19Geofysische vloeistofdynamica

Roer in een kopje thee en de draaiing is binnen een minuut uitgedoofd; de theeblaadjes verzamelen zich in het midden op de bodem, en verder gebeurt er niets. Ook de oceaan en de atmosfeer worden geroerd, door de Zon en de wind, maar op een roterende planeet en in lagen met verschillende dichtheid. Rotatie en gelaagdheid zorgen dat ze zich houden aan regels die een theekopje nooit laat zien: winden waaien langs de isobaren in plaats van er dwars op, weigeren kolommen vloeistof te kantelen, en de wind van de bovenste troposfeer ligt besloten in de temperaturen eronder. Dit hoofdstuk stelt de vergelijkingen op van deze grote, trage, dunne stromingen en de weinige getallen die bepalen welke termen ertoe doen.

Wat je al weet

De Coriolis- en centrifugaalkrachten in een roterend assenstelsel, de Navier–Stokes en continuïteitsvergelijkingen, de viscositeit, het Reynoldsgetal en de hydrostatische relatie zijn behandeld in de natuurkundeboeken. De Coriolisparameter $f = 2\Omega \sin\varphi$, de drukgradiëntkracht, het geostrofisch evenwicht, de geostrofische en gradiëntwinden en de straalstromen worden behandeld in Boek 3, in het hoofdstuk over de algemene circulatie van de atmosfeer; de Ekmanlaag in het hoofdstuk over de circulatie van de oceaan; de potentiële temperatuur, statische stabiliteit en de oscillatie van een opgetild luchtpakketje in het hoofdstuk over de structuur van de atmosfeer en de oceaan.

19.1 Vergelijkingen in een roterend assenstelsel

In een assenstelsel dat meedraait met de Aarde, met de hoeksnelheid $\vec\Omega$, voldoet een vloeistofpakketje met snelheid $\vec u$ aan

waarin $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ de afgeleide is die het pakketje volgt en $\nu$ de kinematische viscositeit. De middelpuntvliedende kracht is opgeteld bij de gravitatie: hun som $\vec g$ is de effectieve zwaarte, loodrecht op de niveauvlakken van de geopotentiaal, en de verticaal wordt daardoor bepaald. Van de rotatie blijft alleen de Coriolisterm, $-2\vec\Omega\times \vec u$, over, en die verricht geen arbeid: hij draait een pakketje zonder zijn snelheid te veranderen. De Aarde draait met $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, eenmaal per sterrendag van $23.9345\,\mathrm{h}$.

Voor bewegingen over afstanden veel kleiner dan de straal $a$ van de Aarde volstaat een lokaal cartesisch assenstelsel: $x$ naar het oosten, $y$ naar het noorden, $z$ omhoog, op breedtegraad $\varphi$, het raakvlak van de figuur hieronder. Hier $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$, en de drie componenten van de impulsvergelijking zijn

met $\vec F$ de wrijving. Voor de dunne, bijna horizontale stromingen van de oceaan en de atmosfeer vallen de termen in $\tilde f$ weg: $\tilde f w$ is klein naast $fv$ omdat $w \ll v$, en $\tilde f u$ is een tienduizendste van $g$ (uit Oefening 19.5). De Coriolis-kracht werkt dan alleen horizontaal, via de lokale verticale component van de rotatie, $\Omega\sin\varphi$.

Definitie 19.1 ($f$-vlak en $\beta$-vlak)

Nabij een referentiebreedtegraad $\varphi_0$ neemt de $f$-vlak-benadering de Coriolisparameter als constant aan, $f = f_0 = 2\Omega\sin\varphi_0$. De $\beta$-vlak-benadering houdt de eerste-orde verandering met de noordwaartse afstand $y$ in rekening: $f = f_0 + \beta y$, met $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega \cos\varphi_0/a$.

Bij $45{}^{\circ}$, met de gemiddelde straal $a = 6371\,\mathrm{km}$, $f_0 = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: over $1000\,\mathrm{km}$ breedtegraad verandert $f$ met $16\,\%$. Het $f$-vlak is geschikt voor bewegingen die veel kleiner zijn dan dat; het $\beta$-vlak is nodig voor stromingen op bekkenschaal en planetaire golven.

Twee verdere benaderingen vereenvoudigen de vergelijkingen zonder wat ertoe doet te verliezen. De eerste betreft de dichtheid.

Definitie 19.2 (Boussinesq-benadering)

De Boussinesq-benadering schrijft de dichtheid als $\rho = \rho_0 + \rho'$, met $\rho_0$ een constante en $|\rho'| \ll \rho_0$, en houdt $\rho'$ alleen waar die met $g$ is vermenigvuldigd. De continuïteitsvergelijking wordt $\nabla\cdot\vec u = 0$, en de impulsvergelijking

$$\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u = -\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u , \qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,$$

waarbij $p'$ de afwijking van de druk is van de hydrostatische druk van de dichtheid $\rho_0$, $\vec k$ de naar boven gerichte eenheidsvector en $b$ het drijfvermogen.

