Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

23Exponentiële functie en logaritme

De exponentiële functie is de unieke functie die gelijk is aan haar eigen afgeleide en in $0$ de waarde $1$ aanneemt. Ze zet sommen om in producten; haar inverse, de natuurlijke logaritme, zet producten om in sommen. Samen beschrijven ze elk verschijnsel waarvan de veranderingssnelheid evenredig is met de omvang: radioactief verval, bevolkingsgroei, samengestelde intrest.

23.1 De exponentiële functie

Stelling 23.1 (Bestaan en uniciteit)

Er bestaat precies één differentieerbare functie $f \colon \R \to \R$ waarvoor

f' = f \qquad\text{en}\qquad f(0) = 1 .

Ze heet de exponentiële functie en wordt $\exp$ geschreven, of $x \mapsto \eu^x$ .

Bewijs van de uniciteit. Zo’n functie verdwijnt om te beginnen nooit. Neem immers $g(x) = f(x)f(-x)$ ; dan is

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

dus is $g$ constant en gelijk aan $g(0) = 1$ : voor elke $x$ is $f(x)f(-x) = 1$ , en in het bijzonder $f(x) \neq 0$ .

Zij nu $f_1, f_2$ twee oplossingen en $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (geoorloofd, want $f_2$ verdwijnt nooit). Dan is

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

zodat $h$ constant is en gelijk aan $h(0) = 1$ , dus $f_1 = f_2$ .

Het bestaan wordt op dit niveau aangenomen (het volgt uit de rij van Oefening 20.10, of uit de inverse van de logaritme die in Hoofdstuk 25 met integratie opgebouwd wordt). ∎

Propositie 23.2 (Functionaalvergelijking)

Voor alle $x, y \in \R$ en $n \in \Z$ geldt

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

Bovendien is $\eu^x > 0$ voor alle $x$ .

Bewijs. Kies $y$ vast en bekijk $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . De teller en de noemer zijn, als functies van $x$ , allebei oplossingen van $f' = f$ op de constante $\exp(y)$ na; $\varphi$ rechtstreeks afleiden (quotiëntregel) geeft $\varphi' = 0$ , dus $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , wat de eerste identiteit bewijst. Met $y = -x$ krijg je de tweede (met de waarde $\eu^0 = 1$ ), en de derde volgt daaruit. De vierde is voor $n \geq 0$ een inductie op de eerste, en voor $n < 0$ een gevolg van de tweede.

Positiviteit: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ en $\eu^x \neq 0$ (aangetoond in Stelling 23.1), dus $\eu^x > 0$ . ∎

Propositie 23.3 (Verloop en limieten)

De exponentiële functie is strikt stijgend en convex, en

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Bewijs. $(\exp)' = \exp > 0$ geeft de strikte stijging; $(\exp)'' = \exp > 0$ geeft de convexiteit. Door de convexiteit is $\eu^x \geq 1 + x$ (raaklijn in $0$ , zie Voorbeeld 22.15), dus $\eu^x \to +\infty$ voor $x \to +\infty$ door vergelijking. Daarna is $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ voor $x \to -\infty$ . ∎

De exponentiële functie: strikt stijgend, convex, met _-∈fty x = 0. Ze ligt boven haar raaklijn in 0: x ≥ 1 + x. — De exponentiële functie: strikt stijgend, convex, met $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Ze ligt boven haar raaklijn in $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Stelling 23.4 (Vergelijking van groeiorden)

Voor elk geheel getal $n \geq 1$ geldt

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

In woorden: de exponentiële functie verslaat elke macht van $x$ .

Bewijs. Voor $n = 1$ : pas $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ toe met $t = x/2$ :

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Voor algemene $n$ schrijf je

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

met het geval $n=1$ en de samenstelling. De limiet in $-\infty$ volgt met de substitutie $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

De exponentiële functie (blauw) verslaat uiteindelijk elke macht: ze steekt x2 (rood) al vroeg voorbij en x3 (oranje) rond x 4.54. — De exponentiële functie (blauw) verslaat uiteindelijk elke macht: ze steekt $x^2$ (rood) al vroeg voorbij en $x^3$ (oranje) rond $x \approx 4.54$ .

