20Atmosferische dynamica

Op een winterkaart van de bovenste troposfeer cirkelt de straalstroom niet als een gladde ring om de pool. Hij meandert in een paar grote golven rond het halfrond, met dalen die naar de subtropen reiken en kammen naar de pool, en aan het oppervlak ontstaan depressies die enkele dagen groeien en daarna eronder weer sterven. De golven verplaatsen zich langzaam, soms tegen de wind in die ze meevoert. Hun aantal, hun snelheid en de groei van de stormen eronder volgen uit één behouden grootheid, de vorticiteit van de lucht, vanuit de ruimte bekeken, en uit de energie opgeslagen in het temperatuurcontrast tussen de tropen en de polen.

Wat je al weet

Vorticiteit en circulatie komen in de natuurkundeboeken voor. De Rossby-golven van de bovenste troposfeer, dalen en kammen, de extratropische cycloon en het principe van numerieke weersverwachting worden beschreven in Boek 4, in het hoofdstuk over weersystemen. De Hadley-, Ferrel- en poolcellen, de straalstromen, de westenwinden en de wind door impulsmoment van een ring lucht staan in Boek 3, in het hoofdstuk over de algemene circulatie van de atmosfeer, en het poolwaartse warmtetransport in het hoofdstuk over straling en warmtetransport. De Coriolisparameter $f$, het $\beta$-vlak, de Rossby-straal en de thermische wind staan in Hoofdstuk 19.

20.1 Vorticiteit

De vorticiteit van een vloeistof, de rotatie van haar snelheid, is twee keer haar lokale hoeksnelheid. Voor de grootschalige atmosfeer telt alleen de verticale component, en de rotatie van de Aarde draagt daaraan bij.

Definitie 20.1 (Relatieve, planetaire en absolute vorticiteit)

Voor een horizontale snelheid $(u, v)$ is de relatieve vorticiteit de verticale component van de rotatie van de snelheid ten opzichte van de grond, $\zeta = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y$, positief bij rotatie tegen de klok in, van bovenaf gezien. De planetaire vorticiteit is de verticale component van de vorticiteit van de rotatie van de Aarde, $2\Omega\sin\varphi = f$. De absolute vorticiteit is hun som, $\zeta + f$.

Op het Noordelijk Halfrond is een depressie, waar de lucht tegen de klok in draait, heeft $\zeta > 0$ en heet cyclonaal; een anticycloon heeft $\zeta < 0$. Een wind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ die op een cirkel van $1000\,\mathrm{km}$ draait heeft $\zeta = 2V/R = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij starre rotatie, een derde van $f$ op $45{}^{\circ}$: het planetaire deel is meestal het grootste.

Stelling 20.2 (Barotrope vorticiteitsvergelijking)

In een wrijvingsloze, tweedimensionale stroming zonder horizontale divergentie op een $\beta$-vlak wordt de absolute vorticiteit van elk luchtpakketje behouden:

$$\frac{\mathrm D(\zeta + f)}{\mathrm Dt} = 0 , \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \frac{\partial\zeta}{\partial t} + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} + \beta v = 0 .$$

Dit is de barotrope vorticiteitsvergelijking.

Het bewijs leverde ook de algemene wet op, $\mathrm D(\zeta + f)/\mathrm Dt = -(\zeta + f)\delta$: convergentie laat een kolom sneller draaien, divergentie vertraagt hem, net als een schaatsster die de armen intrekt of spreidt. In een laag waarvan de diepte verandert, is convergentie gekoppeld aan het uitrekken van de kolom, en wordt de behouden grootheid een verhouding.

Definitie 20.3 (Potentiële vorticiteit)

De potentiële vorticiteit van een kolom van een homogene laag met diepte $h$ is $q = (\zeta + f)/h$. In een continu gelaagde vloeistof is de potentiële vorticiteit van Ertel $q = (\vec\omega_a\cdot \nabla\theta)/\rho$, met $\vec\omega_a$ de absolute vorticiteitsvector en $\theta$ de potentiële temperatuur.

Stelling 20.4 (Behoud van potentiële vorticiteit)

In een homogene, hydrostatische, wrijvingsloze laag met variabele diepte $h$ waarvan de horizontale snelheid niet met de hoogte varieert, $\mathrm Dq/\mathrm Dt = 0$ voor $q = (\zeta + f)/h$.

