23Hydrogeologie

Een nieuwe put pompt dagelijks $2160\,\mathrm{m}^{3}$ water op uit een kalksteenlaag enkele honderden meter onder een boerderij. Aan de eigen put van die boerderij gebeurt aanvankelijk niets. Een maand later staat het water daarin bijna $2\,\mathrm{m}$ lager, hoewel die put een kilometer verderop ligt en het pompstation er nog nooit een druppel uit heeft gehaald. De waterstand rond de nieuwe put is niet gelijkmatig gedaald: ze is in een kegel weggezakt, en die kegel is snel gegroeid door een gesteente waarin het water zelf maar een paar centimeter per dag beweegt. Dit hoofdstuk bouwt de natuurkunde op die beide getallen voorspelt, de snelle voortplanting van de druk en de trage verplaatsing van het water, uit één empirische wet die in 1856 werd gevonden.

Wat je al weet

Porositeit, permeabiliteit, de grondwaterspiegel, grondwater, watervoerende lagen, bronnen en putten staan in de schoolboeken, samen met de verblijftijd van water en fossiel grondwater. Viscositeit, de wet van Poiseuille voor de stroming in een buis en de diffusievergelijking staan in de natuurkundeboeken. De foutenfunctie en de oplossingen van de diffusievergelijking die daarvan gebruikmaken staan in Hoofdstuk 5. De Varden Hills, de verzonnen regio van de serie, met hun zandsteen, kalksteen, schalie en krijt, zijn sinds de schoolboeken de regio van de oefeningen.

23.1 Stijghoogte en de wet van Darcy

Water in de ondergrond stroomt van waar zijn mechanische energie per gewichtseenheid hoog is naar waar die lager is. Omdat het langzaam stroomt, is de kinetische energie verwaarloosbaar, en die energie bestaat uit twee delen: de hoogte van het water en zijn druk.

Definitie 23.1 (Stijghoogte; hydraulische gradiënt)

De stijghoogte in een punt van de verzadigde grond is

$$h = z + \frac{p}{\rho g} ,$$

de som van de plaatshoogte $z$ van het punt boven een referentievlak en drukhoogte $p/(\rho g)$, waarbij $p$ de druk van het water boven de atmosferische druk is. Het is de hoogte waartoe het water stijgt in een buis, een piezometer, die alleen op dat punt open is. De hydraulische gradiënt is $\nabla h$; de grootte ervan tussen twee punten op afstand $L$ langs de stroming is $\Delta h/L$.

In 1856 mat Henry Darcy, een Franse ingenieur, de stroming van water door kolommen zand en vond dat die evenredig is met het verlies aan stijghoogte per eenheid van lengte. De stroming is laminair: het water volgt afzonderlijke stroomlijnen.

Stelling 23.2 (Wet van Darcy)

In een verzadigd poreus medium is het volume water dat per tijdseenheid door een eenheid van oppervlakte stroomt, gelijk aan

$$\vec q = -K\,\nabla h ,$$

waarbij $K$ afhangt van het medium en van de vloeistof. In een medium waarvan de poriën evenwijdige rechte buizen met straal $a$ zijn die een fractie $n$ van het volume innemen, geeft de wet van Poiseuille deze wet met

$$K = \frac{k\rho g}{\mu}, \qquad k = \frac{na^2}{8} ,$$

waarbij $\mu$ de viscositeit van het water is.

Echte poriën zijn geen rechte buizen; de stelling toont de vorm van de wet en hoe die schaalt. De stroming is evenredig met de gradiënt, met het kwadraat van de grootte van de poriën, en omgekeerd evenredig met de viscositeit: hetzelfde zand laat water sneller door als het warm is.

Definitie 23.3 (Specifiek debiet; hydraulische geleidbaarheid; intrinsieke permeabiliteit)

Het specifiek debiet $\vec q$ is het volume water dat per eenheid van oppervlak door het medium stroomt, korrels en poriën samen, per tijdseenheid. De hydraulische geleidbaarheid $K$ is de coëfficiënt van de wet van Darcy, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ of $\mathrm{m}/\mathrm{d}$. De intrinsieke permeabiliteit van het medium is $k = K\mu/(\rho g)$, in $\mathrm{m}^{2}$: zij hangt alleen van het medium af.

De hydraulische geleidbaarheid van gesteenten bestrijkt twaalf ordes van grootte, zoals weinig fysische grootheden dat doen. Af te lezen aan de grafiek van een klassiek overzichtsonderzoek van het onderwerp zijn de gangbare bereiken, in meter per dag, als volgt: klei $10^{-7}$ tot $10^{-4}$; silt en löss $10^{-3}$ tot 2; zandig silt 0.04 tot 10; schoon zand 0.3 tot 150; grind 100 tot 4000; schalie $10^{-8}$ tot $10^{-4}$; zandsteen $10^{-5}$ tot 0.4; carbonaatgesteenten $10^{-4}$ wanneer ze alleen gebroken zijn tot enkele duizenden wanneer ze holend zijn; stollingsgesteenten en metamorfe gesteenten onder $10^{-8}$ wanneer ongebroken tot enkele wanneer gebroken. De meeste gesteenten geleiden water ook beter langs hun gelaagdheid dan dwars erop.

