3Zwaartekracht en de vorm van de Aarde

Twee satellieten vliegen achter elkaar om de Aarde, op een hoogte van meer dan $500\,\mathrm{km}$ en ongeveer $220\,\mathrm{km}$ van elkaar, en meten de afstand onderling voortdurend, tot op een micrometer nauwkeurig.

Wanneer ze boven een plek vliegen waar massa is geconcentreerd, wordt eerst de voorste satelliet naar voren getrokken en de tussenruimte gaat open; daarna wordt de achterste op zijn beurt aangetrokken en de tussenruimte sluit zich. Uit die minieme veranderingen, maand na maand sinds 2002, is het zwaartekrachtsveld van de Aarde in kaart gebracht zoals het verandert: het water dat in stroomgebieden is opgeslagen, stijgt en daalt met de seizoenen, en de grote ijskappen van Groenland en Antarctica verliezen jaar na jaar massa. Zwaartekracht weegt wat het oog niet kan zien. Dit hoofdstuk bouwt het zwaartekrachtsveld van een roterende planeet op uit zijn potentiaal, vindt daarin de afplatting en het traagheidsmoment, volgt zijn anomalieën tot in de baan, en wendt zich dan tot een van de dingen die zwaartekracht aan het oppervlak onthult: de buiging van de lithosfeer onder het gewicht van een vulkaan.

Wat je al weet

De gravitatiewet van Newton, de gravitatiepotentiële energie en de centrifugaalkracht in een roterend assenstelsel komen uit de natuurkundeboeken; de traagheidsmomenten van een vast lichaam en de Legendre-polynomen $P_2(x) = (3x^2 - 1)/2$ staan in de universitaire delen van de natuurkunde- en wiskundeboeken, de elasticiteitsmodulus van Young $E$ en de dwarscontractiecoëfficiënt van Poisson $\nu$ in het derde-jaarsdeel van de natuurkundeboeken. Geodesie en de afplatting $f = (a - b)/a$ van een ellipsoïde met halve assen $a > b$ kwamen aan de orde in leerjaar 10. Isostasie, Airy-compensatie, normale zwaartekracht, de geoïde, de geoïdehoogte en de zwaartekrachtsanomalieën werden gedefinieerd in Boek 3, in het hoofdstuk over isostasie en zwaartekrachtsanomalieën.

3.1 De geopotentiaal

Op een roterende planeet voelt een lichaam in rust de aantrekking van de massa van de planeet en, in het assenstelsel dat met de planeet meedraait, de centrifugaalkracht. Beide zijn afgeleid van een potentiaal.

Definitie 3.1 (Geopotentiaal)

De geopotentiaal is de potentiële energie per eenheid van massa, in het assenstelsel dat met de Aarde meedraait met de hoeksnelheid $\omega$, van de gravitatie en de centrifugaalkracht samen:

$$W(\mathbf r) = V(\mathbf r) + \Phi(\mathbf r),\qquad V(\mathbf r) = -G\int_{\text{Aarde}}\frac{\mathrm dm'}{|\mathbf r - \mathbf r'|},\qquad \Phi(\mathbf r) = -\tfrac12\omega^2 s^2,$$

waarin $s$ de afstand tot de rotatieas is. De zwaartekracht is $\mathbf g = -\nabla W$, en de oppervlakken $W = \text{constant}$ zijn haar niveauoppervlakken: overal staat de zwaartekracht loodrecht op ze.

Een schietlood hangt langs $-\nabla W$, en stilstaand water komt tot rust op een niveauoppervlak. Een roterende vloeibare planeet neemt daarom de vorm aan van een van zijn eigen niveauoppervlakken: de centrifugaalpotentiaal, die aan de evenaar het diepst is, zwelt de evenaar op en vlakt de polen af.

Buiten de planeet voldoet het gravitatiepotentiaal aan de vergelijking van Laplace, en de oplossingen die regulier zijn in oneindig, zijn de solide sferische harmonischen.

Propositie 3.2 (Ontwikkeling van de geopotentiaal in sferische harmonischen)

Buiten een lichaam met massa $M$ en equatoriale straal $a$, met de oorsprong in zijn massamiddelpunt en de $z$-as langs zijn rotatieas, is de gravitatiepotentiaal op afstand $r$, colatitude $\theta$ en lengtegraad $\lambda$ gegeven door

$$\begin{gather*} V = -\frac{GM}{r}\Biggl[1 - \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac ar\right)^nJ_nP_n(\cos\theta)\\ + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}\left(\frac ar\right)^nP_{nm}(\cos\theta) (C_{nm}\cos m\lambda + S_{nm}\sin m\lambda)\Biggr], \end{gather*}$$

met de Legendre-polynomen $P_n$ en de geassocieerde functies $P_{nm}$; de coëfficiënten $J_n$, $C_{nm}$, $S_{nm}$ zijn getallen die aan waarnemingen zijn aangepast. Voor een lichaam dat symmetrisch is om zijn as, blijven alleen de zonale termen $J_n$ over. Geen term van graad 1 komt voor.