De vorm van Ertel blijft op dezelfde manier behouden bij een adiabatische, wrijvingsloze stroming van een gelaagde vloeistof, waarbij de afstand tussen twee oppervlakken van constante $\theta$ de rol van $h$ speelt. Een luchtkolom die een bergketen oversteekt, wordt onderweg omhoog samengedrukt: haar absolute vorticiteit daalt, ze draait anticyclonaal over de kam, en ze rekt zich uit en draait cyclonaal aan de lijzijde. Behoud van absolute of potentiële vorticiteit is het herstellende mechanisme van de golven van de volgende paragraaf, zoals de figuur hieronder toont.

20.2 Rossby-golven

Boek 4 beschreef de Rossby-golven van de bovenste troposfeer. De barotrope vorticiteitsvergelijking verklaart ze. Men schrijft de stroming als een uniforme westenwind $U$ plus een kleine storing met stroomfunctie $\psi'$, zodat $u' = -\partial\psi'/\partial y$, $v' = \partial\psi'/\partial x$ en $\zeta' = \nabla^2\psi'$.

Stelling 20.5 (Dispersie van Rossby-golven)

Kleine storingen $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$ van een uniforme westenwind $U$ op een $\beta$-vlak voldoen aan de dispersierelatie van Rossby-golven

$$\omega = Uk - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} .$$

Hun oostwaartse fasesnelheid is $c = \omega/k = U - \beta/K^2$, met $K^2 = k^2 + l^2$, en hun oostwaartse groepssnelheid $c_g = \partial\omega/\partial k = U + \beta(k^2 - l^2)/K^4$.

Ten opzichte van de lucht bewegen de golven altijd naar het westen, des te sneller naarmate ze langer zijn. Een westenwind voert de korte golven naar het oosten; de lange kan hij niet meevoeren, en die drijven tegen hem in naar het westen. Daartussen staat één lengte stil.

Propositie 20.6 (Stationaire Rossby-golven)

In een westenwind $U > 0$ is een golf zonder meridionale structuur ($l = 0$) stationair wanneer haar golflengte de stationaire Rossby-golflengte $\lambda_s = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. Langs de breedtecirkel $\varphi$ is dit een geheel aantal golven, dicht bij $n_s = \sqrt{2\Omega a\cos^3\varphi/U}$.

Op $45{}^{\circ}$ NB in een westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, met $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\lambda_s = 6050\,\mathrm{km}$ en $n_s = 4.7$: vier of vijf golven rond het halfrond. Met de zonaal gemiddelde januariwind op $300\,\mathrm{hPa}$, ongeveer $21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ NB, is $n_s$ van $35{}^{\circ}$ tot $55{}^{\circ}$ NB ongeveer vier, en neemt naar de pool toe af. De groepssnelheid van een golf met $l = 0$ overtreft haar fasesnelheid met $2\beta/k^2$: energie loopt vooruit op de golf, zodat een verstoring die op één plaats ontstaat nieuwe dalen en koppen stroomafwaarts ervan opbouwt, enkele dagen later en duizenden kilometers oostelijker, terwijl het patroon zelf nauwelijks verschuift. Bergketens en de temperatuurcontrasten tussen continenten en oceanen dwingen stationaire golven van precies deze soort af, via het uitrekken en samendrukken van potentiële vorticiteit.

20.3 Barokliene instabiliteit

De golven uit de vorige paragraaf zijn neutraal: ze groeien noch vervallen. De stormen van de middelste breedten groeien wel, en putten hun energie uit het temperatuurcontrast dat de thermische wind uitdrukt.

Definitie 20.7 (Beschikbare potentiële energie)

De beschikbare potentiële energie van een gestratificeerde vloeistof is het verschil tussen haar totale potentiële energie (gravitatie- en inwendige energie) en de kleinste totale potentiële energie die zij kan bereiken door een adiabatische herschikking van haar massa, de toestand waarin de oppervlakken van constante potentiële temperatuur of potentiële dichtheid zijn horizontaal.

Een vloeistof met horizontale isentropen heeft er geen, hoeveel potentiële energie zij ook bevat; een vloeistof waarvan de isentropen hellen, warm en licht aan de ene kant, koud en dicht aan de andere, kan er een deel vrijgeven door ze te laten inzakken. Het uitwisselen van twee pakketjes laat zien hoe. Neem een warm pakketje laag aan de evenaarszijde en een koud pakketje hoog aan de poolzijde, beide op dezelfde isentroop in een stabiele atmosfeer waarvan de isentropen naar de pool oplopen. Ze langs de isentroop verwisselen verandert niets. Ze langs een pad verwisselen dat minder steil is dan de isentroop, brengt het warme pakketje omhoog en naar de pool, in lucht die kouder is dan zijzelf, en het koude pakketje omlaag en naar de evenaar, in warmere lucht: het warme stijgt, het koude zinkt, het zwaartepunt van de massa daalt, en kinetische energie komt vrij. Paden binnen deze wig tussen de horizontale en de isentropen geven energie vrij; de wervels van de middelste breedten zijn zulke uitwisselingen, die warmte naar de pool en omhoog transporteren.

Definitie 20.8 (Barokliene instabiliteit)

Barokliene instabiliteit is de instabiliteit van een roterende, gestratificeerde stroming in thermische-windbalans, waardoor verstoringen aangroeien doordat de beschikbare potentiële energie van de hellende isentropen omzetten in hun eigen kinetische energie.

Definitie 20.9 (Eady-model)

Het Eady-model is een Boussinesq-vloeistof op een $f$-vlak tussen twee starre horizontale oppervlakken bij $z = 0$ en $z = H$, met uniforme drijfvermogenfrequentie $N$ en een westenwind die lineair met de hoogte toeneemt, $U = \Lambda z$, in thermische-windbalans met een uniforme afname van de temperatuur naar de pool toe; de verstoringen ervan gehoorzamen aan de quasi-geostrofische vergelijkingen.

Stelling 20.10 (Eady-groeisnelheid)

In het Eady-model verstoringen $\propto \mathrm e^{\mathrm ik(x - ct)}$ met $\mu = kL_d$, $L_d = NH/f$, groeien exponentieel wanneer $\mu < \mu_c = 2.40$, met de snelheid

$$\sigma = \frac{f\Lambda}{N}\left[\left(\coth\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right)\left(\frac{\mu}{2} - \tanh\frac{\mu}{2}\right)\right]^{1/2} .$$

De snelst groeiende verstoring heeft $\mu = 1.61$, de golflengte $2\pi L_d/1.61 \approx 3.9\,L_d$, en groeit met $\sigma_{\max} = 0.31\,f\Lambda/N$.

De groeisnelheid hangt alleen af van de windschering en de gelaagdheid, via $f\Lambda/N$, en de voorkeursgrootte alleen van de Rossby-straal. Voor het januarigemiddelde op $45{}^{\circ}$ NB neemt de wind toe met $17.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tussen $850\,\mathrm{hPa}$ en $250\,\mathrm{hPa}$, ongeveer $8.9\,\mathrm{km}$ uit elkaar in de standaardatmosfeer, een windschering van $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; met de gemiddelde troposferische $N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$ en $H = 11\,\mathrm{km}$, $L_d = 1210\,\mathrm{km}$, en de snelste verstoring heeft een golflengte van $4700\,\mathrm{km}$ en groeit met een factor $e$ in $2.1$ dagen. Verstoringen korter dan $3200\,\mathrm{km}$ groeien helemaal niet. Dit zijn de grootte en de groeitijd van de depressies op een weerkaart.

De extratropische cycloon uit Boek 4 is het oppervlaktegezicht van een groeiende barokliene golf: zijn warme sector voert warme lucht naar de pool en omhoog, de koude lucht erachter schuift naar de evenaar en omlaag, en de trog op grotere hoogte kantelt naar het westen met de hoogte, zoals de vrijkomst van beschikbare potentiële energie vereist.

20.4 De algemene circulatie

De algemene circulatie wordt beschreven door te middelen langs breedtecirkels, en wat het gemiddelde weglaat is even belangrijk als wat het behoudt.

Definitie 20.11 (Zonaal gemiddelde en wervels)

Het zonaal gemiddelde van een grootheid $A$ is het gemiddelde langs een breedtecirkel op vaste hoogte of druk, $[A] = (1/2\pi)\int_0^{2\pi} A\,\mathrm d\lambda$. De afwijking $A^* = A - [A]$ is haar wervelbijdrage; een wervel van de atmosfeer is elke afwijking van de stroming ten opzichte van haar zonaal gemiddelde: reizende golven, stationaire golven, cyclonen en anticyclonen.

Het zonaal gemiddelde van een product splitst zich in twee: $[vT] = [v][T] + [v^*T^*]$. De eerste term is het transport door de gemiddelde meridionale circulatie, de cellen van Boek 3; de tweede het transport door de wervels. In de middelste breedten is de gemiddelde meridionale wind zwak en domineert de wervelterm: naar de pool bewegende lucht is warmer dan naar de evenaar bewegende lucht op dezelfde breedte, zoals in onderstaande figuur, en $[v^*T^*] > 0$. De wervels voeren ook westelijk impulsmoment, $[u^*v^*]$, van de subtropen naar de breedten van de straalstroom, waardoor de straalstroom en de westenwinden aan de grond tegen wrijving in stand blijven. De Ferrelcel uit Boek 3 is de gemiddelde meridionale circulatie die dit werveltransport afdwingt.

In de tropen zijn de wervels zwak en voert de gemiddelde circulatie warmte naar de pool, de Hadleycel. In Boek 3 werd vastgesteld dat lucht die vanaf de evenaar in rust vertrekt en haar impulsmoment behoudt, zou met honderden meters per seconde waaien op $40{}^{\circ}$, en liet open waarom de cel bij $30{}^{\circ}$ eindigt. Een eenvoudig model geeft het antwoord.

Definitie 20.12 (Atmosferisch impulsmoment; Held–Hou-model)

Het atmosferisch impulsmoment per massa-eenheid om de aardas is $M = (\Omega a\cos\varphi + u)\,a\cos\varphi$, voor een naar het oosten waaiende wind $u$ op breedte $\varphi$. Het Held–Hou-model van de Hadleycel is een axisymmetrische, stationaire circulatie van een droge Boussinesq-atmosfeer met diepte $H$, verwarmd door relaxatie naar een potentiële temperatuur van stralingsevenwicht $\theta_E/\theta_0 = 1 + \Delta/3 - \Delta\sin^2\varphi$; de bovenste tak behoudt $M$, de onderste tak heeft verwaarloosbare wind, en de stroming is in thermische-windbalans.

Stelling 20.13 (Omvang van de Hadleycel)

In de kleine-hoekbenadering bereikt de Held–Hou-cel de breedte

$$\varphi_H = \left(\frac{5\,gH\Delta}{3\,\Omega^2a^2}\right)^{1/2}$$

op elk halfrond, en de wind van zijn bovenste tak is $u_M = \Omega a\varphi^2$.

De cel eindigt waar de temperatuur die het behoud van impulsmoment oplegt, samenkomt met stralingsevenwicht; verder zou de atmosfeer kouder moeten zijn dan straling haar maakt. Het model heeft twee parameters die niet rechtstreeks worden waargenomen. Voor $H = 15\,\mathrm{km}$ en $\Delta$ tussen $1/6$ en $1/3$, gekozen ter illustratie, ligt $\varphi_H$ tussen $25{}^{\circ}$ en $35{}^{\circ}$. De waargenomen cellen, afgelezen uit de zonaal gemiddelde meridionale wind, eindigen op $33.3{}^{\circ}$ NB en $32.5{}^{\circ}$ ZB in het jaargemiddelde, en de wintercellen, de sterke, op $30.8{}^{\circ}$ NB in december–februari en $29.1{}^{\circ}$ ZB in juni–augustus. De schaling is het punt: een cel die breder wordt bij een diepere troposfeer en een sterker verwarmingscontrast, en smaller wordt op een sneller roterende planeet. De bovenwind van het model, $u_M = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ aan zijn rand voor $\Delta = 1/6$, is twee keer de waargenomen straalstroom: de wervels nemen het overschot weg.

Geschiedenis — Van lange golven tot de eerste berekende verwachting

In 1939 stelden C.-G. Rossby en zijn medewerkers, in het Journal of Marine Research, zich ten doel om verschillende schijnbaar onafhankelijke verschijnselen van het weer vanuit één gezichtspunt te duiden. Geïnspireerd door weerpatronen die stroomopwaarts bewegen tegen de heersende westelijke stroming in, formuleerde Rossby een gelineariseerde theorie waarin grootschalige verstoringen ten opzichte van de wind de neiging hebben westwaarts te bewegen en kleinere oostwaarts, ten opzichte van de wind: de golven en de $\beta$-vlak van dit hoofdstuk. Elf jaar later namen J. G. Charney, R. Fjørtoft en J. von Neumann de barotrope vorticiteitsvergelijking numeriek door op de elektronische computer ENIAC: vier verwachtingen van 24 uur op het $500\,\mathrm{mb}$-niveau, op een rooster van $736\,\mathrm{km}$, 8 graden lengte bij $45{}^{\circ}$. De berekening van elke verwachting duurde ongeveer 24 uur: ze waren, zoals zij schreven, net in staat het tempo van het weer bij te houden.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

(a) Bereken de relatieve vorticiteit van een wervel in starre rotatie die eenmaal per dag draait. (b) Bereken de planetaire vorticiteit op $30{}^{\circ}$ NB en $60{}^{\circ}$ NB ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) en vergelijk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(a) $\zeta = 2\omega = 2\times2\pi/86\,400 = 1.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $f = 7.29 \times 10^{-5}$ en $1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: de wervel heeft ongeveer tweemaal de planetaire vorticiteit van $30{}^{\circ}$ NB en iets meer dan die van $60{}^{\circ}$ NB.

Oefening 20.2 ★

Een luchtpakketje zonder relatieve vorticiteit op $30{}^{\circ}$ NB beweegt naar $40{}^{\circ}$ NB in een stroming zonder divergentie. Bereken de relatieve vorticiteit daar. Is die cyclonaal of anticyclonaal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$\zeta = f_{30} - f_{40} = 7.29 \times 10^{-5} - 9.37 \times 10^{-5} = -2.08 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: anticyclonisch.

Oefening 20.3 ★

Op $45{}^{\circ}$ NB, zonder gemiddelde wind, bereken de fasesnelheid van een Rossby-golf met golflengte $5000\,\mathrm{km}$ en $l = 0$. In welke richting beweegt hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

$k = 2\pi/(5\times10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$; $c = -\beta/k^2 = -1.62 \times 10^{-11}/1.58 \times 10^{-12} = -10.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: westwaarts.

Oefening 20.4 ★

Op $60{}^{\circ}$ NB in een westenwind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, bereken $\beta$, de stationaire golflengte en het aantal stationaire golven rond de breedtecirkel ($a = 6371\,\mathrm{km}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$\beta = 2\Omega\cos60{}^{\circ}/a = 1.14 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_s = 2\pi\sqrt{10/1.14 \times 10^{-11}} = 5870\,\mathrm{km}$; de cirkel, $20\,015\,\mathrm{km}$, bevat $n_s = 3.4$ golven.

Oefening 20.5 ★★

Een luchtkolom van $10\,\mathrm{km}$ diep, zonder relatieve vorticiteit op $45{}^{\circ}$ NB, passeert een bergketen die haar tot $8\,\mathrm{km}$ samenperst, daarna een bekken waar ze $12\,\mathrm{km}$ diep is. Neem aan dat ze dicht bij $45{}^{\circ}$ NB blijft; bereken haar relatieve vorticiteit boven de keten en boven het bekken. Waar zullen depressies zich waarschijnlijk vormen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

$q = f/h$ blijft behouden: over het gebergte $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, anticyclonisch; over het bekken $f(12/10) - f = +2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, cyclonisch. Waar kolommen worden uitgerekt, in de luwte van het gebergte en boven het bekken, ontstaat cyclonische vorticiteit: daar zijn depressies geneigd zich te vormen.

Oefening 20.6 ★★

Voor de golf met vijf toppen rond de breedtecirkel op $45{}^{\circ}$ NB ($l = 0$) in een westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, bereken de fasesnelheid en de groepssnelheid. Hoe lang doet de energie van de golf erover om $5000\,\mathrm{km}$ oostwaarts te reizen, en hoe lang het patroon erover doet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

$k = 5/(a\cos45{}^{\circ}) = 1.11 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 13.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $c = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_g = 28.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. De energie legt $5000\,\mathrm{km}$ af in $2.1$ dagen, het patroon in $31$ dagen.

Oefening 20.7 ★★

Op $45{}^{\circ}$ NB in een westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is een golf opgesloten tussen breedtegraden, zodat $l = \pi/(6000\,\mathrm{km})$. (a) Bereken de stationaire zonaal golfgetal en golflengte. (b) Toon aan dat er geen stationaire golf bestaat voor $l = \pi/(3000\,\mathrm{km})$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

(a) $k^2 = \beta/U - l^2 = 1.079 \times 10^{-12} - 2.74 \times 10^{-13} = 8.05 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{-2}$, $k = 8.97 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{-1}$: $\lambda = 7000\,\mathrm{km}$ en $n = 4.0$, minder golven dan bij $l = 0$. (b) $l^2 = 1.097 \times 10^{-12} > \beta/U = 1.079 \times 10^{-12}$: $k^2$ zou negatief zijn.

Oefening 20.8 ★★

In een Eady-model op $45{}^{\circ}$ NB, $\Lambda = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $N = 0.012\,\mathrm{s}^{-1}$ en $H = 10\,\mathrm{km}$. Bereken $L_d$, de groeisnelheid en $e$-vouwtijd van de snelst groeiende verstoring, en de golflengte daarvan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

$L_d = 0.012\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1164\,\mathrm{km}$; $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2 \times 10^{-3}/0.012 = 5.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, een $e$-vouwtijd van $2.2$ dagen; golflengte $2\pi\times1164/1.61 = 4540\,\mathrm{km}$.

Oefening 20.9 ★★

Langs een breedtecirkel is de meridionale wervelwind $v^* = V\cos kx$ en de wervelcomponent van de temperatuur $T^* = T_0\cos(kx - \delta)$, met $V = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $T_0 = 5\,\mathrm{K}$. Bereken $[v^*T^*]$ voor $\delta = 0$, $60{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$, en de bijbehorende warmteflux $\rho c_p[v^*T^*]$ per $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ lucht ($c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Welke opstelling transporteert geen warmte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

$[v^*T^*] = (VT_0/2)\cos\delta$: $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12.5\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en 0; warmtefluxen $25\,100$, $12\,600$ en $0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Wanneer de temperatuur een kwart golflengte uit fase is met de wind, gaat evenveel warme lucht naar het zuiden als naar het noorden: geen transport.

Oefening 20.10 ★★★

Leid, uitgaande van de barotrope vorticiteitsvergelijking, de dispersierelatie van Rossby-golven in een uniforme westenwind af, en toon aan dat ten opzichte van de lucht elke Rossby-golf zich westwaarts beweegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

Linearisatie rond $U$ met $\zeta' = \nabla^2\psi'$ en $v' = \partial_x\psi'$: $(\partial_t + U\partial_x)\nabla^2\psi' + \beta\partial_x \psi' = 0$. Met $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$, volgt $(\omega - Uk)K^2 = -\beta k$, dus $\omega = Uk - \beta k/K^2$. Ten opzichte van de lucht is de fasesnelheid $c - U = -\beta/K^2 < 0$ voor elke golf.

Oefening 20.11 ★★★

Neem in het Held–Hou-model $H = 12\,\mathrm{km}$ en $\Delta = 1/4$. Bereken $\varphi_H$, de windsnelheid $u_M$ in de kleine-hoekbenadering aan de rand en de exacte impulsmomentwind daar, en vergelijk die met de subtropische straalstroom van $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ van het zonaal gemiddelde van januari.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

$\varphi_H = [5\times9.81\times12\,000\times0.25/(3\times(7.292 \times 10^{-5})^2 \times(6.371 \times 10^{6})^2)]^{1/2} = 0.477\,\mathrm{rad}$, $27.3{}^{\circ}$. $u_M = \Omega a\varphi_H^2 = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; exact geldt $\Omega a\sin^2 \varphi_H/\cos\varphi_H = 110\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: tweeënhalf keer de waargenomen straalstroom.

Oefening 20.12 ★★★

Twee luchtlagen verschillen in potentiële temperatuur met $10\,\mathrm{K}$ bij $300\,\mathrm{K}$; hun grensvlak helt omhoog richting de pool met helling $s$ over een band van $4000\,\mathrm{km}$ breed, en $\rho = 0.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Toon aan dat het afvlakken van het grensvlak $\rho g' s^2L^2/24$ per oppervlakte-eenheid vrijmaakt, $g' = g\,\Delta\theta/\theta$. (b) Bereken die voor $s = 10^{-3}$ en $2\times10^{-3}$ en vergelijk die met de kinetische energie van een wind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ door $10\,\mathrm{km}$ van dezelfde lucht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

(a) Over de band is het grensvlak verplaatst met $\eta = sy$, $-L/2 \le y \le L/2$, ten opzichte van de vlakke ligging. Een laag met verminderd dichtheidscontrast die over $\eta$ is verplaatst, slaat $\tfrac12\rho g'\eta^2$ per eenheid oppervlak op; gemiddeld over de band geldt $\langle\eta^2\rangle = s^2L^2/12$. (b) $g' = 0.327$: $1.5 \times 10^{5}$ en $6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$, tegenover $\tfrac12\times0.7\times15^2 \times10^4 = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ aan kinetische energie: vergelijkbaar.

20.6 Probleem: De golf die stilstond

Probleem 20.1

Weekendprobleem — vorticiteit, Rossby-golven en de groei van een barokliene golf op $45{}^{\circ}$ NB

Een westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ trekt over de middelbare breedten van een verzonnen continent, langs $45{}^{\circ}$ NB. Neem $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$ en $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Alle waarden van de stroming zijn verzonnen.

Deel I — Een verplaatst luchtpakketje.

1. Een luchtpakketje zonder relatieve vorticiteit op $45{}^{\circ}$ NB wordt naar $50{}^{\circ}$ NB geduwd. Bereken $f$ op beide breedtegraden en de relatieve vorticiteit op $50{}^{\circ}$ NB, als de stroming geen divergentie heeft.
2. Langs welke krommingsstraal draait het, bewegend met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (neem $\zeta = -V/R$, alles afkomstig van de kromming)? In welke richting draait het?
3. Als de kolom onderweg ook krimpt van $10.0\,\mathrm{km}$ tot $9.5\,\mathrm{km}$, wat is dan de relatieve vorticiteit op $50{}^{\circ}$ NB?
4. Geduwd naar $40{}^{\circ}$ NB in plaats daarvan, zonder divergentie, welke relatieve vorticiteit krijgt het dan? Verklaar waarom een uit zijn breedte verplaatst luchtpakketje rond die breedte oscilleert.

Deel II — Lopende golven.

5. Bereken $\beta$ op $45{}^{\circ}$ NB en de lengte van de breedtecirkel.
6. Voor $n = 3$ tot en met 8 golven rond de cirkel ($l = 0$), bereken de golflengte, de fasesnelheid en de groepssnelheid in de westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
7. Welke golven bewegen westwaarts en welke oostwaarts? Hoeveel dagen heeft de golf $n = 5$ nodig om $1000\,\mathrm{km}$ te verplaatsen?
8. Een rug over het westen van het continent versterkt zich. Waar en na hoeveel tijd zal het effect van de golf $n = 6$ $5000\,\mathrm{km}$ stroomafwaarts bereiken?

Deel III — De golf die stilstond.

9. Bereken de stationaire golflengte en het stationaire golfgetal op $45{}^{\circ}$ NB.
10. Bereken het stationaire golfgetal voor westenwinden van 10 en $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Wat gebeurt er met de stationaire golven wanneer de westenwinden in de winter versterken?
11. Bereken het stationaire golfgetal op $35{}^{\circ}$ NB en $55{}^{\circ}$ NB in de westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
12. De westelijke bergen van het continent steken $2\,\mathrm{km}$ op in een troposfeer van $10\,\mathrm{km}$ diep. Bereken de relatieve vorticiteit van een kolom die de bergen passeert zonder van breedte te veranderen. Waarom forceren bergen stationaire golven?
13. Waarom staat het golfpatroon dat de bergen forceren alleen stil wanneer de golflengte dicht bij $\lambda_s$ ligt?

Deel IV — Een storm groeit.

14. De westenwind neemt van de grond tot $10\,\mathrm{km}$ toe met $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Bereken de windschering $\Lambda$ en de naar de pool gerichte temperatuurgradiënt die daaruit volgt via de thermische wind bij een gemiddelde temperatuur van $250\,\mathrm{K}$.
15. Bereken met $N = 0.011\,\mathrm{s}^{-1}$ het Richardson-getal $N^2/\Lambda^2$. Is de stroming instabiel voor kleinschalige schuifturbulentie?
16. Bereken de Rossby-straal $L_d$ voor $H = 10\,\mathrm{km}$.
17. Bereken de golflengte van de snelst groeiende Eady-verstoring en het aantal van zulke golven rond de breedtecirkel.
18. Bereken de kortste golflengte die groeit.
19. Bereken de groeisnelheid $\sigma_{\max}$.
20. Met welke factor groeit de verstoring in drie dagen?
21. Vergelijk de golflengte van de groeiende storm met de stationaire golflengte van Deel III: welke is langer, en wat betekent dat voor de beweging van de stormen ten opzichte van de stationaire golven?
22. In welke richting kantelt de trog van de groeiende golf met de hoogte, en waarom moet dat?
23. Geef de $e$-vouwtijd van de snelst groeiende Eady-verstoring.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. $f_{45} = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f_{50} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\zeta = f_{45} - f_{50} = -8.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$.

2. $R = V/|\zeta| = 15/8.6 \times 10^{-6} = 1750\,\mathrm{km}$; met de klok mee, terug naar het zuiden.

3. $\zeta = f_{45}(9.5/10) - f_{50} = -1.38 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, meer anticyclonisch.

4. $\zeta = f_{45} - f_{40} = +9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, cyclonisch: het draait weer naar het noorden. Hoe het pakketje ook verplaatst is, het krijgt de vorticiteit die het terugdraait: een herstellend effect, en een oscillatie.

5. $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; de cirkel is $28\,306\,\mathrm{km}$ lang.

6. $n = 3$ tot 8: golflengten 9435, 7076, 5661, 4718, 4044 en $3538\,\mathrm{km}$; $c = -21.5$, $-5.5$, 1.9, 5.9, 8.3 en $9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $c_g = 51.5$, 35.5, 28.1, 24.1, 21.7 en $20.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

7. $n = 3$ en 4 bewegen westwaarts, $n \ge 5$ oostwaarts. De golf $n = 5$ doet $10^6/1.86 = 5.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, $6.2$ dagen, over $1000\,\mathrm{km}$.

8. Stroomafwaarts, oostwaarts: bij $c_g = 24.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ legt de energie $5000\,\mathrm{km}$ af in $2.4$ dagen.

9. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{15/1.62 \times 10^{-11}} = 6050\,\mathrm{km}$, $n_s = 4.7$.

10. $n_s = 5.7$ voor $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en 4.1 voor $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: een sterkere westenwind begunstigt langere stationaire golven, minder rond het halfrond.

11. $n_s = 5.8$ bij $35{}^{\circ}$ NB en 3.4 bij $55{}^{\circ}$ NB.

12. $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: samendrukking boven de bergen maakt de kolom anticyclonisch, uitrekking in de lij maakt haar cyclonisch. Het gebergte legt de stroming een vast patroon van vorticiteit op, een forcering die niet beweegt.

13. Een vaste forcering geeft een stationaire respons; de respons is het sterkst wanneer het opgelegde patroon zelf een vrije golf is die stil zou staan, de resonantie bij $\lambda_s$.

14. $\Lambda = 25/10^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $|\partial T/\partial y| = \Lambda fT/g = 2.5 \times 10^{-3}\times1.031 \times 10^{-4} \times250/9.81 = 6.6\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$.

15. $\mathrm{Ri} = 0.011^2/(2.5 \times 10^{-3})^2 = 19$: ruim boven 0.25, geen schuifturbulentie.

16. $L_d = 0.011\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1067\,\mathrm{km}$.

17. $2\pi\times1067/1.61 = 4160\,\mathrm{km}$; $28306/4160 = 6.8$ golven.

18. $2\pi\times1067/2.40 = 2790\,\mathrm{km}$.

19. $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2.5 \times 10^{-3}/0.011 = 7.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, $0.63$ dag$^{-1}$.

20. $\exp(3\times0.627) = 6.6$.

21. De storm, $4160\,\mathrm{km}$, is korter dan de stationaire Rossby-golflengte, $6050\,\mathrm{km}$: als Rossby-golf wordt hij door de westenwind oostwaarts meegevoerd, en de stormen trekken oostwaarts door de langzamere of stilstaande lange golven.

22. Met de hoogte naar het westen gekanteld: alleen dan is de naar de pool stromende lucht warmer dan de naar de evenaar stromende lucht, zodat warmte poolwaarts gaat en de beschikbare potentiële energie vrijkomt.

23. De snelst groeiende storing groeit met een factor $e$ elke $1.6$ dagen ($1.59$ dagen volgens de berekening).