1Seismologie en aardbeeldvorming

Op 22 mei 1960, om 19:11 uur wereldtijd, vond de sterkste sinds 1900 geregistreerde aardbeving plaats en brak de subductiezone voor de kust van zuidelijk Chili, met een magnitude van 9.5.

Haar P-golven bereikten stations aan de andere kant van de planeet ongeveer twintig minuten later; haar oppervlaktegolven gingen meermaals rond de aardbol; en dagenlang daarna registreerden de traagste instrumenten de hele Aarde trillend met perioden van bijna een uur, als een aangeslagen klok. Elk van deze signalen draagt informatie over de gesteenten die het doorkruiste. Uit de aankomsttijden van miljoenen van dergelijke golven, afgelezen op duizenden stations, hebben seismologen niet alleen het gelaagde model van de Aarde dat hieronder wordt opgefrist, maar ook driedimensionale beelden van de mantel, waarin dalende slabs en opstijgende mantelpluimen verschijnen als gebieden waar de golven iets sneller of trager dan gemiddeld reizen. Dit hoofdstuk laat zien hoe: hoe stralen door een bolvormige Aarde reizen, hoe oppervlaktegolven de korst en mantel via hun dispersie onderzoeken, hoe de vrije trillingen van de hele planeet worden beschreven, en hoe enkele duizenden looptijden worden omgezet in een beeld door een lineair invers probleem op te lossen.

Wat je al weet

In een isotroop elastisch vast medium reizen twee soorten lichaamsgolven: P-golven, met de snelheid $\alpha = \sqrt{(K + \tfrac43\mu)/\rho}$, en S-golven, met de snelheid $\beta = \sqrt{\mu/\rho}$, waarbij $K$ en $\mu$ de volume- en schuifmoduli zijn en $\rho$ de dichtheid; S-golven doorkruisen geen vloeistof (natuurkunde, derde jaar universiteit, in het hoofdstuk over continuümelasticiteit). Een golf waarvan de fasesnelheid van de frequentie afhangt, is dispersief; haar energie reist met de groepssnelheid $U = \mathrm d\omega/\mathrm dk$ (natuurkunde, tweede jaar universiteit, over golven). Een begrensd elastisch lichaam trilt vrij in een discrete reeks normaalmodi (hetzelfde deel). De epicentrale afstand $\Delta$ van een station is de hoek in het middelpunt van de Aarde tussen het epicentrum en het station; de looptijdkromme geeft de tijd van de eerste aankomst als functie van $\Delta$, en de kern werpt een schaduwzone voor directe P-golven (Boek 2, leerjaar 11). Het referentiemodel van de aarde, de seismische discontinuïteiten en de kopgolf kwamen aan bod in Boek 3, in het hoofdstuk over de gelaagde Aarde. Kleinste kwadraten en de gaussische foutenwet komen uit de wiskundeboeken.

1.1 Stralen in een bolvormige Aarde

Een seismisch golffront, ver van zijn bron en in een medium waarvan de eigenschappen over een golflengte langzaam veranderen, kan worden gevolgd via zijn stralen: de krommen die overal loodrecht op het golffront staan en waarlangs de energie reist. In een medium met uniforme snelheid zijn de stralen recht; waar de snelheid verandert, buigen ze af volgens de wet van Snell voor breking. In de Aarde hangen de snelheden vooral af van de diepte, zodat een eerste model bolsymmetrisch is: de snelheid $v(r)$ van de beschouwde golf (P of S) is een functie van de straal $r$ alleen.

Stelling 1.1 (De wet van Snell in een bolvormige Aarde)

In een bolsymmetrische Aarde met golfsnelheid $v(r)$ zij $i$ de hoek tussen een straal en de radiale richting in het punt op afstand $r$ van het middelpunt. Langs de gehele straal,

$$\frac{r\sin i}{v(r)} = p$$

is constant.

Definitie 1.2 (Straalparameter, keerpunt)

De constante $p = r\sin i/v(r)$ van een straal in een bolsymmetrische Aarde heet haar straalparameter, in seconden per radiaal. Aan het oppervlak is $p = R\sin i_0/v_0$, waarbij $i_0$ de vertrekhoek is en $v_0$ de snelheid aan het oppervlak. Het punt waar de straal horizontaal loopt ($i = 90{}^{\circ}$) is het keerpunt (van een seismische straal), op de straal $r_t$ waar

$$\frac{r_t}{v(r_t)} = p .$$

Daaronder stijgt de straal weer op, symmetrisch ten opzichte van de straal door het keerpunt.

Schrijf $\eta(r) = r/v(r)$. Een straal met parameter $p$ kan alleen bestaan waar $\eta \ge p$, want $\sin i = p/\eta \le 1$. Als $\eta$ met de diepte afneemt, zoals dat doet in het grootste deel van de mantel, keert elke straal om op de diepte waar $\eta$ is gedaald tot $p$, en stralen die steiler vertrekken (kleinere $p$) keren dieper om. Waar $\eta$ met de diepte toeneemt, doordat de snelheid sterk daalt met de diepte (dat gebeurt op de kern-mantelgrens, waar de P-snelheid daalt van 13.7 naar $8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$), geen enkele straal kan omkeren: de stralen worden naar beneden gebogen, doorkruisen de laag en komen ver weg weer omhoog. Zo’n sprong werpt een schaduw aan het oppervlak.

De straalparameter is niet alleen een constante van de straal: ze kan worden afgelezen van de looptijdkromme.

Stelling 1.3 (Helling van de looptijdkromme)

Zij $T(\Delta)$ de looptijd van een straal van een bronpunt aan het oppervlak naar een station aan het oppervlak op de epicentrale afstand $\Delta$ (in radialen). Dan geldt

$$\frac{\mathrm dT}{\mathrm d\Delta} = p ,$$

de straalparameter van de straal die bij $\Delta$ aankomt.

De stelling is de bolvormige vorm van het verband $\mathrm dT/\mathrm dx = 1/c$ tussen de helling van een looptijdkromme en de schijnbare snelheid $c$ langs het oppervlak. De twee functies $T(p)$ en $\Delta(p)$ kunnen worden geschreven als integralen over het snelheidsprofiel.

Propositie 1.4 (Looptijd en afstand als integralen)

Met $\eta = r/v(r)$, dat met de diepte afneemt, bereikt de straal met parameter $p$ die keert bij $r_t$

$$\Delta(p) = 2\int_{r_t}^{R}\frac{p\,\mathrm dr}{r\sqrt{\eta^2 - p^2}}, \qquad T(p) = 2\int_{r_t}^{R}\frac{\eta^2\,\mathrm dr}{r\sqrt{\eta^2 - p^2}},$$

en de intercepttijd $\tau(p) = T - p\Delta$ is $\tau(p) = 2\int_{r_t}^{R}\sqrt{\eta^2 - p^2}\,\mathrm dr/r$.

Deze integralen zijn de manier waarop een looptijdtabel uit een model wordt berekend. Het raytracingscript van dit hoofdstuk doet dezelfde som over schillen van 2 km van het referentiemodel PREM, en controleert het op twee manieren: in een bol met uniforme snelheid, waar de stralen koorden zijn en $T = 2R\sin(\Delta/2)/v$ exact geldt (oefening 5), en tegen Stelling 1.3, die het niet gebruikt.

De figuur hierboven laat zien wat de stellingen voorspellen. De steilste mantelstraal die de kern net raakt, bereikt $98.5{}^{\circ}$ in PREM; de volgende straal, een fractie van een graad steiler, gaat de kern in, wordt naar het middelpunt toe gebroken en komt aan de andere kant tevoorschijn, voorbij $140{}^{\circ}$. Door de tijd tegen de afstand uit te zetten voor elke straal ontstaan de looptijdkrommen hieronder.

De berekende P-looptijden door PREM zijn $273.5\,\mathrm{s}$ bij $20{}^{\circ}$, $369.6\,\mathrm{s}$ bij $30{}^{\circ}$, $607.2\,\mathrm{s}$ bij $60{}^{\circ}$ en $779.7\,\mathrm{s}$ bij $90{}^{\circ}$: dertien minuten om een kwart van de aardbol te doorkruisen.

Werkelijke aankomsten wijken van zo’n kromme hooguit enkele seconden af, en die paar seconden zijn de gegevens van de tomografie (Sectie 1.5).

Definitie 1.5 (Looptijdtabel)

Een looptijdtabel geeft, voor elke seismische fase (P, S, PKP, PcP, …) en elke brondiepte de looptijd als functie van de epicentrale afstand, berekend uit een sferisch symmetrisch referentiemodel waarvan de snelheden zelf zijn aangepast aan de tijden van een grote reeks goed gelokaliseerde aardbevingen. De verschillen met een waargenomen aankomst vormen het uitgangspunt van aardbevingslokalisatie en van tomografie.

