29De Melkweg en sterrenstelsels

In het zonnestelsel bewegen de planeten die ver van de Zon staan langzaam: Mercurius draait eromheen met $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, Neptunus met $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, zoals de derde wet van Kepler voor lichamen die door één centrale massa worden vastgehouden vereist. De sterren van de Melkweg gedragen zich niet zo. Gemeten aan de bewegingen van meer dan twintigduizend rode reuzen bedraagt de snelheid van hun cirkelvormige banen $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $5\,\mathrm{kpc}$ van het centrum, $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij de Zon, en nog steeds $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $25\,\mathrm{kpc}$, waar nauwelijks sterren of gas meer aanwezig zijn. Als de massa die we zien het enige was wat er is, zouden de buitenste sterren veel trager zijn. Iets onzichtbaars houdt ze vast. Dit hoofdstuk beschrijft de Melkweg waarin we leven, bepaalt de massa uit haar rotatie, ordent de andere sterrenstelsels in typen en beklimt de keten van methoden waarmee hun afstanden en de uitdijing van het heelal worden gemeten.

Wat je al weet

De Melkweg, het Doppler-effect, de wetten van Kepler, de stelling van Newton over de aantrekking van een bolvormige schil, donkere materie, zwarte gaten en hun Schwarzschildstraal, supernova’s, witte dwergen, de 21-cm-lijn van atomair waterstof en de wet van Hubble staan in de natuurkundeboeken. De jaarlijkse parallax, de parsec, flux en lichtkracht, schijnbare en absolute magnitude, de afstandsmodulus, fotometrische banden en de kleurindex staan in Boek 3, in het hoofdstuk over telescopen en fotometrie. Het interstellaire medium en het stof erin staan in Boek 4, in het hoofdstuk over het interstellaire medium en stervorming.

29.1 De structuur van de Melkweg

Vanaf de Aarde gezien is het Melkwegstelsel de Melkweg: een lichtband rond de hele hemel, doorkruist door donkere stofbanen en het helderst in de richting van het sterrenbeeld Boogschutter, waar het centrum ligt. De band is de schijf waarin de Zon zit, van binnenuit langs de rand gezien.

Definitie 29.1 (Galactische schijf, dikke schijf, bulge en stellaire halo)

De galactische schijf is het afgeplatte deel van de Melkweg, opgebouwd uit sterren, gas en stof in bijna cirkelvormige banen rond het centrum; de dichtheid neemt ongeveer exponentieel af met de hoogte boven het middenvlak en met de afstand tot het centrum, over een schaalhoogte en een schaallengte. De dikke schijf is een tweede, oudere schijfcomponent met een grotere schaalhoogte en een kleinere massa. De galactische bulge is de centrale concentratie van sterren die uit de schijf opzwelt. De stellaire halo is het ijle, ruwweg sferoïdale onderdeel van oude sterren en bolvormige sterrenhopen die de schijf en de bulge omringt.

De Melkweg is een balkspiraal. In de omgeving van de Zon heeft de dunne schijf een schaalhoogte van ongeveer $300\,\mathrm{pc}$ en de dikke schijf van ongeveer $900\,\mathrm{pc}$; hun schaallengten zijn ongeveer $2.6\,\mathrm{kpc}$ en $2.0\,\mathrm{kpc}$. De dikke schijf bevat ongeveer $6 \times 10^{9}$ zonsmassa’s, ruwweg een vijfde van de dunne schijf. Van opzij gezien is de bulge een doos of een pinda: het is het verdikte binnenste deel van een balk van sterren van ongeveer $5\,\mathrm{kpc}$ in halve lengte, waarvan de lange as een hoek maakt van $27{}^{\circ}$ met de lijn van de Zon naar het centrum. De stellaire halo bevat slechts ongeveer één procent van de sterren. Samen wegen de sterren van de Melkweg ongeveer $5 \times 10^{10}$ zonsmassa’s.

Definitie 29.2 (Sterpopulatie)

Een sterpopulatie is een groep sterren van een sterrenstelsel die een bereik van ouderdommen, chemische samenstellingen en banen delen. De jonge sterren van de dunne schijf, rijk aan elementen zwaarder dan helium en op bijna cirkelvormige banen, worden traditioneel populatie I genoemd; de oude sterren van de halo en van de bolvormige sterrenhopen, arm aan zware elementen en op banen met grote willekeurige bewegingen en weinig netto rotatie, populatie II.

De dikke schijf ligt daartussen: haar sterren zijn meestal ouder dan die van de dunne schijf en zijn bij een gegeven ijzergehalte rijker aan de lichte elementen die sterrenkundigen alfa-elementen noemen, gemeten ten opzichte van ijzer. De stellaire halo is een fossiel archief: een groot deel ervan is opgebouwd uit kleine sterrenstelsels die in de Melkweg vielen en door haar getijden uiteengereten werden, en sommige van hun sterrenstromen zijn nog steeds over de hemel te volgen.

Definitie 29.3 (Galactische coördinaten)

De galactische coördinaten van een richting zijn de galactische breedte $b$, de hoek ten opzichte van het galactische vlak (positief richting de noordelijke galactische pool), en de galactische lengte $\ell$, gemeten in het vlak vanaf de richting van het Galactisch Centrum ($\ell = 0$) via $\ell = 90{}^{\circ}$, de richting waarheen de rotatie van de Melkweg de Zon meevoert. Het vlak werd in 1958 vastgelegd als het hoofdvlak van het atomaire waterstof van de Melkweg; de noordelijke galactische pool ligt op rechte klimming $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) en declinatie $27.4{}^{\circ}$ (equinox 1950).

De Zon ligt niet helemaal in het vlak: zij ligt zo’n $25\,\mathrm{pc}$ ten noorden ervan. Haar afstand tot het centrum, $R_0$, was lange tijd het meest onzekere getal van de galactische sterrenkunde. Ze wordt nu geometrisch gemeten: de ster S2 draait om het centrale zwarte gat van de Melkweg met een omlooptijd van $16$ jaar, waarvan de hoekgrootte op de hemel en de snelheid langs de zichtlijn, gevolgd gedurende 27 jaar, de afstand tot het centrum rechtstreeks geven: $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$, met een statistische fout van $13\,\mathrm{pc}$ en een systematische fout van $22\,\mathrm{pc}$. Een overzicht van alle methoden geeft $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$.

