Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

23Exponentiële functie en logaritme

De exponentiële functie is de unieke functie die gelijk is aan haar eigen afgeleide en de waarde $1$ in $0$ aanneemt. Ze zet sommen om in producten; haar inverse, de natuurlijke logaritme, zet producten om in sommen. Samen beschrijven ze elk verschijnsel waarvan de veranderingsverhouding evenredig is met de grootte: radioactief verval, populatiegroei, samengestelde rente.

23.1 De exponentiële functie

Stelling 23.1 (Bestaan en uniciteit)

Er bestaat een unieke afleidbare functie $f \colon \R \to \R$ zodat

f' = f \qquad\text{en}\qquad f(0) = 1 .

Ze heet de exponentiële functie en wordt genoteerd $\exp$ , of $x \mapsto \eu^x$ .

Bewijs van uniciteit. Eerst verdwijnt zo’n functie nooit. Inderdaad, laat $g(x) = f(x)f(-x)$ ; dan

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

dus $g$ is constant gelijk aan $g(0) = 1$ : voor elke $x$ , $f(x)f(-x) = 1$ , en in het bijzonder $f(x) \neq 0$ .

Laat nu $f_1, f_2$ twee oplossingen zijn en $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (legitiem omdat $f_2$ nooit verdwijnt). Dan

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

dus $h$ is constant gelijk aan $h(0) = 1$ , d.w.z. $f_1 = f_2$ .

Bestaan is toegegeven op dit niveau (men kan het verkrijgen via de rij van Oefening 20.10, of als inverse van de logaritme geconstrueerd door integratie in Hoofdstuk 25). ∎

Propositie 23.2 (Functionaalvergelijking)

Voor alle $x, y \in \R$ en $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

Bovendien is $\eu^x > 0$ voor alle $x$ .

Bewijs. Fixeer $y$ en beschouw $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . Haar teller en noemer, als functies van $x$ , zijn beide oplossingen van $f' = f$ op de constante $\exp(y)$ na; differentiëren van $\varphi$ direct (quotiëntrregel) geeft $\varphi' = 0$ , dus $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , wat de eerste identiteit bewijst. Nemen $y = -x$ geeft de tweede (met de waarde $\eu^0 = 1$ ), en de derde volgt. De vierde is een inductie uit de eerste voor $n \geq 0$ , uitgebreid tot $n < 0$ door de tweede.

Positiviteit: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ en $\eu^x \neq 0$ (getoond in Stelling 23.1), dus $\eu^x > 0$ . ∎

Propositie 23.3 (Variaties en limieten)

De exponentiële is strikt stijgend, convex, en

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Bewijs. $(\exp)' = \exp > 0$ geeft strikte stijging; $(\exp)'' = \exp > 0$ geeft convexiteit. Door convexiteit is $\eu^x \geq 1 + x$ (raaklijn in $0$ , zie Voorbeeld 22.15), dus $\eu^x \to +\infty$ als $x \to +\infty$ door vergelijking. Dan $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ als $x \to -\infty$ . ∎

De exponentiële: strikt stijgend, convex, met _-∈fty x = 0. Ze ligt boven haar raaklijn in 0: x ≥ 1 + x. — De exponentiële: strikt stijgend, convex, met $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Ze ligt boven haar raaklijn in $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Stelling 23.4 (Groeivergelijking)

Voor elk geheel getal $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

In woorden: de exponentiële verslaat elke macht van $x$ .

Bewijs. Voor $n = 1$ : toepassen van $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ in $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Voor algemene $n$ , schrijf

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

door het geval $n=1$ en samenstelling. De limiet in $-\infty$ volgt door de substitutie $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

De exponentiële (blauw) verslaat uiteindelijk elke macht: ze inhaalt x2 (rood) vroeg en x3 (oranje) bij x 4.54. — De exponentiële (blauw) verslaat uiteindelijk elke macht: ze inhaalt $x^2$ (rood) vroeg en $x^3$ (oranje) bij $x \approx 4.54$ .