Het specifiek debiet is een flux door het hele oppervlak; het water stroomt alleen door de poriën, en sneller.

Definitie 23.4 (Poriesnelheid)

De poriesnelheid is $\vec v = \vec q/n_e$, de gemiddelde snelheid van het water in de poriën, waarbij $n_e$ de effectieve porositeit is, die van de verbonden poriën waardoor het water stroomt.

Een grof zand met $K = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, een gradiënt van 1 op 1000 en een porositeit van 0.20 laat het water er met $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ stromen; een klei met $K = 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, een gradiënt van 1 op 10 en een porositeit van 0.50, bij $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, minder dan een centimeter per jaar. Grondwater stroomt niet in ondergrondse rivieren, behalve in de grotten van kalksteen en de buizen van lava. Dit zijn gemiddelden: waar een verontreiniging zich verplaatst, kan het snelste deel ervan enkele keren sneller gaan.

23.2 Watervoerende lagen

Definitie 23.5 (Freatische en gespannen watervoerende lagen; aquitard)

Een freatische watervoerende laag is een watervoerende laag waarvan het bovenvlak de grondwaterspiegel is. Een gespannen watervoerende laag is een watervoerende laag die wordt afgedekt door een laag met veel lagere geleidbaarheid, zodat het water erin onder druk staat: in een put die ze bereikt, stijgt het water boven de bovenkant van de watervoerende laag, tot aan het potentiometrisch oppervlak. Een laag met lage geleidbaarheid die de doorstroming van water tussen watervoerende lagen vertraagt maar niet stopt, is een aquitard.

Definitie 23.6 (Transmissiviteit; bergingscoëfficiënt; specifieke berging)

De transmissiviteit van een watervoerende laag met dikte $b$ is $T = Kb$, de stroming per eenheid van breedte onder eenheidsgradiënt, in $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. De bergingscoëfficiënt (ook wel storage coefficient) $S$ is het volume water dat per eenheid van oppervlak van de watervoerende laag vrijkomt wanneer de stijghoogte met één eenheid daalt; zij is dimensieloos. De specifieke berging $S_y$ van een gesteente is het volume water dat per eenheid van volume door de zwaartekracht uit het gesteente wegloopt wanneer de grondwaterspiegel erdoor zakt.

De twee soorten watervoerende lagen geven water op verschillende manieren vrij. In een gespannen watervoerende laag daalt de stijghoogte, maar blijven de poriën vol: het water zet iets uit, en de watervoerende laag, die meer van het gewicht van de gesteenten erboven draagt, wordt iets samengedrukt. De uitzetting van het water alleen geeft ongeveer $9 \times 10^{-7}$ kubieke meter per kubieke meter watervoerende laag en per meter stijghoogte vrij; met de samendrukking ligt de bergingscoëfficiënt van de meeste gespannen watervoerende lagen tussen $10^{-5}$ en $10^{-3}$. In een freatische watervoerende laag daalt de grondwaterspiegel en lopen de poriën erboven leeg: de bergingscoëfficiënt is de specifieke berging, ongeveer 0.1 tot 0.3, honderd tot tienduizend keer groter. De transmissiviteiten van de in gebruik zijnde watervoerende lagen lopen uiteen van minder dan $1\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ in gebroken gesteenten tot $100\,000\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ in holle kalksteen en lavastromen. Wanneer de stijghoogte van een gespannen watervoerende laag lange tijd wordt verlaagd, lopen de kleilagen erin en eromheen leeg en drukken ze samen, en het maaiveld erboven zakt.

23.3 De grondwaterstromingsvergelijking

Stelling 23.7 (Grondwaterstromingsvergelijking)

In een gespannen watervoerende laag met constante transmissiviteit $T$ en bergingscoëfficiënt $S$, met horizontale stroming voldoet de stijghoogte $h(x, y, t)$ aan

$$S\,\frac{\partial h}{\partial t} = T\nabla^2h + W ,$$

$W$ is het volume water dat per oppervlakte-eenheid en tijdseenheid door voeding wordt toegevoegd of door pompen wordt onttrokken (negatief). Bij stationaire stroming zonder bronnen geldt $\nabla^2h = 0$.

Het is de diffusievergelijking uit de natuurkundeboeken, met de hydraulische diffusiviteit $T/S$ in plaats van een thermische. Voor een gespannen kalksteen met $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ en $S = 2 \times 10^{-4}$ bedraagt de diffusiviteit $2.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$: een verandering van de stijghoogte verspreidt zich over $1\,\mathrm{km}$ in ongeveer $L^2S/T$, een halve dag. Dezelfde kalksteen, freatisch, met $S = 0.2$, zou duizend keer zo lang duren. De druk verspreidt zich snel, het water beweegt langzaam: de twee getallen van de opening.

Propositie 23.8 (Stationaire radiale stroming naar een put)

Een put pompt $Q$ uit een gespannen watervoerende laag met transmissiviteit $T$, waarbij de stroming stationair en radiaal is. Tussen twee afstanden $r_1 < r_2$ van de put verschillen de verlagingen met

$$s_1 - s_2 = \frac{Q}{2\pi T}\ln\frac{r_2}{r_1} .$$

In twee dimensies wordt stationaire stroming getekend met een stroomnet.

