13Geavanceerde geochronologie

Een zirkoonkristal van een tiende millimeter lang laat sinds de kristallisatie van zijn graniet twee klokken lopen: uranium-238 dat vervalt tot lood-206 en uranium-235 dat vervalt tot lood-207. Als de twee klokken het eens zijn, ligt de ouderdom buiten twijfel. Als ze het oneens zijn, kan het verschil zelf worden gedateerd: het kristal verloor een deel van zijn lood bij een latere gebeurtenis, en de twee klokken, samen gelezen, geven de ouderdom van het graniet en die van de gebeurtenis. Dit hoofdstuk leest meerdere klokken tegelijk af, in uranium en lood, in argon, in neodymium, in splijtingssporen en helium, en in de zeldzame atomen die door kosmische straling zijn gemaakt, en geeft aan in hoeverre elke ouderdom te vertrouwen is.

Wat je al weet

Radioactief verval, de ouderdomsvergelijking, de isochroon en zijn beginverhouding, de kleinstekwadratenlijn, vertakkend verval, de kalium–argonouderdom, sluitingstemperatuur en afkoelingsouderdom staan in Boek 3, in het hoofdstuk over radiometrische datering; de formule voor stationaire erosie van kosmogene nucliden staat in het hoofdstuk over erosie en transport. Het chondritisch uniform reservoir, de epsilonnotatie en de verarmde mantel staan in Boek 4, in het hoofdstuk over isotopengeochemie; thermische ionisatie en massaspectrometrie met meerdere collectoren in het hoofdstuk over veld- en laboratoriummethoden. Thermochronologie en de ouderdom–hoogterelatie staan in Hoofdstuk 10.

13.1 Uranium, lood en de concordia

Uranium heeft twee langlevende isotopen. Uranium-238 vervalt via een keten van kortlevende dochters tot lood-206 met $\lambda_{238} = 1.551\,25 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$; uranium-235 vervalt tot lood-207 met $\lambda_{235} = 9.8485 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, zes keer zo snel. De huidige verhouding is $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, of $^{238}\mathrm{U}/^{235}\mathrm{U} = 137.8$, in elk aards gesteente dezelfde waarde. Zirkoon, $\mathrm{ZrSiO_4}$, neemt bij zijn groei veel uranium en nauwelijks lood op, en het weerstaat verwering en overleeft metamorfose: vrijwel al zijn lood is radiogeen.

Noteer $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{235}\mathrm{U}$ en $y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/{}^{238}\mathrm{U}$ voor de huidige verhoudingen van radiogeen lood tot zijn moederisotoop. Elk levert een ouderdom, $t_{206} = \ln(1 + y)/\lambda_{238}$ en $t_{207} = \ln(1 + x)/\lambda_{235}$.

Definitie 13.1 (Concordia, discordia, snijpunten, Tera–Wasserburg-diagram)

De concordia is de kromme in het $(x, y)$-vlak waarop de twee uranium–loodouderdommen gelijk zijn. Een discordia is een rechte lijn waarlangs discordante analyses van één populatie kristallen liggen; haar snijpunten met de concordia zijn het bovenste snijpunt (het oudste) en het onderste snijpunt (het jongste). Het Tera–Wasserburg-diagram zet $X = {}^{238}\mathrm{U}/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ uit tegen $Y = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ af.

Stelling 13.2 (De concordia)

Een kristal dat sinds zijn vorming voor uranium en lood gesloten is gebleven, een tijd $t$ geleden, ligt op

$$C(t) = \bigl(e^{\lambda_{235}t} - 1,\; e^{\lambda_{238}t} - 1\bigr).$$

Naarmate $t$ groeit, stijgt de kromme steeds trager tegen $x$: haar helling, $\mathrm dy/\mathrm dx = (\lambda_{238}/\lambda_{235})\,e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t}$, neemt af vanaf $\lambda_{238}/\lambda_{235} = 0.1575$ in de oorsprong, zodat de concordia naar de $x$-as toe hol is.

Lood is een groot ion dat slecht in het zirkoonrooster past. In de delen van een kristal dat door zijn eigen radioactiviteit is beschadigd, kan het er bij een latere gebeurtenis van verhitting of vloeistofcirculatie uit ontsnappen.

Stelling 13.3 (Episodisch loodverlies levert een koorde)

Een kristal dat een tijd $t_1$ geleden is gevormd en dat een tijd $t_2$ geleden een fractie $f$ van zijn radiogene lood verloor en verder gesloten bleef, ligt vandaag op

$$(1 - f)\,C(t_1) + f\,C(t_2),$$

op de koorde die de punten $t_1$ en $t_2$ van de concordia verbindt. Kristallen die verschillende fracties verloren, liggen langs die koorde, een discordia waarvan het bovenste snijpunt $t_1$ is en het onderste snijpunt $t_2$.

De snijpunten worden gevonden waar $a + b\,x(t) = y(t)$, een vergelijking in $t$ die wordt opgelost met de methode van Newton: met $g(t) = e^{\lambda_{238}t} - 1 - a - b(e^{\lambda_{235}t} - 1)$ en $g'(t) = \lambda_{238}e^{\lambda_{238}t} - b\lambda_{235}e^{\lambda_{235}t}$, itereer $t \leftarrow t - g/g'$ vanuit een schatting nabij elk snijpunt. Drie eigenschappen van het resultaat zijn in de praktijk van belang. Ten eerste is het bovenste snijpunt alleen nauwkeurig als de discordia de concordia onder een grote hoek snijdt. Een jonge discordia, zoals in de figuur hierboven, loopt bijna langs de concordia, en een kleine verandering in zijn helling verplaatst het snijpunt ver weg. Ten tweede, als het loodverlies recent is, $t_2 = 0$, gaat de discordia door de oorsprong en heeft elk kristal dezelfde $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^*$-verhouding,

wat $t_1$ oplevert zonder het uranium: de lood–loodouderdom. Ten derde wordt een lijn in het concordiadiagram, $x = (y - a)/b$, in de Tera–Wasserburg-coördinaten $Y = (1 - aX)/(137.8\,b)$, opnieuw een lijn. Het Tera–Wasserburg-diagram gebruikt direct gemeten verhoudingen, zonder dat uranium-235 uit uranium-238 berekend hoeft te worden, en een mengsel met gewoon lood, niet-radiogeen en rijk aan lood-207, plot op een lijn die de $Y$-as snijdt bij de verhouding van het gewone lood.

Uranium–loodouderdommen worden op twee manieren gemeten. Enkele kristallen of fragmenten, opgelost nadat de beschadigde zones door partiële oplossing zijn verwijderd en hun lood en uranium zijn gescheiden, worden gemeten met thermische-ionisatiemassaspectrometrie, met de nauwkeurigste ouderdommen van de geologie. Plekjes van enkele tientallen micrometers breed worden ter plaatse gemeten, met een ionensonde of met laserablatie, minder nauwkeurig maar zone voor zone door een kristal dat in meerdere gebeurtenissen groeide.

In het laboratorium — Het geochronologielaboratorium

Een zirkoondatering begint met een gebroken gesteente en eindigt in een schoon laboratorium. De geochronologen scheiden de zirkonen op dichtheid en magnetisme, kiezen de helderste kristallen onder de binoculaire microscoop uit en maken beelden van hun zonering. De kristallen worden deels opgelost om hun beschadigde zones te verwijderen, daarna volledig opgelost met een spike van bekende isotopen, en het uranium en lood worden gescheiden op minuscule kolommetjes met hars, in lucht die gefilterd is om het lood uit stof buiten te houden. Een massaspectrometer meet de isotopenverhoudingen. Argonmonsters volgen een ander traject: een reactor, daarna een gasleiding waar een laser elke stap verwarmt en het argon wordt gezuiverd voordat het de spectrometer bereikt.

13.2 Argon–argon-datering

De kalium–argonmethode uit Boek 3 meet het kalium en het argon in twee afzonderlijke aliquots van een mineraal. De argon–argonmethode meet alleen argon, in één aliquot, als isotopenverhoudingen. Het monster wordt met snelle neutronen bestraald in de kern van een kernreactor, waar de reactie $^{39}\mathrm{K}(n,p)^{39}\mathrm{Ar}$ een vaste fractie van zijn kalium-39 omzet in argon-39, een proxy voor kalium. Een mineraal van bekende ouderdom, de monitor, wordt ernaast bestraald.

Definitie 13.4 (Argon–argon-datering, J-factor, ouderdomsspectrum, plateau-ouderdom)

$^{40}\mathrm{Ar}/^{39}\mathrm{Ar}$-datering dateert een kaliumhoudend mineraal aan de hand van de verhouding $R = {}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K}$ van zijn radiogene argon-40 tot het argon-39 dat uit zijn kalium door neutronenbestraling is gemaakt. De J-factor van een bestraling is $J = (e^{\lambda t_m} - 1)/R_m$, gevonden uit een monitor van bekende ouderdom $t_m$ en gemeten verhouding $R_m$, met $\lambda$ de totale vervalconstante van kalium-40. Wanneer het monster in stappen van toenemende temperatuur wordt ontgast, zet het ouderdomsspectrum de ouderdom van elke stap uit tegen de cumulatieve fractie van vrijgekomen argon-39. Een plateau-ouderdom is de gewogen gemiddelde ouderdom van opeenvolgende stappen die binnen hun onzekerheden overeenkomen en een groot deel van het argon-39 vrijmaken.

Stelling 13.5 (De argon–argonouderdom)

Een monster dat met een monitor is bestraald, heeft de ouderdom

$$t = \frac1\lambda\ln(1 + JR).$$

De constanten zijn die van de kalium–argonmethode, $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Een gebruikelijke monitor is een sanidien uit een vulkanische tuf gedateerd op $28.201\,\mathrm{Ma}$; een monitorverhouding $R_m = 1.3129$ geeft $J = 0.01200$. Atmosferisch argon, met $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$, wordt afgetrokken met het argon-36 dat in elke stap is gemeten, en argon dat door neutronen uit calcium en uit kalium zelf is gemaakt, wordt gecorrigeerd met zouten die in hetzelfde pakket zijn bestraald.

Stapsgewijs verhitten is de kracht van de methode. Het monster wordt in een oven of met een laser in stappen van toenemende temperatuur verhit, en elke stap levert een ouderdom op. Als het mineraal sinds het afkoelen gesloten is gebleven, komen alle stappen overeen: het spectrum is vlak. Als het argon uit de randen van de korrels is verloren, zijn de eerste stappen, die uit de randen komen, zijn jonger, en de ouderdommen stijgen als een trap naar een plateau dat door de kernen wordt bepaald. De aanbevolen criteria voor een plateau zijn ten minste vijf opeenvolgende stappen die meer dan $50\,\%$ van het argon-39 bevatten, zonder trend tussen hen; de stappen bij lage temperatuur van een trap worden doorgaans gelezen als verlies van radiogeen argon. Overmaat aan argon, ingesloten uit een vloeistof toen het mineraal groeide, werkt andersom: het maakt sommige stappen te oud, meestal de eerste en de laatste, in een zadelvormig spectrum. De som van alle stappen, de totaalgasouderdom, is wat een kalium–argonouderdom zou hebben opgeleverd: een gemiddelde dat de geschiedenis verbergt.

13.3 Neodymium-modelouderdommen

Wanneer een smelt uit de mantel wordt onttrokken om continentale korst te vormen, blijft samarium, het meer compatibele element, sterker achter dan neodymium: de nieuwe korst heeft een lagere $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$ dan zijn bron, ongeveer 0.13 voor de meeste korstgesteenten, tegenover 0.1966 voor het chondritische reservoir. Zijn $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ groeit dan trager. Eenmaal gevormd heeft een korstgesteente de neiging zijn samarium–neodymiumverhouding te behouden, door erosie, sedimentatie en zelfs omsmelting, zodat zijn neodymium onthoudt wanneer het de mantel heeft verlaten.

