Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

1Getallen en verzamelingen van getallen

Wiskunde begint bij getallen, en niet alle getallen zijn van dezelfde soort: telgetallen, negatieve getallen, breuken, en getallen zoals $\sqrt 2$ of $\pi$ die geen enkele breuk kan uitdrukken. Dit hoofdstuk ordent ze in geneste families, introduceert intervallen om stukken van de getallenlijn te beschrijven, en gebruikt de absolute waarde om afstanden tussen getallen te meten.

1.1 De families van getallen

Definitie 1.1 (Verzamelingen van getallen)

$\N$ is de verzameling van de natuurlijke getallen: $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ is de verzameling van de gehele getallen: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ is de verzameling van de rationale getallen: alle quotiënten $\frac{p}{q}$ met $p \in \Z$ , $q \in \N$ en $q \neq 0$ .
$\R$ is de verzameling van de reële getallen: alle getallen die op de getallenlijn geplaatst kunnen worden.

Notatie 1.2

Het symbool $\in$ leest men als “behoort tot”: $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . Het symbool $\subset$ leest men als “is bevat in”: elk natuurlijk getal is een geheel getal, elk geheel getal is een rationaal getal (bijv. $-5 = \frac{-5}{1}$ ), en elk rationaal getal is reëel, dus

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Een schuine streep ontkent een symbool: $\frac12 \notin \Z$ .

De geneste families van getallen: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Elke ring bevat getallen die niet tot de kleinere behoren. — De geneste families van getallen: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Elke ring bevat getallen die niet tot de kleinere behoren.

Voorbeeld 1.3

Laten we enkele getallen plaatsen in de kleinste familie die ze bevat.

$\frac{28}{4} = 7$ , dus $\frac{28}{4} \in \N$ ook al is het als breuk geschreven: altijd eerst vereenvoudigen.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ is rationaal maar geen geheel getal.
$0.333\dots$ (het cijfer $3$ herhaalt zich oneindig) is gelijk aan $\frac13$ , een rationaal getal.
$\sqrt 2$ en $\pi$ zijn reëel maar niet rationaal, zoals we zo dadelijk voor $\sqrt 2$ zullen zien; zulke getallen heten irrationaal.

Stelling 1.4 (Irrationaliteit van $\sqrt 2$ )

Het getal $\sqrt 2$ is niet rationaal: geen enkele breuk van gehele getallen heeft kwadraat $2$ .

Bewijs. We redeneren uit het ongerijmde, in kleine stappen.

Stel $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ waarbij $p$ en $q$ positieve gehele getallen zijn, en de breuk volledig vereenvoudigd is, zodat $p$ en $q$ niet beide even zijn.
Kwadrateren van beide kanten geeft $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , dat wil zeggen $p^2 = 2q^2$ . Dus $p^2$ is even.
Als $p$ oneven was, zeg $p = 2k+1$ , dan zou $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ oneven zijn. Omdat $p^2$ even is, moet $p$ even zijn: $p = 2k$ voor een zeker geheel getal $k$ .
Substitueren: $(2k)^2 = 2q^2$ , dus $4k^2 = 2q^2$ , dus $q^2 = 2k^2$ . Met hetzelfde argument als in stap 3 is $q$ even.
Nu zijn $p$ en $q$ beide even, in strijd met stap 1. De aanname was onmogelijk: $\sqrt 2$ is irrationaal.

∎

Opmerking 1.5

Rationale getallen zijn precies de getallen waarvan de decimale ontwikkeling ofwel stopt (zoals $\frac72 = 3.5$ ), ofwel uiteindelijk steeds hetzelfde blok herhaalt (zoals $\frac13 = 0.333\dots$ of $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Irrationale getallen zoals $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ hebben decimale cijfers die nooit in een herhalend patroon vallen. We geven deze karakterisering op dit niveau toe.

1.2 De getallenlijn en intervallen

Reële getallen vullen een lijn: door een oorsprong $0$ en een lengte-eenheid te kiezen, komt elk reëel getal overeen met precies één punt.

Definitie 1.6 (Interval)

Laat $a$ en $b$ reële getallen zijn met $a < b$ . Een interval is de verzameling van alle reële getallen tussen twee grenzen. Een rechte haak betekent dat de grens is inbegrepen, een ronde haak betekent dat ze is uitgesloten:

notatie	beschrijving
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (beide einden inbegrepen)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (beide einden uitgesloten)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

De symbolen $-\infty$ en $+\infty$ (“oneindig”) zijn geen getallen, alleen een manier om te zeggen dat het interval oneindig doorloopt; de haak ernaast is altijd rond. De hele lijn $\R$ is het interval $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervallen op de getallenlijn: een gevulde stip voor een inbegrepen grens, een holle stip voor een uitgesloten grens.

Definitie 1.7 (Doorsnede en vereniging)

Laat $I$ en $J$ twee verzamelingen van reële getallen zijn. De doorsnede $I \cap J$ (“ $I$ en $J$ ”) is de verzameling van getallen die tot beide behoren; de vereniging $I \cup J$ (“ $I$ of $J$ ”) is de verzameling van getallen die tot minstens één van beide behoren.

Voorbeeld 1.8

Neem $I = \intcc{-1}{3}$ en $J = \intoo{1}{5}$ . Teken beide op dezelfde lijn: ze overlappen tussen $1$ en $3$ . Daarom

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Let op de haken: $1 \notin J$ dus $1 \notin I \cap J$ , maar $3 \in I$ en $3 \in J$ , dus $3 \in I \cap J$ .

Methode 1.9 (Werken met intervallen)

Om de doorsnede of vereniging van twee intervallen te vinden:

teken de getallenlijn en markeer de vier grenzen;
arceer het eerste interval boven de lijn en het tweede eronder;
de doorsnede is waar de arceringen overlappen, de vereniging is waar minstens één arcering aanwezig is;
beslis elke haak door te testen of de grens zelf tot beide verzamelingen behoort (doorsnede) of tot minstens één (vereniging).

1.3 Absolute waarde en afstand

Definitie 1.10 (Absolute waarde)

De absolute waarde van een reëel getal $x$ is

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{als } x \geq 0, \\ -x & \text{als } x < 0. \end{cases}

Bijvoorbeeld $\abs{7} = 7$ en $\abs{-4} = 4$ . In alle gevallen is $\abs{x} \geq 0$ .

Propositie 1.11 (Afstand op de lijn)

Voor alle reële getallen $a$ en $b$ is de afstand tussen de punten $a$ en $b$ op de getallenlijn gelijk aan $\abs{b - a}$ . In het bijzonder is $\abs{x}$ de afstand van $x$ tot $0$ .

Bewijs. Als $b \geq a$ , is de afstand van $a$ tot $b$ gelijk aan $b - a \geq 0$ , wat $\abs{b-a}$ is. Als $b < a$ , is de afstand $a - b = -(b - a) > 0$ , wat opnieuw $\abs{b - a}$ is volgens de definitie van de absolute waarde. ∎

Propositie 1.12 (Absolute waarde en intervallen)

Laat $a$ een reëel getal zijn en $r > 0$ . Dan

\abs{x - a} \leq r \quad\text{precies wanneer}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Bewijs. $\abs{x-a} \leq r$ zegt dat de afstand van $x$ tot $a$ ten hoogste $r$ is, d.w.z. dat $x$ niet verder dan $r$ van $a$ ligt aan weerszijden. De getallen die hieraan voldoen zijn precies die tussen $a - r$ en $a + r$ , grenzen inbegrepen. ∎

De ongelijkheid |x - a| ≤ r beschrijft het interval van getallen op afstand ten hoogste r van a. — De ongelijkheid $\abs{x - a} \leq r$ beschrijft het interval van getallen op afstand ten hoogste $r$ van $a$ .

Voorbeeld 1.13

Los $\abs{x - 3} \leq 2$ op. De oplossingen zijn de getallen op afstand ten hoogste $2$ van $3$ : het interval $\intcc{1}{5}$ . Omgekeerd heeft het interval $\intcc{-1}{7}$ middelpunt $\frac{-1+7}{2} = 3$ en straal $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , dus het wordt beschreven door $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Benaderingen

Irrationale getallen, en zelfs de meeste breuken, kunnen niet exact met eindig veel decimalen geschreven worden, dus benaderen we ze in de praktijk.

Definitie 1.14 (Benadering tot een gegeven nauwkeurigheid)

Een getal $d$ is een benadering van $x$ tot op $10^{-n}$ wanneer $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Afkappen of afronden van de decimale ontwikkeling na het $n$ -de cijfer geeft beide zulke benaderingen.

Voorbeeld 1.15

Uit $\pi = 3.14159\,26\dots$ : de afkapping $3.141$ en de afronding $3.142$ zijn beide benaderingen van $\pi$ tot op $10^{-3}$ . De afronding ligt op afstand kleiner dan $\frac12 \times 10^{-3}$ , de afkapping garandeert alleen $10^{-3}$ . Schrijven $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ omkadert $\pi$ tussen twee decimale grenzen.

1.5 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

Geef voor elk getal de kleinste van de verzamelingen $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ waartoe het behoort:

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (het is geen geheel getal: $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irrationaal, omdat $10$ niet het kwadraat van een rationaal is — hier toegegeven, in de geest van Stelling 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Oefening 1.2 ★

Schrijf elke uitspraak in intervalnotatie en teken die op een getallenlijn: (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) de afstand van $x$ tot $2$ is ten hoogste $3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : gevulde stip bij $-2$ , holle stip bij $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : holle stip bij $3$ , arcering naar rechts. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : arcering van links tot een gevulde stip bij $-1$ . (d) “afstand van $x$ tot $2$ ten hoogste $3$ ” betekent $\abs{x - 2} \leq 3$ , d.w.z. $x \in \intcc{-1}{5}$ : gevulde stippen bij $-1$ en $5$ .

Oefening 1.3 ★

Bereken $I \cap J$ en $I \cup J$ voor

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

(a) De twee intervallen overlappen tussen $0$ en $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ en $2 \in I$ , en beide behoren ook tot de andere verzameling), en $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ is de verzameling van $x$ met $-2 \leq x$ en $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . De vereniging dekt alles: $I \cup J = \R$ .

Oefening 1.4 ★

Bereken zonder rekenmachine:

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ dus $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ dus $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ eveneens (een getal en zijn tegengestelde hebben dezelfde absolute waarde).

Oefening 1.5 ★

Los de vergelijkingen en ongelijkheden op en geef de oplossingsverzamelingen:

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Merk op dat $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ een afstand tot $-2$ is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

$\abs{x} = 5$ : afstand $5$ tot $0$ , dus $x = 5$ of $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : afstand $3$ tot $1$ , dus $x = 4$ of $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : afstand ten hoogste $1$ tot $4$ , dus $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : afstand strikt kleiner dan $3$ tot $-2$ , dus $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Oefening 1.6 ★★

Beschrijf elk interval door een ongelijkheid van de vorm $\abs{x - a} \leq r$ of $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

Elk interval wordt beschreven door zijn middelpunt $a$ (midden van de grenzen) en straal $r$ (halve lengte).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , dus $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , open grenzen, dus $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , dus $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Oefening 1.7 ★★

Toon aan dat $0.272727\dots$ (het blok $27$ herhaalt zich oneindig) rationaal is. (Hint: noem het $x$ en bereken $100x - x$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

Laat $x = 0.272727\dots$ Dan $100x = 27.2727\dots$ , en aftrekken:

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

dus $99x = 27$ en $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , een quotiënt van gehele getallen: $x$ is rationaal.

Oefening 1.8 ★★

Waar of onwaar? Rechtvaardig elk antwoord met een argument of een tegenvoorbeeld.

De som van twee gehele getallen is een geheel getal.
Het quotiënt van twee gehele getallen is een geheel getal.
De som van twee rationale getallen is rationaal.
De som van een rationaal getal en een irrationaal getal is irrationaal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

1. Waar: optellen van gehele getallen (positieve of negatieve hele getallen) levert altijd een geheel getal.

2. Onwaar: $\frac{1}{2}$ is een quotiënt van de gehele getallen $1$ en $2$ en is geen geheel getal.

3. Waar: $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ is opnieuw een quotiënt van gehele getallen (met niet-nul noemer).

4. Waar: stel $r$ rationaal, $t$ irrationaal, en $r + t = s$ rationaal. Dan zou $t = s - r$ een verschil van twee rationalen zijn, dus rationaal (via 3, met $-r$ ) — tegenspraak. Dus $r + t$ is irrationaal.

Oefening 1.9 ★★

Gebruik $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ om de getallen $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ en $-\sqrt2$ tussen twee decimale grenzen te omkaderen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

Vermenigvuldigen van $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ met $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

Optellen van $3$ : $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

Vermenigvuldigen met $-1 < 0$ keert de ongelijkheden om: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Oefening 1.10 ★★★

Pas het bewijs van Stelling 1.4 aan om te tonen dat $\sqrt 3$ irrationaal is. (Vervang “even” door “veelvoud van $3$ ”: controleer eerst dat als $p^2$ een veelvoud van $3$ is, dan ook $p$ , door de resten $0$ , $1$ , $2$ van $p$ bij deling door $3$ te bekijken.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

Eerst het hulpfeit. Deel $p$ door $3$ : de rest is $0$ , $1$ of $2$ , d.w.z. $p = 3k$ , $p = 3k+1$ of $p = 3k+2$ . Kwadrateren:

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Alleen de eerste is een veelvoud van $3$ : als $p^2$ een veelvoud van $3$ is, dan is $p$ dat ook.

Stel nu $\sqrt3 = \frac pq$ volledig vereenvoudigd. Kwadrateren geeft $p^2 = 3q^2$ , dus $p^2$ is een veelvoud van $3$ , dus $p = 3k$ . Dan $9k^2 = 3q^2$ , dus $q^2 = 3k^2$ en $q$ is ook een veelvoud van $3$ — maar dan was de breuk $\frac pq$ niet volledig vereenvoudigd: tegenspraak. Dus $\sqrt3$ is irrationaal.