24Glaciologie

Steek Groenland van west naar oost langs de breedtecirkel $72.5{}^{\circ}$NB. Het ijs begint enkele tientallen kilometers landinwaarts, stijgt steil, daarna steeds vlakker, tot een brede top van $3229\,\mathrm{m}$ hoogte, en daalt weer naar de bergen van de oostkust. Uitgezet is het oppervlak nagenoeg een parabool die op zijn zij ligt, met zijn top aan de rand. Dit hoofdstuk laat zien waar die vorm vandaan komt: van een materiaal dat sneller en sneller kruipt naarmate het harder wordt belast, zodat het zich bijna gedraagt alsof het niet meer dan een bepaalde spanning kan verdragen. Daarna volgt het ijs van de sneeuw die het voedt tot de zee die het ontvangt.

Wat je al weet

Gletsjers, ijskappen, ijsplaten, ijsbergen, zee-ijs, permafrost en de ijstijden komen aan bod in de schoolboeken. Vloeiwetten en dislocatiekruip staan in Hoofdstuk 7; satellietgravimetrie en de massabalans van de ijskap die daarmee wordt gemeten in Hoofdstuk 3; ijskernen en hun zuurstofisotopen in Hoofdstuk 14. De zeeniveaubegroting, de ijs–albedoterugkoppeling en de thermosterische zeeniveaustijging staan in Boek 4, in het hoofdstuk over antropogene klimaatverandering. Latente warmte en warmtegeleiding staan in de natuurkundeboeken.

24.1 IJs als materiaal

Gletsjerijs is een gesteente, een massa in elkaar grijpende ijskristallen, en het vervormt dicht bij zijn smeltpunt. Onder spanning kruipt het door de beweging van dislocaties in zijn kristallen, net als de gesteenten uit Hoofdstuk 7, en zijn vloeiwet heeft dezelfde vorm: een macht van de spanning maal een Arrhenius-factor.

Stelling 24.1 (Glens vloeiwet)

In isotroop gletsjerijs is de tensor van de reksnelheid evenredig met de deviatorische spanning,

$$\dot\varepsilon_{ij} = A(T)\,\tau_e^{\,n-1}\,\tau'_{ij}, \qquad \tau_e^2 = \tfrac12\,\tau'_{ij}\tau'_{ij},$$

met $n = 3$ en een snelheidsfactor $A(T)$ die toeneemt met de temperatuur. In eenvoudige schuif, met $\tau_{xz}$ als enige niet-nulle deviatorische spanning, geldt $\dot\varepsilon_{xz} = A\tau_{xz}^{\,n}$.

Bij $n = 3$ is ijs een sterk niet-lineaire vloeistof: verdubbelt de spanning, dan vervormt het acht keer zo snel. De effectieve viscositeit, $1/(2A\tau_e^{\,2})$, is geen eigenschap van het ijs alleen, maar neemt af naarmate de spanning stijgt.

Definitie 24.2 (Snelheidsfactor (ijs))

De snelheidsfactor $A(T)$ van de vloeiwet van Glen, ook de zachtheid van het ijs genoemd, wordt geschreven als $A = A_0\exp(-Q/RT)$, met een activeringsenergie $Q$. Een veelgebruikte fit (Paterson en Budd) neemt $A_0 = 3.61 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ en $Q = 60\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ onder $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en $A_0 = 1.73 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ en $Q = 139\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ erboven, dichter bij het smeltpunt, waar het ijs sneller verzacht met de temperatuur.

IJs op zijn smeltpunt stroomt ongeveer vijftig keer zo snel als bij $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ onder dezelfde spanning. Spanningen in gletsjers zijn van de orde van een bar, $10^{5}\,\mathrm{Pa}$.

Een gletsjer beweegt op twee manieren. Het ijs vervormt door kruip, overal; en waar het bed op het smeltpunt zit, kan het ook glijden.

Definitie 24.3 (Basale glijding)

Basale glijding is de beweging van een gletsjer over zijn bed, op een dunne waterfilm of een laag zacht nat sediment. Dit vereist een bed op het smeltpunt; een gletsjer die aan zijn bed is vastgevroren beweegt alleen door het kruip van zijn ijs.

24.2 Gletsjerstroming

Stelling 24.4 (Stroming van een slab met evenwijdige zijden)

Een slab van ijs met dikte $H$ en dichtheid $\rho$ ligt op een bed met helling $\alpha$ en stroomt er langs af door eenvoudige schuif, glijdend met snelheid $u_b$. Op hoogte $z$ boven het bed is de schuifspanning $\tau = \rho g(H - z)\sin\alpha$, de snelheid

$$u(z) = u_b + \frac{2A}{n + 1}(\rho g\sin\alpha)^n\left[H^{n+1} - (H - z)^{n+1}\right],$$

en de flux per eenheid van breedte $q = u_bH + \dfrac{2A}{n + 2}(\rho g\sin\alpha)^nH^{n+2}$. De basale schuifspanning is $\tau_b = \rho gH\sin\alpha$.