Definitie 3.3 (Dynamische vormfactor)

De dynamische vormfactor $J_2$ van een planeet is de coëfficiënt van zijn zonale harmonische van graad 2: de grootste afwijking van zijn externe potentiaal ten opzichte van die van een bol, veroorzaakt door zijn afplatting. Voor de Aarde geldt $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$.

Stelling 3.4 (Formule van MacCullagh)

Laat $A$, $B$, $C$ de hoofdtraagheidsmomenten zijn van een lichaam met massa $M$ om assen door zijn massamiddelpunt, en $I$ zijn traagheidsmoment om de lijn van het massamiddelpunt naar een extern punt op afstand $r$. Tot en met orde $r^{-3}$ wordt de gravitatiepotentiaal in dat punt gegeven door de formule van MacCullagh

$$V = -\frac{GM}{r} - \frac{G(A + B + C - 3I)}{2r^3} .$$

Voor een lichaam dat symmetrisch is om de $z$-as ($A = B$), $V = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{G(C - A)}{r^3}P_2(\cos\theta)$, zodat

$$J_2 = \frac{C - A}{Ma^2} .$$

De term van graad 2 van de potentiaal meet dus het verschil van de traagheidsmomenten, niet de momenten zelf. De precessie van de aardas, aangedreven door de koppels van de Zon en de Maan op de equatoriale uitstulping, meet de dynamische elliptiteit $H = (C - A)/C$; samen geven $J_2$ en $H$ de $C/(Ma^2)$, de traagheidsmomentfactor, $0.3308$ voor de Aarde,

duidelijk lager dan de $0.4$ van een homogene bol: de massa is naar het middelpunt geconcentreerd.

3.2 De roterende ellipsoïde

Definitie 3.5 (Referentie-ellipsoïde)

Een referentie-ellipsoïde is een ellipsoïde van omwenteling, met equatoriale halve as $a$ en afplatting $f$, zo gekozen dat het zelf een niveauoppervlak is van een modelpotentiaal: de potentiaal van een roterend lichaam met massa $M$, hoeksnelheid $\omega$ en de dynamische vormfactor $J_2$ van de Aarde. Vier constanten bepalen haar; het Geodetic Reference System 1980 neemt

$$\begin{gather*} a = 6\,378\,137\,\mathrm{m},\qquad GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2},\\ J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3},\qquad \omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}, \end{gather*}$$

en leidt daaruit de afplatting $f = 0.003\,352\,810\,68$ ($1/f = 298.257\,222$) en de kleine halve as $b = 6\,356\,752.3141\,\mathrm{m}$ af.

De potentiaal van het model, de normale potentiaal, is in gesloten vorm bekend, en evenzo de zwaartekracht ervan op de ellipsoïde, de normale zwaartekracht uit Boek 3.

Propositie 3.6 (Formule van Somigliana)

Op een referentie-ellipsoïde met halve assen $a$, $b$ en normale zwaartekracht $\gamma_e$ aan de evenaar en $\gamma_p$ aan de polen, wordt de normale zwaartekracht op de geodetische breedte $\varphi$ gegeven door de formule van Somigliana

$$\gamma(\varphi) = \frac{a\gamma_e\cos^2\varphi + b\gamma_p\sin^2\varphi} {\sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi}} .$$

Voor het Geodetic Reference System 1980 geldt $\gamma_e = 9.780\,326\,771\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ en $\gamma_p = 9.832\,186\,368\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en de reeks $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ reproduceert de formule tot op $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Hoe plat moet een roterende planeet zijn? Als het een vloeistof in hydrostatisch evenwicht is, wordt de afplatting vastgelegd door zijn rotatie en door hoe zijn massa over de diepte is verdeeld.

Propositie 3.7 (Relaties van Clairaut en Darwin–Radau)

Voor een planeet in hydrostatisch evenwicht, met $m = \omega^2a^2b/(GM)$ de verhouding van de centrifugale tot de gravitatieversnelling aan de evenaar, tot in de eerste orde in $f$ en $m$:

$$J_2 = \frac{2f - m}{3}\qquad\text{(Clairaut)},\qquad \frac{C}{Ma^2} = \frac23\left[1 - \frac25\sqrt{\frac52\frac mf - 1}\right] \qquad\text{(Darwin--Radau)} .$$

Een homogene planeet ($C/Ma^2 = 0.4$) heeft $f = 5m/4$; een planeet waarvan de massa naar het middelpunt geconcentreerd is, is minder afgeplat.

Met de relatie van Clairaut en de $m = 0.003\,449\,79$ van de Aarde wordt de gemeten $J_2$ omgezet in $f = 0.003\,348\,8$, of $1/298.6$: binnen $0.12\,\%$ van de afplatting van de ellipsoïde. De relatie van Darwin–Radau geeft, met de traagheidsmomentfactor, de afplatting die de Aarde zou hebben als zij een vloeistof in evenwicht was: $1/299.9$, tegenover de gemeten $1/298.26$. De Aarde is iets platter dan een vloeistofplaneet met haar rotatie en haar massaverdeling zou hebben: haar equatoriale uitstulping ligt ongeveer $116\,\mathrm{m}$ hoger dan het hydrostatisch evenwicht voorspelt. De Aarde is niet exact een vloeistof in evenwicht, en het kleine verschil is zelf een meting van de spanningen die haar inwendige draagt.

