18Kwantitatieve geomorfologie

Een rivier die een opkomend gebergte kruist heeft een stap in zijn lengteprofiel: een waterval, met daaronder een ravijn en erboven een zachtere vallei. De stap blijft niet waar hij ontstond. Hij klimt stroomopwaarts, enkele millimeters of enkele meters per jaar, en zijn positie is een klok die begon te lopen toen het basisniveau van de rivier werd verlaagd. Die klok aflezen, en de snelheden die in de vormen van heuvels en rivieren zijn vastgelegd, vraagt om twee behoudswetten en twee transportwetten: één voor de grond die langs een helling kruipt, en één voor het vaste gesteente dat een rivier uitsnijdt.

Wat je al weet

Verwering, erosie, afzetting, reliëfvormen en het evenwicht tussen opheffing en erosie staan in de schoolboeken, net als isostatisch herstel en U-vormige gletsjerdalen. De denudatiesnelheid, de bodemschuifspanning en de Shields-parameter staan in Boek 3, in het hoofdstuk over erosie en transport; het digitaal hoogtemodel in het hoofdstuk over geologische kaarten; de Airy-isostasie in het hoofdstuk over isostasie en zwaartekrachtsanomalieën. Kosmogene nucliden en daaruit afgeleide erosiesnelheden staan in Hoofdstuk 13, thermochronologie en de ouderdom–hoogterelatie staat in Hoofdstuk 10. De diffusievergelijking staat in de natuurkundeboeken.

18.1 Hellingen

Op een heuvel met een bodemlaag beweegt de grond korrel voor korrel naar beneden: graafdieren gooien hem rond, wortels tillen hem op, vriezen en bevochtigen doen hem zwellen, en elke verstoring laat de zwaartekracht hem een beetje verschuiven. Over eeuwen gemiddeld is de bodemflux evenredig met de helling.

Definitie 18.1 (Hellingdiffusie)

Hellingdiffusie is het langzame transport van grond naar beneden waarvan de volumeflux per eenheid van breedte van de helling, $\vec q$, is evenredig met de gradiënt van de oppervlaktehoogte $z$: $\vec q = -\kappa\,\nabla z$. De coëfficiënt $\kappa$, in $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, is de hellingdiffusiviteit.

Stelling 18.2 (Diffusie van hellingen)

Stel dat het gesteente met snelheid $U$ wordt opgeheven ten opzichte van de geulen die een helling begrenzen, dat grond en gesteente dezelfde dichtheid hebben en dat grond zich door hellingdiffusie verplaatst met uniforme $\kappa$. Dan voldoet de oppervlaktehoogte aan

$$\frac{\partial z}{\partial t} = U + \kappa\,\nabla^2 z ,$$

de diffusievergelijking met een bronterm.

Een breuk of een kustlijn snijdt op één moment een steilrand uit; daarna verandert de steilrand alleen nog door diffusie. Uitgaande van een verticale stap met halve hoogte $a$ op een verre helling $b$ is de oplossing in één dimensie:

De vorm hangt alleen af van het product $\kappa t$: een gemeten profiel geeft $\kappa t$, en ofwel levert een onafhankelijke ouderdom $\kappa$, ofwel levert een bekende $\kappa$ levert de ouderdom, een morfologische ouderdom. Steilranden in semi-aride gebieden met korrelige bodems en schaarse begroeiing geven $\kappa$ tussen $10^{-3}$ en $10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; vochtige, dicht begroeide kustgebergten ongeveer $5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Wanneer een heuvel lang genoeg is opgeheven en geërodeerd, verandert zijn vorm niet meer: elk punt daalt met de snelheid waarmee de rots omhoog komt.

Propositie 18.3 (Kromming van de top bepaalt de erosiesnelheid)

Op een helling in stationaire toestand onder hellingdiffusie wordt de erosiesnelheid $E$, gelijk aan $U$, gegeven door

$$E = -\kappa\,\nabla^2 z .$$

In één dimensie is het profiel de parabool $z = z_0 - E x^2/(2\kappa)$, met reliëf $E L^2/(2\kappa)$ tussen de waterscheiding en de geulen op een afstand $L$ verwijderd.

Kromming, een geometrische grootheid die op een digitaal hoogtemodel wordt gemeten, leest zo als snelheid zodra $\kappa$ bekend is: hoe steiler en scherper afgerond de heuveltoppen, hoe sneller het landschap erodeert. De bodem zelf ontstaat uit de onderliggende rots met een snelheid die afhangt van hoeveel bodem er al op ligt.

Definitie 18.4 (Bodemproductiefunctie)

De bodemproductiefunctie geeft de snelheid $P$ waarmee vaste gesteente wordt omgezet in bodem als functie van de bodemdikte $h$; zij wordt meestal genomen als $P = P_0\,e^{-h/h_0}$, waarbij $P_0$ de snelheid op kaal gesteente is en $h_0$ een lengte van enkele decimeters.