23.2 De natuurlijke logaritme

Definitie 23.5 (Natuurlijke logaritme)

De exponentiële functie is continu en strikt stijgend van $\R$ op $\intoo{0}{+\infty}$ ; volgens de bijectiestelling (Stelling 21.15) heeft de vergelijking $\eu^x = y$ voor elke $y > 0$ precies één oplossing. Die oplossing is de natuurlijke logaritme van $y$ , geschreven $\ln y$ . Dus geldt

\text{voor } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

In het bijzonder is $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , $\eu^{\ln y} = y$ en $\ln(\eu^x) = x$ .

De krommen van en zijn elkaars spiegelbeeld om de rechte y = x: het punt (x, x) spiegelt naar ( x, x). — De krommen van $\exp$ en $\ln$ zijn elkaars spiegelbeeld om de rechte $y = x$ : het punt $(x, \eu^x)$ spiegelt naar $(\eu^x, x)$ .

Propositie 23.6 (Algebraïsche eigenschappen)

Voor alle $a, b > 0$ en $n \in \Z$ geldt

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Bewijs. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , en van beide leden de logaritme nemen geeft de eerste identiteit. De andere volgen met hetzelfde mechanisme uit de overeenkomstige identiteiten van Propositie 23.2. ∎

Propositie 23.7 (Analytische eigenschappen)

De functie $\ln$ is differentieerbaar op $\intoo{0}{+\infty}$ met

(\ln x)' = \frac{1}{x},

strikt stijgend, concaaf, en $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . Bovendien geldt voor elk geheel getal $n \geq 1$ :

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Bewijs. De differentieerbaarheid van de inverse functie wordt op dit niveau aangenomen; ga je ervan uit, leid dan de identiteit $\eu^{\ln x} = x$ af met de kettingregel: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , dus $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , waaruit de strikte stijging, en $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , waaruit de concaviteit. De limieten in $0^+$ en $+\infty$ spiegelen die van $\exp$ door de bijectie. Voor de vergelijking van groeiorden substitueer je $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ voor $t \to +\infty$ volgens Stelling 23.4, en net zo voor de andere limieten met $x = \eu^{-t}$ , wat $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ geeft. ∎

Methode 23.8 (Vergelijkingen met $\exp$ en $\ln$ oplossen)

Beide functies zijn strikt stijgend, zodat je ze op beide leden van een vergelijking of ongelijkheid mag toepassen (of eraf halen) zonder de richting te veranderen:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

en net zo voor $\ln$ op positieve grootheden. Ga altijd eerst de domeinen na ( $\ln$ vraagt positieve argumenten). Voor vergelijkingen als $a^x = b$ met $a>0$ en $a \neq 1$ herschrijf je $a^x = \eu^{x\ln a}$ en los je $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ op.

Voorbeeld 23.9

Een radioactief monster vervalt volgens $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Zijn halveringstijd $T$ voldoet aan $N(T) = N_0/2$ , dus $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , waaruit $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : de halveringstijd hangt niet van de beginhoeveelheid af.

23.3 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

Vereenvoudig $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ en $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Oefening 23.2 ★

Los op in $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

(a) Stel $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ geeft $X = 1$ of $X = 2$ , allebei positief, dus $x = 0$ of $x = \ln 2$ .

(b) Domein: $x - 1 > 0$ en $x + 2 > 0$ , dus $x > 1$ . De vergelijking wordt $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , dus $(x-1)(x+2) = 4$ , dus $x^2 + x - 6 = 0$ , waaruit $x = 2$ of $x = -3$ . Alleen $x = 2$ ligt in het domein: $S = \{2\}$ .

