27Planetaire atmosferen en bewoonbaarheid

Venus en de Aarde zijn bijna tweelingen: bijna even groot, met vergelijkbare gemiddelde dichtheden, naburige banen. Toch houdt Venus $92\,\mathrm{bar}$ aan koolstofdioxide vast boven een oppervlak van $737\,\mathrm{K}$, en er is zo weinig water dat het uitgespreid over het oppervlak een laag van ongeveer een centimeter diep zou vormen. De massaspectrometer van de sonde Pioneer Venus, die door de wolken zakte, mat de verhouding van deuterium tot waterstof in dat water: $0.016$, honderd keer de verhouding in de oceanen van de Aarde. Lichte waterstof ontsnapt gemakkelijker naar de ruimte dan zwaar deuterium; wat er overblijft van een groot reservoir dat het grootste deel van zijn waterstof heeft verloren, is rijk aan deuterium. De verhouding is het spoor van water dat Venus ooit had en verloor. Dit hoofdstuk vraagt hoe een planeet zijn lucht en water vasthoudt, en hoe hij die verliest.

Wat je al weet

De schaalhoogte, de barometrische formule, de Maxwell–Boltzmann verdeling, de ontsnappingssnelheid, de gemiddelde vrije weglengte en het broeikaseffect staan in de natuurkundeboeken. De bewoonbare zone van een ster staat in de schoolboeken. De evenwichtstemperatuur en de Bond-albedo staan in Boek 3, in het hoofdstuk over vergelijkende planetologie; de optische diepte, in het hoofdstuk over telescopen en fotometrie; de temperatuurgradiënten, in het hoofdstuk over de structuur van de atmosfeer en de oceaan; de uitgaande langgolvige straling (OLR) en de emissietemperatuur, in het hoofdstuk over straling en warmtetransport. Het vochtige adiabaat staat in Boek 4, in het hoofdstuk over atmosferische thermodynamica; de sneeuwgrens, in het hoofdstuk over planeetvorming; de koolstofcyclus op lange termijn en de silicaatverweringsthermostaat, in het hoofdstuk over het klimaat in de geologische tijd. Rayleighdestillatie staat in dit deel, in het hoofdstuk over stabiele isotopen.

27.1 De structuur van een atmosfeer

Een isotherme atmosfeer met moleculaire massa $m$ bij temperatuur $T$ neemt met de hoogte af als $p = p_0\,e^{-z/H}$, met de schaalhoogte $H = kT/mg$. Aan het oppervlak van de Aarde is $H$ ongeveer $8\,\mathrm{km}$; aan het oppervlak van Titan, waar de zwaartekracht zwak is en de lucht koud is, ongeveer $20\,\mathrm{km}$.

De temperatuur is echter niet uniform. Zonlicht dat de grond bereikt warmt die op; de lucht erboven, die in het infrarood absorbeert en uitzendt, wordt van onderen verwarmd. Straling alleen zou de onderste atmosfeer zo steil in temperatuur maken dat ze zou omslaan.

Definitie 27.1 (Radiatief–convectief evenwicht)

Een kolom atmosfeer bevindt zich in radiatief–convectief evenwicht wanneer op elk niveau de netto stralingsflux in balans is, behalve in een onderste laag waar convectie warmte omhoog voert en de temperatuurgradiënt op de adiabatische waarde houdt. De onderste, convectieve laag is de troposfeer; de bovenste laag, in stralingsevenwicht, is de stratosfeer; de tropopauze is het niveau waar ze samenkomen.

De eenvoudigste atmosfeer waarin dit kan worden gevolgd, is de grijze: ze is doorzichtig voor zonlicht en absorbeert alle infrarode golflengten even sterk, met een optische diepte $\tau$, geteld van boven naar beneden.

Propositie 27.2 (Grijs stralingsevenwicht)

In een grijze atmosfeer in stralingsevenwicht die de flux $F$ naar de ruimte uitzendt, voldoet de temperatuur op de optische diepte $\tau$ aan

$$\sigma T^4(\tau) = \frac F2\,(1 + D\tau),$$

waarbij $D \approx 1.66$ rekening houdt met de schuine banen van de straling. De top van de atmosfeer ligt op de huidtemperatuur $T_\mathrm{skin} = 2^{-1/4}\,T_e$, waarbij $T_e = (F/\sigma)^{1/4}$ de emissietemperatuur is.

De propositie wordt als gegeven aangenomen; ze volgt uit de tweestroomvergelijkingen voor de opwaartse en neerwaartse fluxen. Waar $\tau$ groot is, dicht bij de grond, verandert de stralingstemperatuur snel met $\tau$, en $\tau$ zelf neemt snel toe met de diepte, omdat het absorberende gas daar het dichtst is: het stralingsprofiel is steiler dan het adiabaat, en convectie neemt het over. Hoog omhoog is $\tau$ klein en nadert de temperatuur de huidtemperatuur. De Aarde straalt ongeveer $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ naar de ruimte uit, met een emissietemperatuur van $255\,\mathrm{K}$ en een huidtemperatuur van $214\,\mathrm{K}$; de standaardatmosfeer legt de tropopauze op $11\,\mathrm{km}$ en $216.65\,\mathrm{K}$. Het grijze model, hoe grof ook, plaatst de koude top van de troposfeer ongeveer juist.

Hoog in de atmosfeer is de lucht zo ijl dat een molecuul ver kan reizen tussen twee botsingen. Waar het verder dan één schaalhoogte kan reizen, hoort het niet langer bij een fluïdum.

Definitie 27.3 (Exobasis; exosfeer)

De exobasis van een atmosfeer is het niveau waarop de gemiddelde vrije weglengte van de deeltjes gelijk is aan de schaalhoogte. Daarboven, in de exosfeer, is de kans klein dat een omhoog bewegend deeltje een ander deeltje tegenkomt, en een deeltje dat sneller is dan de lokale ontsnappingssnelheid verlaat de planeet.

Propositie 27.4 (Voorwaarde voor de exobasis)

In een isotherme atmosfeer van deeltjes met botsingsdoorsnede $\sigma_c$, ontsnapt een deeltje dat verticaal omhoog beweegt vanaf het niveau met dichtheid $n$ ontsnapt aan elke botsing met kans $e^{-n\sigma_c H}$. Bij de exobasis geldt $n\sigma_c H = 1$: de kans is $1/e$.

De exobasis ligt op ongeveer $500\,\mathrm{km}$ bij de Aarde, $200\,\mathrm{km}$ bij Venus en Mars, en rond $1500\,\mathrm{km}$ bij Titan, meer dan de helft van de straal van de maan.

27.2 Atmosferische ontsnapping

Bij de exobasis behouden de deeltjes de Maxwell–Boltzmann-verdeling van snelheden van het gas eronder. De staart ervan bevat altijd enkele deeltjes die sneller zijn dan de ontsnappingssnelheid.

Definitie 27.5 (Jeans-ontsnapping; ontsnappingsparameter)

Jeans-ontsnapping is het verlies naar de ruimte van de deeltjes uit de Maxwell–Boltzmann-staart die bij de exobasis omhoog bewegen sneller dan de ontsnappingssnelheid. De ontsnappingsparameter van deeltjes met massa $m$ bij de exobasis, met straal $r$ en temperatuur $T$, op een planeet met massa $M$, is

$$\lambda = \frac{GMm}{kTr} = \frac{v_\mathrm{esc}^2}{u^2}, \qquad u = \sqrt{\frac{2kT}m},$$

de verhouding van hun gravitatiebindingsenergie tot $kT$, en tevens het kwadraat van de ontsnappingssnelheid gedeeld door de meest waarschijnlijke thermische snelheid $u$.

Stelling 27.6 (Jeans-flux)

Bij een exobasis met dichtheid $n$ bedraagt het aantal deeltjes dat per oppervlakte-eenheid en per tijdseenheid ontsnapt:

$$\Phi_\mathrm J = \frac{n\,u}{2\sqrt\pi}\,(1 + \lambda)\,e^{-\lambda}.$$

De factor $n u/2\sqrt\pi$ is de flux van alle deeltjes die de exobasis naar boven passeren; $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$ is het deel ervan dat ontsnapt. Het neemt exponentieel af met de massa van het deeltje, omdat $\lambda \propto m$. Bij de exobasis van de Aarde, bij $1000\,\mathrm{K}$, geldt voor waterstof $\lambda = 7.0$ en ontsnapt er 0.7 % van de opwaartse flux; deuterium, $\lambda = 14$, bij $1.2 \times 10^{-5}$; helium, $\lambda = 28$, bij $2 \times 10^{-11}$; zuurstof, $\lambda = 111$, helemaal niet. Bij de exobasis van Venus, kouder en even diep in de zwaartekrachtput, $\lambda = 22$ zelfs voor waterstof; bij Mars $\lambda = 5.4$; bij Titan $\lambda = 1.5$ voor waterstof en 3.0 voor moleculaire waterstof.

Wanneer $\lambda$ tot enkele waarden daalt, gaat het beeld van deeltjes die één voor één uit een statische atmosfeer lekken niet meer op: de bovenste atmosfeer zet uit en stroomt weg als een wind. Modellen plaatsen de overgang bij $\lambda$ tussen ongeveer 1.5 en 3.

Definitie 27.7 (Hydrodynamische, niet-thermische en diffusiebeperkte ontsnapping)

Hydrodynamische ontsnapping is het verlies van een bovenste atmosfeer die als geheel wegstroomt, van bovenaf verwarmd, wanneer de ontsnappingsparameter klein is; de stroming kan zwaardere deeltjes met zich meeslepen. Niet-thermische ontsnapping is het verlies van deeltjes die worden versneld door andere processen dan warmte: fotochemische reacties die fragmenten meer energie geven dan de ontsnappingsenergie, ionen die worden opgepikt door het elektrische veld van de zonnewind, sputtering door ionen die de bovenste atmosfeer raken, en de uitstroom van ionen langs magnetische veldlijnen. Diffusiebeperkte ontsnapping is ontsnapping waarvan de snelheid niet bij de exobasis wordt bepaald maar lager, door de snelheid waarmee het ontsnappende gas omhoog kan diffunderen door het zwaardere gas erboven, boven de homopauze, het niveau waarboven moleculaire diffusie, en niet turbulentie, de menging bepaalt.

Propositie 27.8 (Diffusielimiet)

Een licht gas met mengverhouding $f$ en moleculaire massa $m_i$, dat diffundeert door een zwaarder gas met moleculaire massa $m_a$ en schaalhoogte $H_a = kT/m_a g$ met de binaire diffusieparameter $b$ kan niet sneller omhoog stijgen dan

$$\Phi_\mathrm{DL} = b\,f\left(\frac1{H_a} - \frac1{H_i}\right) = \frac{b\,f\,(m_a - m_i)\,g}{kT} \approx \frac{b\,f}{H_a}.$$

Voor moleculaire waterstof die omhoog stijgt door koolstofdioxide geldt $b \approx 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $200\,\mathrm{K}$, en met de zwaartekracht van de Aarde is de limiet $\Phi_\mathrm{DL} \approx 3.0 \times 10^{13}\,f\,(200\,\mathrm{K}/T)^{1/4}$ moleculen $\ce{H2}$ per vierkante centimeter per seconde, waarbij $f$ alle waterstof als $\ce{H2}$ telt. Op de Aarde vandaag is het ontsnappen van waterstof diffusiebeperkt: bij zonneminimum, wanneer de exobasis kouder is en de Jeans-ontsnapping trager, neemt ontsnapping door ladingsuitwisseling met ionen het tekort over, en blijft het totaal ongeveer gelijk. De aanvoer, niet de exobasis, bepaalt de snelheid.

27.3 Venus en het op hol geslagen broeikaseffect

Venus ontvangt $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ van de Zon, 1.91 keer het aandeel van de Aarde. De wolken van zwavelzuur weerkaatsen daarvan 77 %, zodat het minder absorbeert dan de Aarde; toch is het oppervlak op $737\,\mathrm{K}$ onder $92\,\mathrm{bar}$ aan een atmosfeer van 96.5 % koolstofdioxide. Het bevat $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ water, tegenover $1.4 \times 10^{21}\,\mathrm{kg}$ op de Aarde, ongeveer 30 delen per miljoen naar volume onder de wolken.

Een planeet met een oceaan wordt in evenwicht gehouden door zijn uitgaande straling. Wanneer hij opwarmt, verdampt meer water; waterdamp is een broeikasgas, dus de uitgaande straling neemt minder snel toe dan $\sigma T^4$, maar ze neemt toe, en de opwarming stopt. Die groei kent een grens.

Propositie 27.9 (Stralingslimiet van een vochtige atmosfeer)

Wanneer het oppervlak van een oceaanplaneet heet genoeg is voor waterdamp om de bovenste atmosfeer te domineren, volgt de temperatuur daar de verzadigingscurve van water, en komt de infraroodstraling naar de ruimte van een niveau met vaste druk. De temperatuur daar en de uitgaande straling houden op toe te nemen met de oppervlaktetemperatuur.

Definitie 27.10 (Op hol geslagen broeikaseffect; limiet van het op hol geslagen broeikaseffect; vochtig broeikaseffect)

De limiet van het op hol geslagen broeikaseffect is de grootste flux van infraroodstraling die een planeet met een oceaan naar de ruimte kan zenden. Een op hol geslagen broeikaseffect is de toestand van een planeet die meer zonlicht absorbeert dan die limiet: hij kan zijn budget niet in balans brengen totdat de hele oceaan is verdampt en het oppervlak ver daarboven is opgewarmd. Een vochtig broeikaseffect is de toestand van een planeet, net onder het op hol geslagen effect, waarvan het oppervlak warm genoeg is opdat zijn stratosfeer een grote mengverhouding waterdamp bevat, die door ultraviolet licht wordt gesplitst en waarvan de waterstof ontsnapt.

Eenvoudige modellen zoals dat van de propositie geven zo’n limiet; met de werkelijke lijnen van waterdamp geeft een wolkenvrije lijn-voor-lijn-berekening legt die op $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ voor een Aardachtige planeet, en overzichtsartikelen noemen ongeveer $300\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Boven ongeveer $2000\,\mathrm{K}$ neemt de uitgaande flux weer toe, omdat de hete onderste atmosfeer straalt in het zichtbare en nabije infrarood, waar water weinig absorbeert: een planeet in een op hol geslagen broeikaseffect stelt zich in op een zeer hoge temperatuur, zodra zijn oceaan volledig damp is.

Met het albedo van een wolkenvrije stoomatmosfeer, 0.193, slaat een aardachtige planeet rond de Zon op hol wanneer hij 1.06 keer het zonlicht van de Aarde ontvangt, op $0.97\,\mathrm{au}$. Daarvoor, bij 1.015 keer het zonlicht van de Aarde en een oppervlaktetemperatuur van $340\,\mathrm{K}$, wordt zijn stratosfeer vochtig: op de Aarde vandaag wordt water koud gevangen aan de tropopauze, nabij $0.1\,\mathrm{bar}$, maar op een warmere planeet stijgt de koude val op en laat damp door. Wanneer de mengverhouding van water in de stratosfeer ongeveer $3 \times 10^{-3}$ bereikt, verwijdert diffusiebeperkte ontsnapping een oceaan aan waterstof in ongeveer de ouderdom van de Aarde.

Het deuterium van Venus meet wat er verloren is gegaan. Elk atoom dat ontsnapt, verwijdert waterstof en een beetje deuterium uit het overgebleven reservoir, net zoals elke druppel die als regen uitvalt, een beetje van de zware isotopen uit een wolk verwijdert.

Propositie 27.11 (Isotopenverrijking door ontsnapping)

Laat een reservoir van water waterstof aan de ruimte verliezen, waarbij elk deuteriumatoom ontsnapt met de efficiëntie $\alpha$ ten opzichte van een waterstofatoom ($\alpha < 1$). Wanneer het reservoir is gekrompen van $M_0$ tot $M$, is de verhouding $R = \mathrm{D}/\mathrm{H}$ gegroeid van $R_0$ tot

$$\frac R{R_0} = \left(\frac{M_0}M\right)^{1-\alpha}.$$

Als er helemaal geen deuterium ontsnapte ($\alpha = 0$), zou een honderdvoudige verrijking betekenen dat Venus ooit minstens honderd keer zijn huidige hoeveelheid water bevatte. Ontsnapping die minder fractioneert, vraagt om veel meer: bij diffusiebeperkte ontsnapping geldt $\alpha \approx 0.8$, en een honderdvoudige verrijking zou vereisen dat het reservoir krimpt met een factor $100^5$. De verhouding wordt opgevat als een ondergrens: minstens een paar tienden van een procent van een aardse oceaan, en schattingen van een vroege oceaan op Venus lopen uiteen van 4 tot $525\,\mathrm{m}$ verspreid over het oppervlak. Twee voorbehouden blijven. Het meeste van de fractionering kan pas zijn opgetreden bij het verlies van de laatste paar bar water, en een gestage aanvoer van water uit kometen of vulkanen, die even snel verloren gaat als hij binnenkomt, zou dezelfde verhouding kunnen opbouwen. Venus verliest nog steeds water: zijn ontsnappende ionen zijn waterstof en zuurstof in de verhouding van twee op één, weggetrokken door een elektrisch veld dat vijf keer sterker is dan dat in de ionosfeer van de Aarde, rond een planeet zonder magnetisch veld.

27.4 Mars: een dunne atmosfeer en een nat verleden

Mars heeft een gemiddelde oppervlaktedruk van $6.36\,\mathrm{mbar}$, tussen 4.0 en $8.7\,\mathrm{mbar}$ afhankelijk van de seizoenen, 95 % koolstofdioxide, bij ongeveer $214\,\mathrm{K}$. De druk overschrijdt nauwelijks de drievoudigpuntsdruk van water, $6.1\,\mathrm{mbar}$: vloeibaar water kan aan het oppervlak niet blijven bestaan, waar ijs sublimeert. Toch zijn oude terreinen doorsneden door vertakte dalen, en bevatten ze mineralen die alleen in vloeibaar water ontstaan.

De dalen en de stroomgeulen van Mars vereisen, volgens geologische schattingen, een wereldwijde waterlaag van 100 tot $1500\,\mathrm{m}$ diep, tegenover 3 tot $25\,\mathrm{m}$ in zijn huidige ijs en atmosfeer. Veel van de rest is de ruimte in gegaan. Het baanvaartuig MAVEN mat dat de zonnewind gas van Mars afstript, ongeveer $100\,\mathrm{g}$ per seconde, driekwart ervan in de staart achter de planeet, waar de zonnewind stroomt, en een kwart in een pluim boven de polen; tijdens de zonnestormen van maart 2015 versnelde het verlies, en het was waarschijnlijk veel sneller toen de jonge Zon actiever was. Mars verliest ook waterstof, ongeveer $3 \times 10^{26}$ atomen per seconde gemiddeld vandaag: volgehouden gedurende vier miljard jaar, een verlies dat slechts een wereldwijde waterlaag van ongeveer $4\,\mathrm{m}$ diep oplevert.

Het tempo was niet altijd dat van vandaag. De schuinte van Mars, $25.2{}^{\circ}$ nu, heeft over de laatste 250 miljoen jaar geschommeld tussen 0 en $66{}^{\circ}$, rond een gemiddelde nabij $35{}^{\circ}$, terwijl die van de Aarde nauwelijks meer dan een graad varieert. De beweging is chaotisch en laat zich over miljarden jaren niet terugrekenen; elliptische kraters, door schampende inslagen gevormd, waarvan de oriëntaties de schuinte vastleggen, wijzen op een gemiddelde tussen ongeveer 10 en $30{}^{\circ}$ over de laatste 3.5 miljard jaar of zo. Bij een grote schuinte warmt de zomerpool op, meer waterdamp stijgt op, en klimaatmodellen geven een verlies van waterstof dat twintig keer sneller verloopt: over de geschiedenis van Mars een laag van de orde van $80\,\mathrm{m}$.

27.5 Titan: een methaancyclus

Titan, een maan die kleiner is dan Mars, heeft een dikkere atmosfeer dan de Aarde: met aan het oppervlak een druk die ongeveer 60 % hoger is, bij $-179{}^{\circ}\mathrm{C}$. De atmosfeer bestaat voor ongeveer 95 % uit stikstof en 5 % uit methaan, en omdat de zwaartekracht van de maan zwak is, reikt de atmosfeer tien keer zo hoog als die van de Aarde, tot bijna $600\,\mathrm{km}$. Ultraviolet licht splitst het methaan en de stikstof hoog in de atmosfeer; de brokstukken recombineren tot een oranje waas van zwaardere koolwaterstoffen die het oppervlak voor zichtbaar licht verbergen. Onder de waas speelt methaan de rol van water: het condenseert tot wolken, regent, snijdt rivierbeddingen uit en vult meren en zeeën van methaan en ethaan.

Of een vloeistof aan een oppervlak kan liggen, hangt af van het fasediagram en van de druk en temperatuur daar. Het oppervlak van Titan ligt net boven het tripelpunt van methaan, $90.67\,\mathrm{K}$ en $0.117\,\mathrm{bar}$, en onder het kritieke punt: vloeibaar methaan is mogelijk, en methaan bij 5 % van $1.6\,\mathrm{bar}$ zit niet ver van verzadiging. Het oppervlak van Mars ligt nabij het tripelpunt van water, dat van de Aarde ruim binnen het vloeistofgebied, en dat van Venus boven de kritieke temperatuur van water, $647\,\mathrm{K}$, waar geen vloeistof helemaal kan bestaan.

Titan houdt zijn stikstof gemakkelijk vast: bij zijn exobasis $\lambda = 41$ voor stikstof. Zijn waterstof, bij $\lambda$ rond 1.5, ontsnapt bijna vrij, en de ontsnapping van moleculaire waterstof wordt lager bepaald door de begrenzende flux door de homopauze, zoals op de Aarde. De zware verbindingen die uit het gebroken methaan ontstaan, bezinken naar het oppervlak, waar ze het zand vormen van uitgestrekte velden van duinen.

27.6 Planetaire bewoonbaarheid

De bewoonbare zone uit de schoolboeken is het bereik van afstanden tot een ster waarop een planeet zoals de Aarde vloeibaar water aan zijn oppervlak kan houden. De randen ervan zijn de grenzen die in dit hoofdstuk aan bod komen.

Definitie 27.12 (Planetaire bewoonbaarheid)

De planetaire bewoonbaarheid van een planeet is haar vermogen om vloeibaar water aan het oppervlak over geologische tijd te houden: ze ontvangt een stellaire flux binnen de grenzen van de bewoonbare zone; ze houdt haar atmosfeer en haar water vast tegen ontsnapping, en een langdurige koolstofcyclus regelt haar klimaat.

De binnenrand van de bewoonbare zone is het vochtige of het op hol geslagen broeikaseffect: een aardachtige planeet rond de Zon wordt vochtig bij $0.99\,\mathrm{au}$ en slaat op hol bij $0.97\,\mathrm{au}$. De buitenrand is het maximaal broeikaseffect: koolstofdioxide toevoegen verwarmt een planeet alleen tot het extra gas meer zonlicht terugverstrooit dan zijn broeikaseffect oplevert; rond de Zon gebeurt dat bij $1.70\,\mathrm{au}$, bij ongeveer $8\,\mathrm{bar}$ koolstofdioxide. Dat zijn conservatieve randen, berekend zonder wolken. Twee empirische randen zijn breder: Venus lijkt minstens een miljard jaar geen oppervlaktewater te hebben gehad, toen het 1.76 keer het huidige zonlicht van de Aarde ontving ($0.75\,\mathrm{au}$); Mars had stromend water toen het 0.32 keer dat zonlicht ontving, als de valleien 3.8 miljard jaar oud zijn ($1.77\,\mathrm{au}$). Rond koelere sterren komen dezelfde grenzen bij lagere fluxen, omdat hun roodere licht minder wordt verstrooid en meer wordt geabsorbeerd door water en koolstofdioxide.

Afstand alleen is niet genoeg. Een planeet moet zijn atmosfeer vasthouden: een kleine of hete, waarvan de ontsnappingsparameter laag is, verliest zijn waterstof en daarmee zijn water, en een planeet in een vochtig broeikaseffect droogt van bovenaf uit. Hij moet ook zijn klimaat over miljarden jaren stabiel houden, terwijl zijn ster helderder wordt: op de Aarde vormt de silicaatverwering-thermostaat van de langetermijnkoolstofcyclus trekt koolstofdioxide omlaag wanneer het klimaat opwarmt en laat het zich opbouwen wanneer het afkoelt. Op Venus, zonder platentektoniek, uitgegast koolstofdioxide heeft nooit een weg terug in de gesteenten gevonden en is in de lucht opgehoopt; het bevat nu ongeveer evenveel koolstofdioxide als de Aarde in carbonaatgesteenten heeft vastgelegd. Of een magnetisch veld een atmosfeer beschermt, is omstreden: het schermt de bovenste atmosfeer af van de zonnewind, maar het opent ook andere ontsnappingswegen, zoals de uitstroom van ionen nabij de polen, en de bewoonbaarheid van een planeet valt niet af te lezen uit zijn plaats in de bewoonbare zone alleen.

27.7 Oefeningen

Oefening 27.1 ★

Bereken de schaalhoogte $H = RT/Mg$ vlak boven het oppervlak van Venus ($737\,\mathrm{K}$, koolstofdioxide met molaire massa $44.01\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g = 8.87\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), van de Aarde ($288\,\mathrm{K}$, $28.97\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), van Mars ($214\,\mathrm{K}$, $43.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) en van Titan ($94\,\mathrm{K}$, $28.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $1.35\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). Welke atmosfeer is de meest uitgebreide, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

$H = RT/Mg$: Venus $8.314\times737/(0.04401\times8.87) = 15.7\,\mathrm{km}$; de Aarde $8.314\times288/(0.02897\times9.80) = 8.4\,\mathrm{km}$; Mars $8.314\times214/(0.04334\times3.71) = 11.1\,\mathrm{km}$; Titan $8.314\times94/(0.0280\times1.35) = 20.7\,\mathrm{km}$. De atmosfeer van Titan, hoe koud ook, is de meest uitgebreide: zijn zwaartekracht is zeven keer zwakker dan die van de Aarde.

Oefening 27.2 ★

De exobasis van de Aarde ligt op $500\,\mathrm{km}$ (straal $6878\,\mathrm{km}$); de temperatuur ervan varieert van 800 tot $1600\,\mathrm{K}$ over de zonnecyclus. Neem de massa van de Aarde als $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Bereken de ontsnappingsparameter van waterstofatomen bij beide temperaturen, en de ontsnappende fractie $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$. Met welke factor verandert de zonnecyclus die?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

$\lambda = GMm/kTr = 6.674 \times 10^{-11}\times5.97 \times 10^{24}\times1.674 \times 10^{-27} /(1.381 \times 10^{-23}\,T\times6.878 \times 10^{6})$: 8.78 bij $800\,\mathrm{K}$, 4.39 bij $1600\,\mathrm{K}$. De ontsnappende fracties zijn $9.78\,e^{-8.78} = 1.5 \times 10^{-3}$ en $5.39\,e^{-4.39} = 6.7 \times 10^{-2}$: de zonnecyclus verandert de ontsnappende fractie van waterstof met een factor van ongeveer 44.

Oefening 27.3 ★

Rond de Zon wordt een aardachtige planeet vochtig bij de flux $S_\mathrm{eff} = 1.014$, raakt op hol bij 1.0512 en bereikt het maximale broeikaseffect bij 0.3438 (fluxen ten opzichte van die van de Aarde). (a) Bereken de drie afstanden, in astronomische eenheden. (b) Venus en Mars ontvangen respectievelijk 1.91 en 0.43 keer het zonlicht van de Aarde. Plaats ze.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

(a) $d = S_\mathrm{eff}^{-1/2}$: vochtig broeikaseffect $0.993\,\mathrm{au}$, op hol geslagen $0.975\,\mathrm{au}$, maximaal broeikaseffect $1.705\,\mathrm{au}$. (b) Venus, op 1.91, ontvangt meer dan de flux bij de limiet van het op hol geslagen broeikaseffect en zelfs meer dan de empirische limiet voor recent Venus (1.78): het ligt binnen de binnenrand. Mars, op 0.43, ligt tussen 1.014 en 0.3438, binnen de conservatieve bewoonbare zone: zijn droogte komt van zijn geringe grootte en het verlies van zijn atmosfeer, niet van zijn afstand.

Oefening 27.4 ★

De dampdruk van vloeibaar methaan is $\log_{10}(p/\mathrm{bar}) = 3.9895 - 443.028/(T/\mathrm{K} - 0.49)$. (a) Bereken die aan het oppervlak van Titan, $94.15\,\mathrm{K}$. (b) Methaan vormt 5 % van de lucht van Titan bij $1.6\,\mathrm{bar}$. Bereken de partiële druk ervan en de relatieve luchtvochtigheid. (c) Wat suggereert het resultaat over verdamping uit de zeeën van Titan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

(a) $\log_{10}p = 3.9895 - 443.028/93.66 = -0.741$, $p = 0.18\,\mathrm{bar}$. (b) $0.05\times1.6 = 0.080\,\mathrm{bar}$, een relatieve luchtvochtigheid van $0.080/0.18 = 44\,\%$. (c) De lucht boven de zeeën is ver van verzadigd: methaan verdampt uit de zeeën, net zoals water uit de oceanen van de Aarde verdampt, en de vochtige lucht moet stijgen en afkoelen voordat het regent.

Oefening 27.5 ★★

Aan de exobasis van de Aarde ($1000\,\mathrm{K}$, $\lambda = 7.02$ voor waterstof), bereken de ontsnappingsparameter van deuterium, de thermische snelheid ervan ten opzichte van die van waterstof en de verhouding van de Jeans-flux per atoom, D ten opzichte van H. Is Jeans-ontsnapping een sterk isotopenfilter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

$\lambda_\mathrm D = 7.02\times2.014/1.008 = 14.0$. $u_\mathrm D/u_\mathrm H = \sqrt{1.008/2.014} = 0.71$. Verhouding per atoom $= 0.71\times(15.0\, e^{-14.0})/(8.02\,e^{-7.02}) = 0.71\times1.69 \times 10^{-3} = 1.2 \times 10^{-3}$. Jeans-ontsnapping laat bijna geen deuterium ontsnappen: het is een sterk filter, met $\alpha \approx 0.001$.

Oefening 27.6 ★★

De verhouding D/H van het water van Venus is $0.016$; die van oceaanwater op de Aarde is $1.5575 \times 10^{-4}$. (a) Bereken de verrijking. (b) Zonder enige ontsnapping van deuterium, wat is de kleinste vroegere voorraad water van Venus, gegeven $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ vandaag? Welke diepte zou die opleveren, uitgespreid over het oppervlak van de planeet van $4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$? (c) Welke krimp van het reservoir zou diffusiebeperkte ontsnapping, met $\alpha = 0.8$, vereisen? Trek een conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

(a) $0.016/1.5575 \times 10^{-4} = 103$. (b) Met $\alpha = 0$ is de verrijking $M_0/M$: $M_0 = 103\times6 \times 10^{15} = 6.2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, of $6.2 \times 10^{17}/(1000\times4.60 \times 10^{14}) = 1.3\,\mathrm{m}$ water boven Venus. (c) $M_0/M = 103^{1/0.2} = 1.2 \times 10^{10}$, een vroegere voorraad van $7 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, twaalf keer de massa van de Aarde: onmogelijk. De verrijking vereist een sterk fractionerende ontsnapping (Jeans of niet-thermisch), die ten minste tijdens het verlies van het laatste water actief is, of een stationaire toestand met een aanvoer van water.

Oefening 27.7 ★★

Mars, met een straal van $3389.5\,\mathrm{km}$, verliest ongeveer $3 \times 10^{26}$ waterstofatomen per seconde. (a) Als elk paar atomen afkomstig was van een watermolecuul, welke wereldwijde waterlaag verwijdert het verlies dan in vier miljard jaar? (b) Dezelfde vraag bij $6 \times 10^{27}$ atomen per seconde, het tempo van een hoge obliquiteit. (c) Vergelijk met de 100 tot $1500\,\mathrm{m}$ die de valleien en geulen nodig hebben.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

(a) In vier miljard jaar ($1.26 \times 10^{17}$ s) verliest Mars $3.8 \times 10^{43}$ atomen, $1.9 \times 10^{43}$ watermoleculen, $5.7 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$; over $4\pi(3.3895 \times 10^{6})^2 = 1.44 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, wat neerkomt op een laag $3.9\,\mathrm{m}$ diep. (b) Twintig keer meer, $78\,\mathrm{m}$. (c) Zelfs de snelheid bij grote scheefstand bereikt alleen het onderste eind van de 100 tot $1500\,\mathrm{m}$; de rest ging de korst en het ijs in, of ging sneller verloren toen de Zon jong was.

Oefening 27.8 ★★

(a) Bereken de massa van de atmosfeer van Mars uit de gemiddelde oppervlaktedruk, $636\,\mathrm{Pa}$, de zwaartekracht, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en de straal. (b) De zonnewind verwijdert ongeveer $100\,\mathrm{g}$ gas per seconde. Welke massa verwijdert dat in vier miljard jaar, en in hoeveel tijd zou het de huidige atmosfeer verwijderen? (c) Waarom is dat een onderschatting van het verlies in het verleden? past loss?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

(a) $m = pA/g = 636\times1.44 \times 10^{14}/3.71 = 2.5 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. (b) $0.1\times1.26 \times 10^{17} = 1.3 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$, de helft van de huidige atmosfeer; het geheel ervan in $2.5 \times 10^{16}/0.1 = 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, $7.8$ miljard jaar. (c) De jonge Zon was actiever en haar stormen kwamen vaker voor, en het verlies groeit tijdens stormen; andere kanalen (waterstof, sputtering, fotochemische ontsnapping) worden niet meegerekend.

Oefening 27.9 ★★

Een aardachtige planeet met een wolkenvrije stoomatmosfeer weerkaatst 19.3 % van het zonlicht dat hij ontvangt; zijn infrarode uitstraling kan $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ niet overschrijden. (a) Boven welke zonnestraling, in watt per vierkante meter en ten opzichte van de $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ van de Aarde, loopt hij op hol? (b) Vergelijk met Venus vandaag, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, en met een jonge Venus onder een Zon op 70 % van zijn huidige lichtkracht. (c) Waarom is de conclusie voor de jonge Venus niet definitief?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

(a) $S(1 - 0.193)/4 = 291$ geeft $S = 1442\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, 1.06 keer die van de Aarde. (b) Venus zou vandaag $0.807\times2601/4 = 525\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ absorberen; een jong Venus, $0.7\times2601 = 1821\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ontvangen, $367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ geabsorbeerd: beide liggen boven de limiet, dus een wolkenvrij jong Venus zou vanaf het begin op hol zijn geslagen. (c) Wolken verhogen het albedo; driedimensionale modellen met wolken hebben een pad naar een bewoonbaar jong Venus gevonden.

Oefening 27.10 ★★★

Een modelthermosfeer van atomair zuurstof is isotherm bij $1000\,\mathrm{K}$, met $n = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ op $200\,\mathrm{km}$; neem $g = 9.21\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ op die hoogte en een botsingsdoorsnede $\sigma_c = 3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$. (a) Bereken de schaalhoogte van het zuurstof. (b) Bereken de dichtheid aan de exobasis en de hoogte van de exobasis. (c) De zwaartekracht neemt af met de hoogte. Verplaatst dat de exobasis omhoog of omlaag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

(a) $H = kT/mg = 1.381 \times 10^{-23}\times1000/(16\times1.661 \times 10^{-27}\times9.21) = 56\,\mathrm{km}$. (b) $n_\mathrm{exo} = 1/(\sigma_c H) = 1/(3 \times 10^{-19}\times 5.64 \times 10^{4}) = 5.9 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$; $z = 200 + 56.4\ln(1 \times 10^{16}/ 5.9 \times 10^{13}) = 200 + 56.4\times5.13 = 490\,\mathrm{km}$. (c) Doordat de zwaartekracht hoger zwakker is, neemt de schaalhoogte met de hoogte toe, zodat de dichtheid langzamer daalt dan aangenomen: de exobasis schuift omhoog.

Oefening 27.11 ★★★

(a) Stel dat de stratosfeer van de Aarde vochtig werd, met een mengverhouding van waterdamp van $3 \times 10^{-3}$ (geteld als $\ce{H2}$). Neem de diffusiegrens $3.0 \times 10^{13}\,f$ moleculen $\ce{H2}$ per vierkante centimeter en per seconde, bij $200\,\mathrm{K}$, bereken het waterstofverlies van de hele Aarde (straal $6371\,\mathrm{km}$). (b) Hoe lang zou een oceaan, $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ water, het uithouden? Vergelijk met de ouderdom van de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

(a) $\Phi = 3.0 \times 10^{13}\times3 \times 10^{-3} = 9 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; over $4\pi(6.371 \times 10^{6})^2 = 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $4.6 \times 10^{29}$ moleculen $\ce{H2}$ per seconde. (b) Een oceaan bevat $1.4 \times 10^{24}/18.015\times6.022 \times 10^{23} = 4.7 \times 10^{46}$ watermoleculen, één $\ce{H2}$ elk: het duurt $1.0 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.2\text{ miljard jaar}$, vergelijkbaar met de ouderdom van de Aarde, en daarom markeert een mengverhouding van $3 \times 10^{-3}$ de limiet voor het vochtig broeikaseffect.

Oefening 27.12 ★★★

In een bovenatmosfeer van zuivere stoom die als grijs gas absorbeert met $\kappa = 0.005\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}^{-1}$, op een planeet met $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ en $D = 1.66$: (a) bereken de druk $p_1$ van het stralende niveau; (b) met $p_\mathrm{sat}(T) = 611.657\,\mathrm{Pa}\,\exp[(L/R_v)(1/T_t - 1/T)]$, $L = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $R_v = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_t = 273.16\,\mathrm{K}$, bereken de temperatuur ervan en de stralingsgrens. (c) De lijn-voor-lijngrens is $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Moet het effectieve $\kappa$ van echte waterdamp groter of kleiner zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.12.

(a) $p_1 = g/D\kappa = 9.81/(1.66\times0.005) = 1180\,\mathrm{Pa}$. (b) $1/T = 1/273.16 - \ln(1182/611.657)\times461.5/2.5 \times 10^{6}$, $T = 282.5\,\mathrm{K}$, en $\sigma T^4 = 361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) De werkelijke limiet is lager, dus het stralingsniveau ligt kouder en op lagere druk: echte waterdamp is ondoorzichtiger dan dit grijze gas, en zijn effectieve $\kappa$ groter.

27.8 Probleem: Zal Kepos zijn water behouden?

Probleem 27.1

Weekendprobleem — ontsnapping en bewoonbaarheid van een verzonnen oceaanplaneet

Kepos is een verzonnen planeet met een massa van $5.2 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ en een straal van $6200\,\mathrm{km}$, met oceanen en een atmosfeer van stikstof en koolstofdioxide. Hij draait op $0.60\,\mathrm{au}$ om een ster met een lichtkracht van 0.30 maal die van de Zon en een effectieve temperatuur van $4800\,\mathrm{K}$. Zijn exobasis ligt $500\,\mathrm{km}$ boven het oppervlak, bij $1400\,\mathrm{K}$, met $2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ waterstofatomen; zijn homopauze ligt bij $200\,\mathrm{K}$, waar koolstofdioxide domineert en waar waterstof in al zijn vormen een mengverhouding $f = 1 \times 10^{-3}$ heeft, geteld als $\ce{H2}$. Een Aardse oceaan is $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ water.

Deel I — De exobasis.

1. Bereken de zwaartekracht aan het oppervlak en de gemiddelde dichtheid van Kepos.
2. Bereken de ontsnappingssnelheid aan de exobasis.
3. Bereken de thermische snelheid $u = \sqrt{2kT/m}$ van waterstof-, helium- en zuurstofatomen aan de exobasis.
4. Bereken hun ontsnappingsparameters.
5. Welke van hen kunnen door Jeans-ontsnapping met een significant tempo ontsnappen? Komt er een dicht bij het hydrodynamische regime?
6. Tijdens een actieve jeugd van zijn ster kan de exobasis van Kepos $3000\,\mathrm{K}$ hebben bereikt. Wat was toen de ontsnappingsparameter van waterstof, en wat suggereert dat?

Deel II — Jeans-ontsnapping van waterstof.

7. Bereken de ontsnappende fractie $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$ voor waterstof.
8. Bereken de Jeans-flux van waterstof, per vierkante meter en per seconde.
9. Bereken het aantal waterstofatomen dat de hele exobasis verlaat per seconde.
10. Hoeveel waterstofatomen bevat een Aardse oceaan?
11. Hoelang zou Kepos er met dit tempo over doen om ze te verliezen?
12. Bereken de ontsnappingsparameter van deuterium en de ontsnappingsefficiëntie ten opzichte van waterstof, per atoom.

Deel III — De diffusiegrens.

13. Bereken de schaalhoogte van koolstofdioxide aan de homopauze.
14. De binaire diffusieparameter van waterstof in koolstofdioxide is $b = 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $200\,\mathrm{K}$. Bereken de diffusiebeperkte flux van $\ce{H2}$, per vierkante meter en per seconde.
15. Controleer dit tegen de grens van de Aarde, $3.0 \times 10^{13}\,f$ moleculen per vierkante centimeter en per seconde, geschaald met de zwaartekracht.
16. Bereken het aantal waterstofatomen dat de diffusiegrens per seconde kan leveren aan de bovenatmosfeer van de hele planeet (neem het oppervlak van de planeet).
17. Vergelijk met vraag 9. Welk proces beperkt de ontsnapping, en wat gebeurt er met het waterstof van de thermosfeer?
18. Welke dichtheid van waterstof aan de exobasis zou ervoor zorgen dat Jeans-ontsnapping de hele aanvoer kan afvoeren?
19. Hoelang zou Kepos erover doen om een Aardse oceaan waterstof te verliezen bij de diffusiegrens?

Deel IV — Ligt Kepos in de bewoonbare zone?

20. Bereken de stellaire flux die Kepos ontvangt, ten opzichte van die van de Aarde.
21. Voor een ster van $4800\,\mathrm{K}$ ligt de limiet van het vochtige broeikaseffect bij $S_\mathrm{eff} = 0.939$ en het maximale broeikaseffect bij 0.290. Bereken de randen van de bewoonbare zone, in astronomische eenheden, en plaats Kepos.
22. Met welke factor moet de ster helderder worden voordat Kepos de binnenrand bereikt?
23. Bereken, met een albedo van 0.3, het zonlicht dat Kepos per vierkante meter absorbeert, en zijn evenwichtstemperatuur. Vergelijk met de limiet van het op hol geslagen broeikaseffect.
24. Als een warmer klimaat de stratosfeer van Kepos vochtig maakte, met $f = 3 \times 10^{-3}$, hoelang zou een Aardse oceaan het dan uithouden?
25. Geef de tijd die Kepos nodig heeft om een Aardse oceaan waterstof te verliezen door diffusiebeperkte ontsnapping met $f = 1 \times 10^{-3}$, in miljarden jaren, op twee significante cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 27.1.

1. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.2 \times 10^{24}/(6.2 \times 10^{6})^2 = 9.03\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3 = 5210\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/r} = \sqrt{2\times3.47 \times 10^{14}/6.7 \times 10^{6}} = 10.18\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $u = \sqrt{2kT/m}$: waterstof $4.81\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, helium $2.41\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, zuurstof $1.21\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

4. $\lambda = (v_\mathrm{esc}/u)^2$: 4.49, 17.8, 71.2.

5. Alleen waterstof: de ontsnappende fractie is 0.06, die van helium $3.5 \times 10^{-7}$, die van zuurstof $9 \times 10^{-30}$. Geen van deze ligt in de buurt van het hydrodynamische regime, $\lambda \approx 1.5$ tot 3.

6. $\lambda = 4.49\times1400/3000 = 2.09$: binnen de overgang; waterstof zou hydrodynamisch zijn weggestroomd en mogelijk zwaardere gassen met zich mee hebben gesleept.

7. $(1 + 4.49)\,e^{-4.49} = 0.0618$.

8. $n u/2\sqrt\pi = 2 \times 10^{11}\times4806/3.545 = 2.71 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Phi_\mathrm J = 2.71 \times 10^{14}\times0.0618 = 1.68 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. $4\pi(6.7 \times 10^{6})^2 = 5.64 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; $9.5 \times 10^{27}$ atomen per seconde.

10. $1.4 \times 10^{24}/18.015 = 7.8 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$, $4.68 \times 10^{46}$ moleculen, $9.36 \times 10^{46}$ waterstofatomen.

11. $9.36 \times 10^{46}/9.5 \times 10^{27} = 9.9 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, ongeveer 310 miljard jaar.

12. $\lambda_\mathrm D = 4.49\times2.014/1.008 = 8.96$; ontsnappende fractie $9.96\,e^{-8.96} = 1.28 \times 10^{-3}$; relatieve efficiëntie $0.707\times 1.28 \times 10^{-3}/0.0618 = 0.015$.

13. $H_a = kT/m_a g = 1.381 \times 10^{-23}\times200/(44.01\times1.661 \times 10^{-27} \times9.03) = 4.18\,\mathrm{km}$.

14. $b = 1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus

$$\Phi_\mathrm{DL} = \frac{b f(m_a - m_i)}{m_a H_a} = \frac{1.2 \times 10^{21}\times1 \times 10^{-3}\times(42.0/44.0)}{4185} = 2.74 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.$$

15. $3.0 \times 10^{13}\times1 \times 10^{-3}\times9.03/9.81 = 2.76 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.76 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: hetzelfde binnen 1 %.

16. $4\pi(6.2 \times 10^{6})^2 = 4.83 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; $1.32 \times 10^{29}$ moleculen van $\ce{H2}$, $2.64 \times 10^{29}$ atomen per seconde.

17. De diffusiegrens levert 28 keer zoveel als wat de exobasis bij de huidige dichtheid laat ontsnappen. Waterstof hoopt zich op in de thermosfeer totdat de Jeans-flux gelijk is aan de toevoer: op de lange termijn is de ontsnapping diffusiebeperkt, zoals op de Aarde.

18. $2 \times 10^{11}\times28 = 5.6 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$.

19. $4.68 \times 10^{46}/1.32 \times 10^{29} = 3.54 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, 11.2 miljard jaar.

20. $S = 0.30/0.60^2 = 0.833$.

21. $d = \sqrt{L/S_\mathrm{eff}}$: binnenrand $\sqrt{0.30/0.939} = 0.565\,\mathrm{au}$, buitenrand $\sqrt{0.30/0.290} = 1.02\,\mathrm{au}$. Kepos, op $0.60\,\mathrm{au}$, ligt binnen, dicht bij de binnenrand.

22. $0.939/0.833 = 1.13$: een toename van de helderheid met 13 %.

23. $0.833\times1361\times0.7/4 = 198\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $T_\mathrm{eq} = (198/\sigma)^{1/4} = 243\,\mathrm{K}$; ruim onder de $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$-grens (berekend voor een Zon-achtige ster, maar de marge is ruim).

24. Drie keer zo snel: 3.7 miljard jaar.

25. 11 miljard jaar.