Definitie 13.6 (Modelouderdom)

De modelouderdom van een gesteente in een isotopensysteem is het tijdstip waarop zijn verhouding, teruggeprojecteerd met zijn huidige moeder–dochterverhouding, gelijk is aan die van een modelreservoir. Voor neodymium gebruikt $T_{\mathrm{CHUR}}$ het chondritische uniforme reservoir en $T_{\mathrm{DM}}$ de verarmde mantel.

Stelling 13.7 (Modelouderdom)

Een monster met huidige verhoudingen $I_s = {}^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ en $R_s = {}^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$, vergeleken met een reservoir met huidige verhoudingen $I_m$ en $R_m$, heeft de modelouderdom

$$T = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{I_s - I_m}{R_s - R_m}\right), \qquad \lambda = \lambda_{147}.$$

Met $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,\mathrm{yr}^{-1}$ zijn de reservoirs het chondritische, vandaag 0.512638 en 0.1966, en het verarmde mantelreservoir, vandaag 0.51315, ongeveer $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +10$, wat een gesloten evolutie vanaf chondritische waarden sinds $4.55\,\mathrm{Ga}$ geeft met de verhouding $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.2137$. Een verzonnen graniet met $I_s = 0.511900$ en $R_s = 0.1100$ heeft vandaag $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -14.4$ $T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ en $T_{\mathrm{DM}} = 1.84\,\mathrm{Ga}$. De figuur hieronder laat beide zien. De modelouderdom ten opzichte van de verarmde mantel is de betere schatting, omdat de korst wordt onttrokken aan een mantel die al verarmd was; het is de gemiddelde ouderdom waarop het neodymium van het monster de mantel verliet, zijn korstverblijfsouderdom. Twee voorbehouden beperken hem: de korst mag sindsdien haar samarium–neodymiumverhouding niet hebben veranderd, en een gesteente dat door het mengen van oude korst met nieuwe mantelsmelten is ontstaan, heeft een betekenisloze tussenliggende modelouderdom.

13.4 Splijtingssporen en helium

Uranium-238 vervalt ook, zeer zelden, door spontane splijting: de kern splitst in twee fragmenten die uiteenvliegen en een spoor van schade in de kristal achterlaten, tot $9\,\mathrm{nm}$ breed en ongeveer $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ lang in apatiet. Na etsen met zuur worden de sporen zichtbaar onder de microscoop. Ze herstellen wanneer het kristal wordt verwarmd, bij ongeveer 20 tot $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, afhankelijk van het mineraal; in apatiet worden ze korter in de gedeeltelijke uitgloeizone, ongeveer 60 tot $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en verdwijnen ze daarboven.

Definitie 13.8 (Splijtingssporendatering, uitgloeien van sporen)

Splijtingssporendatering dateert een mineraal aan de hand van de dichtheid van de sporen die door spontane splijting van uranium-238 erin zijn achtergelaten, vergeleken met het uraniumgehalte. Uitgloeien van sporen is het korter worden en verdwijnen van de sporen door herstel van het kristal wanneer het wordt verwarmd.

Stelling 13.9 (De splijtingssporenouderdom)

Met $\lambda_f$ de vervalconstante van spontane splijting en $\lambda = \lambda_{238}$ de totale, heeft een kristal met $N_s$ spontane splijtingen per volume-eenheid en $N$ atomen uranium-238 de ouderdom

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_f}\,\frac{N_s}{N}\right).$$

In het laboratorium wordt het uranium gemeten door splijting van uranium-235 op te wekken met thermische neutronen, en wordt de ouderdom

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \lambda\,\zeta\,g\,\rho_d\,\frac{\rho_s}{\rho_i}\right),$$

met $\rho_s$ en $\rho_i$ de dichtheden van de spontane en de geïnduceerde sporen, $\rho_d$ de sporendichtheid van een dosimeterglas, $g = 0.5$ een geometriefactor en $\zeta$ een kalibratieconstante die op standaarden van bekende ouderdom is bepaald.

De vervalconstante voor splijting is slechts bekend tot binnen ongeveer $10\,\%$, tussen $7.9 \times 10^{-17}$ en $8.7 \times 10^{-17}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en daarom geven de meeste laboratoria de voorkeur aan de $\zeta$-kalibratie. De lengte van de sporen bewaart een spoor van het temperatuurverloop. Een gesteente dat snel door de gedeeltelijke uitgloeizone afkoelde, heeft lange sporen van vrijwel gelijke lengte; een gesteente dat er lang in verbleef, heeft kortere sporen met sterk uiteenlopende lengten, en dan is de splijtingssporenouderdom een gemengde ouderdom, geen tijdstip van een passage door één temperatuur.

Elk alfaverval zendt een heliumkern-4 uit. Uranium, thorium en hun ketens hopen helium op in een kristal, dat het alleen vasthoudt wanneer het koel is.

Definitie 13.10 ((U–Th)/He-datering, zone van gedeeltelijke retentie)

(U–Th)/He-datering dateert een mineraal aan de hand van het door alfavervalen van uranium, thorium en hun dochters opgehoopte helium-4, vergeleken met zijn uranium- en thoriumgehalte. De zone van gedeeltelijke retentie is het temperatuurbereik waarin het geproduceerde helium gedeeltelijk wordt behouden en gedeeltelijk door diffusie verloren gaat.

Stelling 13.11 (Heliumgroei)

Een kristal dat gedurende een tijd $t$ voor helium gesloten is, bevat

$$\mathrm{He} = 8\,{}^{238}\mathrm U\,(e^{\lambda_{238}t} - 1) + 7\,{}^{235}\mathrm U\,(e^{\lambda_{235}t} - 1) + 6\,{}^{232}\mathrm{Th}\,(e^{\lambda_{232}t} - 1),$$

in atomen, met de ouders vandaag gemeten; samarium-147 voegt een kleine term toe.

Voor een jong kristal geldt $e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t$, en de ouderdom volgt uit een enkele deling. Een alfadeeltje legt ongeveer $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ af voordat het tot stilstand komt, verliest een kristal dus het helium dat dicht bij het oppervlak is gevormd; de gemeten ouderdom wordt gedeeld door de behouden fractie $F_T$, die kleiner is voor kleine korrels ($F_T = 0.70$ betekent dat $30\,\%$ verloren gaat). Apatiet sluit voor helium bij ongeveer 50 tot $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, zirkoon bij 160 tot $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: met apatietsplijtingssporen, bij ongeveer 90 tot $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dateren de laagtemperatuurchronometers de laatste paar kilometers van de opstijging van een gesteente naar het oppervlak, zoals ze in Hoofdstuk 10 zijn gebruikt.

13.5 Kosmogene nuclides

Kosmische straling die de atmosfeer treft, vormt deeltjesbuien van secundaire deeltjes. De snelle neutronen die de grond bereiken, breken kernen in de mineralen van de bovenste meters gesteente, door spallatie: zuurstof in kwarts wordt beryllium-10, silicium wordt aluminium-26. Muonen maken sommige nuclides dieper en domineren onder ongeveer $3\,\mathrm{m}$.

Definitie 13.12 (Kosmogeen nuclide, blootstellingsouderdom, productiesnelheid)

Een kosmogeen nuclide is een nuclide dat in een mineraal aan of nabij het oppervlak wordt gevormd door de secundaire deeltjes van kosmische straling. Zijn productiesnelheid $P$ is het aantal atomen die per eenheid van massa mineraal en per jaar worden gevormd. De blootstellingsouderdom van een oppervlak is de tijd sinds het voor het eerst aan kosmische straling werd blootgesteld, bepaald uit de concentratie van een kosmogeen nuclide.

De productiesnelheid neemt af met de diepte als $P_0e^{-\rho z/\Lambda}$, waarbij de verzwakkingslengte wordt gesteld op $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, ongeveer $60\,\mathrm{cm}$ graniet met een dichtheid van $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Aan het oppervlak neemt de waarde toe met de hoogte, omdat minder lucht de rots afschermt, en met de geomagnetische breedte, omdat het veld minder deeltjes afbuigt nabij de polen. Productiesnelheden worden gegeven voor een referentie op zeeniveau en hoge breedte en worden geschaald naar elke locatie: één kalibratie levert $P_0 = 4.96\text{ atomen}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$ van beryllium-10 in kwarts bij die referentie. Beryllium-10 heeft een halveringstijd van $1.388\,\mathrm{Myr}$, $\lambda = 4.994 \times 10^{-7}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Stelling 13.13 (Blootstelling met verval en erosie)

Een oppervlak dat met een constante snelheid $\varepsilon$ wordt verlaagd en gedurende een tijd $t$ blootgesteld, zonder overgeërfd nuclide, heeft aan zijn oppervlak de concentratie

$$N(t) = \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr), \qquad \mu = \lambda + \frac{\rho\varepsilon}{\Lambda}.$$

Zonder erosie geldt $N = (P_0/\lambda)(1 - e^{-\lambda t})$; na lange tijd $N = P_0/\mu$, en zonder verval is dit de formule $P_0\Lambda/(\rho\varepsilon)$ die in Boek 3 staat.

Zonder erosie verzadigt de concentratie op $P_0/\lambda$ na een paar halveringstijden: een oppervlak bereikt $90\,\%$ daarvan na $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$, en daarna is er geen datering meer mogelijk. Met erosie, wordt de stationaire toestand sneller bereikt, na enkele keren $1/\mu$, en de concentratie levert $\varepsilon$; de snelheid wordt gemiddeld over de tijd $\Lambda/(\rho\varepsilon)$ die de korrel nodig had om door één verzwakkingslengte te stijgen, enkele tienduizenden jaren bij snelheden van enkele tientallen meters per miljoen jaar. Ontsluitingen van vaste gesteente eroderen met enkele meters tot enkele tientallen meters per miljoen jaar; stroomgebieden, gemeten aan het zand van hun rivieren, sneller.

Twee nucliden met verschillende halveringstijden dateren begraving. Beryllium-10 en aluminium-26 worden samen gevormd in kwarts in een vaste verhouding; wanneer een korrel diep in een grot of onder dik sediment begraven is, stopt de productie, en aluminium-26, dat sneller vervalt, blijft achter: de verhouding van de twee neemt met de tijd af en dateert de begraving.

13.6 De statistiek van een ouderdom

Een ouderdom komt met zijn onzekerheid, en een reeks ouderdommen met de vraag of ze met elkaar overeenkomen. Laat $n$ metingen $x_i$ van één grootheid met standaardafwijkingen $\sigma_i$ hebben. Hun gewogen gemiddelde is $\bar x = \sum w_ix_i/W$, met $w_i = 1/\sigma_i^2$ en $W = \sum w_i$, en de standaardafwijking daarvan is $1/\sqrt W$.

Definitie 13.14 (Gemiddeld kwadraat van de gewogen afwijkingen)

Het gemiddeld kwadraat van de gewogen afwijkingen (MSWD) van $n$ metingen rond een gefit model met $p$ aangepaste parameters is

$$\mathrm{MSWD} = \frac{1}{n - p}\sum_i \frac{(x_i - \hat x_i)^2}{\sigma_i^2},$$

waarbij $\hat x_i$ de modelwaarde is: $p = 1$ voor een gewogen gemiddelde, $p = 2$ voor een rechte lijn, zoals een isochroon of een discordia.

Propositie 13.15 (De MSWD heeft verwachtingswaarde één)

Als de $x_i$ onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, met gemiddelde $\mu$ en de standaardafwijkingen $\sigma_i$, dan heeft de MSWD rond hun gewogen gemiddelde verwachtingswaarde 1.

De MSWD spreidt zich des te meer rond 1 naarmate er minder vrijheidsgraden zijn, $f = n - p$: de bovengrens bij $95\,\%$ is ongeveer $1 + 2\sqrt{2/f}$, 2.63 voor $f = 3$ en 2.15 voor $f = 6$. Boven die grens spreiden de metingen zich meer dan hun onzekerheden toelaten: de monsters hebben niet allemaal dezelfde ouderdom, of het systeem is verstoord. Ver onder 1 zijn de onzekerheden overschat.

Methode 13.16 (Een isochroon fitten met fouten op beide assen)

Wanneer beide coördinaten fouten $\sigma_{x,i}$, $\sigma_{y,i}$ dragen, gecorreleerd met de coëfficiënt $r_i$, zoals bij uranium–lood- en isochroondata:

1. begin met de helling $b$ van de gewone kleinste-kwadratenlijn;
2. geef elk punt het gewicht $W_i = 1/(\sigma_{y,i}^2 + b^2\sigma_{x,i}^2 - 2br_i\sigma_{x,i}\sigma_{y,i})$, de inverse variantie van de afstand tot de lijn, gemeten langs $y$;
3. fit de gewogen lijn met deze gewichten, wat een nieuwe $b$ oplevert, en keer terug naar stap 2 totdat $b$ niet meer verandert;
4. bereken de MSWD met de gewichten $W_i$ en $n - 2$ vrijheidsgraden, en de onzekerheid van de helling en het snijpunt uit de laatste gewichten.

Met $\sigma_{x,i} = 0$ hangen de gewichten niet van $b$ af, en de methode gaat over in de gewogen kleinste kwadraten van $y$ op $x$ zoals die in de oefeningen wordt gebruikt.

De onzekerheid van een vervalconstante is voor elke ouderdom van één systeem dezelfde: ze speelt geen rol wanneer ouderdommen van één systeem worden vergeleken, maar moet worden opgeteld wanneer ouderdommen uit twee systemen worden vergeleken. De vervalconstante van samarium-147 is bijvoorbeeld bekend tot op ongeveer $0.4\,\%$; die van kalium-40, dat vertakkend en traag vervalt, beperkt de nauwkeurigheid van argonouderdommen.

13.7 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Een zirkoon heeft $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.04500$ en $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.3300$. Bereken zijn twee uranium–lood-ouderdommen. Is hij concordant? Aan welke kant van de concordia ligt hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

$t_{206} = \ln(1.04500)/\lambda_{238} = 283.8\,\mathrm{Ma}$; $t_{207} = \ln(1.3300)/\lambda_{235} = 289.6\,\mathrm{Ma}$. De ouderdommen verschillen $6\,\mathrm{Ma}$: de zirkoon is discordant. Zijn $t_{207}$ is de oudste, dus hij ligt onder de concordia, aan de kant van het loodverlies.

Oefening 13.2 ★

Een monitor van $28.201\,\mathrm{Ma}$ geeft $R_m = 1.3129$. Bereken $J$ met $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en daarna de ouderdom van een monster van dezelfde bestraling met $R = 10.000$ (gebruik $J = 0.01200$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

$J = (e^{5.543\times10^{-10}\times2.8201\times10^7} - 1)/1.3129 = 0.015754/1.3129 = 0.01200$. Dan volgt $t = \ln(1 + 0.01200\times10.000)/\lambda = \ln 1.12/(5.543\times10^{-10}) = 204.5\,\mathrm{Ma}$.

Oefening 13.3 ★

Een schalie heeft $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51180$ en $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1200$. Bereken zijn $T_{\mathrm{CHUR}}$ en $T_{\mathrm{DM}}$ met de waarden uit het hoofdstuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

$T_{\mathrm{CHUR}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.512638)/(0.1200 - 0.1966)\bigr)/\lambda = \ln(1.010940)/\lambda = 1.67\,\mathrm{Ga}$; $T_{\mathrm{DM}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.51315)/(0.1200 - 0.2137)\bigr)/\lambda = \ln(1.014408)/\lambda = 2.19\,\mathrm{Ga}$.

Oefening 13.4 ★

Een zwerfkei van kwarts op een morene op de referentielocatie bevat $2.0 \times 10^{5}$ atomen beryllium-10 per gram. Neem aan dat er geen erosie en geen overerving is, bereken de blootstellingsouderdom eerst zonder en daarna met verval, met $P_0 = 4.96\text{ atomen}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

Zonder verval geldt $t = N/P_0 = 2.0 \times 10^{5}/4.96 = 40.3\,\mathrm{kyr}$. Met verval $t = -\ln(1 - N\lambda/P_0)/\lambda = -\ln(1 - 0.02014)/\lambda = 40.7\,\mathrm{kyr}$, $1\,\%$ ouder.

Oefening 13.5 ★★

Toon aan dat de concordia nabij de oorsprong een lijn is met helling $\lambda_{238}/\lambda_{235}$, en bereken die helling. Verklaar waarom de discordia van kristallen die pas zeer recent lood hebben verloren door de oorsprong gaat, en wat de lood–lood-ouderdom van zulke kristallen meet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

Voor kleine $t$ geldt $x \approx \lambda_{235}t$ en $y \approx \lambda_{238}t$, dus $y \approx (\lambda_{238}/\lambda_{235})x$, met helling $0.1575$. Als het lood zeer recent is verloren, is $t_2 \approx 0$ en het onderste snijpunt is $C(0)$, de oorsprong. Langs een lijn door de oorsprong is $y/x$ constant, en dus ook $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^* = x/(137.8\,y)$: elk kristal geeft de lood–lood-ouderdom van het bovenste snijpunt, de vormingsouderdom.

Oefening 13.6 ★★

Vier stapouderdommen van een plateau zijn $296.4 \pm 0.8$, $295.1 \pm 1.0$, $297.0 \pm 0.9$ en $(295.8 \pm 0.7)\,\mathrm{Ma}$ ($1\sigma$). Bereken hun gewogen gemiddelde, hun standaardafwijking en de MSWD. Komen ze overeen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

Gewichten $1.5625$, $1$, $1.2346$, $2.0408$, $W = 5.838$; $\bar x = 296.09\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1/\sqrt W = 0.41\,\mathrm{Ma}$. De gewogen gekwadrateerde afwijkingen tellen op tot $2.32$; met $f = 3$ geldt $\mathrm{MSWD} = 0.77$, onder $1 + 2\sqrt{2/3} = 2.63$: de ouderdommen komen overeen.

Oefening 13.7 ★★

Een apatiet heeft $\rho_s = 1.20 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$ en $\rho_i = 2.40 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, met $\rho_d = 1.10 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $g = 0.5$ en een laboratoriumkalibratie $\zeta = 350\,\mathrm{yr}\,\mathrm{cm}^{2}$. Bereken zijn splijtingssporenouderdom. Welke gebeurtenis dateert hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

$\lambda\zeta g\rho_d\rho_s/\rho_i = 1.55125\times10^{-10}\times350\times0.5 \times1.10 \times 10^{6}\times0.5 = 0.014931$; $t = \ln(1.014931)/\lambda = 95.5\,\mathrm{Ma}$. Als het gesteente snel afkoelde, dateert dit zijn passage door de gedeeltelijke uitgloeizone van apatiet, ongeveer 60 tot $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; als het langzaam afkoelde, is het een gemengde ouderdom, en de sporenlengtes moeten uitsluitsel geven.

Oefening 13.8 ★★

Een apatiet bevat $20\,\mathrm{ppm}$ uranium ($99.2742\,\%$ uranium-238, $0.7204\,\%$ uranium-235 naar atomen), $40\,\mathrm{ppm}$ thorium-232 (halveringstijd $1.40 \times 10^{10}\,\mathrm{yr}$) en $1.0\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$ helium. Bereken zijn (U–Th)/He-ouderdom met de lineaire benadering, en daarna de ouderdom gecorrigeerd voor alfa-uitstoot met $F_T = 0.75$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

Per gram: uranium $20\times10^{-6}/238.05\times N_A = 5.06 \times 10^{16}$ atomen, waarvan $5.02 \times 10^{16}$ uranium-238 en $3.64 \times 10^{14}$ uranium-235; thorium $1.038 \times 10^{17}$, $\lambda_{232} = \ln 2/1.40 \times 10^{10} = 4.95 \times 10^{-11}\,\mathrm{yr}^{-1}$; helium $10^{-9}N_A = 6.02 \times 10^{14}$. De productiesnelheid is $8\lambda_{238}{}^{238}\mathrm U + 7\lambda_{235}{}^{235}\mathrm U + 6\lambda_{232}\mathrm{Th} = (6.23 + 0.25 + 3.08)\times10^7 = 9.57 \times 10^{7}\text{ atomen}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en $t = 6.02 \times 10^{14}/9.57 \times 10^{7} = 6.29\,\mathrm{Myr}$. Gecorrigeerd: $6.29/0.75 = 8.39\,\mathrm{Ma}$.

Oefening 13.9 ★★

Bereken voor beryllium-10 op de referentielocatie de verzadigingsconcentratie zonder erosie en de tijd om $90\,\%$ daarvan te bereiken. Bereken de stationaire concentratie van een oppervlak dat erodeert met $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (graniet, $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

$P_0/\lambda = 4.96/4.994 \times 10^{-7} = 9.93 \times 10^{6}\text{ atomen}\,\mathrm{g}^{-1}$, bereikt tot $90\,\%$ na $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$. Bij $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ $= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\rho\varepsilon/\Lambda = 2.7\times10^{-3}/160 = 1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\mu = 1.74 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en $N = 4.96/1.74 \times 10^{-5} = 2.85 \times 10^{5}\text{ atomen}\,\mathrm{g}^{-1}$, 35 keer minder.

Oefening 13.10 ★★★

Twee metingen $x_1 \pm \sigma_1$ en $x_2 \pm \sigma_2$ van één ouderdom worden gecombineerd. Toon aan dat hun MSWD ten opzichte van het gewogen gemiddelde gelijk is aan $(x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, en bewijs rechtstreeks dat de verwachtingswaarde 1 is wanneer beide dezelfde ouderdom meten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

Met $W = w_1 + w_2$ geldt $x_1 - \bar x = w_2(x_1 - x_2)/W$ en $x_2 - \bar x = -w_1(x_1 - x_2)/W$, dus $\sum w_i(x_i - \bar x)^2 = (x_1 - x_2)^2(w_1w_2^2 + w_2w_1^2)/W^2 = (x_1 - x_2)^2w_1w_2/W = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; met $f = 1$ is dit de MSWD. Meten beide dezelfde ouderdom, $x_1 - x_2$ heeft gemiddelde 0 en variantie $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$, dus de verwachting van het kwadraat gedeeld door die variantie is 1.

Oefening 13.11 ★★★

Een zirkoon van $2700\,\mathrm{Ma}$ verloor lood bij $500\,\mathrm{Ma}$ en heeft vandaag $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.300$. Welk deel van zijn lood verloor hij? Bereken zijn $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U}$, zijn twee uranium–lood-ouderdommen en, door iteratie, zijn lood–lood-ouderdom. Welke van de drie ouderdommen heeft een betekenis?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

$C(2700) = (13.283, 0.52019)$, $C(500) = (0.63628, 0.08065)$. $f = (0.52019 - 0.300)/(0.52019 - 0.08065) = 0.501$, de helft van zijn lood. $x = 0.499\times13.283 + 0.501\times0.63628 = 6.948$. $t_{206} = 1691\,\mathrm{Ma}$, $t_{207} = 2105\,\mathrm{Ma}$; de verhouding $x/(137.8\,y) = 0.1681$ geeft door iteratie een lood–lood-ouderdom van $2537\,\mathrm{Ma}$. Geen van de drie heeft een betekenis: het zijn mengsels van de twee gebeurtenissen, en alleen de snijpunten dateren ze. De lood–lood-ouderdom is een minimum voor de kristallisatie.

Oefening 13.12 ★★★

Een oppervlak van vaste gesteente op de referentielocatie bevat $1.0 \times 10^{6}$ atomen van beryllium-10 per gram. Bereken de blootstellingsouderdom bij aanname van geen erosie, en vervolgens de erosiesnelheid bij aanname van een stationaire toestand. Toon aan dat elk paar $(t, \varepsilon)$ tussen deze twee grenzen bij de meting past, en zeg welke tweede meting ze zou kunnen scheiden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

Geen erosie: $t = -\ln(1 - 1.0 \times 10^{6}\times4.994 \times 10^{-7}/4.96)/\lambda = 212\,\mathrm{kyr}$. Stationaire toestand: $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 4.46 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\varepsilon = 2.64 \times 10^{-4}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. Voor elke $\varepsilon$ onder deze waarde geldt $N = P_0(1 - e^{-\mu t})/\mu$ legt één $t$ vast, van $212\,\mathrm{kyr}$ omhoog tot oneindig: één meting heeft twee onbekenden. Een tweede nuclide met een andere halveringstijd, zoals aluminium-26 in hetzelfde kwarts, of de concentratie op diepte in een boorkern, scheidt ze.

13.8 Probleem: Zirkonen van de Varden-graniet

Probleem 13.1

Weekendprobleem — de kristallisatie, afkoeling en blootlegging van een verzonnen graniet, gelezen aan vier klokken

Het graniet van de Varden Hills, de verzonnen regio van de reeks, werd tegen het Trias blootgelegd, vervolgens begraven onder de mesozoïsche bedekking en weer naar het oppervlak gebracht. Vijf van zijn zirkonen geven, met een-standaarddeviatiefouten op $y$ (neem $x$ als exact):

zirkoon	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
$x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm U$	0.3467	0.3260	0.3027	0.2793	0.2535
$y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm U$	0.04794	0.04505	0.04207	0.03892	0.03553
$\sigma_y$	0.00010	0.00009	0.00008	0.00008	0.00007

Gebruik de constanten van het hoofdstuk. Alle analyses zijn oefengegevens.

Deel I — De zirkonen.

1. Bereken de twee uranium–lood-ouderdommen van elke zirkoon. Zijn ze concordant?
2. Waarom nemen de ouderdommen af van Z1 tot Z5, met $t_{207} > t_{206}$ voor elk?
3. Bereken de Tera–Wasserburg-coördinaten van Z1 en Z5.
4. Bereken met de gewichten $w_i = 1/\sigma_{y,i}^2$ de gewogen gemiddelden $\bar x$ en $\bar y$ en $S_{xx} = \sum w_i(x_i - \bar x)^2$.
5. Bereken de helling $b = \sum w_i(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/S_{xx}$ en het snijpunt $a$ van de discordia.
6. Vergelijk $b$ met de helling van de concordia nabij $310\,\mathrm{Ma}$. Wat voorspelt dit?

Deel II — De snijpunten.

7. Zoek het bovenste snijpunt met de methode van Newton, startend bij $310\,\mathrm{Ma}$.
8. Zoek het onderste snijpunt, startend bij $100\,\mathrm{Ma}$.
9. Bereken de gewogen residuen en de MSWD. Is de fit aanvaardbaar?
10. De standaarddeviatie van de helling is $1/\sqrt{S_{xx}}$. Bereken haar.
11. Draai de lijn om $(\bar x, \bar y)$ naar de hellingen $b \pm 2s_b$ en herbereken het bovenste snijpunt voor elk. Wat is de onzekerheid van de ouderdom?
12. Welk deel van zijn lood verloor Z1, en Z5?

Deel III — De biotiet. Een biotiet van het graniet, bestraald met een monitor van $28.201\,\mathrm{Ma}$ die $R_m = 1.3129$ oplevert, wordt in tien stappen ontgast:

stap	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$^{39}\mathrm{Ar}$ ($\%$)	4	6	8	12	14	15	14	12	9	6
$R$	7.225	11.226	13.937	14.891	14.820	14.869	14.918	14.847	14.907	14.804
ouderdom ($\mathrm{Ma}$)		228.0	279.0		295.3	296.2	297.1	295.8	296.9
$\sigma$ ($\mathrm{Ma}$)	0.6	0.9	1.0	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1

13. Bereken $J$; rond af op 0.01200.
14. Bereken de ouderdommen van de stappen 1, 4 en 10.
15. Welke stappen vormen een plateau volgens de criteria van het hoofdstuk?
16. Bereken de plateau-ouderdom, de standaarddeviatie ervan en de MSWD.
17. Bereken de totale-gasverhouding en -ouderdom. Waarom is die jonger dan het plateau?
18. Ga ervan uit dat het graniet bij $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ kristalliseerde en de biotiet bij $375\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sluit, en bereken de gemiddelde afkoelingssnelheid.
19. Wat kan er bij het onderste snijpunt zijn gebeurd? Is het argonspectrum daarmee in overeenstemming?

Deel IV — De blootlegging. Vier apatieten, bemonsterd op een helling van de heuvels, geven (U–Th)/He-ouderdommen van 43.1, 46.0, 49.2 en $52.0\,\mathrm{Ma}$ bij 310, 370, 430 en $490\,\mathrm{m}$. De top van het graniet, op een flauwe heuvelkam op een locatie waar $P_0 = 5.6\text{ atomen}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, bevat $1.64 \times 10^{5}$ atomen beryllium-10 per gram kwarts.

20. Bereken de helling van de ouderdom–hoogterelatie, in meter per miljoen jaar. million years.
21. Bij een sluitingstemperatuur van $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, een oppervlaktetemperatuur van $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en een geoterm van $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ op welke diepte de laagste apatiet sloot. Welke gemiddelde blootleggingssnelheid volgt sindsdien?
22. Bereken de huidige erosiesnelheid uit het beryllium-10, bij aanname van een stationaire toestand.
23. Welke snelheid geeft de formule uit Boek 3, zonder verval?
24. Over welke tijd wordt de beryllium-10-snelheid gemiddeld? Vergelijk de drie snelheden.
25. Geef de kristallisatieouderdom van het Varden-graniet met zijn onzekerheid.

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. $t_{206}$ / $t_{207}$, in $\mathrm{Ma}$: Z1 301.9 / 302.2, Z2 284.1 / 286.5, Z3 265.7 / 268.5, Z4 246.1 / 250.1, Z5 225.1 / 229.4. Een fout van $0.2\,\%$ op $y$ is ongeveer $0.6\,\mathrm{Ma}$: Z1 is concordant binnen de fout, de andere zijn discordant, steeds sterker van Z2 tot Z5.

2. De zirkonen verloren een toenemend deel van hun lood bij één latere gebeurtenis: ze liggen steeds verder naar beneden op de koorde. De koorde ligt onder de concave concordia, waar $x$ groter is bij een gegeven $y$: $t_{207} > t_{206}$.

3. Z1: $X = 1/0.04794 = 20.859$, $Y = 0.3467/(137.8\times0.04794) = 0.05248$. Z5: $X = 28.145$, $Y = 0.05178$.

4. Gewichten $1.000$, $1.235$, $1.563$, $1.563$, $2.041$ (in $10^8$); $\bar x = 0.29402$, $\bar y = 0.040892$, $S_{xx} = 7.845 \times 10^{5}$.

5. $b = 0.13260$, $a = \bar y - b\bar x = 0.001905$.

6. Bij $310\,\mathrm{Ma}$, $\mathrm dy/\mathrm dx = 0.1575\, e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t} = 0.1218$. De discordia is slechts $9\,\%$ steiler dan de concordia: ze snijdt die onder een kleine hoek, en het bovenste snijpunt zal onnauwkeurig zijn.

7. Newton vanuit $310\,\mathrm{Ma}$: $t = 311.2\,\mathrm{Ma}$.

8. Vanuit $100\,\mathrm{Ma}$: $t = 99.7\,\mathrm{Ma}$.

9. $(y_i - a - bx_i)/\sigma_i = 0.64$, $-0.91$, $0.35$, $-0.24$, $0.17$; $\mathrm{MSWD} = 1.435/3 = 0.48$, onder de grens $2.63$ voor $f = 3$: de zirkonen passen op één rechte.

10. $s_b = 1/\sqrt{7.845 \times 10^{5}} = 0.00113$.

11. Met $b - 2s_b = 0.13034$ is het bovenste snijpunt $322.9\,\mathrm{Ma}$; met $b + 2s_b = 0.13485$ is het $302.6\,\mathrm{Ma}$. De ouderdom is $311 \pm 10\,\mathrm{Ma}$ bij twee standaardafwijkingen.

12. $f = (x(311.2) - x_i)/(x(311.2) - x(99.7))$: Z1 $4.7\,\%$, Z5 $41\,\%$.

13. $J = 0.015754/1.3129 = 0.0119999$, $0.01200$.

14. Stap 1: $150.0\,\mathrm{Ma}$; stap 4: $296.6\,\mathrm{Ma}$; stap 10: $295.0\,\mathrm{Ma}$.

15. Stappen 4 tot 10: zeven opeenvolgende stappen, $82\,\%$ van het argon-39, zonder trend. Stappen 1 tot 3 stijgen trapsgewijs.

16. Gelijke fouten: het gemiddelde is $2072.9/7 = 296.1\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1.1/\sqrt7 = 0.42\,\mathrm{Ma}$; de gekwadrateerde afwijkingen tellen op tot $3.83$, $\mathrm{MSWD} = 3.83/(1.21\times6) = 0.53$, onder $2.15$.

17. $\bar R = \sum f_iR_i = 14.270$, $t = 285.2\,\mathrm{Ma}$: het argon dat aan de randen verloren ging en in de eerste stappen vrijkwam, verlaagt het gemiddelde, zoals het een kalium–argonouderdom zou verlagen.

18. $(700 - 375)/(311.2 - 296.1) = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (met een brede bandbreedte, omdat de zirkoonouderdom bekend is tot op $\pm10\,\mathrm{Ma}$).

19. Rond $100\,\mathrm{Ma}$ was de graniet begraven onder zijn mesozoïsche bedekking, en een verhitting of een circulatie van vloeistoffen liet de zirkonen lood verliezen. De biotiet verloor argon aan zijn randen, wat de trap registreert; zijn laagste stap, $150\,\mathrm{Ma}$, is een mengsel van oud en teruggezet argon. Het plateau bleef intact: de biotiet werd niet voldoende verhit om al zijn argon te verliezen.

20. De helling van de hoogte tegen de ouderdom volgens de kleinste kwadraten is $20.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

21. $(65 - 10)/30 = 1.83\,\mathrm{km}$; sinds $43.1\,\mathrm{Ma}$, een gemiddelde van $1830/43.1 = 42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

22. $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 3.415 \times 10^{-5} - 0.050 \times 10^{-5} = 3.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\varepsilon = 3.365 \times 10^{-5}\times 160/2.7 = 1.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 19.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

23. $P_0\Lambda/(\rho N) = 20.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, $1.5\,\%$ meer: bij deze snelheid speelt verval nauwelijks een rol.

24. $\Lambda/(\rho\varepsilon) = 160/(2.7\times1.99 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{kyr}$. De graniet steeg ongeveer met $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ tussen 52 en $43\,\mathrm{Ma}$, sindsdien gemiddeld met $42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, en erodeert met $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ nu: de ontdaking was op een zeker moment in het Cenozoïcum sneller.

25. De Varden-graniet kristalliseerde $(311 \pm 10)\,\mathrm{Ma}$ geleden (bovenste snijpunt, bij twee standaardafwijkingen).