledige dipool, die $g_1^1$ en $h_1^1$ toevoegt.

Oefening 4.4 ★

Benoem het soort remanentie dat wordt verworven en wanneer het het veld vastlegt, voor: (a) een lavastroom die afkoelt; (b) silt die bezinkt in een rustig meer; (c) een zandsteen waarvan de ijzeroxidecoatings tijdens de vroege begraving in hematiet veranderen; (d) een basalt die een miljoen jaar in het huidige veld ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

(a) Een thermoremanente magnetisatie, die het veld vastlegt toen de lava afkoelde door de blokkeringstemperaturen van de korrels heen. (b) Een detritische remanente magnetisatie, die het veld vastlegt binnen de tijd die het silt nodig had om te bezinken en door compactie vergrendeld te raken. (c) Een chemische remanente magnetisatie, die het veld vastlegt tijdens de groei van het hematiet, tijdens de vroege begraving en dus enigszins na de afzetting. (d) Een viskeuze remanente magnetisatie langs het huidige veld, toegevoegd aan de oorspronkelijke TRM door de korrels met de kortste relaxatietijd; zij wordt verwijderd door de eerste stappen van de demagnetisatie.

Oefening 4.5 ★★

Vier monsters van een locatie geven de richtingen $(D, I)$: $(12{}^{\circ}, 48{}^{\circ})$, $(22{}^{\circ}, 44{}^{\circ})$, $(16{}^{\circ}, 57{}^{\circ})$ en $(6{}^{\circ}, 53{}^{\circ})$. Bereken hun eenheidsvectoren, de lengte van de resultante $R$, de gemiddelde richting, $k$ en $\alpha_{95}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

De eenheidsvectoren $(\cos I\cos D,\ \cos I\sin D,\ \sin I)$ zijn

$$\begin{gather*} (0.6545, 0.1391, 0.7431),\quad (0.6670, 0.2695, 0.6947),\\ (0.5235, 0.1501, 0.8387),\quad (0.5985, 0.0629, 0.7986). \end{gather*}$$

De som is $(2.4435, 0.6216, 3.0751)$, met lengte $R = 3.9766$. Gemiddelde: $D = \arctan(0.6216/2.4435) = 14.3{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.0751/3.9766) = 50.7{}^{\circ}$. $k = 3/(4 - 3.9766) = 128$. Met $20^{1/3} - 1 = 1.7144$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0234/3.9766)\times1.7144 = 0.98991$, dus $\alpha_{95} = 8.1{}^{\circ}$: met vier monsters blijft de kegel breed, hoe strak de groep ook is.

Oefening 4.6 ★★

Een locatie op $40.0{}^{\circ}$ NB, $10.0{}^{\circ}$ OL geeft de gemiddelde richting $D = 20{}^{\circ}$, $I = 50{}^{\circ}$. Bereken de paleobreedte en de virtuele geomagnetische pool.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan50{}^{\circ}) = 30.79{}^{\circ}$, dus $p = 59.21{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin40{}^{\circ}\cos59.21{}^{\circ} + \cos40{}^{\circ}\sin59.21{}^{\circ} \cos20{}^{\circ} = 0.9474$, $\lambda_p = 71.34{}^{\circ}$ NB. $\sin\beta = \sin59.21{}^{\circ}\sin20{}^{\circ}/\cos71.34{}^{\circ} = 0.9184$, $\beta = 66.66{}^{\circ}$. Omdat $\cos p = 0.5119 < \sin40{}^{\circ}\times0.9474 = 0.6090$, is het tweede geval van toepassing: $\varphi_p = 10 + 180 - 66.66 = 123.34{}^{\circ}$ OL. De pool ligt op $71.3{}^{\circ}$ NB, $123.3{}^{\circ}$ OL.

