7Vervormingsmechanismen en schuifzones

Aan het oppervlak breekt het graniet van een gebergte langs breuken. Twintig kilometer diep stroomt hetzelfde graniet als toffee in een schuifzone van enkele honderden meters breed, de veldspaten gerold tot ogen en het kwarts uitgetrokken tot linten. Een kristal kan vloeien zonder te breken, omdat het nooit perfect is: het beweegt door zijn defecten, één atoomrij tegelijk, of doordat atomen van het ene vlak van een korrel naar het andere diffunderen. Dit hoofdstuk volgt die mechanismen van het kristalrooster naar de wetten die de geodynamica gebruikt, naar de kaarten die aangeven welk mechanisme de overhand krijgt, en naar de schuifzones waarin het gesteente vastlegt hoe het bewoog.

Wat je al weet

Puntdefecten, de wet van Arrhenius en de activeringsenergie staan in de universitaire delen van de scheikundeboeken; de diffusiecoëfficiënt in de natuurkundeboeken. Spanning en rek, de rekellips, eenvoudige schuif en de ellips daarvan ($S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2$, lange as onder $\theta'$ ten opzichte van de schuifrichting met $\tan2\theta' = 2/\gamma$), machtswetkruip met de constanten voor nat kwartsiet en droge olivijn, de sterkte-enveloppe en de brosse–taaie overgang staan in Boek 3, in het hoofdstuk over spanning, rek en reologie; foliatie, lineatie en het beschrijvende myloniet in het hoofdstuk over breuken, plooien en maaksels. De effectieve viscositeit van de mantel staat in Hoofdstuk 6.

7.1 Kristaldefecten

Om een perfect kristal te laten schuiven, zouden alle bindingen over een roostervlak tegelijk moeten breken, en daarvoor is een spanning nodig van de orde van een tiende van de schuifmodulus, die in de mantel ongeveer $8 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ is (zie Hoofdstuk 6): duizenden megapascal. Echte kristallen bezwijken bij veel lagere spanningen, omdat ze één atoomrij tegelijk verschuiven.

Definitie 7.1 (Dislocatie)

Een dislocatie is een lijndefect in een kristal: de grens binnen het kristal tussen een deel van een roostervlak dat is verschoven en een deel dat dat niet is. Haar Burgersvector $\mathbf b$ is de verschuiving die zij draagt, één roosterafstand in een roosterrichting. In een randdislocatie staat $\mathbf b$ loodrecht op de lijn, die de rand vormt van een extra halfvlak van atomen; in een schroefdislocatie is hij evenwijdig aan de lijn. Een dislocatie beweegt door glijding op haar glijvlak, en een randdislocatie verlaat dat vlak door klimmen, doordat atomen of vacatures naar of van de rand van haar halfvlak diffunderen.

Het rooster verzet zich tegen de glijding van een dislocatie met een kleine spanning, de Peierls-spanning, die afhangt van de sterkte en de richting van de bindingen: daarom zijn sommige glijsystemen van een mineraal gemakkelijk en andere moeilijk. Naarmate een kristal vervormt, vermenigvuldigen dislocaties zich en raken ze verstrengeld; ze blokkeren elkaar, en het kristal verhardt, tenzij ze obstakels kunnen omklimmen of elkaar kunnen opheffen, wat diffusie vergt, dus warmte.

7.2 Kruipmechanismen

Definitie 7.2 (Kruipmechanismen)

Bij dislocatiekruip vervormen kristallen door de glijding van dislocaties, waarbij klimmen hen van obstakels losmaakt. Bij diffusiekruip veranderen ze van vorm door de diffusie van atomen, door het rooster (Nabarro–Herringkruip) of langs de korrelgrenzen (Coblekruip), van de vlakken onder de hoogste normaalspanning naar die onder de laagste. Bij korrelgrensglijding glijden korrels langs elkaar langs hun grenzen, waarbij de openingen gesloten worden door diffusie of dislocatiekruip. Bij drukoplossing lost het materiaal op in een vloeistoffilm op de vlakken onder hoge spanning en wordt afgezet waar de spanning laag is, of wordt weggevoerd.

Propositie 7.3 (Korrelgrootteafhankelijkheid van diffusiekruip)

Bij lage spanning $\sigma$ kruipt een gesteente met korrelgrootte $d$ door diffusie met de snelheid

$$\dot\varepsilon \approx B_L\frac{D_L\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^2} \quad\text{(door het rooster)},\qquad \dot\varepsilon \approx B_B\frac{\delta D_B\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^3} \quad\text{(langs de grenzen)},$$

waarin $D_L$ en $D_B$ de diffusiecoëfficiënten zijn in het rooster en in de grenzen, $\delta$ de breedte van een grens, $\Omega$ het volume van een atoom, $k_B$ de constante van Boltzmann en $B_L$, $B_B$ getallen van de orde tien die afhangen van de vorm van de korrels.

Diffusiekruip is lineair in de spanning, een echte viskeuze stroming, en ze verloopt snel in fijnkorrelig gesteente: halveren van de korrelgrootte maakt Coble-kruip acht keer zo snel (figuur hieronder). Dislocatiekruip hangt niet af van de korrelgrootte, maar neemt toe met een hoge macht van de spanning.

Vervormde kristallen herstellen zich ook terwijl ze vervormen.

Definitie 7.4 (Herstel, subkorrel, dynamische herkristallisatie)

Herstel is het herschikken van dislocaties, door klimmen en kruisglijden, tot rangschikkingen met lagere energie, en hun annihilatie. Dislocaties die in wanden zijn gerangschikt, verdelen een korrel in subkorrels, delen van de korrel waarvan de roosters een paar graden ten opzichte van elkaar zijn gekanteld. Dynamische herkristallisatie is het vervangen, tijdens de vervorming, van vervormde korrels door nieuwe korrels met minder dislocaties, hetzij door de rotatie van subkorrels totdat ze korrels worden, dan wel door de migratie van korrelgrenzen de sterker vervormde buren in.

Definitie 7.5 (Kristallografische voorkeursoriëntatie)

Een gesteente heeft een kristallografische voorkeursoriëntatie (CPO) wanneer de roosters van zijn korrels niet willekeurig georiënteerd zijn maar zich groeperen rond richtingen die door de vervorming zijn bepaald; dislocatiekruip brengt die tot stand door de glijsystemen van elke korrel naar de stroming te roteren.

Een gesteente met een CPO erft de anisotropie van zijn kristallen: zijn seismische snelheden hangen bijvoorbeeld af van de richting, waardoor de seismologie de structuur van de diepe mantel kan waarnemen. Diffusiekruip en korrelgrensglijding, die korrels vrij laten roteren, bouwen er geen op.

7.3 Stromingswetten

Definitie 7.6 (Stromingswet, spanningsexponent, homologe temperatuur)

Een stromingswet geeft de reksnelheid van een gesteente dat via één mechanisme vervormt als functie van de differentiële spanning $\sigma$, de korrelgrootte $d$, de temperatuur $T$ en de druk $P$:

$$\dot\varepsilon = A\,\sigma^nd^{-m}\exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

met $A$, $n$, $m$, de activeringsenergie $E$ en het activeringsvolume $V$ in het laboratorium gemeten. De spanningsexponent is $n$, de korrelgroottexponent $m$. De homologe temperatuur van een mineraal is $T/T_m$, zijn absolute temperatuur gedeeld door zijn absolute smelttemperatuur.

In de hier gebruikte wetten heeft dislocatiekruip $n$ van 3.5 of 4 en $m = 0$; diffusiekruip heeft $n = 1$ en $m = 2$ of 3 (Propositie 7.3). Kruip neemt toe naarmate de homologe temperatuur 1 nadert. Forsteriet smelt bij $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dus de mantel bij $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ staat op $T/T_m = 0.73$; ijs bij $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op 0.96, waarom gletsjers stromen. De olivijnwaarden die hier worden gebruikt, zijn die van een veelgebruikte laboratoriumcompilatie: droge olivijn in dislocatiekruip, $A = 1.1 \times 10^{5}$, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 14\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$; in diffusiekruip, $A = 10^{9.2}$, $n = 1$, $m = 3$, $E = 375\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 5\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (spanning in megapascal, korrelgrootte in micrometer, tijd in seconden); nat kwartsiet staat in Boek 3. Water verzwakt olivijn: bij een waterfugaciteit van ongeveer $300\,\mathrm{MPa}$, olivijnaggregaten kruipen vijf tot zes keer sneller dan droge in dislocatiekruip, vijf keer sneller in diffusiekruip.

Propositie 7.7 (Effectieve viscositeit)

Een gesteente dat een stromingswet $\dot\varepsilon = A'\sigma^n$ volgt bij gegeven $T$, $P$ en $d$ heeft de effectieve viscositeit

$$\eta_{\mathrm{eff}} = \frac{\sigma}{2\dot\varepsilon} = \tfrac12A'^{-1/n}\,\dot\varepsilon^{(1-n)/n}:$$

voor $n > 1$ daalt zij naarmate het gesteente sneller vervormt.

Nat kwartsiet dat bij $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ met $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ vloeit, vergt $65\,\mathrm{MPa}$ en heeft een effectieve viscositeit van $3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; bij $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is dat $18\,\mathrm{MPa}$ en $9 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: honderd graden extra deelt de sterkte door meer dan drie (zie figuur hieronder). Droge olivijn bij $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $1\,\mathrm{GPa}$ vergt slechts $3\,\mathrm{MPa}$. De sterkte-enveloppen van Boek 3 zijn opgebouwd uit precies deze wetten.

7.4 Vervormingsmechanismekaarten

Meerdere mechanismen werken naast elkaar, en het snelste draagt de vervorming.

Definitie 7.8 (Vervormingsmechanismekaart)

Een vervormingsmechanismekaart van een mineraal of gesteente toont, op assen van twee van de variabelen spanning, korrelgrootte en temperatuur, de velden waarin elk mechanisme het snelst is, met contouren van de totale vervormingssnelheid.

Propositie 7.9 (Grens tussen mechanismen)

Bij gegeven $T$ en $P$ lopen dislocatiekruip ($A_1$, $n_1$, $E_1$, $V_1$, geen korrelgrootteafhankelijkheid) en diffusiekruip ($A_2$, $n_2 = 1$, $m$, $E_2$, $V_2$) even snel bij de spanning

$$\sigma_b = \biggl(\frac{A_2d^{-m}}{A_1} \exp\frac{(E_1 - E_2) + P(V_1 - V_2)}{RT}\biggr)^{1/(n_1 - 1)} ,$$

De grens is dus een rechte lijn met helling $-m/(n_1 - 1)$ op logaritmische assen van korrelgrootte en spanning; boven die grens wint dislocatiekruip.

Voor droge olivijn bij $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $2\,\mathrm{GPa}$ ligt de grens bij $5\,\mathrm{MPa}$ voor een korrelgrootte van $1\,\mathrm{mm}$ en bij $79\,\mathrm{MPa}$ voor $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ (zie figuur hieronder). Fijnkorrelige mantel kruipt door diffusie, grofkorrelige mantel door dislocaties; laboratorium- en geofysisch bewijs suggereert dat beide regimes in de bovenmantel voorkomen, waarbij de hete, ondiepe mantel door dislocatiekruip stroomt en de koudere of diepere door diffusiekruip, en dat waar de spanning stijgt en de korrels krimpen, de mantel nabij de grens verzwakt en de vervorming lokaliseert.

De korrelgrootte die dynamische herkristallisatie voortbrengt, hangt af van de spanning, en dit maakt de korrels tot een spanningsmeter.

Definitie 7.10 (Paleopiëzometer)

Een paleopiëzometer is een kenmerk van een vervormd gesteente waarvan de grootte of dichtheid wordt bepaald door de differentiële spanning waaronder het is gevormd, in het laboratorium gekalibreerd, waaruit de spanning van een vroegere vervorming kan worden afgelezen.

Voor kwarts leverden experimenten bij $1.5\,\mathrm{GPa}$ en 800 tot $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, bij vloeispanningen van 34 tot $268\,\mathrm{MPa}$, herkristalliseerde korrels van 46 tot $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$, benaderd door

zonder meetbaar effect van de temperatuur. Een kwartsmyloniet met herkristalliseerde korrels van $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ doorsnede is vervormd onder ongeveer $62\,\mathrm{MPa}$.

7.5 Schuifzones

Definitie 7.11 (Schuifzone, rekverzachting)

Een schuifzone is een plaatvormige zone, tussen wanden die weinig vervormd zijn, waarin de rek is geconcentreerd en die nagenoeg een eenvoudige schuif evenwijdig aan de zone is. Een gesteente ondergaat rekverzachting wanneer zijn sterkte afneemt naarmate het vervormt.

Rekverzachting zorgt ervoor dat een schuifzone smal blijft: zodra een band zwakker is dan zijn wanden, blijft de vervorming erin. Korrelgroottereductie door dynamische herkristallisatie, die het gesteente in diffusiekruip kan doen overgaan, de groei van een kristallografische voorkeursoriëntatie die gemakkelijke glijsystemen uitlijnt, het binnendringen van water en reacties die zwakke mineralen, zoals micas, vormen, verzachten allemaal het gesteente. De mylonieten uit Boek 3 zijn hiervan het product. In een schuifzone van eenvoudige schuif wordt een merker die de zone loodrecht kruist in de zone afgebogen: bevindt hij zich binnen de zone, dan maakt hij de hoek $\psi$ met zijn oorspronkelijke richting, en de schuifrek is $\gamma = \tan\psi$, en de verplaatsing over een zone met breedte $w$ is $\gamma w$.

Definitie 7.12 (Kinematische indicatoren)

Een kinematische indicator is een structuur waarvan de asymmetrie de schuifzin vastlegt, de richting waarin de ene wand van een schuifzone ten opzichte van de andere is bewogen, af te lezen in het vlak dat de rekkingslineatie bevat en loodrecht op de foliatie staat. Een S–C-maaksel is een paar foliaties: S, de foliatie van afgeplatte korrels, schuin op de zone en naar de rekrichting gedraaid, en C, schuifbanden evenwijdig aan de zone. Een porfiroklastsysteem is een sterke korrel met staarten van herkristalliseerd materiaal: bij een $\sigma$-type lopen de staarten van de ene kant van de middellijn van de kloast naar de andere zonder die te kruisen, bij een $\delta$-type, meegesleept door de rotatie van de kloast, kruisen ze die. Een micavis is een ruitvormige miccorrel die schuin op het schuifvlak staat, met dunne staarten, die trapsgewijs lopen zoals die van een $\sigma$-type kloast.

Samen gelezen geven een paar indicatoren die overeenstemmen de schuifzin met vertrouwen; een enkele kan misleiden, want er bestaan teruggedraaide kloasten en asymmetrische plooien van andere oorsprong. De foto in het kader hieronder toont porfiroklasten in een myloniet.

In het laboratorium — Gesteente samendrukken bij manteltoestanden

In een gasmedium-vervormingsapparaat wordt een cilinder van gesteente of van heetgeperst olivijnpoeder, een of twee centimeter lang, ingesloten in een dunne metalen mantel en met zijn zuigers in een oven geplaatst, in een stalen vat gevuld met een samengeperst inert gas dat de insluitdruk instelt, enkele honderden megapascal. Een actuator drijft de zuiger aan met een constante snelheid, of onder een constante belasting, terwijl een interne krachtcel de spanning meet op het monster zelf, vrij van de wrijving van de afdichtingen. Olivijn wordt op deze manier vervormd bij temperaturen nabij $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; aan het eind van een run wordt het monster snel afgekoeld, gesneden, gepolijst en onder de microscoop en de elektronenmicroscoop bekeken, waar de korrelgrootte, subkorrels en dislocaties worden gemeten.

7.6 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Forsteriet smelt bij $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en ijs bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bereken de homologe temperatuur van forsteriet bij $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en van ijs bij $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Welke kruipt makkelijker?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

Forsteriet: $1573/2163 = 0.73$; ijs: $263/273 = 0.96$. Ijs ligt veel dichter bij zijn smeltpunt en kruipt makkelijker: gletsjers stromen aan het oppervlak van de Aarde.

Oefening 7.2 ★

Een gang die een schuifzone loodrecht kruist, wordt binnen de zone over $70{}^{\circ}$ afgebogen, en een andere over $80{}^{\circ}$. Bereken de schuifrekken. Waarom zijn grote rekken op deze manier moeilijk te meten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

$\gamma = \tan70{}^{\circ} = 2.75$ en $\tan80{}^{\circ} = 5.67$. Dicht bij $90{}^{\circ}$ verandert de tangens heel snel met de hoek: een fout van één graad bij $\psi = 84{}^{\circ}$ verandert $\gamma$ met een vijfde.

Oefening 7.3 ★

Welke spanning past bij een gerekristalliseerde korrelgrootte van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, volgens de kwartspiëzometer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

$\sigma = (10^{3.56}/10)^{1/1.26} = 363.1^{0.794} = 108\,\mathrm{MPa}$.

Oefening 7.4 ★

Met de vloeiwet van nat kwartsiet ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), bereken de reksnelheid bij $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ onder $20\,\mathrm{MPa}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

$E/RT = 223000/(8.314\times773.15) = 34.69$, dus $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times20^4\times e^{-34.69} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.6 \times 10^{5}\times 8.6 \times 10^{-16} = 1.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Oefening 7.5 ★★

Bereken de effectieve viscositeit van nat kwartsiet dat stroomt bij $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($65.4\,\mathrm{MPa}$) en bij $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($18.0\,\mathrm{MPa}$). Vergelijk met de manteltviscositeiten in Hoofdstuk 6.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

$\eta = \sigma/(2\dot\varepsilon)$: $65.4 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ bij $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $18.0 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 9.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ bij $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: de middelste korst bij deze temperaturen is ongeveer even viskeus als de mantel onder de ijskappen.

Oefening 7.6 ★★

Twee experimenten bij dezelfde temperatuur geven $10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ onder $100\,\mathrm{MPa}$ en $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ onder $200\,\mathrm{MPa}$. Bereken de spanningsexponent en noem het waarschijnlijke mechanisme.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

$n = \log(1.6 \times 10^{-4}/10^{-5})/\log2 = \log16/\log2 = 4$: dislocatiekruip, waarvan de spanningsexponent ruim boven 1 ligt.

Oefening 7.7 ★★

Bij dezelfde spanning kruipt een monster tien keer zo snel bij $1100\,\mathrm{K}$ als bij $1000\,\mathrm{K}$. Bereken de activeringsenergie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

$\ln10 = (E/R)(1/1000 - 1/1100)$, dus $E = 8.314\times2.3026/9.091 \times 10^{-5} = 211\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

Oefening 7.8 ★★

Met welke factor verandert de reksnelheid van diffusiekruip wanneer de korrelgrootte tien keer kleiner wordt, voor Nabarro–Herring- en voor Coble-kruip? Waarom is Coble-kruip gevoeliger?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

Nabarro–Herring ($d^{-2}$): 100 keer sneller; Coble ($d^{-3}$): 1000 keer. Langs de korrelgrenzen gebruiken de diffunderende atomen een weg waarvan de dwarsdoorsnede, $\delta d$, krimpt met de korrelgrootte mee, bovenop de kortere afstand en het kleinere volume dat verplaatst moet worden.

Oefening 7.9 ★★

Voor droge olivijn bij $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $2\,\mathrm{GPa}$ geven de twee vloeiwetten $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\,\sigma^{3.5}$ en $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\,\sigma d^{-3}$ (eenheden van de tekst). Bereken de grensspanning voor $d = 1\,\mathrm{mm}$ en $d = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$, en de helling van de grens.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

$\sigma_b^{2.5} = 3.59 \times 10^{-6}\,d^{-3}/6.54 \times 10^{-17}$: voor $d = 1000$, $\sigma_b = 54.9^{0.4} = 5.0\,\mathrm{MPa}$; voor $d = 100$, $\sigma_b = 54\,900^{0.4} = 79\,\mathrm{MPa}$. De helling is $-3/2.5 = -1.2$: een tien keer fijnere korrel verhoogt de grenssterkte met $10^{1.2} = 16$.

Oefening 7.10 ★★★

Volg het bewijs van Propositie 7.3, verklaar waarom het roosterpad $d^{-2}$ geeft en het grenspad $d^{-3}$, en toon aan dat grensdiffusie wint onder de korrelgrootte $d^* \approx (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

Op beide paden is het drijvende concentratieverschil hetzelfde en de afstand is $d$; het volume dat per eenheid rek verplaatst moet worden is $d^3$. Het rooster biedt een dwarsdoorsnede $\propto d^2$, dus de snelheid gaat als $d^2/(d\,d^3) = d^{-2}$; de korrelgrenzen bieden $\propto\delta d$, dus $\delta d/(d\,d^3) = \delta d^{-3}$. De verhouding van de grens- en roostersnelheden is $(B_B\delta D_B)/(B_LD_Ld)$, groter dan 1 wanneer $d < (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Oefening 7.11 ★★★

Voor een vloeiwet met $n = 3.5$, met welke factor daalt de effectieve viscositeit wanneer de reksnelheid tien keer zo groot wordt? Waarom begunstigt dit de lokalisatie van rek in schuifzones?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.11.

$\eta \propto \dot\varepsilon^{(1-n)/n} = \dot\varepsilon^{-2.5/3.5}$: tien keer sneller deelt de viscositeit door $10^{0.714} = 5.2$. Een band die toevallig sneller vervormt, wordt zwakker en neemt zo meer van de vervorming voor zijn rekening: de rek verzamelt zich erin.

Oefening 7.12 ★★★

In de droge olivijn van oefening 9 rekristalliseert een manteschuifzone onder $10\,\mathrm{MPa}$ van $3\,\mathrm{mm}$ tot $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ grote korrels. Bereken de totale reksnelheid vóór en na, en de verzachtingsfactor. Welk mechanisme draagt de vervorming in beide gevallen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.12.

Vóór: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\times10^{3.5} = 2.07 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6} \times10/3000^3 = 1.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$: $2.08 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$, dislocatiekruip. Na: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\times10/30^3 = 1.33 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1}$, diffusiekruip, $6400$ keer sneller bij dezelfde spanning: herkristallisatie heeft de zone enorm verzacht.

7.7 Probleem: De Varden-schuifzone

Probleem 7.1

Weekendprobleem — de rek, spanning, reksnelheid en ouderdom van een verzonnen schuifzone

Onder de graniet van de Varden Hills, het verzonnen gebied van de reeks, onthullen een boorgat en een diepe wegsnede (beide verzonnen) een ductiele schuifzone van $400\,\mathrm{m}$ breed, gevormd op ongeveer $15\,\mathrm{km}$ diepte en bij $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een dolerietgang die de wanden loodrecht kruist, maakt binnen de zone een hoek van slechts $6{}^{\circ}$ met de grenzen van de zone. Het kwarts ervan is een myloniet van gerekristalliseerde korrels van $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ breed (van 15 tot $25\,\text{µ}\mathrm{m}$). Neem de kwartspiëzometer $D = 10^{3.56}\sigma^{-1.26}$, de vloeiwet van nat kwartsiet ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, en, bij eenvoudige schuif, $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon$.

Deel I — De rek.

1. Bereken de afbuiging $\psi$ van de gang en de schuifrek.
2. Bereken de verplaatsing van de ene wand ten opzichte van de andere.
3. Bereken de hoofdrekken van de rekellips en de asverhouding ervan.
4. Bereken de hoek van de lange as met de zone. Wat doet de foliatie van de zone naarmate $\gamma$ toeneemt?
5. Gezien van bovenaf buigt de gang, gevolgd vanaf de zuidelijke wand, naar het oosten zodra hij de oost–west-zone binnengaat, en keert dan terug naar zijn noordelijke koers bij de noordelijke wand. In welke richting bewoog de noordelijke wand, en is de zone dextraal of sinistraal?
6. In welk vlak moet een slijpplaatje worden gesneden om de kinematische indicatoren af te lezen, en hoe moet zijn S-foliatie hellen?

Deel II — De spanning.

7. Bereken de spanning die de korrels van $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ aangeven.
8. Bereken de spanningen voor 15 en $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.
9. Valt de spanning binnen het bereik van de kalibratie?
10. De piëzometer vertoonde geen effect van temperatuur. Waarom is dat hier van belang?
11. Welke korrelgrootte had een spanning van $100\,\mathrm{MPa}$ opgeleverd?

Deel III — De reksnelheid.

12. Bereken $E/RT$ bij $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en de Arrheniusfactor.
13. Bereken de reksnelheid van het kwarts onder de spanning van vraag 7 (neem $62\,\mathrm{MPa}$).
14. Bereken de schuifreksnelheid.
15. Bereken de effectieve viscositeit van de zone en vergelijk die met de bovenmantel van Hoofdstuk 6.
16. Met welke factoren zou de reksnelheid veranderen bij 400 en $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, bij dezelfde spanning?
17. Met welke factor als de spanning de $78\,\mathrm{MPa}$ van de fijnste korrels zou zijn?

Deel IV — De tijd.

18. Bereken de tijd die nodig is om de schuifrek van vraag 1 op te bouwen, in seconden.
19. Reken die om naar duizenden jaren.
20. Bereken de gemiddelde verschuivingssnelheid over de zone, in $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
21. Vergelijk die met plaatgrenssnelheden van tientallen millimeters per jaar.
22. Als de zone $20\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ had gedragen, welke schuifreksnelheid, spanning en gerekristalliseerde korrelgrootte zou hij dan hebben gehad?
23. Hoe werken de onzekerheden van de korrelgrootte en die van de exponent van de piëzometer door op de tijd?
24. Geef de tijd die de Varden-schuifzone nodig had om zijn rek op te bouwen, in duizenden jaren.

Oplossing

Oplossing van Probleem 7.1.

1. De gang draait van $90{}^{\circ}$ naar $6{}^{\circ}$ ten opzichte van de schuifzone: $\psi = 84{}^{\circ}$ en $\gamma = \tan84{}^{\circ} = 9.51$.

2. $\gamma w = 9.51\times400 = 3804\,\mathrm{m}$, ongeveer $3.8\,\mathrm{km}$.

3. $S_1 = \sqrt{1 + 9.51^2/4} + 9.51/2 = 4.859 + 4.755 = 9.614$, $S_2 = 1/S_1 = 0.104$ en $S_1/S_2 = 92.4$.

4. $\tan2\theta' = 2/9.51 = 0.210$, $\theta' = 5.9{}^{\circ}$: de foliatie, dicht bij de lange as, draait steeds dichter naar de schuifzone naarmate $\gamma$ groeit.

5. Noordwaarts gevolgd wordt de gang in de schuifzone naar het oosten meegevoerd en verlaat de schuifzone verder oostelijk: de noordelijke wand is ten opzichte van de zuidelijke naar het oosten opgeschoven. Vanaf de zuidelijke wand gezien is de verre kant naar rechts verschoven: de schuifzone is dextraal.

6. In het vlak dat de rekkingslineatie bevat, hier horizontaal voor een zone met horizontale verschuiving, en loodrecht op de verticale foliatie: een horizontale doorsnede. De S-foliatie helt tegen de klok in van de schuifzone af, richting ONO, zoals de lange as van de rekellips.

7. $\sigma = (10^{3.56}/20)^{1/1.26} = 181.5^{0.794} = 62\,\mathrm{MPa}$.

8. $242.1^{0.794} = 78\,\mathrm{MPa}$ voor $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ en $145.2^{0.794} = 52\,\mathrm{MPa}$ voor $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.

9. Ja: de experimenten besloegen van 34 tot $268\,\mathrm{MPa}$.

10. De zone vervormde bij $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ver onder de 800 tot $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ van de experimenten; een verband dat niet van de temperatuur afhangt, kan tot daar worden doorgetrokken, al blijft het een extrapolatie.

11. $D = 3631/100^{1.26} = 3631/331 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

12. $E/RT = 223000/(8.314\times723.15) = 37.09$ en $e^{-37.09} = 7.79 \times 10^{-17}$.

13. $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times62^4\times7.79 \times 10^{-17} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.478 \times 10^{7}\times7.79 \times 10^{-17} = 1.27 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

14. $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon = 2.53 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

15. $\eta = 62 \times 10^{6}/(2\times1.27 \times 10^{-13}) = 2.4 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dicht bij de $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ van de bovenmantel onder het Lake Ardo: de zone was even zwak als de mantel.

16. $e^{-E/RT}$ verandert met de factor 0.064 bij $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (zestien keer zo langzaam) en met 11.0 bij $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

17. $(78/62)^4 = 2.5$ keer zo snel.

18. $t = 9.51/2.53 \times 10^{-13} = 3.75 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

19. $3.75 \times 10^{13}/3.156 \times 10^{10} = 1190\,\mathrm{kyr}$.

20. $3804\,\mathrm{m}/1.19 \times 10^{6}\,\mathrm{yr} = 3.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

21. Tien of meer keer zo langzaam als de belangrijkste plaatgrenzen: de zone was een kleine tak, of een van meerdere die de beweging van een grens deelden.

22. $\dot\gamma = 0.02/(3.156 \times 10^{7}\times400) = 1.58 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$, 6.2 keer zo snel; de spanning stijgt met $6.2^{1/4} = 1.58$, tot $98\,\mathrm{MPa}$, en de korrels zouden $3631/98^{1.26} = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ zijn.

23. De tijd verloopt als $\sigma^{-4}$: het korrelgroottebereik alleen geeft $(62/78)^4 = 0.40$ tot $(62/52)^4 = 2.0$ keer de schatting, en de onzekerheid van de exponent $1.26 \pm 0.13$ en van de constanten van de vloeiwet verbreedt dat verder: het resultaat is een orde van grootte, geen datum.

24. De Varden-schuifzone kostte ongeveer $1190\,\mathrm{kyr}$ nodig om zijn rek op te bouwen.