De snelheid verandert weinig in het bovenste deel van de plaat en snel vlak bij het bed, waar de spanning het grootst is: met $n = 3$ is de schuif geconcentreerd in de onderste lagen. De oppervlaktesnelheid groeit als $H^{n+1} = H^4$ en als de derde macht van de helling: een ijskap die twee keer zo dik is, stroomt zestien keer zo snel.

Definitie 24.5 (Ondiepe-ijsbenadering)

De ondiepe-ijsbenadering behandelt een ijskap waarvan de dikte klein is ten opzichte van de breedte als plaatselijk een plaat met evenwijdige zijden: op elke plek vervormt het ijs door eenvoudige schuif onder de aandrijvende spanning $\tau_d = \rho gH|\nabla s|$, waarbij $s$ de oppervlaktehoogte is, en de flux volgt de plaatformule met de plaatselijke dikte en oppervlaktehelling.

In de ondiepe-ijsbenadering wordt de basale spanning bepaald door de vorm van het ijs. Omdat de reksnelheid met de derde macht van de spanning toeneemt, geeft een bescheiden toename van de spanning een grote toename van de stroming, die het ijs dunner maakt en de spanning weer verlaagt: de spanning blijft binnen een smal bereik, wat de omvang van de ijsmassa ook is. Trek dit door tot de limiet, een materiaal dat vervormt helemaal niet onder een vloeigrens $\tau_0$ en vervormt zonder grens boven die grens, dan volgt de vorm.

Propositie 24.6 (Plastisch ijskapprofiel)

Een perfect plastische ijskap met vloeigrens $\tau_0$ op een vlak horizontaal bed heeft, op afstand $x$ landinwaarts van zijn rand, de oppervlaktehoogte

$$h(x) = \sqrt{\frac{2\tau_0x}{\rho g}} .$$

24.3 Massabalans

Een gletsjer wordt gevoed door sneeuw en verliest ijs door smelten, verdamping en, waar hij water bereikt, door afbreken.

Definitie 24.7 (Massabalans; accumulatie- en ablatiezones; evenwichtslijn)

De gletsjermassabalans is de verandering van de massa van een gletsjer over een jaar, meestal uitgedrukt in meter waterequivalent gemiddeld over zijn oppervlak. De oppervlaktemassabalans is het deel dat te danken is aan de processen aan het oppervlak, sneeuwval minus smelten, afvoer en sublimatie; de rest gaat verloren door kalven en door smelten aan de basis of onder drijvend ijs. De accumulatiezone is het deel van het oppervlak waar de oppervlaktemassabalans over een jaar positief is, de ablatiezone is het deel waar hij negatief is, en de hoogte van de evenwichtslijn (ELA) is de hoogte van de lijn ertussen, waar hij nul is.

Op de ijskappen en de hoge gletsjers wordt sneeuw niet binnen één seizoen tot ijs. Ze wordt door latere sneeuw bedekt, samengeperst en gerekristalliseerd.

Definitie 24.8 (Firn; poriënafsluiting)

Firn is sneeuw die minstens één smeltseizoen heeft overleefd en die tot ijs wordt samengeperst: dichter dan sneeuw, maar nog doorlaatbaar voor lucht. Poriënafsluiting is het punt in dat verdichtingsproces, bij een dichtheid van ongeveer $820\text{ tot }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, waarop de poriën tussen de korrels worden tot bellen afgesloten en de lucht erin wordt afgesneden van de atmosfeer.

Op de poolijskappen ligt de poriënafsluiting $50\text{ tot }120\,\mathrm{m}$ onder het oppervlak, afhankelijk van de temperatuur, de accumulatie en de verontreinigingen; de lucht in de bellen van een ijskern is daarom jonger dan het ijs eromheen, zoals Hoofdstuk 14 al ophaalde. Voor de meeste gletsjers duurt de overgang van sneeuw naar ijs meer dan honderd jaar.

Een gletsjer reageert niet meteen op een verandering van zijn klimaat. Zijn dikte moet eerst veranderen voordat zijn lengte kan volgen.

Propositie 24.9 (Responstijd van de gletsjer)

Een gletsjer met typische dikte $H$ waarvan de gletsjermassabalans aan het front $b_t < 0$ (in meter ijs per jaar) past zich aan een klimaatverandering aan in een tijd van de orde van

$$\tau = \frac{H}{-b_t} .$$

Een gletsjer van $200\,\mathrm{m}$ dik die bij zijn tong $5\,\mathrm{m}$ ijs per jaar verliest heeft ongeveer veertig jaar nodig om te reageren. Gletsjers hinken dus achter op het klimaat: die van vandaag zullen decennia lang massa blijven verliezen, zelfs als de temperatuur ophoudt te stijgen.

