6Mantelconvectie en plaatdrijvende krachten

De kust van Noord-Zweden stijgt ongeveer een centimeter per jaar uit de zee, tienduizend jaar nadat de ijskap die hem bedekte is weggesmolten; de kusten van de Hudsonbaai stijgen even snel. Niets duwt ze omhoog behalve de mantel, die langzaam terugstroomt onder de plek waar het ijs de bodem had ingedrukt. De snelheid waarmee de bodem terugveert, geeft de viscositeit van de mantel aan, en diezelfde viscositeit bepaalt hoe snel de mantel convecteert en de platen bewegen. Dit hoofdstuk vraagt waarom de vaste mantel toch convecteert, hoe snel hij moet stromen om de warmte van de Aarde te vervoeren, welke krachten de platen in beweging zetten en wat het herstel van de bodem zegt over de viscositeit van de mantel.

Wat je al weet

Viscositeit, de kruipende stroming van een viskeuze vloeistof (de Stokes-vergelijkingen $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$, $\nabla\cdot\mathbf u = 0$), de wet van Stokes voor een bol, het Reynoldsgetal en het drijfvermogen staan in de universitaire delen van de natuurkundeboeken. Mantelconvectie en isostatisch herstel kwamen aan bod in de schoolboeken (leerjaar 12), de rugduw en slabtrek in het deel van leerjaar 11. De thermische grenslaag, de thermische lithosfeer en de adiabaat van de mantel staan in Boek 3, in het hoofdstuk over de warmtehuishouding van de Aarde; hotspots, mantelpluimen en grote magmatische provincies in het hoofdstuk over hotspots. Het halfruimte-afkoelingsmodel staat in Hoofdstuk 5, de buiging van de lithosfeer in Hoofdstuk 3, seismische tomografie in Hoofdstuk 1.

6.1 Waarom de mantel convecteert

De mantel is vast: hij laat S-golven door. Over miljoenen jaren echter kruipt hij als een vloeistof met een enorme viscositeit, en een laag vloeistof die van onderen wordt verwarmd en van boven gekoeld, kan in rust blijven, waarbij de warmte door geleiding wordt afgevoerd, of omslaan. Een klomp warme vloeistof met een grootte van $d$, lichter dan zijn omgeving met $\rho\alpha\,\Delta T$, stijgt met een snelheid van de orde $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$; hij verliest zijn warmte door diffusie in een tijd van de orde $d^2/\kappa$. Kan hij de laag oversteken voordat hij is afgekoeld, dan slaat de laag om.

Definitie 6.1 (Rayleighgetal)

Voor een vloeistoflaag met dikte $d$, dichtheid $\rho$, thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha$, thermische diffusiviteit $\kappa$ en viscositeit $\eta$, onder invloed van de zwaartekracht $g$, met een temperatuurverschil $\Delta T$ tussen de onderkant en de bovenkant, is het Rayleighgetal gelijk aan

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

de verhouding van de diffusietijd $d^2/\kappa$ tot de drijvende stijgtijd $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$.

Definitie 6.2 (Kritisch Rayleighgetal)

Het kritisch Rayleighgetal $\mathrm{Ra}_c$ van een laag is de waarde van het Rayleighgetal waarboven een kleine verstoring van de rusttoestand uitgroeit tot convectie, en beneden die waarde ze wegsterft.

Propositie 6.3 (Het ontstaan van convectie)

Voor een laag waarvan de boven- en onderkant vrij zijn van schuifspanning en op vaste temperaturen worden gehouden, groeit een verstoring met horizontaal golfgetal $k$ (in eenheden van $1/d$) wanneer $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$. Het minimum van het rechterlid bij $k = \pi/\sqrt2$, levert

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

en de eerste cellen die verschijnen zijn $2\sqrt2\,d$ breed. Tussen starre randen, $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$.

De lineaire stabiliteitsanalyse erachter, een verstoring van de warmtevergelijking en de Stokes-vergelijkingen rond de conductieve toestand, staat in de behandeling van convectie in de natuurkundeboeken; oefening 11 controleert het minimum.