De tabellen die nu in gebruik zijn, worden berekend uit referentiemodellen die daarvoor zijn opgebouwd. In het model ak135 heeft de korst bijvoorbeeld twee lagen, met P- en S-snelheden van 5.80 en $3.46\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ boven $20\,\mathrm{km}$ en 6.50 en $3.85\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ tot aan de Moho op $35\,\mathrm{km}$, waar de mantel begint met 8.04 en $4.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; de kern-mantelgrens ligt op $2891.5\,\mathrm{km}$ en de binnenkerngrens op $5153.5\,\mathrm{km}$.

De auteurs omschrijven de bovenmantel zelf als een kunstmatige constructie, ontworpen om de tijden tot $30{}^{\circ}$ te passen: een gemiddelde, niet de opbouw onder één bepaalde plek.

Propositie 1.6 (Herglotz–Wiechert-inversie)

Veronderstel dat $\eta = r/v(r)$ over de bemonsterde stralen strikt met de diepte afneemt en de looptijdkromme $T(\Delta)$ bekend is, zodat $p(\Delta) = \mathrm dT/\mathrm d\Delta$ bekend is. Dan heeft de straal met parameter $p_1$, die het oppervlak bereikt bij $\Delta_1$, haar keerpunt op de straal

$$r_1 = R\,\exp\!\left(-\frac1\pi\int_0^{\Delta_1} \operatorname{arccosh}\frac{p(\Delta)}{p_1}\,\mathrm d\Delta\right),$$

waarbij de snelheid $v(r_1) = r_1/p_1$ is. De Herglotz–Wiechert inversie herleidt $v(r)$ zo, punt voor punt, uit de looptijdkromme.

De formule volgt uit de integraal van $\Delta(p)$ in Propositie 1.4, een Abelse integraalvergelijking voor de onbekende $r(\eta)$; de inversie ervan wordt hier aangenomen. Oefening 12 toetst haar op de uniforme bol. Twee voorwaarden beperken haar. Zij vereist dat $\eta$ met de diepte afneemt: een laag met lage snelheid maakt een gat in de looptijdkromme, en de inversie kan niet in de laag kijken. En zij vereist de hele kromme, inclusief de latere takken van elke triplicatie, die moeilijk te kiezen zijn op een seismogram. Deze beperkingen zijn de reden dat de referentiemodellen nu worden opgebouwd met voorwaartse modellering en kleinste kwadraten (Sectie 1.4).

1.2 Oppervlaktegolven

Een vrij oppervlak vangt golven op. Nabij het oppervlak van een halfruimte kunnen P- en S-bewegingen in het verticale vlak van voortplanting samenvoegen tot een golf die langs het oppervlak loopt en met de diepte afneemt; en waar een langzame laag op sneller gesteente ligt, worden horizontale schuifgolven in de laag gevangen door totale reflectie.

Definitie 1.7 (Rayleighgolf, Lovegolf)

Een Rayleighgolf is een oppervlaktegolf waarvan de deeltjesbeweging ligt in het verticale vlak dat de voortplantingsrichting bevat: P- en verticaal gepolariseerde S-bewegingen, gekoppeld door het vrije oppervlak, met een elliptische deeltjesbeweging, retrograde aan het oppervlak van een uniforme halfruimte, waarvan de amplitude met de diepte afneemt over ongeveer één golflengte. Een Love golf is een oppervlaktegolf waarvan de deeltjesbeweging horizontaal is en loodrecht staat op de voortplantingsrichting: horizontaal gepolariseerde S-golven die gevangen zijn in lagen die langzamer zijn dan het gesteente eronder.

Op een uniforme halfruimte met $\lambda = \mu$ (een Poisson-vaste stof) reist de Rayleighgolf met $0.9194\,\beta$ en disperseert zij niet (oefening 6). Een Lovegolf kan op een uniforme halfruimte helemaal niet bestaan: zij heeft de gelaagdheid nodig, en haar snelheid ligt tussen de S-snelheden van de laag en van het gesteente eronder.

Stelling 1.8 (Dispersie van Lovegolven in een laag op een halfruimte)

Een laag met dikte $H$, afschuifmodulus $\mu_1$ en S-snelheid $\beta_1$ ligt op een halfruimte met afschuifmodulus $\mu_2$ en S-snelheid $\beta_2 > \beta_1$. Een Lovegolf met hoekfrequentie $\omega$ en golfgetal $k$ plant zich voort met de fasesnelheid $c = \omega/k$, $\beta_1 < c < \beta_2$, dan en slechts dan als

$$\tan\!\left(kH q_1\right) = \frac{\mu_2 q_2}{\mu_1 q_1}, \qquad q_1 = \sqrt{\frac{c^2}{\beta_1^2} - 1},\quad q_2 = \sqrt{1 - \frac{c^2}{\beta_2^2}} .$$

De fundamentele modus is de wortel met $0 < kHq_1 < \pi/2$; de boventonen hebben $kHq_1$ in $(n\pi, n\pi + \pi/2)$.

Voor een gegeven periode wordt de vergelijking voor $c$ opgelost met bisectie; de groepssnelheid volgt uit $U = \mathrm d\omega/\mathrm dk$. Bij korte perioden ($kH$ groot) ligt de wortel dicht bij $c = \beta_1$: de golf leeft in de laag. Bij lange perioden ($kH \to 0$) moet $kHq_1 \to 0$ gaan, met ook het rechterlid klein, wat $c \to \beta_2$ afdwingt: de golf reikt diep in de halfruimte en reist met diens snelheid. Tussen de twee stijgt de fasesnelheid gestaag met de periode.

Definitie 1.9 (Dispersie van oppervlaktegolven)

Dispersie van oppervlaktegolven is de afhankelijkheid van de fase- en groepssnelheden van een Rayleigh- of Lovegolf van haar periode. In een gelaagde aarde ontstaat zij doordat een golf met een langere periode dieper reikt (voor de fundamentele modus ongeveer een derde van een golflengte) en sneller gesteente middelt; de dispersiekrommen $c(T)$ en $U(T)$, gemeten tussen een aardbeving en een station, of tussen twee stations, worden geïnverteerd naar de S-snelheid als functie van de diepte.

Voor dit model bedraagt de fasesnelheid bij $20\,\mathrm{s}$ $3.79\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en bij $100\,\mathrm{s}$ $4.444\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; de groepssnelheden zijn 3.384 en $4.333\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Op een seismogram dat enkele duizenden kilometers verderop is opgenomen, komen de lange perioden het eerst aan en de golven van $20\,\mathrm{s}$ het laatst, zodat de golftrein wordt uitgerekt tot een lange, langzaam korter wordende trilling. Door de groepssnelheid bij vele perioden langs vele paden te meten krijgt men kaarten van de dikte van de korst en van de bovenste mantel, onafhankelijk van de looptijden van de body-golven.

1.3 De Aarde klinkt na: normaalmodi

Een oppervlaktegolf met een zeer lange periode heeft een golflengte die vergelijkbaar is met de straal van de Aarde; hij reist rond de aardbol en ontmoet zichzelf. De golven die constructief interfereren zijn de staande golven van de hele bol, de normaalmodi, en na een grote aardbeving zijn zij het laatste signaal dat wegsterft. Hun theorie, een eigenwaardeprobleem voor de elastische, zelfgravitërende Aarde, valt buiten dit hoofdstuk; hun beschrijving wel.

De normaalmodi van een bolsymmetrische Aarde vormen twee families. In de toroïdale normaalmodi, ${}_nT_\ell$, is de beweging horizontaal, een verdraaiing van bolvormige schillen ten opzichte van elkaar, zonder verandering van straal of volume: de staande golven van Lovegolven. In de sferoïdale normaalmodi, ${}_nS_\ell$, heeft de beweging een radiale en een horizontale component, en verandert de Aarde van vorm: de staande golven van Rayleighgolven, gekoppeld aan de body-golven en aan de zwaartekracht. De index $\ell$ is de hoekgraad, het aantal knooplijnen van het patroon aan het oppervlak; $n$ telt de knopen van de beweging met de straal, $n = 0$ voor de fundamentele modus. De laagste sferoïdale modus, ${}_0S_2$, rekt de Aarde afwisselend uit tot een prolate en een oblate sferoïde; de laagste toroïdale modus, ${}_0T_2$, draait het noordelijke en het zuidelijke halfrond in tegengestelde richtingen. De waargenomen perioden zijn:

Elke periode is een gemiddelde over de hele planeet van de elastische moduli en de dichtheid, gewogen naar waar de modus beweegt: de toroïdale normaalmodi voelen alleen de vaste mantel en korst, de sferoïdale normaalmodi ook de kern. Het aanpassen van de perioden van honderden normaalmodi is de enige seismologische manier om het inwendige te wegen: het legt de dichtheid vast, niet alleen de snelheden, en PREM is gebouwd om ze samen met de looptijden te passen. De rotatie en de ellipticiteit van de Aarde splitst elke modus van graad $\ell$ in $2\ell + 1$ iets verschillende frequenties, het analogon van het Zeemaneffect.