Oefening 23.3 ★

Bereken de limieten:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

Deel door $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , met $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Stelling 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ volgens Propositie 23.7 (geval $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ , want $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Oefening 23.4 ★★

Bestudeer de functie $f(x) = x\,\eu^{-x}$ op $\R$ : verloop, limieten, extremum; toon aan dat haar kromme een buigpunt heeft en geef de coördinaten ervan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , met het teken van $1 - x$ : $f$ stijgt op $\intoc{-\infty}{1}$ en daalt op $\intco{1}{+\infty}$ , met globaal maximum $f(1) = \eu^{-1}$ .

Limieten: voor $x \to +\infty$ is $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Stelling 23.4); voor $x \to -\infty$ is $x \to -\infty$ en $\eu^{-x} \to +\infty$ , dus $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , dat in $x = 2$ van teken verandert: buigpunt in $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Oefening 23.5 ★★

Toon aan dat voor alle $x > -1$ geldt $\ln(1 + x) \leq x$ , met gelijkheid alleen in $x = 0$ . Leid af dat voor alle $n \geq 1$ geldt

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

Zij $g(x) = x - \ln(1+x)$ op $\intoo{-1}{+\infty}$ . Dan is $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , negatief op $\intoo{-1}{0}$ en positief op $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ bereikt haar minimum $g(0) = 0$ , dus is $g \geq 0$ met gelijkheid alleen in $0$ . Bijgevolg is $\ln(1+x) \leq x$ .

Pas dat toe met $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , dus $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Pas het toe met $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , dus $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ en $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Oefening 23.6 ★★

Een kapitaal $C_0$ wordt belegd tegen een jaarlijkse rentevoet van $3\%$ , met jaarlijkse kapitalisatie van de intrest.

Druk het kapitaal $C_n$ na $n$ jaar uit.
Na hoeveel jaar verdubbelt het kapitaal? Geef het exacte antwoord met $\ln$ , en daarna een getalwaarde.
Vergelijk met de benadering “ $70$ gedeeld door de rentevoet in procent” die bankiers gebruiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

1. Elk jaar vermenigvuldigt het kapitaal met $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : het kapitaal verdubbelt na $24$ jaar.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , dicht bij de exacte $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . De regel werkt omdat $\ln(1 + r) \approx r$ voor kleine $r$ , zodat $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Oefening 23.7 ★★

Los de ongelijkheid $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ op, en daarna de ongelijkheid $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (de exponentiële functie is strikt stijgend): $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Domein van de tweede ongelijkheid: $x^2 - 1 > 0$ en $x + 5 > 0$ , dus $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . Op dat domein geldt, omdat $\ln$ strikt stijgend is,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

Doorsnijden met het domein: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Oefening 23.8 ★★★

Zij $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ voor $x > 0$ .

Bestudeer het verloop van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ en geef haar minimum.
Voor welke waarden van $k$ heeft de vergelijking $\eu^x = kx$ in $\intoo{0}{+\infty}$ $0$ , $1$ of $2$ oplossingen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , negatief op $\intoo{0}{1}$ en positief op $\intoo{1}{+\infty}$ : minimum $f(1) = \eu$ . Limieten: $f \to +\infty$ in $0^+$ (teller $\to 1$ , noemer $\to 0^+$ ) en in $+\infty$ (Stelling 23.4).

2. Voor $x > 0$ is $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . Uit de verlooptabel ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , continu en strikt monotoon aan elke kant): geen oplossing voor $k < \eu$ ; precies één ( $x = 1$ ) voor $k = \eu$ ; precies twee voor $k > \eu$ (één in $\intoo{0}{1}$ en één in $\intoo{1}{+\infty}$ , volgens de bijectiestelling op elk interval).