De figuur hieronder toont de convecterende laag. De waarden voor de mantel, met de diepte van de kern-mantelgrens, $d = 2891\,\mathrm{km}$, de gemiddelde dichtheid van de mantel, $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en $g$ tussen 9.8 en $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, alle ontleend aan het seismische aardmodel PREM; $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ uit het plaatmodel van Hoofdstuk 5; $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; en $\eta$ tussen $10^{21}$ en $10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (zie Sectie 6.5), geven $\mathrm{Ra}$ tussen $4.9 \times 10^{6}$ en $4.9 \times 10^{7}$, ongeveer zevenduizend tot zeventigduizend keer de kritische waarde. De mantel kan niet anders dan convecteren.

De mantel wordt ook verwarmd van binnenuit, door het verval van radioactieve elementen, en van onderen, door de kern. Een laag die alleen van binnenuit wordt verwarmd, heeft geen hete grenslaag aan haar basis: de stroming wordt aangedreven door koude platen die vanaf de bovenkant zinken, terwijl de opstijgende stroming een brede, passieve terugstroom is. Slabs zijn zulke platen, en pluimen hebben de warmte van de kern nodig.

6.2 Grenslagen en de sterkte van de convectie

Definitie 6.4 (Nusseltgetal)

Het Nusseltgetal van een convecterende laag is de warmtestroom erdoor gedeeld door de warmtestroom die geleiding alleen over dezelfde laag zou transporteren, $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$.

Stelling 6.5 (Grenslaagschaling van convectie)

In een laag die convecteert bij $\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$, als elke thermische grenslaag groeit tot haar eigen Rayleighgetal, opgebouwd met haar dikte $\delta$ en het temperatuurverschil $\Delta T/2$ erover, bereikt $\mathrm{Ra}_c$, dan geldt

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

waarbij $u$ de snelheidsschaal van de stroming is, gedefinieerd door te eisen dat de laag groeit tot $\delta$ terwijl de vloeistof de cel doorkruist. Dit is de grenslaagschaling van convectie.

De warmtestroom groeit alleen als de derdemachtswortel van $\mathrm{Ra}$: een honderd keer lagere viscositeit geeft minder dan vijf keer zoveel warmte. Met de $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$ van de mantel geeft de schaling $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} \approx 17$, een warmtestroom van $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ met $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, en $u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (figuur hieronder). De grenslaag is even dik als de oceanische plaat van Hoofdstuk 5, $95\,\mathrm{km}$; de quadratisch gemiddelde snelheden van de huidige platen lopen van $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (Zuid-Amerika) tot $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (Cocos), $4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ voor de hele lithosfeer. De gemiddelde warmtestroom van de Aarde, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, is drie tot vier keer die van de schaling: de warmte die in de mantel zelf wordt geproduceerd, die een laag die van onderen wordt verwarmd weglaat, en de constanten van de orde één die de schaling negeert, dragen beide bij. Voor een wet met één invoer kloppen de ordes van grootte: platen zijn de bovenste grenslaag van een mantel met $\mathrm{Ra} \sim 10^7$.

6.3 De krachten op een plaat

Een plaat beweegt met een stationaire snelheid: de krachten erop heffen elkaar op. Drie krachten drijven haar aan of werken haar tegen, aan haar randen en aan haar basis (figuur hieronder). De kracht die de zinkende slab op haar plaat uitoefent, slabtrek, komt voort uit het overschot aan dichtheid van een koude slab in de warmere mantel. Rugduw, de duw van de hoge, hete rug op de koelere plaat ernaast, volgt uit het halfruimtemodel van Hoofdstuk 5.