Oefening 4.7 ★★

Het IGRF geeft een dipoolmoment van $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ in 1900 en $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ in 2025, en een veranderingssnelheid van $g_1^0$ van $+12.6\,\mathrm{nT}/\mathrm{yr}$ in 2025. (a) Bereken de relatieve verandering van het moment per eeuw. (b) Als $g_1^0$ die snelheid zou behouden, na hoeveel jaar zou het nul bereiken? Waarom is dit geen voorspelling?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

(a) $(7.69 - 8.32)/8.32 = -7.6\,\%$ in 125 jaar, of $-6.1\,\%$ per eeuw. (b) $29350/12.6 = 2329$, ongeveer 2300 jaar. Het is geen voorspelling: de snelheid zelf verandert van het ene vijfjaarmodel naar het volgende; het moment is in het verleden zowel hoger als lager geweest zonder om te keren, en het veld keert op onregelmatige tijdstippen om die geen enkele snelheid voorspelt.

Oefening 4.8 ★★

De resterende remanentie van een monster, in $\mathrm{mA}/\mathrm{m}$ (noord, oost, neer), is $(32.2, 18.1, 38.2)$ na verhitting tot $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $(25.8, 18.1, 24.6)$ na $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en $(0.0, 0.0, 0.0)$ na $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; het Zijderveld-diagram is recht tussen elk paar. Bereken de richting en intensiteit van de component die tussen 20 en $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt verwijderd, en van die welke boven $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt verwijderd. Welke is de ChRM, en wat is de andere?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

Tussen 20 en $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verloor de vector $(6.4, 0.0, 13.6)$: een component van $15.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, met $D = 0.0{}^{\circ}$ en $I = \arctan(13.6/6.4) = 64.8{}^{\circ}$. Boven $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verloor hij $(25.8, 18.1, 24.6)$: $40.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, $D = \arctan(18.1/25.8) = 35.1{}^{\circ}$, $I = \arctan(24.6/31.5) = 38.0{}^{\circ}$. De tweede, die naar de oorsprong gaat, is de ChRM; de eerste, langs een steile, noordwaarts gerichte richting, bij lage temperatuur verwijderd, is een viskeuze overprint langs het recente veld.

Oefening 4.9 ★★

Een formatie geeft $I = -35{}^{\circ}$ met $\alpha_{95} = 5{}^{\circ}$. Bereken de paleobreedte, het bereik van paleobreedtes dat is toegestaan door $I \pm \alpha_{95}$, en de halve assen $\mathrm dp$ en $\mathrm dm$ van de betrouwbaarheidsovaal van de pool.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan(-35{}^{\circ})) = -19.3{}^{\circ}$. Voor $I = -40{}^{\circ}$ en $-30{}^{\circ}$: $-22.8{}^{\circ}$ en $-16.1{}^{\circ}$, een interval van $6.7{}^{\circ}$. $p = 90{}^{\circ} - \lambda = 109.3{}^{\circ}$, $\cos^2p = 0.1096$: $\mathrm dp = 2.5\times(1 + 0.329) = 3.3{}^{\circ}$ en $\mathrm dm = 5\times\sin109.3{}^{\circ}/\cos35{}^{\circ} = 5.8{}^{\circ}$.

Oefening 4.10 ★★★

(a) Bepaal uit Stelling 4.3 de breedtegraad waarop de inclinatie $45{}^{\circ}$ is, en de verhouding van het veld aan de polen tot dat aan de evenaar. (b) Toon aan dat $\mathrm dI/\mathrm d\lambda = 2/(1 + 3\sin^2\lambda)$, en leid af waar een fout in de inclinatie de grootste fout in de paleobreedte oplevert. (c) Waarom zijn paleobreedtes die uit lage inclinaties volgen het nauwkeurigst uitgedrukt in graden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

(a) $\tan\lambda = \tfrac12$, $\lambda = 26.6{}^{\circ}$. $F$ is $B_0$ aan de evenaar en $2B_0$ bij de polen: een verhouding van 2. (b) $\tan I = 2\tan\lambda$ levert $(1 + \tan^2I)\,\mathrm dI = 2(1 + \tan^2\lambda)\,\mathrm d\lambda$, dus

$$\frac{\mathrm dI}{\mathrm d\lambda} = \frac{2/\cos^2\lambda}{1 + 4\tan^2\lambda} = \frac{2}{\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda} = \frac{2}{1 + 3\sin^2\lambda}.$$

Een fout $\delta I$ levert $\delta\lambda = \tfrac12(1 + 3\sin^2\lambda)\,\delta I$, van $\tfrac12\delta I$ aan de evenaar tot $2\,\delta I$ bij de polen: de grootste fout ligt nabij de polen. (c) Nabij de evenaar verandert de inclinatie twee keer zo snel als de breedtegraad, dus een gegeven fout in de inclinatie kost de helft zoveel breedtegraad; nabij de polen verandert de inclinatie nauwelijks met de breedtegraad.

Oefening 4.11 ★★★

Een locatie ligt op $35.0{}^{\circ}$ Z, $150.0{}^{\circ}$ O op een stabiele plaat waarvan de referentiepool, voor de ouderdom van een formatie die daar is bemonsterd, ligt op $70.0{}^{\circ}$ NB, $300.0{}^{\circ}$ OL. (a) Bereken de hoekafstand $p$ van de locatie tot de pool, de verwachte inclinatie en declinatie, en de verwachte paleobreedte. (b) De formatie geeft $D_o = 30.0{}^{\circ}$, $I_o = -60.0{}^{\circ}$. Bereken de rotatie $R$ en de poolwaartse verschuiving $P$, en zeg wat ze betekenen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

(a) $\cos p = \sin(-35{}^{\circ})\sin70{}^{\circ} + \cos35{}^{\circ}\cos70{}^{\circ}\cos150{}^{\circ} = -0.5390 - 0.2426 = -0.7816$, $p = 141.41{}^{\circ}$. Dan $\tan I_x = 2\cot p = -2.506$, $I_x = -68.2{}^{\circ}$, en $\lambda_x = 90{}^{\circ} - p = -51.4{}^{\circ}$. $\cos D_x = (\sin70{}^{\circ} - \sin(-35{}^{\circ})\cos p)/(\cos35{}^{\circ}\sin p) = 0.9617$, en omdat de pool oostelijk ligt van de meridiaan van de locatie ($\sin150{}^{\circ} > 0$), $D_x = 15.9{}^{\circ}$. (b) $\lambda_o = \arctan(\tfrac12\tan(-60{}^{\circ})) = -40.9{}^{\circ}$. $R = 30.0 - 15.9 = 14.1{}^{\circ}$: een rotatie van het blok met de klok mee rond een verticale as. $P = \lambda_x - \lambda_o = -51.4 + 40.9 = -10.5{}^{\circ}$: de formatie lag $10.5{}^{\circ}$ verder naar het noorden dan de stabiele plaat aangeeft dat ze zou moeten, dus het blok is sindsdien ongeveer $10.5{}^{\circ}$ verschoven, zo’n $1170\,\mathrm{km}$ naar het zuiden ten opzichte van de plaat.

Oefening 4.12 ★★★

(a) Toon uit Propositie 4.13 aan dat de kans dat een richting binnen $\theta$ van het gemiddelde ligt, is gelijk aan $(e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta})/(e^\kappa - e^{-\kappa})$. (b) Toon voor grote $\kappa$ en kleine $\theta$ aan dat dit ongeveer $1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$ is, en leid af dat $63\,\%$ van de richtingen binnen $\theta_{63} \approx 81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$ ligt. (c) Bereken $\theta_{63}$ voor $\kappa = 50$, en controleer de $63\,\%$ met de exacte formule.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