In stationaire toestand daalt het grensvlak tussen bodem en rots met de snelheid van het oppervlak, $P(h) = E$, zodat de bodemdikte $h = h_0 \ln(P_0/E)$ is: snellere erosie betekent dunnere bodem, en waar $E$ groter is dan $P_0$ is de bodem weggeslagen en komt kaal gesteente, beperkt door verwering, aan de oppervlakte. De snelste gemeten bodemproductiesnelheden bedragen de orde van $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Lineaire diffusie faalt op steile hellingen. Naarmate de gradiënt een drempelwaarde nadert, rollen en glijden korrels in stoten en ontdoen ondiepe aardverschuivingen de bodem van haar bedekking.

Definitie 18.5 (Kritische hellinggradiënt)

De kritische hellinggradiënt $S_c$ is de gradiënt waarbij de bodemflux onbeperkt groeit; in een veelgebruikte niet-lineaire transportwet geldt $q = \kappa S/[1 - (S/S_c)^2]$.

Hellingen die veel flauwer zijn dan $S_c$ gedragen zich als bij lineaire diffusie; hellingen die snel eroderen worden steiler richting $S_c$ en worden vlak, hun gradiënt wordt bepaald door de drempelwaarde en niet door de erosiesnelheid.

In het veld — Een hellingprofiel inmeten

Een team dat een met bodem bedekte rug in kaart brengt, zet een terrestrische laserscanner op een statief op enkele tientallen meters van de kam. Elke scan registreert miljoenen punten, de afstand en richting tot het grondoppervlak, door openingen in het gras en de struiken heen; de punten van meerdere scanstations worden samengevoegd tot één puntenwolk, ingepast op doelen die met een satellietontvanger zijn ingemeten, en de laatste reflecties worden bewaard om de vegetatie te verwijderen. De kale-bodemwolk wordt omgezet in een hoogtemodel met cellen van een decimeter, gladgestreken over enkele meters, en de Laplaciaan ervan wordt op de kam berekend. Het team vergelijkt vervolgens de topkrommingen van ruggen die eroderen met snelheden gemeten met kosmogene nucliden: uitgezet tegen elkaar geven de twee de diffusiviteit van de helling als de helling van een lijn, zoals de propositie voorspelt.

18.2 Riviererosie

Waar een rivier over vaste gesteente stroomt, snijdt zij zich omlaag door blokken los te trekken, door schuring onder haar bedlast en door cavitatie. Al deze processen schalen met de schuifspanning die de stroming op haar bodem uitoefent, of met het vermogen dat zij daar verbruikt, en beide nemen toe met afvoer en helling. De afvoer neemt toe met het afwateringsgebied, dus staat het afwateringsgebied voor de afvoer.

Definitie 18.6 (Stroomvermogenswet)

De stroomvermogenswet geeft de snelheid van verticale insnijding $E$ van een rivier op vast gesteente als

$$E = K A^m S^n ,$$

waarbij $A$ het afwateringsgebied stroomopwaarts van het punt is, $S$ de helling van de geul, $m$ en $n$ positieve exponenten, en $K$ een erodeerbaarheidscoëfficiënt die gesteentesterkte, klimaat en geulbreedte samenvat.

Voor processen die schalen met de schuifspanning of met het eenheidsstroomvermogen ligt $m/n$ dicht bij 0.5. Een onderzoek naar badlandgeulen die in zwakke rots zijn uitgesneden gedurende ongeveer 20 jaar, vond insnijdingssnelheden evenredig met $A^{0.44}S^{0.68}$.

Definitie 18.7 (Losmakingsbeperkte en transportbeperkte insnijding)

Insnijding is losmakingsbeperkt wanneer de rivier meer sediment kan afvoeren dan zij ontvangt, zodat haar daalsnelheid wordt bepaald door hoe snel zij vaste gesteente van haar bodem losmaakt: de stroomvermogenswet geldt dan. Zij is transportbeperkt wanneer de rivier al het sediment vervoert dat zij kan dragen, zodat haar bodem alleen daalt waar de transportcapaciteit stroomafwaarts toeneemt, met een snelheid die wordt bepaald door de divergentie van de sedimentflux.

Een transportbeperkte rivier gedraagt zich in grote lijnen als een helling: de flux hangt af van de helling, en haar profiel evolueert via een diffusieachtige vergelijking die elke trede afrondt. Een losmakingsbeperkte rivier houdt een trede scherp en verplaatst die, zoals de volgende paragraaf laat zien. Bergrivieren met vaste gesteentebodems en dun grind liggen meestal dichter bij het eerste type; rivieren op dik alluvium bij het tweede.

Als gesteente met een uniforme snelheid $U$ ten opzichte van de monding van de rivier stijgt, en $K$, $m$, $n$ uniform zijn, evolueert de rivier volgens $\partial z/\partial t = U - K A^m S^n$.

Definitie 18.8 (Stationair rivierprofiel)

Een rivierprofiel bevindt zich in een stationaire toestand wanneer zijn hoogte niet langer in de tijd verandert: op elk punt compenseert insnijding precies de opheffing van het gesteente ten opzichte van de monding.

Stelling 18.9 (Stationair profiel onder de stroomvermogenswet)

Bij uniforme $U$, $K$, $m$ en $n$ heeft een losmakingsbeperkte rivier in stationaire toestand de hellinggradiënt

$$S = \left(\frac{U}{K}\right)^{1/n} A^{-m/n} .$$

Het verloop van de gradiënt volgt een machtsverband met de oppervlakte: het profiel is concaaf omhoog. Echte rivieren volgen zo’n machtswet ook als de veronderstellingen van de stelling twijfelachtig zijn, zodat twee getallen een profiel samenvatten.

Definitie 18.10 (Steilheids- en concaviteitsindices van de geul)

Volgt de gradiënt van een rivier $S = k_s A^{-\theta}$, dan is de exponent $\theta$ de concaviteitsindex en de coëfficiënt $k_s$ de geulsteilheidsindex. Om rivieren te vergelijken wordt $\theta$ gelijkgesteld aan een gemeenschappelijke referentiewaarde $\theta_{\mathrm{ref}}$, en $k_{sn} = S A^{\theta_{\mathrm{ref}}}$ is de genormaliseerde steilheid.

Volgens de stelling geldt $\theta = m/n$ en $k_s = (U/K)^{1/n}$: bij een gegeven erodeerbaarheid is een rivier steiler waar het gesteente sneller stijgt. Steilheidskaarten van een gebergte geven daarom de opheffing weer.

Gradiënten zijn afgeleiden van ruisrijke hoogtes en lopen sterk uiteen. Het integreren van het profiel gebruikt daarentegen hoogtes, die beter te meten zijn.

Definitie 18.11 (Chi-analyse)

Chi-analyse zet de hoogte van de punten van een riviernetwerk uit tegen de coördinaat

$$\chi(x) = \int_{x_b}^{x} \left(\frac{A_0}{A(x')}\right)^{\theta} \mathrm{d}x' ,$$

waarbij $x$ de afstand stroomopwaarts langs de geul vanaf een basispunt $x_b$ is, $A_0$ een referentieoppervlakte en $\theta$ de concaviteitsindex; $\chi$ heeft de dimensie van een lengte.

Propositie 18.12 (De chi-transformatie maakt een stationair profiel recht)

Onder de aannames van de stationaire-toestandsstelling, met $\theta = m/n$, voldoet elke geul van een netwerk dat afwatert naar het basisniveau $z_b$ aan

$$z = z_b + \left(\frac{U}{K A_0^{m}}\right)^{1/n} \chi :$$

alle geulen liggen op één rechte lijn met helling $k_s A_0^{-\theta}$ in het $(\chi, z)$-vlak.

Een geul die van de lijn afwijkt, is niet in stationaire toestand, of snijdt gesteente met een andere erodeerbaarheid, of heeft afwateringsgebied verloren of verworven: een zijrivier die bij dezelfde $\chi$ boven haar buren ligt, wordt van oppervlakte beroofd, en een die lager ligt, groeit.

18.3 Transiënte landschappen

Definitie 18.13 (Basisniveau en knikpunt)

Het basisniveau van een rivier is de hoogte van haar monding, waaronder zij niet kan insnijden: de zee, een meer, of de hoofdrivier waarin zij uitmondt. Een knikpunt is een plaats waar de helling van het lengteprofiel van een rivier abrupt toeneemt, van een steiler geworden traject tot een waterval.

Een knikpunt kan vast zijn, waar de rivier een harder bed kruist of een breukwand die nog actief is, of mobiel zijn, waar het de kop vormt van de reactie van de rivier op een verandering stroomafwaarts: een daling van het basisniveau, een snellere opheffing.

Stelling 18.14 (Knikpunten als kinematische golven)

Neem $n = 1$, met $U$, $K$ en $m$ uniform, en laat $x$ de afstand stroomopwaarts vanaf de monding zijn. Dan voldoet $z$ aan

$$\frac{\partial z}{\partial t} + K A^m \frac{\partial z}{\partial x} = U ,$$

en elk kenmerk van het profiel, ook een stap, beweegt stroomopwaarts met de snelheid $c = K A^m$ en behoudt daarbij zijn hoogte. Een knikpunt dat aan de monding begint op $t = 0$ bereikt het punt $x$ op het tijdstip

$$t(x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}x'}{K A(x')^m} = \frac{\chi(x)}{K A_0^m},$$

met $\chi$ berekend met $\theta = m$. Alle knikpunten die in een netwerk tegelijk ontstaan, liggen dus bij dezelfde $\chi$ en op dezelfde hoogtelijn.

De snelheid van de golf neemt toe met het afwateringsgebied: een knikpunt loopt snel door de hoofdrivier en vertraagt in de bovenlopen. De tijd die het kost om het hele netwerk tot aan de geulkoppen te doorlopen, is de responstijd van het landschap, van de orde van een miljoen jaar bij gebruikelijke opheffingssnelheden. Voor $n \ne 1$ hangt de snelheid ook af van de helling, en verandert een stap van vorm: voor $n > 1$ loopt zijn steile front vooruit op de trajecten eromheen en blijft scherp, voor $n < 1$ blijft het achter en verspreidt het zich.