29.2 Rotatie en de halo van donkere materie

Definitie 29.4 (Lokale standaard van rust)

De lokale standaard van rust (LSR) is het referentiestelsel dat zich beweegt op de cirkelvormige baan om het Galactisch Centrum die door de huidige positie van de Zon loopt. Snelheden van nabije sterren en gas worden ten opzichte ervan opgegeven.

De Zon beweegt ten opzichte van de LSR met ongeveer $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ richting het Galactisch Centrum, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ in de richting van de rotatie en $7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ richting de noordelijke galactische pool: een kleine peculiaire beweging bovenop een baan met een snelheid $V_0$ van enkele honderden kilometers per seconde. Vanaf de Aarde gezien verschuift de radiobron in het centrum van de Melkweg langs het galactische vlak met $6.411\,\mathrm{mas}$ per jaar; bijna de hele verschuiving is de weerspiegeling van de baan van de Zon, en die geeft de totale snelheid om het centrum, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ (zie Oefening 29.2).

Definitie 29.5 (Rotatiekromme; Oort-constanten)

De rotatiekromme van een schijfstelsel is de snelheid $V(R)$ van een cirkelvormige baan in zijn vlak als functie van de afstand $R$ tot zijn centrum. Voor de Melkweg, met $V_0 = V(R_0)$ en $V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ bij $R_0$, de Oort- constanten zijn

$$A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).$$

$A$ meet de afschuiving van de rotatie van de schijf en $B$ de vorticiteit: in een schijf die als een star lichaam draait geldt $V'_0 = V_0/R_0$ en $A = 0$; bij een vlakke rotatiekromme $A = -B$. Hun verschil is de hoeksnelheid van de LSR, $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$, en hun som is de helling, $A + B = -V'_0$.

Stelling 29.6 (Formules van Oort)

Een ster op een afstand $d \ll R_0$ van de Zon, in het galactische vlak bij de galactische lengte $\ell$, op een cirkelvormige baan, heeft ten opzichte van de LSR de radiale snelheid $v_r$ en de transversale snelheid $v_t$ (positief in de richting van toenemende $\ell$)

$$v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),$$

in eerste orde in $d/R_0$.

De radiële snelheden van nabije sterren variëren dus als $\sin 2\ell$ over de hemel, en hun eigenbewegingen als $\cos 2\ell$ rond een gemiddelde dat door $B$ wordt bepaald. Uit de eigenbewegingen en parallaxen van $304\,267$ sterren van de eerste Gaia-catalogus, op een typische afstand van $230\,\mathrm{pc}$, de Oort-constanten bedragen $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ en $B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$. Twee extra termen die een axisymmetrische schijf niet zou hebben, $C$ en $K$ genoemd, kwamen op ongeveer $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ uit: de lokale schijf is door de balk en de spiraalarmen geroerd.

De rotatiekromme uit de 21-cm-lijn

Atomair waterstof vult de schijf en zendt de 21-cm-lijn uit bij $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$; radiogolven doorkruisen het stof dat de verre schijf bij zichtbare golflengten verbergt. Langs een zichtlijn in het vlak voegt elke gaswolk zijn lijn toe bij de Dopplerverschuiving van zijn radiële snelheid, en het profiel van de lijn is een spectrum van snelheden. Binnen de zonnecirkel springt één snelheid eruit.

Stelling 29.7 (Raakpuntmethode)

Laat gas bewegen op cirkelbanen met een hoeksnelheid $\omega(R)$ die naar buiten afneemt. Langs een zichtlijn op lengtegraad $0 < \ell < 90{}^{\circ}$ is de radiële snelheid ten opzichte van de LSR het grootst in het raakpunt, waar de zichtlijn een baan raakt, op $R = R_0\sin\ell$, en de grootste waarde ervan is

$$v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .$$

De hoogste snelheid in elk 21-cm-profiel levert dus $V$ op bij $R_0\sin\ell$, en een doorloop van lengtegraden van $0{}^{\circ}$ tot $90{}^{\circ}$ geeft de rotatiekromme van het centrum tot aan de Zon. Voorbij de zonnecirkel raakt geen zichtlijn aan een baan en faalt de methode: daar moet de afstand van elke tracer net zo goed gemeten worden als zijn snelheid. Sinds 2014 heeft een satelliet de parallaxen van meer dan een miljard sterren gemeten, en de buitenste rotatiekromme wordt nu door sterren getraceerd.

De curve in de figuur hierboven is gemeten aan de posities, afstanden en snelheden van meer dan drieentwintigduizend heldere rode reuzen, met de vergelijking uit de stellaire hydrodynamica die de gemiddelde bewegingen van een populatie sterren koppelt aan de zwaartekracht die ze bijeenhoudt (de Jeansvergelijking). Op de plaats van de Zon geeft deze $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, met een systematische onzekerheid van twee tot vijf procent; verder naar buiten daalt hij langzaam, met $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per kiloparsec. Hij daalt niet zoals de zichtbare massa dat vereist.

Het wegen van de Melkweg

De zwaartekracht van een schijf is niet die van een bol, maar de cirkelsnelheidskromme van een massamodel is eenvoudig te berekenen wanneer elke component een potentiaal in gesloten vorm heeft. De potentialen in het vlak hieronder zijn die van een gepubliceerd model van de sterren van het Melkwegstelsel.

Propositie 29.8 (Cirkelsnelheden van drie massamodellen)

In het vlak $z = 0$ is de cirkelsnelheid $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ voor

• een Plummerbol met massa $M$ en kernstraal $b$, met potentiaal $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$

• een Miyamoto–Nagai-schijf met massa $M$, schaallengte $a$ en schaalhoogte $b$, met potentiaal $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
• een halo van Navarro–Frenk–White met dichtheid $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$, $x = r/R_s$: de massa binnen $r$ is $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ en $V^2 = GM(r)/r$.

Voor meerdere componenten tellen de kwadraten van de snelheden op.