24.4 IJskappen en ijsplaten

De ijskappen van Groenland en Antarctica bevatten meer dan $99\,\%$ van het landijs. Die van Groenland beslaat $1.7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ en is op de dikste plaatsen meer dan $3\,\mathrm{km}$ dik; die van Antarctica beslaat bijna $14\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ en is op de dikste plaatsen bijna $4.9\,\mathrm{km}$ dik. Veel delen van de Antarctische ijskap rusten op een bodem onder het zeeniveau.

Definitie 24.10 (Ijsstroom)

Een ijsstroom is een band van een ijskap die veel sneller stroomt dan het ijs aan weerszijden ervan, vooral door glijding of door de vervorming van een zachte, natte bodem, en die een groot deel van het binnenland van de ijskap naar de rand afvoert.

Definitie 24.11 (Aardingslijn; kalven)

De aardingslijn is de lijn waar ijs dat op zijn bodem rust en begint te drijven: zeewaarts ervan is het ijs een ijsplaat of een drijvende gletsjertong. Kalven is het afbreken van blokken ijs, ijsbergen, aan de voorkant van een gletsjer of een ijsplaat die in water eindigt.

IJsplaten drijven, dus hun smelten verhoogt het zeeniveau niet. Maar ze worden aan hun zijkanten vastgehouden en op de heuvels van de zeebodem waar ze aan de grond lopen, en de wrijving daar verzet zich tegen de stroming van het ijs erachter: ze schragen het. Nadat de ijsplaat Larsen B in 2002 uiteenviel, versnelden de gletsjers die er ijs naartoe hadden gevoerd, tot acht keer zo snel.

Propositie 24.12 (Drijfvermogen)

IJs met dichtheid $\rho_i$ en dikte $H$ op een bodem op diepte $D$ onder het zeeniveau, in zeewater met dichtheid $\rho_w$, drijft als $H < (\rho_w/\rho_i)D$. Met $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $\rho_w = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ligt de aardingslijn waar het ijs $1.12\,D$ dik is.

Op een bodem die landinwaarts dieper wordt, is de aardingslijn kwetsbaar. Waar het water dieper is, is het ijs bij de aardingslijn dikker, volgens de drijfvoorwaarde, en volgens de slabstelling neemt de stroom van een dikkere kolom steil toe met de dikte. Als de aardingslijn langs zo’n helling terugtrekt, bereikt zij dikker ijs dat meer afvoert, sneller dunner wordt en de lijn verder laat terugtrekken.

Definitie 24.13 (Instabiliteit van mariene ijskappen)

Instabiliteit van mariene ijskappen (MISI) is de veronderstelde zichzelf versterkende terugtrekking van de aardingslijn van een ijskap die rust op een bodem die naar het binnenland afloopt: zonder de tegenhouding door een ijsplaat is de aardingslijn op zo’n bodem inherent instabiel totdat zij een bodem bereikt die omhoog loopt.

Ijsplaten kunnen een aardingslijn ook op een dalende helling op zijn plaats houden. Modellen waarin alle Antarctische ijsplaten worden weggehaald en niet mogen hervormen, verliezen in 500 jaar via deze instabiliteit ijs dat $2\text{ tot }10\,\mathrm{m}$ zeeniveau-equivalent bedraagt, waarvan $2\text{ tot }5\,\mathrm{m}$ uit West-Antarctica. Bij ijskappen die grotendeels op vast gesteente boven het zeeniveau rusten, zoals Groenland, is het belangrijkste zichzelf versterkende proces een ander: naarmate het oppervlak smelt en daalt, ligt het in warmere lucht en smelt het meer.

Definitie 24.14 (Zeeniveau-equivalent)

Het zeeniveau-equivalent van een massa landijs is de stijging van het mondiale gemiddelde zeeniveau die het smelten ervan zou veroorzaken als het water zich over de huidige oceaan verspreidt.

Propositie 24.15 (Zeeniveau-equivalent van een massa ijs)

Een massa $M$ ijs dat boven het zeeniveau rust, verspreid over een oceaan met oppervlakte $A_o$ als water met dichtheid $\rho_w$, verhoogt het zeeniveau met $M/(\rho_wA_o)$: ongeveer $1\,\mathrm{mm}$ per $360\,\mathrm{Gt}$.

Ijs dat al onder het zeeniveau ligt, verdringt zeewater en telt daarom minder mee: het ijs van Antarctica, $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$, komt overeen met ongeveer $58\,\mathrm{m}$ zeeniveau, minder dan de massa gedeeld door $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$.