Geschiedenis — De Aarde na de Chileense aardbeving

De Chileense aardbeving van 1960 werd geregistreerd door slingerseismometers met een lange periode en door rekmeters, instrumenten die de lengteverandering meten van een lange horizontale staaf of draad die in het gesteente is verankerd. Spectraalanalyse van enkele dagen registratie toonde scherpe pieken bij de voorspelde perioden van de laagste normaalmodi: de hele Aarde in trilling was gebracht, en de voorspellingen van de elastische theorie van een bolvormige, zelfgravitërende Aarde kwamen uit. De registratie van de rekmeter bij Isabella, in Californië, werd in 1978 opnieuw geanalyseerd met modernere methoden: het toonde duidelijk de splitsing van ${}_0T_3$, ${}_0T_4$, ${}_0S_4$ en ${}_0S_5$ door de rotatie en ellipticiteit van de Aarde, en bevestigde die van ${}_0S_2$ en ${}_0S_3$.

Normaalmodusseismologie, ontstaan uit één aardbeving, gebruikt nu de netwerken van zeer breedbandige stations die elke grote aardbeving registreren.

1.4 Lineaire inverse problemen

Elke methode van dit hoofdstuk tot nu toe berekent gegevens uit een model. De taak van beeldvorming is het omgekeerde.

Definitie 1.10 (Voorwaarts probleem, invers probleem)

Stel dat een model van de Aarde wordt beschreven door een vector $\mathbf m$ van $M$ parameters en de waarnemingen door een vector $\mathbf d$ van $N$ gegevens. Het voorwaarts probleem is het berekenen van de gegevens $\mathbf d = g(\mathbf m)$ dat een gegeven model zou opleveren, volgens een fysische theorie. Het invers probleem is het schatten van het model uit gegevens die fouten bevatten, $\mathbf d = g(\mathbf m) + \mathbf e$, en aan te geven hoe goed elk deel van het model is bepaald. Het probleem is lineair wanneer $g(\mathbf m) = \mathsf G\mathbf m$ voor een vaste $N\times M$-matrix $\mathsf G$, de kern.

Het aanpassen van een rechte lijn aan looptijden is een lineair invers probleem met $M = 2$ (oefening 7); een looptijdtomografie heeft er duizenden parameters. Drie gevallen doen zich voor. Als $N > M$ en de gegevens elke parameter, het probleem is overbepaald: geen model past op elk gegeven exact, en het beste wordt in statistische zin gezocht. Als een combinatie van parameters de gegevens onveranderd laat ($\mathsf G\mathbf m_0 = \mathbf 0$ voor een $\mathbf m_0 \ne \mathbf 0$), is het probleem onderbepaald in die richting, en geen hoeveelheid gegevens van dat soort zal het vastleggen. Echte problemen zijn gemengd: overbepaald in sommige delen van het model en onderbepaald in andere.

Stelling 1.11 (Gewogen kleinstekwadratenschatting)

Stel $\mathbf d = \mathsf G\mathbf m + \mathbf e$, waarbij de fouten $\mathbf e$ een nulgemiddelde hebben en de covariantiematrix $\mathsf C_d$ (diagonaal $\sigma_i^2$ voor onafhankelijke fouten). Als de matrix $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathsf G$ inverteerbaar is, het model dat de misfit minimaliseert

$$\chi^2(\mathbf m) = (\mathbf d - \mathsf G\mathbf m)^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1} (\mathbf d - \mathsf G\mathbf m)$$

is de gewogen kleinstekwadratenschatting

$$\hat{\mathbf m} = \mathsf N^{-1}\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d ,$$

zij is zuiver, en haar covariantiematrix is $\mathsf C_{\hat m} = \mathsf N^{-1}$.

De gewichten doen wat de intuïtie vraagt: een datum met de helft van de fout telt viermaal zo zwaar mee. De covariantiematrix geeft elke parameter zijn standaardfout $\sqrt{(\mathsf N^{-1})_{jj}}$ en de correlaties tussen de parameters. Als het model juist is en de fouten Gaussisch, volgt de minimale $\chi^2$ een $\chi^2$-verdeling met $N - M$ vrijheidsgraden: een waarde ver boven $N - M$ betekent dat de fouten onderschat zijn of dat het model te eenvoudig is; ver daaronder, dat de fouten overschat zijn.

Wanneer $\mathsf N$ singulier is of er vrijwel op lijkt, bestaat de schatting niet of wordt zij gedomineerd door ruis die is versterkt langs de slecht beperkte richtingen. De standaardoplossing is een model te zoeken dat de data redelijk past en niet onnodig groot is.

Definitie 1.12 (Gedempte kleinste kwadraten, afwegingskromme)

Voor een dempingsparameter $\varepsilon > 0$ is de gedempte kleinste kwadraten schatting is het model dat minimaliseert

$$\Phi_\varepsilon(\mathbf m) = \chi^2(\mathbf m) + \varepsilon^2\|\mathbf m\|^2 , \qquad \mathbf m_\varepsilon = \left(\mathsf N + \varepsilon^2\mathsf I\right)^{-1} \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d .$$

De afwegingskromme is de kromme die, terwijl $\varepsilon$ varieert, wordt doorlopen door het paar (grootte van het model $\|\mathbf m_\varepsilon\|$, misfit $\chi^2(\mathbf m_\varepsilon)$): kleine demping past de data nauw met een groot, ruw model; grote demping geeft een klein model en een slechte pasvorm.

De formule volgt op dezelfde manier als in Stelling 1.11: de gradiënt van $\Phi_\varepsilon$ is $-2\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}(\mathbf d - \mathsf G\mathbf m) + 2\varepsilon^2\mathbf m$, en $\mathsf N + \varepsilon^2 \mathsf I$ is altijd inverteerbaar, want de eigenwaarden ervan zijn die van $\mathsf N$ (allemaal $\ge 0$) vermeerderd met $\varepsilon^2$. De demping wordt meestal gekozen nabij de knik van de afwegingskromme, of zo dat $\chi^2$ ongeveer gelijk is aan het aantal data, de misfit die alleen door de fouten wordt verwacht. De prijs is dat de schatting niet langer zuiver is.

Definitie 1.13 (Modelresolutiematrix)

Voor een lineaire schatting $\mathbf m_\varepsilon = \mathsf H_\varepsilon \mathbf d$ van het model $\mathbf m$ uit de data $\mathbf d = \mathsf G\mathbf m + \mathbf e$, is de modelresolutiematrix is $\mathsf R = \mathsf H_\varepsilon\mathsf G$, zodat

$$\mathbf m_\varepsilon = \mathsf R\,\mathbf m + \mathsf H_\varepsilon\mathbf e .$$

Voor gedempte kleinste kwadraten geldt $\mathsf R = (\mathsf N + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1} \mathsf N$. Rij $j$ van $\mathsf R$ laat zien hoe de schatting van parameter $j$ middelt de werkelijke parameters uit; $\mathsf R = \mathsf I$ betekent perfecte resolutie.

Als $\mathsf N$ de orthonormale eigenvectoren $\mathbf u_k$ en eigenwaarden $\lambda_k$ heeft, dan geldt $\mathsf R = \sum_k \frac{\lambda_k}{\lambda_k + \varepsilon^2} \mathbf u_k\mathbf u_k^{\mathsf T}$: de richtingen die de data goed beperken ($\lambda_k \gg \varepsilon^2$) blijven vrijwel ongewijzigd, die welke ze slecht beperken worden onderdrukt. Het spoor van $\mathsf R$ telt de parameters die de data effectief oplossen, en de covariantie van de schatting, $\mathsf H_\varepsilon\mathsf C_d\mathsf H_\varepsilon^{\mathsf T}$, krimpt naarmate de resolutie afneemt: demping ruilt resolutie in voor stabiliteit.

1.5 Seismische tomografie

Definitie 1.14 (Seismische tomografie, looptijdresidu)

Het looptijdresidu van een aankomst is de waargenomen looptijd min de looptijd die een referentiemodel voorspelt, $\delta t = T_{\text{obs}} - T_{\text{ref}}$, na correctie voor de bronlocatie en oorsprongstijd, de hoogte van het station en de ellipticiteit van de Aarde. Seismische tomografie is de schatting van de driedimensionale afwijkingen van de seismische snelheden ten opzichte van een referentiemodel, $\delta v(\mathbf x)$, uit een grote verzameling residuen (of van golfvormen), door een invers probleem op te lossen.