Het model in de figuur heeft een Plummerbulge van $1.07 \times 10^{10}$ zonsmassa’s met $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$, een dunne schijf en een dikke schijf van elk $3.94 \times 10^{10}$ zonsmassa’s, met $(a, b) = (5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ en $(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$. Met $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ per zonsmassa zouden de sterren alleen de Zon een baansnelheid van $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ geven, en een ster op $20\,\mathrm{kpc}$ een van $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; de gemeten snelheden zijn 229 en $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Een halo die op de metingen is gefit, met de sterren vast, heeft $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ en $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ zonsmassa’s per kubieke kiloparsec, hetzelfde als de halo die de auteurs zelf fitten ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$, $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ zonsmassa’s per kubieke kiloparsec). De halo domineert buiten ongeveer $14\,\mathrm{kpc}$.

Definitie 29.9 (Halo van donkere materie)

De halo van donkere materie van een melkweg is de ruwweg bolvormige verdeling van donkere materie waarin zijn sterren en gas zijn ingebed, veel groter en massiever dan zijn zichtbare componenten, en afgeleid uit de zwaartekracht ervan: uit de rotatiekromme, uit de bewegingen van satellietmelkwegen en van halosterren, en uit de buiging van licht.

Stelling 29.10 (Massa binnen een straal)

Voor een bolvormige massaverdeling geeft de cirkelsnelheid op straal $r$ de massa erbinnen, $M(r) = rV^2/G$. Een vlakke rotatiekromme, $V =$ constant, impliceert $M(r) \propto r$ en een dichtheid $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$.

Voor de afgeplatte schijven is $rV^2/G$ niet precies de massa binnen $r$, maar het is de massa die een bol nodig zou hebben om dezelfde baan te veroorzaken, en het wordt hier, zoals gebruikelijk, gebruikt als de dynamische massa. De figuur hieronder vergelijkt die voor de sterren en voor het hele Melkwegstelsel.

Hoe ver de halo reikt en hoeveel hij in totaal weegt, kan de rotatiekromme van de schijf niet zeggen. Geëxtrapoleerd met zijn aangepaste profiel tot zijn viriaalstraal, ongeveer $190\,\mathrm{kpc}$, bevat de door de auteurs van de meting gefitte halo ongeveer $7 \times 10^{11}$ zonsmassa’s; een overzicht van andere schattingen geeft $1.3 \times 10^{12}$, waarvan de baryonen slechts zeven procent zijn. De donkere materie nabij de Zon is dun: ongeveer $0.30\,\mathrm{GeV}$ aan massa-energie per kubieke centimeter, een derde van de massa van een proton, en daarom wordt ze alleen door haar opgehoopte zwaartekracht gevoeld.

29.3 Sterrenstelsels

Definitie 29.11 (Hubble-reeks; elliptische, lensvormige, spiraal- en onregelmatige sterrenstelsels)

De Hubble-reeks classificeert sterrenstelsels op hun uiterlijk. Een elliptisch sterrenstelsel (type E) is een glad systeem van sterren, waarvan de helderheid vanuit het centrum gestaag afneemt en dat geen schijf heeft; het wordt aangeduid als E$n$, met $n = 10(1 - b/a)$ en $b/a$ de schijnbare asverhouding, van E0 (rond) tot E7. Een spiraalstelsel heeft een schijf met spiraalarmen rond een centrale bulge; het wordt aangeduid als Sa, Sb, Sc, in volgorde van een afnemende bulge, meer open armen en armen die sterker zijn opgebroken in stervormende knopen, en SBa, SBb, SBc als een balk door het centrum loopt. Een lensvormig sterrenstelsel (S0) heeft een schijf en een bulge maar geen armen. Een onregelmatig sterrenstelsel (Irr, Im) heeft geen georganiseerde structuur.

De klassen beschrijven vormen die aan de hemel worden waargenomen, en één label verbergt een bereik: een elliptisch sterrenstelsel dat langs zijn kortste as wordt gezien, lijkt rond, wat zijn werkelijke afplatting ook is, en de grenzen tussen naburige klassen zijn een kwestie van oordeel. In een catalogus van de sterrenstelsels in onze omgeving staat de Melkweg vermeld als S(B)bc, een spiraal tussen Sb en Sc met een balk; haar grote buur Andromeda (M31) is een Sb, het Triangulum-stelsel (M33) een Sc, en de Grote en Kleine Magellaanse Wolken zijn onregelmatige stelsels.

Waarom zijn spiraalarmen niet opgerold? In een schijf waarvan de rotatiekromme vlak is, een ster op half de afstand van het centrum draait in de halve tijd rond. Een spiraal van sterren zou bij elke omwenteling strakker worden opgerold, en na enkele omwentelingen van de schijf zou het een strakke spoel zijn (zie Oefening 29.11).

Definitie 29.12 (Dichtheidsgolftheorie)

De dichtheidsgolftheorie verklaart spiraalarmen als een golf van hogere dichtheid in een schijf, een spiraalpatroon dat stijf draait met zijn eigen hoeksnelheid, de patroonsnelheid, terwijl de sterren en het gas erdoorheen bewegen, vertragend bij het binnengaan van de drukke arm en versnellend bij het verlaten ervan, zoals auto’s door een file rijden.

De theorie, in 1964 voorgesteld, verlost de armen van het oprolprobleem. Gas dat een arm binnenkomt wordt samengeperst, en daar ontstaan sterren: de armen worden afgetekend door jonge sterren en gloeiend gas, terwijl de oude sterren veel gelijkmatiger verdeeld zijn. Of de armen langlevende golven zijn, is nog altijd omstreden; computersimulaties van schijven laten vaker armen groeien die tijdelijk zijn, die oplossen en opnieuw vormen, en een passerend sterrenstelsel of een balk kan een tweearmige spiraal aandrijven.

Definitie 29.13 (Superzwaar zwart gat)

Een supermassief zwart gat is een zwart gat van een miljoen zonsmassa’s of meer in het centrum van een sterrenstelsel.

