31Veld- en laboratoriummethoden III

Een geofysische ploeg brengt een week door in het dal van de Varden Hills, de verzonnen streek waarvan de geologische kaart in het Boek 1 is getekend in het hoofdstuk over geologische kaarten. De kaart toont een graniet dat aan de zijkanten van het dal ontsluit, tussen de schisten, onder de zandsteen die op beide rust. Waar het graniet onder de bedekking verdwijnt, hoe ver het zich uitstrekt en hoe diep het reikt, heeft niemand ooit gezien. De ploeg draagt een gravimeter, twee magnetometers, een kabel met elektroden en een radar op een klein karretje. Geen van deze instrumenten ziet een gesteente: elk meet een veld aan het oppervlak—de zwaartekracht, het magnetisch veld, een elektrische potentiaal, de echo van een radiopuls—dat de gesteenten eronder verstoren. Aan het eind van de week kan de ploeg het graniet tekenen dat zij nooit heeft gezien, zeggen hoe diep het alluvium van de valleibodem is, en een magnetisch lichaam rapporteren dat op geen enkele kaart stond.

Dit hoofdstuk volgt die week. Het behandelt elke methode om beurt, als een meting met haar correcties en als een voorwaarts probleem met enkele lichamen waarvan het veld exact kan worden berekend; daarna legt het uit hoe de fouten van een onderzoek zich optellen en waarom één soort gegevens zelden een model vastlegt; en het eindigt met het Varden-onderzoek, waar de methoden samen worden gebracht.

Wat je al weet

De zwaartekrachtsanomalie, de vrije-luchtcorrectie en Bouguer-correctie en de vrije-luchtanomalie en Bouguer-anomalie en de normale zwaartekracht staan in het Boek 1, in het hoofdstuk over isostasie en zwaartekracht; de meetlus van een relatieve gravimeter wordt beschreven in Hoofdstuk 3. Het hoofdveld, de inclinatie, de dipoolformule en de International Geomagnetic Reference Field staan in Hoofdstuk 4. Soortelijke weerstand, de wet van Ohm, de relatieve permittiviteit, elektromagnetische golven, magnetisatie en magnetische susceptibiliteit staan in de natuurkundeboeken, en de wet van Gauss voor de zwaartekracht ermee. Seismische refractieonderzoeken staan in Hoofdstuk 2; voorwaartse en inverse problemen en gewogen kleinste kwadraten in Hoofdstuk 1; porositeit in de schoolboeken en boorgatlogs in Hoofdstuk 17. De voortplanting van onzekerheden staat in de scheikunde- en wiskundeboeken.

31.1 Zwaartekrachtonderzoeken

De anomalieën waarnaar een zwaartekrachtonderzoek zoekt, zijn klein. De zwaartekracht aan de evenaar bedraagt ongeveer $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; grote structuren veranderen haar met honderden milligal, een zoutkoepel met ongeveer tien, een ertslichaam met ongeveer één, en de doelen van een geotechnisch onderzoek met een paar honderdsten. Geofysici meten in milligal, of in zwaartekrachtseenheden van $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; een bruikbaar onderzoek moet verschillen van één deel op honderd miljoen van $g$ onderscheiden.

Definitie 31.1 (Relatieve gravimeter; instrumentele drift)

Een relatieve gravimeter is een instrument dat verschillen in zwaartekracht tussen stations meet: een massa aan een veer, op een nulpositie gehouden door een tweede, instelbare kracht waarvan de wijzerstand, vermenigvuldigd met een ijkconstante, de zwaartekracht geeft in milligal tot op een onbekende constante. Zijn instrumentele drift is de langzame verandering van zijn aflezing op een vast station, veroorzaakt door het kruipen van de veer, temperatuur en schokken; hij wordt gemeten door na een paar uur opnieuw een reeds gelezen station af te lezen, het basisstation.

Een veldgravimeter bestrijkt een bereik van enkele tienduizenden milligal en leest, op zijn best, af tot ongeveer $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; het bereik moet na transport opnieuw worden ingesteld. Bij die precisie weegt de hoogte van elk station even zwaar als de aflezing zelf: $3.3\,\mathrm{cm}$ hoogtefout bederft $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus de posities worden gemeten met satellietontvangers of met een waterpas tot op de centimeter. Het basisstation wordt om de paar uur opnieuw bezocht. De vaste-aardetij, die $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ kan bereiken, verandert over die uren zo langzaam dat hij met de drift kan worden verwijderd.

Methode 31.2 (Een zwaartekrachtlus reduceren)

Een lus begint en eindigt bij een basisstation, afgelezen op de tijdstippen $t_0$ en $t_1$.

1. Bereken de driftsnelheid $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ uit de twee basisaflezingen; zij bevat het getij.
2. Trek van elke aflezing de drift af die sinds $t_0$ is opgelopen, $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$, en trek de aflezing van het basisstation af: dit is de zwaartekracht ten opzichte van het basisstation.
3. Corrigeer voor de hoogte $\Delta h$ van het station boven het basisstation: tel de vrije-luchtcorrectie $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1} \times\Delta h$ op en trek de Bouguer-correctie $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ af (dichtheid $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$), dat wil zeggen, tel $0.1967\,\Delta h$ op.
4. Voor een station op een afstand $\Delta y$ noordelijk van het basisstation, trek de verandering van de normale zwaartekracht af, $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1} \times\sin 2\varphi\times\Delta y$.
5. Tel de terreincorrectie van elk station op.

De uitkomst is de Bouguer-anomalie ten opzichte van het basisstation. Door het basisstation te koppelen aan een station met bekende absolute zwaartekracht krijgt men de anomalie zelf.

De Bouguer-correctie behandelt het terrein tussen het station en het referentieniveau als een vlakke plaat. In echt reliëf is dit tweemaal fout: een heuvel die boven het station uitsteekt trekt naar boven en verlaagt de aflezing, en een vallei die onder het station daalt, wordt in de plaat meegerekend als gesteente dat er niet is.

Definitie 31.3 (Terreincorrectie)

De terreincorrectie van een zwaartekrachtstation is de aantrekking die de afwijkingen van het reliëf ten opzichte van de Bouguer-plaat op het station uitoefenen: de heuvels boven het niveau van het station en de dalen eronder, geteld met de dichtheid van de plaat. Beide verlagen de gemeten zwaartekracht ten opzichte van de plaat, daarom wordt de correctie altijd opgeteld.

Zij werd met de hand berekend, met een Hammer-grafiek en tabellen, zone voor zone vanaf het station naar buiten; tegenwoordig wordt zij berekend uit een digitaal hoogtemodel. Ver van steil reliëf overschrijdt zij zelden $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, maar de zones dicht bij het station zijn moeilijk goed te krijgen, en de correctie wordt zelden nauwkeuriger dan $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ bekend.

