8Structurele analyse

Een geoloog heeft tweehonderd gelaagdheidsvlakken gemeten op de flanken van een plooi die te groot is om in één keer te overzien: het scharnier ligt onder een bos, de flanken lopen kilometers ver door. Elke meting is een paar getallen. Uitgezet als punten in een cirkelvormig diagram vallen de polen van de vlakken langs één kromme, een grootcirkel, en de pool van die grootcirkel is de plooias, een lijn die niemand ooit heeft gezien. Dit hoofdstuk bouwt het diagram, de stereografische projectie en gebruikt die samen met de vectorgereedschappen erachter om plooiassen te vinden, de rek te meten die vervormde objecten hebben vastgelegd, de spanning te herstellen die een reeks breuken heeft aangedreven, en een vervormde doorsnede terug te brengen naar de toestand van vóór de vervorming.

Wat je al weet

Grootcirkels en kleine cirkels van een bol staan in Boek 3, in het hoofdstuk over sferische astronomie; strekking, helling, hellingrichting, richting en duik in de hoofdstukken over geologische kaarten en doorsneden; de naar boven gerichte eenheidsnormaal van een vlak met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$, $\vec n = (\sin\delta \sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ in oost-, noord- en opwaartse componenten, en het vectorgemiddelde van een reeks metingen in het eerste hoofdstuk over veld- en laboratoriummethoden. Plooielementen en -klassen, de scharnierlijn van een plooi evenwijdig aan $\vec n_1\times\vec n_2$ en de interflankhoek $180{}^{\circ} - \arccos(\vec n_1\cdot\vec n_2)$, evenals Andersons theorie van breukvorming, staan in het hoofdstuk over breuken, plooien en fabrieken; spanning, de hoofdspanningen, de rekellips en de eenvoudige schuif in het hoofdstuk over spanning, rek en reologie; de rake van een glijvector (uit de strekking, $-90{}^{\circ}$ voor een afschuiving, $90{}^{\circ}$ voor een opschuiving, 0 sinistraal en $180{}^{\circ}$ dextraal) en de P- en T-assen van een haardmechanisme in het hoofdstuk over de aardbevingsbron. De uitgebalanceerde doorsnede en het décollement staan in Boek 4, in het hoofdstuk over de Alpen. De kleinste kwadraten staan in Sectie 1.4; eigenwaarden en eigenvectoren van een symmetrische matrix staan in de wiskundeboeken.

8.1 De stereografische projectie

De gegevens van een geoloog zijn oriëntaties: de stand van een gelaagdheidsvlak, een breuk, een foliatie; de richting en duik van een lineatie, een plooischarnier, een glijrichting. Elk ervan is een richting door een punt, zonder positie. Om er honderden met elkaar te vergelijken, denke men ze zich allemaal verplaatst naar het middelpunt van één bol: een lijn snijdt de onderhelft van de bol in één punt, een vlak snijdt haar langs een halve grootcirkel. Een diagram van de onderhelft toont dan lijnen als punten en vlakken als krommen.

Definitie 8.1 (Stereografische projectie, hoekgetrouw net, oppervlaktegetrouwe projectie, pool)

Laat een lijn door het middelpunt $O$ van een bol met straal $R$ de onderhelft snijden in $P$, onder de hoek $\theta = 90{}^{\circ} - p$ vanaf het nadir, waarin $p$ de duik van de lijn is en $t$ haar richting. De stereografische projectie brengt $P$ over op het punt waar de rechte lijn van het zenit naar $P$ snijdt de horizontale vlakte door $O$; dat punt ligt op de afstand $r$ van $O$ in het azimuth $t$. Het diagram van de onderhelft, zo getekend, met zijn rooster van grootcirkels en kleine cirkels, is het hoekgetrouw net (of Wulffnet). De oppervlaktegetrouwe projectie (van de bol) brengt $P$ over op het punt op de afstand $r = R\sqrt2\sin(\theta/2)$ in het azimuth $t$; haar net is het Schmidtnet. De pool van een vlak is zijn normaallijn, uitgezet als een punt: voor een vlak met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$, de pool heeft een richting $\alpha + 180{}^{\circ}$ en een duik $90{}^{\circ} - \delta$.

Beide projecties leggen een verticale lijn in het midden en een horizontale lijn op de cirkel met straal $R$, de primitieve. Ze verschillen in wat ze bewaren.

Stelling 8.2 (De twee projecties)

1. De stereografische projectie plaatst $P$ op $r = R\tan(\theta/2)$. Ze is conform: op elk punt rekt ze alle richtingen met dezelfde factor, $1/(2\cos^2(\theta/2))$, zodat ze de hoeken tussen krommen bewaart.
2. De oppervlaktegetrouwe projectie vermenigvuldigt elk oppervlak met dezelfde factor, $1/2$: het oppervlak van een gebied op het net is de helft van het oppervlak van het gebied op de halve bol dat het voorstelt.

De stereografische projectie brengt ook elke cirkel van de bol, groot of klein, over op een cirkel of een rechte lijn op het diagram; dat nemen we aan. Ze maakt het hoekgetrouwe net eenvoudig met passer te tekenen, en een kleine cirkel, de kegel van de lijnen op een vaste hoek van een as, behoudt haar vorm. De oppervlaktegetrouwe projectie vervormt vormen: een kleine cirkel wordt een ovaal, uitgerekt langs de primitieve. Het is de projectie waarop een wolk van polen geteld kan worden, omdat een gelijk oppervlak van het net een gelijk deel van de richtingen van de halve bol bevat; structurele geologen, en seismologen voor hun haardmechanismen, gebruiken haar voor hun gegevens.

Vlakken, lijnen en hoeken. Een vlak met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$ snijdt de onderste halve bol langs een halve grootcirkel. De uiteinden liggen op de primitieve aan de twee uiteinden van de strekking; het midden is de lijn van steilste helling, die onder $\delta$ duikt richting $\alpha$; en zijn pool ligt $90{}^{\circ}$ van elk punt ervan, in het azimut $\alpha + 180{}^{\circ}$. Een lijn in het vlak is een punt op de grootcirkel. Om gegevens uit te zetten wordt een doorzichtige overlay op het net gelegd en om het middelpunt gedraaid tot de strekking van de gegevens langs de noord–zuiddiameter van het net ligt; daarna wordt de grootcirkel van de juiste helling getekend, en wordt de overlay weer teruggedraaid. De hoek tussen twee lijnen wordt gemeten langs de grootcirkel door beide punten, door de verdelingen van de kleine cirkels te tellen die hij kruist, nadat de overlay is gedraaid tot beide punten op één grootcirkel van het net liggen. De hoek tussen twee vlakken is de hoek tussen hun polen, of het supplement daarvan. Een computer doet hetzelfde met vectoren: de hoek tussen twee lijnen van eenheidsvectoren $\vec u$ en $\vec v$ is $\arccos|\vec u\cdot\vec v|$.