(a) Met $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta'\,\mathrm d\theta'$,

$$\int_0^\theta\frac{\kappa e^{\kappa\cos\theta'}}{4\pi\sinh\kappa}\,2\pi\sin\theta'\, \mathrm d\theta' = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{2\sinh\kappa} = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{e^\kappa - e^{-\kappa}} .$$

(b) Voor grote $\kappa$ is $e^{-\kappa}$ verwaarloosbaar; delen door $e^\kappa$ levert $1 - e^{-\kappa(1 - \cos\theta)} \approx 1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$. Dit is gelijk aan $1 - e^{-1} = 63\,\%$ wanneer $\kappa\theta^2/2 = 1$, $\theta = \sqrt{2/\kappa}$ radialen, oftewel $81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) $81/\sqrt{50} = 11.5{}^{\circ}$; de exacte formule geeft $63.1\,\%$.

4.7 Probleem: De roodbedden van Kesta

Probleem 4.1

Weekendprobleem — drie formaties van een verplaatst terrein, hun richtingen, polen en rotaties, en de ouderdom van de jongste

Kesta is een verzonnen terrein, nu op $47.0{}^{\circ}$ NB, $15.0{}^{\circ}$ OL, aan de rand van een verzonnen stabiel continent. Het ontsluit drie roodbedformaties: A, $60\,\mathrm{Ma}$; B, $30\,\mathrm{Ma}$; C, van ongeveer 3.7 tot $2.4\,\mathrm{Ma}$. Elk werd op meerdere locaties bemonsterd, en elk specimen werd thermisch gedemagnetiseerd; de ChRM wordt gedragen door hematiet, en de formaties liggen horizontaal.

Deel I — Gemiddelde richtingen. De zes locaties van formatie A geven $(D, I)$: $(50{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(28{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(21{}^{\circ}, 42{}^{\circ})$, $(24{}^{\circ}, 27{}^{\circ})$, $(37{}^{\circ}, 39{}^{\circ})$, $(46{}^{\circ}, 38{}^{\circ})$.

1. Waarom kan een ChRM die door hematiet wordt gedragen in een roodbed jonger zijn dan de laag? Wat zou aantonen dat hij niet veel jonger is?
2. Bereken de eenheidsvector van de eerste richting.
3. De som van de zes eenheidsvectoren is $(3.8943, 2.6500, 3.5717)$. Bereken $R$ en de gemiddelde richting van formatie A.
4. Bereken $k$ en $\alpha_{95}$ voor formatie A.
5. Formatie B geeft, uit 7 locaties, $D = 23.9{}^{\circ}$, $I = 51.5{}^{\circ}$ en $R = 6.8979$; formatie C, uit 8 locaties, $D = 3.4{}^{\circ}$, $I = 63.7{}^{\circ}$ en $R = 7.8707$. Bereken $k$ en $\alpha_{95}$ van elk.
6. Welke formatie is het best gegroepeerd? Welk gemiddelde is het best bepaald?

Deel II — Paleobreedtes en polen.

7. Bereken de paleobreedtes van A, B en C.
8. Bereken voor formatie A de paleocolatitude $p$ en de breedtegraad van de virtuele geomagnetische pool.
9. Bereken de lengtegraad van die pool, en controleer welk geval uit Stelling 4.17 van toepassing is.
10. Bereken $\mathrm dp$ en $\mathrm dm$ voor de pool van A.
11. De polen van B en C liggen op $66.5{}^{\circ}$ NB, $135.6{}^{\circ}$ OL en $87.1{}^{\circ}$ NB, $139.1{}^{\circ}$ OL. Beschrijf het pad van de drie polen als functie van de ouderdom.