Schrijf $s = 1/v$ voor de traagheid. De looptijd langs een straal $\Gamma$ is $T = \int_\Gamma s\,\mathrm dl$; maar de straal zelf hangt af van de snelheden, waardoor het probleem niet-lineair lijkt. Het antwoord in de eerste orde is dat het er niet toe doet.

Propositie 1.15 (Gelineariseerd looptijdresidu)

Als de traagheid van het referentiemodel $s_0$ wordt verstoord tot $s_0 + \delta s$, verandert de looptijd tussen twee vaste punten, tot op de eerste orde in $\delta s$, met

$$\delta t = \int_{\Gamma_0}\delta s\,\mathrm dl ,$$

waarbij de integraal wordt genomen langs de straal $\Gamma_0$ van het referentiemodel; de relatieve snelheidsafwijking is $\delta v/v_0 = -\delta s/s_0$ van dezelfde orde.

Verdeel het gebied in $M$ cellen met uniforme verstoring van de traagheid $\delta s_j$. Het residu van straal $i$ wordt $\delta t_i = \sum_j L_{ij}\,\delta s_j$, waarbij $L_{ij}$ de lengte is van de referentiestraal $i$ in cel $j$: een lineair invers probleem waarvan de kern de matrix van stralenlengtes is, waarvan bijna alle elementen nul zijn. De residuen zijn klein: in een mantel waar de snelheid $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ is, verkort een gebied van $200\,\mathrm{km}$ breed dat $3\,\%$ sneller is, de looptijd van een verticale straal met ongeveer $0.7\,\mathrm{s}$ (oefening 9).

Methode 1.16 (Looptijdtomografie)

1. Kies de aankomsttijden van één fase (bijvoorbeeld P) bij alle stations, voor aardbevingen waarvan de locatie goed bekend is; bereken de residuen ten opzichte van een looptijdtabel, gecorrigeerd voor de afplatting en de hoogte van het station.
2. Teken de referentiestralen en verdeel het gebied in cellen (of ontwikkel $\delta s$ naar gladde functies); vul de matrix van stralenlengtes in.
3. Ken aan elk residu zijn fout toe, afgeleid uit de nauwkeurigheid van het aflezen, en los het probleem van gedempte kleinste kwadraten op voor een reeks dempingswaarden; teken de afwegingskromme en kies de demping nabij het knikpunt.
4. Toets de resolutie: bereken de residuen die een bekend synthetisch model via dezelfde stralen zou geven, voeg ruis toe, inverteer ze met dezelfde demping en vergelijk.
5. Interpreteer alleen de afwijkingen die de test laat zien dat de stralen kunnen reconstrueren, waarbij hun amplitudes worden opgevat als ondergrenzen.

Definitie 1.17 (Schaakbordtest)

Een schaakbordtest is een resolutietest waarin het synthetische model een regelmatig patroon is van afwisselend snelle en langzame cellen: synthetische residuen, berekend via de werkelijke stralengeometrie, met ruis van dezelfde grootte als de werkelijke fouten, worden geïnverteerd met dezelfde parametrisatie en demping. Waar het patroon wordt teruggevonden, kunnen structuren van die grootte opgelost worden; waar het patroon wordt uitgesmeerd of verloren gaat, kan dat niet.

De figuren hieronder voeren de test uit op een modeldoorsnede van $800\,\mathrm{km}$ breed en $400\,\mathrm{km}$ diep, verdeeld in 128 cellen van $50\,\mathrm{km}$. Twintig bronnen liggen langs de onderkant en tweeëndertig stations langs de bovenkant, en alleen de stralen binnen $45{}^{\circ}$ van de verticale worden gebruikt: 480 stralen die allemaal steil omhoog gaan, de geometrie van stralen van verre aardbevingen die onder een netwerk omhoog komen. De synthetische model bestaat uit blokken van $2\times2$ cellen, $3\,\%$ snel of langzaam rond $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; de residuen bevatten Gauss-ruis van $0.05\,\mathrm{s}$.

De test illustreert de drie beperkingen van elk tomografisch beeld. De resolutie wordt bepaald door de stralen: waar alle stralen evenwijdig lopen, wordt een anomalie langs hen uitgesmeerd, en een cel die door weinig stralen wordt gekruist, is nauwelijks beperkt. Demping verlaagt de amplitudes: de teruggevonden anomalieën zijn ondergrenzen. En het beeld hangt af van het referentiemodel en de parametrisatie: alleen de afwijkingen ten opzichte van de referentie worden in kaart gebracht, en niets kleiner dan een cel. Met deze voorbehouden tonen de globale P- en S-golfbeelden de slabs van het Boek 3 (in het hoofdstuk over subductie) als plaatvormige snelle gebieden die vanaf de trogen naar beneden lopen, sommige afplattend boven de 670-km-discontinuïteit, andere de ondermantel indringend; en brede langzame gebieden onder de Stille Oceaan en Afrika boven de kern, met smallere langzame kanalen onder sommige hotspots, de kandidaten voor de mantelpluimen van hetzelfde boek.

In het veld — Een breedbandstation en een plaatsing op de oceaanbodem

Een permanent breedbandstation is een rustige plek: de seismometer staat op een betonnen pijler die vastgebout is aan vaste gesteente, in een ondergrondse kluis of een korte tunnel, onder een thermisch schild, want een tochtvlaag of een verandering van enkele honderdsten van een graad kantelt het instrument meer dan een verre aardbeving. De drie componenten, verticaal, noord en oost, worden continu gedigitaliseerd en naar een datacentrum gestuurd met een satelliettijdstempel. Om een gebied onder de oceaan in beeld te brengen, laat een meetteam in plaats daarvan oceaanbodemseismometers vanaf een schip laten zakken: elk zinkt op een anker, registreert een jaar lang op de zeebodem en komt naar het oppervlak terug wanneer het schip terugkeert en een akoestisch signaal stuurt om het los te laten. De bemanning leest vervolgens de klokdrift af, corrigeert de registraties en voegt duizenden aankomsten aan de tomografie toe.

1.6 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

Een P-straal verlaat het oppervlak ($R = 6371\,\mathrm{km}$, $v_0 = 5.80\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$) met de straalparameter $p = 500\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. (a) Bereken de vertrekhoek. (b) PREM geeft P-snelheden van $11.066\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $771\,\mathrm{km}$ diepte en $11.245\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $871\,\mathrm{km}$. Bereken $r/v$ op beide dieptes en bepaal de keerdiepte van de straal door lineaire interpolatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

(a) $\sin i_0 = pv_0/R = 500\times5.80/6371 = 0.4552$, dus $i_0 = 27.1{}^{\circ}$. (b) Bij $771\,\mathrm{km}$ is $r = 5600\,\mathrm{km}$ en $r/v = 5600/11.066 = 506.1\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$; bij $871\,\mathrm{km}$ is $r = 5500\,\mathrm{km}$ en $r/v = 5500/11.245 = 489.1\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. De straal keert om waar $r/v = p = 500$: $z_t = 771 + 100\times(506.1 - 500)/(506.1 - 489.1) = 771 + 36 = 807\,\mathrm{km}$.

Oefening 1.2 ★

De met PREM in dit hoofdstuk berekende P-looptijden bedragen $369.6\,\mathrm{s}$ bij $30{}^{\circ}$ en $455.5\,\mathrm{s}$ bij $40{}^{\circ}$. (a) Schat de helling van de looptijdkromme ertussen, in $\mathrm{s}$ per graad en in $\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. (b) Leid hieruit de schijnbare snelheid van het golffront langs het oppervlak af, in $\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Wat is de P-snelheid op het keerpunt van de straal die aankomt bij $35{}^{\circ}$, als hij keert op de straal $5450\,\mathrm{km}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

(a) $(455.5 - 369.6)/10 = 8.59\,\mathrm{s}$ per graad, en $8.59\times180/\pi = 492.2\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$. (b) Eén boograad is $6371\pi/180 = 111.19\,\mathrm{km}$, dus het golffront doorkruist het oppervlak met $111.19/8.59 = 12.94\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, veel sneller dan elk gesteente aan het oppervlak: de straal komt steil aan. (c) Op het keerpunt geldt $v = r_t/p = 5450/492.2 = 11.07\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, een P-snelheid in de onderste mantel.