31.1.1 Anomalieën van eenvoudige lichamen

Het voorwaarts probleem van de zwaartekracht is een som: elk element van een lichaam met dichtheidscontrast $\Delta\rho$ trekt het station aan volgens de wet van Newton, en een meting meet de verticale component van de som. Enkele lichamen geven het in gesloten vorm.

Stelling 31.4 (Bol en horizontale cilinder)

Op een horizontale afstand $x$ van het punt boven het middelpunt van een begraven bol met overmassa $\Delta m$, waarvan het middelpunt op diepte $z$ ligt, geeft de anomalie:

$$\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,$$

en de anomalie zakt tot de helft van haar piek bij $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$, zodat $z = 1.305\,x_{1/2}$. Een lange horizontale cilinder met overmassa $\lambda$ per eenheid van lengte, met zijn as op diepte $z$, geeft dwars op de strekking

$$\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,$$

en $z = x_{1/2}$.

Een lichaam dat geen bol is, heeft toch een halve breedte, en de regel geeft dan de diepte van een equivalente bol, niet van het lichaam. De regel is een eerste schatting, gemaakt voordat er een model is aangepast.

Propositie 31.5 (Verticale cilinder op zijn as)

Een verticale cilinder met straal $a$ en dichtheidscontrast $\Delta\rho$, waarvan de bovenkant en onderkant op diepten $z_1 < z_2$ onder het station liggen, geeft op zijn as

$$\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .$$

Voor $a \to \infty$ is het de Bouguer-plaat $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$; voor een cilinder van het oppervlak tot grote diepte gaat hij naar $2\pi G\Delta\rho\,a$.

Propositie 31.6 (Overmassa uit een zwaartekrachtkaart)

Ongeacht de vorm van een lichaam dat volledig onder een horizontaal vlak ligt, is de overmassa

$$\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,$$

waarbij de integraal het hele vlak bestrijkt.

De stelling geeft de massa, nooit de vorm; en een kaart bestrijkt slechts een deel van het vlak, terwijl de anomalie van een diep lichaam langzaam afneemt, zodat de massa die uit een kaart volgt, te klein is tenzij de randen door een model worden verlengd.

31.1.2 Het Varden-graniet

Het model van de geologen voor het graniet is een elliptisch lichaam onder de discordantie, $760\,\mathrm{m}$ breed in oost–west-richting en $1120\,\mathrm{m}$ in noord–zuid-richting waar het de bedekking raakt, en het wordt naar beneden breder; aan de dalflanken komt het aan het oppervlak. Graniet is lichter dan schist: de gepubliceerde dichtheidsbereiken zijn $2.50\text{ tot }2.81$ en $2.39\text{ tot }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Het model van de meting neemt $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor het graniet en $2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor de schist, een contrast van $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en stopt het graniet op $1500\,\mathrm{m}$ onder zeeniveau, een aanname omdat niets de onderkant toont. Na opdeling in $5533$ rechte prisma’s waarvan de aantrekkingen een gesloten vorm hebben, geeft het model de anomalie van de kaart hierboven: een gesloten minimum van $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ boven het midden van het graniet, met contouren die noord–zuid langgerekt zijn, net als het lichaam.

31.2 Magnetische metingen

Het hoofdveld van de Aarde is ongeveer $25\,000\,\mathrm{nT}$ aan de magnetische evenaar en ongeveer $70\,000\,\mathrm{nT}$ nabij de magnetische polen. Gesteenten die magnetiet bevatten, voegen daar een eigen veld aan toe, geïnduceerd door het hoofdveld in verhouding tot hun susceptibiliteit, of remanent, meegenomen vanaf het moment waarop ze zijn gevormd. Een felsisch stollingsgesteente heeft een susceptibiliteit onder ongeveer $2 \times 10^{-3}$, een mafisch gesteente van ongeveer $2 \times 10^{-3}$ tot $0.4$; op dezelfde schaal geeft één procent magnetiet per volume ongeveer $0.03$.

Definitie 31.7 (Totaalveldanomalie; dagelijkse correctie; reductie naar de pool)

Laat $\mathbf{F}$ het hoofdveld op de meting zijn en $\Delta\mathbf{B}$ het veld van de gemagnetiseerde gesteenten.

• De totaalveldanomalie is de gemeten intensiteit minus die van het hoofdveld, $\Delta T = |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$; wanneer $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$ is het de projectie $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$.
• De dagelijkse correctie verwijdert de variaties van het veld in de tijd: een magnetometer op een vast basisstation registreert het veld gedurende de hele meting, en elke aflezing $T(t)$ van het bewegende instrument wordt vervangen door $T(t) - T_\mathrm{base}(t)$.
• De reductie naar de pool berekent uit de gemeten anomalie de anomalie die dezelfde gesteenten zouden geven als het hoofdveld verticaal was, zoals op een magnetische pool; de anomalie ligt dan recht boven de bron.

De variaties in de tijd komen van stromen in de ionosfeer, ongeveer $110\,\mathrm{km}$ hoog. Op één dag bedragen ze gewoonlijk ongeveer $20\text{ tot }50\,\mathrm{nT}$, evenveel als de anomalie van een klein doel; een magnetische storm kan het veld met duizenden nanotesla veranderen. Het basisstation meet de variatie, in de veronderstelling dat zij over de hele meting gelijk is. Het hoofdveld zelf, of het veld van structuren die groter zijn dan de meting, wordt verwijderd met de IGRF, een constante of een aangepaste trend.

Een protonprecessiemagnetometer meet de frequentie waarmee de protonspins in het veld precesseren, die evenredig is met het veld; hij leest af tot $1\,\mathrm{nT}$ en heeft meer dan een seconde nodig per aflezing. Een optisch gepompte cesiummagnetometer is tien tot honderd keer gevoeliger en leest af tot $0.01\,\mathrm{nT}$. De stations moeten dicht genoeg bij elkaar liggen om minstens ongeveer drie aflezingen over de halfbreedte van de smalste gezochte anomalie te krijgen, en hoe ondieper de bron, hoe dichter ze bij elkaar moeten liggen. moet zijn.

Propositie 31.8 (Anomalie van een dunne gang)

Een verticale gang met dikte $t$ en susceptibiliteit $\kappa$, lopend langs de magnetische meridiaan, met de bovenkant op diepte $z$ en zich ver naar beneden uitstrekkend, gemagnetiseerd door inductie in een hoofdveld $F$ met inclinatie $I$, geeft dwars op zijn strekking, als $t \ll z$,

$$\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,$$

een symmetrische anomalie die tot de helft van haar piek daalt bij $x = \pm z$: de diepte tot de bovenkant van de gang is de helft van de volle breedte van de anomalie op de helft van haar piek.