In de oceaan is $\rho'$ enkele $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ op $1025$, een fractie van een procent, en de benadering is uitstekend. In de atmosfeer neemt de dichtheid met een factor $e$ af over ongeveer $8.5\,\mathrm{km}$; de benadering geldt voor lagen die veel dunner zijn dan dat, en diepere stromingen vervangen $\rho_0$ door een gemiddeld profiel $\rho_0(z)$, met dezelfde fysica.

De tweede betreft de verticale richting. Een vloeistof in rust bevindt zich in hydrostatisch evenwicht; een bewegende vloeistof behoudt dat, met zeer goede benadering, wanneer de beweging veel breder is dan ze diep is.

Definitie 19.3 (Hydrostatische benadering)

De hydrostatische benadering vervangt de verticale impulsvergelijking van een bewegende vloeistof door de hydrostatische relatie, $\partial p/\partial z = -\rho g$.

Propositie 19.4 (Wanneer de hydrostatische benadering geldt)

Voor een beweging met horizontale schaal $L$, diepte $H$ en snelheid $U$, met een Rossby-getal $U/(fL)$ van hooguit de orde één, is de verticale versnelling kleiner dan de verticale gradiënt van de drukstoring met een factor van de orde $(U/fL)\,(H/L)^2$.

Een weersysteem van $1000\,\mathrm{km}$ breed in een troposfeer van $10\,\mathrm{km}$ diep heeft $(H/L)^2 = 10^{-4}$ en een Rossby-getal van ongeveer 0.1: de fout van de hydrostatische benadering is van de orde $10^{-5}$. Ze faalt alleen bij smalle, diepe bewegingen: een opwaartse stroming in een onweersbui, een convectieve pluim in de oceaan.

19.2 Schalen van roterende stroming

Welke termen van de impulsvergelijking ertoe doen, wordt bepaald door twee verhoudingen.

Definitie 19.5 (Rossby- en Ekmangetal)

Voor een stroming met snelheid $U$, horizontale schaal $L$ en diepte $H$ op een planeet met Coriolisparameter $f$ is het Rossby-getal $\mathrm{Ro} = U/(fL)$, de verhouding van de versnelling, van de orde $U^2/L$, tot de Corioliskracht, van de orde $fU$. Het Ekmangetal is $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$, de verhouding van de viskeuze kracht, van de orde $\nu U/H^2$, tot de Corioliskracht; in een turbulente stroming wordt $\nu$ vervangen door een wervelviscositeit.

Een badkuip die leegloopt met $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over $0.3\,\mathrm{m}$ heeft een Rossby-getal van enkele duizenden: de rotatie van de Aarde bepaalt niet de draairichting van de wervel. Een depressie van $1000\,\mathrm{km}$ breed met winden van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ heeft $\mathrm{Ro} \approx 0.14$, en een oceaangyre $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. Viscositeit is nog zwakker: de moleculaire viscositeit van water is $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, en de wervelviscositeiten die voor de turbulentie van de oceaan, $10^{-5}\text{ tot }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ in de verticale richting, geven $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ over $1000\,\mathrm{m}$ diepte. De twee getallen hangen samen met het Reynoldsgetal via $\mathrm{Re} = UL/\nu = (\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

Wanneer beide getallen klein zijn, houdt de stationaire horizontale impulsvergelijking alleen de Corioliskracht en de drukgradiënt over: de stroming is in geostrofisch evenwicht, $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$, zoals Boek 3 uit het eerste jaar aan de hand van weerkaarten afleidt. Geostrofie is de limiet $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$; de correcties daarop zijn van de orde $\mathrm{Ro}$, en wrijving werkt alleen in dunne lagen met een relatieve dikte van $\sqrt{\mathrm{Ek}}$, de Ekmanlagen onderaan de atmosfeer en bovenaan en onderaan de oceaan. Op een $f$-vlak heeft de geostrofische snelheid geen horizontale divergentie: $\partial u_g/\partial x + \partial v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y - \partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ voor uniforme $\rho$.

De tegenovergestelde limiet, rotatie zonder drukgradiënt, is de eenvoudigste beweging die een roterende vloeistof kan maken.

Definitie 19.6 (Traagheidsoscillatie)

Een traagheidsoscillatie is de horizontale beweging van een vloeistof waarop geen horizontale kracht werkt behalve de Coriolisskracht.

Stelling 19.7 (Traagheidscirkels)

Op een $f$-vlak behoudt een pakketje dat met snelheid $U$ in beweging is gebracht, waarop geen horizontale kracht werkt behalve de Coriolisskracht, zijn snelheid en beschrijft het een cirkel met straal $U/|f|$, met de klok mee op het noordelijk halfrond en tegen de klok in op het zuidelijk halfrond, in de traagheidsperiode $2\pi/|f|$, wat de helft van een siderische dag gedeeld door $\sin\varphi$ is.