Propositie 6.6 (Rugduwkracht)

In het halfruimte-afkoelingsmodel, met manteltemperatuur $T_m$, oppervlaktetemperatuur $T_0$ en isostatische compensatie, de horizontale kracht per eenheid van rug die de kolom bij de rug op de plaat van ouderdom $t$ uitoefent, de rugduwkracht, is

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

Rugduw neemt lineair toe met de ouderdom: het is geen duw aan de as maar een drukgradiënt die over de hele afkoelende plaat is verdeeld. Met de waarden van Hoofdstuk 5, de term tussen haakjes is 1.04 en $F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ bij $100\,\mathrm{Myr}$. In het plaatmodel houdt ze op met groeien met de diepte, op ongeveer $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ (figuur hieronder). Slabtrek is groter: een slab van $95\,\mathrm{km}$ dikte, gemiddeld $(T_m - T_0)/2$ kouder dan de mantel, en dus dichter met $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, die tot $670\,\mathrm{km}$ diep hangt, weegt $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ meer dan de mantel die hij verplaatst, twaalf keer de rugduw. Een groot deel van dat gewicht gaat op aan de viskeuze mantel die het zinken van de slab tegenwerkt, en slechts een deel bereikt de plaat.

Definitie 6.7 (Basale weerstand)

Basale weerstand is de schuifkracht per oppervlakte-eenheid die de mantel onder een plaat uitoefent op de basis van de plaat. Voor een plaat die met $u$ beweegt over een laag met dikte $h$ en viscositeit $\eta$ waarvan de basis stilstaat, bedraagt de weerstand $\eta u/h$, tegengesteld aan de beweging; zij drijft de plaat aan waar de mantel eronder sneller beweegt dan de plaat.

Welke krachten ertoe doen, valt af te lezen aan de platen zelf. De koppelbalans op elke plaat, aangepast aan de plaatbewegingen, zegt dat de krachten die op de zinkende slab werken de snelheid van oceanische platen bepalen en ongeveer tien keer sterker zijn dan alle andere, en dat de weerstand aan de basis groter is onder continenten dan onder oceanen. De snelheden stemmen overeen: de snelste platen, Cocos met $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, Nazca met 70 en de Pacifische plaat met $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, zijn oceanische platen waarvan de randen in lange greppels zinken; de traagste dragen grote continenten, Eurazië met 23, Noord-Amerika met 20, Zuid-Amerika met $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

6.4 Pluimen

Warme platen die van de basis van de mantel opstijgen, verzamelen zich tot kolommen: de mantelpluimen uit Boek 3, met een grote kop en een dunne staart (figuur hieronder). De opwelling van een hotspot, een brede verhoging van de zeebodem rond en stroomafwaarts van de vulkanen, meet hoeveel drijfvermogen de pluim aanvoert.

Definitie 6.8 (Drijfvermogenflux van de pluim)

De drijfvermogenflux van de pluim $B$ is het massatekort, ten opzichte van de omringende mantel, dat een pluim per tijdseenheid omhoog voert; voor een pluim met volumeflux $Q_v$ en temperatuuroverschot $\Delta T$, geldt $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$.

Propositie 6.9 (Drijfvermogenflux uit een opwelling)

Als een plaat die met snelheid $u$ over een pluim beweegt, een opwelling met dwarsdoorsnede $A$ dwars op het spoor meevoert, die isostatisch wordt gedragen door het pluimmateriaal eronder, dan is de drijfvermogenflux van de pluim

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

Uit de dwarsdoorsneden van de opwellingen varieert de drijfvermogenflux van hotspots over een factor twintig: Hawaï, de grootste, $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; IJsland $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; 37 hotspots samen ongeveer $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$. Elke kilogram drijfvermogen komt overeen met $c_p/\alpha$ joule overtollige warmte, dus de warmtestroom is $c_pB/\alpha$; met $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, dragen de 37 hotspots ongeveer $1.9\,\mathrm{TW}$, of $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ verdeeld over het aardoppervlak van $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, dicht bij de $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ gepubliceerd bij de fluxen: enkele procenten van de $47\,\mathrm{TW}$ die de Aarde verliest. Pluimen zijn de kleine partner van het warmtebudget; de platen dragen de rest.

Een pluimkop is een bol van drijvende mantel die door de viskeuze mantel omhoog stijgt: De Stokes-wet uit de natuurkunde, $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$, geeft de snelheid in grootteorde, een fractie van een meter per jaar voor een kop van enkele honderden kilometers in doorsnede (opgave 8), zodat ze de mantel in miljoenen jaren doorkruist.