In het veld — Een kamp op het ijs

Op een ijskap reizen de instrumenten van de glaciologen per slee en wonen zij in tenten. Om te meten hoe snel het ijs beweegt, vriezen zij een paal in de sneeuw en monteren zij daarop de antenne van een satellietnavigatieontvanger. De ontvangers die in de geodesie worden gebruikt, leggen een positie vast tot binnen enkele centimeters, zodat herhaalde posities over weken of seizoenen de snelheid en de richting van het ijs geven, en de hoogte van de paal, opnieuw ingemeten, de uitdunning of aangroei van het ijs eronder.

24.5 Zee-ijs en permafrost

Zee-ijs vormt zich, groeit en smelt in de oceaan. In de Arctis bereikt het zijn grootste oppervlakte in maart en zijn kleinste in september.

Definitie 24.16 (Zee-ijsuitbreiding)

De zee-ijsuitbreiding is de totale oppervlakte van de cellen van een satellietkaart waarin zee-ijs meer dan $15\,\%$ van het oppervlak bedekt. Zij is groter dan de zee-ijsoppervlakte, die alleen het ijs zelf telt.

Sinds satellieten het in 1979 begonnen te karteren, is de Arctische uitbreiding afgenomen, in maart en veel sterker in september: met $0.74\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ per decennium in september, ongeveer $12\,\%$ van het gemiddelde van 1981–2010 per decennium, tegenover $0.38\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, $2.5\,\%$, in maart. De kleinste uitbreiding in september tot nu toe, $3.57\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, was in 2012. Arctisch zee-ijs weerkaatst $50\text{ tot }70\,\%$ van het zonlicht, de open oceaan ongeveer $6\,\%$: door het verlies van het ijs wordt het oppervlak donkerder, de ijs–albedoterugkoppeling uit Boek 4.

Zee-ijs groeit aan de onderkant, waar het zeewater erop bevriest, en de latente warmte van dat bevriezen moet via het ijs omhoog naar de koude lucht worden geleid.

Stelling 24.17 (Wet van Stefan)

Zee-ijs met warmtegeleidingscoëfficiënt $k_i$, dichtheid $\rho_i$ en latente smeltwarmte $L$, waarvan het oppervlak op een temperatuur $\Delta T$ onder het vriespunt van het water eronder wordt gehouden, groeit, als de warmte uit de oceaan verwaarloosbaar is, volgens

$$h(t)^2 - h(0)^2 = \frac{2k_i\,\Delta T}{\rho_iL}\,t .$$

Onder een sneeuwlaag met dikte $h_s$ en geleidingsvermogen $k_s$ is de groeisnelheid $\mathrm dh/\mathrm dt = \Delta T/[\rho_iL(h/k_i + h_s/k_s)]$.

Met $k_i = 2.03\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ en $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ groeit een oppervlak dat $20\,\mathrm{K}$ onder het vriespunt ligt in honderd dagen $1.5\,\mathrm{m}$ ijs en in tweehonderd dagen $2.1\,\mathrm{m}$. Sneeuw, met een geleidingsvermogen van $0.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, is een goede isolator: $20\,\mathrm{cm}$ ervan halveert de groei meer dan. Dik ijs groeit langzaam, dun ijs snel: de wet heeft de neiging de dikte van het ijs na een zomer van smelten weer gelijk te maken.

Permafrost is grond die twee jaar of langer op of onder $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ blijft. Het ligt onder ongeveer een kwart van het ontoonde land van het noordelijk halfrond. Hemisphere.

Definitie 24.18 (Actieve laag)

De actieve laag is de laag grond boven de permafrost die elke zomer ontdooit en elke winter opnieuw bevriest.

De dikte ervan wordt, net als de groei van zee-ijs, bepaald door de geleiding van warmte de grond in tijdens het ontdooiseizoen, tegenover de latente warmte van het ijs in de grond. De temperatuur van de permafrost is de afgelopen drie tot vier decennia overal in de permafrostgebieden gestegen (hoge betrouwbaarheid); de permafrost is wereldwijd met $0.29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ [$0.17\text{ tot }0.41$] opgewarmd tussen 2007 en 2016 (gemiddelde betrouwbaarheid), en een toename van de dikte van de actieve laag is een fenomeen over het hele Arctische gebied (gemiddelde betrouwbaarheid). Waar het ijs erin smelt, kan de grond instorten.