Op $45{}^{\circ}$ bedraagt de traagheidsperiode $16.9\,\mathrm{h}$, en een stroming van $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ draait op een cirkel van $1.94\,\mathrm{km}$; op $30{}^{\circ}$ is de periode precies een siderische dag, en op de evenaar zijn er geen traagheidscirkels. Nadat een storm de oppervlaktelaag van de oceaan in beweging heeft gebracht en vervolgens is weggeëbd, doet het water precies dat. Drijvende boeien met drijfanker op $15\,\mathrm{m}$ in de Noord-Pacifische Oceaan traceerden dagenlang lussen na een storm in oktober 1987, meegevoerd door de gemiddelde stroming: het derde pad van de onderstaande figuur, na de cirkel en de spiraal.

Tussen geostrofie en de traagheidscirkel ligt de stroming rond een centrum van hoge of lage druk, waar de isobaren gekromd zijn en de versnelling naar het centrum niet langer verwaarloosbaar is.

Definitie 19.8 (Gradiëntwind)

De gradiëntwind is de stationaire, wrijvingsvrije stroming langs gekromde isobaren, waarin de drukgradiëntkracht, de Coriolisskracht en de centripetale versnelling elkaar in evenwicht houden.

Propositie 19.9 (De krommingscorrectie)

Laat de isobaren cirkels met straal $r$ zijn op het noordelijk halfrond, en $V_g$ de geostrofische snelheid die hun drukgradiënt zou geven, met $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. Rond een lagedrukgebied is de gradiëntwind $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$, trager dan $V_g$; rond een hogedrukgebied is $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$, sneller, en die bestaat alleen als $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. In eerste orde geldt $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

Het Rossby-getal van de isobaren meet de correctie: een tiende voor een depressie van matige omvang. De voorwaarde $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ verklaart waarom het centrum van een anticycloon zwakke gradiënten en lichte winden heeft, terwijl dat van een depressie steile gradiënten en stormen kan bevatten.

19.3 Rotatie zonder stratificatie

Een roterende vloeistof van uniforme dichtheid gedraagt zich bij langzame beweging alsof ze uit starre kolommen bestaat die evenwijdig aan de rotatieas lopen.

Stelling 19.10 (Taylor–Proudman)

In een stationaire stroming van een niet-viskeuze vloeistof van uniforme dichtheid, die roteert met $\vec\Omega$, met klein Rossby-getal, varieert de snelheid niet langs de richting van de rotatieas: $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

Met $\vec\Omega$ langs $z$ geldt $\partial\vec u/\partial z = 0$: alle drie de snelheidscomponenten zijn op elke hoogte gelijk. Als een starre bodem daar $w$ verbiedt, geldt $w = 0$ overal, en de horizontale stroming is op elk niveau gelijk. Een obstakel op de bodem van een roterende tank voelt men daarom tot aan het oppervlak: de vloeistof erboven kan er niet overheen klimmen, want dat zou een kolom uitrekken of samendrukken, en ze stroomt op elke hoogte eromheen. De vloeistofkolom die boven het obstakel blijft staan, is een Taylorkolom.

De atmosfeer en de oceaan zijn gelaagd, en stratificatie verzacht de beperking: een gestratificeerde vloeistof kan met de hoogte variëren, zoals de stelling van de thermische wind voorschrijft.

19.4 Stratificatie en de thermische wind

Het deel van Boek 3 uit het eerste jaar liet een luchtpakketje in een stabiele atmosfeer opstijgen en vond dat het rond zijn niveau oscilleert. Hetzelfde geldt in elke gestratificeerde vloeistof, en de frequentie van de oscillatie is de maat

Definitie 19.11 (Drijfvermogenfrequentie)

De drijfvermogenfrequentie $N$ van een vloeistof in rust wordt gedefinieerd door

$$N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(lucht)}, \qquad N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(zeewater)},$$

waarin $\theta$ de potentiële temperatuur van de lucht is en $\rho_\theta$ de potentiële dichtheid van het water, de dichtheid die het zou krijgen als het adiabatisch naar een referentiedruk wordt gebracht.

Stelling 19.12 (Oscillatie van een verplaatst pakketje)

Een pakketje dat verticaal over een kleine afstand $\zeta$ uit zijn niveau in een vloeistof in rust is verplaatst, adiabatisch en zonder menging, gehoorzaamt aan $\ddot\zeta = -N^2\zeta$. Als $N^2 > 0$ oscilleert het met de hoekfrequentie $N$; als $N^2 < 0$ groeit de verplaatsing en is de vloeistof instabiel.

In de troposfeer van de standaardatmosfeer, die afkoelt met $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ tegenover de $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ van de droge adiabaat ($g/c_p$, met $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$, $\gamma = 1.4$ en $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), bedraagt $N$ gemiddeld $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $9.3\,\mathrm{min}$; in de isotherme onderste stratosfeer is het $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. In de oceaan heeft de waterkolom van de Noord-Atlantische Oceaan op $40.5{}^{\circ}$ NB, $30.5{}^{\circ}$ WL in het jaargemiddelde de sterkste stratificatie in de seizoenspycnocline, $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ op ongeveer $30\,\mathrm{m}$, zes cycli per uur, en veel zwakkere waarden daaronder: hooguit een paar cycli per uur, zoals waargenomen over de bovenste oceaan.

