5Thermische modellen van de lithosfeer

Vaar weg van een middenoceanische rug en de zeebodem wordt dieper: ongeveer $2.5\,\mathrm{km}$ bij de as, meer dan $5\,\mathrm{km}$ onder de oudste oceaanbodem. Er is niets aan de plaat toegevoegd of ervan afgenomen; ze is alleen afgekoeld, gekrompen en gezonken. De oceaanbodem is een thermometer van de plaat eronder, en een warmtestroomsonde die in het sediment wordt gedrukt, meet dezelfde afkoeling van bovenaf. Dit hoofdstuk lost de afkoeling van een plaat op twee manieren op, als een halfruimte en als plaat van eindige dikte, vergelijkt beide met de diepte van de echte oceaanbodem en zijn warmtestroom, en gaat dan over naar de continenten, waarvan de warmte deels uit hun eigen korst komt.

Wat je al weet

De diffusievergelijking voor warmte, $\partial T/\partial t = \kappa\nabla^2T$, met de warmtegeleidingscoëfficiënt $k$ en de thermische diffusiviteit $\kappa = k/(\rho c)$, staat in de natuurkundeboeken; Fourierreeksen en de foutfunctie $\operatorname{erf}x = (2/\sqrt\pi)\int_0^xe^{-u^2}\,\mathrm du$ staan in de universitaire delen van de wiskundeboeken. De warmtestroom, de radiogene warmteproductie, de geotherm, de conductieve tijdschaal $L^2/\kappa$, de thermische grenslaag en de thermische lithosfeer zijn gedefinieerd in Boek 3, in het hoofdstuk over de warmtehuishouding van de Aarde; isostasie in het hoofdstuk over isostasie en zwaartekrachtanomalieën; de diepte–ouderdomswet $d = d_r + C\sqrt t$ werd bewezen in het hoofdstuk over riften, ruggen en passieve randen, waarbij het temperatuurprofiel werd aangenomen dat dit hoofdstuk afleidt. Het rekmodel van bekkens, de subsidentie na de rift en de thermische tijdconstante staan in Boek 4, in het hoofdstuk over sedimentaire bekkens.

5.1 Conductie, advectie en hun verhouding

Warmte in de lithosfeer beweegt op twee manieren: ze diffundeert langs de temperatuurgradiënt, en ze wordt meegevoerd door bewegend gesteente, de plaat die een rug verlaat, een eroderend bergmassief dat omhoog komt, een magma dat opstijgt. Welke van de twee overheerst, hangt af van één getal.

Definitie 5.1 (Thermisch Pécletgetal)

Voor gesteente dat met snelheid $u$ over een lengte $L$ beweegt, is het thermische Pécletgetal gelijk aan

$$\mathrm{Pe} = \frac{uL}{\kappa},$$

de verhouding van de conductieve tijd $L^2/\kappa$ tot de advectieve tijd $L/u$. Advectie overheerst waar $\mathrm{Pe} \gg 1$, conductie waar $\mathrm{Pe} \ll 1$.

Een plaat die een rug verlaat met $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ heeft over een afstand van $95\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Pe} \approx 94$ met $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: warmte wordt door de plaat zijwaarts veel sneller meegevoerd dan dat ze zijwaarts diffundeert. Elke verticale kolom van de plaat koelt daarom af alsof ze alleen staat, door verticale conductie naar de koude zeebodem, waarbij haar ouderdom $t$ staat voor de tijd sinds ze de as verliet. Zo wordt een probleem in twee dimensies er een in diepte en tijd.

5.2 De afkoelende halfruimte

Definitie 5.2 (Halfruimte-afkoelingsmodel)

Het halfruimte-afkoelingsmodel van de oceanische lithosfeer beschouwt elke kolom als een halfruimte $z \ge 0$ met uniforme diffusiviteit, op de uniforme temperatuur $T_m$ van de mantel op het moment dat ze de rugas verlaat, waarvan het oppervlak vanaf dat moment op de temperatuur $T_0$ van de zeebodem wordt gehouden, zonder warmteproductie en zonder onderkant.

Stelling 5.3 (Foutfunctiegeotherm)

In het halfruimte-afkoelingsmodel is de temperatuur op de diepte $z$ onder de zeebodem met ouderdom $t$ gelijk aan

$$T(z, t) = T_0 + (T_m - T_0)\operatorname{erf}\frac{z}{2\sqrt{\kappa t}} .$$

Dit is de foutfunctiegeotherm.

De temperatuur op een gegeven diepte hangt alleen af van $z/\sqrt t$: een isotherm zinkt evenredig met de wortel van de ouderdom, en de afgekoelde laag op $40\,\mathrm{Myr}$ is twee keer zo dik als op $10\,\mathrm{Myr}$. De warmtestroom aan het oppervlak volgt door differentiëren.

Propositie 5.4 (Warmtestroom–ouderdomsrelatie)

In het halfruimte-afkoelingsmodel is de warmtestroom door de zeebodem met ouderdom $t$ gelijk aan

$$q(t) = k\,\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=0} = \frac{k(T_m - T_0)}{\sqrt{\pi\kappa t}} = \frac{C_q}{\sqrt t} .$$

Met de waarden van het plaatmodel hieronder ($k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$), $C_q = 505\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$, dicht bij de waarden van 430 tot $510\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ die verschillende studies op de mondiale metingen hebben aangepast; studies; een recente compilatie geeft de voorkeur aan $490$. Gemeten warmtestroom op jonge oceanische korst onderschat echter sterk de warmte die de korst verlaat: zeewater dat door de gebarsten korst circuleert, voert een deel van de warmte weg in hete bronnen, buiten bereik van de sondes. Op oude korst volgen de metingen $1/\sqrt t$, en schattingen van het warmteverlies van de Aarde vervangen de metingen op korst jonger dan $66.5\,\mathrm{Myr}$ door $C_q/\sqrt t$.

Boek 3 integreert hetzelfde profiel via isostasie over de diepte, om de diepte–ouderdomswet te verkrijgen, $d = d_r + C\sqrt t$ met $C = 2\rho_m\alpha(T_m - T_0)\sqrt\kappa/\bigl(\sqrt\pi(\rho_m - \rho_w)\bigr)$ (figuur hieronder). Met $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $C = 370\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, tegenover de $350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$ gefit op de zeebodems van de Noord-Pacific en de Noord-Atlantische Oceaan jonger dan $70\,\mathrm{Myr}$.

5.3 Het plaatmodel

Oude oceaanbodem wordt niet langer dieper: in de Noord-Pacific en de Noord-Atlantische Oceaan de diepte wijkt tussen 60 en $80\,\mathrm{Myr}$ af van $\sqrt t$, en de warmtestroom vlakt af. De halfruimte blijft voor altijd afkoelen; iets moet de basis van de plaat warm houden.

Definitie 5.5 (Plaatafkoelingsmodel)

Het plaatafkoelingsmodel van de oceanische lithosfeer beschouwt elke kolom als een laag $0 \le z \le L$ met uniforme diffusiviteit, op de uniforme temperatuur $T_m$ wanneer ze de rug verlaat, waarvan het oppervlak op $T_0$ wordt gehouden en waarvan de basis vanaf dat moment op $T_m$ wordt gehouden.

Stelling 5.6 (Temperatuurreeks van het plaatmodel)

In het plaatafkoelingsmodel, met $T_0 = 0$,

$$T(z, t) = T_m\Bigl[\frac zL + \frac2\pi\sum_{n=1}^\infty\frac1n \sin\frac{n\pi z}{L}\,e^{-n^2t/\tau}\Bigr],\qquad \tau = \frac{L^2}{\pi^2\kappa} .$$

Dit is de temperatuurreeks van het plaatmodel.

Elke modus vervalt met zijn eigen tijd, $\tau/n^2$: de hogere harmonischen, de fijne structuur van de beginsprong, verdwijnen het eerst, en na een tijd van de orde $\tau$ blijft alleen de eerste over. Dezelfde scheiding van variabelen levert de warmtestroom en, via het isostatische evenwicht van de figuur hierboven, de diepte.

Propositie 5.7 (Diepte en warmtestroom van het plaatmodel)

In het plaatafkoelingsmodel, met de dichtheden en de uitzettingscoëfficiënt van de diepte–ouderdomswet,

$$q(t) = \frac{kT_m}{L}\Bigl[1 + 2\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2t/\tau}\Bigr],\qquad d(t) = d_r + \frac{\rho_m\alpha T_mL}{2(\rho_m - \rho_w)} \Bigl[1 - \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\ \text{oneven}}\frac{e^{-n^2t/\tau}}{n^2}\Bigr].$$

Voor $t \to \infty$ nadert de diepte tot $d_r + \rho_m\alpha T_mL/\bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr)$ en de warmtestroom naar $kT_m/L$, beide exponentieel, met de tijdconstante $\tau$.

Het plaatmodel dat de wereldwijde dieptes en warmtestromen het best beschrijft, heeft een plaat van $95\,\mathrm{km}$ dik met een basis op $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, dunner en heter dan de eerdere $125\,\mathrm{km}$ en $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Met $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ is $\tau = 36.2\,\mathrm{Myr}$; de diepte vlakt af op $2500 + 3104 = 5604\,\mathrm{m}$ en de warmtestroom op $47\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Jonge oceaanbodem kan de twee modellen niet van elkaar onderscheiden: ze verschillen minder dan een meter bij $2\,\mathrm{Myr}$ en met $100\,\mathrm{m}$ bij $44\,\mathrm{Myr}$. Seismologie geeft een vergelijkbaar antwoord: Rayleighgolven uit de Stille Oceaan worden het best beschreven door afkoelende platen waarvan de asymptotische dikte van 85 tot $95\,\mathrm{km}$ is.

De echte oceaanbodem kan in dezelfde grafiek worden gezet (figuur hieronder). Elke cel van één graad in breedte en lengte waarvan de ouderdom bekend is, wordt geplaatst op zijn ouderdom en zijn diepte; de mediaan van elke bin van vijf miljoen jaar stijgt met de ouderdom, zoals de modellen dat voor de eerste $40\,\mathrm{Myr}$ aangeven, maar de waargenomen bodem ligt ondieper dan beide modellen, en naarmate de ouderdom toeneemt steeds meer. Er is niets gecorrigeerd: oude bodem draagt een dikkere laag sediment, in de oudere Noord-Atlantische Oceaan meer dan een kilometer, die hem belast en zijn bovenkant doet stijgen, en oude bodem heeft tijd gehad om zeebergen, vulkanische plateaus en de welvingen van hotspots te verzamelen. De gepubliceerde aanpassingen verwijderen eerst de sedimentbelasting en de duidelijke welvingen; de diepte–ouderdomswet van Boek 3 en de plaatmodellen hierboven komen uit zulke gecorrigeerde dieptes.

Definitie 5.8 (Thermische subsidentie)

Thermische subsidentie is het dalen van het oppervlak van de lithosfeer als die afkoelt en krimpt naar thermisch evenwicht, waarbij de ruimte erboven wordt gevuld door water of sediment; isostasie zet de door een kolom afgegeven warmte om in haar daling.

De oceaanbodem is het zuivere geval. Een uitgerekt continentaal bekken is een ander: een lithosfeer die met een factor $\beta$ is uitgedund, brengt heet asthenosfeer omhoog, en de post-rift-subsidentie uit Boek 4 is dezelfde plaatafkoeling, startend vanuit een ander profiel, met dezelfde modi en dezelfde vervaltijden $\tau/n^2$. Alleen de eerste modus houden is daarom een goede benadering zodra de hogere modi zijn uitgedoofd, en een slechte ervoor: voor de oceaanbodem van het plaatmodel hierboven geeft de eerste term alleen de diepte tot binnen twee meter na $20\,\mathrm{Myr}$, maar is hij op $5\,\mathrm{Myr}$ $84\,\mathrm{m}$ te diep.

5.4 Continentale geotermen

Continentale korst maakt warmte: graniet bevat uranium, thorium en kalium in concentraties waardoor de in de bovenste korst geproduceerde warmte een groot deel vormt van de warmtestroom aan het oppervlak. Hoe de productie met de diepte verdeeld is, bepaalt de temperatuur op diepte.

Definitie 5.9 (Diepteschaal van de warmteproductie; gereduceerde warmtestroom)

Wanneer de radiogene warmteproductie van de korst met de diepte afneemt als $A(z) = A_0e^{-z/h_r}$, is $h_r$ de diepteschaal van de warmteproductie. De gereduceerde warmtestroom $q_m$ van een provincie is de warmtestroom die aan het oppervlak zou overblijven als de korst geen warmte zou produceren: de warmtestroom van onder de radiogene laag.

Propositie 5.10 (Exponentiële warmteproductie)

In stationaire geleiding met uniforme geleidbaarheid $k$, oppervlaktetemperatuur $0$, warmteproductie $A_0e^{-z/h_r}$ en warmtestroom $q_m$ vanuit grote diepte, is de warmtestroom aan het oppervlak

$$q_0 = q_m + A_0h_r,$$

en de geoterm is

$$T(z) = \frac{q_mz}{k} + \frac{A_0h_r^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/h_r}\bigr).$$

Als de plutons van een provincie dezelfde $h_r$ en dezelfde $q_m$ delen, liggen hun warmtestromen aan het oppervlak en hun warmteproducties aan het oppervlak op de rechte lijn $q_0 = q_m + h_rA_0$.

De lijn is waargenomen: in verschillende provincies liggen de warmtestromen en de warmteproducties aan het oppervlak van plutons op rechte lijnen, met diepteschalen van 7.5 tot $10\,\mathrm{km}$ en een gereduceerde warmtestroom van $0.8\,\mathrm{HFU}$ (ongeveer $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) ten oosten van de Rocky Mountains. De exponentiële vorm is niet de enige die een lijn geeft, maar hij houdt de lijn intact bij erosie: het verwijderen van een plak met dikte $e$ van bovenaf vermenigvuldigt $A_0$ en het radiogene deel van $q_0$ met dezelfde factor $e^{-e/h_r}$.