Deel III — De ouderdom van formatie C. In formatie C, vanaf de basis zijn de specimens omgekeerd tot $4.2\,\mathrm{m}$, normaal tot $14.8\,\mathrm{m}$, omgekeerd tot $19.7\,\mathrm{m}$, normaal tot $24.6\,\mathrm{m}$, omgekeerd tot $29.2\,\mathrm{m}$ en normaal tot $54.0\,\mathrm{m}$, daarna omgekeerd tot de top bij $64.0\,\mathrm{m}$. Een asslaag op $22\,\mathrm{m}$ is gedateerd op ongeveer $3.2\,\mathrm{Ma}$. De normale subchronen van polariteitschron C2An omvatten 3.596–3.330, 3.207–3.116 en 3.032–$2.581\,\mathrm{Ma}$.

12. Koppel de polariteitszones aan de tijdschaal, met behulp van de asslaag.
13. Bereken de accumulatiesnelheid tussen de eerste en de derde omkeringsgrens, en tussen de vierde en de zesde.
14. Schat de ouderdom van de basis en de top van de sectie.
15. Waarom is de snelheid een gemiddelde over honderdduizenden jaren, en wat zou haar kunnen doen veranderen?

Deel IV — Tegen het stabiele continent, en de drift. De referentiepolen van het stabiele continent liggen op $78.0{}^{\circ}$ NB, $190.0{}^{\circ}$ OL ($A_{95} = 3.0{}^{\circ}$) bij $60\,\mathrm{Ma}$; $83.5{}^{\circ}$ NB, $175.0{}^{\circ}$ OL ($2.5{}^{\circ}$) bij $30\,\mathrm{Ma}$; en $87.5{}^{\circ}$ NB, $150.0{}^{\circ}$ OL ($2.0{}^{\circ}$) bij $4\,\mathrm{Ma}$.

16. Bereken de hoekafstand van Kesta tot de referentiepool van $60\,\mathrm{Ma}$, en de verwachte inclinatie en paleobreedte.
17. Bereken de verwachte declinatie bij $60\,\mathrm{Ma}$.
18. De verwachte richtingen bij 30 en $4\,\mathrm{Ma}$ zijn $(2.9{}^{\circ}, 60.0{}^{\circ})$ en $(2.5{}^{\circ}, 63.6{}^{\circ})$. Bereken de poolwaartse verschuiving $P$ van A, B en C.
19. Bereken de rotatie $R$ van A, B en C.
20. Bereken de fouten $\Delta D_o$ en $\Delta D_x$ voor A, en de fout van de rotatie.
21. De fouten van $R$ voor B en C zijn $13.8{}^{\circ}$ en $17.9{}^{\circ}$. Welke rotaties zijn significant op 95 procent?
22. Beschrijf de geschiedenis van Kesta ten opzichte van het stabiele continent.
23. Bereken de noordwaartse drift van Kesta sinds formatie A, ten opzichte van de rotatie-as, in graden en in kilometer ($111.19\,\mathrm{km}$ per graad).
24. Bereken de paleobreedtes die zijn toegestaan door $I \pm \alpha_{95}$ voor formatie A, en neem als één standaardafwijking de halve breedte van dat interval gedeeld door 1.96. Geef de noordwaartse drift van Kesta sinds formatie A, in kilometer, met de bijbehorende standaardafwijking.

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. Hematiet in een rode laag kan groeien uit ijzeroxiden en hydroxiden lang nadat het sediment is afgezet, waardoor een chemische remanente magnetisatie van die latere ouderdom ontstaat. Een positieve plooitest, als de lagen kort na de afzetting zijn geplooid, of een positieve omkeringstest over dicht bij elkaar liggende lagen van beide polariteiten zou aantonen dat de remanente magnetisatie vroeg is.

2. $(\cos37{}^{\circ}\cos50{}^{\circ}, \cos37{}^{\circ}\sin50{}^{\circ}, \sin37{}^{\circ}) = (0.5134, 0.6118, 0.6018)$.

3. $R = \sqrt{3.8943^2 + 2.6500^2 + 3.5717^2} = 5.9114$. $D = \arctan(2.6500/3.8943) = 34.2{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.5717/5.9114) = 37.2{}^{\circ}$.