Stratificatie laat de stroming met de hoogte variëren, en hoe ze dat doet hangt ervan af of de oppervlakken van constante dichtheid samenvallen met die van constante druk.

Definitie 19.13 (Barotrope en barokliene vloeistoffen)

Een vloeistof is barotroop als haar dichtheid alleen een functie van de druk is, zodat oppervlakken van constante dichtheid samenvallen met oppervlakken van constante druk; ze is baroklien als ze elkaar kruisen.

In de atmosfeer maakt een horizontale temperatuurgradiënt langs een drukvlak de lucht baroklien. Hydrostatisch evenwicht zorgt er dan voor dat de drukvlakken met de hoogte steiler gaan hellen, en geostrofisch evenwicht zet de groeiende helling om in een groeiende wind.

Stelling 19.14 (Thermische wind)

In een atmosfeer in hydrostatisch en geostrofisch evenwicht varieert de geostrofische wind met de druk als

$$\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p , \qquad \frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .$$

Tussen twee drukniveaus $p_b > p_t$ is de thermische wind, het verschil van de geostrofische winden, luidt

$$\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,$$

waarin $\bar T$ de gemiddelde temperatuur van de laag is: hij waait langs de isothermen van de laag, met de koude lucht links in het noordelijk halfrond.

Gevolg 19.15 (Thermische wind in hoogte)

In hoogtecoördinaten, voor de atmosfeer, $\partial u_g/\partial z = -(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$; voor de oceaan in de Boussinesq-benadering geldt $\partial u_g/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ en $\partial v_g/\partial z = -(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

De tweede term van de atmosferische vorm, die voortkomt uit de afname van de temperatuur met de hoogte, is kleiner dan de eerste en verdwijnt in een isotherme laag; geïntegreerd over een laag met haar gemiddelde temperatuur, geeft de eerste term alleen bijna de drukvorm, aangezien $\Delta z \approx (R\bar T/g) \ln(p_b/p_t)$ (Probleem, deel IV). In de oceaan zet dezelfde stelling een doorsnede van de dichtheid over een stroom om in de verticale afschuiving: de basis van de dynamische methode van de oceanografen.

De straalstromen uit Boek 3 zijn thermische winden. In het zonaal gemiddelde van januari 1991–2020 neemt de westenwind op $30{}^{\circ}$ NB toe van $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $850\,\mathrm{hPa}$ tot $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $250\,\mathrm{hPa}$; met $f$ op $30{}^{\circ}$ en $R$ is deze afschuiving het kenmerk van een laag waarvan de gemiddelde temperatuur daalt naar het noorden met $7.5\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. Op $45{}^{\circ}$ NB levert de afschuiving van $6.0\text{ tot }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ een daling van $5.0\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. De figuur hieronder toont de profielen en, voor elke breedtegraad, de temperatuurdaling naar de pool, afgelezen uit de afschuiving: het grootst in de subtropen van het winterhalfrond, waar de subtropische straalstroom zich bevindt, $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $200\,\mathrm{hPa}$ en $30{}^{\circ}$ NB in januari en $41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ ZB in juli. Boven $200\,\mathrm{hPa}$ op $30{}^{\circ}$ NB neemt de wind weer af: de stelling van de thermische wind, achterstevoren gelezen, zegt dat daar, in de onderste stratosfeer, stijgt de temperatuur naar de pool toe.

19.5 De Rossby-deformatiestraal

Rotatie en stratificatie leggen elk een schaal op; samen leggen ze een lengte vast.

Definitie 19.16 (Rossby-deformatiestraal)

De Rossby-deformatiestraal van een laag van diepte $H$ en drijfvermogenfrequentie $N$ is $L_R = NH/|f|$.

Propositie 19.17 (Potentiële en kinetische energie van gebalanceerde stroming)

In een hydrostatische, geostrofische stroming met horizontale schaal $L$ in een laag van diepte $H$ en drijfvermogenfrequentie $N$ is de verhouding van de potentiële energie opgeslagen in de verplaatste dichtheidsoppervlakken tot de kinetische energie van de orde $(L/L_R)^2$.

Bewegingen veel breder dan $L_R$ bevatten het grootste deel van hun energie in gekantelde dichtheidsoppervlakken, bewegingen veel smaller in hun snelheid; bij $L_R$ zijn de twee gelijk, en de instabiliteit van barokliene stromingen, die zich voedt met de potentiële energie van de gekantelde oppervlakken, groeit het snelst rond die schaal. Voor de troposfeer, met het gemiddelde $N$ van de standaardatmosfeer, $H = 11\,\mathrm{km}$ en $f$ op $45{}^{\circ}$, $L_R = 1210\,\mathrm{km}$: de schaal van de depressies en anticyclonen op een weerkaart. Voor de bovenste kilometer van de Noord-Atlantische waterkolom op $40.5{}^{\circ}$ NB, $L_R = 38\,\mathrm{km}$, dertig keer kleiner: de oceaan heeft zijn eigen weer, wervels van tientallen kilometers breed, en een model dat ze oplost heeft een veel fijner rooster nodig. Op schalen nabij $L_R$ verandert $f$ met $\beta L_R/f$, $19\,\%$ voor de atmosfeer en minder dan één procent voor de oceaan: oceaanwervels leven op een $f$-vlak, weersystemen voelen het $\beta$-vlak.

In het laboratorium — Een planeet op een draaitafel

In een laboratorium voor geofysische vloeistofdynamica staat een bak water op een draaitafel; een camera draait mee en ziet het water zoals een waarnemer op een planeet het zou zien. Vóór elke proef laat men het water spin-up ondergaan totdat het als een star lichaam meedraait; dat duurt enkele minuten, vele omwentelingen van de tafel. Daarna brengen de onderzoekers kleurstof in, of verschuiven ze langzaam een obstakel over de bodem: de kleurstof stijgt in een verticale kolom boven het obstakel en de stroming splitst zich op elk niveau rond het obstakel. Met een laag zoet water boven zout water, of met een verwarmde buitenwand en een gekoeld centrum, wordt de bak baroklien, en verschijnen straalstromen, wervels en meanderende fronten, waarvan de grootte de Rossby-deformatiestraal van de bak voorspelt.

19.6 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Neem $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Bereken de Coriolisparameter en de traagheidsperiode op $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ NB. (b) Bereken de straal van de traagheidscirkel van een stroom van $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op dezelfde breedtegraden. (c) Vergelijk de traagheidsperiode op $30{}^{\circ}$ met de sterrendag, $23.9345\,\mathrm{h}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$: $7.292 \times 10^{-5}$, $1.031 \times 10^{-4}$ en $1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f$: 23.93, 16.92 en $13.82\,\mathrm{h}$. (b) $U/f$: 2.74, 1.94 en $1.58\,\mathrm{km}$. (c) Bij $30{}^{\circ}$, $\sin\varphi = 1/2$ en $2\pi/f = 2\pi/\Omega$: de traagheidsperiode is de sterrendag, $23.93\,\mathrm{h}$.

Oefening 19.2 ★

Bereken op $45{}^{\circ}$ NB het Rossby-getal van een stofduivel ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10\,\mathrm{m}$), een zeebries ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$), een depressie ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$) en een oceaangyre ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$). Welke daarvan liggen dicht bij het geostrofisch evenwicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

Met $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: stofduivel $9.7 \times 10^{3}$, zeebries 2.4, depressie 0.15, gyre $2.4 \times 10^{-4}$. De depressie en de gyre liggen dicht bij geostrofisch evenwicht; de stofduivel draait beide kanten op, onbewust van de rotatie van de Aarde, en de zeebries voelt het pas na een dag.

Oefening 19.3 ★

Op $45{}^{\circ}$ NB neemt de gemiddelde temperatuur van de troposfeer, $250\,\mathrm{K}$, naar het noorden af met $5\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. Bereken met de eerste term van de thermische wind in de hoogte de verticale verschuiving van de westenwind en de toename van de wind over $10\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times 5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; over $10\,\mathrm{km}$ neemt de westelijke wind met $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ toe.

Oefening 19.4 ★

De stabiliteit $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ van de bovenste kilometer van de oceaan ligt tussen $50 \times 10^{-8}$ en $1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$; in diepe geulen is ze $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. Bereken $N = \sqrt{gE}$, de periode van de drijfvermogenoscillatie en $N$ in cycli per uur voor deze drie waarden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

$E = 50 \times 10^{-8}$: $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $47\,\mathrm{min}$, $1.27$ cycli per uur. $E = 1000 \times 10^{-8}$: $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{min}$, 5.7 cycli per uur. $E = 10^{-8}$: $N = 3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $5.6\,\mathrm{h}$, 0.18 cycli per uur.

Oefening 19.5 ★★

Een weersysteem heeft $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $L = 1000\,\mathrm{km}$, $H = 10\,\mathrm{km}$, op $45{}^{\circ}$ NB. (a) Schat de verticale snelheid en de verticale versnelling ervan, en vergelijk die laatste met $g$ en met de verticale gradiënt van de drukstoring, $fUL/H$. (b) Bereken de weggelaten Coriolisterm $\tilde fu$ en vergelijk die met $g$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

(a) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.0 \times 10^{-7}$ van $g$. De drukterm, $fUL/H = 0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, is $1 \times 10^{5}$ keer groter: de verhouding, $9.7 \times 10^{-6}$, is $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ met $\mathrm{Ro} = 0.097$. (b) $\tilde fu = 2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.05 \times 10^{-4}$ van $g$.

Oefening 19.6 ★★

Neem $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ en cirkelvormige isobaren met een straal van $300\,\mathrm{km}$. (a) De drukgradiënt rond een lagedrukgebied geeft $V_g = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: bereken de gradiëntwind. (b) Rond een hogedrukgebied, $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: bereken de gradiëntwind. (c) Wat is de grootste $V_g$ die rond het hogedrukgebied mogelijk is, en wat is dan de wind?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$, $V = 40/(1 + \sqrt{3.667}) = 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, een derde langzamer dan geostrofisch. (b) $\mathrm{Ro}_g = 0.167$, $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $V_g \le fr/4 = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en dan $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tweemaal de geostrofische snelheid.

Oefening 19.7 ★★

Een bak van $20\,\mathrm{cm}$ diep draait eenmaal per $6\,\mathrm{s}$; het water erin heeft $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Bereken $f = 2\Omega$, vervolgens het Rossby-getal van een stroming van $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ langs een cilinder van $5\,\mathrm{cm}$ breed, en het Ekmangetal van de bak. Zal er een Taylorkolom ontstaan? (b) De theorie geeft een spin-uptijd $H/\sqrt{\nu\Omega}$: bereken die in minuten en in omwentelingen van de tafel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

(a) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ en $\mathrm{Ek} = 10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$: beide klein, dus de stroming voldoet aan de stelling van Taylor–Proudman en er vormt zich een Taylorkolom. (b) $0.2/\sqrt{10^{-6} \times1.047} = 195\,\mathrm{s}$, $3.3\,\mathrm{min}$, 33 omwentelingen van de draaitafel.

Oefening 19.8 ★★

In het januari-zonaal gemiddelde van 1991–2020 is de westenwind $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $850\,\mathrm{hPa}$ en $40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $250\,\mathrm{hPa}$ op $30{}^{\circ}$ NB, $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ NB. Met $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, bereken de meridionale gradiënt van de gemiddelde temperatuur van de laag op beide breedtegraden, en verklaar waarom de straalstroom op $30{}^{\circ}$ NB sterker is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$, met $\ln(850/250) = 1.224$. Op $30{}^{\circ}$ NB, $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9 \times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$; op $45{}^{\circ}$ NB, $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. De windschuiving is evenredig met de gradiënt gedeeld door $f$: de gradiënt is 1.5 maal groter op $30{}^{\circ}$ en $f$ 1.4 maal kleiner, dus de windschuiving is 2.1 maal groter.

Oefening 19.9 ★★

(a) Bereken de Rossby-deformatiestraal van de troposfeer ($N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 11\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ NB) en van de bovenste oceaan ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 1000\,\mathrm{m}$, $40.5{}^{\circ}$ NB). (b) Met $a = 6371\,\mathrm{km}$ bereken $\beta$ op beide breedtegraden en de relatieve verandering $\beta L_R/f$ van de Coriolisparameter over elke straal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

(a) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$; $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$, 32 maal kleiner. (b) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$: $1.62 \times 10^{-11}$ en $1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ voor de atmosfeer, 0.007 voor de oceaan.

Oefening 19.10 ★★★

Een waterpakketje van het oppervlaktewater dat met $U$ beweegt, wordt afgeremd door een lineaire wrijving: $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$, $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu - rv$. (a) Los op met $w = u + \mathrm iv$ en beschrijf het pad. (b) Het waterpakketje wordt ook meegevoerd door een stationaire stroom $u_0$ naar het oosten: geef zijn positie. (c) Op $45{}^{\circ}$ NB met $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $r^{-1} = 4\text{ dagen}$ en $u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, geef zijn snelheid ten opzichte van de stroom na vier dagen en de afstand die het is afgedreven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

(a) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$, dus $w = U\mathrm e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$: de snelheid draait met tempo $f$, terwijl de grootte ervan vervalt als $\mathrm e^{-rt}$. De positie $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ spiraalt naar het punt $U/(r + \mathrm if)$. (b) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$: de spiraal wordt uitgetrokken tot lussen. (c) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; het centrum is $u_0t = 0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ oostwaarts verschoven.

Oefening 19.11 ★★★

Over een oceaanfront op $40{}^{\circ}$ NB neemt de dichtheid van het water naar het noorden toe met $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ over $100\,\mathrm{km}$, door de bovenste $1000\,\mathrm{m}$; daaronder is het water uniform en stil. Met $\rho_0 = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, bereken de verticale verschuiving van de stroom en de stroom aan het oppervlak. In welke richting stroomt die?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial \rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) = 1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. Met $u = 0$ op $1000\,\mathrm{m}$ is de oppervlaktestroom $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, oostwaarts: op het noordelijk halfrond stroomt de stroming met het lichte water aan haar rechterkant.

Oefening 19.12 ★★★

De jaargemiddelde kolom op $40.5{}^{\circ}$ NB, $30.5{}^{\circ}$ WL heeft potentiële dichtheden $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ van 26.029 aan het oppervlak, 26.697 op $100\,\mathrm{m}$, 27.079 op $500\,\mathrm{m}$ en 27.628 op $1000\,\mathrm{m}$. (a) Bereken $N$ in elk van de drie lagen, in $\mathrm{s}^{-1}$ en in cycli per uur. (b) Welke laag is het stabielst, en waarom? (c) Vergelijk de waarden met het bereik van de bovenste oceaan uit Oefening 19.4.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

(a) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$: $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$, $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 4.6 cycli per uur; 100–$500\,\mathrm{m}$: $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.7 cycli per uur; 500–$1000\,\mathrm{m}$: $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 cycli per uur. (b) De bovenste $100\,\mathrm{m}$: deze bevat het warme oppervlaktewater boven de seizoenspycnoklien. Tussen 100 en $500\,\mathrm{m}$ is het water gelijkmatiger dan eronder. (c) $E = N^2/g$ is $650 \times 10^{-8}$, $93 \times 10^{-8}$ en $107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$, allemaal binnen het bereik van de bovenste oceaan.

19.7 Probleem: Winden over de Steppe van Orrin

Probleem 19.1

Weekendprobleem — de rotatie, de stratificatie en de winden van een verzonnen vlakte op $48{}^{\circ}$ NB

De Steppe van Orrin is een vlakte op $48{}^{\circ}$ NB met een meer, Lake Orrin, $12\,\mathrm{km}$ breed, en een klein laboratorium met een roterende tank. Neem $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. Alle waarden van de steppe, van het meer en van de winden zijn verzonnen.

Deel I — Speelt de rotatie een rol?

1. Bereken de Coriolisparameter en de traagheidsperiode bij Orrin.
2. Bereken het Rossby-getal van vijf stromingen: water dat uit een badkuip wegloopt ($0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over $0.3\,\mathrm{m}$); de tank van het laboratorium, die eens per $10\,\mathrm{s}$ rondgaat (met $f = 2\Omega_{\text{tank}}$; $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ over $0.2\,\mathrm{m}$); de avondbries van het meer ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$); een depressie ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$); de gyre van een oceaanbekken op dezelfde breedte ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$).
3. Welke van deze stromingen voelen de rotatie die ze aandrijft, en welke zijn dicht bij geostrofisch?
4. Bereken het Ekmangetal van de tank ($0.2\,\mathrm{m}$ diep, $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$), van de depressie (wervelviscositeit $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, diepte $10\,\mathrm{km}$) en van de gyre (wervelviscositeit $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, diepte $1000\,\mathrm{m}$).
5. De Ekmanlaag heeft de dikte $\delta = \sqrt{2\nu/f}$. Toon aan dat $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ en bereken $\delta$ voor de tank en voor de lucht van de steppe.
6. Wat zeggen deze getallen over waar wrijving een rol speelt?

Deel II — De wind aan de grond.

7. Aan de grond is de druk $1012.9\,\mathrm{hPa}$ en de temperatuur $288.1\,\mathrm{K}$. Bereken de dichtheid van de lucht.
8. De druk op zeeniveau neemt naar het noorden af met $4\,\mathrm{hPa}$ per $300\,\mathrm{km}$. Bereken de geostrofische wind en geef zijn richting.
9. Dezelfde gradiënt omringt een depressie waarvan de isobaren een straal van $600\,\mathrm{km}$ hebben. Bereken het Rossby-getal van de isobaren en de gradiëntwind.
10. Dezelfde gradiënt omringt een anticycloon met dezelfde straal. Bereken de gradiëntwind en de grootste drukgradiënt, in $\mathrm{hPa}$ per $300\,\mathrm{km}$, die de anticycloon kan handhaven.

Deel III — Stratificatie.

11. De temperatuur van de troposfeer daalt met $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. Bereken de droogadiabatische gradiënt $g/c_p$, en $N$ en de periode van de drijfvermogensoscillatie op $5\,\mathrm{km}$, waar de temperatuur $255.7\,\mathrm{K}$ is.
12. Boven $11\,\mathrm{km}$ is de lucht isotherm bij $216.6\,\mathrm{K}$. Toon aan dat $N^2 = g^2/(c_pT)$ daar, en bereken $N$ en de verhouding ervan tot de waarde van vraag 11.
13. Bereken de Rossby-deformatiestraal van de troposfeer van Orrin, met de $N$ van vraag 11 en $H = 10\,\mathrm{km}$, en vergelijk die met de grootte van de depressie uit Deel I.
14. In de zomer zijn de bovenste $20\,\mathrm{m}$ van Lake Orrin lichter dan het diepe water met $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Bereken de gereduceerde zwaartekracht $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$, de snelheid $\sqrt{g'h}$ van de trage interne golven van de bovenste laag, en de Rossby-deformatiestraal $\sqrt{g'h}/f$.
15. Zal de rotatie van de Aarde de interne bewegingen van het meer vormgeven?

Deel IV — De thermische wind.