Wanneer de gang de meridiaan kruist, liggen de horizontale delen van de magnetisatie en van het hoofdveld beide in het vlak van het profiel, de zijvlakken dragen ladingen, en de anomalie wordt asymmetrisch, met een dal aan de kant van de pool. De figuur hieronder berekent haar exact voor een gang met eindige breedte, door de gesloten velden van de vier geladen vlakken op te tellen. De reductie naar de pool zet zo’n anomalie weer om in de symmetrische van een verticaal veld.

31.3 Elektrische methoden

De soortelijke weerstand varieert over een breder bereik dan elke andere eigenschap van gesteenten: onverweerde stollingsgesteenten en metamorfe gesteenten liggen tussen ongeveer $1000$ en $100\,000\,\Omega\mathrm{m}$, schalies tussen ongeveer $3$ en $30$, droog grind en zand tussen enkele honderden en tienduizend; zoet water ligt tussen ongeveer $1.5$ en $130\,\Omega\mathrm{m}$ en zout water onder één. Poriewater geleidt beter dan de meeste gesteentevormende mineralen, door zijn ionen, zodat de stroom vooral door de poriën loopt, en de porositeit, de verzadiging en het zoutgehalte van het water bepalen de soortelijke weerstand van een gesteente.

Stelling 31.9 (Puntbron op een homogene ondergrond)

Een stroom $I$ die in een punt van het oppervlak van een homogene ondergrond met soortelijke weerstand $\rho$ wordt ingebracht, geeft op afstand $r$ de potentiaal

$$V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .$$

Met twee stroomelektroden A ($+I$) en B ($-I$) en twee potentiaalelektroden M en N is het gemeten potentiaalverschil

$$\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM} - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .$$

Definitie 31.10 (Schijnbare soortelijke weerstand; elektrodeopstelling; verticale elektrische peiling; elektrische weerstandstomografie)

• De schijnbare soortelijke weerstand van een vierelektrodemeting is $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$, met de geometrische factor $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$: de soortelijke weerstand van de homogene grond die dezelfde meetwaarde zou geven.
• Een elektrodeopstelling is een voorschrift dat de vier elektroden plaatst: de Wenner-opstelling plaatst ze op gelijke afstand, $a$ van elkaar, in de volgorde AMNB; de Schlumberger-opstelling plaatst M en N, $2l$ van elkaar, in het midden van een veel langere AB, met halve lengte $s$; dipool–dipool-, pool–dipool- en pool–poolopstellingen scheiden het stroompaar van het potentiaalpaar of sturen één elektrode ver weg.
• Een verticale elektrische peiling breidt een opstelling uit rond een vast middelpunt en zet $\rho_a$ uit tegen de elektrodeafstand op logaritmische schalen: hoe groter de afstand, hoe dieper de stroom doordringt.
• Elektrische weerstandstomografie plaatst veel elektroden langs een lijn, meet veel vierelektrodecombinaties en inverteert ze samen tot een doorsnede van de soortelijke weerstand.

Voor de Wenner-opstelling is de factor $K = 2\pi a$; voor de Schlumberger- opstelling $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$, en $\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ wanneer $l \ll s$, met $l$ in de praktijk ongeveer een tiende van $s$. Bij een Schlumberger-peiling verplaatst men voor de meeste metingen alleen A en B, bij een Wenner-peiling alle vier elektroden. De stroom is een omkerende blokgolf: aan, uit, omgekeerd, uit, telkens enkele seconden, omdat de grond natuurlijke zelfpotentialen bevat, van elektrochemische oorsprong, die een constante stroom niet zou kunnen onderscheiden. Kleine peilingen, met elektroden tot ongeveer $100\,\mathrm{m}$ uit elkaar, hebben enkele honderden milliwatt nodig; peilingen van een kilometer breed gebruiken zenders van tientallen kilowatt.

Boven gelaagde grond gaat de schijnbare soortelijke weerstand van een peiling van de soortelijke weerstand van de bovenste laag, bij korte afstanden, naar die van de onderste, bij lange afstanden. De kromme daartussen is het voorwaarts probleem van de peiling.

Propositie 31.11 (Peiling over lagen)

Over horizontale lagen met soortelijke weerstanden $\rho_1, \dots, \rho_n$ en dikten $h_1, \dots, h_{n-1}$ geldt voor de Schlumberger-schijnbare soortelijke weerstand bij halve afstand $s$:

$$\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,$$

waarbij $J_1$ de Besselfunctie van orde één is en de weerstandstransformatie $T$ van onder naar boven wordt opgebouwd, $T_n = \rho_n$ en

$$T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} , \qquad T = T_1 .$$

Voor twee lagen, met $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$, geldt

$$\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,$$

de som van de beelden van de bron in het scheidingsvlak en het oppervlak.

De integraalvorm wordt aangenomen; de reeks voor twee lagen volgt uit Stelling 31.9 met de beeldenmethode; de bron wordt steeds opnieuw gespiegeld, met een factor $k$ per keer, in het scheidingsvlak en in het oppervlak.

Propositie 31.12 (Een geleidende deklaag op een isolerende basis)

Als lagen met een totale longitudinale geleidbaarheid $S = \sum_i h_i/\rho_i$ rusten op een veel weerstandiger basis, dan is de Schlumberger-schijnbare soortelijke weerstand bij afstanden die veel groter zijn dan de deklaag, is $\rho_a = s/S$: een rechte lijn met helling één op de logaritmische plot, die $S$ geeft maar niet de dikten en soortelijke weerstanden afzonderlijk.

Propositie 31.13 (Wet van Archie)

Een schoon gesteente (zonder schalie) dat volledig verzadigd is met water van soortelijke weerstand $\rho_w$ heeft de weerstand

$$\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,$$

waarin $\phi$ de porositeit is, $a$ een coëfficiënt die meestal dicht bij $1$ ligt en $m$ de cementatie-exponent, meestal tussen $1.3$ en $2.8$ wanneer $a = 1$. De verhouding $F = \rho/\rho_w$ is de formatie factor.

Dit is de wet van Archie, een empirische relatie die Archie in 1942 opstelde; ze heeft geen bewijs, alleen een geldigheidsbereik. Ze zet een weerstand om in een porositeit zodra het water is bekend, en de onzekerheid van $m$ is de grootste in het resultaat.

31.4 Seismische refractie en radar in het veld

Het seismisch refractieonderzoek, zoals behandeld in Hoofdstuk 2, is de andere weg van de veldgeofysicus naar de diepte van een laag: een lijn van geofoons, een gewichtsvalling als bron, en de eerste aankomsten uitgezet tegen de offset, waarvan de hellingen de snelheden geven en de snijpunten de diepten van de refractoren. Boven de vlakte van de Varden zou het de top van het graniet zien, sneller dan elk sediment erboven; het zou een laag die trager is dan die erboven niet zien, de blinde vlek van de methode.

Definitie 31.14 (Grondradar; radargram)

Grondradar zendt korte pulsen van radiogolven uit, met frequenties van ongeveer $100\,\mathrm{MHz}$ tot $1\,\mathrm{GHz}$ en duren van enkele nanoseconden, vanaf een antenne op de grond, en registreert de echo’s van contrasten in permittiviteit en geleidbaarheid eronder. Een radargram is de weergave van de geregistreerde sporen naast elkaar langs het profiel, waarbij de looptijd heen en terug naar beneden toeneemt.

Propositie 31.15 (Radarsnelheid, reflectie en doordringing)

In een niet-magnetische grond waarvan de geleidbaarheid $\sigma$ klein is ten opzichte van $\omega\varepsilon$, reist de radarpuls met

$$V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,$$

een grensvlak tussen relatieve permittiviteiten $\varepsilon_1$ en $\varepsilon_2$ reflecteert bij loodrechte inval de fractie $R = (\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} + \sqrt{\varepsilon_2})$ van de amplitude, en de amplitude daalt met een factor $\mathrm{e}$ over de huiddiepte

$$\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}} \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .$$

Snelheden lopen van $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ in lucht tot ongeveer $0.15$ in droog zand, $0.13$ in graniet en $0.06$ in verzadigd zand of klei, waar de permittiviteit van het water de overhand heeft. De bruikbare diepte is ongeveer drie huiddiepten: in een kalksteen met permittiviteit 6 en geleidbaarheid $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ is de huiddiepte ongeveer $13\,\mathrm{m}$, in een klei met permittiviteit 20 en $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ ongeveer $2.4\,\mathrm{m}$. Een laag wordt gezien als ze ten minste een kwart van een golflengte dik is, dus hogere frequenties geven scherpere beelden van ondiepere grond.

Propositie 31.16 (Diffractiehyperbool)

Een antenne die langs het oppervlak wordt verplaatst boven een klein begraven object op $(x_p, d)$, in grond met snelheid $V$, registreert zijn echo op de heen-en-terugtijd

$$t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,$$

een hyperbool met top $t_0 = 2d/V$ boven het object. Elk ander punt $(x, t)$ ervan levert $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$, en dan $d = Vt_0/2$.

31.5 Verwerking en onzekerheid

Elk getal in een meetreeks draagt een fout, en de reductie voegt de fouten van de correcties toe aan die van de aflezing. Als de fouten onafhankelijk zijn, tellen hun varianties op.

Methode 31.17 (Foutenbegroting)

1. Noem de onafhankelijke foutenbronnen van de gereduceerde waarde: de aflezing, de positie en hoogte, de aangenomen dichtheid of susceptibiliteit het driftmodel of het model van de dagelijkse correctie, het terrein.
2. Reken elk om naar de eenheid van het resultaat door te vermenigvuldigen met de afgeleide van de reductie naar die grootheid.
3. Tel de kwadraten op en neem de wortel.
4. Vergelijk het totaal met de grootte van de gezochte anomalie: is het groter, verbeter dan eerst de grootste term.

Een model wordt beoordeeld naar hoe goed het de data reproduceert, en de maat moet elk datapunt wegen met zijn onzekerheid.

Definitie 31.18 (Datamisfit)

De misfit van een model voor $N$ datapunten $d_i$ met standaarddeviaties $\sigma_i$ is

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .$$

Een model dat de data binnen hun fouten verklaart, heeft $\chi^2$ dicht bij $N$; een veel grotere waarde betekent dat het model fout is, een veel kleinere dat het de ruis volgt.

Het minimaliseren van de misfit is de gewogen kleinste kwadraten van Hoofdstuk 1. De moeilijkheid van de potentiaalmethoden is dat veel modellen dezelfde misfit bereiken. Buiten een lichaam is zijn zwaartekracht die van oneindig veel andere: elke bol met dezelfde overmassa en middelpunt geeft dezelfde anomalie, ongeacht zijn straal en dichtheid; een zwaartekrachtkaart legt de overmassa vast, maar niet de vorm; een sondering boven een geleidende deklaag legt de geleidbaarheid $S$ vast, maar niet de dikten; de anomalie van een dunne gang legt het product $\kappa t$ vast, maar niet $\kappa$ en $t$ apart. Een inversie kiest uit de equivalente modellen door informatie toe te voegen: een dichtheid gemeten aan monsters, een diepte uit een boorgat, een gladheid die aan het model wordt opgelegd. De zekerste toevoeging is een andere methode, gevoelig voor een andere eigenschap: de zwaartekracht ziet de dichtheid, de magnetiek het magnetiet, de weerstand het water, de radar de permittiviteit, en elk ziet wat de andere missen.

31.6 Een karteringsproject

In het veld — Een week in de vallei

De ploeg van de Varden-kartering verdeelt haar week over de methoden. Eén lid draagt de gravimeter rond een raster van meetpunten $200\,\mathrm{m}$ uit elkaar, en stelt hem op elk punt waterpas, terwijl een collega de hoogten meet met een satellietontvanger; om de twee uur keren zij terug naar het basisstation via de brug. Een magnetometer blijft staan op een basisstation, weg van de hoogspanningslijn en de weg, en registreert de hele dag, terwijl een tweede langs de lijnen wordt gelopen. Op de valleibodem leggen twee anderen de kabel uit, drukken de stalen elektroden in het alluvium en breiden een peiling uit van enkele meters tot tweehonderd; een kleine radar op een kar wordt over de vloer getrokken. ’s Avonds worden de metingen gereduceerd, en de lijnen voor de volgende dag gekozen op basis van de kaarten van de dag ervoor.