3.3 De geoïde en de storingspotentiaal

De geoïde is het niveauoppervlak van de werkelijke geopotentiaal dat samenvalt met het gemiddelde zeeniveau; het referentie-ellipsoïde is een niveauoppervlak van de normale potentiaal $U$ met dezelfde waarde, $U_0 = W_0$. Hun scheiding, de geoïdehoogte $N$, wordt bepaald door het verschil van de twee potentialen.

Propositie 3.8 (Formule van Bruns)

Laat $T = W - U$ de storingspotentiaal zijn. De geoïdehoogte op een punt wordt gegeven door de formule van Bruns

$$N = -\frac{T}{\gamma},$$

waarbij $T$ op de geoïde wordt geëvalueerd en $\gamma$ de normale zwaartekracht daar is. Een massaoverschot, dat de potentiaal verdiept ($T < 0$), tilt de geoïde op.

Een geoïdehoogte van $50\,\mathrm{m}$ komt overeen met een potentiaalverschil van slechts $490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, één deel op $10^{5}$ van de geopotentiaal. De geoïdehoogten van de Aarde lopen van ongeveer $+85\,\mathrm{m}$ bij IJsland tot $-106\,\mathrm{m}$ in Zuid-India,

een spreiding van minder dan $200\,\mathrm{m}$ op een planeet waarvan de equatoriale en poolstralen $21\,\mathrm{km}$ verschillen.

3.4 Satellietgravimetrie

Definitie 3.9 (Satellietgravimetrie)

Satellietgravimetrie bepaalt het zwaartekrachtveld van de Aarde uit de beweging van satellieten: uit de langdurige storingen van hun banen, uit de veranderende afstand tussen twee satellieten in dezelfde baan, of met gradiometers die de verschillen in zwaartekracht over het ruimtevaartuig meten.

De grootste storing van een baan dicht bij de Aarde komt van $J_2$. De equatoriale uitstulping oefent een koppel uit op de schuine baan, die langzaam rond de aardas draait.

Propositie 3.10 (Precessie van de knooplijn)

In eerste orde in $J_2$ draait de knooplijn van een cirkelbaan met straal $r$ en inclinatie $i$ met de snelheid

$$\dot\Omega = -\frac32\,nJ_2\left(\frac ar\right)^2\cos i,\qquad n = \sqrt{GM/r^3} ,$$

westwaarts voor een prograde baan ($i < 90{}^{\circ}$), oostwaarts voor een retrograde baan.

De precessie bedraagt enkele graden per dag voor een lage baan nabij de evenaar; bij een inclinatie die iets boven $90{}^{\circ}$ ligt, komt zij overeen met de jaarlijkse beweging van de Zon, en de baan houdt het hele jaar dezelfde oriëntatie ten opzichte van de Zon (oefening 12). Gemeten aan vele satellieten onder verschillende inclinaties leveren zulke precessies $J_2$ en de hogere zonale harmonischen op.

Een paar satellieten doet het beter: de veranderende afstand ertussen meet het verschil in zwaartekracht dat zij langs de baan voelen. Het GRACE-paar vloog van 2002 tot 2017, en zijn opvolger GRACE Follow-On, sinds de lancering op 22 mei 2018, met een microgolfverbinding die de afstand tot binnen een micrometer meet, en een laserverbinding die een precisie toetst tot twintig keer beter.

Het zwaartekrachtveld verandert van maand tot maand omdat water beweegt: sneeuw en bodemvocht, grondwater, meren, de oceanen, de ijskappen.

Definitie 3.11 (Equivalente waterhoogte)

Een verandering van het zwaartekrachtveld die langzaam varieert over afstanden veel groter dan de dikte van de laag waarin de massa is verplaatst, kan worden voorgesteld als een verandering van de oppervlaktedichtheid $\sigma$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$) op een dunne schil aan het oppervlak van de Aarde. De equivalente waterhoogte is de dikte van zoet water met dezelfde oppervlaktedichtheid:

$$h_w = \frac{\sigma}{\rho_w} .$$

Een meter water boven een bekken van $1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2}$ is $1 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$, of $1000\,\mathrm{Gt}$. Het zeeniveau is de andere kant van de rekening: $360\,\mathrm{Gt}$ ijs dat aan de oceaan wordt toegevoegd, verhoogt het met ongeveer een millimeter.

Satellietgravimetrie, satellietaltimetrie en de balans van sneeuwval tegen ijsafvoer meten elk de massabalans van de ijskappen; samengebracht geven ze de reeks hieronder.

Een zwaartekrachtsanomalie die aan het oppervlak wordt gemeten, is een som van harmonischen; op de hoogte van een satelliet wordt elke harmonische verzwakt met een factor die van zijn golflengte afhangt.