Oefening 1.3 ★

In het Lovegolfmodel van dit hoofdstuk heeft de laag $\beta_1 = 3.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_1 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en de halfruimte $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_2 = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Bereken de twee afschuifmoduli. (b) Bij $20\,\mathrm{s}$ is de fasesnelheid $3.79\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: bereken de golflengte en vergelijk die met de laagdikte $35\,\mathrm{km}$. (c) Met groepssnelheden van $3.384\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $20\,\mathrm{s}$ en $4.333\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $100\,\mathrm{s}$, hoeveel minuten komen de golven van 20 s later aan dan die van 100 s bij een station op $4000\,\mathrm{km}$ afstand?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

(a) $\mu_1 = \rho_1\beta_1^2 = 2700\times3500^2 = 3.31 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ($33.1\,\mathrm{GPa}$); $\mu_2 = 3300\times4500^2 = 6.68 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ($66.8\,\mathrm{GPa}$). (b) $\lambda = cT = 3.79\times20 = 75.8\,\mathrm{km}$, 2.17 maal de laagdikte: de golf reikt ver de halfruimte in, en dat is waarom zijn snelheid al boven $\beta_1$ ligt. (c) $4000/3.384 = 1182\,\mathrm{s}$ en $4000/4.333 = 923\,\mathrm{s}$: de 20-s-golven komen $259\,\mathrm{s}$, of $4.3\,\mathrm{min}$, later aan dan de 100-s-golven.

Oefening 1.4 ★

De waargenomen perioden van ${}_0S_2$ en ${}_0T_2$ bedragen $53.89\,\mathrm{min}$ en $44.01\,\mathrm{min}$. (a) Bereken hun frequenties in $\mathrm{mHz}$. (b) Hoeveel trillingen van elk maakt de Aarde in een dag? (c) Twee spectrale pieken kunnen alleen worden gescheiden als de registratie minstens het omgekeerde van hun frequentieverschil duurt. Hoe lang moet een registratie zijn om deze twee modi te scheiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

(a) ${}_0S_2$: $1/(53.89\times60) = 3.093 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz} = 0.3093\,\mathrm{mHz}$; ${}_0T_2$: $1/(44.01\times60) = 0.3787\,\mathrm{mHz}$. (b) $1440/53.89 = 26.7$ en $1440/44.01 = 32.7$ trillingen per dag. (c) Het verschil is $0.0694\,\mathrm{mHz}$, waarvan de inverse $14\,400\,\mathrm{s}$ is: minstens $4.0\,\mathrm{h}$ aan registratie, in de praktijk veel meer, omdat de pieken door demping worden verbreed en gesplitst.

Oefening 1.5 ★★

In een bol met straal $R$ en uniforme snelheid $v$ zijn de stralen rechte koorden. (a) Toon aan dat de straal die $\Delta$ bereikt de looptijd $T = 2R\sin(\Delta/2)/v$ heeft. (b) Met $R = 6371\,\mathrm{km}$ en $v = 10.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, bereken $T$ bij $30{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$, en vergelijk met de PREM-looptijden, $369.6\,\mathrm{s}$ en $779.7\,\mathrm{s}$. (c) Verklaar waarom de uniforme bol bij $30{}^{\circ}$ te snel en bij $90{}^{\circ}$ te langzaam is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

(a) De koorde tussen twee punten van de bol, gescheiden door de hoek $\Delta$ in het middelpunt heeft de lengte $2R\sin(\Delta/2)$, afgelegd met $v$. (b) Bij $30{}^{\circ}$: $2\times6371\times\sin15{}^{\circ}/10.0 = 329.8\,\mathrm{s}$, tegenover $369.6\,\mathrm{s}$; bij $90{}^{\circ}$: $2\times6371\times\sin45{}^{\circ}/10.0 = 901.0\,\mathrm{s}$, tegenover $779.7\,\mathrm{s}$. (c) De straal naar $30{}^{\circ}$ keert om in de bovenmantel, waar de werkelijke snelheid ongeveer 8 tot $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ is, lager dan de uniforme $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; de straal naar $90{}^{\circ}$ doorloopt het grootste deel van zijn weg in de onderste mantel, waar de snelheid 11 tot $13.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ is, en buigt er naartoe af, zodat de werkelijke Aarde is sneller.

Oefening 1.6 ★★

Op een Poissonvaste stof ($\lambda = \mu$, dus $\alpha^2 = 3\beta^2$) geldt voor de snelheid $c$ van de Rayleighgolf, met $\xi = c^2/\beta^2$, $(2 - \xi)^2 = 4\sqrt{1 - \xi/3}\,\sqrt{1 - \xi}$. (a) Kwadrateer dit en toon aan dat de wortels voldoen aan $(\xi - 4)(3\xi^2 - 12\xi + 8) = 0$. (b) Toon aan dat de enige wortel met $0 < \xi < 1$ gelijk is aan $\xi = 2 - 2/\sqrt3$, en bereken $c/\beta$. (c) In de bovenste korst van ak135 is $\beta = 3.46\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: bereken de Rayleighsnelheid en de vertraging van de Rayleighgolf ten opzichte van de S-golf bij $1000\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

(a) Na kwadrateren: $(2 - \xi)^4 = 16(1 - \xi/3)(1 - \xi)$. Werk uit: $16 - 32\xi + 24\xi^2 - 8\xi^3 + \xi^4 = 16 - \tfrac{64}{3}\xi + \tfrac{16}{3}\xi^2$, dus $\xi^4 - 8\xi^3 + \tfrac{56}{3}\xi^2 - \tfrac{32}{3}\xi = 0$, dat is $\xi\,(3\xi^3 - 24\xi^2 + 56\xi - 32) = 0$, en $3\xi^3 - 24\xi^2 + 56\xi - 32 = (\xi - 4)(3\xi^2 - 12\xi + 8)$. De wortel $\xi = 0$ is geen golf. (b) De wortels van de kwadratische vergelijking zijn $2 \pm 2/\sqrt3$, dat is 3.155 en 0.8453; alleen $\xi = 0.8453$ ligt in $(0, 1)$ (en $\xi = 4$ niet), en hij voldoet aan de ongekwadrateerde vergelijking, want beide zijden zijn $4/3$. Dus $c/\beta = \sqrt{0.8453} = 0.9194$. (c) $c = 0.9194\times3.46 = 3.181\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; over $1000\,\mathrm{km}$ is het verschil $314.4 - 289.0 = 25.3\,\mathrm{s}$ na de S-golf.

Oefening 1.7 ★★

Kopgolfaankomsten bij vier stations van een refractielijn, op 50, 100, 150 en $200\,\mathrm{km}$ van het schot, zijn 9.0, 15.3, 21.5 en $27.9\,\mathrm{s}$, met fouten van 0.1, 0.1, 0.2 en $0.2\,\mathrm{s}$. Pas $T = a + bx$ aan met gewogen kleinste kwadraten: schrijf $\mathsf G$ en $\mathsf C_d$ uit, stel de normaalvergelijkingen op, en geef $a$, $b$, hun standaardfouten, de snelheid $1/b$ met zijn fout, en de minimale $\chi^2$. Is de passing acceptabel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

$\mathsf G$ heeft de rijen $(1, x_i)$ en $\mathsf C_d^{-1} = \operatorname{diag} (100, 100, 25, 25)$ ($\mathrm{s}^{-2}$). De normaalvergelijkingen zijn

$$\begin{pmatrix} 250 & 23750 \\ 23750 & 2\,812\,500 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3665 \\ 418125 \end{pmatrix},$$

met determinant $1.390\,625 \times 10^{8}$. Dus $b = (250\times418125 - 23750\times3665)/1.390\,625 \times 10^{8} = 0.125\,75\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ en $a = (2812500\times3665 - 23750\times418125)/1.390\,625 \times 10^{8} = 2.713\,\mathrm{s}$. De covariantie is $\mathsf N^{-1}$: $\sigma_b = \sqrt{250/1.390\,625 \times 10^{8}} = 0.001\,34\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$, $\sigma_a = \sqrt{2812500/1.390\,625 \times 10^{8}} = 0.142\,\mathrm{s}$. De snelheid is $1/b = 7.95\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, met de fout $\sigma_b/b^2 = 0.08\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: een snelheid van de bovenste mantel. De residuen zijn $-0.001$, $0.011$, $-0.076$ en $0.036\,\mathrm{s}$, en $\chi^2 = 0.19$ voor $4 - 2 = 2$ vrijheidsgraden: kleiner dan verwacht, dus de opgegeven fouten zijn eerder ruim; de fit is aanvaardbaar.

Oefening 1.8 ★★

Een straal kruist twee cellen, met lengtes $30\,\mathrm{km}$ en $40\,\mathrm{km}$, en heeft een residu van $0.50\,\mathrm{s}$. (a) Waarom is $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T} \mathsf G$ singulier? (b) Van de modellen die het residu exact passen, is het model met de kleinste norm $\mathbf m = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T})^{-1}\mathbf d$: bereken het. (c) Bereken de matrix $\mathsf R = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T})^{-1}\mathsf G$ en haar spoor. (d) Als de werkelijke anomalie $0.01\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ is in alleen de eerste cel, wat wordt dan teruggevonden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

(a) $\mathsf G = (30\;\;40)$ is een enkele rij: $\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G$ is $2\times2$ met rang één, dus singulier; elk model met $30m_1 + 40m_2 = 0$ kan worden toegevoegd zonder het gegeven te veranderen. (b) $\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} = 900 + 1600 = 2500$, dus $\mathbf m = (30, 40)\times0.50/2500 = (0.006, 0.008)\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$. (c) $\mathsf R = \frac{1}{2500} \begin{pmatrix} 900 & 1200 \\ 1200 & 1600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.36 & 0.48 \\ 0.48 & 0.64 \end{pmatrix}$, met spoor 1: één gegeven bepaalt één combinatie van parameters. (d) $\mathsf R\,(0.01, 0) = (0.0036, 0.0048)\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$: de anomalie is uitgespreid langs de straal, meer in de cel waar de straal langer is.

Oefening 1.9 ★★

Een plakvormig gebied van de mantel is $3\,\%$ sneller dan zijn omgeving, waar $v = 9.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Bereken het residu van een straal die $200\,\mathrm{km}$ ervan verticaal kruist, met Propositie 1.15, en exact. (b) Idem voor een straal die een dikte van $100\,\mathrm{km}$ ervan kruist onder $40{}^{\circ}$ ten opzichte van de normaal op de plaat. (c) Hoe groot is de relatieve fout van de linearisatie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

(a) Gelineariseerd: $\delta t = -(\delta v/v)L/v = -0.03\times200/9.0 = -0.667\,\mathrm{s}$; exact, $L/(1.03v) - L/v = 200/9.27 - 200/9.0 = -0.647\,\mathrm{s}$. (b) Het pad in de slab is $100/\cos40{}^{\circ} = 130.5\,\mathrm{km}$: $-0.03\times130.5/9.0 = -0.435\,\mathrm{s}$ gelineariseerd en $-0.422\,\mathrm{s}$ exact. (c) De exacte waarde is de gelineariseerde gedeeld door $1.03$: een fout van $3\,\%$, van de orde van $\delta v/v$ zelf, zoals verwacht van een eerste-orde theorie.

Oefening 1.10 ★★★

In Stelling 1.8 bestaat een boventoon van orde $n$ alleen bij perioden die kort genoeg zijn. (a) Toon aan dat bij zijn afsnijding de fasesnelheid $\beta_2$ is en $kHq_1 = n\pi$. (b) Leid de afsnijhoekfrequentie $\omega_n = n\pi\beta_1\beta_2/\bigl(H\sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}\bigr)$ af. (c) Bereken de afsnijperiode van de eerste boventoon voor het model van het hoofdstuk ($H = 35\,\mathrm{km}$, $\beta_1 = 3.5$, $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$). (d) Toon aan dat de grondmodus geen afsnijding heeft en dat zijn fasesnelheid naar $\beta_1$ gaat bij korte perioden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

(a) De boventoon bestaat zolang zijn deel in de halfruimte vervalt, $c < \beta_2$; bij zijn afsnijpunt $c = \beta_2$, dus $q_2 = 0$ en $\tan(kHq_1) = 0$, met $kHq_1$ in $[n\pi, n\pi + \pi/2)$: $kHq_1 = n\pi$. (b) Met $k = \omega/\beta_2$ en $q_1 = \sqrt{\beta_2^2/\beta_1^2 - 1} = \sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}/\beta_1$, $\omega_nH\sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}/(\beta_1\beta_2) = n\pi$, wat de formule is. (c) $\sqrt{4.5^2 - 3.5^2} = \sqrt8 = 2.828$; $\omega_1 = \pi\times3.5\times4.5/(35\times2.828) = 0.4998\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $2\pi/0.4998 = 12.57\,\mathrm{s}$: bij langere perioden is alleen de grondmode aanwezig. (d) Voor $n = 0$ is de afsnijfrequentie nul: de grondmode bestaat bij alle perioden. Bij korte perioden $kH \to \infty$ terwijl $kHq_1$ blijft onder $\pi/2$, dus $q_1 \to 0$ en $c \to \beta_1$.

Oefening 1.11 ★★★

Neem de straal van oefening 8, met eenheid datafout. (a) Toon aan dat, voor elke $\varepsilon > 0$, $(\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}\mathsf G^{\mathsf T} = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}$. (b) Leid de gedempte resolutiematrix $\mathsf R_\varepsilon = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G/(\|\mathbf g\|^2 + \varepsilon^2)$ af, waarbij $\mathbf g = (30, 40)$, en haar spoor. (c) Bereken het spoor en het dataresidu voor $\varepsilon^2 = 0$, 2500 en $10\,000$ (in $\mathrm{km}^{2}$). Beschrijf de afweging.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.11.

(a) $\mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I) = (\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2\mathsf I)\mathsf G^{\mathsf T}$; vermenigvuldig links met $(\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2 \mathsf I)^{-1}$ en rechts met $(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}$; beide zijn inverteerbaar voor $\varepsilon > 0$. (b) Hier is $\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} = \|\mathbf g\|^2 = 2500$, een getal, dus $\mathsf R_\varepsilon = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G/(2500 + \varepsilon^2)$, met spoor $2500/(2500 + \varepsilon^2)$. (c) Het voorspelde gegeven is $\mathbf g\cdot\mathbf m_\varepsilon = 0.50\times2500/(2500 + \varepsilon^2)$ en het residu $0.50\,\varepsilon^2/(2500 + \varepsilon^2)$. Voor $\varepsilon^2 = 0$: spoor 1, residu 0; voor 2500: spoor 0.5, residu $0.25\,\mathrm{s}$; voor $10\,000$: spoor 0.2, residu $0.40\,\mathrm{s}$. Meer demping geeft een kleiner model, een slechtere resolutie en een grotere misfit.

Oefening 1.12 ★★★

In de uniforme bol van oefening 5: (a) toon met Stelling 1.3 aan dat $p(\Delta) = (R/v)\cos(\Delta/2)$, en controleer dit tegen de definitie van $p$ (de vertrekhoek van een koorde). (b) Toon aan dat de straal die $\Delta_1$ bereikt keert op $r_1 = R\cos(\Delta_1/2)$. (c) Neem aan dat $\int_0^{\Delta_1}\operatorname{arccosh}\bigl(\cos(\Delta/2) /\cos(\Delta_1/2)\bigr)\,\mathrm d\Delta = \pi\ln\bigl(1/\cos(\Delta_1/2)\bigr)$, toon aan dat de formule van Herglotz–Wiechert $r_1$ en de snelheid $v$ teruggeeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.12.

(a) Uit opgave 5 volgt $T = (2R/v)\sin(\Delta/2)$, dus $\mathrm dT/\mathrm d\Delta = (R/v)\cos(\Delta/2)$. Een koorde die onder hoek $\Delta$ in het middelpunt staat, is de basis van een gelijkbenige driehoek met tophoek $\Delta$; zij snijdt de straal naar de bron dus onder $i_0 = (\pi - \Delta)/2$, en $p = R\sin i_0/v = (R/v)\cos(\Delta/2)$: hetzelfde. (b) Het keerpunt is het midden van de koorde, op afstand $R\cos(\Delta_1/2)$ van het middelpunt; gelijkwaardig $r_1 = p_1v$. (c) Hier is $p(\Delta)/p_1 = \cos(\Delta/2)/\cos(\Delta_1/2)$, en de formule geeft $r_1 = R\exp\bigl(-\ln(1/\cos(\Delta_1/2))\bigr) = R\cos(\Delta_1/2)$, zoals in (b); de snelheid is $r_1/p_1 = R\cos(\Delta_1/2)\big/ \bigl((R/v)\cos(\Delta_1/2)\bigr) = v$.

1.7 Probleem: De plaat onder station K

Probleem 1.1

Weekendprobleem — stralen, Lovegolven en een kleine tomografie onder een verzonnen station

Station K staat op een continent boven een subductiezone. Dit probleem gebruikt zijn registraties op drie manieren: stralen in zijn korst, de dispersie van Lovegolven erdoorheen, en een kleine tomografie van de mantel eronder.

Deel I — Stralen in een gradiënt. Over afstanden die kort genoeg zijn om de kromming van de Aarde te verwaarlozen, neemt de P-snelheid onder K lineair toe met de diepte, $v(z) = v_0 + gz$, met $v_0 = 5.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $g = 0.05\,\mathrm{s}^{-1}$ ($z$ in km).