Methode 8.3 (Rotatie van gegevens om een as)

Om een kanteling ongedaan te maken, bijvoorbeeld om een laag weer horizontaal te brengen met de lineaties die erin zitten, of om een paleomagnetische richting te herstellen die is gemeten in gekantelde lagen (in Hoofdstuk 4):

1. Kies de rotatieas: voor een gekantelde laag de strekkingslijn ervan, horizontaal; de hoek is de helling, in de zin die de laag omhoog brengt.
2. Draai op het net de overlay tot de as langs de noord–zuiddiameter ligt, waar de kleine cirkels de kegels rond de as vormen.
3. Verplaats elk punt langs zijn kleine cirkel over de rotatiehoek, gemeten op de grootcirkels. Een punt dat de onderste halve bol zou verlaten, verschijnt weer aan het andere eind van zijn kleine cirkel, in het tegengestelde azimut.
4. Draai de overlay terug. Met vectoren is de rotatie van $\vec v$ over de hoek $\omega$ om de eenheidsas $\vec k$ is $\vec v' = \vec v \cos\omega + (\vec k\times\vec v)\sin\omega + \vec k(\vec k\cdot\vec v)(1 - \cos\omega)$.

8.2 Plooianalyse

Een cilindrische plooi ontstaat doordat een rechte lijn, de plooias, evenwijdig aan zichzelf wordt verplaatst. Elk vlak dat het geplooide oppervlak raakt, bevat de as, dus staat elke normaal op het oppervlak loodrecht op de as: alle polen liggen op de grootcirkel van het vlak loodrecht op de as.

Definitie 8.4 (Pi-diagram, bèta-as)

Het pi-diagram van een plooi is de weergave van de polen van de vlakken die op het geplooide oppervlak zijn gemeten. Bij een cilindrische plooi liggen ze op een grootcirkel, de $\pi$-gordel; de pool van de gordel is de bèta-as, de schatting van de plooias op basis van de metingen.

Bij slechts twee flanken is de bèta-as het uitproduct van hun normalen, zoals Boek 3 voor de scharnierlijn liet zien. Bij tweehonderd verspreide metingen is een best fit nodig. Het vectorgemiddelde, dat voor de metingen van één vlak diende, voldoet niet: de polen van een gordel wijzen langs die gordel in alle richtingen, en hun gemiddelde zegt weinig over de cirkel waarop zij liggen.

Definitie 8.5 (Oriëntatietensor)

De oriëntatietensor van $N$ eenheidsvectoren $\vec p_1, \dots, \vec p_N$ is de symmetrische matrix

$$T = \frac1N\sum_{i=1}^N \vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T}, \qquad T_{jk} = \frac1N\sum_i p_{ij}\,p_{ik} .$$

Zij verandert niet wanneer een vector door zijn tegengestelde wordt vervangen, en is daarom geschikt voor assen en polen, die geen richting hebben. Haar eigenwaarden $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3 \ge 0$ tellen op tot het spoor, $1$.

Stelling 8.6 (Cluster en gordel uit de oriëntatietensor)

Voor elke eenheidsvector $\vec u$ geldt

$$\frac1N\sum_{i=1}^N (\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}T\,\vec u ,$$

Dit neemt zijn kleinste waarde aan, $\lambda_3$, wanneer $\vec u$ de eigenvector $\vec e_3$ van de kleinste eigenwaarde is, en zijn grootste, $\lambda_1$, langs de eigenvector $\vec e_1$. Omdat $\vec p_i\cdot\vec u$ de sinus is van de hoek tussen $\vec p_i$ en het vlak loodrecht op $\vec u$, is de grootcirkel loodrecht op $\vec e_3$ de gordel die de som van de gekwadrateerde sinussen van de afstanden van de polen tot die gordel minimaliseert, en $\sqrt{\lambda_3}$ is hun kwadratisch gemiddelde sinus. De as $\vec e_1$ is de lijn die het dichtst bij de vectoren ligt, de gemiddelde as van een cluster.

De eigenwaarden beschrijven de vorm van de data. Een cluster heeft $\lambda_1$ dicht bij 1 en de andere twee klein; een gordel heeft $\lambda_3$ dicht bij 0, de polen zijn over de cirkel gespreid, zodat $\lambda_1$ en $\lambda_2$ de rest delen; gelijkmatig verspreide vectoren geven drie eigenwaarden dicht bij $1/3$. Een plooi is cilindrisch binnen de nauwkeurigheid van de metingen, wanneer $\sqrt{\lambda_3}$ niet groter is dan de spreiding van herhaalde metingen van één vlak. Een kegelvormige plooi, of twee generaties plooien, spreidt de polen weg van elke grootcirkel en verhoogt $\lambda_3$.

De onderstaande figuur zet twaalf metingen uit van de twee flanken van de Varden-antiklinaal, de verzonnen plooi van deze reeks (Probleem 8.1 berekent de as ervan). De polen van de flauwe flanken clusteren dicht bij het middelpunt van het net in twee groepen, die samen een gordel vormen die bijna oost–west loopt; de bèta-as ligt op de primitieve, bijna precies noord. De gemiddelde vlakken van de twee flanken, getekend als grootcirkels, snijden elkaar in hetzelfde punt: de bèta-as is de lijn die gemeen is aan alle flanken.

8.3 Analyse van eindige rek

Een vervormde steen registreert zijn rek wanneer hij objecten bevat waarvan de oorspronkelijke vorm of de oorspronkelijke rangschikking bekend is: ronde oolieten en reductievlekken, fossielen met bekende symmetrie, keitjes, of simpelweg de middelpunten van korrels die ooit gelijkmatig verdeeld lagen.

Definitie 8.7 (Analyse van eindige rek, Fry-methode)

Analyse van eindige rek is het meten van de rekellips, of het rekellipsoïde, die een steen heeft ondergaan, uit de vormen, oriëntaties of onderlinge afstanden van objecten waarvan de toestand vóór de vervorming bekend is. Bij de Fry-methode wordt de vector van het middelpunt van elk object naar het middelpunt van elk ander object uitgezet vanuit één gemeenschappelijk beginpunt; wanneer de middelpunten met een minimale onderlinge afstand en zonder voorkeursrichting verspreid lagen, is het lege gebied rond het beginpunt een ellips van de vorm en oriëntatie van de rekellips.

Propositie 8.8 (Het Fry-gat)

Als een homogene rek elke vector $\vec d$ afbeeldt op $F\vec d$, en geen twee middelpunten dichter bij elkaar lagen dan $d_0$ vóór de rek, dan bevat het gebied rond de oorsprong van het Fry-diagram dat vrij is van punten de ellips $\{F\vec d : |\vec d| < d_0\}$, met halve assen $S_1d_0$ en $S_2d_0$ langs de hoofdrichtingen van de rek.

In de praktijk liggen de middelpunten niet allemaal op de minimale afstand, en het gat wordt afgelezen als de binnenrand van de dichtste ring van punten; de verhouding ervan schat de rekverhouding $R_s = S_1/S_2$ iets te laag in. De figuur hieronder toetst dit aan een verzonnen slijpplaatje, vervormd tot $R_s = 2$ met de lange as onder $30{}^{\circ}$ ten opzichte van de horizontaal: de ellips die aan de rand van het gat is gepast, geeft $R_s = 1.9$ en $30{}^{\circ}$. Wanneer de objecten zelf worden gemeten, worden aanvankelijk ronde objecten exact ellipsen met de asverhouding $R_s$; aanvankelijk elliptische objecten met willekeurige oriëntaties eindigen met verhoudingen $R_f$ die verspreid liggen rond $R_s$, het grootst wanneer hun lange assen aanvankelijk parallel aan de rekrichting lagen, en hun eindoriëntaties $\varphi$ clusteren eromheen. De grafiek van $R_f$ tegen $\varphi$, afgelezen met tabellen of een computer, scheidt de rek van de oorspronkelijke vormen.

In drie dimensies heeft het rekellipsoïde de hoofdrekken $X \ge Y \ge Z$. De vorm ervan wordt uitgezet in het Flinn-diagram, met $a = X/Y$ tegen $b = Y/Z$ en de parameter

Op de lijn $k = 1$, die vlakke rek bij constant volume geldt ($Y = 1$, $X = 1/Z$, dus $a = b$), is het ellipsoïde noch sigaar- noch pannenkoekvormig. Erboven, $k > 1$, is het ellipsoïde prolaat, uitgerekt in één richting door een insnoering: gesteenten die zo vervormd zijn, ontwikkelen een sterke lineatie. Eronder, $k < 1$, is het oblaat, afgeplat, en ontwikkelt de steen een sterke foliatie.

8.4 Paleospanning

Andersons theorie zegt op welke vlakken nieuwe breuken ontstaan, en dat ze loodrecht op $\sigma_2$ schuiven. De meeste breuken zijn echter oudere zwakke plekken die worden geactiveerd in een spanningsveld dat ze zelf niet hebben gekozen, en ze schuiven schuin. Hun schuifrichtingen, afgelezen aan de striaties van de breukvlakken, registreren nog steeds de spanning, mits elke breuk schuift zoals de spanning haar duwt.

Definitie 8.9 (Paleospanning, Wallace–Bott-hypothese, spanningsverhouding, breukgliding-inversie)

Paleospanning is de spanningstoestand die in een gesteente in het verleden werkte, voor zover die uit de structuren die het achterliet kan worden afgeleid: in de praktijk de richtingen van de hoofdspanningen en de spanningsverhouding

$$\Phi = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3}, \qquad 0 \le \Phi \le 1 .$$

De Wallace–Bott-hypothese stelt dat een breuk parallel schuift aan de schuifspanning die door een uniforme spanning op zijn vlak wordt opgelost, elke breuk onafhankelijk van de andere. Een breukgliding-inversie is het zoeken naar de hoofdrichtingen en de spanningsverhouding waarvoor de voorspelde schuifrichtingen het best passen bij een verzameling van gemeten breuken en striaties.

Stelling 8.10 (Schuifrichting op een vlak)

Laat $S$ de spanningstensor zijn, drukspanningen positief gerekend, en $\vec n$ de naar boven gerichte eenheidsnormaal van een breuk. Schrijf

$$\vec\tau = S\vec n - (\vec n\cdot S\vec n)\,\vec n .$$

Onder de Wallace–Bott-hypothese schuift de hangende wand ten opzichte van de liggende wand langs $-\vec\tau$, de schuifkracht die hij op de liggende wand uitoefent. Verder geldt:

1. de richting van $\vec\tau$ verandert niet wanneer $S$ wordt vervangen door $aS + bI$ met $a > 0$; ze hangt dus alleen af van de hoofdrichtingen en van $\Phi$, en de gereduceerde tensor $S' = \mathrm{diag}(1, \Phi, 0)$ in het hoofdassenstelsel $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ voorspelt dezelfde schuif als $S$;
2. als $\vec n$ loodrecht op een hoofdrichting staat, staat de schuif er ook loodrecht erop;
3. met $n_k = \vec n\cdot\vec e_k$ is de richting van $\vec\tau' = \vec\tau_0 + \Phi\,\vec\tau_1$, lineair in $\Phi$, waarbij $\vec\tau_0 = n_1(\vec e_1 - n_1\vec n)$ en $\vec\tau_1 = n_2(\vec e_2 - n_2\vec n)$.

Deel (b) is het geval van Anderson: een breuk die $\sigma_2$ bevat, schuift loodrecht erop, ongeacht $\Phi$, zodat hij niets zegt over de spanningsverhouding. Deel (c) zet een gemeten schuif om in $\Phi$. Laat $\vec u$ de eenheidsvector van de schuif van de hangende wand, afgeleid uit de rake, en $\vec w = \vec n\times\vec u$ de richting in het vlak loodrecht erop. De voorspelde schuif is evenwijdig aan $\vec u$ wanneer $(\vec\tau_0 + \Phi\vec\tau_1)\cdot\vec w = 0$, en omdat $\vec n\cdot\vec w = 0$,

mits de voorspelde schuif dan wijst langs $+\vec u$ en niet langs $-\vec u$.

Wanneer de hoofdrichtingen niet bekend zijn, levert elke breuk één vergelijking op, de hoek van zijn schuif binnen zijn vlak, voor vier onbekenden: drie hoeken die de hoofdassen oriënteren, en $\Phi$. Vier breuken met verschillende standen zijn het minimum, en enkele tientallen zijn gebruikelijk. De inversie minimaliseert de som van de gekwadrateerde hoeken tussen de gemeten en de voorspelde schuiven, door kleinste kwadraten op een rooster of door iteratie zoals in Sectie 1.4. Breuken die niet passen vormen een tweede populatie, misschien van een andere ouderdom.

De onderstaande figuur toont vijf breuken van de Varden Hills: de hoofdafschuiving en vier kleinere, allemaal met normale schuif. Een roosterzoektocht over $\Phi$ en de strekking van $\sigma_3$, met $\sigma_1$ verticaal, past alle vijf binnen een kwart graad, met $\sigma_3$ horizontaal naar $120{}^{\circ}$.

De P- en T-assen van Boek 3 zijn niet de hoofdspanningen. Ze worden alleen uit het breukvlak en de schuif opgebouwd, onder $45{}^{\circ}$ ten opzichte van het vlak, in het vlak dat de schuif en de normaal bevat; een nieuwe breuk, in gesteente met een wrijvingshoek van ongeveer $30{}^{\circ}$, maakt ongeveer $30{}^{\circ}$ met $\sigma_1$, en een opnieuw geactiveerde breuk maakt elke willekeurige hoek. Eén mechanisme levert de P- en T-assen op; pas vele breuken met verschillende standen, samen geïnverteerd, leveren de spanning op. De hypothese zelf heeft grenzen: de spanning kan van breuk tot breuk verschillen, blokken kunnen roteren, en breuken die elkaar kruisen, belemmeren elkaars schuif.

8.5 Herstel van een doorsnede

Een doorsnede is een interpretatie: tussen het oppervlak en de boorgaten tekent de geoloog wat waarschijnlijk is. In het hoofdstuk over de Alpen van Boek 4 wordt een doorsnede in balans genoemd wanneer ze kan worden teruggebracht tot een ongedeformeerde toestand, waarbij de lengten van de lagen en de oppervlakten van de eenheden behouden blijven, en plooien en overschuivingen wortelen in een décollement. Herstellen is de toets.

Definitie 8.11 (Herstel van de doorsnede, pinlijn, knikbandmethode)

Herstel van de doorsnede maakt op een doorsnede die evenwijdig aan de richting van het tektonisch transport is getekend, de vervorming die ze toont ongedaan, gebeurtenis voor gebeurtenis in omgekeerde volgorde, met behoud van de lengten van de lagen en de oppervlakten van de eenheden in het vlak van de doorsnede. Een pinlijn is een lijn dwars over de lagen, geplaatst waar ze niet langs elkaar zijn geschoven (in het ongedeformeerde voorland, of op het assenvlak van een symmetrische plooi), die loodrecht op de lagen in de herstelde doorsnede wordt genomen; lengten worden vanaf die lijn gemeten. Bij de knikbandmethode worden de plooien getekend als rechte flanken met constante laagdikte, verbonden door scherpe scharnieren, waarvan de assenvlakken de hoek tussen de flanken middendoor delen; elke laag is dan een gebroken lijn, waarvan de lengte de som is van haar rechte segmenten.

Een laag die gevouwen is in rechte flanken met helling $\delta$ naar beide kanten, over de horizontale afstand $L$, heeft de lengte $L/\cos\delta$: de verkorting is $S = L(1/\cos\delta - 1)$, de relatieve lengteverandering $\cos\delta - 1$. Oppervlakten leveren de andere helft van de balans.

Propositie 8.12 (Diepte tot het losraakvlak)

Laat een laag op de hoogte $h$ boven een horizontaal losraakvlak met $S$ verkort zijn in het vlak van een doorsnede, en laat het gesteente tussen de laag en het losraakvlak zijn oppervlak behouden, zonder materiaal dat over de uiteinden van de doorsnede steekt. Dan is de oppervlakte $A$ waarmee de geplooide laag boven haar oorspronkelijke niveau uitsteekt

$$A = S\,h , \qquad\text{dus}\qquad h = \frac AS .$$

Twee lagen geven beide onbekenden: hun overtollige oppervlakten verschillen met $S$ maal hun verticale afstand. De onderstaande figuur zet de constructie uiteen.

Een doorsnede die door een breuk wordt gekruist, wordt in de omgekeerde volgorde van de gebeurtenissen hersteld: eerst de jongste structuur. Een afschuiving met een verticale verplaatsing van $t_h$ en helling $\delta$ heeft de horizontale verplaatsing $t_h/\tan\delta$ en de glijding $t_h/\sin\delta$ op een doorsnede evenwijdig aan de helling; de hangende wand wordt langs de breuk met de glijding weer omhoog geschoven. Op een doorsnede die schuin op de glijding staat, zijn zowel de helling van de breuk als haar verplaatsing schijnbaar, en een doorsnede die sluitend lijkt, is dat mogelijk niet: daarom worden doorsneden getekend evenwijdig aan de transportrichting.

In het veld — Het meten van een oriëntatie

Om een gelaagdheidsvlak te meten, legt de geoloog het open deksel van een kompas-clinometer plat tegen het oppervlak, gekozen glad en representatief, en draait het lichaam tot de luchtbel horizontaal aangeeft: de naald geeft dan de hellingrichting, en de clinometer, met het instrument op zijn kant gedraaid langs de steilste lijn, de helling. De aflezing wordt genoteerd als hellingrichting en helling, bijvoorbeeld $075/13$, met de plaats en het soort oppervlak. Azimuten afgelezen met een magnetische naald worden gecorrigeerd voor de lokale declinatie. Een smartphone met een geologie-app meet hetzelfde in één stap: plat tegen het vlak gehouden, geven de accelerometers de richting van de zwaartekracht en daarmee de helling, en de magnetometer de azimut. Veldgeologen vergelijken dit regelmatig met een kompas, want nabij ijzer en de eigen schakelingen van de telefoon kunnen de magnetometer verstoren; zij herhalen elke meting en middelen de normalen met het vectorgemiddelde.

8.6 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Geef de azimut en duik van de pool van het vlak $040/30$ (hellingrichting, helling). Geef de ligging van het vlak waarvan de pool een azimut van $315{}^{\circ}$ heeft en een duik van $20{}^{\circ}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

De pool heeft richting $40 + 180 = 220{}^{\circ}$ en een duik van $90 - 30 = 60{}^{\circ}$. Het vlak helt met $90 - 20 = 70{}^{\circ}$ naar $315 - 180 = 135{}^{\circ}$: $135/70$.

Oefening 8.2 ★

Een lijn duikt onder $30{}^{\circ}$. Op welke afstand van het middelpunt wordt hij getekend op een hoekgetrouw net en op een oppervlaktegetrouw net, beide met straal $10\,\mathrm{cm}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$\theta = 60{}^{\circ}$. Hoekgetrouw net: $10\tan30{}^{\circ} = 5.77\,\mathrm{cm}$; oppervlaktegetrouw net: $10\sqrt2\sin30{}^{\circ} = 7.07\,\mathrm{cm}$.

Oefening 8.3 ★

De flanken van een plooi hebben de liggingen $090/30$ en $270/30$. Bereken de hoek tussen hun polen met het inproduct van de normalen, de interflankhoek en de klasse van de plooi.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$\vec n_1 = (\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_2 = (-\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_1\cdot\vec n_2 = -0.25 + 0.75 = 0.5$: de polen liggen $60{}^{\circ}$ uit elkaar, de interflankhoek is $120{}^{\circ}$, een open plooi.

Oefening 8.4 ★

Een breuk $090/60$ draagt striaties met rake $-45{}^{\circ}$. Met de strekkingsvector $\vec s = (0, 1, 0)$ en de vector naar beneden langs de helling $\vec d$ van het vlak, de glijding van de hangende wand is $\vec u = \cos r\,\vec s - \sin r\,\vec d$. Bereken $\vec d$, $\vec u$, en de azimut en duik van de glijding. Noem de breuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$\vec d = (\cos60{}^{\circ}, 0, -\sin60{}^{\circ}) = (0.5, 0, -0.866)$ en $\vec u = 0.707\,\vec s + 0.707\,\vec d = (0.354, 0.707, -0.612)$: richting $\operatorname{atan2}(0.354, 0.707) = 26.6{}^{\circ}$, duik $\arcsin0.612 = 37.8{}^{\circ}$. De rake ligt tussen $-90{}^{\circ}$ (normaal) en 0 (sinistraal): een schuine afschuiving met een sinistrale component.

Oefening 8.5 ★★

De flanken van een plooi hebben de liggingen $060/40$ en $250/30$. Bereken de azimut en duik van de as, en de interflankhoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$$\begin{gather*} \vec n_1 = (0.5567, 0.3214, 0.7660),\qquad \vec n_2 = (-0.4698, -0.1710, 0.8660),\\ \vec n_1\times\vec n_2 = (0.4093, -0.8420, 0.0558), \end{gather*}$$

met lengte $0.9379$. Het tegengestelde, $-\vec n_1\times\vec n_2$, wijst omlaag: richting $334.1{}^{\circ}$, duik $\arcsin(0.0558/0.9379) = 3.4{}^{\circ}$. $\vec n_1\cdot\vec n_2 = 0.3469$, $69.7{}^{\circ}$ tussen de normalen, de interflankhoek $110.3{}^{\circ}$: een open plooi.

Oefening 8.6 ★★

Bereken de fractie van het oppervlak van het net dat binnen de cirkel ligt van lijnen met een duik van meer dan $60{}^{\circ}$, op het oppervlaktegetrouwe en het hoekgetrouwe net, en de fractie van de richtingen op de onderhelft die meer dan $60{}^{\circ}$ duiken. Welk net moet worden gebruikt om polen te tellen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Een duik boven $60{}^{\circ}$ betekent $\theta < 30{}^{\circ}$. Oppervlaktegetrouw net: $r^2 = 2\sin^215{}^{\circ} = 0.134$, $13.4\,\%$ van het net; hoekgetrouw net: $\tan^215{}^{\circ} = 0.072$, $7.2\,\%$. Op de bol bevat de kap $1 - \cos30{}^{\circ} = 0.134$ van het halfrond: alleen het oppervlaktegetrouwe net toont het met zijn werkelijke aandeel, daarom worden polen erop geteld.

Oefening 8.7 ★★

Drie polen liggen in het verticale oost–west-vlak, op $-20{}^{\circ}$, $0$ en $20{}^{\circ}$ van de verticaal: $\vec p = (\sin a, 0, -\cos a)$. Bereken hun oriëntatietensor, de eigenwaarden en eigenvectoren, en de bèta-as. Waarom is de kleinste eigenwaarde precies nul?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

$$\begin{gather*} T_{xx} = \frac{2\sin^220{}^{\circ}}3 = 0.078,\qquad T_{zz} = \frac{2\cos^220{}^{\circ} + 1}3 = 0.922,\\ T_{xz} = -\frac{\sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ} - \sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}}3 = 0, \end{gather*}$$

en elke term met $y$ is 0. De eigenwaarden zijn $0.922$ (verticaal), $0.078$ (oost) en $0$ (noord): de bèta-as is horizontaal, noord–zuid. De drie polen liggen in één vlak, dus geen ervan heeft een component langs zijn normaal, en $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = 0$ voor $\vec u$ langs die normaal.

Oefening 8.8 ★★

Plaats in het Flinn-diagram het ellipsoïde $X : Y : Z = 3 : 1.5 : 1$, daarna het ellipsoïde met constant volume met $X = 1.8$ en $Y = 1.1$. Bereken $k$ voor elk en noem de rek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

$a = 2$, $b = 1.5$, $k = 1/0.5 = 2$: insnoering. $Z = 1/(1.8\times1.1) = 0.505$, $a = 1.636$, $b = 2.178$, $k = 0.636/1.178 = 0.54$: afplatting.

Oefening 8.9 ★★

In een doorsnede evenwijdig aan de rekrichting zijn aanvankelijk ronde oöïden nu ellipsen met een axiale verhouding $2.25$, allemaal evenwijdig, en het oppervlak van elk is ongewijzigd. Bereken de hoofdrekken en de uitrekking langs de lange as. Voor de rek lagen de oöïdmiddelpunten nooit dichter bij elkaar dan $0.4\,\mathrm{mm}$: geef de halve assen van de leegte in het Fry-diagram.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

$S_1/S_2 = 2.25$ en $S_1S_2 = 1$: $S_1 = 1.5$, $S_2 = 0.667$; de lange as werd met $50\,\%$ verlengd. De holte heeft de halve assen $1.5\times0.4 = 0.60\,\mathrm{mm}$ en $0.667\times0.4 = 0.27\,\mathrm{mm}$.

Oefening 8.10 ★★★

Op $\theta = 60{}^{\circ}$ vanaf het nadir, bereken de rek langs de straal, $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta)$, en langs de cirkel, $r/(R\sin\theta)$, voor beide projecties. Controleer de stelling op de projecties, en geef de verhouding van de assen van de ovaal waarin het oppervlaktegetrouwe net een zeer kleine cirkel daar omzet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

Hoekgetrouw net: $1/(2\cos^230{}^{\circ}) = 0.667$ langs de straal en $\tan30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.577/0.866 = 0.667$ in de omtrekrichting: gelijk, conform. Oppervlaktegetrouw net: $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta) = (\sqrt2/2)\cos30{}^{\circ} = 0.612$ en $\sqrt2\sin30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.707/0.866 = 0.816$; het product is $0.500$, de oppervlaktefactor van de stelling. Een kleine cirkel wordt een ovaal met assen in de verhouding $0.816/0.612 = 1.33$, met de lange as rond het middelpunt.

Oefening 8.11 ★★★

In een regime van horizontale verschuiving is $\sigma_1$ horizontaal naar $000{}^{\circ}$, $\sigma_3$ horizontaal naar $090{}^{\circ}$ en $\sigma_2$ verticaal. Een verticale breuk heeft een strekking van $020{}^{\circ}$. Toon zonder $\vec\tau$ te berekenen aan dat de glijding horizontaal is voor elke $\Phi$. Bereken dan $-\vec\tau$ voor $\Phi = 0.4$ met de normaal van het vlak $\vec n = (\cos20{}^{\circ}, -\sin20{}^{\circ}, 0)$ en geef de zin van de glijding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

De breuk is verticaal, dus de normaal ervan is horizontaal en loodrecht op de verticale $\sigma_2$; volgens deel (b) van de stelling staat de gliding loodrecht op $\sigma_2$, horizontaal, voor elke $\Phi$. Met $\sigma_1 = 1$ in noordelijke richting, $\sigma_3 = 0$ in oostelijke richting: $S\vec n = (0, -0.342, 0)$, $\vec n\cdot S\vec n = 0.117$, $\vec\tau = (0, -0.342, 0) - 0.117\,(0.940, -0.342, 0) = (-0.110, -0.302, 0)$ en $-\vec\tau = (0.110, 0.302, 0)$, naar $020{}^{\circ}$. Het blok aan de kant van $\vec n$, de oostkant, beweegt noord-noordoost langs de strekking: gezien vanaf de westkant beweegt het naar links, een sinistrale breuk (rake 0). $\sigma_2$ speelde in de berekening geen rol.

Oefening 8.12 ★★★

Een doorsnede van $20\,\mathrm{km}$ lang snijdt een reeks onthechtingsplooien. Twee horizonten op $1.0\,\mathrm{km}$ afstand van elkaar steken boven hun oorspronkelijke niveaus uit met de oppervlakten $6.0\,\mathrm{km}^{2}$ (onder) en $7.5\,\mathrm{km}^{2}$ (boven). Bereken de verkorting, de diepte van het décollement onder de onderste horizon, de oorspronkelijke lengte van de doorsnede en haar relatieve lengteverandering.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

$S = (7.5 - 6.0)/1.0 = 1.5\,\mathrm{km}$; $h = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$ onder de onderste horizon. De doorsnede was $20 + 1.5 = 21.5\,\mathrm{km}$ lang en veranderde met $-1.5/21.5 = -7.0\,\%$.

8.7 Probleem: Plooien en breuken van de Varden Hills

Probleem 8.1

Weekendprobleem — de plooias, de spanning van een breukenset en het herstel van een doorsnede, in een verzonnen gebied

In de Varden Hills, het verzonnen gebied van de reeks, rust een Mesozoïsche bedekking op een basement van schist en graniet. De bedekking is geplooid tot een rechtopstaande antiklinaal en synklinaal met rechte flanken, daarna doorgesneden door een afschuiving. Een geoloog mat twaalf gelaagdheidsvlakken op de twee flanken van de antiklinaal (hellingrichting/helling, in graden):

oostflank	075/13	084/11	089/13	079/14	086/12	072/11
westflank	283/11	272/13	281/14	288/10	276/13	274/12

De sommen van de opwaarts gerichte eenheidsnormalen van de zes metingen van elke flank zijn $\vec S_E = (1.2583, 0.2017, 5.8604)$ en $\vec S_W = (-1.2445, 0.1886, 5.8636)$ (oost, noord, omhoog). Vijf breuken dragen striaties (hellingrichting/helling, rake van de slip van de hangende wand): $120/60/{-90}$ (de hoofdbreuk), $150/55/{-76}$, $090/65/{-108}$, $200/70/{-78}$ en $060/50/{-105}$. De hoofdbreuk heeft een verticale verplaatsing van $200\,\mathrm{m}$. De as van de antiklinaal en die van de synklinaal liggen $4\,\mathrm{km}$ uit elkaar, zodat de plooien zich van oost naar west elke $8\,\mathrm{km}$ herhalen.

Deel I — Polen en de bèta-as.

1. Geef de strekking en duik van de pool van de meting $075/13$, en zijn afstand tot het middelpunt van een oppervlaktegetrouw net met straal $10\,\mathrm{cm}$.
2. Bereken de opwaarts gerichte eenheidsnormaal van de meting $075/13$; controleer die op grootte tegen $\vec S_E$.
3. Bereken de gemiddelde oriëntatie van elke flank uit $\vec S_E$ en $\vec S_W$, de gemiddelde resultantelengten, en de kwadratisch gemiddelde spreiding van de metingen rond hun gemiddelden.
4. Bereken $\vec S_E\times\vec S_W$, en de strekking en duik van de bèta-as.
5. Bereken de hoek tussen de twee gemiddelde normalen, de interflankhoek, en de klasse van de plooi.
6. Het assenvlak van deze symmetrische plooi bevat de bèta-as en staat loodrecht op $\vec m_E - \vec m_W$, het verschil van de gemiddelde eenheidsnormalen. Geef de oriëntatie ervan; is de plooi rechtopstaand?
7. Geef de oriëntatie van de $\pi$-gordel, en zeg waarom de polen erop liggen.

Deel II — De oriëntatietensor. De oriëntatietensor van de twaalf polen is

$$T = \begin{pmatrix} 0.04400 & 0.00035 & 0.00109\\ 0.00035 & 0.00144 & 0.03179\\ 0.00109 & 0.03179 & 0.95456 \end{pmatrix},$$

met de eigenwaarden $0.95562$, $0.04400$ en $0.00038$.

8. Controleer dat het spoor van $T$ gelijk is aan 1. Met $\vec b = (0.0053, -0.9994, 0.0333)$, de eenheidsvector langs $\vec S_E\times\vec S_W$, bereken $\vec b^{\mathsf T}T\vec b$. Wat zegt het resultaat over $\vec b$?
9. Bereken de kwadratisch gemiddelde hoek tussen de polen en de gordel.
10. Verklaar de waarde van $\lambda_2$ uit de hellingen van de flanken.
11. Is de plooi cilindrisch binnen de nauwkeurigheid van de metingen?
12. De duik van de bèta-as wordt bepaald door de noord–zuid-kanteling van de gordel, waarbij elke pool bijdraagt met de spreiding die in vraag 9 is gevonden. Schat de standaardfout van de duik.

Deel III — De paleospanning.

13. Wat voor breuk is de hoofdbreuk? Volgens Anderson, geef de richtingen van $\sigma_1$, $\sigma_2$ en $\sigma_3$.
14. Toon aan, met de stelling over de sliprichting, dat de hoofdbreuk recht langs zijn helling omlaag glijdt voor elke waarde van $\Phi$. Wat zegt het over $\Phi$?
15. Bereken voor de breuk $150/55$ de vector $\vec n$ en zijn componenten $n_1 = \vec n\cdot\vec e_1$ en $n_2 = \vec n\cdot\vec e_2$, met $\vec e_1$ verticaal en $\vec e_2$ horizontaal naar $030{}^{\circ}$.
16. De slip ervan geeft $\vec w = \vec n\times\vec u = (0.771, 0.605, 0.198)$. Bereken $\Phi$.
17. De andere drie kleine breuken geven $\Phi = 0.294$, $0.301$ en $0.306$. Geef het gemiddelde, en zeg waar de spreiding vandaan komt.
18. Wat zegt $\Phi = 0.3$ over $\sigma_2$?
19. Bereken de P- en T-assen van de hoofdbreuk (onder $45{}^{\circ}$ met het vlak, in zijn hellingvlak), en vergelijk ze met $\sigma_1$ en $\sigma_3$.

Deel IV — Herstel van een oost–west-doorsnede.

20. Bereken de schijnbare helling van de oostflank, $080.9/12.3$, op een oost–west-doorsnede.
21. Neem de flanken op de doorsnede onder $12{}^{\circ}$, bereken de herstelde lengte van één plooigolflengte, de verkorting en de relatieve lengteverandering.
22. Bereken de hoogte van de antiklinaalkam boven de synklinalen en het overschot aan oppervlakte van één golflengte, aannemend dat de synklinalen op het oorspronkelijke niveau bleven.
23. Bereken de diepte van het décollement onder de geplooide laag. Kunnen de plooien aan de basis van de bedekking loskomen, enkele honderden meters diep?
24. Bereken de horizontale verplaatsing en de slip van de hoofdbreuk op een doorsnede langs $120{}^{\circ}$.
25. Bereken op de oost–west-doorsnede de schijnbare helling van de breuk en haar schijnbare horizontale verplaatsing. Welke doorsnede moet worden hersteld?
26. In welke volgorde worden de breuk en de plooien hersteld, en waar worden de pinlijnen geplaatst?
27. Wat is de duik van de plooias van de Varden, afgeleid uit de twaalf metingen?

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. De pool heeft richting $255{}^{\circ}$ en een duik van $77{}^{\circ}$; $\theta = 13{}^{\circ}$ en $r = 10\sqrt2\sin6.5{}^{\circ} = 1.60\,\mathrm{cm}$ vanaf het middelpunt, naar $255{}^{\circ}$.

2. $\vec n = (\sin13{}^{\circ}\sin75{}^{\circ}, \sin13{}^{\circ}\cos75{}^{\circ}, \cos13{}^{\circ}) = (0.2173, 0.0582, 0.9744)$. Zes bijna evenwijdige eenheidsvectoren tellen op tot bijna 6: $|\vec S_E| = 5.9974$.

3. Oostflank: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(1.2583, 0.2017) = 80.9{}^{\circ}$ en $\bar\delta = \arccos(5.8604/5.9974) = 12.3{}^{\circ}$; $\bar R = 5.9974/6 = 0.99956$ en de spreiding is $\sqrt{2\times0.00044} = 0.0297\,\mathrm{rad}$, of $1.7{}^{\circ}$. Westflank: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(-1.2445, 0.1886) = 278.6{}^{\circ}$ en $\bar\delta = \arccos(5.8636/5.9972) = 12.1{}^{\circ}$; $\bar R = 0.99953$, spreiding $1.8{}^{\circ}$.

4.

$$\vec S_E\times\vec S_W = (0.0774, -14.6714, 0.4883),$$

met lengte $14.680$. Het tegengestelde wijst naar beneden: de richting is $\operatorname{atan2}(-0.0774, 14.6714) = 359.7{}^{\circ}$ en de duik $\arcsin(0.4883/14.680) = 1.9{}^{\circ}$.

5. De cosinus van de hoek tussen de gemiddelde normalen is $32.835/35.968 = 0.9129$, het inproduct van de sommen gedeeld door hun lengtes: $24.1{}^{\circ}$ tussen de normalen, een interflankhoek van $155.9{}^{\circ}$: een open plooi, dicht bij zacht.

6.

$$\begin{gather*} \vec m_E = (0.2098, 0.0336, 0.9772),\qquad \vec m_W = (-0.2075, 0.0314, 0.9777),\\ \vec m_E - \vec m_W = (0.4173, 0.0022, -0.0005): \end{gather*}$$

een horizontale normaal naar $089.7{}^{\circ}$. Het assenvlak is verticaal, met strekking $359.7{}^{\circ}$, praktisch noord–zuid: de plooi is rechtopstaand.

7. De gordel is het vlak waarvan de pool de bèta-as is: hellingrichting $179.7{}^{\circ}$, helling $90 - 1.9 = 88.1{}^{\circ}$, bijna het oost–west verticale vlak. Elke flank bevat de plooias, dus elke normaal staat loodrecht op die as en ligt in het vlak dat daar loodrecht op staat.

8. $0.04400 + 0.00144 + 0.95456 = 1.00000$. $\vec b^{\mathsf T}T\vec b = 0.00038$, de kleinste eigenwaarde: $\vec b$ is, binnen de afronding, de eigenvector $\vec e_3$, en de gordel door de twee gemiddelde polen is de best passende gordel van alle twaalf.

9. $\arcsin\sqrt{0.00038} = \arcsin0.0195 = 1.1{}^{\circ}$.

10. Langs de gordel liggen de polen op ongeveer $12.2{}^{\circ}$ van de verticaal, aan weerszijden; $\sin^212.2{}^{\circ} = 0.045$, het gemiddelde kwadraat van hun oost–west-componenten, wat $\lambda_2$ is.

11. Ja: de polen wijken gemiddeld $1.1{}^{\circ}$ van de gordel af, niet meer dan de spreiding van $1.7{}^{\circ}$ van de metingen van één flank rond hun gemiddelde.

12. $1.1{}^{\circ}/\sqrt{12} = 0.3{}^{\circ}$: de duik is $1.9{}^{\circ}$ $\pm$ $0.3{}^{\circ}$.

13. Een rake van $-90{}^{\circ}$: een zuivere afschuiving, dip-slip. Volgens Anderson: $\sigma_1$ verticaal, $\sigma_3$ horizontaal langs de hellingrichting, $120{}^{\circ}$–$300{}^{\circ}$, $\sigma_2$ horizontaal langs de strekking, $030{}^{\circ}$–$210{}^{\circ}$.

14. De normaal van $120/60$ ligt in het verticale vlak met richting $120{}^{\circ}$, dat $\vec e_1$ en $\vec e_3$ bevat: $n_2 = 0$. Volgens onderdeel (b) is de gliding loodrecht op $\sigma_2$, de strekking, voor elke $\Phi$: het is dip-slip. De breuk zegt niets over $\Phi$; in de formule verdwijnen zowel $n_2$ als $\vec e_2\cdot\vec w$, en daarmee zowel teller als noemer.

15. $\vec n = (\sin55{}^{\circ}\sin150{}^{\circ}, \sin55{}^{\circ}\cos150{}^{\circ}, \cos55{}^{\circ}) = (0.4096, -0.7094, 0.5736)$; $n_1 = 0.574$; $n_2 = 0.5\times 0.4096 + 0.866\times(-0.7094) = -0.410$.

16. $\vec e_1\cdot\vec w = 0.198$ en $\vec e_2\cdot\vec w = 0.5\times 0.771 + 0.866\times0.605 = 0.909$, dus $\Phi = -(0.574\times0.198)/(-0.410\times 0.909) = 0.1137/0.3727 = 0.305$.

17. $(0.305 + 0.294 + 0.301 + 0.306)/4 = 0.30$. De rakes zijn afgerond op de graad; één graad rake verschuift $\Phi$ op deze breuken met ongeveer 0.02, dus de afrondingsfout van een halve graad verklaart de spreiding.

18. $\sigma_2 - \sigma_3 = 0.3(\sigma_1 - \sigma_3)$: $\sigma_2$ ligt dichter bij $\sigma_3$ dan bij $\sigma_1$. Beide horizontale spanningen liggen ruim onder de verticale; het gebied werd vooral naar $120{}^{\circ}$ uitgerekt, een beetje langs $030{}^{\circ}$.

19. Met $\vec n = (0.750, -0.433, 0.500)$ en de gliding $\vec u = (0.433, -0.250, -0.866)$, $(\vec n - \vec u)/\sqrt2$ duikt onder $75{}^{\circ}$ richting $300{}^{\circ}$: P; $(\vec n + \vec u)/\sqrt2$ duikt $15{}^{\circ}$ richting $120{}^{\circ}$: T. Ze liggen in hetzelfde verticale vlak als $\sigma_1$ en $\sigma_3$, maar $15{}^{\circ}$ daar vandaan, omdat de breuk $30{}^{\circ}$, niet $45{}^{\circ}$, maakt met $\sigma_1$.

20. $\tan a = \tan12.3{}^{\circ}\times\cos(90{}^{\circ} - 80.9{}^{\circ}) = 0.2180\times0.9874 = 0.2153$: $a = 12.1{}^{\circ}$.

21. $L_0 = 8000/\cos12{}^{\circ} = 8178.7\,\mathrm{m}$, $S = 178.7\,\mathrm{m}$, een relatieve verandering van $\cos12{}^{\circ} - 1 = -2.2\,\%$.

22. $4000\tan12{}^{\circ} = 850.2\,\mathrm{m}$; $A = \tfrac12\times8000\times 850.2 = 3.40 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$.

23. $h = 3.40 \times 10^{6}/178.7 = 19.0\,\mathrm{km}$. Een décollement aan de basis van de bedekking zou $h$ van enkele honderden meters geven en een oppervlakteoverschot ongeveer vijftig keer kleiner: de plooien zijn daar niet losgekoppeld. Ofwel plooide het fundament samen met de bedekking, of de synclinalen zakten onder het oorspronkelijke niveau, wat $A$ kleiner maakt; alleen de doorsnede kan dat niet uitmaken.

24. Horizontale verplaatsing $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$, gliding $200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$.

25. $\tan a = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.500$: $a = 56.3{}^{\circ}$, en de schijnbare horizontale verplaatsing is $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$. De gliding van de breuk is omlaag langs de helling, richting $120{}^{\circ}$: de doorsnede langs $120{}^{\circ}$ toont ware lengten en is dus de doorsnede die hersteld moet worden.

26. De breuk snijdt de plooien door, dus is zij jonger en wordt als eerste hersteld, waarbij de hangende wand over $230.9\,\mathrm{m}$ terug omhoog langs de breuk schuift; daarna worden de plooien ontplooid. De pinlijnen liggen op de assenvlakken van de synclinalen, in de liggende wand, waar de symmetrische plooien geen gliding tussen de lagen hadden.

27. De plooias van Varden duikt $1.9{}^{\circ}$ naar het noorden (richting $359.7{}^{\circ}$): de $2{}^{\circ}$ die in het gebied is ingebouwd, teruggevonden tot op de $0.3{}^{\circ}$ die twaalf metingen toelaten.