4. $k = 5/(6 - 5.9114) = 56.5$. Met $20^{1/5} - 1 = 0.8206$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0886/5.9114)\times0.8206 = 0.98771$, $\alpha_{95} = 9.0{}^{\circ}$.

5. B: $k = 6/(7 - 6.8979) = 58.8$; $20^{1/6} - 1 = 0.6475$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1021/6.8979)\times0.6475 = 0.99042$, $\alpha_{95} = 7.9{}^{\circ}$. C: $k = 7/(8 - 7.8707) = 54.1$; $20^{1/7} - 1 = 0.5340$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1293/7.8707)\times0.5340 = 0.99123$, $\alpha_{95} = 7.6{}^{\circ}$.

6. B heeft de grootste $k$, de strakste groepering; C heeft de kleinste $\alpha_{95}$, het best bepaalde gemiddelde, omdat het de meeste vindplaatsen telt. De drie liggen dicht bij elkaar: alle drie formaties zijn goed gegroepeerd.

7. $\lambda_A = \arctan(\tfrac12\tan37.17{}^{\circ}) = 20.76{}^{\circ}$ N, $\lambda_B = 32.15{}^{\circ}$ N, $\lambda_C = 45.33{}^{\circ}$ N.

8. $p = 90 - 20.76 = 69.24{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin47{}^{\circ}\cos69.24{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\sin69.24{}^{\circ}\cos34.23{}^{\circ} = 0.2593 + 0.5272 = 0.7865$: $\lambda_p = 51.86{}^{\circ}$ N.

9. $\sin\beta = \sin69.24{}^{\circ}\sin34.23{}^{\circ}/\cos51.86{}^{\circ} = 0.8516$, $\beta = 58.40{}^{\circ}$. Omdat $\cos p = 0.3545 < \sin47{}^{\circ}\times 0.7865 = 0.5752$, geldt het tweede geval, $\cos\beta < 0$: $\varphi_p = 15.00 + 180 - 58.40 = 136.60{}^{\circ}$ O.

10. $\cos^2p = 0.1257$: $\mathrm dp = 4.50\times1.377 = 6.2{}^{\circ}$; $\mathrm dm = 8.99\times\sin69.24{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ} = 10.5{}^{\circ}$.

11. Van $51.9{}^{\circ}$ N bij $60\,\mathrm{Ma}$ naar $66.5{}^{\circ}$ N bij $30\,\mathrm{Ma}$ en $87.1{}^{\circ}$ N bij $4\,\mathrm{Ma}$, op bijna dezelfde meridiaan ($136{}^{\circ}$–$139{}^{\circ}$ O): een pad richting de geografische pool, binnen zijn kegel bereikt door de jongste formatie.

12. De aslaag, op $22\,\mathrm{m}$, ligt in de tweede normale zone, 19.7–$24.6\,\mathrm{m}$; met een ouderdom nabij $3.2\,\mathrm{Ma}$ is die zone C2An.2n (3.207–3.116). Dan is de zone 4.2–$14.8\,\mathrm{m}$ C2An.3n, de zone 29.2–$54.0\,\mathrm{m}$ C2An.1n, de omgekeerde basis hoort bij het chron onder C2An, en de omgekeerde top hoort bij het chron erboven.

13. $(19.7 - 4.2)/(3.596 - 3.207) = 15.5/0.389 = 39.8\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; $(54.0 - 24.6)/(3.116 - 2.581) = 29.4/0.535 = 55.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

14. Basis: $3.596 + 4.2/39.8 = 3.70\,\mathrm{Ma}$. Top: $2.581 - 10.0/55.0 = 2.40\,\mathrm{Ma}$.

15. Alleen omkeringsgrenzen worden gedateerd, een paar honderdduizend jaar uit elkaar; ertussen wordt de snelheid constant verondersteld. Een verandering van de subsidentie, van de sedimenttoevoer of van het klimaat, of een hiaat in de afzetting, zou haar veranderen, en een hiaat zou zelfs een korte zone kunnen wegnemen en de match misleiden.