Voorbeeld 31.19 (De Varden-kartering)

De zwaartekrachtkaart toont een gesloten laagte van ongeveer $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ gecentreerd op het graniet, langgerekt noord–zuid: het lichte graniet zet zich voort onder de deklaag en is in die richting het langst. De laagte reikt tot ongeveer $1\,\mathrm{km}$ van de ontsluiting, zodat het lichaam met de diepte breder wordt. De halve breedte geeft een eerste diepte voor een equivalente bol; modellen met een verticale zijkant en een vlakke onderkant laten zien dat een onderkant tussen één en enkele kilometers diep de piek even goed verklaart, binnen enkele tienden van een milligal, dus de onderkant blijft onbekend: de niet-eenduidigheid uit de vorige paragraaf. Op de valleibodem boven het graniet begint de peiling bij de soortelijke weerstand van droog grind, daalt waar de stroom het watergezadigde alluvium ingaat en stijgt langs een rechte lijn met helling één: een geleidende deklaag op een sterk resistieve basis, het graniet, enkele meters diep. Radar die over dezelfde vloer wordt getrokken toont een vlakke echo op ongeveer $20\,\mathrm{ns}$: de grondwaterspiegel. En de magnetische lijn over de westelijke flank van de plooi, waar de deklaag dik is en de sokkelschisten een paar honderd meter diep liggen, registreert een symmetrisch maximum van ongeveer $20\,\mathrm{nT}$ dat geen enkele kaart verklaart: een mafische gang, rijk aan magnetiet, begraven onder de deklaag; de strekking langs de magnetische meridiaan verklaart waarom de anomalie symmetrisch is. De geofysici rapporteren hem als een dolerietgang die bij de discordantie werd afgesneden, en die de deklaag op de kaart verbergt. Het weekendprobleem reduceert de gegevens van de kartering.

31.7 Oefeningen

Oefening 31.1 ★

(a) Welk deel van $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ is $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (b) Hoeveel moet een gravimeter worden opgetild opdat zijn aflezing verandert met $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ door het vrije-luchteffect alleen? (c) Hoeveel bedraagt de verandering door het vrije-luchteffect en het Bouguer-effect samen, met de dichtheid $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.1.

(a) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en $10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$: één deel op honderd miljoen.

(b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$, ongeveer $3.2\,\mathrm{cm}$.

(c) Samen veranderen de twee effecten de zwaartekracht met $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$, het verschil $0.3086 - 0.1119$, dus de hoogte moet met $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$ veranderen.

Oefening 31.2 ★

Een bol met straal $50\,\mathrm{m}$ en dichtheidscontrast $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ heeft het middelpunt op $100\,\mathrm{m}$ diepte. Bereken de overmassa, de piek van de anomalie en de halve breedte $x_{1/2}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.2.

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. De piek is $G\Delta m/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dat is $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. De halve breedte is $x_{1/2} = z/1.305 = 77\,\mathrm{m}$.

Oefening 31.3 ★

Een Wenner-elektrodeopstelling met afstand $a = 10\,\mathrm{m}$ injecteert $0.1\,\mathrm{A}$ en meet $0.239\,\mathrm{V}$. (a) Bereken de geometriefactor en de schijnbare soortelijke weerstand. (b) Toon aan dat een Schlumberger-elektrodeopstelling met $s = 15\,\mathrm{m}$ en $l = 5\,\mathrm{m}$ dezelfde geometriefactor heeft, en verklaar waarom.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.3.

(a) Met $AM = MN = NB = a$, $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) = 2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$, en $\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 = 150\,\Omega\mathrm{m}$. (b) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times 200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. De elektroden liggen dan op $0$, $10$, $20$ en $30\,\mathrm{m}$, in de volgorde AMNB: het is de Wenner-elektrodeopstelling met een elektrodeafstand van $10\,\mathrm{m}$.

Oefening 31.4 ★

Graniet heeft $\varepsilon_r = 5$. (a) Bereken de radarsnelheid. (b) Een breuk ligt $10\,\mathrm{m}$ diep: bereken de heen-en-terugtijd van de echo. (c) Bereken, met $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, de huiddiepte en de bruikbare diepte van ongeveer drie huiddiepten. (d) Vergelijk met een natte klei met $\varepsilon_r = 20$ en $\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.4.

(a) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (b) $t = 2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (c) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} = 11.9\,\mathrm{m}$, en een bruikbare diepte van ongeveer $36\,\mathrm{m}$. (d) In de klei $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$, een bruikbare diepte van ongeveer $7\,\mathrm{m}$, en een snelheid van slechts $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. De benadering geldt daar nog steeds: bij $100\,\mathrm{MHz}$, $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} = 0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$, tien keer $\sigma$.

Oefening 31.5 ★★

(a) Leid de anomalie af van een lange horizontale cilinder met straal $R$ en dichtheidscontrast $\Delta\rho$, met zijn as op diepte $z$, uit die van een lijnmassa, en toon aan dat $z = x_{1/2}$. (b) Een cilinder en een bol geven dezelfde piek en dezelfde halve breedte $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. Vergelijk hun dieptes. Welke interpretatie geeft het diepere lichaam?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.5.

(a) De cilinder heeft $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ per lengte-eenheid, en buiten hem is de aantrekking die van een lijnmassa op de as (stelling van Gauss voor een coaxiale cilinder): $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2 + z^2)$. De helft van de piek wordt bereikt wanneer $x^2 + z^2 = 2z^2$, dus $z = x_{1/2}$. (b) De bol ligt op $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$, de cilinder op $100\,\mathrm{m}$: hetzelfde profiel, als bol gelezen, plaatst het lichaam $30\,\%$ dieper. De anomalie van een bol neemt sneller af met de afstand, dus een bol moet dieper liggen om even breed te zijn.

Oefening 31.6 ★★

De Bouguer-anomalie van het Varden-granietmodel, bemonsterd elke $100\,\mathrm{m}$ op een kaart van $1120$ punten die $3.5\,\mathrm{km} \times 3.2\,\mathrm{km}$ bestrijken, geeft samen $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Schat met Propositie 31.6 het massatekort. (b) Het massatekort van het model is $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Welk deel daarvan vindt de kaart terug, en waar zit de rest?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.6.

(a) Elk punt staat voor $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, dus $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx -438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, en $\Delta m = -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (b) $1.04/1.74 = 60\,\%$. De rest zit in de flanken van de anomalie buiten de kaart: de graniet reikt tot een diepte van meer dan een kilometer, en de anomalie van het diepe deel neemt langzaam af met de afstand. Door de kaart ver genoeg uit te breiden of met een model, is hij terug te winnen.

Oefening 31.7 ★★

(a) Een dunne gang heeft zijn bovenkant $30\,\mathrm{m}$ diep. Gebruik de regel van drie metingen per halve breedte, waarbij de halve breedte de volledige breedte van de anomalie op de halve piek is. Welke stationsafstand heeft het nodig? (b) Idem voor een bovenkant $220\,\mathrm{m}$ diep. (c) Waarom kan een enkele kartering niet zowel een ondiep als een diep lichaam oplossen, tenzij ze voor het ondiepe is ontworpen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.7.

