26Planetaire binnenwerelden en oppervlakken

Door een verrekijker gezien heeft de Maan twee soorten bodem. De lichte hooglanden zitten vol kraters, krater op krater: ze zijn met grote kraters verzadigd door een hevig bombardement dat ongeveer 3.8 miljard jaar geleden eindigde. De donkere maria, vlakten die tussen 4.2 en 1.2 miljard jaar geleden met lava gevuld raakten, bevatten er veel minder. De missies van Apollo en Luna brachten gesteente van beide terug, en hun radiometrische ouderdommen maakten van de kraterdichtheid op een oppervlak een klok. Die klok dateert nu vlakten op Mars, Mercurius en de ijzige manen, waarvan nog geen gesteente is teruggebracht. Dit hoofdstuk leest de binnenwerelden van de planeten af aan hun zwaartekracht, rotatie en getijden, en daarna hun oppervlakken aan hun kraters, vulkanen en breuken.

Wat je al weet

De traagheidsmomentfactor $C = I/MR^2$, het tweelaagsmodel van een planeet dat daaruit en uit de gemiddelde dichtheid wordt opgebouwd, en de terrestrische en de reuzenplaneten staan in Boek 3, in het hoofdstuk over vergelijkende planetologie; mantelpluimen en grote vulkanische provincies, in het hoofdstuk over hotspots. Planetaire differentiatie en de meteorieten staan in Boek 4, in het hoofdstuk over planeetvorming. De dynamische vormfactor $J_2$, de formule van MacCullagh en de buiging van de lithosfeer staan in dit deel, in het hoofdstuk over zwaartekracht en geodesie; het Rayleighgetal, in het hoofdstuk over mantelconvectie. Getijden, de wetten van Kepler en de elastische moduli staan in de natuurkundeboeken; de Poissonverdeling, in de wiskundeboeken.

26.1 Binnenwerelden uit zwaartekracht, rotatie en getijden

De massa van een planeet, uit de baan van een maan of een ruimtevaartuig, geeft de gemiddelde dichtheid; de precessie van zijn as en zijn $J_2$ geven het traagheidsmoment. De tweelaagspropositie uit Boek 3 zet de twee getallen om in een kern, maar pas nadat een manteldichtheid is gekozen: twee metingen kunnen drie onbekenden niet vastleggen.

Elke planeet levert een kromme op, geen punt. Voor Mars is de kernstraal van $1830\,\mathrm{km}$, door InSight gemeten, kiest een mantel van $3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en een kern van $6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Voor Mercurius is de kern van ongeveer $2000\,\mathrm{km}$ in straal vult 82 procent van de straal. De kromme van de Maan is bijna vlak: haar $C = 0.394$ ligt zo dicht bij $\tfrac25$ dat een kleine kern van welke dichtheid ook past, en een verandering van $0.001$ in $C$ verschuift de kernstraal met meer dan een factor twee (zie Oefening 26.10). Zwaartekracht alleen ziet geen kleine kern; de getijden en de seismische golven wel.

Definitie 26.1 (Lovegetal)

Wanneer een getijdenpotentiaal van graad 2 op een planeet werkt, vervormt de planeet en de herverdeelde massa voegt een eigen potentiaal toe. Het Lovegetal $k_2$ is de verhouding van die toegevoegde potentiaal tot de getijdenpotentiaal, beide genomen aan het oppervlak van de planeet.

Een starre planeet heeft $k_2 = 0$; een vloeibare planeet van uniforme dichtheid geeft volledig mee, met $k_2 = \tfrac32$. Daartussen meet het getal hoeveel van de planeet meegeeft.

Propositie 26.2 (Lovegetal van een uniforme elastische bol)

Een onsamendrukbare bol van uniforme dichtheid $\rho$, straal $R$, oppervlaktezwaartekracht $g$ en stijfheid $\mu$ heeft

$$k_2 = \frac{3/2}{1 + \dfrac{19\mu}{2\rho g R}} .$$

Het resultaat, aan Kelvin toe te schrijven, wordt aangenomen. De verhouding $\mu/\rho gR$ vergelijkt de elastische stijfheid met de eigen zwaartekracht die de getijdenbult weer terugtrekt: kleine planeten zijn stijf, grote geven mee. Voor Mars geldt $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$; met de stijfheid van de bovenmantel van de Aarde, $67\,\mathrm{GPa}$ op $80\,\mathrm{km}$ diepte in het referentiemodel van de aarde, geeft de formule $k_2 = 0.109$. Het volgen van de baanvaarder Mars Global Surveyor mat het zonnegetij van Mars: $k_2 = 0.153 \pm 0.017$, te groot voor een massieve ijzeren kern. Ten minste het buitenste deel van de kern is vloeibaar, en de straal ervan werd in 2003 tussen 1520 en $1840\,\mathrm{km}$ vastgesteld.