6.5 Glaciaal-isostatische aanpassing en de mantelviscositeit

Definitie 6.10 (Glaciaal-isostatische aanpassing, mantelviscositeit)

glaciaal-isostatische aanpassing (GIA) is de langzame vervorming van de vaste Aarde, en de verandering van haar zwaartekrachtveld en van het zeeniveau, terwijl ze na het groeien of smelten van een ijskap terugkeert naar isostatisch evenwicht. De mantelviscositeit is de effectieve viscositeit $\eta$ die het langzame, gelijkmatige kruip van de mantel koppelt aan de spanningen die het aandrijven, over tijdschalen van duizenden jaren en langer.

Wanneer een ijskap smelt, is de inzinking die hij achterlaat uit isostatisch evenwicht: eronder is de druk in de mantel lager dan eromheen, en stroomt mantelmateriaal toe om de bodem weer op te tillen. Vandaag stijgt de kust van de Botnische Golf met maximaal $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, bij Umeå; de Hudsonbaai met ongeveer $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, waar het ijs het dikst was, terwijl het land ten zuiden van de Grote Meren daalt met 1 tot $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, doordat de bult die het ijs eromheen had opgestuwd daalt. Aan de kusten staan oude strandlijnen nu boven de zee, de opgeheven stranden van het veldkader hieronder.

Stelling 6.11 (Relaxatie van een viskeuze halfruimte)

Een inzinking $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ van het oppervlak van een halfruimte met uniforme viscositeit $\eta$ en dichtheid $\rho$, zonder belasting achtergelaten, vervalt volgens $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ met

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

Definitie 6.12 (Isostatische relaxatietijd)

De isostatische relaxatietijd $\tau$ van een belasting met horizontale schaal $\lambda$ is de tijd waarin de afwijking van het isostatisch evenwicht met een factor $e$ afneemt.

Een uniforme halfruimte herstelt brede inzakkingen sneller dan smalle, en de stroming onder een belasting met golflengte $\lambda$ neemt met de diepte af als $e^{-kz}$, over een diepte van $\lambda/2\pi$: een grote ijskap roert de mantel diep om, een klein meer alleen de bovenkant. Voor een inzakking van $3000\,\mathrm{km}$ breed en $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, met $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\tau = 4.1\,\mathrm{kyr}$ (figuur hieronder): na tienduizend jaar is $e^{-2.4} = 9\,\%$ van de inzakking over, en omdat $\dot w = -w/\tau$, betekent een opheffing van $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ dat nog ongeveer $40\,\mathrm{m}$ stijging te gaan is.

De echte mantel is niet uniform, en zijn herstel wordt geanalyseerd met modellen die hem in lagen verdelen en een elastische lithosfeer toevoegen, die smalle belastingen door buiging ondersteunt. De eerste schatting, uit het herstel van Fennoscandië, gaf $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, en het verval van de opheffing bij de Angermanrivier in Zweden en bij Richmond Gulf aan de Hudsonbaai geeft een gemiddelde van 0.65 tot $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, van de basis van de lithosfeer tot ongeveer $1400\,\mathrm{km}$ diep, waarbij de bovenmantel ongeveer tien keer minder viskeus is dan de ondermantel. Inversies van de GNSS-opheffingssnelheden van Fennoscandië geven bovenmantelviscositeiten van $5 \times 10^{20}$ tot $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in de ene studie en $3.4 \times 10^{20}$ tot $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in een andere, ondermantelviscositeiten van $5 \times 10^{21}$ tot $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, en een lithosfeer van 93 tot $110\,\mathrm{km}$ dik. De schattingen verschillen een factor twee of drie, maar ze zijn het eens over de orde van grootte en over de toename met de diepte.

Definitie 6.13 (Maxwelltijd)

De Maxwelltijd van een materiaal met viscositeit $\eta$ en afschuifmodulus $\mu$ is $\tau_M = \eta/\mu$: een belasting die veel korter dan $\tau_M$ duurt, treft een elastische vaste stof; een belasting die veel langer duurt, een viskeuze vloeistof.

Met $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ op $300\,\mathrm{km}$ in PREM en $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ volgt $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, ongeveer vierhonderd jaar. Een seismische golf, die seconden duurt, doorkruist een elastische mantel; een ijstijd en convectie vervormen een vloeistof. Hetzelfde gesteente is beide, afhankelijk van hoe lang het wordt belast.

In het veld — Opgeheven stranden

Aan de kusten van voorheen geglaciaalde landen vindt een geomorfoloog het oude werk van de zee landinwaarts gestrand: ruggen van afgeronde kiezels, inkepingen en vlakke platforms, door golven uitgesneden, nu boven het bereik van het hoogste getij van vandaag, soms in een trap van meerdere niveaus. Elk niveau was een kustlijn toen de zee daar stond; het land is sindsdien omhooggekomen. Schelpen en drijfhout in de oude stranden worden met radiokoolstof gedateerd, en de hoogtes van de gedateerde niveaus, geëgaliseerd ten opzichte van een referentiepunt, geven de opheffing in de tijd. Langs een kust gevolgd, blijkt een oude kustlijn te hellen, het hoogst waar het ijs het dikst was: de helling brengt de vorm van het herstel in kaart.

6.6 Convectie over de hele mantel en de diepe structuur ervan

Convecteert de mantel als één laag, of als twee, boven en onder de discontinuïteit bij $670\,\mathrm{km}$? Tomografie (zie Hoofdstuk 1) geeft gedeeltelijk antwoord: sommige slabs vlakken af boven de discontinuïteit, andere zinken erdoor de onderste mantel in, zodat massa de grens oversteekt en de twee lagen niet van elkaar afgesloten. De toename van de viscositeit met de diepte laat de onderste mantel trager stromen, en slabs vertragen en worden dikker bij het binnenkomen.

Aan de basis van de mantel toont tomografie twee brede gebieden met lage S-golfsnelheid, onder Afrika en onder de Stille Oceaan, de grote provincies met lage S-golfsnelheid (LLSVP’s). Ze zijn waarschijnlijk chemisch verschillend van de mantel erboven en dichter, eerder hopen dan hete pluimen. De grote magmatische provincies en kimberlieten van de afgelopen paar honderd miljoen jaar barstten vooral uit boven hun randen, alsof pluimen opstegen aan de randen van de hopen, waar de hete thermische grenslaag aan de basis van de mantel wordt er tegenaan geveegd.

6.7 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Bereken het Rayleighgetal van een bovenmantellaag van $670\,\mathrm{km}$ dik met $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Hoeveel keer is het kritisch, bij vrijglijdende randen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$, ongeveer 950 keer het kritisch Rayleighgetal 657.5: de laag convecteert krachtig.

Oefening 6.2 ★

Bereken de Maxwelltijd van een mantel met viscositeit $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en schuifmodulus $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, in jaren. Reageert de mantel elastisch of viscoos op het tweemaal per dag optredende aardgetij, op het smelten van een ijskap, en op het zinken van een slab?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, ongeveer $412\,\mathrm{yr}$. Het getij, dat uren duurt, treft een elastische mantel; het smelten van een ijskap, over duizenden jaren, en het zinken van een slab, over miljoenen, treffen een viskeuze mantel.

Oefening 6.3 ★

Met $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, bereken de relaxatietijd van een uniforme halfruimte voor belastingen met golflengte 1000 en $3000\,\mathrm{km}$. Welke herstelt sneller?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$: $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $12.3\,\mathrm{kyr}$ voor $1000\,\mathrm{km}$, en $4.1\,\mathrm{kyr}$ voor $3000\,\mathrm{km}$. De bredere belasting herstelt sneller.

Oefening 6.4 ★

Met $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, bereken de rugduwkracht bij $50\,\mathrm{Myr}$. Hoeveel keer kleiner is het dan een slabtrek van $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$; de factor tussen haakjes is $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$, zodat $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, 24 keer kleiner dan de slabtrek.

Oefening 6.5 ★★

Een klomp mantelmateriaal van $10\,\mathrm{km}$ breed, $300\,\mathrm{K}$ warmer dan zijn omgeving, stijgt met de snelheid $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ (neem $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$). (a) Bereken zijn stijgtijd over zijn eigen grootte en zijn diffusietijd $d^2/\kappa$, en toon aan dat hun verhouding zijn Rayleighgetal is. (b) Stijgt hij of koelt hij eerst af? (c) Hoe groot moet hij zijn opdat zijn Rayleighgetal 657.5 bereikt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

(a) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; de stijgtijd over $10\,\mathrm{km}$ is $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, $10.9\,\mathrm{Myr}$, de diffusietijd $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$, $3.2\,\mathrm{Myr}$. Hun verhouding is $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$. (b) Het koelt eerst af: kleine blobs convecteren niet. (c) $\mathrm{Ra} \propto d^3$, dus $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$.

Oefening 6.6 ★★

Voor een laag met een diepte van $2891\,\mathrm{km}$ bij $\mathrm{Ra} = 10^{7}$, met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ en $\mathrm{Ra}_c = 657.5$, bereken de grenslaagdikte, het Nusseltgetal, de snelheidsschaal in $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ en de warmtestroom.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ en $\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$, waarvan de derdemachtswortel is 19.66. $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, en $q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Oefening 6.7 ★★

Een verzonnen hotspotzwelling heeft een dwarsdoorsnede van $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ over hotspotspoor, en de plaat erboven beweegt met $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$. Met $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, bereken de drijfvermogenflux en de warmtestroom met $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. Welk deel van de $46.7\,\mathrm{TW}$ van de Aarde is het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$, ongeveer drie vijfde van die van Hawaï. De warmtestroom is $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$, $0.2\,\mathrm{TW}$, of $0.42\,\%$ van het warmteverlies van de Aarde.

Oefening 6.8 ★★

Een pluimkop met een straal van $400\,\mathrm{km}$, lichter dan de mantel met $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, stijgt door een mantel met viscositeit $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Met de wet van Stokes, bereken zijn snelheid in $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$ en de tijd die nodig is om $2000\,\mathrm{km}$ te stijgen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$; $2000\,\mathrm{km}$ nemen $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, ongeveer $6\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 6.9 ★★

Een gebied werd met $300\,\mathrm{m}$ neergedrukt toen zijn ijskap smolt, $10\,\mathrm{kyr}$ geleden, en relaxeert met $\tau = 4.4\,\mathrm{kyr}$. Bereken de resterende indrukking vandaag en de huidige opheffingssnelheid. Vergelijk met de $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ gemeten nabij Umeå.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ en $\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, twee derde van de nabij Umeå gemeten snelheid: een uniforme halfruimte met deze $\tau$ ligt in het juiste bereik, maar het echte herstel is sneller of de indeuking dieper.

Oefening 6.10 ★★★

(a) Toon aan de hand van de uitdrukking voor $F_{rp}$ in het bewijs van Propositie 6.6, toon aan dat de eerste term, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$, is de tweede term tussen de haken. (b) Toon aan dat $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$, door partieel te integreren. (c) Bereken met de waarden van oefening 4 de twee termen bij $100\,\mathrm{Myr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

(a) Met $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$,

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(b) Door partiële integratie, $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$. (c) Op $100\,\mathrm{Myr}$, $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ en, met $w = 3705\,\mathrm{m}$, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$: de waterterm is slechts $4\,\%$ van de kracht.

Oefening 6.11 ★★★

Toon aan dat $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ het kleinst is bij $k = \pi/\sqrt2$, waar het gelijk is aan $27\pi^4/4$. Leid af de breedte van een paar convectiecellen bij het ontstaan, in eenheden van $d$, en de breedte van één cel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$, waarvan de afgeleide $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ verdwijnt wanneer $3k^2 = \pi^2 + k^2$, $k^2 = \pi^2/2$. Daar $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$. De golflengte $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ omvat een paar tegengesteld draaiende cellen, elk $\sqrt2\,d = 1.41\,d$ breed.