Definitie 23.9 (Stroomnet)

Een stroomnet is een tekening van stationaire grondwaterstroming in een homogene, isotrope doorsnede door twee families van krommen: equipotentiaallijnen, lijnen van gelijke stijghoogte, en stroomlijnen, die het water volgt. De stroomlijnen snijden de equipotentiaallijnen loodrecht, en in een stroomnet liggen ze zo dat de cellen krommlijnige vierkanten zijn.

Methode 23.10 (Kwel uit een stroomnet)

1. Teken de randen: een ondoorlatende rand is een stroomlijn; de bodem van een waterlichaam, waar de stijghoogte vastligt, is een equipotentiaallijn.
2. Teken $N_d$ stijghoogteverschillen tussen de hoogste en laagste stijghoogte, $\Delta h = H/N_d$, en de stroomlijnen die $N_f$ stroombanen vormen, door proberen, totdat elke cel een krommlijnig vierkant is.
3. Elke stroombaan voert $K\Delta h$ per eenheid van lengte loodrecht op de doorsnede, waarbij de lengte en breedte van het vierkant wegvallen: het totaal is $q = KHN_f/N_d$.

23.4 Pompproeven

Stationaire stroming naar een put komt zelden voor: een nieuwe stationaire toestand kan maanden of jaren op zich laten wachten, of komt nooit. In 1935 gaf Theis, van de United States Geological Survey, de stijghoogteverlaging rond een put die met een constant debiet werd leeggepompt als functie van de tijd; uit een test van enkele uren of dagen volgen de transmissiviteit en de bergingscoëfficiënt van de watervoerende laag.

Stelling 23.11 (Theis-oplossing)

Een put die een oneindige, homogene, gespannen watervoerende laag volledig doorboort, met transmissiviteit $T$ en bergingscoëfficiënt $S$, begint op $t = 0$ met pompen tegen het constante debiet $Q$. De stijghoogteverlaging op afstand $r$ is

$$s(r, t) = \frac{Q}{4\pi T}\,W(u), \qquad u = \frac{r^2S}{4Tt}, \qquad W(u) = \int_u^\infty\frac{\mathrm e^{-y}}{y}\,\mathrm dy = -\gamma - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot2!} + \frac{u^3}{3\cdot3!} - \cdots,$$

met $\gamma = 0.5772$. $W$ heet de putfunctie.

Propositie 23.12 (Cooper–Jacob-benadering)

Voor $u \le 0.05$ ligt de stijghoogteverlaging volgens Theis dicht bij

$$s = \frac{2.3\,Q}{4\pi T}\log_{10}\frac{2.25\,Tt}{r^2S} :$$

uitgezet tegen $\log_{10}t$ is de stijghoogteverlaging een rechte lijn waarvan de stijging per logaritmische cyclus, $\Delta s$, $T = 2.3\,Q/(4\pi\Delta s)$ geeft, en waarvan het snijpunt met $s = 0$, op $t_0$, $S = 2.25\,Tt_0/r^2$ geeft.

Definitie 23.13 (Depressiekegel)

De depressiekegel van een leeggepompte put is de verlaging van de grondwaterspiegel, of van het potentiometrisch oppervlak, rond de put; de hydraulische gradiënt wordt steiler richting de put, waardoor al het water moet passeren.

Omdat de stijghoogteverlagingen aan een lineaire vergelijking voldoen, tellen de kegels van meerdere putten op. In een gespannen watervoerende laag, met haar kleine bergingscoëfficiënt, groeit een kegel snel en lopen de kegels van naburige putten al gauw in elkaar over; in een freatische watervoerende laag, die haar poriën moet leegtrekken, groeit de kegel langzaam. De kegel stopt pas met groeien wanneer hij voldoende aanvulling heeft opgevangen, of voldoende van de natuurlijke afvoer van de watervoerende laag naar rivieren en bronnen heeft verminderd, om het pompen in evenwicht te brengen. Grote onttrekkingen uit een gespannen watervoerende laag reiken ver: in 1981 werd ongeveer $277\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ opgepompt uit de watervoerende laag van het Krijt van de Atlantische kustvlakte, in Virginia en North Carolina, waardoor over het gebied overlappende kegels waren ontstaan.

In het veld — Een pompproef

Vóór een pompproef registreren de hydrogeologen de waterstanden in de putten een tijdje, om de trend te kennen waarop de proef zal worden gesuperponeerd. Daarna draait de pomp met een constant debiet, dat stabiel wordt gehouden en gemeten met een meter op de afvoerleiding, gedurende enkele uren tot enkele dagen. In elke waarnemingsput, minstens drie daarvan op verschillende afstanden als dat mogelijk is, wordt de diepte tot het water onder een vast meetpunt op nauwkeurig bekende tijdstippen afgelezen, veel in de eerste minuten en later minder: met een gegradueerd stalen meetlint of een elektrisch meetlint waarvan de elektrode een circuit sluit zodra die het water raakt. Tegenwoordig registreert een in de put gehangen onderwaterdruksensor, verbonden met een elektronische recorder, de stand bijna continu.