Onderstaande figuur toont geotermen voor oppervlaktewarmtestromen van 40, 60 en $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, de eerste typisch voor cratons en de laatste voor achterboogregio’s, met $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $h_r = 10\,\mathrm{km}$ en een korstaandeel $A_0h_r = 0.4\,q_0$. De isotherm van $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, genomen als basis van de thermische lithosfeer, ligt op 129, 84 en $61\,\mathrm{km}$. Seismologie vindt cratonisch mantelgesteente snel tot ongeveer $250\,\mathrm{km}$, en de lithosfeer van achterboogregio’s 50 tot $60\,\mathrm{km}$ dik: de koude, dikke wortels van cratons hebben een kleinere gereduceerde warmtestroom nodig dan dit eenvoudige model hen geeft, en hun geleidbaarheid verandert met de temperatuur, maar de orde van het contrast klopt.

In het veld — Warmtestroom op zee meten

Een marien warmtestroomsensor is een lange stalen lans met een zwaar gewicht bovenop en een slanke buis met temperatuursensoren langs zijn zijde. Vanaf het achterschip van een onderzoeksschip wordt hij aan de lierkabel naar de zeebodem gelaten en laat hij zich met sensoren en al in het zachte sediment vallen. Hij blijft enkele minuten stil terwijl de wrijvingswarmte van de indringing wegebt en de sensoren zich instellen op de temperatuur van het slib eromheen; hun metingen, op meters afstand van elkaar, geven de temperatuurgradiënt. Vervolgens wordt een korte warmtepuls door de buis gestuurd, en de snelheid waarmee die afneemt geeft de geleidbaarheid van het omringende sediment ; het product van beide is de warmtestroom. De lans wordt eruit getrokken en weer neergezet, een paar honderd meter verderop langs de lijn, zonder terug aan dek te komen.

5.5 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ bereken de conductieve tijd $L^2/\kappa$ voor $L = 1$, 10 en $100\,\mathrm{km}$, in miljoen jaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

$L^2/\kappa = 10^{12}\,\mathrm{s}$, $10^{14}\,\mathrm{s}$ en $10^{16}\,\mathrm{s}$: 0.032, 3.2 en $317\,\mathrm{Myr}$. Een kilometer vergeet zijn temperatuur in tienduizenden jaren, honderd kilometer in honderden miljoenen jaren.

Oefening 5.2 ★

Een gebergte wordt geërodeerd met $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, en gesteente stijgt door de bovenste $30\,\mathrm{km}$ van de korst om het te vervangen. Met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, bereken het Pécletgetal. Kan de geotherm van het gebergte worden berekend met uitsluitend geleiding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

$u = 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 3.17 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus $\mathrm{Pe} = 3.17\times10^{-11}\times3 \times 10^{4}/10^{-6} = 0.95$. Advectie en conductie zijn even belangrijk: het opstijgende gesteente voert warmte omhoog en maakt de geotherm nabij het oppervlak steiler, en conductie alleen zou de gradiënt onderschatten.

Oefening 5.3 ★

In het halfruimtemodel ($T_0 = 0$, $T_m = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$), bereken de temperatuur $10\,\mathrm{km}$ onder de zeebodem van $5\,\mathrm{Myr}$ oud ($1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$; $\operatorname{erf} 0.445 = 0.471$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$\sqrt{\kappa t} = \sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times5\times3.156 \times 10^{13}} = 11\,236\,\mathrm{m}$, $\eta = 10000/(2\times11236) = 0.445$, en $T = 1450\times0.471 = 683\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oefening 5.4 ★

Met $C_q = 490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ bereken de warmtestroom door de zeebodem van 1, 25 en $100\,\mathrm{Myr}$ oud. Welke van de drie zou een sonde waarschijnlijk het sterkst onderschatten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

$490/\sqrt1 = 490$, $490/5 = 98$ en $490/10 = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. De sonde zou waarschijnlijk de eerste onderschatten: jonge korst is gebarsten en open voor circulerend zeewater, dat via hete bronnen een deel van de warmte afvoert.

Oefening 5.5 ★★

In het halfruimtemodel bereikt de temperatuur $90\,\%$ van $T_m$ waar $\operatorname{erf}\eta = 0.9$, $\eta = 1.163$. Met $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ bereken die diepte bij 10, 40 en $100\,\mathrm{Myr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

$z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$: met $\sqrt{\kappa t} = 15.89$, 31.78 en $50.25\,\mathrm{km}$, $z = 37.0$, 73.9 en $116.9\,\mathrm{km}$. De afgekoelde laag verdubbelt van 10 tot $40\,\mathrm{Myr}$; tegen $100\,\mathrm{Myr}$ ligt hij al dieper dan een $95\,\mathrm{km}$ plaat.