(a) Voor een dunne gang zakt de anomalie tot de helft van haar piek bij $x = \pm z$: haar volledige breedte op de halve piekhoogte is $2z = 60\,\mathrm{m}$, en drie metingen erover heen een meetpuntafstand van ten hoogste $20\,\mathrm{m}$ nodig. (b) $2\times 220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (c) De benodigde stationsafstand schaalt met de diepte van het ondiepste lichaam van belang: een meting die op de diepe gang op $150\,\mathrm{m}$ is ontworpen, zou de anomalie van de ondiepe gang onderbemonsteren, die slechts $60\,\mathrm{m}$ breed is; een meting op het ondiepe lichaam ontworpen ziet ook de diepe gang, met veel meer metingen dan nodig.

Oefening 31.8 ★★

Een zandsteen verzadigd met water van $8\,\Omega\mathrm{m}$ heeft een soortelijke weerstand van $80\,\Omega\mathrm{m}$. (a) Bereken met $a = 1$ en $m = 2$ de porositeit. (b) Herhaal met $m = 1.8$ en $m = 2.2$. Welke term van de meting bepaalt de onzekerheid van de porositeit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.8.

(a) $F = 80/8 = 10$ en $\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (b) $10^{-1/1.8} = 0.278$ en $10^{-1/2.2} = 0.351$. Een verandering van $0.2$ in $m$ verschuift de porositeit met ongeveer vier procentpunten; de weerstanden, gemeten op enkele procenten nauwkeurig, verschuiven haar veel minder. De cementatie-exponent bepaalt de onzekerheid, en die moet worden gekalibreerd op monsters van hetzelfde gesteente.

Oefening 31.9 ★★

(a) Bereken de eerste drie termen van de tweelaagse reeks van Propositie 31.11 bij $s = 2h_1$ voor $k = 0.5$ en $k = -0.5$, en de schijnbare soortelijke weerstanden die ze opleveren. (b) Wat zijn de grenswaarden van $\rho_a/\rho_1$ voor $s \ll h_1$ en $s \gg h_1$? (c) Welke weerstandsverhoudingen $\rho_2/\rho_1$ horen bij $k = \pm 0.5$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.9.

(a) Bij $s = 2h_1$, $(2nh_1/s)^2 = n^2$, dus de termen zijn $k^n(1 + n^2)^{-3/2}$: $0.3536k$, $0.0894k^2$, $0.0316k^3$. Voor $k = 0.5$: $0.1768$, $0.0224$, $0.0040$, en $\rho_a/\rho_1 \approx 1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (de volledige som geeft $1.409$). Voor $k = -0.5$ wisselen de termen van teken, $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$, en $\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (volledige som $0.685$). (b) Voor $s \ll h_1$ verdwijnt elke term en $\rho_a \to \rho_1$; voor $s \gg h_1$ nadert elke haakterm naar 1 en $1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 - k) = \rho_2/\rho_1$. (c) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ en $1/3$.

Oefening 31.10 ★★★

(a) Leid de geometrische factor van de Wenneropstelling af uit Stelling 31.9. (b) Leid die van de Schlumbergeropstelling af, en toon aan dat $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ voor $l/s \to 0$. (c) Hoeveel overschat de benaderde factor $\pi s^2/(2l)$ de exacte factor bij $l = s/10$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.10.

(a) In de volgorde AMNB met elektrodeafstand $a$: $AM = a$, $BM = 2a$, $AN = 2a$, $BN = a$, dus de haakterm is $2/a - 1/a = 1/a$ en $K = 2\pi a$. (b) Met A en B op $\mp s$ en M en N op $\mp l$: $AM = BN = s - l$, $BM = AN = s + l$, de haakterm is $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 - l^2)$, en $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. Wanneer $l \ll s$, $\Delta V_{MN} \approx 2l\,E$ met $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ in het midden, het veld van beide stroomelektroden; dan is $\rho_a = K\Delta V/I \to \pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(- \mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (c) De verhouding van de benaderde tot de exacte factor is $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$: één procent.

Oefening 31.11 ★★★

Een station staat $50\,\mathrm{m}$ boven de basis. De aflezing is nauwkeurig tot $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, de hoogte tot $5\,\mathrm{cm}$; de dichtheid van de plaat is onzeker met $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, de terreincorrectie met $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Stel de foutenbegroting op van zijn Bouguer-anomalie. (b) Welke term domineert, en welke zou je verbeteren om een anomalie van $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ te detecteren? (c) Wat is het totaal zonder de terreinterm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.11.

(a) Aflezing: $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Hoogte: $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Dichtheid: de Bouguer correctie is $0.04191\,h\,d$ met $d$ in $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, dus $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Terrein: $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Totaal: $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 + 0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) De dichtheid en de terreincorrectie domineren, elk ongeveer twintig keer de aflezingsfout. Om $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ te detecteren, moet de dichtheid van de slab aan monsters worden gemeten of afgestemd op de gegevens (de waarde die het minst de topografie weerspiegelt), en de terreincorrectie uit een fijn digitaal hoogtemodel. (c) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Oefening 31.12 ★★★

Vijf zwaartekrachtsmetingen over een begraven lichaam, bij $x = -600$, $-300$, $0$, $300$ en $600\,\mathrm{m}$, zijn $-0.69$, $-2.17$, $-4.16$, $-2.10$ en $-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, elk met $\sigma = 0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Kies voor bolmodellen gecentreerd onder $x = 0$ op dieptes van $300$, $400$ en $500\,\mathrm{m}$, kies de massa die bij de centrale aflezing past, en bereken de misfit $\chi^2$ van elk. (b) Welk model past binnen de fouten bij de data? (c) Zou een lichaam van een andere vorm even goed passen? Wat zou dat beslissen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.12.

(a) De massa die bij de centrale aflezing past is $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G = -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$: $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ bij $300\,\mathrm{m}$, $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ bij $400\,\mathrm{m}$, $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ bij $500\,\mathrm{m}$. De voorspelde aflezingen bij $x = \pm300$ en $\pm600$ zijn $-1.47$ en $-0.37$, $-2.13$ en $-0.71$, $-2.62$ en $-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. De misfits zijn $\chi^2 = 1238$, $3.7$ en $856$. (b) Alleen het model bij $400\,\mathrm{m}$, met $\chi^2 = 3.7$ voor vijf gegevens, past binnen de fouten. (c) Ja: elk bolsymmetrisch lichaam met dezelfde massa en hetzelfde middelpunt geeft exact dezelfde anomalie, en andere vormen kunnen binnen de fouten vallen. Een dichtheid gemeten aan monsters, in een boorgat of met een andere methode zou beslissen.