Oefening 23.9 ★★★

Zij voor $n \geq 1$ het getal $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

Toon met Oefening 23.5 aan dat $(u_n)$ naar boven begrensd is door $\eu$ .
Toon aan dat $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , en leid af dat $u_n \to \eu$ . (Tip: herken een differentiequotiënt van $\ln$ in $1$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

1. Rechtstreeks uit de eerste ongelijkheid van Oefening 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Schrijf

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

een differentiequotiënt van $\ln$ in het punt $1$ met stap $h = \frac1n \to 0$ . Omdat $\ln$ in $1$ differentieerbaar is met afgeleide $1$ , is $\ln u_n \to 1$ . Door de continuïteit van $\exp$ (Propositie 21.12) is $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 Opgave: de logaritme temt de wereld

Probleem 23.1

Weekendopgave — verdubbelingstijden en de regel van 72, de schalen van aardbevingen, zuren en piano’s, en de constante $\eu$ die overal vingerafdrukken achterlaat

Wat met een vast percentage groeit, groeit exponentieel — spaargeld, bacteriën, epidemieën — en wat te veel machten van tien overspant om te bevatten — energieën van aardbevingen, zuurtegraden, geluidsintensiteiten — wordt door een logaritme getemd. Deze opgave berekent verdubbelingstijden en ontmaskert de bankiersregel van 72, leest de logaritmische schalen van de wereld, en verzamelt de vingerafdrukken die het getal $\eu$ op elke plaats delict achterlaat (Propositie 23.2, Stelling 23.4, Methode 23.8).

Deel I — Vlot rekenen.

Los op: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (een kwadratische vergelijking in vermomming).
Vereenvoudig: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
Bewijs de moederongelijkheid: $\eu^x \geq 1 + x$ voor alle reële $x$ (bestudeer $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), en leid $\ln(1 + u) \leq u$ af voor $u > -1$ .
Bereken $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (Stelling 23.4), en $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (herken een afgeleide).
Bestudeer $f(x) = x \ln x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ : verloop, minimum, en de limiet in $0^+$ (aangenomen: $x \ln x \to 0$ ). Dat kleine functietje meet informatie en entropie doorheen de universitaire volumes.

Deel II — Verdubbelingstijden en de regel van 72.

Spaargeld groeit met $3\,\%$ per jaar. Los $1.03^n = 2$ op: hoe lang duurt het voor het kapitaal verdubbelt?
Bankiers schatten de verdubbelingstijd als $\frac{72}{\text{rentevoet in }\%}$ . Toets de regel bij $3\,\%$ , $6\,\%$ en $9\,\%$ aan de exacte $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , en verklaar ze daarna: voor kleine $r$ is $\ln(1 + r) \approx r$ (de ongelijkheid van vraag 3 is daar de helft van het verhaal), zodat de exacte constante $100 \ln 2 \approx 69.3$ is — waarom verkiezen bankiers $72$ ?
Een bacterie deelt zich elke $20$ minuten: $p(t) = 2^{t/20}$ (met $t$ in minuten). Herschrijf dat als $\eu^{\lambda t}$ , en bereken daarna $p$ na $24$ uur. Wat bewijst het antwoord (meer dan $10^{21}$ ) over het model — en wat houdt echte kolonies tegen?
Cafeïne verlaat het lichaam met een halveringstijd van ongeveer $5$ uur. Hoeveel blijft er na een koffie van $100$ mg om 15 uur nog over om 23 uur? Op welk tijdstip zakt het onder $10$ mg? (Slapeloosheid heeft een logaritme.)
Eén euro tegen $100\,\%$ jaarrente: bereken het eindkapitaal bij jaarlijkse, maandelijkse en dagelijkse kapitalisatie, en geef het plafond waarvan Oefening 23.9 bewees dat het onbreekbaar is. Welke beroemde constante is de limiet van de pure hebzucht?
Waarom zetten wetenschappers tijdens de beginfase van een epidemie $\ln(\text{aantal gevallen})$ tegen de tijd uit? Wat onthult een rechte lijn op die grafiek, en wat meet haar richtingscoëfficiënt?