In het centrum van de Melkweg zit de compacte radiobron Sagittarius A* (Sgr A*) tussen sterren op strakke, snelle banen. Om die banen te verklaren is een centrale massa nodig van ongeveer vier miljoen zonsmassa’s, $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ zonsmassa’s volgens een overzicht van de metingen. Sgr A* beweegt nauwelijks ten opzichte van verre sterrenstelsels: na aftrek van de baan van de Zon bedraagt de resterende beweging hooguit enkele kilometers per seconde, dus bevat hij minstens een kwart van die massa. Zijn grootte is vergelijkbaar met zijn Schwarzschildstraal, en zijn dichtheid, boven $4 \times 10^{23}$ zonsmassa’s per kubieke parsec, ligt zeer dicht bij wat voor een zwart gat wordt verwacht: het bewijs dat Sgr A* er een is, is overweldigend.

Definitie 29.14 (Lokale Groep; cluster van sterrenstelsels)

De Lokale Groep is de door zwaartekracht gebonden groep van sterrenstelsels, gedomineerd door de Melkweg en Andromeda, elk met hun satellietstelsels. Een cluster van sterrenstelsels is een van de grootste door zwaartekracht gebonden systemen: vele sterrenstelsels bijeengehouden, met een heet gas dat röntgenstraling uitzendt, in een gemeenschappelijke put van grotendeels donkere materie.

Meer dan honderd sterrenstelsels bevinden zich binnen $3\,\mathrm{Mpc}$ van de Zon, de meeste daarvan dwergstelsels. De Grote Magellaanse Wolk staat op ongeveer $50\,\mathrm{kpc}$, Andromeda op $783\,\mathrm{kpc}$ en nadert ons met $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, en de gebonden leden van de groep liggen binnen ongeveer $1.06\,\mathrm{Mpc}$ van hun zwaartepunt, tussen de Melkweg en Andromeda, waar zij zich afkeren van de uitdijing van het heelal. De massa, afgeleid uit de beweging van de twee grote sterrenstelsels naar elkaar toe, is van de orde van $5 \times 10^{12}$ zonsmassa’s. In een massieve cluster van sterrenstelsels bedraagt het hete gas, bij ongeveer $10^{8}\,\mathrm{K}$, ongeveer tien keer de massa van de sterren; sterrenstelsels en gas samen zijn te licht voor de diepte van de zwaartekrachtput, en het grootste deel van de massa van de cluster, van de orde van $10^{15}$ zonsmassa’s, is donker.

29.4 De afstandsladder

Een parallax geeft een afstand uitsluitend op grond van meetkunde, maar parallaxen worden kleiner naarmate de afstand toeneemt. De beste catalogus daarvan meet een parallax met een onzekerheid van 0.02 tot $0.03\,\mathrm{mas}$ voor sterren helderder dan magnitude 15, zodat een afstand met een nauwkeurigheid van $10\,\%$ tot ongeveer $4\,\mathrm{kpc}$ mogelijk is; de Grote Magellaanse Wolk, op $50\,\mathrm{kpc}$, heeft een parallax van $0.02\,\mathrm{mas}$. Verder rusten afstanden op objecten waarvan de lichtkracht bekend is.

Definitie 29.15 (Standaardkaars; afstandsladder)

Een standaardkaars is een klasse van objecten waarvan de absolute magnitude bekend is, of kan worden afgeleid uit een eigenschap die onafhankelijk van de afstand is gemeten, zodat hun schijnbare magnitude hun afstandsmodulus geeft. De afstandsladder is de keten van methoden, elk gekalibreerd op objecten die dichtbij genoeg zijn om ook met de voorgaande methode te worden gemeten, die afstanden vanuit parallaxen uitbreidt tot het uitdijende heelal.

Definitie 29.16 (Cepheïde; wet van Leavitt)

Een cepheïde is een jonge, lichtkrachtige, pulserende ster waarvan de helderheid varieert met een strikt regelmatige periode, van ongeveer een dag tot enkele weken. De wet van Leavitt, of periode–lichtkrachtrelatie, is het lineaire verband tussen de gemiddelde absolute magnitude van een cepheïde en de logaritme van haar periode, waarbij langere perioden horen bij helderdere sterren.

Het verband werd in 1908 ontdekt in de Kleine Magellaanse Wolk, waarvan de sterren allemaal op nagenoeg dezelfde afstand staan. Stof in het sterrenstelsel waarin een cepheïde staat, dimt en rood-kleurt haar; maar de dimming is groter in het zichtbare dan in het nabije infrarood, in een vaste verhouding voor een bepaald soort stof, en de combinatie $W_I = I - 1.55\,(V - I)$ van de magnitudes in de I- en V-banden, de Wesenheit-index, is zo gekozen dat de dimming wegvalt. De figuur hieronder toont dit voor 2315 cepheïden van de Grote Magellaanse Wolk: de wet van Leavitt is een strakke lijn, met een spreiding van $0.078\,\mathrm{mag}$, dat is $3.6\,\%$ in afstand voor één ster.

Definitie 29.17 (Top van de rode-reuzentak)

De top van de rode-reuzentak (TRGB) is de scherpe bovengrens van de helderheden van de rode reuzen van een oude sterpopulatie, bepaald door de ontsteking van helium in hun kernen, de heliumflits; in de I-band ligt hij op vrijwel dezelfde absolute magnitude in elke oude populatie, $M_I \approx -4.05$ bij een kleur $V - I = 1.6$, en hangt maar zwak af van de chemische samenstelling.

De top wordt gemeten in de ijle halo’s van sterrenstelsels, waar weinig stof is en weinig verdringing; hij gebruikt oude halosterren waar cepheïden jonge schijfsterren gebruiken, en de twee methoden delen geen natuurkunde. Cepheïden en de TRGB reiken tot enkele tientallen megaparsec, tot in sterrenstelsels waar een zeldzame en veel helderdere standaardkaars is ontploft: een supernova van type Ia, de thermonucleaire explosie van een witte dwerg, bekend uit de natuurkundeboeken, waarvan de piekabsolute magnitude, na correctie voor de vorm van zijn lichtkromme en zijn kleur, is $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$. Zulke supernova’s zijn over honderden megaparsec waar te nemen.