31.8 Probleem: De verborgen lichamen van de Varden Hills

Probleem 31.1

Weekendprobleem — de Varden-meting reduceren

Gebruik $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, de vrije-luchtgradiënt $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ en de Bouguer-factor $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (dichtheid $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

Deel I — Een zwaartekrachtlus. Een lus op het zwaartekrachtprofiel geeft (aflezingen in milligal na kalibratie, hoogten in meter, tijden in uren na 09:00):

station	basis	$3.0\,\mathrm{km}$	$3.5\,\mathrm{km}$	$4.0\,\mathrm{km}$	basis
tijd	0	0.5	0.9	1.3	2.0
hoogte	176.1	149.0	145.5	158.0	176.1
aflezing	2846.512	2851.075	2850.497	2849.392	2846.708

1. Bereken de driftsnelheid van de lus.
2. Corrigeer de drie stationsaflezingen voor de drift en druk ze uit ten opzichte van de basis.
3. Pas de vrije-lucht- en Bouguer-correcties toe voor de hoogteverschillen, en geef de Bouguer-anomalie van elk station ten opzichte van de basis.
4. De drift van het instrument alleen bedroeg $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$. Wat veroorzaakte de rest van de verandering bij de basis, en waarom kon die met de drift worden verwijderd?
5. Het model waaruit de aflezingen komen, geeft de drie anomalieën ten opzichte van de basis als $-0.825$, $-2.131$ en $-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Bereken de fouten van de reductie. De hoogten in de tabel zijn afgerond op $0.1\,\mathrm{m}$: welke fout kan deze afronding introduceren, en verklaart die de fouten?
6. Welke hoognauwkeurigheid houdt de gereduceerde anomalie binnen $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? Waarom vragen handleidingen voor metingen om $3.3\,\mathrm{cm}$, een strengere eis?

Deel II — De anomalie van het graniet. Langs het profiel heeft de anomalie haar minimum, $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, bij $x = 3.50\,\mathrm{km}$, en bereikt ze de helft van die waarde bij $x = 3.048$ en $3.952\,\mathrm{km}$. Het granietmodel heeft een dichtheidscontrast van $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en het maaiveld in het midden ligt $145.5\,\mathrm{m}$ boven zeeniveau.

7. Bereken de halve breedte $x_{1/2}$ en de diepte van het middelpunt van de equivalente bol.
8. Bereken het massatekort van die bol en de straal ervan voor het dichtheidscontrast van het graniet. Wat valt op aan het resultaat?
9. Het massamiddelpunt van het model ligt $864\,\mathrm{m}$ onder het maaiveld en het massatekort bedraagt $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Waarom geeft de halve-breedteregel een ondieper en lichter lichaam?
10. Een verticale cilinder met hetzelfde oppervlak als het graniet op de discordantie heeft een straal van $461\,\mathrm{m}$. Bereken de anomalie op de as voor een bovenkant aan het maaiveld en een onderkant op $1645\,\mathrm{m}$ diepte, en voor een onbeperkte diepte.
11. Zoek, door te proberen of door op te lossen, de diepte van de onderkant waarvoor deze cilinder de waargenomen $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ geeft.
12. Bereken de anomalie van de cilinder met de bovenkant $6\,\mathrm{m}$ diep (onderkant $1645\,\mathrm{m}$). Kan de zwaartekracht onderscheiden of het graniet onder het alluvium tot aan het oppervlak reikt?

Deel III — De dalbodem. De Schlumbergersondering op de bodem boven het graniet geeft (halve afstand $s$ in meter, $\rho_a$ in $\Omega\mathrm{m}$):

$s$	1	2	4	6	10	20	30	40
$\rho_a$	577	526	387	350	449	821	1309	1684

Op een radarprofiel langs dezelfde bodem geeft een pijp een hyperbool met zijn top bij $10.7\,\mathrm{ns}$ en een looptijd van $17.1\,\mathrm{ns}$ op $1\,\mathrm{m}$ opzij; een vlakke echo komt aan bij $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. Bij $s = 20\,\mathrm{m}$ was MN $2\,\mathrm{m}$ lang en de stroom $50\,\mathrm{mA}$. Bereken de geometrische factor en de gemeten spanning.
14. Bereken de radarsnelheid, de relatieve permittiviteit van het alluvium en de diepte van de pijp.
15. De vlakke echo is de grondwaterspiegel. Hoe diep ligt die?
16. Schat de geleidbaarheid $S$ van het alluvium uit de aflezingen bij 20, 30 en $40\,\mathrm{m}$.
17. Het droge alluvium heeft $600\,\Omega\mathrm{m}$, en het verzadigde alluvium $222\,\Omega\mathrm{m}$. Bereken de dikte van het verzadigde alluvium en de diepte van de bovenkant van het graniet. Is de schatting hoog of laag, en waarom?
18. Het grondwater heeft $20\,\Omega\mathrm{m}$. Bereken de porositeit van het alluvium met de wet van Archie bij $m = 2$, en het bereik van $m$ tussen $1.3$ en $2.8$.

Deel IV — De magnetische lijn. De lijn loopt vanaf $x = 1.70\,\mathrm{km}$ naar het oosten, met één station per $50\,\mathrm{m}$ en elke twee minuten; het basisstation registreerde op dezelfde minuten. De aflezingen, min $48\,000\,\mathrm{nT}$, zijn:

$x$ (km)	1.70	1.75	1.80	1.85	1.90	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.20
lijn	3.4	4.8	6.3	8.1	10.3	12.8	15.8	19.2	22.9	26.2	28.0
basis	0.0	0.7	1.5	2.2	2.9	3.6	4.3	5.0	5.7	6.4	7.0
$x$ (km)	2.25	2.30	2.35	2.40	2.45	2.50	2.55	2.60	2.65	2.70
lijn	27.7	25.8	23.3	20.9	19.0	17.6	16.6	15.9	15.5	15.2
basis	7.6	8.2	8.8	9.4	9.9	10.4	10.9	11.3	11.7	12.1

Het hoofdveld bedraagt $48\,000\,\mathrm{nT}$, met een inclinatie van $65{}^{\circ}$.

19. Pas de dagelijkse correctie toe en geef de gecorrigeerde anomalie bij elk station.
20. Toon aan dat de anomalie zonder de correctie aan de oostkant nooit tot de helft van haar piek daalt.
21. Bepaal de piek en de twee punten waar de gecorrigeerde anomalie de helft van de piek bereikt, door lineaire interpolatie, en bereken de halfwaardebreedte.
22. De anomalie is symmetrisch. Wat zegt dat over de strekking van het lichaam, en welk soort lichaam veronderstelt de halfwaardebreedteregel?
23. Bereken het product $\kappa t$ van susceptibiliteit en dikte. Als de gang uit doleriet bestaat met een susceptibiliteit van $0.03$, hoe dik is de gang?
24. Waren de stations dicht genoeg bij elkaar?
25. Bepaal de diepte tot de bovenkant van de verborgen gang onder het maaiveld, op de dichtstbijzijnde tien meter, en vergelijk die met de diepte van de discordantie in het geologische model van het gebied, $222\,\mathrm{m}$ op dit punt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 31.1.

1. $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

2. $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

3. De hoogten boven de basis zijn $-27.1$, $-30.6$ en $-18.1\,\mathrm{m}$; door $0.1967\,\Delta h$ op te tellen volgen de Bouguer-anomalieën $-0.817$, $-2.122$ en $-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. De meetpunten liggen lager dan de basis en dichter bij het middelpunt van de Aarde, dus hun ruwe aflezingen zijn hoger; de correctie verwijdert dat en laat een laagte boven het graniet over.

4. Het extra $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$, $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ over de lus, is het getij van de vaste Aarde. Over twee uur verandert het bijna lineair, dus een rechte lijn door de twee basisaflezingen verwijdert het samen met de drift.

5. De fouten zijn $0.008$, $0.009$ en $0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Door elke hoogte af te ronden op $0.1\,\mathrm{m}$ kan een hoogteverschil tot $0.1\,\mathrm{m}$ onjuist zijn, dat is $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: de afronding verklaart de fouten, het getij dat de rechte lijn overlaat, is kleiner dan $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

6. $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. De $3.3\,\mathrm{cm}$ uit de handleidingen is $0.01/0.3086$: de vrije-luchtanomalie hangt niet af van de dichtheid die voor de Bouguer-correctie is gekozen, en de hoogte moet ook daarvoor dienen.

7. $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$, en $z = 1.305 \times452 = 590\,\mathrm{m}$ onder het maaiveld.

8. $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/ 6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Met $\Delta\rho = -130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ is het volume $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ en de straal $603\,\mathrm{m}$, groter dan de diepte van het middelpunt: de bol zou uit de grond steken. Geen bol met het dichtheidsverschil van het graniet past; het lichaam moet tot dicht bij het oppervlak reiken.

9. Het graniet loopt van het oppervlak tot een grote diepte. Het ondiepe deel, nabij de meetpunten, maakt de piek smal, en de regel, die alleen de breedte kent, plaatst één bol op een matige diepte; het diepe deel voegt brede flanken toe die de bol ontbreken (de figuur van het profiel), en de massa die zij bevatten wordt gemist.

10. $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) = -5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. Met $z_1 = 0$, $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$, $a = 461\,\mathrm{m}$: de haakjesterm is $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$, en $\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Bij een onbeperkte diepte nadert de haakjesterm $a$, en $\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

11. De haakjesterm moet $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$ zijn, wat een ondergrens op ongeveer $2.6\,\mathrm{km}$ geeft. Elke ondergrens tussen ongeveer $1.6\,\mathrm{km}$ en een onbeperkte diepte verandert de piek met slechts enkele tienden van een milligal, en een iets bredere of dichtere massa geeft dezelfde piek met een ondiepere ondergrens: de ondergrens is niet op te lossen.

12. Met $z_1 = 6\,\mathrm{m}$: $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$, en $\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ minder dan met de bovenkant aan het maaiveld. Dat ligt onder de terrein- en dichtheidsfouten van het onderzoek: de zwaartekracht kan niet zeggen of het graniet tot aan het oppervlak onder het alluvium reikt. De sondering wel.

13. $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$, en $\Delta V = \rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

14. $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 = 0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$, $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$, een droog zand; de pijp ligt $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$ diep.

15. $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

16. $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 = 0.0238$: $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

17. De droge laag draagt $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$ bij, de verzadigde $0.0212\,\mathrm{S}$, dus de dikte ervan is $0.0212\times222 = 4.7\,\mathrm{m}$, en het graniet ligt $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ onder de vloer. De schatting is te hoog: het graniet is niet oneindig weerstandig, dus bij deze afstanden ligt $\rho_a$ nog onder de lijn $s/S$, en $s/\rho_a$ overschat $S$. (Het model van de regio heeft $6\,\mathrm{m}$ alluvium.)

18. $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. Met $m = 1.3$, $\phi = 0.0901^{1/1.3} = 0.16$; met $m = 2.8$, $\phi = 0.42$.

19. Door de basis van de lijn af te trekken volgt, van west naar oost: 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 en $3.1\,\mathrm{nT}$.

20. Ongecorrigeerd is de piek $28.0\,\mathrm{nT}$ bij $2.20\,\mathrm{km}$, en de helft daarvan, $14.0\,\mathrm{nT}$, wordt naar het oosten nooit bereikt: de lijn eindigt bij $15.2\,\mathrm{nT}$, omdat het veld tijdens de wandeling met $12\,\mathrm{nT}$ steeg.

21. De piek is $21.0\,\mathrm{nT}$ bij $2.20\,\mathrm{km}$; de helft ervan is $10.5\,\mathrm{nT}$. West: tussen $9.2$ bij $1.95$ en $11.5$ bij $2.00\,\mathrm{km}$, bij $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. Oost: tussen $11.5$ bij $2.40$ en $9.1$ bij $2.45\,\mathrm{km}$, bij $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. De halve breedte is $(2.421 - 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

22. Een symmetrische anomalie in een veld met een inclinatie van $65{}^{\circ}$ betekent dat alleen de verticale magnetisatie werkt: het lichaam heeft zijn strekking langs de magnetische meridiaan, noord–zuid. De regel van Propositie 31.8 gaat uit van een dunne, verticale, tweedimensionale gang die ver naar beneden reikt, door inductie gemagnetiseerd, waarvan de bovenkant werkt als een lijn van magnetische lading.

23. $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times 221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. Met $\kappa = 0.03$, $t = 25\,\mathrm{m}$. Alleen het product ligt vast: een gang die twee keer zo dik is maar de halve susceptibiliteit heeft, geeft dezelfde anomalie.

24. De anomalie is $443\,\mathrm{m}$ breed op de helft van haar piek en de meetpunten liggen $50\,\mathrm{m}$ uit elkaar: negen aflezingen erover, drie keer het minimum van de regel.

25. De bovenkant van de gang ligt $220\,\mathrm{m}$ onder het maaiveld. Het geologische model plaatst de discordantie op dit punt $222\,\mathrm{m}$ diep: de gang stijgt op tot de basis van de bedekking en wordt daar afgesneden, en is ouder dan de Trias-zandsteen die hem bedekt.