Deel III — De logaritmische schalen van de wereld. (Schrijf $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

Geluidsniveau in decibel: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Een gesprek meet $60$ dB, een rockconcert $120$ dB: met welke factor verschillen de geluidsintensiteiten?
De magnitude van een aardbeving stijgt met $1$ wanneer de seismische amplitude met $10$ vermenigvuldigd wordt, en de vrijgekomen energie schaalt als amplitude $^{3/2}$ . Vergelijk bevingen met magnitude $5$ en $7$ : eerst de verhouding van de amplitudes, dan die van de energieën.
Scheikunde: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . Citroensap heeft pH $2$ , melk pH $6.5$ : wat is de verhouding van hun zuurconcentraties?
Muziek: elk octaaf verdubbelt de frequentie. Hoeveel octaven overspant een piano van haar laagste A ( $27.5$ Hz) tot haar hoogste C ( $4\,186$ Hz)? En waarom verkiezen onze zintuigen — gehoor, zicht, het voelen van bevingen — logaritmische schalen? (Eén zin.)
De rekenliniaal, $350$ jaar lang de rekenmachine van de ingenieur: twee latjes zo geijkt dat de lengte tot het merkteken $x$ evenredig is met $\ln x$ . Leg uit hoe het ene latje langs het andere schuiven getallen vermenigvuldigt, en noem de identiteit van Propositie 23.6 die het werk doet.

Deel IV — De vingerafdrukken van $\eu$ .

Uit Oefening 23.8: de vergelijking $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) heeft $0$ , $1$ of $2$ oplossingen naargelang de ligging van $k$ ten opzichte van een drempel. Formuleer het resultaat opnieuw — en ga het meetkundige feit erachter na: de rechte $y = \eu x$ is precies de raaklijn aan de exponentiële functie door de oorsprong.
De constante van het net-niet: bij $n$ loten met elk winstkans $\frac1n$ is $\P(\text{geen winst}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Bereken haar limiet via $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (gebruik de standaardlimiet $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), en breng ze in overeenstemming met de raadselachtige $0.368$ uit Probleem 19.1.
De $37\,\%$ -regel: om de beste van $n$ kandidaten te kiezen die in willekeurige volgorde op gesprek komen (zonder terug te kunnen), verwerpt de optimale strategie de eerste $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ en neemt ze daarna de eerste kandidaat die beter is dan alle vorige — met een slaagkans van ongeveer $\frac1\eu$ . Waar komen de twee $\frac1\eu$ ’s uit de vragen 18 en 19 vandaan? Formuleer het gemeenschappelijke mechanisme (veel onafhankelijke gebeurtenissen met elk een kleine kans), en bereken $\frac1\eu$ op drie decimalen.
Slotstuk — het portret van $\eu$ : het plafond van de kapitalisatie (vraag 10); het grondtal waarvan de raaklijn in $0$ precies richtingscoëfficiënt $1$ heeft (vragen 3 en 4); de groei die geen enkele veelterm inhaalt (vraag 4); de constante van het net-niet en van het optimale stoppen (vragen 18–19); en haar inverse $\ln$ , die producten in sommen omzet (vraag 16) en decaden in centimeters (deel III). Telkens één zin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . Met $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : $x = 0$ of $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : negatief vóór $0$ , positief erna: minimum $f(0) = 0$ , dus $f \geq 0$ overal: $\eu^x \geq 1 + x$ . Invullen van $x = \ln(1 + u)$ geeft $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , dus $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ en $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : exponentiëlen verpletteren machten, machten verpletteren logaritmen. En $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : nul in $\eu^{-1}$ , negatief ervóór en positief erna: minimum $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; en $x \ln x \to 0$ in $0^+$ : de kromme vertrekt uit de oorsprong, duikt naar $-\frac1\eu$ , en klimt daarna weg.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ jaar.