Definitie 29.18 (Tully–Fisher-relatie)

De Tully–Fisher-relatie is de correlatie tussen de helderheid, of beter de massa van sterren en gas, van een spiraalstelsel en de snelheid van zijn vlakke rotatiekromme; in zijn baryonische vorm, $M_\mathrm{b} = A\,V^4$, geldt ze van ongeveer 30 tot $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Het 21-cm-spectrum van een sterrenstelsel geeft zijn maximale rotatiesnelheid, de relatie zijn helderheid, onafhankelijk van zijn afstand, en zijn flux geeft dan de afstand: een sport voor spiraalstelsels die te ver weg zijn voor afzonderlijke sterren. De Melkweg valt door zijn helderheid en rotatie op de relatie.

Bovenaan de ladder meten de supernova’s de expansie van het heelal. De wet van Hubble, bekend uit de natuurkundeboeken, maakt de recessiesnelheid $cz$ van een ver sterrenstelsel evenredig met zijn afstand $d$, $cz = H_0 d$ voor kleine roodverschuivingen $z$; de Hubble-constante $H_0$ is de helling, en de supernova’s geven die, met hun afstanden uit de ladder.

Definitie 29.19 (Hubble-spanning)

De Hubble-spanning is het verschil tussen de waarde van de Hubble-constante die lokaal is gemeten met de afstandsladder en de waarde die is afgeleid uit de kosmische achtergrondstraling met het standaardmodel van de kosmologie.

Cijfers van 2022

De cepheïden van de gastheren van 42 supernova’s van type Ia, verankerd op parallaxen, de masers van NGC 4258 en de bedekkingsdubbelsterren van de Grote Magellaanse Wolk geven $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. De top van de rode-reuzentak, die ongeveer honderd supernova’s ijkt, gaf in 2019 $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ (statistisch en systematisch). De kaart van de kosmische achtergrondstraling van de Planck-satelliet, gelezen met het standaardmodel van de kosmologie, impliceert $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. De cepheïdewaarde en de waarde uit de achtergrond verschillen met vijf standaardafwijkingen; de TRGB-waarde ligt daartussen. De oorsprong van het verschil is niet bekend: een fout die nog niet is gevonden in een van de ladders, of natuurkunde die in het model ontbreekt.

In het laboratorium — Een astrometrische satelliet en zijn catalogus

De satelliet Gaia scant de hemel volgens een vooraf vastgelegd patroon, zodat elke ster tijdens de missie steeds opnieuw wordt gemeten. Op de grond zetten de coördinatie-eenheden van een consortium voor gegevensverwerking deze metingen om in een positie, een parallax en een eigenbeweging voor elk van meer dan een miljard bronnen: van de kleine bewegingen van een ster aan de hemel is de parallax het deel dat zich elk jaar herhaalt en de eigenbeweging het deel dat zich opstapelt. Elke catalogus wordt uitgebracht met artikelen die de verwerking en de validatie ervan beschrijven, en elke afstand in de figuren van deze paragraaf die op een parallax berust, berust op zo’n catalogus.

Cijfers van 2022

De derde Gaia-catalogus, uitgebracht op 13 juni 2022 op basis van 34 maanden waarnemingen, geeft posities, parallaxen en eigenbewegingen voor ongeveer 1.46 miljard bronnen, van magnitude 3 tot 21, en gemiddelde radiale snelheden voor 33 miljoen sterren. De onzekerheden in de parallax bedragen van 0.02 tot $0.03\,\mathrm{mas}$ voor sterren helderder dan magnitude 15, $0.07\,\mathrm{mas}$ bij magnitude 17, en $0.5\,\mathrm{mas}$ bij magnitude 20.

29.5 Oefeningen

Oefening 29.1 ★

De galactische jaar van de Zon. (a) Met $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ en $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, bereken de omlooptijd van de baan van de Zon om het galactisch centrum, in miljoen jaar. (b) Hoeveel keer is de Zon rondgegaan sinds het Zonnestelsel is ontstaan, $4.54\,\mathrm{Gyr}$ geleden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.1.

(a) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$; bij $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ duurt dit $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, dat is $219\,\mathrm{Myr}$. (b) $4540/219 = 20.7$: ongeveer twintig omwentelingen.

Oefening 29.2 ★

De terugstotbeweging van Sgr A*. (a) Een eigenbeweging van $1\,\mathrm{mas}$ per jaar bij $1\,\mathrm{kpc}$ komt overeen met een transversale snelheid van $1\,\mathrm{au}$ per jaar: druk die uit in kilometer per seconde. (b) Sgr A*, aangenomen in rust in het galactisch centrum op $8.178\,\mathrm{kpc}$, drijft langs het galactische vlak met $6.411\,\mathrm{mas}$ per jaar. Bereken de snelheid van de Zon om het centrum en vergelijk die met de waarde uit het overzicht, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Trek de peculiere beweging van de Zon in de draairichting af, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, en vergelijk met $V_0$ uit de rotatiekromme.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.2.

(a) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{yr} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} = 4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $v = 4.74\times6.411\times8.178 = 248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, binnen de waarde van het overzicht $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, ongeveer $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ boven de $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ van de rode reuzen: de twee berusten op verschillende waarden van $R_0$ (8.178 en $8.122\,\mathrm{kpc}$), en de LSR zelf kan tot ongeveer $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ meebewegen ten opzichte van een werkelijk cirkelvormige baan.

Oefening 29.3 ★

Elliptische sterrenstelsels indelen. (a) De isofoten van een elliptisch sterrenstelsel hebben een assenverhouding van 0.6: geef de klasse. (b) Welke assenverhouding heeft een E7? (c) Waarom kan een E0-sterrenstelsel een afgeplat systeem zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.3.

(a) $n = 10(1 - 0.6) = 4$: E4. (b) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$. (c) De klasse gebruikt de schijnbare asverhouding: een afgeplatte ellipsoïde, gezien langs zijn korte as heeft een cirkelvormige omtrek en wordt als E0 ingedeeld.

Oefening 29.4 ★

Ankers. Bereken de afstanden van de Grote Magelhaense Wolk ($\mu = 18.477$), Andromeda ($\mu = 24.47$) en NGC 4258 ($\mu = 29.398$). Welke parallax zou een ster van de Wolk hebben, en waarom kan de afstand van de Wolk niet met parallaxen worden gemeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.4.

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc: de LMC $49.6\,\mathrm{kpc}$, Andromeda $783\,\mathrm{kpc}$, NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$. Een ster van de Wolk heeft een parallaxis van $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$, de grootte van de onzekerheid van de beste catalogus voor heldere sterren: één parallaxis geeft helemaal geen afstand, en de Wolk wordt met andere middelen vastgesteld (bedekkingsdubbelsterren), waaruit de cepheïdeschaal begint.

Oefening 29.5 ★★

Uit de Oort-constanten $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ en $B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: (a) bereken de hoeksnelheid van de LSR en, met $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$, de cirkelsnelheid $V_0$; (b) bereken de helling van de rotatiekromme bij de Zon. (c) Vergelijk met de rotatiekromme van de rode reuzen ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, helling $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per kiloparsec) en verklaar waarom de twee verschillen, gegeven dat dezelfde meting een niet-nulwaarde voor $C$ en $K$ vond.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.5.

(a) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ en $V_0 = 27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $V'_0 = -(A + B) = -3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: een geleidelijk dalende rotatiekromme. (c) Beide zijn onder de waarden van de rode reuzen (229 en $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per kiloparsec); de auteurs van die kromme vonden hetzelfde, een $V_0$ ongeveer twee standaardafwijkingen lager door $R_0$ en deze Oort-constanten. De formules van Oort gaan uit van cirkelvormige banen in een axiaalsymmetrische schijf; niet-nul $C$ en $K$ tonen aan dat het lokale snelheidsveld wordt verstoord door de balk en de spiraalarmen, en de lokale $A$ en $B$ bevatten die verstoringen.

Oefening 29.6 ★★

Een vlakke rotatiekromme en de lokale dichtheid. (a) Voor een bolvormig sterrenstelsel met een vlakke rotatiekromme bij $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, bereken de dichtheid op $8.178\,\mathrm{kpc}$, in zonsmassa’s per kubieke parsec ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ per zonsmassa). (b) Toon aan dat één zonsmassa per kubieke parsec $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ is, en druk de lokale dichtheid van donkere materie, $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, uit in zonsmassa’s per kubieke parsec. (c) Waarom is de dichtheid van (a) groter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.6.

(a) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times 8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ zonsmassa’s per kubieke kiloparsec, of $0.0145$ per kubieke parsec. (b) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times (2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$, en $1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$: de verhouding is $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Dan $0.30/37.96 = 0.0079$ zonsmassa’s per kubieke parsec. (c) De dichtheid uit de vlakke rotatiekromme telt alle massa die de banen in stand houdt, sterren en gas inbegrepen, alsof die over een bol verdeeld was; de donkere materie is maar een deel ervan, hier ongeveer de helft.

Oefening 29.7 ★★

Een cepheïde-afstand. In een verzonnen spiraalstelsel heeft een cepheïde met een periode van $30\,\mathrm{d}$ een gemiddelde Wesenheit-index $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$. (a) Gebruik de wet van Leavitt van de Grote Magelhaense Wolk, $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$, en de afstandsmodulus van de Wolk 18.477, om de absolute Wesenheit-magnitude van de cepheïde te berekenen. (b) Bereken de afstand van het sterrenstelsel. (c) De spreiding van de wet is $0.077\,\mathrm{mag}$: wat is de relatieve afstandsfout uit één cepheïde en uit vijftig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.7.

(a) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$, dus $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$. (b) $\mu = 25.00 + 7.484 = 32.484$ en $d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$. (c) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 = 3.5\,\%$ voor één ster, $3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ voor vijftig, als hun fouten onafhankelijk zijn (de fout in de eigen afstand van de Wolk telt bij alle sterren gelijk op).

Oefening 29.8 ★★

Een TRGB-afstand. In de halo van een verzonnen sterrenstelsel wordt de top van de rode-reuzentak gevonden op $I = 26.00\,\mathrm{mag}$; het stof langs de zichtlijn dimt de I-band met $0.05\,\mathrm{mag}$. Bereken, met $M_I = -4.05$, de afstandsmodulus en de afstand. Wat betekent een onzekerheid van $0.04\,\mathrm{mag}$ in de top voor de afstand?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.8.

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$, dus $d = 10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$. Een fout van $0.04\,\mathrm{mag}$ is $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ in de afstand.

Oefening 29.9 ★★

De Hubble-constante uit supernova’s. Voor een supernova van de gladde expansie, $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$, het snijpunt van het Hubble-diagram van de supernova’s, en de afstandsmodulus is $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$. (a) Toon aan dat $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ in kilometer per seconde per megaparsec). (b) Met $M_B = -19.253$ en $a_B = 0.714158$, bereken $H_0$. (c) Welke $M_B$ zou $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ geven? Met hoeveel magnitudes, en met welk deel van de afstanden, verschillen de twee ijkingen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.9.

(a) $d = cz/H_0$ levert $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$, dus $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$; met $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$, $5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$, wat het resultaat is. (b) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$, dus $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. (c) $M_B = 5(\log_{10}67.4 - 5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$: de supernova’s zijn $0.174\,\mathrm{mag}$ helderder, daarom zijn alle afstanden met een factor $10^{0.2\times0.174} = 1.084$ groter, de verhouding $73.04/67.4$. De Hubble-spanning is een verschil van acht procent in de schaal van afstanden.

Oefening 29.10 ★★★

Waar de wet van Tully–Fisher vandaan komt. (a) Een schijfstelsel met massa $M$ en straal $R$ draait met $V$: toon aan dat $M \approx RV^2/G$. (b) Als alle spiraalstelsels dezelfde gemiddelde oppervlaktedichtheid $\Sigma = M/(\pi R^2)$ hadden, toon dan aan dat $M \propto V^4$. (c) Twee verzonnen sterrenstelsels op dezelfde baryonische relatie draaien met 100 en $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: wat is de verhouding van hun massa’s? (d) Twee sterrenstelsels draaien met dezelfde snelheid en hebben dezelfde lichtkracht; het ene geeft vier keer de flux van het andere. Vergelijk hun afstanden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.10.