24.6 De cryosfeer en het zeeniveau

Het budget van het zeeniveau uit Boek 4 telt de uitzetting van de opwarmende oceaan op bij het water dat door het ijs en door het land wordt toegevoegd. Van de $3.69\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ zeeniveaustijging die tussen 2006 en 2018 is waargenomen, droegen gletsjers $0.62\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ bij, Groenland $0.63\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en Antarctica $0.37\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$: het ijs samen meer dan de uitzetting van de oceaan, $1.39\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Cijfers van 2021

Groenland verloor $4890\,\mathrm{Gt}$ aan ijs over 1992–2020 [4140 tot 5640], $13.5\,\mathrm{mm}$ zeeniveau, met snelheden die stegen van $39\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ in de jaren 1990 tot $243\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ in 2010–2019, door afvoer en, in toenemende mate, door oppervlaktesmelt (hoge betrouwbaarheid). Antarctica verloor $2670\,\mathrm{Gt}$ [1800 tot 3540], $7.4\,\mathrm{mm}$, met een snelheid die steeg van $49\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ in de jaren 1990 tot $148\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ in 2010–2019; het verlies kwam van de uitlaatgletsjers van West-Antarctica, vooral door het smelten van de ijsplaten van onderaf (hoge betrouwbaarheid). De gletsjers buiten de ijskappen verloren $6200\,\mathrm{Gt}$ over 1993–2019, $17.1\,\mathrm{mm}$, meer in 2010–2019 dan in welke andere decennium van de reeks ook (zeer hoge betrouwbaarheid). Groenland zal deze eeuw onder alle beschouwde scenario’s blijven verliezen aan massa (vrijwel zeker), en Antarctica zal dat ook doen (waarschijnlijk): tegen 2100 voegt Groenland waarschijnlijk $0.01\text{ tot }0.10\,\mathrm{m}$ toe aan het zeeniveau onder een scenario met lage emissies en $0.09\text{ tot }0.18\,\mathrm{m}$ onder een zeer hoog scenario, Antarctica $0.03\text{ tot }0.27\,\mathrm{m}$ en $0.03\text{ tot }0.34\,\mathrm{m}$. De Arctische Oceaan zal waarschijnlijk praktisch vrij van zee-ijs worden, met minder dan $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ ervan, in zijn septemberminimum voor de eerste keer vóór 2050 onder alle beschouwde scenario’s.

De verliezen van de ijskappen zijn die van Hoofdstuk 3, gemeten met altimetrie, met gravimetrie en met het verschil tussen de sneeuw die valt en het ijs dat afstroomt: drie onafhankelijke methoden samengebracht tot één schatting.

24.7 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Een dalgletsjer van $250\,\mathrm{m}$ dik stroomt af over een helling van $3{}^{\circ}$. Bereken de basale schuifspanning, en vergelijk die met de basale spanningen van echte gletsjers, van de orde van een bar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

$\tau_b = \rho gH\sin\alpha = 917\times9.81\times250\times\sin3{}^{\circ} = 118\,\mathrm{kPa}$, ongeveer $1.2\,\mathrm{bar}$: de grootteorde van de spanningen onder echte gletsjers.

Oefening 24.2 ★

(a) De ijskap van Groenland bevat ongeveer $2.9\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ ijs met een dichtheid van $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Bereken de massa en het zeeniveau-equivalent bij $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$, en vergelijk met de $7.4\,\mathrm{m}$ die gewoonlijk wordt genoemd. (b) Doe hetzelfde voor de $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ van Antarctica, opgegeven als ongeveer $58\,\mathrm{m}$. Waarom verschillen de twee zo sterk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

(a) $2.9 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{3}\times917 = 2.66 \times 10^{18}\,\mathrm{kg} = 2.66 \times 10^{6}\,\mathrm{Gt}$; gedeeld door $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$, $7390\,\mathrm{mm}$, $7.4\,\mathrm{m}$, de vermelde waarde. (b) $3.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\times917/360 = 76\,\mathrm{m}$, tegenover $58\,\mathrm{m}$. Het ijs van Groenland rust grotendeels op vast gesteente boven het zeeniveau, dus al dat ijs zou water aan de oceaan toevoegen. Een groot deel van het Antarctische ijs rust op ondergrond onder het zeeniveau: dat ijs verdringt al zeewater, en het smelten ervan vervangt alleen het water dat het verdringt; de drijvende ijsplaten voegen helemaal niets toe.

Oefening 24.3 ★

Een gletsjer heeft een accumulatiezone van $6\,\mathrm{km}^{2}$ met een gemiddelde balans van $+1.2\,\mathrm{m}$ waterequivalent, en een ablatiezone van $4\,\mathrm{km}^{2}$ met $-2.1\,\mathrm{m}$. Bereken de nettobalans in kubieke meter water, de gemiddelde specifieke balans, en de accumulatiegebiedsverhouding. Groeit hij of krimpt hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

Winst $6 \times 10^{6}\times1.2 = 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, verlies $4 \times 10^{6}\times2.1 = 8.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ aan water: netto $-1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, een gemiddelde soortelijke balans van $-1.2\times10^6/10^7 = -0.12\,\mathrm{m}$ waterequivalent. De accumulatiezoneverhouding is $6/10 = 0.6$. De gletsjer verliest massa: hij krimpt.