Seismometers beslechtten de vraag. De lander InSight registreerde marsbevingen en mat golven die van de bovenkant van de kern weerkaatsten: straal $1830\,\mathrm{km}$, onder een mantel die $1560\,\mathrm{km}$ diep ligt en een korst van 20 tot $37\,\mathrm{km}$ dik. Op de Maan registreerden de seismometers die de Apollo-astronauten hadden opgesteld maanbevingen; de diepste ervan, honderden kilometer diep, veroorzaakt door de getijden van de Aarde. De kern van de Maan wordt nu beschreven als een vaste, ijzerrijke binnenkern met een straal van $240\,\mathrm{km}$, een vloeibare ijzeren schil van $90\,\mathrm{km}$ dik eromheen, en een gedeeltelijk gesmolten laag daarboven.

26.2 Inslagkraters

Een lichaam uit de ruimte treft een planeet met minstens de ontsnappingssnelheid van die planeet, voor de Aarde $11.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; asteroïden treffen de Aarde doorgaans met 15 tot $25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en kometen met tot $60\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bij $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ draagt elke kilogram $2 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$, ongeveer vijftig keer de energie van een kilogram explosief. De inslag stuurt een schokgolf de grond in en het projectiel in, dat smelt en verdampt; achter de schokgolf wordt het gesteente naar buiten in beweging gebracht en in enkele seconden opent zich een krater.

Definitie 26.3 (Tijdelijke krater, eenvoudige krater, complexe krater, ejectadeken)

De tijdelijke krater is de kommormige holte die door de uitgravingsstroom wordt geopend op het moment dat hij ophoudt te groeien; de diepte bedraagt ongeveer een derde van de diameter. Een eenvoudige krater is een kom met een opgeworpen rand, waarin de tijdelijke krater nauwelijks is veranderd: de steile wanden zakken naar binnen in een linze van breccie. Een complexe krater is een grotere krater waarvan de tijdelijke kom is ingestort: de bodem is omhoog gekomen tot een centrale opheffing, de rand is langs terrassen naar binnen geschoven, en de bodem is vlak. Het ejectadeken is de laag uitgeworpen gesteente die buiten de rand is weggeslingerd en rond de krater is afgezet.

Het uitgraven van een krater van $1\,\mathrm{km}$ breed duurt ongeveer zes seconden, dat van een krater van $200\,\mathrm{km}$ breed ongeveer anderhalve minuut. Welke kratergrootte een inslag veroorzaakt, hangt af van de energie van het projectiel, van de zwaartekracht en van de sterkte van het gesteente; de wetten die ze met elkaar verbinden, zijn op experimenten en explosies aangepast in de vorm van producten van dimensieloze groepen, en worden hier aangenomen. Hun geest zit in een evenwicht van energieën.

Propositie 26.4 (Schaling in het zwaartekrachtregime)

Als een vaste fractie van de inslagenergie $E$ het uitgegraven gesteente met dichtheid $\rho$ tegen de zwaartekracht $g$ in optilt, groeit de diameter van de krater als

$$D \propto \left(\frac{E}{\rho g}\right)^{1/4} .$$

Een deel van de energie gaat op aan warmte, smelten en het breken van gesteente, zodat de werkelijke wetten tussen deze en eenvoudiger regels in liggen: een tabel die voor de Aarde vaak wordt aangehaald, geeft een krater die twintig keer zo breed is als het stenen projectiel. De zwaartekracht bepaalt ook waar een krater ophoudt eenvoudig te zijn. De wanden van de tijdelijke kom storten in wanneer het gewicht van het gesteente dat ze dragen, van de orde $\rho g D/3$, de sterkte van het gesteente overschrijdt, zodat de overgangsdiameter varieert als $1/g$: ongeveer $4\,\mathrm{km}$ in kristallijn gesteente en $2\,\mathrm{km}$ in sedimenten op de Aarde, ongeveer $20\,\mathrm{km}$ op de Maan, waar de zwaartekracht zes keer zwakker is.

26.3 Kraterdatering

Een oppervlak dat met rust wordt gelaten, verzamelt kraters in de mate waarin lichamen erop inslaan. Door ze te tellen wordt het oppervlak gedateerd, mits de snelheid bekend is en de kraters die van het oppervlak zelf zijn, niet van wat eronder ligt of van het puin dat van een buurman is weggeslingerd.

Definitie 26.5 (Grootte–frequentieverdeling van kraters)

De grootte–frequentieverdeling van kraters van een oppervlak is het aantal kraters $N(D)$ met een diameter van ten minste $D$ per eenheid van oppervlak, als functie van $D$ (de cumulatieve verdeling), of de aantallen geteld in klassen van diameter, meestal elk $\sqrt2$ keer zo breed als de vorige (de incrementele verdeling).

Definitie 26.6 (Kraterdatering; productie- en chronologiefuncties; evenwichtsdichtheid)

Kraterdatering is het bepalen van de ouderdom van een oppervlak uit de dichtheid van zijn kraters. De kraterproductiefunctie is de vorm van de grootte–frequentieverdeling van de kraters die een oppervlak verwerft, $F(D) = N(D)/N(1\,\mathrm{km})$, aangenomen dat die op elke ouderdom dezelfde is. De kraterchronologiefunctie $N_1(T)$ is het aantal kraters van $1\,\mathrm{km}$ en groter per eenheid van oppervlak dat zich in een tijd $T$ heeft opgehoopt. Een oppervlak bevindt zich op de evenwichtsdichtheid van kraters voor kraters van een gegeven grootte wanneer elke nieuwe krater gemiddeld evenveel oude wegvaagt als hij toevoegt: hun aantal neemt dan niet meer toe.

De modelouderdom van een oppervlak volgt uit één telling: $N(D)$ gemeten bij een willekeurige $D$ geeft $N_1 = N(D)/F(D)$, en $T$ lost $N_1(T) = N_1$ op. De lijnen $N(D) = N_1(T)F(D)$ voor vaste $T$ heten isochronen. Voor Mars wordt een veel gebruikte productiefunctie is een polynoom van graad 11 in $\log_{10}D$, en de chronologiefunctie heeft de vorm

lineair over de laatste drie miljard jaar, steil exponentieel daarvoor. De functie van de Maan heeft dezelfde vorm met $a = 5.44 \times 10^{-14}$ en $c = 8.38 \times 10^{-4}$. Zij is gefit op de ouderdommen van de landingsplaatsen van Apollo en Luna; die van Mars is die van de Maan, geschaald met een schatting van de verhouding van de kratervormingssnelheden op Mars en op de Maan.

Kraters worden willekeurig en onafhankelijk van elkaar getroffen, zodat het aantal $n$ dat op een oppervlak wordt gevonden, is een Poissonvariabele.

Propositie 26.7 (Telfout van een modelouderdom)

Als $n$ kraters op een oppervlak $A$ worden geteld, heeft de dichtheid $N = n/A$ de standaarddeviatie $\sqrt n/A$, een relatieve fout $1/\sqrt n$, en de modelouderdom de standaarddeviatie

$$\sigma_T = \frac{N_1(T)}{\sqrt n\,N_1'(T)} .$$

De relatieve fout van de telling alleen bedraagt tien procent bij honderd kraters. Op een jong oppervlak, waar $N_1$ lineair is, erft de ouderdom die fout: $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. Op een oud oppervlak verkleint de steile functie haar, met een factor zes bij $3.8\,\mathrm{Ga}$ (Oefening 26.11); de modelouderdommen van oude oppervlakken worden dan juist beperkt door de kalibratie van de functie zelf. Twee verdere grenzen beperken een telling. Kleine kraters verzadigen: op de oudste oppervlakken staan kraters kleiner dan ongeveer $0.7\,\mathrm{km}$ op de evenwichtsdichtheid en registreren de tijd niet langer. En een oppervlak kan worden vernieuwd zonder te worden uitgewist: een lavastroom die kleine kraters bedekt maar niet de randen van grote, laat een verdeling achter met een knik, oud bij grote $D$ en jong bij kleine $D$. De knik dateert de oppervlaktevernieuwing.

Definitie 26.8 (Oppervlaktevernieuwing)

Oppervlaktevernieuwing is de vernieuwing van een planetair oppervlak, door lava, sediment, ijs of vervorming, die de kraters verwijdert of bedekt en zijn kraterklok terugzet.

26.4 Vulkanisme en tektoniek buiten de Aarde

Elke terrestrische planeet verliest zijn interne warmte via zijn lithosfeer. De Aarde doet dat met bewegende platen; de andere doen het anders.

Definitie 26.9 (Stagnant deksel)

Een planeet heeft een stagnant deksel wanneer zijn lithosfeer een enkele starre schil is die niet deelneemt aan de convectie van de mantel eronder: warmte gaat er doorheen door conductie en door het magma dat er doorheen stijgt. Op een planeet met een mobiel deksel, zoals de Aarde, is de lithosfeer opgebroken in platen die terugzinken in de mantel.

Definitie 26.10 (Warmtepijpvulkanisme)

Warmtepijpvulkanisme is het verlies van de interne warmte van een planeet vooral door magma dat door smalle kanalen omhoog stijgt en aan het oppervlak uitbarst, waar de lava’s afkoelen en door latere lava’s worden bedekt: de lithosfeer wordt van boven opgebouwd en koud naar beneden gevoerd.

Mars heeft een stagnant deksel. Zonder platen die hen wegvoeren van hun bronnen, groeiden zijn vulkanen lange tijd op hun plaats boven de Tharsis- bult. Olympus Mons, de grootste bekende vulkaan in het Zonnestelsel, torent $27\,\mathrm{km}$ hoog op een basis van meer dan $600\,\mathrm{km}$ breed, omringd door een steilrand tot $6\,\mathrm{km}$ hoog; de drie nabijgelegen Tharsis Montes zijn elk 350 tot $400\,\mathrm{km}$ breed. Een belasting zo groot buigt de lithosfeer, en de breedte van de geul die ze uitgraaft meet, zoals op de Aarde, de elastische dikte van het deksel.

Venus, in grootte de tweelingzus van de Aarde, heeft verreweg de minste inslagkraters van elke rotsplaneet behalve de Aarde. Zijn oppervlaktekenmerken kunnen gemiddeld zo jong zijn als 150 miljoen jaar, met tussenliggende oudere plekken: vulkanisme en vervorming hebben het grootste deel van zijn oppervlak vernieuwd, misschien stuk voor stuk over een lange tijd, misschien sneller. Venus heeft duizenden vulkanen en geen teken van bewegende platen.

Io, de binnenste grote maan van Jupiter, verliest meer dan $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ via zijn oppervlak, ongeveer 27 keer het gemiddelde van de Aarde van $0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Zijn warmte is niet die van radioactiviteit: zij wordt veroorzaakt door de getijden.

Definitie 26.11 (Getijverwarming)

Getijverwarming is de warmte die binnenin een lichaam wordt opgewekt door de wrijving van de vervorming die een wisselend getij erop uitoefent. Een maan in synchrone rotatie op een excentrische baan ziet het getij van zijn planeet in sterkte veranderen en tijdens elke omloop heen en weer zwaaien.

Propositie 26.12 (Getijvermogen van een synchrone maan)

Een maan met straal $R$ in synchrone rotatie, op een baan met gemiddelde beweging $n$ en kleine excentriciteit $e$, dissipeert het vermogen

$$\dot E = \frac{21}{2}\,\frac{k_2}{Q}\,\frac{(nR)^5}{G}\,e^2 ,$$

waarbij $Q$ de getijkwaliteitsfactor van de maan is, zodat $k_2/Q$ het deel van de getijvervorming meet dat als warmte verloren gaat.

De propositie wordt zonder bewijs aangenomen. Getijden die energie dissiperen maken ook een baan cirkelvormig; die van Io blijft elliptisch, met een excentriciteit van 0.004, omdat de precies getimede trekkrachten van Europa en Ganymedes hem verstoren, hun omloopperioden van 1.77, 3.55 en $7.15$ dagen zich bijna exact verhouden als 1:2:4 (zie Oefening 26.8). Het oppervlak van Io stijgt en daalt met maximaal $100\,\mathrm{m}$ per omloop. De vulkanen bedekken Io met lava sneller dan er kraters op kunnen ontstaan; één model voor hoe de warmte ontsnapt, is warmtepijpvulkanisme, dat een dikke, koude lithosfeer onder zijn vurige oppervlak in stand zou houden.

Definitie 26.13 (Ondergrondse oceaan)

Een ondergrondse oceaan is een wereldwijde laag vloeibaar water onder de ijsschil van een maan of dwergplaneet, dat vloeibaar blijft door getij- en radiogene warmte.

Definitie 26.14 (Cryovulkanisme)

Cryovulkanisme is de uitbarsting van water, pekel of andere vluchtige vloeistoffen en dampen, in plaats van gesmolten gesteente, op het ijzige oppervlak van een maan of dwergplaneet.

De ijsschil van Europa, gemeten door de microgolfradiometer van de ruimtesonde Juno in het gebied waar die overheen vloog, gemiddeld ongeveer $29\,\mathrm{km}$ dik; eronder ligt een zoute oceaan die twee keer zoveel water bevat als alle oceanen van de Aarde. Op Saturnus’ maan Enceladus, slechts ongeveer $500\,\mathrm{km}$ in doorsnee, vond de ruimtesonde Cassini in 2005 straalstromen van ijskorrels en gas die uit warme breuken nabij de zuidpool ontsnapten, met ongeveer $400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Zijn zwaartekracht en de slingering van zijn rotatie tonen dat de straalstromen putten uit een wereldwijde oceaan, onder een ijsschil van 20 tot $25\,\mathrm{km}$ dik gemiddeld en misschien slechts 1 tot $5\,\mathrm{km}$ bij de zuidpool.

26.5 Grote kernen en kleine

De vier gemeten kernen vormen een vreemde familie. Relatief ten opzichte van de straal reikt de kern van de Aarde tot 0.55 van de weg naar het oppervlak en die van Mars 0.54; die van de Maan 0.19; die van Mercurius 0.82. Differentiatie, in Boek 4, scheidt metaal van silicaat binnenin elk lichaam, maar kan de verhoudingen van metaal niet zo sterk laten verschillen. Reusachtige inslagen kunnen dat wel. De Maan wordt gedacht te zijn ontstaan uit het puin van een botsing tussen een lichaam ter grootte van Mars en de jonge Aarde, ongeveer 4.5 miljard jaar geleden, waarbij het metaal van het inslaande lichaam zich bij de kern van de Aarde voegde en de Maan vooral mantelgesteente verzamelde, vandaar haar kleine kern. Vergelijkbare inslagen kunnen een groot deel van de silicaatmantel van Mercurius hebben weggeslagen en er de ijzerrijke planeet van hebben gemaakt waarvan de kern het grootste deel ervan vult. De kernen leggen, net als de kraters, een geschiedenis van botsingen vast.

26.6 Oefeningen

Oefening 26.1 ★

Mercurius heeft een gemiddelde dichtheid van $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, een traagheidsmomentfactor van 0.35 en een straal van $2440\,\mathrm{km}$. Met een tweelagenmodel en een mantel van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, bereken de relatieve straal van de kern, de straal in kilometer en de dichtheid ervan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750$; $x^2 = (4750 - 3300)/(5429 - 3300) = 0.681$, $x = 0.825$, een kern van $0.825\times2440 = 2010\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3300 + 2129/0.825^3 = 7090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Oefening 26.2 ★

Een stenig projectiel met een diameter van $50\,\mathrm{m}$ en een dichtheid van $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, treft de Aarde loodrecht met $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken de massa en de kinetische energie ervan, in joule en in megaton explosief ($1\,\mathrm{Mt} = 4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$). Welke kraterdiameter volgt uit de regel van twintig projectieldiameters?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

$m = 3500\times\tfrac43\pi(25)^3 = 2.29 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$; $E = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12\times2.29 \times 10^{8}\times(2.0 \times 10^{4})^2 = 4.6 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$, of $4.6 \times 10^{16}/4.2 \times 10^{15} = 11\,\mathrm{Mt}$. De regel geeft een krater van $20\times50\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$.

Oefening 26.3 ★

Op een Marsvlakte van $100\,000\,\mathrm{km}^{2}$ zijn 120 kraters van $1\,\mathrm{km}$ en groter geteld. Bereken $N_1$, de relatieve fout ervan en de modelouderdom van de vlakte met de bijbehorende fout.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

$N_1 = 120/100\,000 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$, relatieve fout $1/\sqrt{120} = 9\,\%$. Op het lineaire deel, $T = N_1/c = 1.2 \times 10^{-3}/4.875 \times 10^{-4} = 2.46\,\mathrm{Ga}$ (de exponentiële term, $8 \times 10^{-7}$, is verwaarloosbaar), en $\sigma_T = T/\sqrt{120} = 0.22\,\mathrm{Ga}$.

Oefening 26.4 ★

Io, met een straal van $1821.5\,\mathrm{km}$, verliest $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Bereken zijn totale warmteverlies en vergelijk het met dat van de Aarde, $47\,\mathrm{TW}$, in totaal en per vierkante meter ($0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

Oppervlakte $4\pi(1.8215 \times 10^{6})^2 = 4.17 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$; vermogen $2.5\times 4.17 \times 10^{13} = 1.04 \times 10^{14}\,\mathrm{W} = 104\,\mathrm{TW}$, 2.2 keer het totale vermogen van de Aarde afkomstig van een oppervlak twaalf keer kleiner, en $2.5/0.092 = 27$ keer zijn flux.

Oefening 26.5 ★★

Mars heeft een massa van $6.417 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ en een straal van $3389.5\,\mathrm{km}$. (a) Bereken de gemiddelde dichtheid, de zwaartekracht aan het oppervlak en $\rho gR$. (b) Behandel het als een uniforme onsamendrukbare bol met een stijfheid van $67\,\mathrm{GPa}$, bereken het Lovegetal $k_2$. (c) De gemeten waarde is $0.153 \pm 0.017$. Wat zegt de vergelijking?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

(a) $\bar\rho = 6.417 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $g = GM/R^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$. (b) $19\mu/(2\rho gR) = 19\times6.7 \times 10^{10}/9.94 \times 10^{10} = 12.8$, $k_2 = 1.5/13.8 = 0.109$. (c) De gemeten waarde ligt 2.6 standaarddeviaties hoger: Mars geeft meer dan een vaste planeet met de starheid van een mantel, zoals het zou doen met een vloeibare kern erin.

Oefening 26.6 ★★

Op de Aarde ($g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) ligt de overgang van eenvoudig naar complex bij ongeveer $4\,\mathrm{km}$ in kristallijn gesteente en $2\,\mathrm{km}$ in sedimenten. (a) Neem aan dat de overgangsdiameter evenredig is met $1/g$; voorspel die op de Maan ($g = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) en op Mars en Mercurius ($g = 3.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$); vergelijk met de $20\,\mathrm{km}$ die op de Maan is waargenomen. (b) Als instorting begint wanneer $\rho gD/3$ de sterkte $Y$ van het gesteente overschrijdt, welke sterkte volgt dan uit de overgang in kristallijn gesteente op de Aarde, voor $\rho = 2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

(a) Maan: $4\times9.8/1.62 = 24\,\mathrm{km}$ in kristallijn gesteente, $12\,\mathrm{km}$ in sedimenten; Mars en Mercurius: $4\times9.8/3.7 = 10.6\,\mathrm{km}$ en $5.3\,\mathrm{km}$. De $20\,\mathrm{km}$ van de Maan ligt tussen zijn twee voorspellingen: de regel klopt binnen enkele tientallen procenten. (b) $Y = \rho gD/3 = 2600\times9.8\times4000/3 = 34\,\mathrm{MPa}$, de sterkte van gebarsten gesteente in plaats van die van een intact kristal.

Oefening 26.7 ★★

Een oppervlak bevat $2.0 \times 10^{-3}$ kraters van $1\,\mathrm{km}$ en groter per vierkante kilometer. Bepaal de modelouderdom met de kraterchronologiefunctie van Mars door de vergelijking numeriek op te lossen. Welke modelouderdom zou de maanfunctie hebben opgeleverd, en waarom mogen de twee niet worden verwisseld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

Mars: $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 2.0 \times 10^{-3}$; de lineaire schatting $4.1$ Ga is veel te oud, want de exponentiële term is daar groot; bisectie geeft $T = 3.34\,\mathrm{Ga}$ (exponentiële term $3.6 \times 10^{-4}$, lineaire term $1.63 \times 10^{-3}$). De lunaire functie geeft $2.39\,\mathrm{Ga}$. Elke functie is geijkt voor één hemellichaam: de snelheid van inslagen en de grootte van de kraters die een gegeven projectiel maakt, verschillen tussen de Maan en Mars.

Oefening 26.8 ★★

De omlooptijden van Io, Europa en Ganymedes zijn 1.769138, 3.551181 en $7.154\,553$ dagen. (a) Bereken de verhoudingen van opeenvolgende omlooptijden. (b) Bereken $1/P_I - 3/P_E + 2/P_G$ en geef commentaar. (c) Waarom kunnen resonanties een excentriciteit in stand houden die getijden anders zouden wegwerken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

(a) $3.551181/1.769138 = 2.0073$ en $7.154553/3.551181 = 2.0147$, dicht bij $2$. (b) $0.565247 - 0.844789 + 0.279542 = 0.000000$ per dag, tot op $1 \times 10^{-7}$: de drie gemiddelde bewegingen zijn vergrendeld, een resonantie die de relatieve posities van de manen bij elke conjunctie. (c) De trekkrachten herhalen zich op dezelfde punten van de baan, zodat ze optellen in plaats van uit te middelen; ze voeden de excentriciteit net zo snel aan als de getijden haar dempen.

Oefening 26.9 ★★

Io draait in $1.769\,138$ dagen om Jupiter met excentriciteit 0.004. Bereken het vermogen dat de propositie over getijdenvermogen geeft per eenheid $k_2/Q$, en de waarde van $k_2/Q$ die Io’s warmteverlies uit Oefening 26.4 zou leveren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

$n = 2\pi/(1.769138\times86400) = 4.111 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $nR = 74.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $(nR)^5/G = 3.53 \times 10^{19}\,\mathrm{W}$; $\tfrac{21}{2}e^2(nR)^5/G = 10.5\times1.6 \times 10^{-5}\times3.53 \times 10^{19} = 5.9 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ per eenheid van $k_2/Q$. Dan $k_2/Q = 1.04 \times 10^{14}/5.9 \times 10^{15} = 0.018$.

Oefening 26.10 ★★★

Voor de Maan geldt $\bar\rho = 3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $C = 0.394$. (a) Toon aan dat in het tweelagenmodel $\mathrm dx^2/\mathrm dC = \tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ bij vaste $\rho_m$. (b) Met de manteldichtheid die een kern van $x = 0.19$ geeft, $3288\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, wat zijn $x$ en $\rho_c$ wanneer $C = 0.395$, en wanneer $C = 0.393$? (c) Wat zegt dit over het bepalen van de grootte van een kleine kern met het traagheidsmoment?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.10.

(a) $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ is lineair in $C$, met helling $\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$. (b) De helling is $2.5\times3340/52 = 161$: $x^2$ verandert met $0.161$ bij $0.001$ van $C$. Voor $C = 0.395$, $x^2 = 0.036 + 0.161 = 0.197$, $x = 0.44$, $\rho_c = 3880\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; voor $C = 0.393$, $x^2 < 0$: helemaal geen kern. (c) Nabij $C = \tfrac25$ voelt het traagheidsmoment nauwelijks een kleine kern: zijn derde significante cijfer beslist tussen een grote, lichte kern en geen. Seismische golven, getijden en het magnetisch veld zijn nodig.

Oefening 26.11 ★★★

(a) Bereken voor 100 kraters de telfout van de modelouderdom van een marsoppervlak van $1.0\,\mathrm{Ga}$ oud en van een van $3.8\,\mathrm{Ga}$ oud. (b) Toon aan dat op het lineaire deel van de kraterchronologiefunctie $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. (c) Waarom zijn de ouderdommen van oude oppervlakken dan nog onzeker?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.11.

(a) $\sigma_T = N_1/(10\,N_1')$: bij $1.0\,\mathrm{Ga}$, $N_1 \approx N_1' \approx 4.875 \times 10^{-4}$, $\sigma_T = 0.10\,\mathrm{Ga}$; bij $3.8\,\mathrm{Ga}$, $N_1 = 1.07 \times 10^{-2}$ en $N_1' = 6.15 \times 10^{-2}$, $\sigma_T = 0.017\,\mathrm{Ga}$, zes keer kleiner. (b) Met $N_1 = cT$, $N_1' = c$ en $\sigma_T = cT/(\sqrt n\,c) = T/\sqrt n$. (c) De chronologiefunctie zelf is onzeker: ze berust op enkele gedateerde locaties op de Maan en op de schaling van de Maan naar Mars, fouten die geen telling kan wegnemen.

Oefening 26.12 ★★★

Europa, met een straal van $1560.8\,\mathrm{km}$, draait in $3.551\,181$ dagen met excentriciteit 0.009. (a) Neem aan dat Europa getijden dissipeert met dezelfde $k_2/Q$ als Io. Welk deel van Io’s getijdenvermogen zou het opwekken, en welke warmtestroom? (b) Waarom is de aanname twijfelachtig voor een maan met een ondergrondse oceaan onder het ijs?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.12.

(a) De verhouding is $(n_ER_E/n_IR_I)^5(e_E/e_I)^2 = (0.4982\times0.8569)^5 \times(0.009/0.004)^2 = 0.0142\times5.06 = 0.072$: ongeveer $7.5 \times 10^{12}\,\mathrm{W}$, of $7.5 \times 10^{12}/(4\pi(1.5608 \times 10^{6})^2) = 0.24\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Een oceaan ontkoppelt de ijsschil van de binnenkant: de schil buigt veel meer dan een vaste maan zou doen, en het ijs dissipeert anders dan het hete gesteente van Io, dus $k_2$ en $Q$ veranderen beide.

26.7 Probleem: Twee vlakten op Mars

Probleem 26.1

Weekendprobleem — de kern van Mars en de ouderdommen van twee verzonnen lavavlakten

Mars heeft een massa van $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, een straal van $3389.5\,\mathrm{km}$ en een traagheidsmomentfactor van 0.366. Twee verzonnen vlakten, A en B, liggen op zijn vulkanische provincies; hun kraters zijn geteld op beelden in klassen van $\sqrt2$ breed.

Deel I — De kern.

1. Bereken de gemiddelde dichtheid van Mars.
2. Bereken met een tweelagenmodel en een mantel van $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ de relatieve straal van de kern, de straal in kilometers en de dichtheid ervan.
3. InSight mat een kernstraal van $1830\,\mathrm{km}$. Welke manteldichtheid en kerndichtheid vereist het tweelagenmodel dan?
4. Vergelijk die kerndichtheid met de dichtheid van de buitenkern van de Aarde vlak onder de bovenkant, $9900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ in het referentiemodel van de aarde, en zeg waarom voor Mars een lagere waarde wordt verwacht, en wat het verder suggereert.
5. Het Lovegetal van Mars voor een homogene bol met een stijfheid van $67\,\mathrm{GPa}$ is 0.109; het gemeten is 0.153. Welke waarneming kwam eerst, en wat zei die al over de kern?
6. De korst van Mars is 20 tot $37\,\mathrm{km}$ dik. Welk deel van het volume van de planeet beslaat ze? Was het juist om haar te negeren?

Deel II — De tellingen op vlakte A. Vlakte A beslaat $80\,000\,\mathrm{km}^{2}$. De kraters, per klasse van diameter (km):

klasse	1–1.41	1.41–2	2–2.83	2.83–4	4–5.66	5.66–8	8–11.3	11.3–16	16–22.6
vlakte A	38	6	5	3	0	0	0	1	1
vlakte B	48	8	31	12	7	2	0	2	2

7. Bereken de cumulatieve tellingen van vlakte A, vanaf $1\,\mathrm{km}$ omhoog.
8. Bereken $N(1\,\mathrm{km})$ per vierkante kilometer en de bijbehorende standaarddeviatie.
9. De productiefunctie geeft $F(2\,\mathrm{km}) = 0.147$ en $F(1.41\,\mathrm{km}) = 0.355$. Zijn de tellingen bij 1.41 en $2\,\mathrm{km}$ in overeenstemming met de vorm van de productiefunctie?
10. Ligt vlakte A ergens in de buurt van de evenwichtsdichtheid van kraters, $0.072\,\mathrm{km}^{-2}$ bij $1\,\mathrm{km}$?
11. Waarom zijn de klassen gekozen met een breedte van $\sqrt2$?
12. Clusters en kettingen van kleine kraters worden buiten een telling gelaten. Waarom?

Deel III — Modelouderdommen. Gebruik de chronologiefunctie van Mars.

13. Bereken de modelouderdom van vlakte A. Controleer dat de exponentiële term verwaarloosd mag worden.
14. Bereken de telfout daarvan.
15. Welke ouderdom zou de maankronologie hebben opgeleverd?
16. Vlakte B beslaat $120\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Bereken met de kraters van $2\,\mathrm{km}$ en groter eerst $N(2\,\mathrm{km})$, dan $N_1$ en daarna de modelouderdom door de vergelijking numeriek op te lossen.
17. Bereken de telfout van die ouderdom.
18. Vergelijk de relatieve fouten van de twee ouderdommen en verklaar het verschil.

Deel IV — De begraven kraters van vlakte B.

19. Hoeveel kraters tussen 1 en $2\,\mathrm{km}$ zou vlakte B moeten bevatten als het hele oppervlak de ouderdom van vraag 16 had? Hoeveel bevat zij er werkelijk?
20. Neem aan dat lava elke krater kleiner dan $2\,\mathrm{km}$ begroef op een moment $T_r$ en de grotere spaarde. Bereken $T_r$ uit de kraters van $1$–$2\,\mathrm{km}$.
21. Bereken de telfout van $T_r$.
22. Neem aan dat een verse eenvoudige krater op Mars half zo diep is als hij breed is (een aanname van dit vraagstuk). Hoe dik moet de lava zijn om een krater van $2\,\mathrm{km}$ te begraven, en waarom zijn de grotere nog zichtbaar?
23. Kunnen de lava van vlakte B en die van vlakte A tot dezelfde episode van vulkanisme behoren?
24. Geef de modelouderdom van vlakte A, in miljard jaar, met twee significante cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 26.1.

1. $\bar\rho = 6.4169 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $\tfrac52C\bar\rho = 3600$; $x^2 = (3600 - 3500)/(3934 - 3500) = 0.230$, $x = 0.479$, een kern van $1620\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3500 + 434/0.479^3 = 7450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

3. $x = 1830/3389.5 = 0.540$; $\rho_m = (3600 - 0.2915\times 3934)/(1 - 0.2915) = 3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_c = 3462 + 472/0.1574 = 6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

4. Het is een derde lager. De druk in de kern van Mars is veel lager dan in die van de Aarde, dus het metaal is minder samengedrukt; en een zo lichte kern wijst op veel lichtere elementen, gemengd met het ijzer.

5. Het Lovegetal (2003) dateert ruim vóór InSight (2021): het toonde al aan dat ten minste de buitenkern vloeibaar is en plaatste de straal tussen $1520\,\mathrm{km}$ en $1840\,\mathrm{km}$, een bereik dat de seismologische waarde bevat.

6. $1 - (1 - 20/3389.5)^3 = 1.8\,\%$ tot $1 - (1 - 37/3389.5)^3 = 3.2\,\%$ van het volume, en minder van de massa: lichter dan de mantel verlaagt het de effectieve manteldichtheid een beetje, een effect dat kleiner is dan de onzekerheid van het model.

7. Vanaf $1\,\mathrm{km}$: 54; vanaf 1.41: 16; vanaf 2: 10; vanaf 2.83: 5; vanaf 4, 5.66, 8 en 11.3: 2; vanaf 16: 1.

8. $N = 54/80000 = 6.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $\sigma = \sqrt{54}/80000 = 0.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ($14\,\%$).

9. Verwacht $54\times0.355 = 19$ kraters vanaf $1.41\,\mathrm{km}$ en $54\times0.147 = 7.9$ vanaf $2\,\mathrm{km}$; geteld 16 en 10, binnen één standaarddeviatie ($\sqrt{19} = 4.4$, $\sqrt{7.9} = 2.8$): consistent.

10. Nee: $0.072/6.75 \times 10^{-4} = 107$ keer lager dan dat. De telling registreert tijd.

11. Klassen van gelijke breedte in $\log D$ bestrijken het bereik gelijkmatig en houden vergelijkbare aantallen kraters in de klassen van een steile verdeling.

12. Het zijn secundaire kraters, gevormd door blokken die uit een grote primaire krater zijn weggeslingerd: geen onafhankelijke inslagen uit de ruimte; ze zouden kraters toevoegen die de kraterchronologiefunctie niet telt.

13. $T = 6.75 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.385\,\mathrm{Ga}$; de exponentiële term, $3.22 \times 10^{-14}(e^{9.6} - 1) = 4.7 \times 10^{-10}$, is een miljoenste van $N_1$.

14. $\sigma_T = T/\sqrt{54} = 0.19\,\mathrm{Ga}$: $1.38 \pm 0.19$ Ga.

15. $6.75 \times 10^{-4}/8.38 \times 10^{-4} = 0.81\,\mathrm{Ga}$, het is bijna de helft jonger.

16. $31 + 12 + 7 + 2 + 0 + 2 + 2 = 56$ kraters; $N(2\,\mathrm{km}) = 56/120000 = 4.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$; $N_1 = 4.67 \times 10^{-4}/0.1473 = 3.17 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$. Bisectie op $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 3.17 \times 10^{-3}$ geeft $T = 3.54\,\mathrm{Ga}$ (exponentiële term $1.45 \times 10^{-3}$, lineaire term $1.73 \times 10^{-3}$).

17. $N_1' = 3.22 \times 10^{-14}\times6.93\,e^{6.93\times3.54} + 4.875 \times 10^{-4} = 1.05 \times 10^{-2}$; $\sigma_T = 3.17 \times 10^{-3}/(\sqrt{56}\times 1.05 \times 10^{-2}) = 0.040\,\mathrm{Ga}$.

18. Vlak A: $14\,\%$; vlak B: $1.1\,\%$. In het steile, vroege deel van de chronologie betekent een grote verandering van de kraterdichtheid een kleine verandering van de ouderdom; op het lineaire deel is de ouderdom even onzeker als de telling.

19. $120000\times3.17 \times 10^{-3}\times(1 - 0.1473) = 324$; het draagt $48 + 8 = 56$.

20. $N_1 = 56/(120000\times0.8527) = 5.47 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $T_r = 5.47 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.12\,\mathrm{Ga}$.

21. $\sigma = 1.12/\sqrt{56} = 0.15\,\mathrm{Ga}$.

22. Een krater van $2\,\mathrm{km}$ is $400\,\mathrm{m}$ diep: de lava was ten minste zo dik. Grotere kraters zijn dieper en hun randen steken hoger uit; ze zijn deels opgevuld en nog zichtbaar.

23. $1.38 \pm 0.19$ en $1.12 \pm 0.15$ Ga verschillen $0.26\,\mathrm{Ga}$, ongeveer één gecombineerde standaarddeviatie ($\sqrt{0.19^2 + 0.15^2} = 0.24$): de tellingen laten één episode toe, al bewijzen ze die niet.

24. De jonge lavavlakte A heeft een modelouderdom van 1.4 miljard jaar ($1.38 \pm 0.19$ Ga).