(a) Een ster aan de rand, in een cirkelvormige baan, heeft $V^2/R \approx GM/R^2$ (sferische benadering). (b) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$, dus $V^2 = GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ en $M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto V^4$; met een gemeenschappelijke massa-lichtverhouding, $L \propto V^4$ ook. (c) $(100/229)^4 = 0.036$: het snellere sterrenstelsel is 27 keer massiever. (d) Bij gelijke lichtkracht daalt de flux als $1/d^2$, dus de zwakkere is twee keer zo ver weg.

Oefening 29.11 ★★★

Het wikkelprobleem. Een schijf draait met een vlakke rotatiekromme bij $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Reken deze snelheid om naar kiloparsec per miljard jaar. (b) Een rechte arm van sterren loopt op tijdstip nul van 4 tot $12\,\mathrm{kpc}$. Bereken de omloopperiodes aan beide uiteinden. (c) Na $1\,\mathrm{Gyr}$, over welke hoek is het binnenste uiteinde voorop gegaan ten opzichte van het buitenste uiteinde? Hoeveel windingen van een spiraal is dat, en hoe zou de arm eruitzien? (d) Hoe ontloopt een dichtheidsgolf dit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.11.

(a) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$, dus $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ is $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$. (b) $2\pi R/V$: $107\,\mathrm{Myr}$ bij $4\,\mathrm{kpc}$, $322\,\mathrm{Myr}$ bij $12\,\mathrm{kpc}$. (c) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$, 6.2 omwentelingen: de arm zou een spiraal van zes strakke windingen tussen 4 en $12\,\mathrm{kpc}$, veel strakker dan waargenomen armen, en nog strakker bij elke verdere rotatie. (d) In een dichtheidsgolf draait het patroon met één hoeksnelheid, als een star lichaam; de sterren en het gas passeren het, dus de vorm van de armen wikkelt zich niet op.

Oefening 29.12 ★★★

Het zwarte gat in het centrum. Neem voor de centrale massa $4.2 \times 10^{6}$ zonsmassa’s en $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$. (a) De ster S2 draait er in $16$ jaar omheen: bereken de halve lange as van zijn baan in astronomische eenheden (de derde wet van Kepler in zonne-eenheden, $a^3 = MP^2$ met $a$ in au, $P$ in jaar en $M$ in zonsmassa’s) en zijn hoekgrootte gezien vanaf de Aarde. (b) Bereken de Schwarzschild-straal van het zwarte gat in meter en in astronomische eenheden, en de hoek die zijn diameter vanaf de Aarde onderspant, in microboogseconden. (c) Bereken de gemiddelde dichtheid van de massa binnen zijn Schwarzschild-straal, in zonsmassa’s per kubieke parsec, en vergelijk die met de ondergrens die de beweging van Sgr A* stelt, $4 \times 10^{23}$ zonsmassa’s per kubieke parsec.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.12.

(a) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$; bij $8178\,\mathrm{pc}$ spant het $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ (een au op één parsec spant één boogseconde). (b) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11} \times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$; de diameter $2R_S$ spant $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ boogseconde, ongeveer $20\,\text{µ}\mathrm{as}$. (c) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$, en $M/(\tfrac43\pi R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ zonsmassa’s per kubieke parsec, veertig keer de ondergrens die door de beweging en de grootte van Sgr A* wordt vastgelegd: de grens komt binnen een factor veertig van de dichtheid van het zwarte gat zelf.

29.6 Probleem: De Melkweg wegen

Probleem 29.1

Weekendprobleem — van de bewegingen van sterren en gas tot de donkere materie binnen $20\,\mathrm{kpc}$

Neem $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$, $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ per zonsmassa, en $4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor een eigenbeweging van $1\,\mathrm{mas}$ per jaar bij $1\,\mathrm{kpc}$. Alle snelheden zijn ten opzichte van de LSR. Gebruik de stellingen van Oort en die van het raakpunt uit het hoofdstuk, en de bolsymmetrische benadering $M = RV^2/G$ voor dynamische massa’s.

Deel I — De lokale rotatie. Een verzonnen onderzoek naar roodeklompsterren, allemaal op $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ in het galactische vlak, geeft een gemiddelde radiale snelheid van $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $\ell = 45{}^{\circ}$ en $-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $\ell = 135{}^{\circ}$, en gemiddelde eigenbewegingen in lengte van $-5.91\,\mathrm{mas}$ per jaar bij $\ell = 90{}^{\circ}$ en $+0.55\,\mathrm{mas}$ per jaar bij $\ell = 0{}^{\circ}$.

1. Wat voorspelt de formule van Oort voor de radiale snelheden bij $\ell = 45{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$, $135{}^{\circ}$ en $180{}^{\circ}$?
2. Bereken $A$ uit de twee radiale snelheden.
3. Bereken $B$ uit de eigenbeweging bij $\ell = 90{}^{\circ}$.
4. Bereken $B$ opnieuw uit de eigenbeweging bij $\ell = 0{}^{\circ}$, en vergelijk.
5. Bereken de hoeksnelheid van de LSR en de cirkelsnelheid $V_0$.
6. Bereken de helling van de rotatiekromme ter plaatse van de Zon. Is de kromme stijgend, vlak of dalend?
7. Bereken de omloopperiode van de Zon en het aantal omwentelingen in $4.54\,\mathrm{Gyr}$.

Deel II — De binnenste rotatiekromme. Neem $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. De hoogste radiale snelheden in de 21-cm-profielen bij $\ell = 40{}^{\circ}$, $50{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ en $70{}^{\circ}$ zijn 82.9, 55.6, 32.4 en $14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. Waarom heeft de raakpuntmethode $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ nodig (of het spiegelkwadrant), en waarom faalt zij voorbij de zonnecirkel?
9. Bereken de straal van het raakpunt voor elke lengtegraad.
10. Bereken $V(R)$ bij elk raakpunt.
11. Hoeveel, in kilohertz, is de lijn van het gas in het raakpunt bij $\ell = 40{}^{\circ}$ verschoven ten opzichte van zijn rustfrequentie, $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$, en in welke richting?
12. Vergelijk met de kromme van de rode reuzen, die $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ geeft bij $5.27\,\mathrm{kpc}$ en $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $7.22\,\mathrm{kpc}$. Is de binnenste kromme stijgend, vlak of dalend?
13. Stel dat de snelheid in het raakpunt bij $\ell = 40{}^{\circ}$ gelijk zou zijn aan die van een puntmassa in het centrum die de Zon met $V_0$ meevoert, hoe groot zou die zijn? Wat zegt de vergelijking over de verdeling van de massa?

Deel III — De zichtbare massa. Gebruik het massamodel uit het hoofdstuk, in eenheden van zonsmassa’s en kiloparsec: een bolling van Plummer $M = 1.067 \times 10^{10}$, $b = 0.3$; een dunne Miyamoto–Nagai-schijf $M = 3.944 \times 10^{10}$, $a = 5.3$, $b = 0.25$; een dikke van dezelfde massa met $a = 2.6$, $b = 0.8$.

14. Bereken de totale zichtbare massa van het model en vergelijk die met de gangbare waarde voor de sterrenmassa van de Melkweg, $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ zonsmassa’s.
15. Bereken de cirkelsnelheid van de bolling alleen bij $20\,\mathrm{kpc}$.
16. Bereken die van de dunne en van de dikke schijf bij $20\,\mathrm{kpc}$.
17. Bereken de cirkelsnelheid van alle zichtbare massa bij $20\,\mathrm{kpc}$.
18. Bereken hetzelfde bij $R_0$, en vergelijk met $V_0$.
19. Als alle zichtbare massa in het centrum geconcentreerd zou zijn, hoe groot zou de snelheid dan zijn bij $20\,\mathrm{kpc}$? Waarom ligt de waarde van het model er dicht bij?

Deel IV — De donkere materie. De rode reuzen geven een cirkelsnelheid van $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $20\,\mathrm{kpc}$.

20. Bereken de dynamische massa binnen $20\,\mathrm{kpc}$.
21. Bereken de dynamische massa van de zichtbare materie binnen $20\,\mathrm{kpc}$.
22. Bereken de massa van donkere materie binnen $20\,\mathrm{kpc}$, en toon aan dat haar aandeel $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$ is.
23. De NFW-halo, gepast op de hele kromme, heeft $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ zonsmassa’s per kubieke kiloparsec en $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$. Bereken de massa ervan binnen $20\,\mathrm{kpc}$ en het donkere aandeel dat het daaruit volgt. Waarom wijkt dit af van het vorige antwoord?
24. Bereken de dichtheid van die halo bij $R_0$, in zonsmassa’s per kubieke parsec en in $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (één zonsmassa per kubieke parsec is $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$).
25. Geef het aandeel donkere materie in de massa binnen $20\,\mathrm{kpc}$ dat uit de gemeten snelheid volgt, in procent, op twee significante cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 29.1.

Deel I.

1. $v_r = A\,d\sin2\ell$: $+A d$ bij $45{}^{\circ}$, 0 bij $90{}^{\circ}$, $-A d$ bij $135{}^{\circ}$, 0 bij $180{}^{\circ}$.

2. $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

3. Bij $90{}^{\circ}$, $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 = -28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus $B = 15.3 - 28.02 = -12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

4. Bij $0{}^{\circ}$, $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 = 2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$: de twee stemmen overeen binnen $0.03$.

5. $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ en $V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: langzaam dalend.

7. $P = 2\pi/\omega_0$: $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 219\,\mathrm{Myr}$; $4540/219 = 20.7$ omlopen.

Deel II.

8. Het raakpunt vereist een zichtlijn die dichter bij het centrum passeert dan waar de Zon staat, $\sin\ell > 0$ met $\ell < 90{}^{\circ}$ (of het spiegelkwadrant, $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$, waar de grootste snelheid het meest negatief is). Buiten de zonnecirkel neemt de afstand tot het centrum langs de hele zichtlijn toe: geen punt springt eruit, en de snelheid alleen zegt niet waar het gas zich bevindt.

9. $R = 8.18\sin\ell$: $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ en }7.69\,\mathrm{kpc}$.

10. $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$: $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 = 230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

11. $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 = 393\,\mathrm{kHz}$, naar lagere frequenties: het gas beweegt zich van ons af.

12. Binnen ongeveer $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ van de rode reuzen: tussen 5 en $8\,\mathrm{kpc}$ is de kromme vlak.

13. Een puntmassa geeft $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} = 286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij het eerste raakpunt, veel sneller dan de $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ gevonden: de massa is niet in het centrum geconcentreerd, een groot deel ervan ligt tussen 5 en $8\,\mathrm{kpc}$ en verder.

Deel III.

14. $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ zonsmassa’s, bijna twee keer de $5 \pm 1 \times 10^{10}$ uit de review; de sterren van het model zijn mogelijk te zwaar, waardoor de hieronder gevonden donkere materie een onderschatting zou zijn.

15. $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10} \times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

16. Dunne schijf: $(a + b)^2 = 30.80$, $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10} \times400/(430.8)^{3/2}$, $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Dikke schijf: $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} = 134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

18. Bij $8.18\,\mathrm{kpc}$: 74.8, 108.4 en $127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, samen $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, tegenover $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: de zichtbare massa schiet al bij de Zon tekort.

19. $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Het model komt met $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ dicht in de buurt, omdat op $20\,\mathrm{kpc}$, vier tot zes schijfschaallengten verderop, ligt vrijwel alle zichtbare massa binnen de baan: de zichtbare kromme is keplerisch geworden.

Deel IV.

20. $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ zonsmassa’s.

21. $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ zonsmassa’s.

22. $M_\mathrm{dark} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$; aangezien beide massa’s $RV^2/G$ bij dezelfde $R$ zijn, is de fractie $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

23. $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748 = 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 = 1.21 \times 10^{11}$ zonsmassa’s; de donkere fractie is $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$. De halo is gefit op de hele kromme, die bij $20\,\mathrm{kpc}$ doorschiet: de metingen zakken daar met ongeveer $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ onder het gladde model ($209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$).

24. $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2) = 7.95 \times 10^{6}$ zonsmassa’s per kubieke kiloparsec, $0.0080$ per kubieke parsec, of $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, de waarde die de auteurs van de fit opgeven.

25. $1 - 8.37/18.60 = 0.550$: de fractie donkere materie van de massa binnen $20\,\mathrm{kpc}$ is $55\,\%$.