In het veld — Een waterval die stroomopwaarts loopt

Bij Niagara stort de rivier zich in een ravijn dat ze zelf heeft uitgesleten. Ongeveer $12\,500$ jaar geleden stonden de watervallen aan de rand van de Niagarahelling; sindsdien heeft het water de gesteenten van de helling weggeslepen, en zijn blokken van de kam losgebroken, waardoor de kam ongeveer $11\,\mathrm{km}$ stroomopwaarts is opgeschoven: gemiddeld ongeveer een meter per jaar, vandaag nog ongeveer een tiende daarvan. Erosie verloopt trager wanneer de kam een lange hoefijzervorm heeft die het water verspreidt. Het ravijn is het pad van het knikpunt.

18.4 Glaciale erosie

Een gletsjer die over zijn bed glijdt (basale glijding, Hoofdstuk 24) erodeert het bed door schuring, waarbij puin dat in het ijs zit het gesteente afschuurt, en door uitbraak, waarbij het blokken loswrikt die door scheuren zijn losgemaakt. Beide schalen met de snelheid van de glijding.

Definitie 18.15 (Glaciale erosiewet)

Een glaciale erosiewet geeft de erosiesnelheid van het bed van een gletsjer als $E = K_G\,u_s^{\,l}$, waarin $u_s$ de glijsnelheid is, $K_G$ een coëfficiënt en $l$ een exponent.

Landschapsmodellen nemen meestal $l = 1$, waarbij waarden tussen 1 en 2 worden gebruikt. Een compilatie van 38 gletsjers, waarvan de erosiesnelheden over vijf ordes van grootte lopen, vond erosie gecorreleerd met de glijsnelheid, met $l = 0.65$ en $K_G = 10^{-4}$ voor $E$ in meter per jaar: erosie is het snelst onder temperate gletsjers die van ruime sneeuwval worden gevoed en die snel glijden. Omdat het ijs het dikst en het snelst langs de as van een dal is, wordt de vloer dieper uitgesleten dan de zijkanten en krijgt het dal zijn U-vorm.

Definitie 18.16 (Glaciale cirkelzaag)

De glaciale cirkelzaag is de grens die gletsjers stellen aan de hoogte van een bergketen: waar gesteente boven de hoogte uitsteekt waarop gletsjers ontstaan, eroderen ze het net zo snel als het omhoog komt, ongeacht de opheffingssnelheid, zodat pieken en de gemiddelde hoogte zich rond die hoogte concentreren.

18.5 Tektoniek en erosie

Definitie 18.17 (Topografische stationaire toestand)

Een landschap bevindt zich in een topografische stationaire toestand wanneer de erosiesnelheid overal gelijk is aan de opheffingssnelheid van het gesteente, zodat de hoogten niet veranderen, hoewel er gesteente door het landschap heen beweegt.

Snelheden die over verschillende tijdsduren zijn gemeten, toetsen de toestand. Kosmogene nucliden in rivierzand geven de gemiddelde erosiesnelheid van een bekken over de tijd die nodig is om een laag van de orde van de verzwakkingslengte van hun productie weg te nemen, ongeveer $55\,\mathrm{cm}$ gesteente; thermochronometers en hun ouderdom–hoogterelaties geven de exhumatiesnelheid over miljoenen jaren. Waar de twee onderling en met de opheffingssnelheid overeenkomen, bevindt het landschap zich waarschijnlijk in stationaire toestand; waar de kortetermijnsnelheid in de benedenloop sneller is dan in de bovenloop, trekt er een knikpunt door het gebied. Het wegnemen van gesteente ontlast ook de lithosfeer, die daarop omhoog komt.

Definitie 18.18 (Erosief isostatisch herstel)

Erosief isostatisch herstel is het oprijzen van het gesteenteoppervlak van een gebied in isostatisch evenwicht, als reactie op de massa die door erosie is weggenomen.

Propositie 18.19 (Pieken rijzen terwijl dalen dieper worden)

In Airy-isostasie met korst van dichtheid $\rho_c$ over mantel van dichtheid $\rho_m$, het wegnemen van een gemiddelde dikte $\bar e$ korst uit een gebied verhoogt het hele gebied met $(\rho_c/\rho_m)\,\bar e$. Als de erosie beperkt blijft tot de dalen, rijzen de niet-geërodeerde toppen met dat bedrag, terwijl het gemiddelde oppervlak slechts met $(1 - \rho_c/\rho_m)\,\bar e$ daalt.

De gewogen dichtheid van de korst van het referentiemodel van de aarde is $2.72\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en die van de mantel onder de Moho $3.38\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, een verhouding van 0.80: van elke honderd meter weggeërodeerd gesteente daalt het gemiddelde oppervlak slechts twintig. Diepe insnijding van een oud plateau kan dus de toppen doen rijzen, ook terwijl het plateau afslijt.

18.6 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Een kustescarpement met een verschuiving van $4\,\mathrm{m}$ ($a = 2\,\mathrm{m}$) ligt op een hellingvlak op grote afstand met een helling van 0.04, en zijn steilste gradiënt is nu 0.30. Bereken $\kappa t$, en daarna de ouderdom van het escarpement met $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

$a/\sqrt{\pi\kappa t} = 0.30 - 0.04 = 0.26$, dus $\kappa t = (2/0.26)^2/\pi = 18.8\,\mathrm{m}^{2}$, en $t = 18.8/(5\times10^{-3}) = 3.8\,\mathrm{kyr}$, binnen een factor twee in beide richtingen, gezien de spreiding van $\kappa$.