16. $\cos p = \sin47{}^{\circ}\sin78{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\cos78{}^{\circ} \cos175{}^{\circ} = 0.7154 - 0.1413 = 0.5741$, $p = 54.96{}^{\circ}$. $\tan I_x = 2\cot p = 1.4023$, $I_x = 54.5{}^{\circ}$; $\lambda_x = 35.04{}^{\circ}$ N.

17. $\cos D_x = (\sin78{}^{\circ} - \sin47{}^{\circ}\times0.5741)/ (\cos47{}^{\circ}\sin54.96{}^{\circ}) = 0.99976$; de pool ligt oost van de meridiaan van de vindplaats ($\sin175{}^{\circ} > 0$), dus $D_x = 1.3{}^{\circ}$.

18. Verwachte paleobreedtes uit $I_x$ = $54.5{}^{\circ}$, $60.0{}^{\circ}$ en $63.6{}^{\circ}$: $35.03{}^{\circ}$, $40.89{}^{\circ}$ en $45.21{}^{\circ}$. $P_A = 35.03 - 20.76 = 14.3{}^{\circ}$, $P_B = 40.89 - 32.15 = 8.7{}^{\circ}$, $P_C = 45.21 - 45.33 = -0.1{}^{\circ}$.

19. $R_A = 34.2 - 1.3 = 32.9{}^{\circ}$, $R_B = 23.9 - 2.9 = 21.0{}^{\circ}$, $R_C = 3.4 - 2.5 = 0.9{}^{\circ}$, alle met de klok mee.

20. $\Delta D_o = \arcsin(\sin8.99{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ}) = 11.3{}^{\circ}$; $\Delta D_x = \arcsin(\sin3.0{}^{\circ}/\cos54.5{}^{\circ}) = 5.2{}^{\circ}$; $\Delta R_A = \sqrt{11.3^2 + 5.2^2} = 12.4{}^{\circ}$.

21. $R_A = 32.9{}^{\circ} \pm 12.4{}^{\circ}$ en $R_B = 21.0{}^{\circ} \pm 13.8{}^{\circ}$ zijn significant; $R_C = 0.9{}^{\circ} \pm 17.9{}^{\circ}$ is niet.

22. Zestig miljoen jaar geleden lag Kesta ongeveer $14{}^{\circ}$ breedtegraad ten zuiden van waar het stabiele continent het plaatst, en was het ongeveer $33{}^{\circ}$ tegen de klok in gedraaid ten opzichte van zijn huidige oriëntatie. Tegen $30\,\mathrm{Ma}$ was het $6{}^{\circ}$ van die $14{}^{\circ}$ naar het noorden opgeschoven en $12{}^{\circ}$ van die $33{}^{\circ}$ met de klok mee gedraaid; tegen $4\,\mathrm{Ma}$ had het zijn huidige plaats op het continent bereikt, zonder rotatie over. Het dreef langs de marge van het continent naar het noorden en draaide daarbij met de klok mee, en was tegen $4\,\mathrm{Ma}$ op zijn plaats.

23. $47.00 - 20.76 = 26.24{}^{\circ}$, oftewel $26.24\times111.19 = 2918\,\mathrm{km}$. Dit omvat de beweging van het stabiele continent zelf; ten opzichte daarvan heeft Kesta zich $P_A = 14.3{}^{\circ}$ verplaatst.

24. $I = 28.18{}^{\circ}$ en $46.16{}^{\circ}$ geven $\lambda = 15.00{}^{\circ}$ en $27.50{}^{\circ}$: een halve breedte van $6.25{}^{\circ}$, en één standaarddeviatie van $6.25/1.96 = 3.19{}^{\circ}$, oftewel $355\,\mathrm{km}$. Sinds formatie A is Kesta naar het noorden gedreven met $(2918 \pm 355)\,\mathrm{km}$.