23.2 De natuurlijke logaritme

Definitie 23.5 (Natuurlijke logaritme)

De exponentiële is continu en strikt stijgend van $\R$ op $\intoo{0}{+\infty}$ ; volgens de bijectiestelling (Stelling 21.15) heeft voor elke $y > 0$ de vergelijking $\eu^x = y$ een unieke oplossing. Deze oplossing is de natuurlijke logaritme van $y$ , genoteerd $\ln y$ . Dus

\text{voor } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

In het bijzonder $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , en $\eu^{\ln y} = y$ , $\ln(\eu^x) = x$ .

De krommen van en zijn spiegelbeelden van elkaar in de lijn y = x: het punt (x, x) spiegelt naar ( x, x). — De krommen van $\exp$ en $\ln$ zijn spiegelbeelden van elkaar in de lijn $y = x$ : het punt $(x, \eu^x)$ spiegelt naar $(\eu^x, x)$ .

Propositie 23.6 (Algebraïsche eigenschappen)

Voor alle $a, b > 0$ en $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Bewijs. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , en $\ln$ nemen van beide kanten geeft de eerste identiteit. De andere volgen met hetzelfde mechanisme uit de bijbehorende identiteiten van Propositie 23.2. ∎

Propositie 23.7 (Analytische eigenschappen)

De functie $\ln$ is afleidbaar op $\intoo{0}{+\infty}$ met

(\ln x)' = \frac{1}{x},

strikt stijgend, concaaf, en $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . Bovendien, voor elk geheel getal $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Bewijs. Afleidbaarheid van de inverse functie is toegegeven op dit niveau; dat aannemend, differentieer de identiteit $\eu^{\ln x} = x$ met de kettingregel: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , dus $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , vandaar strikte stijging, en $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , vandaar concaviteit. De limieten in $0^+$ en $+\infty$ weerspiegelen die van $\exp$ via de bijectie. Voor de groeivergelijking, substitueer $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ als $t \to +\infty$ volgens Stelling 23.4, en evenzo voor de andere limieten met $x = \eu^{-t}$ , wat $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ geeft. ∎

Methode 23.8 (Vergelijkingen met $\exp$ en $\ln$ oplossen)

Beide functies zijn strikt stijgend, dus kunnen ze op (of van) beide kanten van een vergelijking of ongelijkheid worden toegepast zonder de richting te veranderen:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

en evenzo voor $\ln$ op positieve grootheden. Controleer altijd eerst de domeinen ( $\ln$ eist positieve argumenten). Voor vergelijkingen zoals $a^x = b$ met $a>0$ , $a \neq 1$ , herschrijf $a^x = \eu^{x\ln a}$ en los op $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Voorbeeld 23.9

Een radioactief monster vervalt volgens $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Haar halveringstijd $T$ voldoet aan $N(T) = N_0/2$ , d.w.z. $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , dus $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : de halveringstijd hangt niet af van de beginkwantiteit.

23.3 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

Vereenvoudig $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ en $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Oefening 23.2 ★

Los op in $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

(a) Stel $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ geeft $X = 1$ of $X = 2$ , beide positief, dus $x = 0$ of $x = \ln 2$ .

(b) Definitiedomein: $x - 1 > 0$ en $x + 2 > 0$ , dus $x > 1$ . De vergelijking wordt $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , vandaar $(x-1)(x+2) = 4$ , d.w.z. $x^2 + x - 6 = 0$ , dus $x = 2$ of $x = -3$ . Alleen $x = 2$ ligt in het domein: $S = \{2\}$ .