Propositie 3.12 (Opwaartse voortzetting)

Boven de massa’s die haar veroorzaken, is een zwaartekrachtsanomalie die langs het oppervlak varieert als $\Delta g_0\cos kx$, met $k = 2\pi/\lambda$, op hoogte $z$ (haar opwaartse voortzetting) gelijk aan

$$\Delta g(x, z) = \Delta g_0\,e^{-kz}\cos kx .$$

Op een hoogte van $400\,\mathrm{km}$ behoudt een anomalie van $1000\,\mathrm{km}$ lengte $8\,\%$ van haar amplitude, een van $100\,\mathrm{km}$ lengte ongeveer $1 \times 10^{-11}$ ervan: satellieten zien de lange golflengten, en metingen aan het oppervlak de korte.

3.5 Lithosferische buiging

Boek 3 compenseerde een belasting plaatselijk, waarbij elke kolom op zichzelf dreef. Een vulkaan op een oceanische plaat wordt niet alleen onder zichzelf gecompenseerd: de plaat buigt eronder over een breedte van honderden kilometers, en de zeebodem rond de vulkaan zakt weg in een greppel, waarachter hij omhoog komt in een lage boog.

Definitie 3.13 (Lithosferische buiging, buigstijfheid, effectieve elastische dikte)

Lithosferische buiging is het buigen van de lithosfeer onder een belasting, gemodelleerd als het buigen van een dunne elastische plaat die op een vloeibare mantel drijft. De weerstand van de plaat tegen buiging is haar buigstijfheid

$$D = \frac{ET_e^3}{12(1 - \nu^2)},$$

en de dikte $T_e$ van de uniforme elastische plaat die buigt zoals de echte lithosfeer is haar effectieve elastische dikte.

Stelling 3.14 (Buiging van een dunne plaat)

Een dunne elastische plaat met stijfheid $D$, in één richting gebogen door een belasting $q(x)$ per oppervlakte-eenheid, naar beneden doorgebogen met $w(x)$ en drijvend op een mantel met dichtheid $\rho_m$, waarbij de holte gevuld is met materiaal met dichtheid $\rho_i$, voldoet aan de buigingsvergelijking

$$D\frac{\mathrm d^4w}{\mathrm dx^4} + (\rho_m - \rho_i)g\,w = q(x) .$$

Definitie 3.15 (Buigingsparameter, voorwelving)

De buigingsparameter van een plaat is de lengte

$$\alpha = \left(\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)g}\right)^{1/4},$$

die de horizontale schaal van haar buiging bepaalt. De voorwelving is de lage boog van opwaartse buiging die een gebogen plaat opricht voorbij de greppel of het bekken naast haar belasting.

Propositie 3.16 (Lijnbelasting op een doorlopende plaat)

Een lijnbelasting $V_0$ per lengte-eenheid langs $x = 0$ buigt de plaat door

$$w(x) = w_0e^{-|x|/\alpha}\left(\cos\frac{|x|}{\alpha} + \sin\frac{|x|}{\alpha}\right), \qquad w_0 = \frac{V_0\alpha^3}{8D} .$$

De doorbuiging verdwijnt bij $|x| = 3\pi\alpha/4$, de rand van de greppel; de top van de voorwelving ligt bij $|x| = \pi\alpha$, met de hoogte $w_0e^{-\pi} = 0.0432\,w_0$. Het drijfvermogen van de hele doorbuiging compenseert de belasting: $\int(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx = V_0$.

Propositie 3.17 (Gebroken plaat)

Een plaat die bij $x = 0$ gebroken is en aan haar vrije uiteinde naar beneden gedrukt wordt, zoals bij een diepzeegreppel, buigt door als $w = w_0e^{-x/\alpha}\cos(x/\alpha)$ voor $x \ge 0$: de doorbuiging verdwijnt bij $x = \pi\alpha/2$, en de top van de voorwelving, de buitenste opheffing, ligt bij $x = 3\pi\alpha/4$, met de hoogte $w_0e^{-3\pi/4}/\sqrt2 = 0.067\,w_0$.

Afstanden zijn dus de sleutel tot de sterkte van de plaat: meet waar de greppel eindigt of waar de bult zijn top heeft, dan volgt $\alpha$, daarna $D$, en dan $T_e$. Omdat $T_e$ als $\alpha^{4/3}$ meetelt, geeft een redelijke schatting van een afstand een goede van de dikte.

Definitie 3.18 (Regionale isostatische compensatie)

Regionale isostatische compensatie is de ondersteuning van een belasting door het drijfvermogen van een doorbuiging die zich uitstrekt over een gebied breder dan de belasting, via de buigsterkte van de lithosfeer; bij Airy- of Pratt-compensatie wordt daarentegen elke kolom onder zichzelf gecompenseerd.

Lokale en regionale compensatie brengen dezelfde totale massa in evenwicht, maar verdelen die op een andere manier: onder een smalle belasting op een stijve plaat ligt de wortel ondiep en breed, en de zwaartekrachtsanomalie boven de belasting is sterk positief, geflankeerd door negatieve anomalieën boven de greppel. Rond de eilanden van de Hawaïaanse rug geven zwaartekracht- en seismische profielen effectieve elastische diktes van 17 tot $37\,\mathrm{km}$, en 10 tot $20\,\mathrm{km}$ langs de oudere zeebergen van de Keizerketen, een verschil dat men uit de ouderdom van de vulkanen en van de plaat die ze belastten verwacht; de waarden volgen de diepte van een isotherm bij ongeveer $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ in de afkoelende oceanische plaat.