Oefening 5.6 ★★

Met de waarden uit de tekst levert het halfruimtemodel $C = 370.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$. Houd alle andere waarden gelijk; welke thermische uitzettingscoëfficiënt geeft de aangepaste $350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$? Welke andere parameter zou in plaats daarvan veranderd kunnen worden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

$C$ is evenredig met $\alpha$: $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\times350/370.5 = 2.93 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. $C$ is eveneens evenredig met $T_m - T_0$ (een mantel bij $1450\times350/370.5 = 1370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) en met $\sqrt\kappa$ (een diffusiviteit $0.8\times(350/370.5)^2 = 0.71 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$): diepte alleen kan ze niet scheiden, daarom wordt ook de warmtestroom gebruikt.

Oefening 5.7 ★★

Bereken de asymptotische warmtestroom $kT_m/L$ van het plaatmodel voor $L = 95\,\mathrm{km}$, $T_m = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en voor $L = 125\,\mathrm{km}$, $T_m = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, met $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ in beide gevallen. Welke ligt dichter bij de warmtestroom van oude oceaanbodem, berekend uit $C_q/\sqrt t$ bij $150\,\mathrm{Myr}$ met $C_q = 490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

$3.1\times1450/95 \times 10^{3} = 47.3\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ en $3.1\times1350/125 \times 10^{3} = 33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. De halfruimte bereikt ze bij $(490/47.3)^2 = 107\,\mathrm{Myr}$ en $(490/33.5)^2 = 214\,\mathrm{Myr}$: de dunne, hete plaat houdt de warmtestroom van oude oceaanbodem op $47\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ vanaf ongeveer $100\,\mathrm{Myr}$ aan, terwijl de dikkere, koudere plaat hem zou laten zakken tot onder $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, de halfruimtewaarde bij $150\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 5.8 ★★

Een geologische provincie heeft $q_0 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $h_r = 10\,\mathrm{km}$ en $A_0h_r = 0.4\,q_0$. Bereken $A_0$, $q_m$ en de temperatuur bij de Moho, $35\,\mathrm{km}$ diep, met $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

$A_0h_r = 0.4\times60 = 24\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, dus $A_0 = 24 \times 10^{-3}/10^{4} = 2.4\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $q_m = 60 - 24 = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Op $35\,\mathrm{km}$ diepte, $T = 36 \times 10^{-3}\times35 \times 10^{3}/2.5 + 2.4 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5\times(1 - e^{-3.5}) = 504 + 96\times0.970 = 597\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oefening 5.9 ★★

Twee granietplutons van één provincie geven $q_0 = 66\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ met $A_0 = 3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, en $q_0 = 48\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ met $A_0 = 1.2\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Neem aan dat ze op de lijn van Propositie 5.10 liggen; bereken $h_r$ en $q_m$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

$h_r = \Delta q_0/\Delta A_0 = 18 \times 10^{-3}/1.8 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{km}$, en $q_m = q_0 - h_rA_0 = 66 - 30 = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, omdat $h_rA_0 = 10^{4}\times3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3} = 30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Oefening 5.10 ★★★

(a) Toon aan dat de warmte die per oppervlakte-eenheid tussen ouderdom 0 en $t$ via de zeebodem verloren gaat, bedraagt $Q(t) = 2k(T_m - T_0)\sqrt{t/(\pi\kappa)}$ in het halfruimtemodel. (b) Toon aan dat de subsidentie gelijk is aan $d - d_r = \alpha Q/\bigl(c(\rho_m - \rho_w)\bigr)$, waarin $c = k/(\rho_m\kappa)$ de soortelijke warmte is. (c) Controleer het numeriek bij $40\,\mathrm{Myr}$ met de waarden uit de tekst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

(a) $Q(t) = \int_0^tk(T_m - T_0)/\sqrt{\pi\kappa t'}\,\mathrm dt' = 2k(T_m - T_0)\sqrt{t/(\pi\kappa)}$. (b) De verloren warmte is de warmteinhoud die uit de kolom wordt verwijderd, $Q = \rho_mc\int_0^\infty(T_m - T)\,\mathrm dz$, en isostasie geeft $(\rho_m - \rho_w)(d - d_r) = \rho_m\alpha\int_0^\infty(T_m - T)\,\mathrm dz = \alpha Q/c$. (c) $c = 3.1/(3300\times0.8 \times 10^{-6}) = 1174\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$; bij $40\,\mathrm{Myr}$, $t = 1.262 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ en $Q = 2\times3.1\times1450\times\sqrt{1.262 \times 10^{15}/(\pi\times0.8 \times 10^{-6})} = 2.015 \times 10^{14}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}$; $d - d_r = 3.1 \times 10^{-5}\times2.015 \times 10^{14}/ (1174\times2270) = 2343\,\mathrm{m}$, wat gelijk is aan $370.5\sqrt{40}$.

Oefening 5.11 ★★★

In het plaatmodel uit de tekst ($\tau = 36.2\,\mathrm{Myr}$, $\rho_m\alpha T_mL/ \bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr) = 3104\,\mathrm{m}$), de diepte berekend met de eerste Fourierterm alleen overschrijdt de volledige reeks vooral door de term met $n = 3$. Bereken de grootte van die term bij 1, 10 en $20\,\mathrm{Myr}$, en de ouderdom waarna de eerste term alleen binnen $10\,\mathrm{m}$ van de reeks ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

De term voor $n = 3$ is $3104\times(8/\pi^2)\times\tfrac19e^{-9t/36.2} = 280\,e^{-9t/36.2}$ meter: $218\,\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{Myr}$, $23\,\mathrm{m}$ bij $10\,\mathrm{Myr}$ en $1.9\,\mathrm{m}$ bij $20\,\mathrm{Myr}$. Hij daalt tot $10\,\mathrm{m}$ wanneer $e^{-9t/36.2} = 10/280$, bij $t = (36.2/9)\ln28 = 13.4\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 5.12 ★★★

(a) Toon aan dat in de geotherm van Propositie 5.10, $T(z) \approx q_mz/k + A_0h_r^2/k$ voor $z \gg h_r$. (b) Leid de diepte af van de isotherm van $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor $q_0 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, met de waarden van oefening 8. (c) Met hoeveel moet $q_m$ dalen opdat die diepte $250\,\mathrm{km}$ bereikt, de diepte van de snelle wortels van cratons?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

(a) Voor $z \gg h_r$, $e^{-z/h_r} \to 0$. (b) $q_m = 24\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A_0h_r^2/k = 16 \times 10^{-3}\times10^{4}/2.5 = 64\,\mathrm{K}$, en $z = (1300 - 64)\times2.5/24 \times 10^{-3} = 128.8\,\mathrm{km}$. (c) $q_m = 2.5\times1236/250 \times 10^{3} = 12.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: de gereduceerde warmtestroom moet ongeveer gehalveerd worden, net als onder een craton waarvan de dikke, koude wortel weinig warmte van onderen binnenlaat.

5.6 Probleem: Veertig miljoen jaar weg van de rug

Probleem 5.1

Weekendprobleem — het halfruimtemodel en het plaatmodel, de diepte van een verzonnen oceaan, en de dikte van de plaat ervan

Neem $T_0 = 0$, $T_m = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, een rug die $2500\,\mathrm{m}$ diep ligt, en $1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

Deel I — Het halfruimtemodel.

1. Bereken $\sqrt{\kappa t}$ bij 10 en $40\,\mathrm{Myr}$.
2. Bereken de temperatuur $20\,\mathrm{km}$ onder de zeebodem op beide ouderdommen ($\operatorname{erf}0.6294 = 0.6266$, $\operatorname{erf}0.3147 = 0.3437$).
3. De isotherm van $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt waar $\operatorname{erf}\eta = 0.6897$, $\eta = 0.7174$. Bereken de diepte ervan op beide ouderdommen, en de ouderdom waarop ze $60\,\mathrm{km}$ bereikt.
4. Bereken de warmtestroom op beide ouderdommen, en $C_q$.
5. Een rug spreidt zich met $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ aan elke kant. Bereken het Pécletgetal van de plaat over $95\,\mathrm{km}$. Waarom mag elke kolom alleen worden afgekoeld?
6. Bereken de conductieve tijd over $95\,\mathrm{km}$. Wat zegt die over een halfruimtemodel van een zeebodem van $150\,\mathrm{Myr}$ oud?

Deel II — Subsidentie.

7. Herhaal het isostatisch evenwicht dat het temperatuurtekort van een kolom omzet in subsidentie, en waarom de integraal tot oneindig mag worden genomen in de halfruimte.
8. Bereken $C$ van de diepte–ouderdomswet, en de diepten op 10 en $40\,\mathrm{Myr}$.
9. De mediane diepte van de echte oceaanbodem tussen 40 en $45\,\mathrm{Myr}$ is $4475\,\mathrm{m}$, ongecorrigeerd. Vergelijk met het model op $42.5\,\mathrm{Myr}$, en noem op wat de mediaan bevat dat het model weglaat.
10. Hoeveel zou $C$ veranderen als $T_m$ $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ zou zijn? Vergelijk met de gefitte $350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$.
11. Waarom vallen gemeten warmtestromen op jonge bodem lager uit dan $C_q/\sqrt t$?

Deel III — De plaat. Neem $L = 95\,\mathrm{km}$.

12. Bereken $\tau$ en de amplitude $\rho_m\alpha T_mL/\bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr)$.
13. Bereken de diepte op $40\,\mathrm{Myr}$ met de termen $n = 1$, 3 en 5.
14. Hoeveel verschilt de eerste term alleen daarvan, en waarom zo weinig?
15. Bereken het verschil tussen de halfruimte en de plaat op 40 en $50\,\mathrm{Myr}$, en schat door lineaire interpolatie de ouderdom waarop het $100\,\mathrm{m}$ bereikt.
16. Bereken de warmtestroom van de plaat op $40\,\mathrm{Myr}$, met de termen $n = 1$ tot 3, en vergelijk met de halfruimte.
17. Geef de asymptotische diepte en warmtestroom.

Deel IV — Een verzonnen oceaan. In een verzonnen oceaan waarvan de rug $2500\,\mathrm{m}$ diep is, is de bodem, na correctie voor sediment en weg van zeebergen en drempels, is $5700\,\mathrm{m}$ diep op $120\,\mathrm{Myr}$ en $4800\,\mathrm{m}$ op $40\,\mathrm{Myr}$. De $L$ van de plaat is onbekend; alle andere waarden zijn als hierboven.

18. Houd alleen de eerste Fourierterm aan en schrijf de diepte op $120\,\mathrm{Myr}$ als functie van $L$, waarbij $\tau$ zelf van $L$ afhangt.
19. Los het op naar $L$ door iteratie, startend bij $L = 100\,\mathrm{km}$: bereken $\tau$, dan de $L$ die $5700\,\mathrm{m}$ geeft bij die $\tau$, en herhaal.
20. Bereken met de gevonden $L$ de diepte op $40\,\mathrm{Myr}$ en vergelijk met de halfruimte en met de gemeten $4800\,\mathrm{m}$.
21. Bereken $\tau$ voor die $L$ en de asymptotische diepte van deze oceaan.
22. Na welke ouderdom ligt de bodem binnen $100\,\mathrm{m}$ van zijn asymptotische diepte?
23. Geef de dikte $L$ van de plaat die bij de oude bodem van de verzonnen oceaan past.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. $\sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{14}} = 15\,889\,\mathrm{m}$ en $\sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times1.2624 \times 10^{15}} = 31\,778\,\mathrm{m}$.

2. $\eta = 20000/31778 = 0.6294$ en $20000/63556 = 0.3147$: $T = 1450\times0.6266 = 909\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $10\,\mathrm{Myr}$ en $1450\times0.3437 = 498\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $40\,\mathrm{Myr}$.

3. $z = 2\times0.7174\sqrt{\kappa t}$: $22.8\,\mathrm{km}$ en $45.6\,\mathrm{km}$. Hij bereikt $60\,\mathrm{km}$ wanneer $\sqrt{\kappa t} = 60/1.4348 = 41.82\,\mathrm{km}$, bij $t = (41.82 \times 10^{3})^2/0.8 \times 10^{-6} = 2.186 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, $69.3\,\mathrm{Myr}$.

4. $q = 3.1\times1450/(\sqrt\pi\times15889) = 159.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij $10\,\mathrm{Myr}$ en $79.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij $40\,\mathrm{Myr}$; $C_q = 159.6\sqrt{10} = 505\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$.

5. $u = 7.92 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\mathrm{Pe} = 7.92\times10^{-10} \times95 \times 10^{3}/0.8 \times 10^{-6} = 94$. Warmte reist met de plaat zijdelings honderd keer sneller dan ze zijdelings diffundeert, dus koelt elke kolom alleen door verticale geleiding af.

6. $(95 \times 10^{3})^2/0.8 \times 10^{-6} = 1.13 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, $357\,\mathrm{Myr}$. Na $150\,\mathrm{Myr}$ is $\sqrt{\kappa t} = 61.5\,\mathrm{km}$ en de afgekoelde laag, een paar keer zoveel, reikt ver onder $95\,\mathrm{km}$: een halfruimtemodel van zo’n oude bodem veronderstelt dat de kou diepten heeft bereikt waar de mantel convecteert.

7. $(\rho_m - \rho_w)(d - d_r) = \rho_m\alpha\int(T_m - T)\,\mathrm dz$, waarbij de massa’s van de ruggenkolom en van de oude kolom boven een compensatiediepte gelijk zijn. $T_m - T = T_m\operatorname{erfc}\eta$ zakt onder $0.5\,\%$ van $T_m$ voor $\eta > 2$, dus het diepe deel draagt niets bij.

8. $C = 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/2270\times \sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}/\pi} = 0.13069\times2834.8 = 370.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$; $d = 2500 + 370.5\sqrt{10} = 3672\,\mathrm{m}$ en $2500 + 370.5\sqrt{40} = 4843\,\mathrm{m}$.

9. Het model geeft $2500 + 370.5\sqrt{42.5} = 4915\,\mathrm{m}$, $440\,\mathrm{m}$ dieper dan de mediaan. De mediaan omvat de belasting van het sediment, de zeebergen en vulkanische plateaus, de welvingen van hotspots en cellen aan de flanken van breukzones en randen, die alle de bodem ondieper maken.

10. $C$ is evenredig met $T_m$: $370.5\times1350/1450 = 344.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, dicht bij de gefitte 350.

11. Zeewater dat door de gebarsten jonge korst circuleert, voert een deel van de warmte af via hete bronnen, tussen de sondes.

12. $\tau = (95 \times 10^{3})^2/(\pi^2\times0.8 \times 10^{-6}) = 1.143 \times 10^{15}\,\mathrm{s} = 36.2\,\mathrm{Myr}$; de amplitude is $3300\times 3.1 \times 10^{-5}\times1450\times95 \times 10^{3}/4540 = 3104\,\mathrm{m}$.

13. $e^{-40/36.2} = 0.33124$, $e^{-360/36.2}/9 = 5.3 \times 10^{-6}$ en de $n = 5$-term is nog kleiner; de haakjesterm is $1 - 0.81057\times0.33125 = 0.73150$, en $d = 2500 + 3104\times0.73150 = 4771\,\mathrm{m}$.

14. Uit de $n = 3$-term volgt $3104\times0.81057\times5.3 \times 10^{-6} = 0.013\,\mathrm{m}$: bij $40\,\mathrm{Myr}$ is $e^{-9t/\tau}$ gelijk aan $10^{-4}$ van $e^{-t/\tau}$, en alleen de eerste mode blijft over.

15. Bij $40\,\mathrm{Myr}$ is $4843 - 4771 = 73\,\mathrm{m}$; bij $50\,\mathrm{Myr}$, $2500 + 370.5\sqrt{50} = 5120$ tegenover $2500 + 3104\times(1 - 0.81057\times0.25127) = 4972$: $148\,\mathrm{m}$. Interpolerend volgt $40 + 10\times (100 - 73)/(148 - 73) = 43.6\,\mathrm{Myr}$, ongeveer $44\,\mathrm{Myr}$ (de volledige reeks geeft 44.0).

16. $q = (3.1\times1450/95 \times 10^{3})[1 + 2(0.33124 + 0.01204 + 0.00005)] = 47.32\times1.68666 = 79.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, hetzelfde als bij de halfruimte: bij $40\,\mathrm{Myr}$ heeft de basis zich aan het oppervlak nog niet laten voelen.

17. $2500 + 3104 = 5604\,\mathrm{m}$ en $kT_m/L = 47.3\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

18. $d(120) = 2500 + aL\bigl[1 - (8/\pi^2)e^{-120/\tau}\bigr]$, met $a = \rho_m\alpha T_m/\bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr) = 32.673\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$ en $\tau = L^2/(\pi^2\kappa)$.

19. $L = 3200/\bigl(32.673\,[1 - 0.81057e^{-120/\tau}]\bigr)$. Uit $L = 100\,\mathrm{km}$ volgt $\tau = 40.13\,\mathrm{Myr}$, haakjesterm 0.95925, $L = 102.10\,\mathrm{km}$; dan $\tau = 41.83$, $L = 102.67$; $\tau = 42.30$, $L = 102.82$; $\tau = 42.43$, $L = 102.87$; het stabiliseert op $L = 102.9\,\mathrm{km}$.

20. $\tau = 42.48\,\mathrm{Myr}$, $aL = 3362\,\mathrm{m}$: $d(40) = 2500 + 3362\times(1 - 0.81057e^{-40/42.48}) = 4799\,\mathrm{m}$, tegenover $4843\,\mathrm{m}$ voor de halfruimte en $4800\,\mathrm{m}$ gemeten: de plaat past op beide ouderdommen.

21. $\tau = 42.5\,\mathrm{Myr}$; asymptotische diepte $2500 + 3362 = 5862\,\mathrm{m}$.

22. $3362\times0.81057\,e^{-t/42.48} = 100$ geeft $t = 42.48\ln27.25 = 140\,\mathrm{Myr}$.

23. De plaat die past op de oude bodem van de verzonnen oceaan is $102.9\,\mathrm{km}$ dik.