Oefening 23.3 ★

Bereken de limieten:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

Deel door $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , met $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Stelling 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ volgens Propositie 23.7 (geval $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ omdat $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Oefening 23.4 ★★

Bestudeer de functie $f(x) = x\,\eu^{-x}$ op $\R$ : variaties, limieten, extremum; toon aan dat haar kromme een buigpunt heeft en geef de coördinaten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , met het teken van $1 - x$ : $f$ stijgt op $\intoc{-\infty}{1}$ , daalt op $\intco{1}{+\infty}$ , met globaal maximum $f(1) = \eu^{-1}$ .

Limieten: als $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Stelling 23.4); als $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ en $\eu^{-x} \to +\infty$ , dus $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , die van teken wisselt in $x = 2$ : buigpunt in $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Oefening 23.5 ★★

Toon aan dat voor alle $x > -1$ , $\ln(1 + x) \leq x$ , met gelijkheid alleen in $x = 0$ . Leid af dat voor alle $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

Laat $g(x) = x - \ln(1+x)$ op $\intoo{-1}{+\infty}$ . Dan $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , negatief op $\intoo{-1}{0}$ en positief op $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ bereikt haar minimum $g(0) = 0$ , dus $g \geq 0$ met gelijkheid alleen in $0$ . Vandaar $\ln(1+x) \leq x$ .

Toepassen met $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , dus $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Toepassen met $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , dus $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ en $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Oefening 23.6 ★★

Een kapitaal $C_0$ wordt belegd tegen een jaarlijks tarief van $3\%$ , rente jaarlijks samengesteld.

Druk het kapitaal $C_n$ na $n$ jaren uit.
Na hoeveel jaren verdubbelt het kapitaal? Geef het exacte antwoord met $\ln$ , daarna een numerieke waarde.
Vergelijk met de bankiersbenadering “ $70$ gedeeld door het tarief in procent”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

1. Elk jaar vermenigvuldigt het kapitaal met $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : het kapitaal verdubbelt na $24$ jaren.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , dicht bij de exacte $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . De regel werkt omdat $\ln(1 + r) \approx r$ voor kleine $r$ , dus $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Oefening 23.7 ★★

Los de ongelijkheid $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ op, daarna de ongelijkheid $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (de exponentiële is strikt stijgend): $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Definitiedomein van de tweede ongelijkheid: $x^2 - 1 > 0$ en $x + 5 > 0$ , d.w.z. $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . Op dit domein, omdat $\ln$ strikt stijgend is,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

Doorsnede met het domein: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Oefening 23.8 ★★★

Laat $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ voor $x > 0$ .

Bestudeer de variaties van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ en geef haar minimum.
Voor welke waarden van $k$ heeft de vergelijking $\eu^x = kx$ $0$ , $1$ of $2$ oplossingen in $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , negatief op $\intoo{0}{1}$ , positief op $\intoo{1}{+\infty}$ : minimum $f(1) = \eu$ . Limieten: $f \to +\infty$ in $0^+$ (teller $\to 1$ , noemer $\to 0^+$ ) en in $+\infty$ (Stelling 23.4).

2. Voor $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . Volgens de veranderingstabel ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , continu en strikt monotoon aan elke kant): geen oplossing voor $k < \eu$ ; precies één ( $x = 1$ ) voor $k = \eu$ ; precies twee voor $k > \eu$ (één in $\intoo{0}{1}$ , één in $\intoo{1}{+\infty}$ , volgens de bijectiestelling op elk interval).

Oefening 23.9 ★★★

Voor $n \geq 1$ , laat $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

Toon met Oefening 23.5 aan dat $(u_n)$ van boven begrensd is door $\eu$ .
Toon aan dat $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , en leid af dat $u_n \to \eu$ . (Hint: herken een verschilquotiënt van $\ln$ in $1$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

1. Direct uit de eerste ongelijkheid van Oefening 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Schrijf

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

een verschilquotiënt van $\ln$ in het punt $1$ met stap $h = \frac1n \to 0$ . Omdat $\ln$ afleidbaar is in $1$ met afgeleide $1$ , $\ln u_n \to 1$ . Door continuïteit van $\exp$ (Propositie 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .