30Waar de elementen vandaan komen

Het calcium van een kalksteenklif is grotendeels gemaakt in massieve sterren die explodeerden voordat de Zon was geboren. Het ijzer van de kern van de Aarde komt vooral uit een andere soort explosie, die van een witte dwerg. Het platina van een ring hoort bij een abundantiepiek die is opgebouwd door uitbarstingen van neutronenvangsten die seconden duren, in samensmeltingen van twee neutronensterren of in een zeldzame soort supernova; welke van de twee het grootste deel ervan maakte, is nog steeds omstreden. Elk van deze gebeurtenissen heeft zijn sporen nagelaten in de samenstelling van de Zon, die, op de paar elementen na die de planeten niet konden vasthouden, ook de samenstelling van het Zonnestelsel is. Dit hoofdstuk leest dat verslag: het zet de zonneabundanties uiteen, herinnert eraan hoe de lichte elementen zijn ontstaan, volgt de neutronenvangsten die de zware elementen opbouwden, zoekt de plaatsen waar elk proces plaatsvindt, en modelleert hoe de samenstelling van een sterrenstelsel verandert naarmate zijn sterren leven en sterven. Het eindigt waar de geologie van de eerdere delen begint: waarom de Aarde, gemaakt van hetzelfde materiaal als de Zon, zo rijk is aan ijzer en zo arm aan vluchtige elementen.

Wat je al weet

Nucleosynthese van de oerknal, de fusie van waterstof en helium in sterren, de bindingsenergie per nucleon en het maximum daarvan nabij ijzer, het dal van de stabiliteit, bètaverval en halveringstijden, de werkzame doorsnede van een reactie, hoofdreekssterren, rode reuzen, witte dwergen, neutronensterren en supernova’s staan in de natuurkundeboeken. De meteorietklassen, de CI-chondrieten, de condensatietemperatuur, refractaire en vluchtige elementen, de Goldschmidtklassen en de bulksilicaataarde worden behandeld in Boek 4, in de hoofdstukken over de vorming van de planeten en over de elementen in de Aarde. De structuur van de Melkweg, de dunne en dikke schijf, de halo en de sterpopulaties staan in het vorige hoofdstuk.

30.1 De zonneabundanties

De Zon bevat meer dan $99.85\,\%$ van de massa van het Zonnestelsel, en haar buitenlagen hebben de samenstelling behouden, op een paar lichte elementen en een langzame bezinking van de zware na, van het gas waaruit de Zon en de planeten zijn gevormd. Men leest de samenstelling op twee manieren af: uit de absorptielijnen van haar fotosfeer, en uit de CI-chondrieten, de meteorieten waarvan de samenstelling, behalve voor de meest vluchtige elementen, van alle bekende materialen het dichtst bij die van de Zon ligt.

Definitie 30.1 (Zonneabundantie; dex)

De zonneabundantie van een element $X$ is het aantal van zijn atomen ten opzichte van die van waterstof in de Zon, uitgedrukt op een logaritmische schaal waarop waterstof op $12$ wordt gesteld:

$$\log\varepsilon(X) = 12 + \log_{10}\frac{N_X}{N_\mathrm{H}} .$$

Een verschil van één eenheid in zo’n logaritme heet een dex: twee abundanties die $0.3$ dex van elkaar verschillen, verschillen met een factor $10^{0.3} \approx 2$. Voor een ster wordt de abundantie ten opzichte van de Zon met haakjes geschreven, $[X/\mathrm{H}] = \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\star - \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\odot$, en evenzo $[X/Y]$ voor elke twee elementen.

De onderstaande figuur toont de zonneabundanties van de recente compilatie die alle 83 langlevende elementen opnieuw beoordeelt. IJzer, met $\log\varepsilon = 7.46$, heeft één atoom op elke $34\,700$ atomen waterstof; helium heeft $0.0820$ atomen per waterstofatoom. Enkele kenmerken vallen op, en de rest van dit hoofdstuk verklaart ze.

1. Waterstof en helium vormen bijna alle atomen, duizend keer meer dan alle andere samen; beide ontstonden bij de Oerknal, en een deel van het helium sindsdien in sterren.
2. Lithium, beryllium en boor, net na helium, liggen ver onder koolstof: beryllium komt $12$ miljoen keer minder voor.
3. De abundanties dalen steil van zuurstof naar de zware elementen, met pieken rond zuurstof, rond ijzer, rond barium en rond lood, en kleinere pieken die de figuur aangeeft.
4. Elementen met een even atoomgetal komen meer voor dan hun oneven buren: scandium, tussen calcium en titanium, is ongeveer $1400$ keer zeldzamer dan calcium en $68$ keer zeldzamer dan titanium. Dit is het even-oneven-effect.
5. Voorbij de ijzerpiek vlakt de curve af: van ijzer naar goud daalt de abundantie met een factor $3.5 \times 10^{6}$, maar van goud naar lood stijgt ze weer, met een factor elf.

Op massabasis is de huidige fotosfeer $X = 0.7438$ waterstof, $Y = 0.2423$ helium en $Z = 0.0139$ van al het overige. Gecorrigeerd voor de zware elementen die sinds de vorming van de Zon onder de fotosfeer zijn bezonken, zijn de protosolaire waarden, die van het gas waaruit de Zon ontstond, $X = 0.7121$, $Y = 0.2725$ en $Z = 0.0154$.

Definitie 30.2 (Metalliciteit)

De metalliciteit van een ster of van een gas is het gehalte aan elementen zwaarder dan helium, in de astronomie metalen genoemd, ongeacht hun chemie: als massafractie $Z$, of, zoals het meestal wordt gemeten, als de ijzerabundantie ten opzichte van de Zon, $[\mathrm{Fe/H}]$. Een ster met $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ heeft per waterstofatoom een tiende van het ijzer van de Zon.

De twee bronnen van de zonneabundanties komen opvallend goed overeen. De figuur hieronder vergelijkt ze element voor element. Voor 58 elementen, die niet te vluchtig zijn voor de meteorieten en niet in de Zon zijn vernietigd, is het gewogen gemiddelde verschil tussen de fotosferische en de CI-abundantie $0.000 \pm 0.007$ dex. Twee groepen vallen buiten de lijn. De meteorieten bevatten veel minder waterstof, helium, koolstof, stikstof, zuurstof en edelgassen dan de Zon: deze elementen bleven in het gas toen de vaste stoffen condenseerden. De Zon bevat $200$ keer minder lithium dan de meteorieten: ze heeft $99.5\,\%$ van haar lithium door kernverbranding vernietigd.

De overeenstemming is een feit van groot gewicht voor de geologie. Ze betekent dat de meteorieten, die in het laboratorium kunnen worden geanalyseerd, de samenstelling van het Zonnestelsel geven voor alle elementen behalve de meest vluchtige; en dat de Zon, waarvan de fotosfeer waterstof, koolstof, stikstof en zuurstof geeft, vult de rest aan. Het tweede jaar bouwde op dat fundament de samenstelling van de bulk-Aarde op.

30.2 De lichte elementen en de sterren

De natuurkundeboeken beschrijven de nucleosynthese van de Oerknal: in de eerste drie minuten, terwijl het heelal afkoelde, verbonden protonen en neutronen zich tot deuterium, helium-3, helium-4 en een spoor lithium-7, en tot niets zwaarder. De waargenomen primordiale abundanties zijn een heliummassafractie $Y_\mathrm{p} = 0.245 \pm 0.003$, een deuterium-tot-waterstofverhouding van $2.5 \times 10^{-5}$ en een lithium-tot-waterstofverhouding van $1.45 \times 10^{-10}$, de laatste gemeten in oude metaalarme sterren van de galactische halo. Alle andere elementen, en het overschot aan helium in de Zon, $0.2725 - 0.245 \approx 0.028$, zijn in sterren gevormd.

De sterren uit de natuurkundeboeken verbranden waterstof tot helium op de hoofdreeks, daarna helium tot koolstof en zuurstof als rode reuzen; de zwaarste gaan verder, in schillen rond hun kern, tot neon, magnesium, silicium en tenslotte ijzer. Bij ijzer houdt de fusie op, omdat de bindingsenergie per nucleon daar het grootst is: het opbouwen van zwaardere kernen door fusie kost energie in plaats van dat het er oplevert. Voorbij de ijzerpiek worden de elementen op een andere manier gevormd, door het vangen van neutronen, het onderwerp van de volgende paragraaf. Lithium, beryllium en boor zijn broos: ze worden vernietigd bij de temperaturen in het inwendige van sterren, waarom de Zon bijna al haar lithium heeft verbrand en waarom de drie elementen een dal vormen in de abundantiecurve.

Definitie 30.3 (Alfa-element)

Een alfa-element is een van de elementen met een even $Z$ zuurstof, neon, magnesium, silicium, zwavel en calcium, waarvan de meest voorkomende isotopen ($^{16}\mathrm{O}$, $^{20}\mathrm{Ne}$, $^{24}\mathrm{Mg}$, $^{28}\mathrm{Si}$, $^{32}\mathrm{S}$, $^{40}\mathrm{Ca}$) massagetallen hebben die een veelvoud van vier zijn, en die vooral in massieve sterren worden gevormd en via hun explosie als kernineenstortingssupernova’s aan het gas worden teruggegeven.

De pieken van zuurstof en van de alfa-elementen, en het oneven-even-effect, zijn de kenmerken van deze brandfasen: heliumkernen worden gemakkelijker in de even kernen ingebouwd dan in de oneven, en kernen met een even aantal protonen zijn steviger gebonden. Wat een ster aan het gas teruggeeft hangt af van zijn massa.

Definitie 30.4 (Stellaire opbrengst)

De stellaire opbrengst van een element van een ster met een gegeven beginmassa is de massa van dat element die de ster nieuw heeft gevormd en teruggeeft aan het interstellaire gas, in winden en in zijn uiteindelijke explosie, als fractie van de massa van de ster.

Sterren van minder dan $0.8\,\mathrm{M}_{\odot}$ leven langer dan de ouderdom van het heelal en geven niets terug. Sterren van $0.8$ tot $8\,\mathrm{M}_{\odot}$ geven helium, stikstof, koolstof en de zware elementen van het s-proces (barium, yttrium, strontium) via hun winden terug, en eindigen als koolstof-zuurstof witte dwergen. Sterren van meer dan $8$ tot $10\,\mathrm{M}_{\odot}$ maken vooral de alfa-elementen en wat ijzer, en exploderen als kernineenstortingssupernova’s. Een witte dwerg in een nauwe dubbelster kan exploderen als Type Ia supernova, en zulke explosies leveren het grootste deel van het ijzer.

30.3 Neutronenvangsten

Een neutron heeft geen elektrische lading en wordt niet afgestoten door een kern: zelfs een langzaam neutron dringt er binnen, en de kern, één massa-eenheid zwaarder, geeft de bindingsenergie af als gammastraling. Herhaalde vangsten maken zwaardere isotopen van hetzelfde element, totdat er één onstabiel is; die vervalt dan, meestal door bètaminusverval in het volgende element, dat op zijn beurt vangt. Welke kernen er ontstaan, hangt af van één vergelijking: de tijd tussen twee vangsten, afgezet tegen de halveringstijd van de onstabiele kernen die onderweg worden tegengekomen.

Definitie 30.5 (Neutronenvangst; s-proces; r-proces)

Neutronenvangst is de opname van een vrij neutron door een kern, $(Z, A) + \mathrm{n} \to (Z, A+1) + \gamma$. In het s-proces (langzaam) zijn de vangsten trager dan de meeste bètavervallen: de tijd tussen twee vangsten aan één kern is honderden tot duizenden jaren, zodat een onstabiele kern bijna altijd vervalt voordat hij kan vangen, en de keten van vangsten en vervallen volgt het stabiliteitsdal. In het r-proces (snel), is de neutronendichtheid zo hoog dat de vangsten veel sneller verlopen dan het verval: de kernen worden gedreven naar zeer neutronenrijke isotopen, ver van de stabiliteit, in enkele seconden, en vervallen terug naar de stabiliteit zodra de neutronen op zijn.

De twee processen bereiken verschillende kernen, en de nuclidenkaart laat zien welke. De figuur hieronder toont een strook daarvan, van cadmium tot barium. Het s-proces klimt erlangs het stabiliteitsdal: langs een rij van een element zolang de isotopen stabiel zijn, en dan één rij omhoog door een bètaverval. Het r-proces komt van de neutronenrijke kant, rechtsonder: elke zeer neutronenrijke kern vervalt door opeenvolgende bètaminusvervallen langs zijn isobaar, met behoud van zijn massagetal, en stopt bij de eerste stabiele kern die hij tegenkomt. Een stabiele kern die een stabiele isobaar met een lagere $Z$ heeft, is afgeschermd tegen het r-proces: $^{122}\mathrm{Te}$ ligt achter $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Te}$ achter $^{123}\mathrm{Sb}$, $^{124}\mathrm{Te}$ achter $^{124}\mathrm{Sn}$. Die drie kunnen alleen door het s-proces worden gevormd: ze zijn alleen-s. Omgekeerd liggen $^{128}\mathrm{Te}$ en $^{130}\mathrm{Te}$ voorbij het s-pad, waardoor telluur alleen overblijft bij $^{127}\mathrm{Te}$, waarvan de halveringstijd $9.35\,\mathrm{h}$ is: die zijn alleen-r.

Een derde groep, de oranje vierkanten, wordt door geen van beide processen bereikt: de protonrijke isotopen zoals $^{112}\mathrm{Sn}$, $^{120}\mathrm{Te}$ of $^{124}\mathrm{Xe}$.

Definitie 30.6 (p-kernen)

De p-kernen zijn de stabiele isotopen aan de protonrijke kant van het stabiliteitsdal, voorbij de ijzerpiek, die noch het s- noch het r-proces kan maken: ze zijn afgeschermd tegen het r-proces door een stabiele isobaar met lager $Z$ en liggen buiten het s-pad. Ze worden toegeschreven aan een afzonderlijk p-proces, waarschijnlijk in supernova-explosies, en op enkele uitzonderingen na is hun overvloed veel kleiner dan die van de naburige s- en r-isotopen.

De regel die de kaart leest, toegepast op alle 287 nuclides van de protosolaire tabel voorbij zink, levert 30 alleen-s-nuclides, 29 alleen-r-nuclides en 36 p-kernen op. Eén van deze p-kernen, $^{176}\mathrm{Hf}$, wordt in feite door het s-proces bereikt via een langlevende aangeslagen toestand van $^{176}\mathrm{Lu}$ die de eenvoudige regel negeert; de overige 35 zijn de p-kernen uit de literatuur.

Het s-proces kan kwantitatief worden gevolgd, omdat zijn nuclides dicht bij de stabiliteit liggen en hun vangstdoorsneden gemeten kunnen worden. In een stellair plasma bij temperatuur $T$ zijn de neutronen thermisch, en wat telt is de doorsnede gemiddeld over hun Maxwell–Boltzmann- verdeling, $\langle\sigma\rangle$, opgegeven voor een thermische energie $kT = 30\,\mathrm{keV}$.

Propositie 30.7 (De $\sigma N$-relatie)

Op een traject van het s-pad waar elke kern stabiel is en de neutronendichtheid $n_\mathrm{n}$ en temperatuur constant zijn, zij $N_A$ de overvloed van de kern met massagetal $A$ en $\langle\sigma\rangle_A$ haar gemiddelde doorsnede. Als de neutronenstroom een stationaire toestand heeft bereikt, dan geldt

$$\langle\sigma\rangle_{A-1} N_{A-1} = \langle\sigma\rangle_A N_A ,$$

zodat het product $\sigma N$ voor elke kern van het traject hetzelfde is.

De drie alleen-s-isotopen van tellurium toetsen dit. Hun protosolaire overvloed bedraagt $0.1067$, $0.0373$ en $0.1984$ atomen per miljoen siliciumatomen, en hun doorsneden $295$, $832$ en $155\,\mathrm{mb}$: de producten zijn $31.5$, $31.0$ en $30.8\,\mathrm{mb}$, gelijk binnen drie procent, hoewel de overvloeden een factor vijf verschillen. Over een neutronenmagisch getal breekt de relatie: kernen met $N = 50$, $82$ of $126$ zijn zo sterk gebonden dat ze slecht vangen, $\langle\sigma\rangle = 4.0\,\mathrm{mb}$ voor $^{138}\mathrm{Ba}$ tegenover $61.2\,\mathrm{mb}$ voor $^{136}\mathrm{Ba}$, en ze werken als flessenhalzen. De figuur hieronder toont het product voor alle alleen-s-nuclides: vlakke plateaus gescheiden door sprongen nabij $A = 88$, $140$ en $208$.

De lijn in de figuur is het klassieke model van het s-proces: een kleine fractie $G$ van het ijzer-56 wordt aan neutronen blootgesteld, waarbij de blootstellingen exponentieel verdeeld zijn rond een gemiddelde $\tau_0$, en de stroom wordt kern voor kern gevolgd met de gemeten werkzame doorsneden. De fit op 22 uitsluitend-s-kernen zwaarder dan $A = 90$ (met weglating van $^{176}\mathrm{Lu}$, dat vervalt, en $^{187}\mathrm{Os}$, dat gevoed wordt door het verval van $^{187}\mathrm{Re}$) levert $\tau_0 = 0.31\,\mathrm{mb}^{-1}$ en $G = 0.054\,\%$ van het zonne-ijzer-56, dicht bij de $0.04\,\%$ uit de gedetailleerde analyses, waarin elke zaadkern gemiddeld ongeveer vijftien neutronen opvangt. De lichtste uitsluitend-s-kernen, germanium-70 en seleen-76, liggen ver boven de lijn: zij hebben een tweede, zwakke component nodig, gemaakt in zware sterren.

Waar een onstabiele kern op het pad ongeveer even lang leeft als de tijd tussen twee invangsten, splitst de stroom zich: een deel vervalt, een deel vangt in. Zulke vertakkingen treden op bij $^{79}\mathrm{Se}$, $^{85}\mathrm{Kr}$, $^{134}\mathrm{Cs}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ en $^{151}\mathrm{Sm}$, onder andere. Een vertakking laat een deel van de stroom een kern omzeilen: van de twee uitsluitend-s-isotopen van samarium ontvangt $^{150}\mathrm{Sm}$ de volledige stroom, en $^{148}\mathrm{Sm}$ alleen het deel dat langs de vertakking bij massa 147 ging, en de verhouding van hun $\sigma N$, $0.87$, meet dat aandeel. Omdat het aandeel afhangt van de neutronendichtheid en de temperatuur, zijn de vertakkingen thermometers en densimeters van de sterren waar het s-proces plaatsvond.

In het laboratorium — Een invangstdoorsnede meten

Om de gemiddelde doorsneden te meten die het s-proces nodig heeft, reproduceren natuurkundigen bij een versneller een stellair neutronenspectrum. Protonen die op een lithiumdoelwit botsen, maken neutronen via de reactie $^{7}\mathrm{Li}(\mathrm{p},\mathrm{n})^{7}\mathrm{Be}$, waarvan het spectrum een thermisch spectrum nabootst bij $kT = 25\,\mathrm{keV}$, dicht bij de $23\,\mathrm{keV}$ van de heliumschilflitsen van een rode reus. Het monster zit direct tegen het doelwit, in de sterkste flux, en na de bestraling worden de gammastralen van de nieuw gevormde radioactieve kernen geteld: deze activeringsmethode werkt met monsters van minder dan een microgram. Waar het product stabiel is, worden de neutronen in pulsen verzonden en over een vliegbaan gemeten om hun energie te bepalen, en een bol van bariumfluoridekristallen rond het monster registreert de gammastralingscascade van elke invangst.

Geschiedenis — Technetium in rode reuzen

In 1952 vond P. W. Merrill de lijnen van technetium in de spectra van rode reuzen van spectraaltype S. Technetium heeft geen stabiele isotoop; de isotoop die door het s-proces gemaakt wordt, $^{99}\mathrm{Tc}$, heeft een halveringstijd van $211\,000$ jaar, veel korter dan de levensduur die deze sterren hadden. Het technetium moest binnen de sterren en recent gevormd zijn. Het was het eerste directe bewijs dat sterren elementen maken. In 1957 formuleerden E. M. en G. R. Burbidge, W. A. Fowler en F. Hoyle, en onafhankelijk A. G. W. Cameron, het klassieke model van het s-proces.

Het r-proces laat zijn eigen pieken achter. Het pad loopt dicht langs de neutronendruiplijn, de grens waarachter een kern geen extra neutron meer kan vasthouden, en de stroom wacht bij de kernen met gesloten neutronenschillen, $N = 50$, $82$ en $126$, totdat ze bètaverval ondergaan. Deze wachtpunten hopen materiaal op; na de laatste vervallen tot stabiliteit liggen de hopen bij massagetallen die enkele eenheden lager zijn dan de s-procespieken bij dezelfde magische getallen, die uit stabiele kernen bestaan: nabij $A = 130$ (telluur en xenon) en $A = 195$ (platina), tegenover $A = 138$ en $208$ voor de s-pieken van barium en lood. De abundantiecurve toont beide reeksen pieken naast elkaar. Het r-proces maakt ongeveer de helft van de zware elementen, het s-proces de andere helft.

30.4 Waar de processen plaatsvinden

Het belangrijkste s-proces vindt plaats in rode reuzen tot ongeveer drie zonsmassa’s, tegen het eind van hun leven, als sterren op de asymptotische reuzentak. Tussen de flitsen van heliumverbranding in een schil rond hun kernen vormt zich een dunne laag rijk aan koolstof-13; bij ongeveer $9 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ geeft de reactie $^{13}\mathrm{C}(\alpha,\mathrm{n})^{16}\mathrm{O}$ gedurende enkele tienduizend jaar neutronen vrij, bij dichtheden van $10^6$ tot $10^{8}$ neutronen $\mathrm{cm}^{-3}$. Tijdens de flitsen zelf, boven $2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}$, levert $^{22}\mathrm{Ne}(\alpha,\mathrm{n})^{25}\mathrm{Mg}$ een uitbarsting van enkele jaren bij maximaal $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. De producten worden naar het oppervlak meegevoerd, waar technetium waargenomen wordt, en weggeblazen door de sterrenwind. Het zwakke s-proces, dat de uitsluitend-s-kernen lichter dan $A = 90$ maakt, vindt plaats in zware sterren tijdens hun heliumverbranding en koolstofverbranding.

Kernval-supernova’s, het einde van sterren boven acht tot tien zonsmassa’s, leveren de alfa-elementen en een deel van het ijzer kort na de geboorte van de sterren, omdat zware sterren korte levens hebben. Type Ia-supernova’s, witte dwergen die in dubbelsterren ontploffen, leveren het grootste deel van het ijzer, maar pas na een vertraging: de witte dwerg moet eerst ontstaan uit een ster van minder dan acht zonsmassa’s, en dan ofwel materie van een metgezel verzamelen tot hij de Chandrasekhar-massa bereikt, ongeveer $1.44\,\mathrm{M}_{\odot}$, ofwel samensmelten met een tweede witte dwerg. Het r-proces heeft een veel extremere plaats nodig.

Definitie 30.8 (Samensmelting van neutronensterren; kilonova)

Een samensmelting van neutronensterren is de samensmelting van twee neutronensterren in een nauwe dubbelster, waarvan de baan is gekrompen door de uitstraling van gravitatiegolven. Een deel van de neutronenrijke materie wordt weggeslingerd. Een kilonova is de voorbijgaande gloed van dat ejecta, verhit door het radioactieve verval van de vers gevormde r-proceskernen, die dagen aanhoudt.

Op 17 augustus 2017 registreerden de detectoren voor gravitatiegolven de spiraalbeweging van twee neutronensterren, GW170817, op een afstand van ongeveer $40\,\mathrm{Mpc}$: twee objecten van $1.17$ tot $1.60\,\mathrm{M}_{\odot}$, samen $2.74\,\mathrm{M}_{\odot}$. Een gammaflits kwam $1.7\,\mathrm{s}$ na de samensmelting aan. Minder dan elf uur later vonden telescopen een nieuw lichtpunt in het sterrenstelsel NGC 4993 (figuur hieronder). De ultravioletgloed doofde binnen twee dagen, en in de loop van tien dagen werd het licht rood en infrarood. De modellen van die evolutie hebben verschillende componenten van ejecta nodig, de roodste rijk aan de lanthaniden, zware r-proceselementen waarvan het dichte woud van lijnen het ejecta ondoorzichtig maakt. De totale uitgestoten massa wordt geschat op $0.03$ tot $0.08\,\mathrm{M}_{\odot}$: het eerste directe bewijs dat samensmeltingen van neutronensterren r-proceselementen maken.

Cijfers van 2021

Of samensmeltingen van neutronensterren het grootste deel van de r-proceselementen van de Melkweg maken, is niet vastgesteld. Samensmeltingen moeten wachten tot hun dubbelsterbanen door uitzending van zwaartekrachtgolven krimpen, en modellen van de evolutie van de Melkweg waarin zij de enige bron zijn maken de r-proceselementen te laat om te verklaren wat men ziet in de oudste, meest metaalarme sterren. Zeldzame soorten kernineenstortingssupernova’s, met snelle rotatie en sterke magneetvelden, en de ineenstorting van zeer zware sterren zijn de andere kandidaten; één model van de Melkweg verklaart het waargenomen europium als ongeveer drie procent van de hypernova’s van $25$ tot $50\,\mathrm{M}_{\odot}$ van het magnetisch aangedreven type zijn.

30.5 De chemische evolutie van de Melkweg

Elke generatie sterren geeft een deel van wat ze heeft gemaakt terug aan het gas, en de volgende generatie vormt zich uit dat verrijkte gas. De samenstelling van een ster legt daarom de samenstelling van het gas op het moment van haar geboorte vast, en de sterren van een sterrenstelsel, gerangschikt naar ouderdom, leggen zijn geschiedenis vast.

Definitie 30.9 (Galactische chemische evolutie)

galactische chemische evolutie is de verandering van de samenstelling van het gas en van de sterren van een sterrenstelsel in de tijd, onder de gecombineerde werking van stervorming, de stellaire opbrengsten, de levensduur van de sterren en het gas dat het sterrenstelsel instroomt of eruit wordt gedreven; en de bestudering van die verandering met modellen die worden vergeleken met de abundanties van sterren van bekende ouderdom.

Het eenvoudigste model behandelt een gebied van een sterrenstelsel als één goed gemengde doos gas dat langzaam in sterren overgaat. Laat $s$ de massa zijn die is vastgelegd in langlevende sterren en in stellaire overblijfselen, $M_\mathrm{g}$ de massa van het gas, $M = M_\mathrm{g} + s$ het totaal. De opbrengst per stellaire generatie $y$ is de massa nieuwe metalen die een generatie sterren per eenheid vastgelegde massa aan het gas teruggeeft.

Stelling 30.10 (Gesloten-doosmodel)

Beschouw een gebied dat geen gas uitwisselt met zijn omgeving, dat begint als zuiver gas zonder metalen, goed gemengd blijft, en waarin de sterren die metalen maken direct sterven, terwijl de andere eeuwig leven (onmiddellijke recycling). Dan is de metalliciteit van het gas

$$Z = y \ln\frac{1}{\mu}, \qquad \mu = \frac{M_\mathrm{g}}{M},$$

waarin $\mu$ de gasfractie is, en de massa sterren die zijn gevormd met een metalliciteit lager dan $Z$ is $M\,(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$.

Het model voorspelt de metalliciteitsverdeling van de langlevende sterren. In de zonnenabuurt bedraagt de oppervlaktedichtheid van het gas $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$, en die van sterren en stellaire overblijfselen $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$, dus $\mu = 13.7/47.1 = 0.29$. Als het gas vandaag het protosolaire $Z = 0.0154$ heeft, is de opbrengst $y = 0.0154/\ln(1/0.29) = 0.0125$, en de fractie van alle tot nu toe gevormde sterren met een $Z$ onder een tiende van de huidige waarde, $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ als ijzer de metalen volgt, is $(1 - 0.29^{0.1})/(1 - 0.29) = 0.16$.

Definitie 30.11 (G-dwergprobleem)

Het G-dwergprobleem is het tekort aan metaalarme langlevende sterren in de zonnenabuurt vergeleken met de voorspelling van het gesloten-doosmodel: veel minder van de langlevende dwergsterren van spectraaltype G hebben lage metalliciteiten dan een gesloten doos zou hebben opgeleverd.

Van de 6670 sterren van de steekproef hebben er 26 $[\mathrm{Fe/H}] < -1$: $0.4\,\%$, tegenover de $16\,\%$ van de gesloten doos. Zelfs onder de 902 sterren van hoogstens één zonnemassa, de eerlijkste vergelijking zijn de 26 goed voor $2.9\,\%$. De uitweg is de doos te openen: als de schijf van de zonnenabuurt is opgebouwd door een langzame instroom van metaalarm gas gedurende meerdere miljarden jaren, was het vroege gas nooit een groot reservoir dat wachtte om metaalarme sterren te vormen, en de staart verdwijnt. Modellen van de schijf die de verdeling reproduceren, hebben een instroomtijd nodig die langer is dan drie tot vier miljard jaar.

De tweede klok is de verhouding van twee soorten elementen. De alfa-elementen komen van kernineenstortingssupernova’s, kort nadat een sterrengeneratie is geboren; veel van het ijzer komt van supernova’s van type Ia, veel later. In oude halosterren, met $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ bedraagt ongeveer $+0.4$: deze sterren zijn gevormd uit gas dat uitsluitend door kernineenstortingssupernova’s was verrijkt. In schijfsterren daalt het met toenemende metalliciteit naar nul, de zonnewaarde, omdat de supernova’s van type Ia hun ijzer toevoegen. De figuur hieronder toont het eenvoudigste model van dit vertragingstijd-beeld: in een gesloten doos komen beide soorten supernova’s tegelijk op gang, behalve dat die van type Ia een vaste vertraging na de eerste sterren beginnen.

De gedetailleerde modellen van het Melkwegstelsel die de waargenomen trend reproduceren, halen tweederde van het ijzer uit supernova’s van type Ia en eenderde uit kernineenstortingssupernova’s, en vinden dat het gas van het jonge Melkwegstelsel $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ bereikte in ongeveer één tot anderhalf miljard jaar. De verhouding is een klok: een populatie die rijk is aan alfa-elementen bij een gegeven metalliciteit, heeft haar sterren snel gevormd, voordat de supernova’s van type Ia hun ijzer konden toevoegen. De dikke schijf uit het vorige hoofdstuk is zo’n populatie: oud, en licht verrijkt met alfa-elementen vergeleken met sterren uit de dunne schijf bij dezelfde metalliciteit.

30.6 Van de zonneabundanties naar de Aarde

De Aarde is opgebouwd uit hetzelfde materiaal als de Zon, maar niet uit al dat materiaal. In de afkoelende nevel konden alleen de elementen die tot vaste stoffen condenseerden, konden worden verzameld tot planetesimalen; het boek van jaar 2 volgde de volgorde waarin ze condenseren. IJzer condenseert als metaal bij ongeveer dezelfde temperatuur als de magnesiumsilicaten, $1310\text{ tot }1340\,\mathrm{K}$ bij $10^{-4}\,\mathrm{bar}$, zodat de rotsplaneten hun aandeel ijzer behielden, terwijl waterstof, helium, koolstof, stikstof en de edelgassen in het gas bleven. Van een gas met zonnesamenstelling condenseert slechts ongeveer een half procent van de massa als gesteente en metaal.

Definitie 30.12 (Vluchtigheidstrend)

De vluchtigheidstrend van een planetair lichaam is de afname van zijn abundanties, ten opzichte van de CI-chondrieten en genormaliseerd op een refractair element, met afnemende condensatie temperatuur: refractaire elementen staan in hun chondritische verhoudingen, matig vluchtige zijn des te meer uitgeput naarmate hun condensatietemperatuur lager is.

Voor de silicaataarde tekende het boek van jaar 2 de trend tegen de condensatietemperatuur. Genormaliseerd op magnesium staat zirkonium (condenserend bij $1741\,\mathrm{K}$) staat op $1.11$ maal zijn CI-verhouding, natrium ($958\,\mathrm{K}$) op $0.22$, kalium ($1006\,\mathrm{K}$) op $0.19$, rubidium ($800\,\mathrm{K}$) op $0.12$ en zink ($726\,\mathrm{K}$) op $0.075$. De Aarde vormde zich uit materiaal dat al een deel van zijn matig vluchtige elementen had verloren voordat de planeet werd samengesteld, of verloor ze tijdens zijn groei. Zelfs de CI-chondrieten verschillen van de Zon op een manier die de condensatie temperatuur volgt, zij het zwak: hun matig vluchtige elementen staan ongeveer $0.04$ dex hoger dan de fotosferische waarden.

Het verhaal van dit hoofdstuk loopt dus door de planeet heen. Het zuurstof, magnesium en silicium van de mantel zijn alfa-elementen van massieve sterren; het ijzer van de kern kwam grotendeels van supernova’s van type Ia; het thorium en uranium wier verval helpt het inwendige op te warmen, liggen voorbij bismut, waar alleen het r-proces komt; en het hele mengsel werd op vluchtigheid gesorteerd voordat de Aarde het verzamelde.

30.7 Oefeningen

Oefening 30.1 ★

Gebruik de zonneabundanties $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{Si}) = 7.51$, $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{Au}) = 0.91$ en $\log\varepsilon(\mathrm{Pb}) = 1.95$: (a) hoeveel siliciumatomen en hoeveel zuurstofatomen zijn er in de Zon per ijzeratoom? (b) Hoeveel ijzeratomen per goudatoom, en hoeveel loodatomen per goudatoom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.1.

(a) $\mathrm{Si/Fe} = 10^{7.51 - 7.46} = 10^{0.05} = 1.12$ en $\mathrm{O/Fe} = 10^{8.69 - 7.46} = 10^{1.23} = 17.0$: ongeveer één siliciumatoom en zeventien zuurstofatomen per ijzeratoom. (b) $\mathrm{Fe/Au} = 10^{7.46 - 0.91} = 10^{6.55} = 3.55 \times 10^{6}$ en $\mathrm{Pb/Au} = 10^{1.95 - 0.91} = 10^{1.04} = 11.0$: voorbij de ijzerpiek dalen de abundanties met een factor van miljoenen, maar lood, op zijn eigen piek, is elf keer zo overvloedig als goud.

Oefening 30.2 ★

(a) Hoeveel ijzeratomen per miljoen waterstofatomen bevat de Zon ($\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$)? (b) Een halo-ster heeft $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. Hoeveel waterstofatomen bevat hij per ijzeratoom? (c) Een andere ster heeft één ijzeratoom op elke tien miljoen waterstofatomen. Wat is zijn $[\mathrm{Fe/H}]$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.2.

(a) $10^{7.46 - 12} = 2.884 \times 10^{-5}$, dat is $28.8$ ijzeratomen per miljoen waterstofatomen. (b) Honderd keer minder: $0.288$ per miljoen, één ijzeratoom per $1/2.884 \times 10^{-7} = 3.47 \times 10^{6}$ waterstofatomen. (c) $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(10^{-7}/2.884 \times 10^{-5}) = -2.46$.

Oefening 30.3 ★

De stabiele isotopen van xenon hebben massagetallen 124, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 134 en 136. Onder hun isobaren heeft tellurium ($Z = 52$) stabiele isotopen 120, 122–126, 128 en 130; jodium ($Z = 53$) alleen 127. Het s-pad bereikt xenon bij $^{128}\mathrm{Xe}$, via het verval van $^{128}\mathrm{I}$, en verlaat het bij $^{133}\mathrm{Xe}$, dat vervalt. Classificeer elke xenonisotoop als alleen s, alleen r, door beide gevormd, of p-kern.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.3.

$^{124}\mathrm{Xe}$ en $^{126}\mathrm{Xe}$ liggen aan de protonrijke kant, buiten het s-pad, en zijn afgeschermd door de stabiele $^{124}\mathrm{Te}$ en $^{126}\mathrm{Te}$: p-kernen. $^{128}\mathrm{Xe}$ en $^{130}\mathrm{Xe}$ liggen op het s-pad maar zijn voor het r-proces afgeschermd door de stabiele $^{128}\mathrm{Te}$ en $^{130}\mathrm{Te}$: alleen het s-proces. $^{129}\mathrm{Xe}$, $^{131}\mathrm{Xe}$ en $^{132}\mathrm{Xe}$ liggen op het s-pad en hebben geen stabiele isobaar met lager $Z$ (jodium heeft er alleen 127): beide processen. $^{134}\mathrm{Xe}$ en $^{136}\mathrm{Xe}$ liggen voorbij $^{133}\mathrm{Xe}$, waar het s-pad xenon verlaat, en zijn niet afgeschermd: alleen door het r-proces.

Oefening 30.4 ★

GW170817 lag op ongeveer $40\,\mathrm{Mpc}$, en zijn gammastralen kwamen $1.7\,\mathrm{s}$ na de samensmelting aan die in zwaartekrachtgolven werd waargenomen. (a) Hoe lang hadden beide signalen gereisd? (b) Als de vertraging volledig aan een verschil in de twee snelheden wordt toegeschreven, hoe groot is dat verschil dan hoogstens als breuk van de lichtsnelheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.4.

(a) $t = d/c = 40\times3.086 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.12 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, ongeveer $130$ miljoen jaar. (b) $\Delta v/c \le 1.7/4.12 \times 10^{15} = 4.1 \times 10^{-16}$. Dit is een bovengrens, omdat een deel of de hele vertraging kan voortkomen uit de uitzending van de gammastraling na de samensmelting.

Oefening 30.5 ★★

De drie alleen-s-isotopen van tellurium hebben protosolaire abundanties $0.1067$, $0.0373$ en $0.1984$ per $10^6$ siliciumatomen ($A = 122$, $123$, $124$) en gemiddelde werkzame doorsneden $295$, $832$ en $155\,\mathrm{mb}$. (a) Bereken $\sigma N$ voor elk. (b) Voorspel uit $^{122}\mathrm{Te}$ alleen de abundanties van $^{123}\mathrm{Te}$ en $^{124}\mathrm{Te}$, en vergelijk. (c) Waarom kan de relatie niet worden toegepast op $^{128}\mathrm{Te}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.5.

(a) $295\times0.1067 = 31.48\,\mathrm{mb}$, $832\times0.0373 = 31.03\,\mathrm{mb}$, $155\times0.1984 = 30.75\,\mathrm{mb}$. (b) Vanuit $^{122}\mathrm{Te}$: $N_{123} = 31.48/832 = 0.037\,83$, $1.4\,\%$ boven de gemeten waarde, en $N_{124} = 31.48/155 = 0.2031$, $2.4\,\%$ boven. Abundanties die met een factor vijf verschillen, worden binnen enkele procenten voorspeld uit de werkzame doorsneden alleen. (c) $^{128}\mathrm{Te}$ is alleen door het r-proces gevormd: de s-stroom eindigt bij tellurium in $^{127}\mathrm{Te}$, dat vervalt, dus er gaat geen stationaire s-stroom door $^{128}\mathrm{Te}$ en de abundantie werd bepaald door het r-proces.

Oefening 30.6 ★★

In het klassieke model geeft elke kern op het s-pad aan de volgende een fractie $f = 1/(1 + 1/(\tau_0\langle\sigma\rangle))$ van de stroom door, met $\tau_0 = 0.306\,\mathrm{mb}^{-1}$. (a) Bereken $f$ voor $^{124}\mathrm{Te}$ ($155\,\mathrm{mb}$) en voor het neutronenmagische $^{138}\mathrm{Ba}$ ($4.0\,\mathrm{mb}$). (b) De kernen van $^{137}\mathrm{Ba}$ tot $^{142}\mathrm{Nd}$ op het pad hebben werkzame doorsneden $76.3$, $4.0$, $32.4$, $11.0$, $111.4$ en $35.0\,\mathrm{mb}$. Met welke factor daalt $\sigma N$ van $^{136}\mathrm{Ba}$ tot $^{142}\mathrm{Nd}$? (c) Vergelijk met de gemeten waarden, $27.6$ en $7.72\,\mathrm{mb}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.6.

(a) $\tau_0\langle\sigma\rangle = 0.306\times155 = 47.4$, dus $f = 1/(1 + 1/47.4) = 0.979$ voor $^{124}\mathrm{Te}$; voor $^{138}\mathrm{Ba}$ geldt $0.306\times4.0 = 1.224$ en $f = 1/(1 + 0.817) = 0.550$: de magische kern laat slechts $55\,\%$ van de stroom door. (b) De zes factoren zijn $0.959$, $0.550$, $0.908$, $0.771$, $0.972$ en $0.915$; hun product is $0.328$: $\sigma N$ daalt met een factor $3.05$. (c) De gemeten daling is $27.6/7.72 = 3.57$. Het model geeft de grootte van de sprong correct binnen $15\,\%$, bijna geheel afkomstig van $^{138}\mathrm{Ba}$ en $^{140}\mathrm{Ce}$, de twee kernen met $N = 82$.

Oefening 30.7 ★★

Een neutron met thermische energie $kT$ heeft de snelheid $v_T = \sqrt{2kT/m_\mathrm{n}}$, $m_\mathrm{n} = 1.6749 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. (a) Bereken $v_T$ bij $kT = 8\,\mathrm{keV}$, de temperatuur van de koolstof-13-laag van een rode reus. (b) Bereken voor $^{124}\mathrm{Te}$, met $\langle\sigma\rangle = 155\,\mathrm{mb}$, de gemiddelde tijd tussen twee invangsten, $1/(n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T)$, voor $n_\mathrm{n} = 10^6$, $10^8$ en $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) Vergelijk met de halveringstijden van $^{127}\mathrm{Te}$ ($9.35\,\mathrm{h}$) en van $^{134}\mathrm{Cs}$ ($2.07\,\mathrm{yr}$). Welke van de twee is een vertakkingspunt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.7.

(a) $kT = 8\times10^3\times1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.282 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, en $v_T = \sqrt{2\times1.282 \times 10^{-15}/1.6749 \times 10^{-27}} = 1.24 \times 10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Met $\langle\sigma\rangle = 155 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$, $\lambda = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T$ bedraagt $1.92 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor $n_\mathrm{n} = 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($10^6$ per kubieke centimeter): een gemiddelde tijd van $5.2 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, ongeveer $1650$ jaar; dan $16.5$ jaar bij $10^8$ en $0.165$ jaar, twee maanden, bij $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) $^{127}\mathrm{Te}$ vervalt in uren, veel sneller dan elk van deze invangtijden: het vervalt altijd en het pad splitst daar niet. $^{134}\mathrm{Cs}$ leeft ongeveer twee jaar, tussen de invangtijden bij $10^8$ en $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$: bij de hoge dichtheden van de heliumflitsen wordt een groot deel ervan ingevangen voordat het vervalt. Het is een vertakkingspunt, en de abundanties aan weerszijden ervan meten de neutronendichtheid.

Oefening 30.8 ★★

In de Zon is $\log\varepsilon$ $6.30$ voor calcium, $3.14$ voor scandium en $4.97$ voor titanium; $1.38$ voor beryllium, $2.70$ voor boor en $8.46$ voor koolstof. (a) Hoeveel keer zeldzamer is scandium dan zijn twee buren? (b) Hoeveel keer zeldzamer is beryllium dan koolstof? (c) Welk kenmerk van de abundantiecurve illustreert elk, en wat is de oorzaak ervan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.8.

(a) $10^{6.30 - 3.14} = 1445$ keer zeldzamer dan calcium en $10^{4.97 - 3.14} = 68$ keer zeldzamer dan titanium. (b) $10^{8.46 - 1.38} = 1.2 \times 10^{7}$. (c) Scandium vertoont het oneven–even-effect: kernen met een even aantal protonen zijn steviger gebonden en worden opgebouwd door het invangen van heliumkernen in de brandingsfasen van massieve sterren, die ze bevoordelen. Beryllium vertoont de dip van lithium, beryllium en boor: deze broze kernen worden vernietigd bij de temperaturen in het inwendige van sterren, en heliumbranding gaat van helium rechtstreeks naar koolstof, zonder ze te vormen.

Oefening 30.9 ★★

In het tweefasenmodel van dit hoofdstuk is het plateau $[\alpha/\mathrm{Fe}] = P$ de verhouding die door kernineenstortingssupernova’s wordt geproduceerd, en bij $[\mathrm{Fe/H}] = 0$ is de verhouding zonnewaarde. (a) Toon aan dat het aandeel van het zonne-ijzer dat door supernova’s van type Ia is gemaakt $1 - 10^{-P}$ is, en bereken dit voor $P = 0.4$. (b) Welk plateau zou de twee derde van de gedetailleerde modellen opleveren? (c) Een dwergstelsel toont zijn knie bij $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. Wat zegt dat over de stervorming ervan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.9.

(a) Laat $\alpha$ de alfa-elementen zijn en $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}$, $\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}$ het ijzer uit de twee soorten supernova. Op het plateau is $\alpha/\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} = 10^{P}$ maal de zonneverhouding. Bij $[\mathrm{Fe/H}] = 0$, $\alpha/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})$ is gelijk aan de zonneverhouding. Door te delen volgt $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}) = 10^{-P}$, en het Type Ia-aandeel is $1 - 10^{-P} = 1 - 10^{-0.4} = 0.602$. (b) $10^{-P} = 1/3$ geeft $P = \log_{10}3 = 0.48$. (c) De Type Ia-supernova’s beginnen na dezelfde vertraging in beide sterrenstelsels. Toen ze in het dwergstelsel begonnen, had het gas er slechts $[\mathrm{Fe/H}] = -2$, tegen $-1$ in de Melkweg: het had zijn gas tien keer zo traag in sterren omgezet.

Oefening 30.10 ★★★

De CI-chondrieten bevatten, in delen per miljoen massa, $95\,870$ magnesium, $3.96$ zirkonium, $5010$ natrium, $530$ kalium en $2.13$ rubidium; de silicaataarde bevat $22.8\,\%$ magnesium en $10.5$, $2670$, $240$ en $0.6$ delen per miljoen van de overige. Hun 50 procent condensatietemperaturen zijn $1336\,\mathrm{K}$ (Mg), $1741\,\mathrm{K}$ (Zr), $958\,\mathrm{K}$ (Na), $1006\,\mathrm{K}$ (K) en $800\,\mathrm{K}$ (Rb). (a) Bereken voor elk element $(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Aarde}/(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}$. (b) Zet dit uit tegen de condensatietemperatuur en beschrijf de trend. (c) Waarom is magnesium als referentie gekozen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.10.

(a) Voor zirconium,

$$\frac{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Earth}}{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}} = \frac{10.5/228000}{3.96/95870} = 1.11 ;$$

op dezelfde manier $(2670/228000)/(5010/95870) = 0.224$ voor natrium, $0.190$ voor kalium en $0.118$ voor rubidium. (b) Zirconium, het meest refractaire element, zit dicht bij zijn chondritische verhouding. De drie matig vluchtige alkalimetalen, die condenseren bij $800\text{ tot }1006\,\mathrm{K}$, zijn uitgeput met factoren van vijf tot negen, rubidium, het meest vluchtige, het sterkst. De silicaatrijke Aarde volgt de vluchtigheidstrend. (c) Magnesium is een belangrijk, refractair element dat met het grootste deel van het gesteente condenseert, en het is lithofiel: het bleef in de mantel achter toen de kern zich vormde. Een siderofiele referentie zoals ijzer of nikkel zou het verlies naar de kern vermengen met het verlies door vluchtigheid.

Oefening 30.11 ★★★

Een lekkende doos verliest gas in een wind met een snelheid $\lambda$ keer zijn stervormingssnelheid, en ontvangt niets. (a) Toon aan dat voor de metalliciteit geldt $Z = \frac{y}{1 + \lambda}\ln\frac{M_\mathrm{g}(0)}{M_\mathrm{g}}$. (b) Vergelijk met $y = 0.0125$ de metalliciteit die bereikt wordt wanneer het gas tot $29\,\%$ van zijn beginmassa is gevallen, voor $\lambda = 0$ en $\lambda = 1$. (c) Waarom zijn kleine sterrenstelsels, met zwakke zwaartekracht, meestal metaalarm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.11.

(a) Wanneer een massa $\mathrm{d}s$ in sterren wordt vastgelegd, verwijdert de wind $\lambda\,\mathrm{d}s$ gas met metalliciteit $Z$: $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -(1 + \lambda)\,\mathrm{d}s$ en $\mathrm{d}(ZM_\mathrm{g}) = y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s - \lambda Z\,\mathrm{d}s$. Na het uitwerken van de tweede vergelijking en het aftrekken van $Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$ blijft $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z = y\,\mathrm{d}s = -\frac{y}{1 + \lambda}\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$, wat integreert tot het resultaat. (b) $\ln(1/0.29) = 1.238$: $Z = 0.0155$ voor $\lambda = 0$, en de helft daarvan, $0.0077$, voor $\lambda = 1$. (c) Een wind verlaagt de effectieve opbrengst met de factor $1 + \lambda$. In een sterrenstelsel van kleine massa drijven supernova’s het gas makkelijker naar buiten, $\lambda$ is groot, en de metalen gaan verloren met het gas.

Oefening 30.12 ★★★

(a) De Zon heeft $\log\varepsilon(\mathrm{Li}) = 0.96$ in haar fotosfeer en de CI-chondrieten $3.25$. Bereken de twee verhoudingen $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H}$ en het aandeel van zijn lithium dat de Zon heeft vernietigd. (b) De oudste metaalarme sterren tonen $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 1.45 \times 10^{-10}$, terwijl de oerknalnucleosynthese $4.72 \times 10^{-10}$ voorspelt. Met welke factor overtreft het lithium van het Zonnestelsel elk van beide? (c) Wat impliceren de twee vergelijkingen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.12.

(a) $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 10^{0.96 - 12} = 9.1 \times 10^{-12}$ in de Zon en $10^{3.25 - 12} = 1.78 \times 10^{-9}$ in de CI-chondrieten. De Zon houdt $10^{-2.29} = 0.0051$ van zijn lithium over: hij heeft $99.5\,\%$ ervan vernietigd. (b) $1.78 \times 10^{-9}/1.45 \times 10^{-10} = 12.3$ en $1.78 \times 10^{-9}/4.72 \times 10^{-10} = 3.8$. (c) Het Zonnestelsel bevat bijna vier keer meer lithium dan de oerknal maakte: het meeste van zijn lithium is later gemaakt, door een ander proces. De oudste sterren bevatten drie keer minder dan de oerknal maakte: ofwel hebben ze een deel ervan vernietigd, zoals de Zon heeft gedaan, ofwel mist de voorspelling iets; de twee vergelijkingen alleen zeggen niet welke van beide.

30.8 Probleem: Een sterrenstelsel als gesloten doos

Probleem 30.1

Weekendprobleem — van het zonnemengsel naar de metalliciteiten van de langlevende sterren

Gebruik $\log\varepsilon(\mathrm{H}) = 12$, de zonneabundanties $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{He}) = 10.914$, de huidige fotosferische massafracties $X = 0.7438$, $Y = 0.2423$, $Z = 0.0139$, en de protozonne $Z_\odot = 0.0154$. Neem overal aan dat ijzer de totale metalliciteit volgt, $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(Z/Z_\odot)$.

Deel I — Het zonnemengsel.

1. Hoeveel waterstofatomen zijn er in de Zon per ijzeratoom?
2. Bereken de getalsverhouding $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$. Neem een heliumatoom dat vier keer zo zwaar is als een waterstofatoom, vergelijk $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ met $Y/X$.
3. Een ster bevat één ijzeratoom op elke $350\,000$ waterstofatomen. Bereken zijn $[\mathrm{Fe/H}]$ op twee decimalen.
4. Dezelfde ster heeft $[\mathrm{O/Fe}] = +0.40$. Bereken zijn $\log\varepsilon(\mathrm{O})$, en het aantal zuurstofatomen per ijzeratoom vergeleken met dat van de Zon.
5. Zuurstof is het meest voorkomende metaal. Schat de metaalmassafractie van de ster door die van de Zon te schalen met $[\mathrm{O/H}]$.
6. Waarom wordt de metalliciteit van een ster meestal aan de hand van ijzer gemeten in plaats van aan de hand van zuurstof, hoewel zuurstof $Z$ domineert?

Deel II — Het s-proces op telluur. Gebruik de gegevens uit Oefening 30.5.

7. Verklaar aan de hand van de nuklidenkaart waarom $^{122}\mathrm{Te}$, $^{123}\mathrm{Te}$ en $^{124}\mathrm{Te}$ uitsluitend door het s-proces worden gevormd.
8. Bereken $\sigma N$ voor de drie isotopen en hun gemiddelde.
9. Voorspel de overvloed van $^{123}\mathrm{Te}$ uit het gemiddelde van de andere twee, en geef het verschil met de gemeten waarde in procent.
10. $^{128}\mathrm{Te}$ heeft $N = 1.329$ per $10^6$ Si en $\langle\sigma\rangle = 44.4\,\mathrm{mb}$. Bereken zijn $\sigma N$ en verklaar waarom hij niet op het plateau ligt.
11. Het paar $^{148}\mathrm{Sm}$ en $^{150}\mathrm{Sm}$, dat alleen door het s-proces wordt gevormd, heeft $\sigma N = 7.43$ en $8.53\,\mathrm{mb}$. Welk aandeel van de stroom liep om $^{148}\mathrm{Sm}$ heen, en via welke vertakking?
12. Bij het passeren van $N = 82$ daalt het product van $27.6\,\mathrm{mb}$ ($^{136}\mathrm{Ba}$) naar $7.72\,\mathrm{mb}$ ($^{142}\mathrm{Nd}$). Welke eigenschap van de kernen met $N = 82$ verklaart de daling?

Deel III — De gesloten doos. De zonnenabijheid heeft $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ aan gas en $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ aan sterren en stellaire overblijfselen. Neem aan dat het huidige gas $Z = Z_\odot$ heeft.

13. Bereken de huidige gasfractie $\mu_1$.
14. Bereken de stellaire opbrengst per sterrengeneratie $y$ die de gesloten doos nodig heeft, en de verhouding daarvan tot $Z_\odot$.
15. Bereken $Z$ en $[\mathrm{Fe/H}]$ van het gas wanneer de gasfractie was $0.9$, en daarna $0.5$.
16. Bereken de gasfractie op het moment dat het gas $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ bereikte.
17. Welk deel van de totale massa was toen in sterren vastgelegd?
18. Als de huidige gasfractie in plaats daarvan $0.1$ zou zijn, welke opbrengst zou de doos dan nodig hebben?

Deel IV — De verdeling van de metalliciteit.

19. Toon aan dat de gesloten doos een verdeling van sterren in $[\mathrm{Fe/H}]$ oplevert die evenredig is met $Z\,\mathrm{e}^{-Z/y}$, en bepaal de $[\mathrm{Fe/H}]$ van de piek.
20. Bereken het aandeel van alle tot nu toe gevormde sterren met $[\mathrm{Fe/H}] < -1$.
21. Bereken het aandeel met $[\mathrm{Fe/H}] < -0.5$.
22. In de steekproef van 6670 F- en G-dwergen hebben 26 $[\mathrm{Fe/H}] < -1$. Hoeveel zou de gesloten doos er voorspellen?
23. Onder de 902 sterren van hooguit één zonnemassa worden dezelfde 26 aangetroffen. Bereken het waargenomen aandeel en verklaar waarom deze deelsteekproef de eerlijkere vergelijking is.
24. Bij een huidige gasfractie van $0.1$, hoe groot zou de voorspelde fractie onder $-1$ zijn? Lost een andere gasfractie het probleem op?
25. Geef het aandeel langlevende sterren met $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ dat de gesloten doos voorspelt voor de zonnenabijheid, in procent, op twee significante cijfers, en zeg wat de vergelijking met de waargenomen sterren impliceert voor de geschiedenis van de schijf.

Oplossing

Oplossing van Probleem 30.1.

Deel I.

1. $10^{12 - 7.46} = 10^{4.54} = 34\,700$.

2. $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 10^{10.914 - 12} = 0.0820$, dus $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 0.328$, tegenover $Y/X = 0.2423/0.7438 = 0.326$. Ze komen overeen tot op $0.7\,\%$; het kleine verschil is er omdat een heliumatoom iets minder weegt dan vier waterstofatomen.

3. $\log_{10}\bigl((1/350000)/2.884 \times 10^{-5}\bigr) = -5.544 + 4.540 = -1.00$.

4. $[\mathrm{O/H}] = -1.00 + 0.40 = -0.60$, dus $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69 - 0.60 = 8.09$. De ster heeft $10^{8.09 - 6.46} = 42.7$ zuurstofatomen per ijzeratoom, tegenover $10^{1.23} = 17.0$ in de Zon: $10^{0.4} = 2.5$ keer meer.

5. $Z \approx 0.0139\times10^{-0.60} = 0.0035$, een kwart van de Zon.

6. IJzer heeft heel veel lijnen in het spectrum van een koele ster, terwijl zuurstof er weinig en zwakke heeft: ijzer is veel gemakkelijker en nauwkeuriger te meten, en staat voor de metalen.

Deel II.

7. Elk ligt achter een stabiele isobaar van lagere $Z$: $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Sb}$ en $^{124}\mathrm{Sn}$ stoppen de vervalketens van het r-proces voordat ze telluur bereiken. Alle drie liggen op het s-pad, dat via telluur loopt van $^{122}\mathrm{Te}$ tot $^{126}\mathrm{Te}$.

8. $31.48$, $31.03$ en $30.75\,\mathrm{mb}$; gemiddelde $31.09\,\mathrm{mb}$.

9. Het gemiddelde van de andere twee is $(31.48 + 30.75)/2 = 31.11\,\mathrm{mb}$, dus $N_{123} = 31.11/832 = 0.037\,40$, slechts $0.3\,\%$ boven de gemeten $0.0373$.

10. $1.329\times44.4 = 59.0\,\mathrm{mb}$, bijna het dubbele van het plateau. $^{128}\mathrm{Te}$ wordt alleen door het r-proces gevormd: het s-pad verlaat telluur bij $^{127}\mathrm{Te}$, dus zijn overvloed is door het r-proces gemaakt en heeft niets met de s-stroom te maken.

11. $1 - 7.43/8.53 = 0.13$: $13\,\%$ van de stroom ging om $^{148}\mathrm{Sm}$ heen, door vangsten op de instabiele $^{147}\mathrm{Nd}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ en $^{148}\mathrm{Pm}$ voordat ze tot samarium konden vervallen.

12. Met een gesloten schil van 82 neutronen binden deze kernen een extra neutron zwak en hebben zeer kleine vangstdoorsneden ($4.0\,\mathrm{mb}$ voor $^{138}\mathrm{Ba}$). De stroom hoopt zich erop op en slechts een deel gaat erdoorheen: het zijn knelpunten.

Deel III.

13. $\mu_1 = 13.7/(13.7 + 33.4) = 13.7/47.1 = 0.291$.

14. $\ln(1/0.291) = 1.235$, dus $y = 0.0154/1.235 = 0.0125$, $0.81$ keer $Z_\odot$.

15. Bij $\mu = 0.9$ geldt $\ln(1/0.9) = 0.1054$, dus $Z = 0.0125\times0.1054 = 0.001\,31$. Omdat $0.00131/0.0154 = 0.0851$, geldt $[\mathrm{Fe/H}] = -1.07$. Bij $\mu = 0.5$ geldt $Z = 0.0125\times0.693 = 0.008\,64$ en $[\mathrm{Fe/H}] = -0.25$.

16. $Z = 0.00154$, dus $\mu = \mathrm{e}^{-0.00154/0.01247} = \mathrm{e}^{-0.1235} = 0.884$.

17. $1 - 0.884 = 0.116$: $12\,\%$ van de massa.

18. $y = 0.0154/\ln 10 = 0.0067$, ongeveer de helft.

Deel IV.

19. De massa van sterren met metalliciteit onder $Z$ is $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$, dus per eenheid $Z$ is zij $(M/y)\,\mathrm{e}^{-Z/y}$. Omdat $Z = Z_\odot10^{[\mathrm{Fe/H}]}$ geldt, $\mathrm{d}Z = Z\ln 10\,\mathrm{d}[\mathrm{Fe/H}]$, en per eenheid $[\mathrm{Fe/H}]$ is de verdeling evenredig met $Z\mathrm{e}^{-Z/y}$. De afgeleide, $(1 - Z/y)\mathrm{e}^{-Z/y}$, verdwijnt bij $Z = y$: de piek ligt bij $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}0.810 = -0.09$.

20. $0.116/(1 - 0.291) = 0.1162/0.7091 = 0.164$.

21. $Z/y = 1.235\times10^{-0.5} = 0.3905$, $1 - \mathrm{e}^{-0.3905} = 0.3233$, en $0.3233/0.7091 = 0.456$.

22. $6670\times0.1638 = 1093$, tegenover 26: veertig keer te veel.

23. $26/902 = 2.9\,\%$, nog steeds meer dan vijf keer lager dan de doos. De sterren van het model zijn de langlevende, die van hooguit ongeveer één zonsmassa, die allemaal sinds hun vorming nog bestaan; van de massievere F-sterren zijn de oudste, die ook het metaalarmst zijn, al dood, en de volledige steekproef telt ze te weinig.

24. $(1 - 0.1^{0.1})/(1 - 0.1) = 0.2057/0.9 = 0.23$: slechter. Een hogere gasfractie helpt evenmin: naarmate $\mu_1$ naar 1 gaat, nadert de fractie $0.1$, nog steeds meer dan drie keer de $2.9\,\%$ die is waargenomen. Geen gasfractie redt de gesloten doos.

25. De gesloten doos voorspelt dat $16\,\%$ van de langlevende sterren in de zonnenabuurschap $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ heeft, tegenover hooguit $3\,\%$ die is waargenomen. De schijf was geen gesloten doos: zij groeide door een langzame instroom van metaalarm gas, zodat er zelden gas lang bleef wachten op lage metalliciteit om sterren te vormen.