Oefening 24.4 ★

Bij poriënafsluiting heeft het firn een dichtheid van $820\text{ tot }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Welk deel van zijn volume is nog poriënruimte (ijs: $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$1 - 820/917 = 0.106$ en $1 - 830/917 = 0.095$: ongeveer een tiende van het volume is nog poriënruimte wanneer de poriën afsluiten.

Oefening 24.5 ★★

Een temperate gletsjer (ijs op $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $A = 1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$) is $300\,\mathrm{m}$ dik op een helling van $3{}^{\circ}$. Bereken de oppervlaktesnelheid uitsluitend door interne vervorming. Met welke factor verandert de snelheid als de gletsjer twee keer zo dik zou zijn? Als de helling zou worden gehalveerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

$\tau_b = 917\times9.81\times300\times\sin3{}^{\circ} = 141.2\,\mathrm{kPa}$. Volgens de slabstelling, $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.43 \times 10^{-16} \times(1.412 \times 10^{5})^3\times300 = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$. Twee keer zo dik: $u_s \propto H^{n+1} = H^4$, zestien keer zo snel. Halve helling: $u_s \propto (\sin\alpha)^3$, acht keer zo langzaam.

Oefening 24.6 ★★

Bereken uit de constanten van Paterson–Budd de snelheidsfactor bij $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de verhouding van de snelheden van twee identieke ijsmassa’s bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en bij $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

Bij $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($248.15\,\mathrm{K}$), $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/ (8.314\times248.15)) = 8.5 \times 10^{-26}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, of $2.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Bij $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.61 \times 10^{-13} \exp(-27.42) = 4.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.4 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (warme tak) $1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Onder dezelfde spanningen verhouden de snelheden zich als de snelheidsfactoren: $1.43 \times 10^{-16}/2.67 \times 10^{-18} = 54$.

Oefening 24.7 ★★

Bereken de grootste dikte van een plastische ijskap met een afstand van $1000\,\mathrm{km}$ van het midden tot de rand, met $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$, en vergelijk die met de grootste dikte van het Antarctische ijs, bijna $4.9\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

$h = \sqrt{2\times10^5\times10^6/(917\times9.81)} = 4.7\,\mathrm{km}$, dicht bij $4.9\,\mathrm{km}$ van Antarctica: het plastische model geeft de dikte van een ijskap uit alleen de breedte ervan.

Oefening 24.8 ★★

Een gletsjer van $200\,\mathrm{m}$ dik verliest $5\,\mathrm{m}$ ijs per jaar aan zijn tong. Schat de responstijd. Stel dat het klimaat plotseling opwarmt en daarna constant blijft; hoe lang blijft zijn lengte dan veranderen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

$\tau = 200/5 = 40\text{ jaar}$. De lengte zou nog blijven aanpassen gedurende meerdere decennia, een paar responstijden, nadat de opwarming stopte: de gletsjers van vandaag hebben het klimaat van vandaag nog niet ingehaald.

Oefening 24.9 ★★

(a) Gebruik de wet van Stefan met $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$ en bereken de dikte van kaal zee-ijs na 100 dagen, en de tijd die nodig is om $3\,\mathrm{m}$ te bereiken. (b) Wat suggereert dit over ijs dat dikker is dan $3\,\mathrm{m}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

(a) $h = \sqrt{2\times2.03\times20\times8.64 \times 10^{6}/(917\times3.34 \times 10^{5})} = 1.51\,\mathrm{m}$. Aangezien $h^2 \propto t$ duurt het $3\,\mathrm{m}$ te bereiken $100\times (3/1.51)^2 = 393$ dagen, meer dan een winter. (b) Ijs dat veel dikker is dan $3\,\mathrm{m}$ kan niet in één winter door bevriezing groeien: het is ijs dat meerdere winters heeft overleefd, of ijs dat door wind en stromingen in ruggen is opgestapeld.

Oefening 24.10 ★★★

(a) Waar het bed $800\,\mathrm{m}$ onder het zeeniveau ligt, hoe dik is het ijs bij de aardingslijn? (b) Gebruik de slabflux $q \propto H^{n+2}$ bij een gegeven oppervlaktehelling: met welke factor stijgt de flux van het geaarde ijs als de aardingslijn terugtrekt naar de plek waar het bed $900\,\mathrm{m}$ diep is? (c) Verklaar waarom een bed dat landinwaarts dieper wordt de terugtrekking zelfversterkend maakt, en wat een ijsplaat verandert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

(a) $H = (1025/917)\times800 = 894\,\mathrm{m}$. (b) Bij $900\,\mathrm{m}$ is de dikte van de aardingslijn $1006\,\mathrm{m}$, $9/8$ van de vorige; de flux stijgt met $(9/8)^5 = 1.8$. (c) Terwijl de lijn terugtrekt over een ondergrond die landinwaarts dieper wordt, is het ijs bij de lijn dikker, voert het meer af en dunt het ijs erachter uit, en de lijn trekt verder terug: een positieve terugkoppeling. Een ijsplaat die het op de ondergrond rustende ijs stut, verkleint de flux bij de aardingslijn en kan de lijn zelfs op een aflopende helling op zijn plaats houden.