Oefening 18.2 ★

Een lidarmeting geeft een kromming van de heuvelkruin van $-0.012\,\mathrm{m}^{-1}$ op een rug met diffusiviteit $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$. Bereken de erosiesnelheid ervan in $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, en het reliëf tussen de kam en de geulen $80\,\mathrm{m}$ verderop, uitgaande van een stationaire toestand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

$E = \kappa\,|\nabla^2 z| = 4\times10^{-3}\times0.012 = 4.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.048\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Reliëf $E L^2/(2\kappa) = 0.012\times80^2/2 = 38.4\,\mathrm{m}$.

Oefening 18.3 ★

Met $m = 0.5$, $n = 1$ en $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, bereken de insnijsnelheid van een rivier die $25\,\mathrm{km}^{2}$ afwatert op een gradiënt van 0.01. Wat zijn de eenheden van $K$ voor algemene $m$ en $n$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

$E = 2\times10^{-6}\times(25\times10^6)^{0.5}\times0.01 = 2\times10^{-6} \times5000\times0.01 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Omdat $E$ in $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$ staat, $A^m$ in $\mathrm{m}^{2m}$ en $S$ geen eenheid heeft, ligt $K$ in $\mathrm{m}^{1-2m}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\mathrm{yr}^{-1}$ voor $m = 0.5$.

Oefening 18.4 ★

Drie rivieren vertonen knikpunten: (a) waar een zandsteenlaag een dal kruist dat in schalie is uitgesneden; (b) waar een rivier een actieve afschuiving kruist van de liggende naar de hangende wand; (c) in elke rivier van een bekken, allemaal op ongeveer dezelfde hoogte, een paar kilometer boven een kust die bij een aardbeving is opgeheven. Welke zijn vastgelegd en welke zullen migreren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

(a) Vast: een harde rotsbodem steilt de rivier op waar hij aan het oppervlak komt, en de trap blijft bij de rotsbodem. (b) Verankerd aan de breuk: zolang de breuk verschuift, de rivier wordt steiler waar hij die kruist. (c) Mobiel: de opheffing van de kust verlaagde in één keer het basisniveau van elke rivier; de knikpunten migreren stroomopwaarts en liggen, zoals de kinematische-golfstelling voorspelt voor $n = 1$, op één hoogtelijn.

Oefening 18.5 ★★

Voor $m = 1$ en $n = 2$, bereken $\theta$ en de stationaire gradiënt waar $A = 10\,\mathrm{km}^{2}$, met $U = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en $K = 10^{-9}$ in meter en jaar. Met welke factor verandert de steilheid als $U$ verdubbelt? Vergelijk met $n = 1$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

$\theta = m/n = 0.5$. $S = (U/K)^{1/2}A^{-1/2} = (10^{-4}/10^{-9})^{1/2} \times(10^7)^{-1/2} = 316\times3.16\times10^{-4} = 0.10$. Het verdubbelen van $U$ vermenigvuldigt $k_s = (U/K)^{1/n}$ met $\sqrt2 = 1.41$; voor $n = 1$ met 2: hoe groter $n$, hoe minder de steilheid op opheffing reageert.

Oefening 18.6 ★★

De afwateringsoppervlakte van een rivier groeit met de afstand $d$ tot haar waterscheiding als $A = c\,d^{h}$. Toon aan dat, gemeten stroomopwaarts vanaf haar monding bij $d = L$,

$$\chi(d) = \frac{A_0^{\theta}}{c^{\theta}}\,\frac{L^{p} - d^{p}}{p}, \qquad p = 1 - h\theta ,$$

en bereken het voor $c = 2$ (SI), $h = 1.8$, $\theta = 0.45$, $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $L = 20\,\mathrm{km}$ en $d = 5\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

Met $x$ stroomopwaarts vanaf de uitmonding, $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}d$, dus $\chi(d) = \int_d^L (A_0/c\,d'^{h})^{\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta} c^{-\theta} \int_d^L d'^{-h\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta}c^{-\theta}(L^p - d^p)/p$. Hier is $p = 0.19$, $A_0^{\theta}c^{-\theta} = 10^{2.7}/2^{0.45}$, en $\chi = 2935\,\mathrm{m}$.

Oefening 18.7 ★★

Met $n = 1$, $m = 0.5$ en $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, bereken de voortplantingssnelheid van een knikpunt waar $A = 100\,\mathrm{km}^{2}$, in m/kyr, en de tijd die het zou kosten om $5\,\mathrm{km}$ met die snelheid af te leggen. Waarom duurt het in werkelijkheid langer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

$c = 2\times10^{-6}\times(10^8)^{0.5} = 0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; $5\,\mathrm{km}$ met die snelheid kost $250\,\mathrm{kyr}$. Het oppervlak, en daarmee de celeriteit neemt stroomopwaarts af, dus het knikpunt vertraagt terwijl het omhoog klimt.

Oefening 18.8 ★★

Dalen van $600\,\mathrm{m}$ diep, die gemiddeld $40\,\%$ van de oppervlakte van een plateau innemen, worden erin uitgesneden. Met $\rho_c/\rho_m = 0.80$, bereken de gemiddelde afgevoerde dikte, de stijging van de toppen en de verandering van de gemiddelde hoogte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

$\bar e = 0.40\times600 = 240\,\mathrm{m}$; de toppen stijgen met $0.80\times240 = 192\,\mathrm{m}$; de gemiddelde hoogte daalt met $240 - 192 = 48\,\mathrm{m}$.

Oefening 18.9 ★★

Een bodemproductiefunctie heeft $P_0 = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en $h_0 = 0.5\,\mathrm{m}$. Bereken de stationaire bodemdikte bij erosie van $0.05\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en bij $0.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Wat gebeurt er bij $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

$h = h_0\ln(P_0/E)$: $0.5\ln 6 = 0.90\,\mathrm{m}$ en $0.5\ln1.5 = 0.20\,\mathrm{m}$. Bij $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ overtreft de erosie de snelste productie, $P_0$: de bodem wordt weggeschuurd en de helling wordt kaal gesteente, waarvan de daling door verwering wordt beperkt.

Oefening 18.10 ★★★

Een heuvel in stationaire toestand erodeert met $E = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ en de niet-lineaire wet van de kritische gradiënt, waarbij $S_c = 1.2$ voor de oefening wordt genomen. Toon aan dat de flux op afstand $x$ van de waterscheiding gelijk is aan $E x$, los de gradiënt op en bereken die bij 20, 50, 100 en $200\,\mathrm{m}$. Vergelijk met lineaire diffusie en beschrijf de vorm van de heuvel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

In de stationaire toestand geldt $\mathrm{d}q/\mathrm{d}x = E$ en $q = 0$ bij de waterscheiding, dus $q = E x$. Dan is $\kappa S = E x\,(1 - S^2/S_c^2)$, een kwadratische vergelijking waarvan de positieve wortel is $S = [-\kappa + \sqrt{\kappa^2 + 4E^2x^2/S_c^2}\,]/(2Ex/S_c^2)$. Bij 20, 50, 100 en $200\,\mathrm{m}$: 0.36, 0.68, 0.89 en 1.03, tegenover 0.4, 1.0, 2.0 en 4.0 voor lineaire diffusie ($S = Ex/\kappa$). De heuvel heeft een afgeronde top, daarna zijden waarvan de helling naar $S_c$ streeft: bijna vlakke hellingen, met veel minder reliëf dan de parabool.

Oefening 18.11 ★★★

Toon aan dat de responstijd van een riviernetwerk op een verandering bij zijn monding, voor $n = 1$, gelijk is aan $\chi_h/(K A_0^m)$, waarbij $\chi_h$ de grootste waarde van $\chi$ bij een geulkop. Bereken die voor de bovenloop van de figuren ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $m = 0.5$, $K = 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$), eerst voor de hoofdstam alleen, waarvan de kop bij $\chi = 5464\,\mathrm{m}$ ligt, daarna voor het netwerk, waarvan de hoogste kop op zijrivier 1 bij $\chi = 7237\,\mathrm{m}$ ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

Volgens de kinematische-golfstelling bereikt de verandering een punt met coördinaat $\chi$ na $\chi/(KA_0^m)$; het netwerk heeft volledig gereageerd wanneer het de laatste bronlocatie heeft bereikt, met de grootste $\chi$. $K A_0^m = 10^{-6}\times 1000 = 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: de hoofdstroom reageert in $5.46\,\mathrm{Myr}$, het netwerk in $7.24\,\mathrm{Myr}$, de orde van een miljoen jaar zoals verwacht.

Oefening 18.12 ★★★

In een netwerk met $n = 1$ en uniforme $U$ stroomt één zijrivier over gesteente dat twee keer zo erodeerbaar is als de rest ($2K$) boven haar samenvloeiing, bij $\chi_j$. Toon aan dat haar stationaire lijn in het $(\chi, z)$-vlak heeft de helft van de helling van de hoofdstam boven $\chi_j$, en dat een knikpunt dat bij de monding ontstaat, bereikt op het moment dat het knikpunt van de hoofdstam bij $\chi_k > \chi_j$ ligt, het punt van $\chi = \chi_j + 2(\chi_k - \chi_j)$ van die zijrivier.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

Boven de samenvloeiing is de stationaire helling van de zijrivier $S = (U/2K)A^{-\theta}$, dus $\mathrm{d}z/\mathrm{d}\chi = (U/2K)A_0^{-\theta}$, de helft van die van de hoofdstroom. Het knikpunt bereikt de samenvloeiing wanneer dat van de hoofdstroom bij $\chi_j$ ligt; na een verdere tijd $\Delta t$ is dat van de hoofdstroom verschoven naar $\chi_k$ met $\chi_k - \chi_j = K A_0^m\,\Delta t$, terwijl dat van de zijrivier, met celeriteit $2KA^m$, is naar $\chi$ verschoven met $\chi - \chi_j = 2KA_0^m\,\Delta t = 2(\chi_k - \chi_j)$.

18.7 Probleem: De waterval van de Varden-rivier

Probleem 18.1

Weekendprobleem — het profiel, de steilheid en de erodeerbaarheid van een verzonnen bovenloop, en de ouderdom van de waterval

Ten westen van de Varden-heuvels stroomt de rivier door een hooggelegen gebied van schist voordat ze de kaart aan haar westrand binnenkomt, op een hoogte van $170\,\mathrm{m}$. Stroomopwaarts van dat punt, haar monding, is de hoofdstam $12\,\mathrm{km}$ lang vanaf haar waterscheiding, met een afwateringsoppervlakte $A = 4.5\,d^{1.7}$ ($\mathrm{m}^{2}$, $d$ in meter vanaf de waterscheiding) en een geulkop bij $d = 300\,\mathrm{m}$. Neem als de snelheid van de gesteenteopheffing de denudatiesnelheid van het bekken van de Varden-rivier, gevonden uit haar vrachten in Boek 3, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Neem $n = 1$ en het referentiegebied $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$. Een waterval van $25\,\mathrm{m}$ hoog staat op de hoofdstam $4.60\,\mathrm{km}$ stroomopwaarts van de monding. Alle waarden zijn verzonnen.

Part I — The profile.

1. Bereken de afwateringsoppervlakte aan de monding en aan de geulkop.

2. Gradiënten gemeten over trajecten van $200\,\mathrm{m}$, weg van de waterval:

   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	0.388	0.587	0.888	1.345	2.036	3.082
   $S$	0.06641	0.05026	0.04888	0.03322	0.03688	0.02688
   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	4.665	7.061	10.69	16.18	24.49	37.08
   $S$	0.01921	0.01713	0.01545	0.01419	0.007922	0.007855

   Schat de concaviteitsindex uit het eerste en het laatste punt.

3. De kleinste-kwadratenhelling van $\log S$ tegen $\log A$ is $-0.466$. Is dit in overeenstemming met $\theta = 0.5$?
4. Bereken met $\theta_{\mathrm{ref}} = 0.5$ de waarde $k_{sn} = S A^{0.5}$ ($A$ in $\mathrm{m}^{2}$) voor het eerste en het laatste punt, en geef aan wat het geometrische gemiddelde van de twaalf waarden, $45.1\,\mathrm{m}$, voorstelt.
5. Waarom variëren de gradiënten veel sterker dan de hoogten?
6. Bereken met de formule van de chi-oefening $\chi$ op $d = 9.00\,\mathrm{km}$, een punt onder de waterval.

Deel II — Steilheid en erodeerbaarheid.

7. De rivier ligt op $193.4\,\mathrm{m}$ bij $d = 9.00\,\mathrm{km}$. Bereken de helling van de chi-plot onder de waterval en de steilheid $k_{sn}$.
8. Welke schatting van $k_{sn}$ zou je vertrouwen, deze of die uit de helling-oppervlakte-methode, en waarom?
9. Bereken, uitgaande van een stationaire toestand onder de waterval, $K$ uit de opheffingssnelheid.
10. Controleer dat de insnijdingssnelheid aan de monding, waarvan de helling 0.00691 is, gelijk is aan de opheffingssnelheid.
11. Bereken de snelheid van een knikpunt aan de monding en bij de waterval, in m/kyr.
12. Bereken de hoogte van de geulkop op het stationaire profiel, en het reliëf van de hoofdstam.

Deel III — De waterval.

13. Waarom heeft de waterval, met $n = 1$, de hoogte van de val van het basisniveau behouden?
14. Bereken $\chi$ bij de waterval.
15. Bereken de tijd die het knikpunt nodig had van de monding tot zijn huidige plaats.
16. Waar zal het $300\,\mathrm{kyr}$ vanaf nu zijn?
17. Zijrivier 3 mondt $2.5\,\mathrm{km}$ stroomopwaarts van de monding in de hoofdstam uit; ze is $5\,\mathrm{km}$ lang, met $A = 1.5\,s^{1.7}$ ($s$ vanaf haar eigen waterscheiding). Waar zou haar waterval moeten liggen?
18. Zijrivieren 1 en 2 monden $8\,\mathrm{km}$ en $5\,\mathrm{km}$ stroomopwaarts van de monding in de hoofdstam uit. Verklaar waarom zij geen waterval hebben.

Deel IV — De hellingen en de ouderdom.

19. Een lidar-meting boven de waterval geeft een kromming van de heuveltop van $-0.0086\,\mathrm{m}^{-1}$. Bereken met $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ de erosiesnelheid en vergelijk die met de opheffingssnelheid.
20. De hellingen zijn ongeveer $150\,\mathrm{m}$ lang. Vergelijk hun responstijd $L^2/\kappa$ met de ouderdom uit Deel III.
21. Beschrijf de hellingen onder de waterval zoals ze er nu uitzien, en hoe ze zullen veranderen.
22. De opheffingssnelheid is bekend tot op $20\,\%$. Geef het bereik van de ouderdom.
23. Hoe zou de waterval zich hebben ontwikkeld als $n$ gelijk was aan 2?
24. Geef de ouderdom van de val van het basisniveau.

