Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

7Vergelijkingen van lijnen en lineaire stelsels

Een rechte lijn in het coördinatenvlak wordt beschreven door een vergelijking, en twee lijnen vormen samen een stelsel vergelijkingen waarvan de oplossingen hun snijpunten zijn. Dit hoofdstuk verbindt drie talen — meetkundig (lijnen), algebraïsch (vergelijkingen) en functioneel (affiene functies uit Hoofdstuk 4) — en leert de twee standaardmethoden om een lineair stelsel op te lossen.

7.1 De vergelijking van een lijn

Stelling 7.1 (Gereduceerde vergelijking)

In een coördinatenstelsel:

elke niet-verticale lijn heeft een vergelijking van de vorm

$y = mx + p ,$

met $m$ (de richtingscoëfficiënt) en $p$ (het snijpunt met de $y$ -as) uniek bepaald — dit is de gereduceerde vergelijking van de lijn;
elke verticale lijn heeft een vergelijking $x = c$ ;
een punt ligt op de lijn precies wanneer zijn coördinaten aan de vergelijking voldoen.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Propositie 7.2 (Richtingscoëfficiënt door twee punten)

De richtingscoëfficiënt van de (niet-verticale) lijn door $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ , met $x_A \neq x_B$ , is

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``verandering in $y$ over verandering in $x$'').}

Bewijs. Beide punten voldoen aan $y = mx + p$ , dus $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; deel door $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Drie soorten lijnen: schuin (m ≠ 0), horizontaal (m = 0), en verticaal (geen gereduceerde vergelijking — de vergelijking is x = c). — Drie soorten lijnen: schuin ( $m \neq 0$ ), horizontaal ( $m = 0$ ), en verticaal (geen gereduceerde vergelijking — de vergelijking is $x = c$ ).

Methode 7.3 (De vergelijking van een lijn door twee punten vinden)

Gegeven $A$ en $B$ met $x_A \neq x_B$ :

bereken de richtingscoëfficiënt $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
schrijf $y = mx + p$ en substitueer de coördinaten van $A$ (of $B$ ) om $p$ te vinden;
controleer de eindvergelijking met het andere punt.

Als $x_A = x_B$ , is de lijn verticaal: haar vergelijking is $x = x_A$ .

Voorbeeld 7.4

Lijn door $A(1, 5)$ en $B(3, 1)$ . Richtingscoëfficiënt: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Dan $y = -2x + p$ ; het punt $A$ geeft $5 = -2 \times 1 + p$ , dus $p = 7$ . Vergelijking: $y = -2x + 7$ . Controle met $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Propositie 7.5 (Evenwijdige lijnen)

Twee niet-verticale lijnen zijn evenwijdig dan en slechts dan als ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben. Twee verschillende evenwijdige lijnen hebben geen gemeenschappelijk punt; twee lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten hebben er precies één.

Bewijs. Laat $y = mx + p$ en $y = m'x + p'$ de twee lijnen zijn. Een gemeenschappelijk punt lost $mx + p = m'x + p'$ op, d.w.z. $(m - m')x = p' - p$ . Als $m \neq m'$ , heeft dit precies één oplossing $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : één snijpunt. Als $m = m'$ , luidt de vergelijking $0 = p' - p$ : geen oplossing wanneer $p \neq p'$ (verschillende evenwijdigen), elke $x$ wanneer $p = p'$ (zelfde lijn). Evenwijdigheid (geen snijpunt, of samenvallen) is dus equivalent met $m = m'$ . ∎

Opmerking 7.6 (Richtingsvector)

De lijn $y = mx + p$ gaat $m$ eenheden omhoog voor elke eenheid naar rechts, dus de vector $\vec u\,(1, m)$ is een richtingsvector van de lijn: de lijn is evenwijdig met $\vec u$ . Twee lijnen zijn evenwijdig precies wanneer hun richtingsvectoren collineair zijn (Stelling 6.13).

7.2 Lineaire stelsels

Definitie 7.7 (Lineair stelsel)

Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de onbekenden $x$ en $y$ is een paar vergelijkingen

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

die gelijktijdig moeten gelden. Een oplossing is een paar $(x, y)$ dat aan beide voldoet. Elke vergelijking beschrijft een lijn, dus het stelsel oplossen betekent het snijpunt van twee lijnen vinden.

Methode 7.8 (Substitutie)

Los één vergelijking op naar één onbekende — kies de eenvoudigste, bijv. druk $y$ uit in $x$ ;
substitueer deze uitdrukking in de andere vergelijking, die nu alleen $x$ bevat;
los op naar $x$ , bereken daarna $y$ uit stap 1;
controleer het paar in beide oorspronkelijke vergelijkingen.

Voorbeeld 7.9

Los $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ op door substitutie. De tweede vergelijking geeft $y = 3x - 3$ . Substitueer in de eerste:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

dan $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . De oplossing is het paar $(2, 3)$ . Controle: $2 + 2 \times 3 = 8$ en $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Methode 7.10 (Eliminatie)

Vermenigvuldig elke vergelijking met een welgekozen getal zodat één onbekende tegengestelde coëfficiënten krijgt in de twee vergelijkingen;
tel de vergelijkingen op: die onbekende verdwijnt;
los de overblijvende vergelijking met één onbekende op, en substitueer terug om de andere onbekende te vinden;
controleer het paar in beide oorspronkelijke vergelijkingen.

Voorbeeld 7.11

Los $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ op door eliminatie. Om $y$ te elimineren, vermenigvuldig de eerste vergelijking met $2$ en de tweede met $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

Optellen: $19x = 38$ , dus $x = 2$ . Substitueren in $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , dus $y = 1$ . Oplossing: $(2, 1)$ . Controle in de tweede vergelijking: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Een lineair stelsel meetkundig gezien: elke vergelijking is een lijn, en de oplossing (2,1) van is hun snijpunt. — Een lineair stelsel meetkundig gezien: elke vergelijking is een lijn, en de oplossing $(2,1)$ van Voorbeeld 7.11 is hun snijpunt.

Opmerking 7.12 (Hoeveel oplossingen?)

Net als twee lijnen heeft een lineair stelsel in het algemeen precies één oplossing (niet-evenwijdige lijnen), en uitzonderlijk geen (verschillende evenwijdige lijnen) of oneindig veel (twee keer dezelfde lijn). Het criterium van Stelling 6.13 beslist: het stelsel heeft een unieke oplossing precies wanneer $ab' - a'b \neq 0$ .

Voorbeeld 7.13 (Modelleren met een stelsel)

Drie schriften en twee pennen kosten $8$ ; één schrift en vier pennen kosten $6$ . Laat $x$ de prijs van een schrift zijn en $y$ die van een pen:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

Uit de tweede vergelijking, $x = 6 - 4y$ ; substitueren, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , dus $18 - 10y = 8$ , wat $y = 1$ en dan $x = 2$ geeft. Een schrift kost $2$ en een pen kost $1$ .

7.3 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Lees voor elke lijn de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de $y$ -as af, en schets haar:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

$y = 2x - 3$ : richtingscoëfficiënt $2$ , snijpunt $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : richtingscoëfficiënt $-\frac13$ , snijpunt $1$ . $y = 4$ : richtingscoëfficiënt $0$ , snijpunt $4$ (horizontale lijn). $x = -2$ : verticale lijn, geen richtingscoëfficiënt en geen gereduceerde vergelijking.

Oefening 7.2 ★

Behoort het punt $A(2, 7)$ tot de lijn $y = 3x + 1$ ? En $B(-1, -1)$ ? En het punt $C(4, 13)$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : ja, $A$ ligt op de lijn. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ niet. $3 \times 4 + 1 = 13$ : ja, $C$ ligt op de lijn.

Oefening 7.3 ★

Vind de gereduceerde vergelijking van de lijn door:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ en } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ en } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ en } B(4, 6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ en $p = y_A = 2$ (het punt $A$ ligt op de $y$ -as): $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; dan $5 = -3 \times (-1) + p$ geeft $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Oefening 7.4 ★

Onder de lijnen $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ , welke zijn evenwijdig met elkaar? Welke zijn eigenlijk gelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . De lijnen met richtingscoëfficiënt $3$ zijn $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ en $y = 3x + 1$ : die drie zijn evenwijdig met elkaar; geen twee zijn gelijk (verschillende snijpunten), en geen is evenwijdig met $y = -3x + 2$ .

Oefening 7.5 ★

Los door substitutie op:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{daarna}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

Eerste stelsel: substitueer $y = 2x - 1$ in $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , dus $5x = 10$ , $x = 2$ , dan $y = 3$ . Oplossing: $(2, 3)$ .

Tweede stelsel: uit $x - y = 4$ , $x = y + 4$ . Dan $2(y + 4) + 3y = 3$ , dus $5y = -5$ , $y = -1$ , dan $x = 3$ . Oplossing: $(3, -1)$ .

Oefening 7.6 ★

Los door eliminatie op:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{daarna}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

Eerste stelsel: optellen elimineert $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; dan $7 + y = 10$ geeft $y = 3$ . Oplossing: $(7, 3)$ .

Tweede stelsel: vermenigvuldig de eerste vergelijking met $5$ en de tweede met $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Optellen: $11x = 44$ , dus $x = 4$ ; dan $3 \times 4 + 2y = 12$ geeft $y = 0$ . Oplossing: $(4, 0)$ .

Oefening 7.7 ★★

Bepaal, zonder ze op te lossen, hoeveel oplossingen elk stelsel heeft:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

Bereken $ab' - a'b$ in elk geval.

Eerste: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , en de tweede vergelijking is $-2$ maal de eerste: twee keer dezelfde lijn, oneindig veel oplossingen.

Tweede: $ab' - a'b = 0$ opnieuw, maar de rechterleden staan niet in de verhouding $-2$ ( $1 \neq -6$ ): twee verschillende evenwijdige lijnen, geen oplossing.

Derde: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : precies één oplossing.

Oefening 7.8 ★★

Tweehonderd tickets werden verkocht voor een schoolvoorstelling, sommige voor $5$ (kinderen) en sommige voor $9$ (volwassenen), voor een totaal van $1352$ . Hoeveel tickets van elke soort werden verkocht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

Laat $x$ het aantal kindertickets zijn en $y$ het aantal volwassenentickets:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

Uit de eerste vergelijking $x = 200 - y$ ; substitueren, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , dus $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , dan $x = 112$ . Dus $112$ kindertickets en $88$ volwassenentickets. Controle: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Oefening 7.9 ★★

Laat $d$ de lijn $y = 2x - 3$ zijn en $A(1, 4)$ .

Geef de vergelijking van de lijn $d'$ evenwijdig met $d$ door $A$ .
Bereken het snijpunt van $d'$ met de $x$ -as.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

1. Evenwijdig betekent dezelfde richtingscoëfficiënt $2$ : $y = 2x + p$ met $4 = 2 \times 1 + p$ , dus $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Op de $x$ -as, $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ geeft $x = -1$ . Het snijpunt is $(-1, 0)$ .

Oefening 7.10 ★★★

Laat $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ en $C(2, 4)$ .

Vind de vergelijkingen van de zwaartelijnen van de driehoek $ABC$ vanuit $A$ en vanuit $B$ (een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde).
Bereken hun snijpunt $G$ , en controleer dat $G$ ook op de derde zwaartelijn ligt. (Je zou moeten vinden dat de coördinaten van $G$ de gemiddelden zijn van die van $A$ , $B$ , $C$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

1. Midden van $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . De zwaartelijn vanuit $A(0,0)$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : vergelijking $y = \frac34 x$ .

Midden van $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . De zwaartelijn vanuit $B(6, 2)$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : het is de horizontale lijn $y = 2$ .

2. Snijpunt: $\frac34 x = 2$ geeft $x = \frac83$ , dus $G\left(\frac83, 2\right)$ . De derde zwaartelijn verbindt $C(2,4)$ met het midden van $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; haar richtingscoëfficiënt is $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , vergelijking $y = -3x + 10$ . Bij $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ ligt erop. En inderdaad $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : het zwaartepunt middelelt de coördinaten van de hoekpunten.