Oefening 24.11 ★★★

Toon aan dat het volume van een cirkelvormige plastische ijskap met straal $R$ gelijk is aan $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$. Met welke factor groeit het zeeniveau-equivalent als de straal verdubbelt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

Met $h(r) = c\sqrt{R - r}$, $c = \sqrt{2\tau_0/(\rho g)}$, $V = \int_0^R2\pi rc\sqrt{R - r}\,\mathrm dr$. Met de substitutie $s = R - r$,

$$\int_0^R(R - s)\sqrt s\,\mathrm ds = \tfrac23R^{5/2} - \tfrac25R^{5/2} = \tfrac4{15}R^{5/2},$$

dus $V = \frac{8\pi}{15}cR^{5/2}$. Verdubbeling van $R$ vermenigvuldigt $V$ en het zeeniveau-equivalent met $2^{5/2} = 5.7$.

Oefening 24.12 ★★★

De gemiddelde zee-ijsuitbreiding in de Arctis was $16.34\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ in maart 1979 en $14.13\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ in maart 2026; in september $7.05$ en $4.81\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (a) Bereken de relatieve verandering in elke maand. (b) Geef twee fysische redenen waarom de uitbreiding in september zoveel sneller is gedaald dan die in maart.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.12.

(a) Maart: $14.13/16.34 - 1 = -13.5\,\%$; september: $4.81/7.05 - 1 = -31.8\,\%$. (b) In maart wordt de ijsrand grotendeels vastgehouden door de kusten die de Noordelijke IJszee omringen, en het elke winter opnieuw bevriezen vult het bekken weer; het dunnere ijs van de laatste jaren smelt elke zomer meer volledig weg. En de ijs–albedoterugkoppeling werkt in de zomer: open water absorbeert ongeveer $94\,\%$ van het zonlicht, ijs weerkaatst $50\text{ tot }70\,\%$, dus elk verlies van zomerijs verwarmt het water en smelt meer.

24.8 Probleem: de Arkel-ijskap

Probleem 24.1

Weekendprobleem — de vorm, stroming, massabalans en zeeniveau-equivalent van een verzonnen ijskap

De verzonnen Arkel-ijskap ligt op een vlak plateau. Hij is bijna cirkelvormig, $20\,\mathrm{km}$ in straal, en het ijs is op ongeveer $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Neem $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

Deel I — Is de kap plastisch?

1. Toon aan dat onder ijs met dikte $H$ en een kleine oppervlaktehelling $\alpha$ de basale schuifspanning ongeveer $\rho gH\alpha$ bedraagt.
2. Radarsondages en metingen op 5, 10 en $15\,\mathrm{km}$ van het midden geven dikten van 580, 470 en $335\,\mathrm{m}$ en oppervlaktehellingen van $0.0190$, $0.0240$ en $0.0330$. Bereken de basale schuifspanning op de drie punten.
3. Is de kap dicht bij plastisch? Welke vloeispanning wordt aangenomen?
4. Met $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$ bereken $2\tau_0/(\rho g)$.
5. Voorspel de dikte op de drie punten uit het plastische profiel en vergelijk die met de radarsondages.

Deel II — Vorm en volume.

6. Bereken de dikte in het midden.
7. Toon aan dat voor het volume geldt $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$.
8. Bereken het volume in kubieke kilometer.
9. Bereken het oppervlak en de gemiddelde dikte.
10. Een ijskap die twee keer zo breed is op hetzelfde plateau: met welke factor is zijn volume dan groter?

Deel III — Stroming en balans.

11. Bereken de snelheidsfactor bij $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in $\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
12. Bereken op $10\,\mathrm{km}$ van het midden, de ijsmassa als slab behandelend, de oppervlaktesnelheid door interne vervorming.
13. Bereken de ijsflux per eenheid van breedte daar, en de gemiddelde snelheid van de kolom.
14. In een stationaire toestand is de flux die de cirkel met straal $10\,\mathrm{km}$ verlaat gelijk aan de massabalans die erbinnen wordt opgebouwd. Welke gemiddelde massabalans, in meter ijs per jaar, is hiervoor nodig?
15. De evenwichtslijn ligt $450\,\mathrm{m}$ boven het plateau. Waar ligt zij op de kap, en wat is de accumulatiezone-verhouding?
16. Als het ijs op $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ zou opwarmen, met welke factor zouden de snelheden dan toenemen? Wat zou er met de vorm van de kap gebeuren?

Deel IV — Zeeniveau.