23.5 Transport van opgeloste stoffen

Een opgeloste stof in grondwater wordt met het water meegevoerd, met de poriesnelheid, en ze spreidt zich onderweg uit: het water in naburige poriën beweegt met verschillende snelheden en langs verschillende paden, en de stof diffundeert ook.

Definitie 23.14 (Hydrodynamische dispersie; dispersiviteit)

Hydrodynamische dispersie is het uitspreiden van een opgeloste stof in stromend grondwater door de variaties in de snelheid van het water van porie tot porie en door moleculaire diffusie. Langs de stroming wordt zij beschreven met een dispersiecoëfficiënt $D = \alpha_Lv + D^*$, $v$ de poriesnelheid, $D^*$ de effectieve moleculaire diffusiviteit, en $\alpha_L$, een lengte, de longitudinale dispersiviteit van het medium.

Stelling 23.15 (Advectie–dispersievergelijking)

Voor een eendimensionale stroming met constante poriesnelheid $v$ geldt voor de concentratie $C(x, t)$ van een niet-reagerende opgeloste stof:

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2C}{\partial x^2} - v\,\frac{\partial C}{\partial x} .$$

Als de concentratie op $C_0$ wordt gehouden bij $x = 0$ vanaf $t = 0$, in een medium dat aanvankelijk vrij is van opgeloste stof,

$$\frac{C}{C_0} = \frac12\left[\operatorname{erfc}\frac{x - vt}{2\sqrt{Dt}} + \mathrm e^{vx/D}\operatorname{erfc}\frac{x + vt}{2\sqrt{Dt}}\right] .$$

In het met het water meebewegende stelsel, $\xi = x - vt$, is de vergelijking de diffusievergelijking, en het front verbreedt zich als $\sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_L vt} = \sqrt{2\alpha_Lx}$: de breedte van het front groeit als de wortel uit de afgelegde afstand.

Definitie 23.16 (Retardatiefactor)

Een opgeloste stof die aan de korrels wordt geadsorbeerd, in evenwicht en in verhouding tot haar concentratie, beweegt langzamer dan het water. Haar retardatiefactor is

$$R = 1 + \frac{\rho_bK_d}{n} ,$$

waarin $\rho_b$ de droge volumieke dichtheid van het medium is, $n$ de porositeit ervan en $K_d$ de verdelingscoëfficiënt: de geadsorbeerde massa per eenheid van massa vaste stof gedeeld door de concentratie in het water. De opgeloste stof beweegt met $v/R$ en disperseert met $D/R$.

Dispersiviteiten zijn moeilijk te meten, en in de praktijk worden ze vaak vastgelegd met vuistregels. De oudste neemt de longitudinale dispersiviteit als een tiende van de lengte van de pluim. Een compilatie van veldmetingen, gepubliceerd in 1992, laat zien dat de dispersiviteit groeit met de schaal van het experiment, dat betrouwbare waarden op grote schaal schaars zijn, en dat op elke schaal de waarden over twee of drie ordes van grootte verspreid liggen.

23.6 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

Twee piëzometers staan naast elkaar op maaiveld van $120.0\,\mathrm{m}$ boven het referentieniveau. De eerste is gefilterd op $40\,\mathrm{m}$ diepte en het water staat $12.5\,\mathrm{m}$ onder het maaiveld; de tweede is gefilterd op $80\,\mathrm{m}$ diepte, met het water $15.0\,\mathrm{m}$ onder het maaiveld. Bereken de hoogtestijghoogte, de drukstijghoogte en de stijghoogte op beide filters. In welke richting stroomt het water tussen hen, en onder welke verticale gradiënt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

Eerste filter: $z = 120 - 40 = 80\,\mathrm{m}$, $h = 120 - 12.5 = 107.5\,\mathrm{m}$, drukhoogte $107.5 - 80 = 27.5\,\mathrm{m}$. Tweede filter: $z = 40\,\mathrm{m}$, $h = 105.0\,\mathrm{m}$, drukhoogte $65.0\,\mathrm{m}$. De stijghoogte is hoger bij het ondiepe filter, dus het water stroomt naar beneden, onder een hydraulische gradiënt $(107.5 - 105.0)/40 = 0.0625$: de peilbuizen staan in een infiltratiegebied. De drukhoogte alleen had het tegendeel doen vermoeden.

Oefening 23.2 ★

Een zandkolom van $50\,\mathrm{cm}$ lang en $10\,\mathrm{cm}$ in diameter, met $K = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ en een effectieve porositeit van 0.35, laat water door bij een stijghoogteverschil van $30\,\mathrm{cm}$. Bereken het specifiek debiet, de doorstroming in liter per uur, en de poriesnelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

$q = K\Delta h/L = 12\times0.30/0.50 = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Het oppervlak is $\pi\times0.05^2 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$, dus $Q = 0.0565\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, of $56.5/24 = 2.36\,\mathrm{L}/\mathrm{h}$. De poriesnelheid is $7.2/0.35 = 20.6\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Oefening 23.3 ★

Een kalksteen heeft $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ voor water bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 999.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.306 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). Bereken de intrinsieke permeabiliteit ervan, en de hydraulische geleidbaarheid voor water bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 998.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.002 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

$K = 2.5/86400 = 2.894 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en $k = K\mu/(\rho g) = 2.894 \times 10^{-5}\times1.306 \times 10^{-3}/(999.7\times9.81) = 3.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}$. Bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt $K$ vermenigvuldigd met $(998.2/1.002 \times 10^{-3})/(999.7/1.306 \times 10^{-3}) = 1.30$: $K = 3.25\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. De verandering komt vrijwel volledig door de viscositeit.