Dezelfde buiging, onder het gewicht van een bergketen, opent de voorlandbekkens uit Boek 4, in het hoofdstuk over de Alpiene orogenese.

In het veld — Een relatieve zwaartekrachtmeting

Een absolute zwaartekrachtmeter laat in een vacuümkamer een hoekkubusspiegel vallen, steeds opnieuw, en meet de tijd van de val met een laserinterferometer en een atoomklok; hij geeft de zwaartekracht op één station, maar is zwaar en traag op te zetten. De meting zelf gebeurt met een relatieve zwaartekrachtmeter, een kleine veerweegschaal die verschillen in zwaartekracht meet. De geofysicus waterpast hem op een basisplaat bij elk station van een lijn, leest hem af, noteert de tijd en de hoogte, en gaat verder; elke paar uur keert de lus terug naar een basisstation, zodat de trage drift van de veer en de getijden van de vaste Aarde kunnen worden gemeten en verwijderd. Een satellietontvanger op een paal in de buurt geeft de positie en de hoogte, omdat de zwaartekracht verandert met ongeveer $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter hoogte.

3.6 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Bereken uit de waarden $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$ en $f = 0.003\,352\,810\,68$ van het Geodetic Reference System 1980 de halve kleine as $b$ en $a - b$. Bereken met $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ en $m = 0.003\,449\,79$ de afplatting die de relatie van Clairaut voorspelt, en vergelijk die.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

$b = a(1 - f) = 6378137\times0.99664719 = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, en $a - b = 21\,384.7\,\mathrm{m}$, ongeveer $21.4\,\mathrm{km}$. Clairaut: $f = (3J_2 + m)/2 = (0.00324789 + 0.00344979)/2 = 0.003\,348\,8$, of $1/298.61$, tegen $1/298.26$: $0.12\,\%$ kleiner, de grootte van de termen van tweede orde die de relatie verwaarloost.

Oefening 3.2 ★

In een droog jaar verliest een rivierbekken van $5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ $60\,\mathrm{Gt}$ aan water. Bereken de verandering van de equivalente waterhoogte. Schat hoeveel dezelfde massa het zeeniveau zou doen stijgen, uitgaande van $360\,\mathrm{Gt}$ per millimeter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$\sigma = 6.0 \times 10^{13}\,\mathrm{kg}/5.0 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{2} = 120\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, dus $h_w = 120/1000 = 0.12\,\mathrm{m}$: $12\,\mathrm{cm}$ water. Verdeeld over de oceaan, $60/360 = 0.17\,\mathrm{mm}$ van het zeeniveau.

Oefening 3.3 ★

Met de reeks $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, bereken de normale zwaartekracht aan de evenaar, bij $45{}^{\circ}$ en aan de polen. Druk het verschil tussen de pool en de evenaar uit in milligal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

Aan de evenaar $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Bij $45{}^{\circ}$, $\sin^2\varphi = 0.5$ en $\sin^22\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times1.0026454 = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Aan de polen, $9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Het verschil is $0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, of $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Oefening 3.4 ★

Bereken de buigstijfheid en de buigingsparameter van oceanische platen met $T_e = 10\,\mathrm{km}$ en $T_e = 30\,\mathrm{km}$ ($E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). Waar liggen de rand van de greppel en de voorwelving onder een lijnbelasting?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

$D = ET_e^3/(12(1 - \nu^2)) = 10^{11}T_e^3/11.25$: $8.89 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ voor $10\,\mathrm{km}$, $2.40 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ voor $30\,\mathrm{km}$. Met $(\rho_m - \rho_w)g = 22\,269\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = (4D/22269)^{1/4}$: $35.5\,\mathrm{km}$ en $81.0\,\mathrm{km}$. De greppel eindigt bij $3\pi\alpha/4$, $84\,\mathrm{km}$ en $191\,\mathrm{km}$; de toppen van de voorwelving liggen bij $\pi\alpha$, $112\,\mathrm{km}$ en $255\,\mathrm{km}$.

Oefening 3.5 ★★

(a) Bereken bij een geoïdehoogte van $+50\,\mathrm{m}$ de storingspotentiaal daar, neem $\gamma = 9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Over $100\,\mathrm{km}$ stijgt de geoïde met $10\,\mathrm{m}$. Met welke hoek wijkt de loodlijn daar af van de normaal op de ellipsoïde? Geef die in boogseconden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

(a) $T = -\gamma N = -9.80\times50 = -490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. (b) De geoïde kantelt met $10/100\,000 = 1.0 \times 10^{-4}$ rad ten opzichte van de ellipsoïde, en de schietlijn, loodrecht op de geoïde, met dezelfde hoek ten opzichte van de normaal op de ellipsoïde: $1.0 \times 10^{-4}\times206\,265 = 20.6''$.

Oefening 3.6 ★★

Uit $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ en de traagheidsmomentfactor $C/(Ma^2) = 0.3308$, bereken de dynamische ellipticiteit $H = (C - A)/C$ en $1/H$. Welk van de twee getallen zou een homogene Aarde met dezelfde $J_2$ veranderen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

$H = J_2/(C/Ma^2) = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$, en $1/H = 305.55$. $J_2$ is per hypothese hetzelfde; een homogene Aarde zou $C/(Ma^2) = 0.4$ hebben en dus $H = J_2/0.4 = 0.002\,706\,6$: de precessie zou trager verlopen. Door zowel $J_2$ als $H$ te meten wordt de concentratie van massa naar het centrum toe onthuld.

Oefening 3.7 ★★

Een satelliet vliegt een cirkelbaan $500\,\mathrm{km}$ boven de equatoriale straal ($a = 6378.137\,\mathrm{km}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$), met een helling van $89{}^{\circ}$. Bereken de omlooptijd en de snelheid van de knooppuntsprecessie in graden per dag. Waarom kiezen zwaartekrachtmissies bijna-polaire banen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

$r = 6878.137\,\mathrm{km}$; $n = \sqrt{GM/r^3} = 1.106\,78 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $2\pi/n = 94.6\,\mathrm{min}$. $\dot\Omega = -1.5\times1.106\,78 \times 10^{-3} \times1.082\,63 \times 10^{-3}\times(6378.137/6878.137)^2\times\cos89{}^{\circ} = -2.70 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, of $-0.134{}^{\circ}$ per dag, westwaarts. Een bijna-polaire baan passeert elke breedtegraad, zodat de hele Aarde in kaart wordt gebracht; ze precesseert ook langzaam, zodat de grondsporen zich regelmatig aanvullen.

Oefening 3.8 ★★

Twee anomalieën van $10\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ aan het oppervlak hebben golflengten van $100\,\mathrm{km}$ en $1000\,\mathrm{km}$. Bereken hun amplitudes op $500\,\mathrm{km}$ hoogte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

$e^{-2\pi\times500/100} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: $2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, verwaarloosbaar. $e^{-2\pi\times500/1000} = e^{-3.14} = 0.0432$: $0.43\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Oefening 3.9 ★★

Aan de zeezijde van een oceanische trog ligt de top van de buitenwelving $120\,\mathrm{km}$ van de as van de trog. Neem het gebroken-plaatmodel met water boven de plaat en bereken $\alpha$, $D$ en $T_e$, en de afstand waar de plaat haar ongebogen niveau kruist.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

$3\pi\alpha/4 = 120\,\mathrm{km}$ geeft $\alpha = 50.9\,\mathrm{km}$. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 22269\times(50\,930)^4/4 = 3.75 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, en $T_e = (11.25D/E)^{1/3} = 16.2\,\mathrm{km}$. De plaat kruist zijn ongebogen niveau bij $\pi\alpha/2 = 80\,\mathrm{km}$ vanaf de trog.

Oefening 3.10 ★★★

(a) Controleer dat $w = w_0e^{-u}(\cos u + \sin u)$, $u = x/\alpha$, voldoet aan $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = 0$ voor $x > 0$, met $\alpha$ zoals gedefinieerd. (b) Toon aan dat het buigmoment $-Dw''$ het grootst is onder de belasting en van teken verandert bij $x = \pi\alpha/4$. (c) Waar scheurt de plaat het waarschijnlijkst aan haar bovenzijde, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

(a) Met $u = x/\alpha$, $\mathrm d^4/\mathrm dx^4 = \alpha^{-4}\,\mathrm d^4/\mathrm du^4$. Door $\cos u + \sin u = \sqrt2\cos(u - \pi/4)$ te schrijven, is de functie $\sqrt2w_0\,\mathrm{Re}\,e^{(-1 + i)u - i\pi/4}$, en $(-1 + i)^4 = -4$: dus $w'''' = -4w/\alpha^4$. Dan $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = (-4D/\alpha^4 + (\rho_m - \rho_i)g)w = 0$, omdat $\alpha^4 = 4D/((\rho_m - \rho_i)g)$. (b) $w'' = -(2w_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$, dus $M = -Dw'' = (2Dw_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$: grootst in absolute waarde bij $u = 0$, nul waar $\tan u = 1$, $x = \pi\alpha/4$. (c) Onder de belasting is de plaat naar boven hol, haar bovenvlak onder compressie; voorbij $\pi\alpha/4$ is zij naar boven bol, haar bovenvlak uitgerekt. Daar $M' \propto -e^{-u}\cos u$ verdwijnt bij $u = \pi/2$: de uitrekking is het grootst bij $x = \pi\alpha/2$, aan de buitenflank van de greppel richting de voorwelving, waar $|M|$ bedraagt $e^{-\pi/2} = 21\,\%$ van zijn waarde onder de belasting. Dat is waar afschuivingen en scheuren zich aan de bovenkant van de plaat zouden openen.

Oefening 3.11 ★★★

Met $m = 0.003\,449\,79$ en $C/(Ma^2) = 0.3308$, inverteer de relatie van Darwin–Radau voor de hydrostatische afplatting. Vergelijk met $f = 0.003\,352\,81$: bereken het verschil en de overhoogte van de evenaar boven de hydrostatische vorm. Wat zegt dat over de mantel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

$\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, dus $1 + \eta = 1.5863$ en $\tfrac52m/f = 2.5863$: $f_h = 2.5\times0.00344979/2.5863 = 0.003\,334\,6$, $1/f_h = 299.9$. Het verschil $f - f_h = 1.82 \times 10^{-5}$; vermenigvuldigd met $a$ ligt de evenaar $116\,\mathrm{m}$ boven de hydrostatische figuur. De Aarde is niet helemaal een vloeistof in evenwicht: het inwendige handhaaft spanningen, afkomstig van de sterkte van de lithosfeer of van de stromings- en dichtheidsverschillen in de mantel, die de vorm een beetje van het evenwicht verwijderd houden.

Oefening 3.12 ★★★

Een satelliet in een cirkelbaan op $700\,\mathrm{km}$ hoogte moet het hele jaar dezelfde oriëntatie ten opzichte van de Zon behouden: zijn knooppunt moet $360{}^{\circ}$ opschuiven in een tropisch jaar van $365.242$ dagen. Bereken de vereiste inclinatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

De knoop moet vooruitgaan met $2\pi/(365.242\times86\,400) = 1.991 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bij $r = 7078.137\,\mathrm{km}$, $n = 1.0602 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\tfrac32nJ_2(a/r)^2 = 1.398 \times 10^{-6}$, dus $\cos i = -1.991 \times 10^{-7}/1.398 \times 10^{-6} = -0.1424$ en $i = 98.2{}^{\circ}$: een licht retrograde, zonsynchrone baan.

3.7 Probleem: De greppel rond de Orurug

Probleem 3.1

Weekendprobleem — de vorm van de Aarde, een vulkanische belasting, de buigingsgreppel en wat satellieten ervan waarnemen

Oru is een verzonnen vulkanische rug in een oceaan: een rechte keten van samengegroeide vulkanen van $400\,\mathrm{km}$ lang, gebouwd op oude oceanische lithosfeer. Zijn dwarsdoorsnede wordt aangenomen als een driehoek van $80\,\mathrm{km}$ breed aan de basis en $6\,\mathrm{km}$ hoog, met een dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en staat op een zeebodem $5\,\mathrm{km}$ diep. Mantel $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, zeewater $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$.

Deel I — De vorm van de Aarde. Gebruik het Geodetic Reference System 1980: $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$, $b = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$, $\omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 0.003\,352\,81$; en $C/(Ma^2) = 0.3308$.

1. Bereken $m = \omega^2a^2b/(GM)$.
2. Bereken de afplatting die de relatie van Clairaut geeft uit $J_2$ en $m$, en de inverse ervan.
3. Bereken de hydrostatische afplatting uit de relatie van Darwin–Radau, en de inverse ervan.
4. Vergelijk beide met de waargenomen afplatting. Met hoeveel meter ligt de evenaar boven de hydrostatische figuur?
5. Bereken de dynamische ellipticiteit $H = (C - A)/C$.

Deel II — De belasting.

6. Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de rug.
7. Bereken de lijnbelasting $V_0$, waarbij de hele rug als ondergedompeld wordt beschouwd, zodat ze per volume-eenheid $(\rho_v - \rho_w)g$ weegt.
8. Als de rug lokaal gecompenseerd zou worden, op de manier van Airy, door een wortel van eigen gesteente in de mantel, hoe diep zou die wortel onder de top van de rug liggen?
9. Bij lokale compensatie zou de wortel eindigen aan de voet van de rug, $40\,\mathrm{km}$ van de as. De bathymetrie toont een greppel tot $165\,\mathrm{km}$. Wat betekent dit?

Deel III — De buigingsgreppel. De greppel is gevuld met water ($\rho_i = \rho_w$). Een seismisch profiel over de rug vindt de top van de oceanische korst weer op zijn regionale diepte $165\,\mathrm{km}$ van de as, en de top van de voorwelving $220\,\mathrm{km}$ van de as.

10. Bereken de buigingsparameter uit de rand van de greppel.
11. Bereken hem opnieuw uit de voorwelving. Zijn de twee waarden consistent?
12. Neem $\alpha = 70.0\,\mathrm{km}$ en bereken de buigstijfheid.
13. Bereken de effectieve elastische dikte.
14. Neem $V_0 = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ en $D$ afgerond op drie significante cijfers en bereken de doorbuiging onder de as.
15. Bereken de hoogte van de voorwelving.
16. Controleer dat het drijfvermogen van de hele doorbuiging, $2w_0\alpha(\rho_m - \rho_w)g$, $V_0$ compenseert.
17. Vergelijk $T_e$ met de waarden die langs de Hawaïaanse Rug gevonden zijn, 17 tot $37\,\mathrm{km}$. Vergelijk de doorbuiging onder de as met de Airy-wortel van vraag 8.

Deel IV — Zwaartekracht boven de greppel. Neem één harmonische van de buiging, met golflengte $2\pi\alpha$ en amplitude $W = 500\,\mathrm{m}$, die zowel de zeebodem (korst $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ onder water, $5\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau) en de Moho (mantel onder de korst, $12\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau) buigt. Een dun laagje met oppervlaktedichtheid $\sigma$ levert de anomalie $2\pi G\sigma$ net erboven.

18. Bereken de golflengte en het golfgetal $k$ van de harmonische.
19. Bereken de amplitude van de anomalie op zeeniveau door de doorgebogen zeebodem, opwaarts voortgezet vanaf $5\,\mathrm{km}$ diepte.
20. Bereken die van de doorgebogen Moho, en de totale waarde.
21. Bereken de totale waarde op de hoogte van een satelliet, $400\,\mathrm{km}$ boven zeeniveau.
22. Met welke factor is een harmonische met golflengte $80\,\mathrm{km}$, de breedte van de rug, op die hoogte verzwakt? Wat kan de satelliet onderscheiden?
23. Met welke bolharmonische graad $n \approx 2\pi R/\lambda$ komt de harmonische van vraag 18 overeen ($R = 6371\,\mathrm{km}$)?
24. Geef de effectieve elastische dikte van de plaat onder de Orurug.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $m = (7.292\,115 \times 10^{-5})^2\times6378137^2\times6356752.3/ 3.986\,005 \times 10^{14} = 0.003\,449\,79$.

2. $f = (3J_2 + m)/2 = 0.003\,348\,8$, $1/f = 298.61$.

3. $\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, $\tfrac52m/f_h = 2 + 0.5863$, dus $f_h = 0.003\,334\,6$ en $1/f_h = 299.88$.

4. De Clairaut-waarde, $1/298.61$, ligt binnen $0.12\,\%$ van de waargenomen $1/298.26$; de hydrostatische, $1/299.88$, is kleiner met $\Delta f = 1.82 \times 10^{-5}$, en $a\,\Delta f = 116\,\mathrm{m}$: de evenaar ligt $116\,\mathrm{m}$ boven de hydrostatische figuur.

5. $H = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$ ($1/305.6$).

6. $\tfrac12\times80\,\mathrm{km}\times6\,\mathrm{km} = 240\,\mathrm{km}^{2} = 2.40 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$.

7. $V_0 = (2800 - 1030)\times9.81\times2.40 \times 10^{8} = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$.

8. Airy: $(\rho_m - \rho_v)r = (\rho_v - \rho_w)h$, dus $r = 6\times1770/500 = 21.2\,\mathrm{km}$ onder de kam.

9. De zeebodem wordt ver voorbij de voet van de rug doorgebogen: de belasting wordt niet kolom voor kolom gecompenseerd, maar door de buiging van de plaat over een gebied dat viermaal zo breed is. De plaat heeft sterkte: regionale compensatie.

10. $\alpha = 165/(3\pi/4) = 70.0\,\mathrm{km}$.

11. $\alpha = 220/\pi = 70.0\,\mathrm{km}$: hetzelfde, zoals een enkele elastische plaat vereist.

12. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 2270\times9.81\times(7.00 \times 10^{4})^4/4 = 1.34 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

13. $T_e = (12(1 - \nu^2)D/E)^{1/3} = (11.25\times1.34 \times 10^{23}/ 1 \times 10^{11})^{1/3} = 24.7\,\mathrm{km}$.

14. $w_0 = V_0\alpha^3/(8D) = 4.17 \times 10^{12}\times(7.00 \times 10^{4})^3/ (8\times1.34 \times 10^{23}) = 1334\,\mathrm{m}$.

15. $w_0e^{-\pi} = 1334\times0.0432 = 58\,\mathrm{m}$.

16. $2\times1334\times7.00 \times 10^{4}\times2270\times9.81 = 4.16 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, gelijk aan $V_0$ binnen de afrondingsfout van $D$.

17. $24.7\,\mathrm{km}$ ligt binnen het bereik van de Hawaïaanse Rug. De plaat zakt $1.3\,\mathrm{km}$ onder de as in plaats van een wortel van $21\,\mathrm{km}$ te vormen: dezelfde opwaartse kracht is verdeeld over de $330\,\mathrm{km}$ van de geul.

18. $\lambda = 2\pi\times70.0\,\mathrm{km} = 440\,\mathrm{km}$, $k = 1/\alpha = 1.43 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

19. $\sigma = (2900 - 1030)\times500 = 9.35 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, dus $2\pi G\sigma = 3.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ op de zeebodem; vermenigvuldigd met $e^{-k\times5\,\mathrm{km}} = 0.931$, $36.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ op zeeniveau (negatief waar de plaat naar beneden wordt gedrukt).

20. $\sigma = (3300 - 2900)\times500 = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$: $8.39\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, vermenigvuldigd met $e^{-k\times12\,\mathrm{km}} = 0.843$, $7.07\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Het totaal is $43.6\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

21. $e^{-k\times400\,\mathrm{km}} = e^{-5.71} = 0.0033$: $0.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

22. $e^{-2\pi\times400/80} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: de satelliet ziet niets van de rug zelf, alleen de brede buiging, en ook die is driehonderdvoud verzwakt; de eigen anomalie van de rug moet op zee worden gemeten.

23. $n \approx 2\pi\times6371/440 = 91$.

24. Uit de vragen 10 tot en met 13 volgt dat de effectieve elastische dikte van de plaat onder de Oru-rug $24.7\,\mathrm{km}$ is.