Oefening 6.12 ★★★

Een plaat met een lengte van $6000\,\mathrm{km}$ beweegt met $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ over een mantellaag van $150\,\mathrm{km}$ dik, met viscositeit $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, waarvan de basis in rust is. (a) Bereken de basale weerstand in $\mathrm{MPa}$ en de weerstandskracht per eenheid van lengte van de plaat. (b) Vergelijk met een rugduw van $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ en een slabtrek van $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (c) Als één tiende van de slabtrek de plaat bereikt, bij welke snelheid houdt de weerstand de aandrijvende krachten in evenwicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

(a) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$, en over $6000\,\mathrm{km}$, $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) Twee keer de rugduw en een zesde van de slabtrek: de basale weerstand kan alleen de rugduw weerstaan, maar niet de slab. (c) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ geeft $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, de snelheid van de snelle oceanische platen.

6.8 Probleem: Herstel van Lake Ardo

Probleem 6.1

Weekendprobleem — het isostatisch herstel van een verzonnen meerbekken, de viscositeit van de mantel eronder, en de convectie die die viscositeit toelaat

Lake Ardo, een verzonnen meer, vulde een bekken van $250\,\mathrm{km}$ breed, afgedamd door een ijskap, en stond $300\,\mathrm{m}$ diep gedurende ongeveer vijftigduizend jaar. Veertienduizend jaar geleden brak de ijsdam door en liep het meer binnen enkele weken leeg. Haar hoogste strandlijn, die bij het ontstaan horizontaal lag, is nu scheef; gedateerde strandlijnen van de kleine meren die in het bekken zijn overgebleven, geven de opheffing van het centrum sinds de afvoer, ten opzichte van de rand, die nauwelijks bewoog:

tijd sinds de afvoer (kyr)	1	2	4	6	9	14
opheffing van het centrum (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

Neem $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, en behandel de mantel als een uniforme viskeuze halfruimte.

Deel I — De belasting.

1. Bereken de druk van het meer op de bodem.
2. Bereken de indrukking van de bodem bij isostatisch evenwicht, en verklaar waarom de dichtheid van de mantel, en niet die van de korst, erin voorkomt.
3. Behandel het meer als een schijf en bereken de massa van het water.
4. Verklaar waarom de hoogste strandlijn nu scheef ligt, en bereken de gemiddelde helling van de rand naar het centrum, in meter per kilometer.
5. De indrukking wordt behandeld als één harmonische, waarvan de ingedrukte helft, van $-\lambda/4$ tot $\lambda/4$, het meer overspant. Geef $\lambda$ en $k = 2\pi/\lambda$.
6. Over welke diepte neemt de stroming onder zo’n belasting af met een factor $e$?

Deel II — De relaxatietijd.

7. Neem aan dat het meer evenwicht had bereikt, en bereken de indrukking die op elk tijdstip uit de tabel overblijft.
8. Toon aan dat, als de indrukking exponentieel vervalt, haar logaritme lineair met de tijd daalt.
9. Bereken $\tau$ uit de tijdstippen 1 en $14\,\mathrm{kyr}$.
10. Voorspel de opheffing op $6\,\mathrm{kyr}$ met die $\tau$ en vergelijk met de tabel.
11. Bereken de indrukking die vandaag overblijft en de huidige opheffingssnelheid van het centrum, in $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
12. Hoeveel opheffing volgt er nog?
13. Hoeveel jaar nog duurt het voordat de opheffingssnelheid onder $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ zakt?

Deel III — De viscositeit.

14. Bereken de viscositeit van de halfruimte uit $\tau$.
15. Vergelijk die met de viscositeiten van de bovenmantel van $3.4 \times 10^{20}$ tot $1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, die onder Fennoscandië zijn gevonden. Welk deel van de mantel bemonstert het herstel van Lake Ardo?
16. Bereken met die viscositeit de relaxatietijd van een belasting met een golflengte van $3000\,\mathrm{km}$. Waarom zou een echte ijskap van die grootte langzamer ontspannen dan hier?
17. Wat doet een elastische lithosfeer, hier buiten beschouwing gelaten, met het herstel van een belasting van slechts $250\,\mathrm{km}$ breed?
18. Bereken de Maxwelltijd van de mantel met $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, en verklaar of een viskeus model gerechtvaardigd was.
19. Controleer de aanname van vraag 7: welk deel van de evenwichtsindrukking werd bereikt terwijl het meer bestond?
20. Hoeveel zou $\log_{10}\eta$ veranderen als $\lambda$ gelijk wordt gesteld aan $250\,\mathrm{km}$?