Oefening 23.4 ★

De gespannen kalksteen van Varden-3 is $180\,\mathrm{m}$ dik, met $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Bereken de transmissiviteit ervan, en de bergingscoëfficiënt die hij zou hebben als alleen de uitzetting van het water, $9 \times 10^{-7}$ per meter watervoerende laag, per meter stijghoogte, water vrijgaf. Vergelijk met $S = 2 \times 10^{-4}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$T = 2.5\times180 = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. De uitzetting van het water geeft $9 \times 10^{-7}\times180 = 1.62 \times 10^{-4}$, ongeveer $80\,\%$ van $S = 2 \times 10^{-4}$; de compressie van het kalksteen levert de rest.

Oefening 23.5 ★★

Na een lange periode van pompen met $1500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ veranderen de verlagingen niet meer: $2.35\,\mathrm{m}$ in een peilbuis op $20\,\mathrm{m}$ van de pompput en $0.82\,\mathrm{m}$ in een peilbuis $200\,\mathrm{m}$ verderop. De watervoerende laag is gespannen en $40\,\mathrm{m}$ dik. Bereken de transmissiviteit en de hydraulische geleidbaarheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

Volgens Propositie 23.8, $T = Q\ln(r_2/r_1)/(2\pi(s_1 - s_2)) = 1500\times\ln10/(2\pi\times1.53) = 359\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, en $K = 359/40 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Oefening 23.6 ★★

Een put pompt $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ uit een gespannen watervoerende laag met $T = 300\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ en $S = 5 \times 10^{-4}$. Bereken $u$, $W(u)$ (uit de reeks) en de verlaging $300\,\mathrm{m}$ verderop na 1 dag en na 10 dagen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

$Q/4\pi T = 1200/(4\pi\times300) = 0.318\,\mathrm{m}$. Na 1 dag, $u = 300^2\times5 \times 10^{-4}/(4\times300\times1) = 0.0375$ en $W = -0.5772 + 3.2834 + 0.0375 - 0.0004 = 2.743$: $s = 0.873\,\mathrm{m}$. Na 10 dagen, $u = 0.003\,75$, $W = -0.5772 + 5.5860 + 0.0038 = 5.013$: $s = 1.596\,\mathrm{m}$. Tien keer zo lang geeft minder dan twee keer de verlaging.

Oefening 23.7 ★★

Voor de Varden-3-test ($T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, $S = 2 \times 10^{-4}$), na hoeveel minuten mag de Cooper–Jacob-lijn in peilbuizen worden gebruikt op $60\,\mathrm{m}$ en $500\,\mathrm{m}$ van de pompput? Wat zegt dit over waar de peilbuizen van een korte test moeten staan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

$u \le 0.05$ wanneer $t \ge r^2S/(4T\times0.05)$. Bij $60\,\mathrm{m}$: $3600\times 2 \times 10^{-4}/90 = 0.008\,\mathrm{d}$, $11.5\,\mathrm{min}$. Bij $500\,\mathrm{m}$: $0.556\,\mathrm{d}$, $800\,\mathrm{min}$, ruim 13 uur. De tijd groeit met $r^2$: in een test van een dag of twee moeten de waarnemingsputten voor de rechte lijn binnen enkele honderden meter van de onttrekkingsput liggen.

Oefening 23.8 ★★

Twee putten op $400\,\mathrm{m}$ van elkaar in de Varden-kalksteen pompen elk $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$. Bereken de verlaging na 10 dagen halverwege tussen beide, en op de locatie van de tweede put ten gevolge van alleen de eerste put. Waarom kost het pompen van elke put de ander geld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

Halverwege staat elke put op $200\,\mathrm{m}$ afstand: $u = 200^2\times2 \times 10^{-4}/(4 \times450\times10) = 4.44 \times 10^{-4}$, $W = 7.142$, $s = 0.382\times 7.142 = 2.728\,\mathrm{m}$ per put, $5.456\,\mathrm{m}$ in totaal. Bij $400\,\mathrm{m}$, $u = 1.78 \times 10^{-3}$, $W = 5.757$, $s = 2.199\,\mathrm{m}$. Elke put verlaagt het waterpeil in de andere met $2.2\,\mathrm{m}$: de pomp moet het water $2.2\,\mathrm{m}$ hoger opvoeren, wat kost energie, en de verlaging die overblijft voordat de pompinlaat droogvalt, is kleiner.