1. In vlakke lagen behoudt de wet van Snellius $p = \sin i/v$ constant. Een straal vertrekt uit K met $\sin i_0 = 0.8$: bereken $i_0$ en $p$.
2. Op welke diepte keert hij, en wat is de snelheid daar?
3. Toon aan dat $\mathrm di/\mathrm ds = pg$ langs de straal, zodat het een cirkelboog is; geef de straal ervan en de diepte van zijn middelpunt.
4. Bereken de horizontale afstand $X$ waarop de straal terugkeert naar het oppervlak.
5. Toon aan dat $\mathrm dT = \mathrm di/(g\sin i)$ en bereken de looptijd $T$ exact.
6. Bereken $X$ en $T$ voor $p = 0.15\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$, en controleer dat $\Delta T/\Delta X$ tussen de twee stralen ligt tussen de twee waarden van $p$.

Deel II — Lovegolven en de korst. De korst onder K is een laag met S-snelheid $\beta_1 = 3.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en dichtheid $\rho_1 = 2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ op een mantel met $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_2 = 3.3\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; zijn dikte $H$ is onbekend. Tussen K en een buurstation wordt de fasesnelheid van de Lovegolf gemeten: $3.99\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $25\,\mathrm{s}$ en $4.25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $40\,\mathrm{s}$.

7. Bereken $\mu_1$ en $\mu_2$ in $\mathrm{GPa}$.
8. Bereken bij $25\,\mathrm{s}$ $k$, $q_1$ en $q_2$.
9. Los de dispersievergelijking van de grondmodus op voor $H$.
10. Doe hetzelfde bij $40\,\mathrm{s}$. Zijn de twee resultaten consistent?
11. Schat de groepssnelheid tussen de twee perioden als $\Delta\omega/\Delta k$, en vergelijk die met de fasesnelheden.
12. Bereken de golflengte bij elke periode, en verklaar waarom de twee perioden de korst en de bovenste mantel in verschillende verhoudingen voelen.

Deel III — Een tomografie in vier cellen. Onder K is een blok mantel van $200\,\mathrm{km}$ bij $200\,\mathrm{km}$ in een verticale doorsnede in vier vierkante cellen van $100\,\mathrm{km}$ verdeeld: 1 (linksboven), 2 (rechtsboven), 3 (linksonder) en 4 (rechtsonder); de trog en de oceaan liggen links. De referentiesnelheid is $v_0 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. In een geïdealiseerd experiment kruisen zes rechte stralen het blok: A langs de bovenste rij (cellen 1 en 2), B langs de onderste rij (3 en 4), C langs de linkerkolom (1 en 3), D langs de rechterkolom (2 en 4), E langs de diagonaal door 1 en 4, F langs de diagonaal door 2 en 3. Hun residuen zijn:

straal	A	B	C	D	E	F
$\delta t$ ($\mathrm{s}$)	$0.16$	$-0.48$	$-0.36$	$0.11$	$-0.15$	$-0.27$
fout $\sigma$ ($\mathrm{s}$)	0.05	0.05	0.05	0.05	0.10	0.10

Neem het model $\mathbf m$ als de traagheidsafwijkingen van de cellen in $\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ ($1\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1} = 10^{-3}\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$), zodat de elementen van $\mathsf G$ de stralenlengtes in $\mathrm{km}$ gedeeld door 1000 zijn.

13. Schrijf $\mathsf G$ uit, een $6\times4$-matrix.
14. Toon aan dat $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathsf G$ de rijen $(10, 4, 4, 2)$, $(4, 10, 2, 4)$, $(4, 2, 10, 4)$, $(2, 4, 4, 10)$ heeft.
15. Bereken $\mathbf b = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d$.
16. Controleer dat $(1,1,1,1)$, $(1,-1,-1,1)$, $(1,1,-1,-1)$ en $(1,-1,1,-1)$ eigenvectoren van $\mathsf N$ zijn, met eigenwaarden 20, 4, 8 en 8, en leid af dat $\mathsf N^{-1}$ de rijen $(11, -4, -4, 1)/80$, $(-4, 11, 1, -4)/80$, $(-4, 1, 11, -4)/80$ en $(1, -4, -4, 11)/80$ heeft.
17. Bereken de gewogen kleinstekwadratenschatting $\hat{\mathbf m}$.
18. Zet die om in relatieve snelheidsafwijkingen $\delta v/v_0$ in procent.
19. Geef de standaardfout van elke cel in $\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ en in procent, en de correlatie tussen cel 1 en 2, en tussen cel 1 en 4. Verklaar hun tekens.
20. Bereken de residuen van de zes stralen na de fit en de minimale $\chi^2$. Is die consistent met de opgegeven fouten?

Deel IV — Demping, resolutie en de plaat.

21. Geef voor $\varepsilon^2 = 4$ (in de eenheden van $\mathsf N$) de eigenwaarden van $\mathsf R = (\mathsf N + 4\mathsf I)^{-1}\mathsf N$ en toon aan dat $\mathsf R$ de diagonaal $2/3$ heeft, de elementen $1/12$ tussen cellen die een rij- of kolomstraal delen, en $0$ tussen cel 1 en 4 en tussen cel 2 en 3.
22. Bereken de gedempte schatting van cel 3 en haar snelheidsafwijking. Waarom is die kleiner dan de ongedempte?
23. Het gedempte model heeft $\chi^2 = 15.8$ en norm $2.91\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$; het ongedempte $\chi^2 = 0.50$ en $4.24\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$. Welk zou je houden, en waarom heeft dit probleem geen demping nodig?
24. Lees rij 3 van de gedempte $\mathsf R$: met welke cellen is de schatting van cel 3 uitgesmeerd?
25. Welke cel is snel, en welke langzaam? Interpreteer de snelle cel, onder en aan de oceaankant van K, in termen van de subductiezone.
26. Geef de P-snelheidsafwijking van de plaatcel in procent, met haar standaardfout.

Oplossing

Oplossing van Probleem 1.1.

1. $i_0 = \arcsin 0.8 = 53.13{}^{\circ}$ en $p = 0.8/5.0 = 0.16\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. De straal keert om waar $v = 1/p = 6.25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dat is bij $z = (6.25 - 5.0)/0.05 = 25\,\mathrm{km}$.

3. Door $\sin i = pv$ langs de straal te differentiëren volgt $\cos i\,\mathrm di/ \mathrm ds = pg\,\mathrm dz/\mathrm ds = pg\cos i$, dus $\mathrm di/\mathrm ds = pg$: de richting draait met een constante snelheid, de kromming van een cirkel met straal $1/(pg) = 1/(0.16\times0.05) = 125\,\mathrm{km}$. In het keerpunt is de straal horizontaal op $25\,\mathrm{km}$ diepte en ligt het middelpunt loodrecht daarboven op $125\,\mathrm{km}$: bij $z = -100\,\mathrm{km}$, dat is $v_0/g$ boven het oppervlak, waar de geëxtrapoleerde snelheid nul zou worden.

4. In de bron staat de straal van de cirkel loodrecht op de straal, dus maakt die de hoek $i_0$ met de horizontaal, en ligt het middelpunt horizontaal $125\cos i_0$ verder; uit symmetrie volgt $X = 2\times125\times\cos i_0 = 2\times125\times0.6 = 150\,\mathrm{km}$, of $X = 2\sqrt{1 - p^2v_0^2}/(pg)$.

5. $\mathrm dT = \mathrm ds/v$ met $\mathrm ds = \mathrm di/(pg)$ en $v = \sin i/p$: $\mathrm dT = \mathrm di/(g\sin i)$. Dan

$$T = \frac2g\int_{i_0}^{\pi/2}\frac{\mathrm di}{\sin i} = \frac2g\ln\cot\frac{i_0}2 = \frac2g\operatorname{arccosh}\frac1{pv_0} .$$

Hier is $\cot(26.57{}^{\circ}) = 2$, dus $T = 40\ln2 = 27.73\,\mathrm{s}$.

6. Voor $p = 0.15$: $pv_0 = 0.75$, $\sqrt{1 - 0.5625} = 0.6614$, $X = 2\times0.6614/0.0075 = 176.4\,\mathrm{km}$ en $T = 40\operatorname{arccosh} (1.3333) = 40\times0.7954 = 31.81\,\mathrm{s}$. Dan is $\Delta T/\Delta X = 4.08/26.4 = 0.155\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$, tussen 0.15 en 0.16, zoals $\mathrm dT/\mathrm dX = p$ vereist.

7. $\mu_1 = 2700\times3500^2 = 33.1\,\mathrm{GPa}$ en $\mu_2 = 3300\times4500^2 = 66.8\,\mathrm{GPa}$.

8. $k = 2\pi/(cT) = 2\pi/(3.99\times25) = 0.062\,99\,\mathrm{rad}\,\mathrm{km}^{-1}$; $q_1 = \sqrt{(3.99/3.5)^2 - 1} = 0.5474$; $q_2 = \sqrt{1 - (3.99/4.5)^2} = 0.4624$.

9. $\tan(kHq_1) = 66.825\times0.4624/(33.075\times0.5474) = 1.707$; de grondmode neemt $kHq_1 = \arctan1.707 = 1.041$, dus $H = 1.041/(0.06299\times0.5474) = 30.2\,\mathrm{km}$.

10. Bij $40\,\mathrm{s}$: $k = 2\pi/170 = 0.03696$, $q_1 = 0.6888$, $q_2 = 0.3287$, $\tan(kHq_1) = 0.964$, $kHq_1 = 0.7671$ en $H = 0.7671/(0.03696\times0.6888) = 30.1\,\mathrm{km}$. De twee komen overeen binnen de nauwkeurigheid van de fasesnelheden: de korst is ongeveer $30\,\mathrm{km}$ dik.

11. $\omega = 0.2513$ en $0.1571\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 0.06299$ en $0.036\,96\,\mathrm{rad}\,\mathrm{km}^{-1}$: $U \approx 0.0942/0.02603 = 3.62\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, kleiner dan beide fasesnelheden, zoals het moet zijn wanneer $c$ toeneemt met de periode.

12. $\lambda = 3.99\times25 = 99.8\,\mathrm{km}$ en $4.25\times40 = 170\,\mathrm{km}$. De grondmode bemonstert tot een fractie van zijn golflengte: de golf van 25 s ligt grotendeels in de korst, de golf van 40 s reikt ver de mantel in, zodat zijn snelheid dichter bij $\beta_2$ ligt. Twee perioden die dezelfde $H$ opleveren, is een controle dat het tweelagenmodel voldoende is.

13. Met de kolommen voor cellen 1 tot 4 en de rijen A tot F, in eenheden van $1000\,\mathrm{km}$ ($\sqrt2\times100/1000 = 0.1414$):

$$\mathsf G = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0 & 0.1 \\ 0.1414 & 0 & 0 & 0.1414 \\ 0 & 0.1414 & 0.1414 & 0 \end{pmatrix}.$$

14. $\mathsf C_d^{-1} = \operatorname{diag}(400, 400, 400, 400, 100, 100)$. Een rij- of kolomstraal draagt $0.1^2\times400 = 4$ bij, een diagonale straal $0.1414^2\times100 = 2$. Cel 1 wordt gekruist door A, C (elk 4) en E (2): 10. Cellen 1 en 2 delen straal A: 4; cellen 1 en 3 delen C: 4; cellen 1 en 4 delen E: 2; en zo verder door symmetrie, wat de vier gegeven rijen oplevert.

15. Een rij- of kolomstraal levert $0.1\times400\,\delta t = 40\, \delta t$ aan elk van zijn cellen, een diagonale straal $0.1414\times100\,\delta t = 14.14\,\delta t$. Cel 1: $40(0.16 - 0.36) + 14.14\times(-0.15) = -10.12$; cel 2: $40(0.16 + 0.11) + 14.14\times(-0.27) = 6.98$; cel 3: $40(-0.48 - 0.36) + 14.14\times(-0.27) = -37.42$; cel 4: $40(-0.48 + 0.11) + 14.14\times(-0.15) = -16.92$.

16. Voor $(1,1,1,1)$ somt elke rij van $\mathsf N$ op tot 20. Voor $(1,-1,-1,1)$ geeft rij 1 $10 - 4 - 4 + 2 = 4$, en de andere rijen hetzelfde patroon. Voor $(1,1,-1,-1)$ geldt $10 + 4 - 4 - 2 = 8$, en voor $(1,-1,1,-1)$ $10 - 4 + 4 - 2 = 8$. De vectoren staan loodrecht op elkaar en hebben norm 2, dus $\mathsf N^{-1} = \sum_k \mathbf u_k\mathbf u_k^{\mathsf T}/(4\lambda_k)$; het $(1,1)$-element is $\tfrac14(\tfrac1{20} + \tfrac14 + \tfrac18 + \tfrac18) = \tfrac{11}{80}$, het $(1,2)$-element $\tfrac14(\tfrac1{20} - \tfrac14 + \tfrac18 - \tfrac18) = -\tfrac4{80}$, het $(1,4)$-element $\tfrac14(\tfrac1{20} + \tfrac14 - \tfrac18 - \tfrac18) = \tfrac1{80}$, en zo verder.

17. $\hat{\mathbf m} = \mathsf N^{-1}\mathbf b$: $\hat m_1 = (11\times(-10.121) - 4\times6.982 - 4\times(-37.418) - 16.921)/80 = -0.081$; op dezelfde manier $\hat m_2 = 1.844$, $\hat m_3 = -3.706$ en $\hat m_4 = -0.931\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$.

18. $\delta v/v_0 = -v_0\,\delta s = -8.0\times10^{-3}\,\hat m$, in procent $-0.8\,\hat m$: cel 1 $+0.07$, cel 2 $-1.48$, cel 3 $+2.96$, cel 4 $+0.75\,\%$.

19. Elk diagonaalelement van $\mathsf N^{-1}$ is $11/80$: elke cel heeft de standaardfout $\sqrt{0.1375} = 0.371\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$, dat is $0.30\,\%$. De correlatie van cel 1 en 2 is $-4/11 = -0.36$: ze delen straal A, en een langzaamheid die in de ene cel wordt gestopt, kan tegen de andere worden verrekend. Cel 1 en 4, die alleen de minder nauwkeurige diagonaal E delen, zijn zwak en positief gecorreleerd, $+1/11 = +0.09$.

20. De voorspelde residuen zijn $0.176$, $-0.464$, $-0.379$, $0.091$, $-0.143$ en $-0.263\,\mathrm{s}$; de residuen na de fit zijn $-0.016$, $-0.016$, $0.019$, $0.019$, $-0.007$ en $-0.007\,\mathrm{s}$, en $\chi^2 = 0.50$ bij $6 - 4 = 2$ vrijheidsgraden: in overeenstemming met de opgegeven fouten, eerder aan de kleine kant.

21. De eigenvectoren zijn die van $\mathsf N$ en de eigenwaarden $\lambda/(\lambda + 4)$: $20/24 = 5/6$, $4/8 = 1/2$, $8/12 = 2/3$ tweemaal. Net als bij vraag 16 geldt $R_{11} = \tfrac14(\tfrac56 + \tfrac12 + \tfrac23 + \tfrac23) = \tfrac23$; $R_{12} = \tfrac14(\tfrac56 - \tfrac12 + \tfrac23 - \tfrac23) = \tfrac1{12}$; $R_{13} = \tfrac14(\tfrac56 - \tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac23) = \tfrac1{12}$; $R_{14} = \tfrac14(\tfrac56 + \tfrac12 - \tfrac23 - \tfrac23) = 0$.

22. Projecteer $\mathbf b$ op de eigenvectoren: $\mathbf b\cdot\mathbf u_k/4 = -14.37$, $0.849$, $12.80$ en $-9.40$ voor de eigenwaarden 20, 4, 8 en 8. De gedempte schatting deelt ze door $\lambda + 4$ in plaats van door $\lambda$; voor cel 3 (componenten $1, -1, -1, 1$), $m_3 = -14.37/24 - 0.849/8 - 12.80/12 - 9.40/12 = -2.555\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$, een snelheidsanomalie van $+2.04\,\%$. Demping trekt elke component naar nul, het sterkst de slecht bepaalde.

23. Het ongedempte model, dat de data binnen hun fouten past ($\chi^2 = 0.50$ bij 2 vrijheidsgraden), terwijl het gedempte model ze slecht misfit ($15.8$). Demping is alleen nodig wanneer $\mathsf N$ singulier of bijna singulier is; hier is de kleinste eigenwaarde, 4, niet klein, de schatting is stabiel en de fouten zijn matig.

24. Rij 3 is $(1/12, 0, 2/3, 1/12)$: de gedempte schatting van cel 3 is twee derde van de werkelijke waarde plus een twaalfde van cel 1 en 4, de buren langs straal C en straal B, en niets van cel 2.

25. Cel 3, de onderste cel links, is ongeveer $3\,\%$ snel; cel 2 is langzaam. Een koude, dichte slab van oceanische lithosfeer die onder het continent zinkt, is sneller dan de omringende mantel, dus de snelle cel, diep en aan de oceaankant van K, is de slab; de langzame cel erboven aan de andere kant ligt waar de mantelwig heet is.

26. Uit vragen 18 en 19 volgt dat de P-snelheidsanomalie van de slabcel $(3.0 \pm 0.3)\,\%$ is.