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. $4.5\times12000^{1.7} = 3.87 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, $38.7\,\mathrm{km}^{2}$; $4.5\times300^{1.7} = 7.3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, $0.073\,\mathrm{km}^{2}$.

2. $\theta \approx -\log(0.007855/0.06641)/\log(37.08/0.388) = 0.928/1.980 = 0.47$.

3. Ja: met een spreiding van ongeveer $10\,\%$ op twaalf punten, $0.466$ verschilt niet significant van 0.5.

4. $0.06641\times\sqrt{388\,000} = 41.4\,\mathrm{m}$; $0.007855\times\sqrt{3.708\times10^7} = 47.8\,\mathrm{m}$. Het geometrisch gemiddelde, $45.1\,\mathrm{m}$, schat $k_s$ voor $\theta = 0.5$.

5. Een helling is het verschil van twee hoogten, elk onzeker tot op decimeters tot meters, gedeeld door een korte afstand; op zachte trajecten is de fout een groot deel van het verschil. $\chi$ integreert in plaats van te differentiëren.

6. $p = 1 - 1.7\times0.5 = 0.15$; $\chi = (1000/\sqrt{4.5})\, (12000^{0.15} - 9000^{0.15})/0.15 = 543.1\,\mathrm{m}$.

7. $(193.4 - 170)/543.1 = 0.0431$; $k_{sn} = 0.0431\times A_0^{0.5} = 43.1\,\mathrm{m}$.

8. De chi-schatting rust op hoogten over $3\,\mathrm{km}$ rivierlengte, niet op twaalf ruisachtige hellinggradiënten.

9. $K = U/k_{sn} = 4.3\times10^{-5}/43.1 = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

10. $10^{-6}\times\sqrt{3.87\times10^7}\times0.00691 = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: de uitlaat houdt gelijke tred met de opheffing.

11. Bij de uitlaat $10^{-6}\times6222 = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; bij de waterval, $d = 7.40\,\mathrm{km}$, $A = 1.70 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ en $4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$.

12. $170 + 43\times(4.5)^{-0.5}(12000^{0.15} - 300^{0.15})/0.15 = 405\,\mathrm{m}$: een reliëf van $235\,\mathrm{m}$.

13. Voor $n = 1$ is de vergelijking een kinematische golf: punten aan beide zijden van de trap stijgen met $U$ per tijdseenheid, zodat de trap zijn hoogte behoudt, de $25\,\mathrm{m}$ van de val.

14. $\chi = (1000/\sqrt{4.5})(12000^{0.15} - 7400^{0.15})/0.15 = 899.4\,\mathrm{m}$.

15. $t = \chi/(KA_0^{0.5}) = 899.4/10^{-3} = 899\,\mathrm{kyr}$.

16. Bij $\chi = 899.4 + 300 = 1199\,\mathrm{m}$: $d^{0.15} = 12000^{0.15} - 1199\times0.15\times\sqrt{4.5}/1000$, $d = 6.25\,\mathrm{km}$, $5.75\,\mathrm{km}$ stroomopwaarts van de uitlaat.

17. Bij de samenvloeiing ($d = 9.5\,\mathrm{km}$) $\chi = 442.8\,\mathrm{m}$; de waterval ligt waar de $\chi$ van de zijrivier $899.4\,\mathrm{m}$ bereikt: $s^{0.15} = 5000^{0.15} - (899.4 - 442.8)\times0.15\times\sqrt{1.5}/1000$, $s = 4.27\,\mathrm{km}$, $0.73\,\mathrm{km}$ boven de samenvloeiing.

18. Hun samenvloeiingen liggen bij $\chi = 1954$ en $999\,\mathrm{m}$, voorbij $899\,\mathrm{m}$: het knikpunt is er nog niet langs getrokken, dus de hoofdrivier is daar nog op zijn oude niveau.

19. $E = 5\times10^{-3}\times0.0086 = 4.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: de heuvels boven de waterval eroderen met de opheffingssnelheid, in stationaire toestand.

20. $150^2/(5\times10^{-3}) = 4.5\,\mathrm{Myr}$, vijf keer de ouderdom van de waterval.

21. Hun voet is met de geul $25\,\mathrm{m}$ verlaagd: hun onderste delen zijn te steil geworden en glijden misschien, terwijl hun kammen nog met de oude snelheid eroderen. Een golf van steiler worden klimt elke helling op; na enkele miljoen jaar keren ze terug naar dezelfde parabool, $25\,\mathrm{m}$ lager.

22. $t = \chi k_{sn}/(U A_0^{0.5})$ varieert als $1/U$: van $899/1.2 = 749$ tot $899/0.8 = 1124\,\mathrm{kyr}$.

23. Bij $n = 2$ groeit de celeriteit met de helling: het steile vlak zou sneller bewegen dan de trajecten eromheen en scherp blijven, maar zijn snelheid en de daaruit af te lezen ouderdom zouden verschillen.

24. Het basisniveau van de Varden-rivier daalde $900\,\mathrm{kyr}$ geleden ($899\,\mathrm{kyr}$ volgens de berekening).