Oefening 23.9 ★★

Tel in het stroomnet onder de dam de stroombanen en de stijghoogteverschillen. Bereken met $K = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ en $H = 10\,\mathrm{m}$ de kwel per meter dam en onder een dam van $300\,\mathrm{m}$ lengte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

Vier stroomlijnen tussen de damvoet en de ondergrond begrenzen $N_f = 5$ stroomkanalen; negen equipotentiaallijnen verdelen de $10\,\mathrm{m}$ in $N_d = 10$ potentiaalvallen. $q = KHN_f/N_d = 5\times10\times5/10 = 25\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ per meter van de dam, en $7500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ onder $300\,\mathrm{m}$. De berekende vormfactor, 0.512 in plaats van 0.5, zou $25.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ per meter opleveren.

Oefening 23.10 ★★★

Modelleer een schoon zand als rechte buizen met een straal van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ en een porositeit van 0.30. Bereken $k$ en $K$ (voor water bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, zoals in Oefening 23.3), en vergelijk met het bereik voor schoon zand. Welke kenmerken van echt zand laat het model weg, en in welke richting verschuift elk $K$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

$k = na^2/8 = 0.30\times(5 \times 10^{-5})^2/8 = 9.4 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}$, en $K = k\rho g/\mu = 9.375 \times 10^{-11}\times998.2\times9.81/1.002 \times 10^{-3} = 9.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $79\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, binnen het bereik van schoon zand, 0.3 tot $150\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Het model laat de kronkeligheid van de paden buiten beschouwing, die langer zijn dan de rechte buizen (dat verlaagt $K$), de engten tussen de poriën, kleiner dan de poriën (dat verlaagt), de doodlopende poriën die geen stroming dragen (dat verlaagt), en de spreiding van de poriegroottes: omdat een buis een stroming draagt evenredig met $a^4$, de breedste paden voeren het meeste water en een spreiding verhoogt $K$ boven die van buizen met de gemiddelde grootte.

Oefening 23.11 ★★★

(a) Toon aan dat de verlaging van Cooper–Jacob verdwijnt bij $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Bereken $r_0$ na 30 dagen pompen in de gespannen Varden-kalksteen, en voor hetzelfde gesteente als freatische laag, met $S = 0.2$. (c) Waarom kan de kegel van een gespannen watervoerende laag een begrenzing bereiken die de test niet bedoeld was te zien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

(a) De logaritme verdwijnt wanneer $2.25\,Tt = r^2S$, dat wil zeggen bij $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Gespannen en freatisch:

$$r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{2 \times 10^{-4}}} = 12.3\,\mathrm{km}, \qquad r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{0.2}} = 390\,\mathrm{m},$$

$\sqrt{1000} = 31.6$ keer kleiner. (c) De druk verspreidt zich met de diffusiviteit $T/S$, enorm wanneer $S$ klein is: binnen de test bereikt de depressiekegel breuken, ontsluitingen van de watervoerende laag en rivieren, en de verlaging wijkt af van de rechte lijn, wat de hydrogeoloog laat zien dat een begrenzing is bereikt.

Oefening 23.12 ★★★

(a) Bij een grote transportafstand benadert de doorbraakcurve op $x$ een normale verdeling in de tijd, met gemiddelde $x/v$ en standaardafwijking $\sigma_t = \sqrt{2\alpha_Lx}/v$. Toon dit aan vanuit de spreiding $\sqrt{2Dt}$ van het front. (b) Op $100\,\mathrm{m}$, met $v = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, bereikt de concentratie $16\,\%$ na $152.6$ dagen en $84\,\%$ na $247.2$ dagen. Schat $\alpha_L$. (c) Een zandige watervoerende laag heeft $\rho_b = 1.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en $n = 0.30$; een opgeloste stof heeft $K_d = 0.32\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{g}$. Bereken $R$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.12.

(a) Vanuit het met het water meebewegende referentiestelsel gezien is het front gespreid met standaardafwijking $\sigma_x = \sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_Lvt}$. Het passeert $x$ rond $t = x/v$, wanneer $\sigma_x = \sqrt{2\alpha_Lx}$; bij de snelheid $v$, een spreiding van $\sigma_x$ in afstand komt overeen met $\sigma_t = \sigma_x/v$ in tijd. (b) De $16\,\%$ en $84\,\%$ tijden liggen één standaardafwijking aan weerszijden van het gemiddelde: $\sigma_t = (247.2 - 152.6)/2 = 47.3\text{ dagen}$. Dan $\alpha_L = v^2\sigma_t^2/(2x) = 0.25\times47.3^2/200 = 2.8\,\mathrm{m}$. (De kromme is berekend met $3\,\mathrm{m}$: de normaalbenadering onderschat hem licht.) (c) $R = 1 + 1.9\times0.32/0.30 = 3.03$: de opgeloste stof reist met een derde van de snelheid van het water.

23.7 Probleem: Pompproef bij Varden-3

Probleem 23.1

Weekendprobleem — stijghoogten, een pompproef en het transport van een verontreinigende stof in de gespannen kalksteen van de Varden Hills

De fictieve put Varden-3 is geboord op (4500, 5000) op het rooster van de Varden Hills, vanaf een maaiveldhoogte van $363.2\,\mathrm{m}$, door de Jurassische schalie in de Jurassische kalksteen, waarvan de bovenkant ligt op $282.5\,\mathrm{m}$ en de onderkant op $102.5\,\mathrm{m}$ boven zeeniveau; de put is open over de volledige dikte van de kalksteen. Voor de test staat het water erin $45.0\,\mathrm{m}$ onder het maaiveld.

Deel I — De watervoerende laag en haar natuurlijke stroming.

1. Bereken de dikte van de schalie en van de kalksteen bij de put.
2. Bereken de stijghoogte in de kalksteen en de drukhoogte aan de bovenkant. Waarom is de kalksteen hier een gespannen watervoerende laag?
3. Drie piezometers, open naar de kalksteen, staan op P1 (4300, 5250), P2 (4850, 5150) en P3 (4550, 4650), met stijghoogten van 318.96, 317.34 en $317.52\,\mathrm{m}$. Schrijf $h = ax + by + c$ en bepaal $a$ en $b$.
4. Bereken de hydraulische gradiënt en het azimut waarheen het water stroomt.

Deel II — De pompproef. De put wordt twee dagen lang met $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ gepompt. In een peilbuis op $60\,\mathrm{m}$ afstand zijn de verlagingen:

$t$ ($\mathrm{min}$)	1	2	3	5	7	10	15	20	30	45	60
$s$ ($\mathrm{m}$)	0.18	0.36	0.48	0.64	0.77	0.88	1.04	1.15	1.30	1.45	1.56
$t$ ($\mathrm{min}$)	90	120	180	240	360	480	720	960	1440	2160	2880
$s$ ($\mathrm{m}$)	1.71	1.82	1.98	2.08	2.24	2.35	2.50	2.61	2.77	2.92	3.03

5. Zet $s$ uit tegen $\log_{10}t$. Welke vroege punten wijken af van de rechte lijn, en waarom?
6. Meet uit het rechte deel de verlaging per logaritmische cyclus af.
7. Bereken de transmissiviteit.
8. Bepaal het tijdstip $t_0$ waarop de lijn de verlaging nul snijdt.
9. Bereken de bergingscoëfficiënt.
10. Controleer dat $u \le 0.05$ geldt voor de gebruikte punten.
11. Bereken de hydraulische geleidbaarheid van de kalksteen.

Deel III — De kegel. Neem vanaf hier $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ en $S = 2 \times 10^{-4}$.

12. Bereken de Theis-verlaging in de peilbuis na 2 dagen en vergelijk die met de meetwaarde.
13. Een boerderijput op $1\,\mathrm{km}$ afstand put uit dezelfde kalksteen. Bereken de verlaging ervan na 30 dagen pompen.
14. Bereken de afstand $r_0$ van Jacob na 30 dagen. Wat zegt die over de randen van de watervoerende laag en de breuk van de Varden Hills?
15. Bereken het volume dat in 30 dagen is opgepompt. Waar komt het, in een gespannen watervoerende laag, vandaan?
16. Hoe zou de verlaging bij de boerderij zich verhouden als de kalksteen freatisch zou zijn, met $S = 0.18$?

Deel IV — Een verontreinigende stof. Een lek van een opgeloste verontreinigende stof bereikt de kalksteen op $200\,\mathrm{m}$ van de put. Neem een effectieve porositeit van 0.18 en een retardatiefactor van 2.5.

17. Bereken vóór het pompen het specifiek debiet en de poriesnelheid van de natuurlijke stroming uit Deel I.
18. Hoe lang zou het water erover doen om $200\,\mathrm{m}$ af te leggen, en de verontreinigende stof?
19. Met de put in bedrijf, en het lek stroomopwaarts ervan, wordt de stroming radiaal naar de put. Toon aan dat het water $t = \pi n_e b r^2/Q$ nodig heeft om de put te bereiken vanaf een afstand $r$, waarbij de natuurlijke stroming buiten beschouwing wordt gelaten, en bereken dit voor het water en voor de verontreinigende stof.
20. Schat, met de vuistregel dat de dispersiviteit een tiende van de afstand is, de spreiding $\sqrt{2\alpha_Lx}$ van het front bij de put. Wat betekent dit voor de eerste aankomst?
21. Moet het pompen doorgaan? Geef één argument voor en één tegen.
22. Geef de transmissiviteit van de watervoerende laag van de Varden-kalksteen in vierkante meter per dag, op twee significante cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. Schalie $363.2 - 282.5 = 80.7\,\mathrm{m}$; kalksteen $282.5 - 102.5 = 180\,\mathrm{m}$.

2. $h = 363.2 - 45.0 = 318.2\,\mathrm{m}$; drukhoogte bovenaan $318.2 - 282.5 = 35.7\,\mathrm{m}$. Het water stijgt $35.7\,\mathrm{m}$ boven de bovenkant van de kalksteen, tegengehouden door de schalie: de watervoerende laag is gespannen.

3. Uit $h_2 - h_1 = 550a - 100b = -1.62$ en $h_3 - h_1 = 250a - 600b = -1.44$: $a = -2.715 \times 10^{-3}$ en $b = 1.269 \times 10^{-3}$ per meter.

4. $|\nabla h| = \sqrt{a^2 + b^2} = 0.0030$. Het water stroomt langs $-\nabla h = (2.715 \times 10^{-3}, -1.269 \times 10^{-3})$, naar het oosten en zuiden: azimut $180{}^{\circ} - \arctan(2.715/1.269) = 115{}^{\circ}$.

5. De punten vóór ongeveer $10\,\mathrm{min}$ liggen boven de lijn: daar geldt $u > 0.05$ en ligt de Theis-kromme boven zijn logaritmische benadering ($W > -\gamma - \ln u$, zoals de figuur van de putfunctie laat zien).

6. De beste lijn door de punten vanaf $15\,\mathrm{min}$ gaat door $1.75\,\mathrm{m}$ bij $100\,\mathrm{min}$ en $2.63\,\mathrm{m}$ bij $1000\,\mathrm{min}$: $\Delta s = 0.87\,\mathrm{m}$ per logaritmische cyclus.

7. $T = 2.3\times2160/(4\pi\times0.872) = 453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$.

8. De lijn daalt $0.87\,\mathrm{m}$ per cyclus vanaf $1.75\,\mathrm{m}$ bij $100\,\mathrm{min}$: nul wordt bereikt $1.75/0.872 = 2.01$ cycli eerder, $t_0 = 0.98\,\mathrm{min} = 6.83 \times 10^{-4}\,\mathrm{d}$.

9. $S = 2.25\,Tt_0/r^2 = 2.25\times453\times6.83 \times 10^{-4}/3600 = 1.9 \times 10^{-4}$, binnen het bereik van gespannen watervoerende lagen.

10. Bij $15\,\mathrm{min}$, $u = 3600\times1.9 \times 10^{-4}/(4\times453 \times0.0104) = 0.036$, en daarna minder.

11. $K = 453/180 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, een gebroken kalksteen.

12. $u = 3600\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times2) = 2.0 \times 10^{-4}$, $W = -0.5772 + 8.5172 + 0.0002 = 7.940$, $s = 0.382\times7.940 = 3.03\,\mathrm{m}$, zoals genoteerd.

13. $u = 10^6\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times30) = 0.0037$, $W = 5.02$, $s = 1.92\,\mathrm{m}$.

14. $r_0 = \sqrt{2.25\times450\times30/(2 \times 10^{-4})} = 12.3\,\mathrm{km}$, meer dan de breedte van het gebied. De depressiekegel heeft de randen van de kalksteen bereikt, zijn ontsluitingen en de breuk, die hem tegen minder permeabel gesteente kan zetten: de oneindige watervoerende laag van Theis beschrijft hem niet meer, en alleen de registratie van de verlagingen zal uitwijzen of een rand de put voedt of de stroming stopt.

15. $2160\times30 = 64\,800\,\mathrm{m}^{3}$. Het komt uit opslag: het water dat vrijkomt door de uitzetting van het water en de samendrukking van de kalksteen, over het hele oppervlak van de kegel. Integratie van $S\,s$ over de kegel levert $Qt$ weer op.

16. $u = 10^6\times0.18/(4\times450\times30) = 3.33$, $W = 0.0086$, $s = 3\,\mathrm{mm}$: de boerderij zou er niets van merken. De onttrekking zou dan water halen uit de poriën dicht bij de put, in plaats van uit de druk van de hele watervoerende laag.

17. $q = 2.5\times0.0030 = 0.0075\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; $v = 0.0075/0.18 = 0.042\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, $15\,\mathrm{m}$ per jaar.

18. $200/0.0417 = 4800\text{ dagen}$, $13.1$ jaar; het verontreinigde stof, $32.9$ jaar.

19. Door een cilinder met straal $r$ stroomt het debiet $Q$ door het oppervlak $2\pi rb$ waarvan de poriën de fractie $n_e$ vormen: $\mathrm dr/\mathrm dt = -Q/(2\pi rbn_e)$, en integratie van $2\pi bn_er\,\mathrm dr = -Q\, \mathrm dt$ van $r$ tot 0 geeft $t = \pi n_ebr^2/Q$. Hier geldt $\pi\times0.18 \times180\times200^2/2160 = 1885\text{ dagen}$, $5.2$ jaar voor het water en $2.5\times5.2 = 12.9\text{ jaar}$ voor het verontreinigde stof: de put brengt het er meer dan twee keer zo snel.

20. $\alpha_L = 20\,\mathrm{m}$ en $\sqrt{2\times20\times200} = 89\,\mathrm{m}$. De concentratie bereikt $16\,\%$ van haar eindwaarde $89\,\mathrm{m}$ vóór het gemiddelde front: dat niveau bereikt de put wanneer het gemiddelde front nog $89\,\mathrm{m}$ verwijderd is, na $(111/200)^2\times12.9 = 4.0\text{ jaar}$, een derde van de gemiddelde tijd. De eerste sporen zijn belangrijk voor drinkwater, niet het gemiddelde.

21. Voor: de put vangt het verontreinigde stof op, zodat het zich niet verder stroomafwaarts kan verspreiden, en het water kan worden behandeld waar het wordt opgepompt. Tegen: de onttrekking trekt het verontreinigde stof eerder naar een drinkwaterput dan het anders ergens naartoe zou bewegen, en het water moet tientallen jaar worden gemonitord en behandeld.

22. De transmissiviteit van de kalksteen van Varden is $T \approx \textbf{$450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$}$ ($453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ uit de test).