17. Bereken de massa van de kap in gigaton.
18. Bereken het zeeniveau-equivalent in millimeter.
19. Als de hele kap met $0.5\,\mathrm{m}$ ijs per jaar zou dunnen, zonder te stromen, hoe lang zou hij dan meegaan?
20. Waarom zou de werkelijke kap eerder verdwijnen dan dat, zodra hij begon te dunnen?
21. Met het tempo waarin Groenland in 2010–2019 ijs verloor, hoe lang zou het duren om een massa gelijk aan die van de ijskap van Arkel te verliezen?
22. Geef het zeeniveau-equivalent van de ijskap van Arkel, in millimeter, op één decimaal nauwkeurig.

Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. De kolom boven de ondergrond, met een gewicht van $\rho gH$ per eenheid van oppervlak, wordt langs de helling naar beneden geduwd door de component $\rho gH\sin\alpha$, in evenwicht gehouden door de schuifspanning aan de basis; voor kleine hellingen is $\sin\alpha \approx \alpha$ (de slabstelling met de helling van het oppervlak).

2. $917\times9.81\times580\times0.0190 = 99.1\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81\times470\times0.0240 = 101.5\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81 \times335\times0.0330 = 99.4\,\mathrm{kPa}$.

3. De spanning blijft binnen $2\,\%$ gelijk, terwijl de dikte bijna halveert: de kap benadert plastisch gedrag, met $\tau_0 \approx 100\,\mathrm{kPa}$.

4. $2\times10^5/(917\times9.81) = 22.23\,\mathrm{m}$.

5. $h = \sqrt{22.23\,(R - r)}$: $577\,\mathrm{m}$, $472\,\mathrm{m}$ en $333\,\mathrm{m}$ op 15, 10 en $5\,\mathrm{km}$ van de rand, binnen enkele meters van de peilingen.

6. $\sqrt{22.23\times20000} = 667\,\mathrm{m}$.

7. Zoals in Oefening 24.11: $V = \int_0^R2\pi r \sqrt{22.23(R - r)}\,\mathrm dr = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$.

8. $\frac{8\pi}{15}\times4.715\times(2 \times 10^{4})^{5/2} = 4.47 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3} = 447\,\mathrm{km}^{3}$.

9. $\pi\times20^2 = 1257\,\mathrm{km}^{2}$; gemiddelde dikte $447/1257 = 0.356\,\mathrm{km}$, $356\,\mathrm{m}$, iets meer dan de helft van de centrale dikte.

10. $2^{5/2} = 5.7$ keer.

11. $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/(8.314\times263.15)) = 4.45 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, maal $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $1.40 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. Bij $10\,\mathrm{km}$, $H = 471.5\,\mathrm{m}$, helling $471.5/20000 = 0.0236$, $\tau_b = 100\,\mathrm{kPa}$; $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.40 \times 10^{-17}\times10^{15}\times471.5 = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$.

13. $q = \tfrac{2A}{5}\tau_b^3H^2 = 0.4\times1.40 \times 10^{-17} \times10^{15}\times471.5^2 = 1250\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; gemiddelde snelheid $q/H = 2.6\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, vier vijfde van de oppervlaktesnelheid.

14. $2\pi rq = \pi r^2\bar b$, dus $\bar b = 2q/r = 2\times1250/10^4 = 0.25\,\mathrm{m}$ ijs per jaar over de binnenste $10\,\mathrm{km}$.

15. $h = 450$ waar $R - r = 450^2/22.23 = 9.11\,\mathrm{km}$, bij $r = 10.9\,\mathrm{km}$; de accumulatiezone is de schijf daarbinnen, $(10.9/ 20)^2 = 0.30$ van de kap.

16. $A$ stijgt met $10.2$, en ook de snelheden onder dezelfde spanningen. Het ijs zou sneller afvloeien dan de balans aanvoert: de kap zou dunner worden en uitspreiden totdat de spanningen, lager geworden, opnieuw in evenwicht waren met de balans; een zachtere plastische kap heeft een kleinere vloeispanning en een vlakker profiel.

17. $4.47 \times 10^{11}\times917 = 4.10 \times 10^{14}\,\mathrm{kg} = 410\,\mathrm{Gt}$.

18. $410/360 = 1.14\,\mathrm{mm}$.

19. $356/0.5 = 711$ jaar.

20. Naarmate het oppervlak daalt, bevindt het zich in warmere lucht en smelt het sneller, de hoogte–massabalansterugkoppeling; en naarmate het dunner wordt, veranderen de spanningen en de stroming eveneens. Het uitdunnen versnelt.

21. $410/243 = 1.7\text{ jaar}$: de hele kap is minder dan twee jaar aan verlies van Groenland in 2010–2019.

22. De ijskap Arkel heeft een zeeniveau-equivalent van $1.1\,\mathrm{mm}$ ($1.14\,\mathrm{mm}$).