16. Twee radiosondestations staan $600\,\mathrm{km}$ van elkaar op dezelfde meridiaan. De gemiddelde temperatuur van de laag vanaf de grond, $1013\,\mathrm{hPa}$ tot $265\,\mathrm{hPa}$, ongeveer $10\,\mathrm{km}$, is $253.0\,\mathrm{K}$ bij het zuidelijke station en $249.4\,\mathrm{K}$ bij het noordelijke. Bereken de meridionale temperatuurgradiënt in $\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$.
17. De dikte van een laag tussen twee drukken is $\Delta z = (R\bar T/g)\ln(p_b/p_t)$. Bereken haar bij beide stations, en de helling van het oppervlak van $265\,\mathrm{hPa}$ ten opzichte van dat op grondniveau.
18. Leid af hoe de geostrofische wind van de grond tot $265\,\mathrm{hPa}$ toeneemt, uit die helling.
19. Bereken dezelfde toename met de stelling van de thermische wind in drukcoördinaten.
20. Is de lucht van de steppe barotroop of baroklien? Wat zou de wind op $265\,\mathrm{hPa}$ zijn als de lucht barotroop zou zijn?
21. Bereken de toename uit de eerste term van de thermische wind in hoogte, met de gemiddelde temperatuur van de standaardtroposfeer tussen 0 en $10\,\mathrm{km}$, $255.7\,\mathrm{K}$, en vergelijk het resultaat.
22. Bereken de wind op $541\,\mathrm{hPa}$, ongeveer $5\,\mathrm{km}$, ervan uitgaande dat de temperatuurgradiënt op elk niveau dezelfde is.
23. Het Richardson-getal $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ moet onder 0.25 dalen om de schering turbulentie aan te drijven. Bereken het voor de troposfeer van Orrin.
24. In januari bedraagt het zonaal gemiddelde van de westenwind op $250\,\mathrm{hPa}$ $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij $45{}^{\circ}$ NB en $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij $30{}^{\circ}$ NB. Vergelijk dat met de wind van Orrin, en verklaar waarom een lokale wind het zonaal gemiddelde kan overtreffen.
25. Geef de geostrofische wind op $10\,\mathrm{km}$ boven de Steppe van Orrin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} = 1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

2. Badkuip $3.1 \times 10^{3}$; tank ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020; bries 2.3; depressie 0.14; gyre $2.3 \times 10^{-4}$.

3. De badkuip voelt niets van de rotatie van de Aarde; de bries voelt het pas na enkele uren. De tank, de depressie en de gyre hebben kleine Rossby-getallen en zijn dicht bij geostrofisch.

4. Tank $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$; depressie $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$; gyre $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

5. $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. Tank $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$; lucht $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}} = 430\,\mathrm{m}$.

6. Wrijving werkt in lagen van enkele duizendsten van de diepte in de tank en de oceaan, enkele honderdsten in de atmosfeer; daarboven verloopt de stroming vrijwel wrijvingsloos.

7. $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) = 1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225 \times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, uit het westen, met de lage druk in het noorden links.

9. $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ langzamer.

10. $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. De grootste $V_g$ is $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, een gradiënt $\rho fV_g = 2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, $6.5\,\mathrm{hPa}$ per $300\,\mathrm{km}$.

11. $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 - 6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $9.3\,\mathrm{min}$.

12. Met $\Gamma = 0$, $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) = 4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 keer de troposferische waarde.

13. $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$, de grootte van de depressie.

14. $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

15. Ja: het meer, $12\,\mathrm{km}$ breed, is meer dan twee keer zijn Rossby-deformatiestraal, dus interne golven en stromingen worden door de corioliskracht.

16. $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$.

17. $\ln(1013/265) = 1.3409$. Zuid: $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$; noord $9781\,\mathrm{m}$. Het oppervlak van $265\,\mathrm{hPa}$ ligt $141\,\mathrm{m}$ lager in het noorden, een helling van $2.35 \times 10^{-4}$ ten opzichte van het onderste oppervlak.

18. $\Delta u = (g/f)\times\text{helling} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/ 1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

19. $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| = (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de hetzelfde: de twee berekeningen zijn één.

20. Baroklien: de temperatuur, en dus de dichtheid, verandert langs de drukvlakken. Barotroop zou de wind niet met de hoogte veranderen: $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

21. $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times 6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, binnen $0.3\,\%$.

22. $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times \ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

23. $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$, ruim boven 0.25: de windschuiving maakt de vrije troposfeer niet turbulent.

24. De wind van Orrin, $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, is sterker dan het zonaal gemiddelde op $45{}^{\circ}$ NB en zwakker dan op $30{}^{\circ}$ NB. De straalstroom van het polaire front verschuift noord- en zuidwaarts; op elk moment is de gradiënt ervan, en daarmee de wind, geconcentreerd over een band, en middelen over een breedtecirkel smeert dat uit.

25. $10.0 + 21.3$: de geostrofische wind op $10\,\mathrm{km}$ boven de steppe is $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, uit het westen ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ volgens de berekening).