Deel IV — Convectie. Neem een bovenmantellaag $670\,\mathrm{km}$ diep met $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en de viscositeit van Deel III.

21. Bereken het Rayleighgetal van de laag.
22. Hoeveel keer de kritische waarde is dat ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$)?
23. Bereken de dikte van de grenslaag en het Nusseltgetal.
24. Bereken de snelheidsschaal in $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ en vergelijk met de plaatsnelheden van 1 tot $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$.
25. Bereken de warmtestroom en geef twee redenen waarom die achterblijft bij het gemiddelde van de Aarde, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
26. Geef de viscositeit van de bovenmantel onder Lake Ardo als $\log_{10}$ van $\eta$ in $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$.

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$. De korst zakt als een blok omlaag; wat onder de belasting wegstroomt en weer terugkeert, is de mantel, dus de kolom wordt gecompenseerd door op diepte verplaatste mantel.

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$, en het water weegt $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

4. De kustlijn vormde zich horizontaal, toen de bodem het diepst was ingedrukt in het midden; sindsdien is het midden meer omhooggekomen dan de rand, zodat de lijn nu naar het midden oploopt, met $77.2\,\mathrm{m}$ over $125\,\mathrm{km}$: $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$.

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$, dus $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ en $k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$.

7. $w = 90.9 - \text{opheffing}$: 79.4, 69.3, 52.9, 40.4, 26.9 en $13.7\,\mathrm{m}$.

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ geeft $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$, een rechte lijn met helling $-1/\tau$.

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{kyr}$.

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$, een opheffing van $50.5\,\mathrm{m}$, zoals in de tabel.

11. $13.7\,\mathrm{m}$ blijven over; $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

12. De volledige $13.7\,\mathrm{m}$, steeds langzamer benaderd.

13. De snelheid daalt als $e^{-t/\tau}$: $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{kyr}$, ruim 9700 jaar extra.

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, en $\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

15. Net onder het onderste eind van het Fennoscandische bereik. De stroming onder een belasting met een golflengte van $500\,\mathrm{km}$ vervalt over $80\,\mathrm{km}$: het herstel bemonstert de ondiepste, zwakste mantel, onder en deels binnen wat in de werkelijke Aarde de lithosfeer is.

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{kyr}$. Onder een belasting zo breed reikt de stroming tot $477\,\mathrm{km}$ en dieper, naar een onderste mantel die tien keer viskeuzer is, wat haar vertraagt.

17. De lithosfeer draagt een deel van een smalle belasting door buiging: de insinking bij evenwicht is ondieper en breder dan de isostatische $90.9\,\mathrm{m}$, en een deel van het herstel is elastisch en onmiddellijk. Een uniforme viskeuze halfruimte, aangepast aan de opheffing geeft dan een viscositeit die beide effecten vermengt.

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, ongeveer $124\,\mathrm{yr}$, zestig keer korter dan $\tau$: over duizenden jaren reageert de mantel als een viskeuze vloeistof.

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$: $99.9\,\%$ van de insinking bij evenwicht was bereikt, en de aanname klopt.

20. $\eta \propto \lambda$: halveren van $\lambda$ halveert $\eta$, en $\log_{10}\eta$ daalt met $\log_{10}2 = 0.30$.

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$.

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ keer de kritische waarde.

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$: $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ en $\mathrm{Nu} = 5.4$.

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, twee tot veertien keer trager dan de platen.

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. De laag laat de warmte weg die binnen de mantel wordt geproduceerd en de warmte uit de kern en de onderste mantel; en de schaling laat de constanten van orde één weg, terwijl de platen, die als halfruimten vanaf de ruggen afkoelen, op jonge zeebodem veel meer warmte kwijtraken dan een gemiddelde grenslaag zou doen.

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$.