7. Exact: $23.4$ , $11.9$ en $8.0$ jaar; met de regel van 72: $24$ , $12$ en $8$ . Omdat $\ln(1+r) \approx r$ , is $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , dus $\frac{69.3}{\text{rentevoet in }\%}$ ; bankiers ronden op tot $72$ omdat dat prachtig deelbaar is door $2, 3, 4, 6, 8, 9$ en $12$ — hoofdrekenen wint het van één decimaal nauwkeurigheid.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ per minuut. Na $24 \times 60 = 1440$ minuten: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bacteriën — meer dan er zandkorrels op Aarde liggen, uit één cel in één dag. Het model is alleen eerlijk zolang er voedsel en ruimte zijn: echte groei buigt af naar de logistische S-kromme (de kromme van de epidemioloog uit Probleem 22.1).

9. Om 23 uur (na $8$ uur): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Onder $10$ mg: uit $2^{-t/5} < 0.1$ volgt $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ u: rond 7.40 uur de volgende ochtend — de espresso van drie uur heeft een lange staart.

10. Jaarlijks: $2$ . Maandelijks: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . Dagelijks: $\approx 2.715$ . Het plafond: $\eu = 2.71828\ldots$ (Oefening 23.9) — bij continue kapitalisatie convergeert de hebzucht.

11. Groeien de gevallen exponentieel, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , dan is $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : een rechte met richtingscoëfficiënt $\lambda$ — de groeisnelheid. Een recht stuk op de logaritmische grafiek is de exponentiële fase, en haar steilheid is het tempo van de epidemie.

12. $120 - 60 = 60$ dB betekent $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : het concert is $10^6$ — een miljoen keer — intenser dan het gesprek.

13. Amplitude: $10^{7-5} = 100$ . Energie: $100^{3/2} = 1000$ : twee magnitudepunten verbergen drie grootteordes aan energie.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : citroensap is dertigduizend keer zuurder dan melk — de pH perst de kloven van de scheikunde samen tot een zakformaat.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : een piano overspant net iets meer dan zeven octaven. Zintuigen reageren op verhoudingen van prikkels — de intensiteit verdubbelen voelt als één stap, ongeacht het beginniveau — zodat de waarneming op een logaritmische schaal gebouwd is, en de eenheden die we ervoor bedachten evenzeer.

16. Het latje voor $a$ kop aan staart tegen de stand voor $b$ leggen telt de lengten $\ln a + \ln b$ op, en de ijking op die totale lengte leest $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : de rekenliniaal berekent producten door logaritmen op te tellen — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (Propositie 23.6), in palmhout gekerfd.

17. Het minimum van $\frac{\eu^x}{x}$ op $\intoo{0}{+\infty}$ is $\eu$ , in $x = 1$ : geen oplossing voor $k < \eu$ , precies één voor $k = \eu$ , en twee voor $k > \eu$ . Controle met de raaklijn: in $a = 1$ is de raaklijn aan $\eu^x$ gelijk aan $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : ze gaat door de oorsprong — de drempelrechte, die de kromme in $(1, \eu)$ scheert.

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , dus $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : de $0.999^{1000} \approx 0.368$ uit Probleem 19.1, verklaard — de constante van het net-niet bij de loterij is $\frac1\eu$ .

19. Beide zijn de grensvorm van “veel onafhankelijke gebeurtenissen, elk op zich onwaarschijnlijk”: de kans dat geen van $n$ kansen van grootte $\frac1n$ afgaat, streeft naar $\eu^{-1}$ , en de secretaresseregel stemt haar verwerpingsvenster zo af dat het succes zich rond diezelfde constante concentreert. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. Het plafond van de kapitalisatie; het unieke grondtal waarvan de raaklijn in $0$ richtingscoëfficiënt $1$ heeft (en daarom houdt de analyse zoveel van $\eu$ ); de groei die elke macht voorbijsteekt; de constante waar het net-niet en het optimale stoppen zich vastzetten; en haar inverse $\ln$ , die vermenigvuldigen tot optellen maakt en de wildste bereiken van de wereld op een meetlat vouwt.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Natuurlijke logaritme

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst