28Exoplaneten

In de herfst van 1994 maten twee astronomen de snelheden van 142 sterren vonden ze dat een van hen, 51 Pegasi, zich naar ons toe en van ons af bewoog, met een periode van ongeveer vier dagen. De halve amplitude van de beweging was $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, viermaal wat hun spectrograaf kon meten. De begeleider die de ster rondtrok had minstens de helft van de massa van Jupiter, op een baan van $0.05\,\mathrm{au}$, achtmaal dichter bij zijn ster dan Mercurius bij de Zon staat. Geen theorie van planeetvorming had plaats voor zo’n lichaam. De ontdekking, in oktober 1995 aangekondigd, opende een nieuw veld van de sterrenkunde: drie decennia later zijn er meer dan zesduizend planeten rond andere sterren bevestigd, enkele ervan zijn rechtstreeks waargenomen, en de atmosfeer van sommige is geanalyseerd. Dit hoofdstuk laat zien hoe planeten die te zwak zijn om te zien, worden gevonden, wat er gevonden is, en hoe hun atmosferen worden afgelezen.

Wat je al weet

Het dopplereffect, de radiële snelheid, spectroscopische dubbelsterren, de wetten van Kepler, het tweelichamenprobleem en zijn zwaartepunt, de wet van Planck en de schaalhoogte van een isotherme atmosfeer staan in de natuurkundeboeken. Een exoplaneet en de bewoonbare zone van een ster staan in de schoolboeken. De flux en de lichtkracht van een bron staan in Boek 3, in het hoofdstuk over telescopen en fotometrie; de evenwichtstemperatuur, in het hoofdstuk over vergelijkende planetologie. Planeetvorming en de sneeuwlijn staan in Boek 4. Jeansontsnapping, hydrodynamische ontsnapping en de grenzen van de bewoonbare zone staan in dit boek, in het hoofdstuk over planetaire atmosferen.

28.1 De radialesnelheidsmethode

Een planeet draait niet om zijn ster: beide draaien om hun gemeenschappelijk zwaartepunt. De ster, veel zwaarder, beweegt op een eigen kleine baan, en zijn licht wordt heen en weer dopplerverschoven met de periode van de planeet.

Definitie 28.1 (Radialesnelheidsmethode; minimale massa)

De radialesnelheidsmethode detecteert een planeet door de periodieke variatie van de radiële snelheid van zijn ster, gemeten aan de dopplerverschuiving van de lijnen in het spectrum van de ster. Als de inclinatie $i$ van de baan ten opzichte van het vlak van de hemel onbekend is, meet men alleen het product $m_p\sin i$ van de massa van de planeet met de sinus van de inclinatie, de minimale massa van de planeet.

Stelling 28.2 (Halve amplitude van de radiële snelheid)

Een ster met massa $M_\star$ en een planeet met massa $m_p$ op een cirkelbaan met periode $P$, onder inclinatie $i$, geven de ster een radiële snelheid $v_r(t) = \gamma + K\cos\bigl(2\pi(t - t_0)/P\bigr)$, met $\gamma$ de snelheid van het zwaartepunt en de halve amplitude

$$K = \left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3} \frac{m_p\sin i}{(M_\star + m_p)^{2/3}} .$$

Bij een baan met excentriciteit $e$ is de kromme niet langer een sinusoïde, $v_r = \gamma + K\bigl[\cos(\nu + \omega) + e\cos\omega\bigr]$, met $\nu$ de ware anomalie en $\omega$ het argument van het periastron, en $K$ wordt gedeeld door $\sqrt{1 - e^2}$.

Omdat de planeet veel lichter is dan zijn ster, legt $K$ $m_p\sin i$ vast zodra de periode is gemeten en de massa van de ster bekend is uit zijn spectrum. Voor 51 Pegasi b geldt $K = 59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $P = 4.23\,\mathrm{d}$ rond een ster van één zonsmassa geven $m_p\sin i = 0.47$ Jupitermassa’s. Jupiter beweegt de Zon met $12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ over zijn baan van $4331$ dagen: een verre waarnemer zou de snelheid van de Zon zien schommelen met ongeveer $\pm 13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ in twaalf jaar. De Aarde beweegt de Zon met $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. De spectrograaf die 51 Pegasi b vond, haalde $13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; zijn opvolgers halen ongeveer $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (een wandeltempo van $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$), en de nieuwste is gebouwd voor ongeveer $10\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$, genoeg voor een planeet van aardmassa in de bewoonbare zone van een ster met lage massa, waar de baan van de planeet kort is en de ster zelf weinig massa heeft. De ster zelf legt een ondergrens: de pulsaties en vlekken van haar oppervlak, die door haar rotatie worden meegevoerd, verschuiven ook haar lijnen, en het signaal van een planeet moet daarvan worden onderscheiden.

28.2 Transits

Als de baan bijna van opzij wordt gezien, schuift de planeet eenmaal per omloop voor zijn ster en bedekt een klein deel van de schijf.

Definitie 28.3 (Transitmethode; transitdiepte; impactparameter)

De transitmethode detecteert een planeet aan de hand van de periodieke verzwakking van zijn ster wanneer de planeet over de stellaire schijf trekt. De transitdiepte $\delta$ is de fractionele afname van de flux van de ster tijdens de transit. De impactparameter $b = a\cos i/R_\star$ is de kleinste afstand tussen de middelpunten van de planeet en de ster, gezien aan de hemel, in eenheden van de stellaire straal $R_\star$, voor een baan met straal $a$ en inclinatie $i$.

Propositie 28.4 (Transitdiepte)

Een donkere planeet met straal $R_p$ die volledig voor een ster met uniforme helderheid staat, geeft de diepte $\delta = (R_p/R_\star)^2$.

Jupiter die de Zon passeert, zou haar met $1.06\,\%$ verzwakken, de Aarde met $84$ delen per miljoen: het eerste ligt binnen bereik van een kleine telescoop, het tweede vraagt om een ruimtetelescoop die jaren lang duizenden sterren meet. Een stellaire schijf is echter niet uniform.

Definitie 28.5 (Randverduistering)

Randverduistering is de afname van de oppervlaktehelderheid van een ster van het middelpunt van de schijf naar de rand, de limb. Nabij de rand dringt de zichtlijn schuin de atmosfeer van de ster binnen en bereikt een optische diepte van één in hogere, koelere lagen, die minder uitstralen. Vaak wordt dit geschreven als een kwadratische wet in $\mu = \cos\theta = \sqrt{1 - r^2}$, met $r$ de afstand tot het middelpunt van de schijf in stralen van de ster: $I(\mu)/I(1) = 1 - u_1(1 - \mu) - u_2(1 - \mu)^2$.

Een planeet nabij het middelpunt van een schijf met randverduistering verbergt helderder licht dan gemiddeld en verdiept de transit; nabij de rand verbergt hij minder. De bodem van de lichtkromme is afgerond en de randen ervan worden zachter. De duur van een transit draagt de geometrie in zich.

Stelling 28.6 (Transitduur)

Voor een cirkelbaan met periode $P$, straal $a$ en inclinatie $i$, met $p = R_p/R_\star$ en impactparameter $b$, is de tijd van het eerste contact tot het laatste:

$$T_{14} = \frac{P}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{R_\star}{a}\, \frac{\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}}{\sin i}\right),$$

en de tijd tussen het tweede en het derde contact, wanneer de planeet volledig binnen de schijf staat, $T_{23}$, wordt gegeven door dezelfde formule met $1 - p$ in plaats van $1 + p$.

Voor een wijde baan is de arcsinus gelijk aan zijn argument: $T_{14} \approx (P/\pi) (R_\star/a)\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}$. Een centrale transit duurt het langst; een tangerende transit, met $b$ nabij $1 + p$, is kort en V-vormig. Door $T_{14}$ en $T_{23}$ op een lichtkromme te meten, volgen $b$ en $a/R_\star$, en daarmee de inclinatie: de transit legt de $\sin i$ vast die de radiële snelheid onbekend laat.

Propositie 28.7 (Transitkans)

Een planeet in een cirkelvormige baan met straal $a$, willekeurig georiënteerd, transiteert zijn ster (met $b < 1$) met de kans $R_\star/a$.

Een verre waarnemer zou de Aarde voor de Zon zien transiteren met een kans van $0.47\,\%$, Jupiter met $0.09\,\%$. Een transitonderzoek ziet slechts een klein deel van de planeten rond de sterren die het waarneemt, en vooral de planeten die dicht bij hun ster staan.

Elke methode alleen laat iets weg. De radiële snelheid geeft $m_p\sin i$; de transit geeft $R_p/R_\star$ en $i$. Samen geven ze de ware massa en de straal, en daarmee de gemiddelde dichtheid $\bar\rho = 3m_p/4\pi R_p^3$, de eerste aanwijzing over waaruit een planeet bestaat. De eerste transits, begin 2000 gerapporteerd, betroffen een planeet die al bekend was uit de snelheid van haar ster, HD 209458 b. Haar twee transits toonden de randverduistering van de ster en gaven een straal van 1.27 Jupiterstralen bij een inclinatie van $87.1{}^{\circ}$. Met de massa en straal uit het archief bedraagt haar gemiddelde dichtheid $0.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, een derde van die van water: een gasreus die opgeblazen is door de warmte van haar ster.

Een transiterende planeet houdt de tijd goed bij. Trekt een tweede planeet eraan, dan komen haar transits vroeg of laat, in een patroon dat zich herhaalt met de gravitationele wisselwerking.

Definitie 28.8 (Variatie in transittijden)

Een variatie in transittijden is de afwijking van de tijdstippen van de transits van een planeet ten opzichte van een strikt periodieke reeks, veroorzaakt door de gravitationele aantrekking van een ander lichaam in het systeem; daarmee kunnen planeten worden onthuld en gewogen die zelf niet transiteren.

Een helling in een lichtkromme is niet altijd een planeet. Een verduisterend sterpaar dat slechts schampt, of een zwak verduisterend sterpaar achter het doelwit waarvan het licht wordt verdund door dat van het doelwit, kan een transit nabootsen. Een kandidaat wordt een planeet wanneer zijn massa wordt gemeten, met de radiële snelheid of met variaties in de transittijden, of wanneer elke andere verklaring is uitgesloten.

28.3 Beeldvorming en microlensing

Definitie 28.9 (Directe beeldvorming; coronagraaf)

Directe beeldvorming detecteert een planeet aan zijn eigen licht, teruggekaatst of uitgezonden, dat op de hemel gescheiden is van het licht van zijn ster. Een coronagraaf is een instrument dat het licht van de ster in het brandpunt van de telescoop blokkeert, met een masker of door de interferentie van het licht, zodat zwakke bronnen dicht bij de ster zichtbaar worden.

De moeilijkheid is tweeledig. Een baan van $1\,\mathrm{au}$, gezien vanaf $10\,\mathrm{pc}$, beslaat slechts $0.1{}^{\prime\prime}$, en de planeet is vele ordes van grootte zwakker dan haar ster. Jonge reuzenplaneten zijn de gemakkelijkste doelen: nog heet van hun vorming gloeien ze in het infrarood, waar het contrast met hun ster het kleinst is. In 2008 toonden beelden van twee grote telescopen drie planeten rond de ster HR 8799, op projectieafstanden van 24, 38 en $68\,\mathrm{au}$, die van jaar tot jaar tegen de klok in bewogen; hun lage lichtkracht en de ouderdom van het systeem geven ze een massa van 5 tot 13 Jupitermassa’s. De planeet op de foto hieronder ligt op $0.82{}^{\prime\prime}$ van zijn ster; de coronagrafen van de ruimtetelescoop bereiken een contrast van $1 \times 10^{-5}$ bij $1{}^{\prime\prime}$ en $4.4\,\text{µ}\mathrm{m}$.

Een vierde methode gebruikt de zwaartekracht als lens. Wanneer een ster bijna precies voor een verder weggelegen ster langs schuift, buigt zijn zwaartekracht het licht van de achtergrondster en maakt die gedurende enkele weken helderder; een planeet van de lensende ster voegt een korte piek toe.

Definitie 28.10 (Gravitationele microlensing; Einstein-straal)

Gravitationele microlensing is het tijdelijk helderder worden van een achtergrondster wanneer een voorgrondster, de lens, dicht langs de zichtlijn passeert; de beelden die ze vormt liggen te dicht bij elkaar om te kunnen worden onderscheiden. De Einstein-straal is de hoekstraal $\theta_\mathrm E$ van de ring waarin een puntlens met massa $M$ op afstand $D_L$ een bron op afstand $D_S$ precies erachter tot een ring zou vervormen:

$$\theta_\mathrm E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\,\frac{D_S - D_L}{D_L D_S}} .$$

Propositie 28.11 (Vergroting door een puntlens)

Een bron op hoekafstand $u\,\theta_\mathrm E$ van een puntlens wordt met de factor helderder:

$$A(u) = \frac{u^2 + 2}{u\sqrt{u^2 + 4}} .$$

Beide resultaten volgen uit de buiging van licht door een massa in de algemene relativiteitstheorie. Voor een lens met een halve zonsmassa, halverwege een bron die $8\,\mathrm{kpc}$ ver weg staat, geldt $\theta_\mathrm E = 0.71\,\mathrm{mas}$, en heeft de Einsteinring, op de afstand van de lens, een straal van $2.9\,\mathrm{au}$. Bij $u = 1$ is de bron 1.34 keer helderder, bij $u = 0.1$ tien keer. Een planeet nabij de Einsteinring van zijn ster voegt een korte afwijking toe aan de lichtcurve. Gravitationele microlensing vindt zo planeten op enkele astronomische eenheden van hun ster, koude planeten die de transitmethode en de radialesnelheidsmethode missen, maar elke gebeurtenis gebeurt eenmalig en wordt nooit herhaald. Bij een gebeurtenis uit 2003, gepubliceerd het jaar erna, duurde een afwijking van ongeveer zeven dagen en werd alleen verklaard door een begeleider van $0.0039$ keer de massa van de lens: een planeet van ongeveer 1.5 Jupitermassa op ongeveer $3\,\mathrm{au}$ van zijn ster.

Elke methode heeft zijn eigen vertekening, en de catalogus van bekende planeten weerspiegelt die. De radialesnelheidsmethode begunstigt massieve planeten dicht bij sterren; de transitmethode begunstigt grote planeten dicht bij hun sterren en vereist een baan die van opzij gezien wordt; gravitationele microlensing vindt planeten van enkele astronomische eenheden; directe beeldvorming vindt jonge reuzen op tientallen of honderden astronomische eenheden afstand. De figuur hieronder toont het resultaat: elke methode bestrijkt haar eigen gebied, en de planeten van het Zonnestelsel vallen grotendeels in de hiaten daartussen.

Cijfers van 2026

Op 23 oktober 2026 telde het NASA Exoplanet Archive 6451 bevestigde planeten. Naar ontdekkingsmethode: 4785 via de transitmethode en 1204 via de radialesnelheidsmethode, 292 via gravitationele microlensing, 98 via directe beeldvorming, 29 met variatie in transittijden en de rest via zeldzamere methoden, waaronder de eerste van alle, gevonden in 1992 rond een pulsar aan de hand van de timing van zijn pulsen. De eerste ontdekkingen via de radialesnelheidsmethode dateren uit 1995, via de transitmethode uit 2002, via gravitationele microlensing en directe beeldvorming uit 2004.

28.4 Wat is gevonden

De eerste verrassing waren de hete Jupiters, reuzenplaneten in banen van enkele dagen. 51 Pegasi b kan zich niet zo dicht bij zijn ster hebben gevormd; hij moet verder naar buiten zijn ontstaan, misschien op enkele astronomische eenheden, voorbij de sneeuwlijn van zijn schijf, en naar binnen zijn gemigreerd door de wisselwerking met de schijf, zoals de theorie had voorspeld.

Definitie 28.12 (Hete Jupiter; superaarde; sub-Neptunus)

Een hete Jupiter is een reuzenplaneet in een nauwe baan, meestal aangehouden als een minimale massa boven 0.1 Jupitermassa en een periode korter dan tien dagen. Een superaarde is een planeet groter dan de Aarde maar kleiner dan het straaldal, dus tot ongeveer 1.5 tot 2 aardstralen, en daarom waarschijnlijk rotsachtig. Een sub-Neptunus is een planeet boven het straaldal maar kleiner dan Neptunus, ongeveer 2 tot 4 aardstralen, waarvan de straal een omhulling van lichte gassen of vluchtige stoffen vereist.

Definitie 28.13 (Voorkomensfrequentie)

De voorkomensfrequentie van een klasse van planeten is het gemiddelde aantal van zulke planeten per ster, of de fractie van de sterren die er één heeft, binnen een gegeven bereik van grootte (of massa) en periode, nadat de tellingen van een onderzoek zijn gecorrigeerd voor de planeten die het niet kon detecteren: die met banen die niet voor een transit zijn uitgelijnd, en die te klein of te ver weg zijn om gezien te worden.

Hete Jupiters, opvallend vertegenwoordigd in de catalogus omdat ze het gemakkelijkst te vinden zijn, zijn zeldzaam: een radialesnelheidsonderzoek van nabije zonachtige sterren vond ze bij $(1.2 \pm 0.38)\,\%$ van de sterren. Kleine planeten zijn veelvoorkomend. Bij het doorzoeken van de lichtkrommen van $42\,000$ sterren die door de ruimtetelescoop Kepler werden bekeken, vond één studie 603 planeten, waarvan tien aardgroot (1 tot 2 aardstralen) en tussen één en vier keer het zonlicht van de Aarde ontvingen; gecorrigeerd voor de transitkans en voor de planeten die de zoektocht zou missen, heeft $(11 \pm 4)\,\%$ van de zonachtige sterren er zo’n planeet.

De groottes van kleine planeten zijn niet gelijkmatig verdeeld. Onder planeten in nauwe banen nauwkeurig gemeten, zijn die van 1.5 tot 2.0 aardstralen minstens twee keer zeldzamer dan die net iets kleiner of net iets groter zijn.

Definitie 28.14 (Straaldal)

Het straaldal is het tekort aan planeten met stralen tussen ongeveer 1.5 en 2.0 aardstralen onder planeten met perioden korter dan ongeveer honderd dagen; het scheidt de superaarden van de sub-Neptunussen.

Het dal wordt gelezen als het spoor van ontsnapping. Een rotsachtige kern die ontstond met een waterstof- en heliumomhulling van slechts enkele procenten van zijn massa heeft twee keer de straal van de kale kern. Dicht bij een jonge, actieve ster wordt zo’n omhulling verwarmd en verloren door hydrodynamische ontsnapping: door de hoogenergetische straling van de ster gedurende de eerste honderd miljoen jaar (fotoverdamping), of door de warmte van de afkoelende kern zelf (door de kern aangedreven massaverlies). De modellen groeperen planeten tot kale kernen van ongeveer 1.3 aardstralen en planeten van twee keer die grootte; er blijven er weinig tussen over. De twee mechanismen hangen verschillend af van de ster, en planeten rond sterren van verschillende types kunnen ze van elkaar onderscheiden.

Definitie 28.15 (Massa–straalrelatie)

De massa–straalrelatie van een samenstelling is de straal van een planeet met die samenstelling als functie van zijn massa, berekend uit de toestandsvergelijkingen van zijn materialen in hydrostatisch evenwicht; een gemeten planeet wordt vergeleken met de relaties van mogelijke samenstellingen.

Een rotsplaneet wordt door zijn eigen gewicht samengedrukt, en zijn straal groeit langzamer dan $M^{1/3}$. Een fit op modellen van tweelagige planeten gebaseerd op het seismische model van de Aarde geeft $R/R_\oplus = (1.07 - 0.21\,C) (M/M_\oplus)^{1/3.7}$, voor 1 tot 8 aardmassa’s en een kernmassafractie $C$ van 0 tot 0.4; gefit aan de Aarde, Venus en enkele kleine exoplaneten, levert dit $C = 0.26 \pm 0.07$. Een ijzerplaneet is kleiner bij dezelfde massa; een planeet voor de helft uit water, groter; een omhulling van waterstof van slechts twee procent van de massa maakt een planeet van vijf aardmassa’s $2.6$ aardstralen breed, de grootte van een sub-Neptunus. De degeneratie is reëel: een straal en een massa geven één dichtheid, en verschillende mengsels van ijzer, gesteente, water en gas kunnen die delen. De rotsplaneet Kepler-10 b, met 3.24 aardmassa’s en 1.47 aardstralen, heeft een gemiddelde dichtheid van $5.6\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; de gasreus WASP-39 b, met 89 aardmassa’s en 14.3 aardstralen, $0.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

28.5 Atmosferen

Een transiterende planeet kan worden gewogen en gemeten; hij kan ook worden geroken. Tijdens een transit staat een dunne ring van de atmosfeer van de planeet tegen de ster, en het sterlicht wordt erdoor gefilterd. Bij golflengten waar een gas van de atmosfeer absorbeert, is de ring hoger ondoorzichtig en lijkt de planeet groter.

Definitie 28.16 (Transmissiespectroscopie; secundaire verduistering)

Transmissiespectroscopie meet de transitdiepte als functie van de golflengte, om de gassen van de atmosfeer op te sporen die het sterlicht passeert aan de rand van de planeet. Een secundaire verduistering is de passage van een planeet achter zijn ster, een halve baan na de transit bij een cirkelvormige baan; de daling van de flux van het systeem meet dan het licht van de dagzijde van de planeet.

Propositie 28.17 (Transmissiesignaal)

Een atmosfeer met schaalhoogte $H \ll R_p$, die over $n$ extra schaalhoogten bij de golflengte van een absorptieband ondoorzichtiger is dan bij naburige golflengten, verdiept de transit daar met

$$\Delta\delta \approx n\,\frac{2HR_p}{R_\star^2} .$$

De schaalhoogte $H = kT/\bar m g$ is groot voor een hete planeet met lage zwaartekracht en lichte waterstoflucht, klein voor een koele, dichte planeet met zware lucht. Voor de Aarde gezien tegen de Zon, met $H = 8\,\mathrm{km}$, voegt elke schaalhoogte 0.2 delen per miljoen toe; voor een hete, opgeblazen gasreus enkele honderden.

Propositie 28.18 (Diepte van de secundaire verduistering)

Straalt de dagzijde van een planeet als een zwart lichaam bij de temperatuur $T_d$ en de ster als een zwart lichaam bij $T_\star$, dan heeft de secundaire verduistering bij de golflengte $\lambda$ de diepte

$$\delta_\mathrm{ecl} \approx \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2 \frac{B_\lambda(T_d)}{B_\lambda(T_\star)},$$

met $B_\lambda$ de wet van Planck, waarbij het gereflecteerde licht van de planeet wordt verwaarloosd.

De verduistering is het diepst in het infrarood, waar de koele planeet het helderst is ten opzichte van zijn ster: zij geeft de temperatuur van de dagzijde, en een hete dagzijde naast een koele nachtzijde wijst op een dunne of afwezige atmosfeer die geen warmte rondvoert.

Cijfers van 2023

In 2022 toonde het transmissiespectrum van de gasreus WASP-39 b, gemeten tussen 3.0 en $5.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ door de James Webb Space Telescope, een opvallende absorptieband van koolstofdioxide bij $4.3\,\text{µ}\mathrm{m}$, op 26 standaarddeviaties, waar eerdere fotometrie het gas slechts had laten vermoeden: de eerste duidelijke identificatie in de atmosfeer van een exoplaneet. In 2023 werden vijf secundaire verduisteringen van de aardgrote TRAPPIST-1 b, die vier keer zoveel zonlicht ontvangt als de Aarde van een koele, kleine ster, gemeten bij $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Ze passen bij warmte die alleen vanaf de dagzijde weer wordt uitgestraald, zonder detecteerbaar koolstofdioxide: de planeet heeft weinig of geen atmosfeer om warmte naar zijn nachtzijde te brengen.

De rotsplaneten van de bewoonbare zones van kleine sterren liggen binnen het bereik van deze methoden, op de grens. Of ze hun atmosfeer hebben behouden tegen de ontsnappingsprocessen van het vorige hoofdstuk, is nu een waarnemingsvraag.

28.6 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

(a) Bereken de radiële-snelheidssemi-amplitude van de Zon veroorzaakt door Jupiter (massa $1898 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, periode $4331$ dagen, excentriciteit 0.049) en door de Aarde (massa $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, periode $365.2$ dagen, excentriciteit 0.017). De massa van de Zon is $1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$. (b) Reken de nauwkeurigheden $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ om in meter per seconde en vergelijk ze.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

(a) $K = (2\pi G/P)^{1/3}m_p/\bigl((M_\odot + m_p)^{2/3}\sqrt{1 - e^2}\bigr)$. Jupiter: $P = 3.742 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $(2\pi G/P)^{1/3} = 1.039 \times 10^{-6}$ in SI-eenheden , $K = 1.039 \times 10^{-6}\times1.898 \times 10^{27}/(1.990 \times 10^{30})^{2/3}/0.9988 = 12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De Aarde: $P = 3.155 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $K = 0.089\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, ongeveer $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.97\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.097\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Het signaal van Jupiter is dertien keer de eerste precisie; dat van de Aarde ligt zelfs onder de tweede, en de eigen ruis van de ster komt er bovenop.

Oefening 28.2 ★

(a) Bereken de transitdiepten van Jupiter (straal $71\,492\,\mathrm{km}$) en van de Aarde (straal $6378\,\mathrm{km}$) over de Zon (straal $695\,700\,\mathrm{km}$). (b) Bereken de kans dat een willekeurig geplaatste waarnemer elk van beide een transit ziet, bij baanstralen van $778.5$ en $149.6\,\mathrm{M}\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

(a) $(71492/695700)^2 = 0.0106$, een helling van $1.06\,\%$; $(6378/695700)^2 = 8.4 \times 10^{-5}$, 84 delen per miljoen. (b) $R_\star/a$: de Aarde $695700/1.496 \times 10^{8} = 4.7 \times 10^{-3}$, ongeveer één kans op 215; Jupiter $695700/7.785 \times 10^{8} = 8.9 \times 10^{-4}$, één kans op 1100.

Oefening 28.3 ★

51 Pegasi b geeft zijn ster een radiële-snelheidssemi-amplitude van $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, bij een periode van $4.23\,\mathrm{d}$. Neem de massa van de ster gelijk aan die van de Zon en bereken de minimale massa van de planeet, in Jupitermassa’s en in aardmassa’s, en de straal van de baan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

$m_p\sin i \approx K M_\odot^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3}$ met $P = 3.655 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $(P/2\pi G)^{1/3} = 9.55 \times 10^{4}$ in SI-eenheden, dus $m_p \sin i = 59\times(1.9884 \times 10^{30})^{2/3}\times9.55 \times 10^{4} = 8.9 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, dat is 0.47 Jupitermassa’s of 149 aardmassa’s (de correctie voor $m_p$ in $M_\star + m_p$ ligt onder één deel op duizend). $a = \bigl(GM_\odot P^2/4\pi^2\bigr)^{1/3} = 7.66 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.051\,\mathrm{au}$.

Oefening 28.4 ★

Een ster van een halve zonsmassa op $4\,\mathrm{kpc}$ lenst een ster op $8\,\mathrm{kpc}$ ($1\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$). (a) Bereken de Einstein-straal in milliboogseconden en de straal van de Einstein-ring, in astronomische eenheden, op de afstand van de lens. (b) Bereken de vergroting bij $u = 1$, $0.5$ en $0.1$. (c) Hoe lang doet de lens erover om één Einstein-straal te doorlopen als hij over de zichtlijn beweegt met $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

(a) $4GM/c^2 = 4\times6.674 \times 10^{-11}\times9.94 \times 10^{29}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 2953\,\mathrm{m}$; $(D_S - D_L)/(D_LD_S) = 1/D_S\times(D_S - D_L)/D_L = 1/(8\,\mathrm{kpc}) = 1/2.469 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$. $\theta_\mathrm E = \sqrt{2953/2.469 \times 10^{20}} = 3.46 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 0.71\,\mathrm{mas}$. Bij de lens, $R_\mathrm E = \theta_\mathrm E D_L = 3.46 \times 10^{-9}\times 1.234 \times 10^{20}\,\mathrm{m} = 4.27 \times 10^{11}\,\mathrm{m} = 2.85\,\mathrm{au}$. (b) $A(1) = 3/\sqrt5 = 1.34$; $A(0.5) = 2.25/(0.5\times2.062) = 2.18$; $A(0.1) = 2.01/(0.1\times2.002) = 10.0$. (c) $t_\mathrm E = 4.27 \times 10^{11}/2 \times 10^{5} = 2.13 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, ongeveer 25 dagen: microlensing-gebeurtenissen duren weken.

Oefening 28.5 ★★

Een planeet met straalverhouding $p = 0.12$ draait om een ster van één zonsmassa en één zonsstraal in $3.0\,\mathrm{d}$. (a) Bereken $a/R_\star$. (b) Bereken $T_{14}$ en $T_{23}$ voor $b = 0$ en voor $b = 0.7$, en de inclinatie in het tweede geval. (c) Hoe verraadt de vorm van de lichtcurve een centrale transit van een scherende?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

(a) $a = (GM_\odot P^2/4\pi^2)^{1/3} = 6.09 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ ($0.0407\,\mathrm{au}$), dus $a/R_\star = 8.75$. (b) Met $P/\pi = 22.9\,\mathrm{h}$, voor $b = 0$:

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{1.12}{8.75} = 2.94\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{0.88}{8.75} = 2.31\,\mathrm{h}.$$

Voor $b = 0.7$: $\cos i = 0.7/8.75$, $i = 85.4{}^{\circ}$, $(a/R_\star)\sin i = 8.726$, en

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{1.2544 - 0.49}}{8.726} = 2.30\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{0.7744 - 0.49}}{8.726} = 1.40\,\mathrm{h}.$$

(c) De intrede en uittrede nemen $(T_{14} - T_{23})/T_{14} = 21\,\%$ van de transit wanneer die centraal is, $39\,\%$ bij $b = 0.7$; een randtransit, $b \to 1$, heeft helemaal geen vlakke bodem en ziet eruit als een V.

Oefening 28.6 ★★

Bereken uit de massa’s en stralen van de Exoplanet Archive de gemiddelde dichtheden van TRAPPIST-1 b (1.374 aardmassa’s, 1.116 aardstralen), Kepler-10 b (3.24, 1.47), WASP-39 b (89.31, 14.34) en HD 209458 b (232.0, 15.58), met $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ en $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$. Welke zijn rotsachtig en welke gasvormig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

$\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3$, met $\tfrac43\pi R_\oplus^3 = 1.087 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$: TRAPPIST-1 b $1.374\times5.97 \times 10^{24}/(1.116^3\times 1.087 \times 10^{21}) = 5.43\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; Kepler-10 b $5.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; WASP-39 b $0.167\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; HD 209458 b $0.337\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. De eerste twee zijn even dicht als de Aarde ($5.49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ met dezelfde constanten) en rotsachtig; de laatste twee zijn gasreuzen, lichter dan water, WASP-39 b acht keer lichter dan Jupiter.

Oefening 28.7 ★★

De radiële snelheid van een ster met één planeet op een excentrische baan loopt van $+50.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ tot $-9.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, en de snelheid van het massamiddelpunt van het systeem is $12.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Gebruik de excentrische vorm van de stelling om $K$ en $e\cos\omega$ te berekenen. Waarom kan het gemiddelde van de twee uitersten afwijken van $\gamma$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

De extremen zijn $\gamma + K(1 + e\cos\omega)$ en $\gamma - K(1 - e\cos\omega)$. Hun verschil is $2K = 60.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus $K = 30.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; hun gemiddelde is $\gamma + Ke\cos\omega = 20.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus $Ke\cos\omega = 8.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $e\cos\omega = 0.27$. Bij een excentrische baan vertoeft de ster lang nabij het apastron en snelt door het periastron, dus de kromme is scheef en het middelpunt van de extremen is niet het tijdgemiddelde $\gamma$.

Oefening 28.8 ★★

WASP-39 b heeft 89.31 aardmassa’s en 14.34 aardstralen; zijn ster 0.939 zonsstralen. Neem een temperatuur van $1100\,\mathrm{K}$ en een gemiddelde moleculaire massa van $2.3\,\mathrm{u}$ voor de atmosfeer. (a) Bereken de zwaartekracht, de schaalhoogte en de transitdiepte. (b) Bereken het transmissiesignaal van één schaalhoogte en van een absorptieband die twee schaalhoogten hoog is, in delen per miljoen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

(a) $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.332 \times 10^{26}/(9.144 \times 10^{7})^2 = 4.26\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times1100/(2.3 \times1.661 \times 10^{-27}\times4.26) = 934\,\mathrm{km}$. Met $R_\star = 6.533 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, de diepte is $(9.144 \times 10^{7}/6.533 \times 10^{8})^2 = 0.0196$. (b) $2HR_p/R_\star^2 = 2\times9.34 \times 10^{5}\times 9.144 \times 10^{7}/(6.533 \times 10^{8})^2 = 4.0 \times 10^{-4}$, 400 delen per miljoen; twee schaalhoogten, 800: een gasreus met lage zwaartekracht is het gemakkelijkste doelwit voor transmissiespectroscopie.

Oefening 28.9 ★★

TRAPPIST-1 b heeft een straal van 1.116 aardstralen; zijn ster, 0.1192 zonsstralen en $2566\,\mathrm{K}$. Bereken de diepte van de secundaire verduistering bij $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ voor een dagzijde op $400\,\mathrm{K}$ en op $500\,\mathrm{K}$ ($hc/k = 0.014\,388\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$). Waarom is een meting van de diepte een thermometer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

$p = 1.116\times6378/(0.1192\times695700) = 0.0858$, $p^2 = 7.37 \times 10^{-3}$. $B_\lambda \propto 1/(e^{hc/\lambda kT} - 1)$ met $hc/\lambda k = 959\,\mathrm{K}$ bij $15\,\text{µ}\mathrm{m}$: de ster $1/(e^{0.374} - 1) = 2.20$; een dagzijde bij $400\,\mathrm{K}$, $1/(e^{2.40} - 1) = 0.0998$, verhouding $0.0453$, diepte $3.3 \times 10^{-4}$ (334 delen per miljoen); bij $500\,\mathrm{K}$, $1/(e^{1.92} - 1) = 0.172$, verhouding $0.078$, diepte $5.7 \times 10^{-4}$. Honderd kelvin verandert de diepte met $70\,\%$: de gemeten diepte legt de temperatuur van de dagzijde nauwkeurig vast, en een hete dagzijde betekent dat weinig warmte naar de nachtzijde wordt getransporteerd.

Oefening 28.10 ★★★

Een verzonnen rode dwerg heeft 0.2 zonsmassa’s, 0.2 zonsstralen en een lichtkracht van $0.005$ zonslichtkrachten. (a) Op welke afstand ontvangt een planeet de zonneflux van de Aarde, en hoe groot is zijn periode? (b) Bereken de semi-amplitude veroorzaakt door een planeet van één aardmassa daar, en vergelijk die met het effect van de Aarde op de Zon. (c) Bereken de transitdiepte van een planeet ter grootte van de Aarde. Waarom zijn zulke sterren geliefde doelen bij de zoektocht naar rotsplaneten in bewoonbare zones?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

(a) $S \propto L/d^2$, dus $d = \sqrt{0.005}\,\mathrm{au} = 0.0707\,\mathrm{au}$; $P = 2\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.33 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 15.4\,\mathrm{d}$. (b) $K = (2\pi G/P)^{1/3}M_\oplus/(0.2M_\odot)^{2/3} = 0.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 8.4 keer het effect van de Aarde op de Zon: de lichte ster beweegt meer, en de korte periode helpt ook mee. (c) $(6378/139140)^2 = 2.1 \times 10^{-3}$, 25 keer de transit van de Aarde voor de Zon. Beide signalen zijn groter, de transits komen elke twee weken, en de transitkans $R_\star/a = 0.013$ is drie keer die van de Aarde: kleine sterren geven rotsplaneten in hun bewoonbare zones een kans om gevonden en bestudeerd te worden.

Oefening 28.11 ★★★

Toon voor de kwadratische randverduisteringswet aan dat de gemiddelde intensiteit van de schijf $I(1)(1 - u_1/3 - u_2/6)$ is. Leid hieruit de diepte af, in eenheden van $p^2$, van een kleine planeet bij $r = 0$, $0.5$ en $0.9$ voor $u_1 = 0.40$, $u_2 = 0.25$. Welke fout zou een model met een uniforme schijf maken op de straal van een planeet die midden in de transit wordt waargenomen met $b = 0$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

Met $r\,dr = -\mu\,d\mu$ is de gemiddelde intensiteit $\frac1\pi\int_0^1 I\,2\pi r\,dr = 2\int_0^1 I(\mu)\mu\,d\mu = 2\bigl[\tfrac12 - u_1(\tfrac12 - \tfrac13) - u_2\int_0^1(1 - \mu)^2\mu\,d\mu\bigr]$. De laatste integraal is $\tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14 = \tfrac1{12}$, dus het gemiddelde is $1 - u_1/3 - u_2/6$, hier $0.825$. Een kleine planeet verbergt $\pi p^2 I(\mu)$ van $\pi\times 0.825$: diepte $p^2 I(\mu)/0.825$. Bij $r = 0$, $I = 1$: $1.212\,p^2$; bij $r = 0.5$ ($\mu = 0.866$), $I = 0.942$: $1.142\,p^2$; bij $r = 0.9$ ($\mu = 0.436$), $I = 0.695$: $0.842\,p^2$. Een uniforme-schijfmodel zou $1.212\,p^2$ lezen als $p^2$ en de straal overschatten met $\sqrt{1.212} = 1.10$, $10\,\%$.

Oefening 28.12 ★★★

Een survey heeft $42\,000$ zonachtige sterren bekeken en ze doorzocht op planeten ter grootte van de Aarde die één tot vier keer het zonlicht van de Aarde ontvangen, dat wil zeggen in banen van 0.5 tot $1\,\mathrm{au}$. (a) Bereken de transitkans bij 0.5, 0.7 en $1\,\mathrm{au}$. (b) Als $11\,\%$ van de sterren er één zo’n planeet heeft, bij ongeveer $0.7\,\mathrm{au}$, hoeveel transiteren er dan? (c) De survey vond er tien. Wat meet het verschil, en waarom moet de voorkomensfrequentie ervoor worden gecorrigeerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.12.

(a) $R_\odot/a$: $9.3 \times 10^{-3}$ bij $0.5\,\mathrm{au}$, $6.6 \times 10^{-3}$ bij $0.7\,\mathrm{au}$, $4.7 \times 10^{-3}$ bij $1\,\mathrm{au}$. (b) $42000\times0.11\times 6.6 \times 10^{-3} = 31$ planeten transiteren. (c) Slechts ongeveer een derde ervan werd gevonden: de overige gaven transits die te ondiep waren (84 delen per miljoen voor een Aarde) of te weinig (één of twee per jaar) om boven de ruis uit te komen. Die fractie is de detectie-efficiëntie; zonder daarvoor te corrigeren, en voor de transitkans, zouden de tellingen de frequentie van dergelijke planeten onderschatten met een factor van ongeveer 460.

28.7 Probleem: Een planeet rond Selene’s Lamp

Probleem 28.1

Weekendprobleem — een verzonnen planeet wegen, meten en besnuffelen

Selene’s Lamp is een verzonnen K dwerg met een massa van 0.80 zonsmassa’s, straal van 0.76 zonsstralen en effectieve temperatuur $5000\,\mathrm{K}$. Een radialesnelheidsonderzoek vindt dat zijn snelheid sinusoïdaal varieert met een periode van $12.0\,\mathrm{d}$ en een semi-amplitude van $2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Daarna ziet een ruimtetelescoop transits met dezelfde periode en een diepte van $838$ delen per miljoen en totale duur $T_{14} = 3.23\,\mathrm{h}$. Neem $M_\odot = 1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 695\,700\,\mathrm{km}$, $L_\odot = 3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$.

Deel I — De radiale snelheid.

1. Bereken de straal van de baan, in meter en in astronomische eenheden; verwaarloos de massa van de planeet ten opzichte van die van de ster.
2. Bereken de baansnelheid van de planeet.
3. Bereken de minimale massa van de planeet, in aardmassa’s.
4. Bereken de straal van de eigen baan van de ster om het massamiddelpunt en controleer of die de waargenomen semi-amplitude oplevert.
5. Hoeveel keer is het signaal groter dan een precisie van $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en van $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$?
6. Als de baan $e = 0.2$ had bij dezelfde $K$, hoeveel zou de minimale massa dan veranderen?

Deel II — De transit.

7. Bereken de stralenverhouding $p = R_p/R_\star$.
8. Bereken de straal van de planeet, in kilometer en in aardstralen.
9. Bereken $a/R_\star$.
10. Bereken de duur van een centrale transit ($b = 0$).
11. Bereken uit de waargenomen $T_{14}$ de impactparameter.
12. Bereken de inclinatie van de baan.
13. Wat was de kans dat deze planeet transiteert, vanuit een willekeurige richting gezien?

Deel III — Waaruit bestaat hij?

14. Bereken de werkelijke massa van de planeet.
15. Bereken de gemiddelde dichtheid.
16. Op de aardachtige rotsmodelcurve zou een planeet van deze massa een straal van 1.74 aardstralen hebben. Vergelijk dit en geef aan wat de planeet naast gesteente moet bevatten.
17. Waar ligt de planeet ten opzichte van het straaldal? Is het een superaarde of een sub-Neptunus?
18. Bereken de oppervlaktezwaartekracht.

Deel IV — De atmosfeer.

19. Bereken de lichtkracht van de ster, in watt en in zonsluminositeiten.
20. Bereken de stellaire flux die de planeet ontvangt, ten opzichte van die van de Aarde. Valt de planeet in de bewoonbare zone?
21. Bereken met een Bond-albedo van 0.3 de evenwichtstemperatuur.
22. Bereken de schaalhoogte van een atmosfeer van waterstof en helium (gemiddelde moleculaire massa $2.3\,\mathrm{u}$) bij die temperatuur.
23. Bereken het transmissiesignaal van één schaalhoogte, en van een waterband die twee schaalhoogten hoog is, in delen per miljoen.
24. Bereken hetzelfde voor een atmosfeer van stoom ($18\,\mathrm{u}$). Welke van de twee zou een ruimtetelescoop met een precisie van ongeveer tien delen per miljoen kunnen onderscheiden van een vlak spectrum?
25. Geef de gemiddelde dichtheid van de planeet, in gram per kubieke centimeter, op twee significante cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 28.1.

1. $M_\star = 0.80\times1.9884 \times 10^{30} = 1.591 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $P = 1.0368 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $a = (GM_\star P^2/4\pi^2)^{1/3} = 1.4245 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.0952\,\mathrm{au}$.

2. $v = 2\pi a/P = 86.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $m_p\sin i = KM_\star^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3} = 2.59\times1.363 \times 10^{20} \times1.352 \times 10^{5} = 4.77 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, $7.99$ aardmassa’s.

4. $a_\star = a\,m_p/M_\star = 1.4245 \times 10^{10}\times4.77 \times 10^{25}/ 1.591 \times 10^{30} = 427\,\mathrm{km}$; $2\pi a_\star/P = 2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, de waargenomen $K$.

5. $2.59$ keer een precisie van $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 26 keer een van $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: de planeet ligt binnen bereik van de beste instrumenten, nauwelijks van die van de vorige generatie.

6. $m_p\sin i \propto K\sqrt{1 - e^2}$: $\times0.980$, 7.83 aardmassa’s, $2\,\%$ minder.

7. $p = \sqrt{8.38 \times 10^{-4}} = 0.02895$.

8. $R_\star = 0.76\times695\,700\,\mathrm{km} = 528\,700\,\mathrm{km}$; $R_p = 15\,310\,\mathrm{km} = 2.40$ aardstralen.

9. $a/R_\star = 1.4245 \times 10^{10}/5.287 \times 10^{8} = 26.94$.

10. $T_{14} = (288\,\mathrm{h}/\pi)\arcsin(1.02895/26.94) = 3.50\,\mathrm{h}$.

11. $\sqrt{(1 + p)^2 - b^2} = (a/R_\star)\sin(\pi T_{14}/P) = 26.94\times \sin(\pi\times3.23/288) = 0.949$ (met $\sin i \approx 1$); $b^2 = 1.0587 - 0.9008 = 0.158$, $b = 0.40$.

12. $\cos i = b\,R_\star/a = 0.40/26.94 = 0.0148$, $i = 89.15{}^{\circ}$.

13. $R_\star/a = 1/26.94 = 0.037$: één kans op 27.

14. $\sin i = 0.99989$: de echte massa is 7.99 aardmassa’s, de minimale massa binnen $1 \times 10^{-4}$.

15. $\bar\rho = 4.77 \times 10^{25}/\bigl(\tfrac43\pi(1.531 \times 10^{7})^3\bigr) = 4.77 \times 10^{25}/1.502 \times 10^{22} = 3180\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $3.18\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

16. De planeet is $2.40/1.74 = 1.38$ keer groter dan een rotsplaneet van dezelfde massa, 2.6 keer het volume. Gesteente alleen kan dat niet verklaren: er is een omhulling van licht gas nodig, enkele procenten van de massa in waterstof en helium, of een groot aandeel water.

17. Bij 2.40 aardstralen ligt hij boven het dal, in de piek van 2–3 aardstralen: een sub-Neptunus.

18. $g = Gm_p/R_p^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times4.77 \times 10^{25}/(1.531 \times 10^{7})^2 = 13.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $L = 4\pi R_\star^2\sigma T^4 = 4\pi(5.287 \times 10^{8})^2\times5.670 \times 10^{-8} \times5000^4 = 1.245 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, 0.325 zonneluminositeiten.

20. $S/S_\oplus = 0.325/0.0952^2 = 35.9$: ver binnen de binnenrand van de bewoonbare zone.

21. $L/4\pi a^2 = 4.88 \times 10^{4}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; $T_\mathrm{eq} = \bigl(4.88 \times 10^{4}\times0.7/(4\sigma)\bigr)^{1/4} = 623\,\mathrm{K}$.

22. $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times623/(2.3\times1.661 \times 10^{-27} \times13.6) = 166\,\mathrm{km}$.

23. $2HR_p/R_\star^2 = 2\times1.66 \times 10^{5}\times1.531 \times 10^{7}/ (5.287 \times 10^{8})^2 = 1.82 \times 10^{-5}$, 18 delen per miljoen; een band van twee schaalhoogten hoog, 36 delen per miljoen.

24. $H$ is $18/2.3 = 7.8$ keer kleiner, $21\,\mathrm{km}$: 2.3 delen per miljoen per schaalhoogte, 4.6 voor de band. Bij tien delen per miljoen toont de waterstofrijke atmosfeer haar waterband op meer dan drie keer de ruis; een stoomatmosfeer ziet er vlak uit, net als een bewolkte of een planeet zonder lucht.

25. $3.2\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.