Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Wiskunde bovenbouw

Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

16Het inwendig product in het vlak

Het inwendig product (ook scalair product genoemd) koppelt een getal aan een paar vectoren, en dat getal ziet meetkunde: het verdwijnt precies bij loodrechte richtingen, en het meet hoeken en lengtes. Het is de motor achter de cosinusregel, vergelijkingen van cirkels, en loodrechtheidsberekeningen. Hetzelfde instrument, in de ruimte, is het onderwerp van Hoofdstuk 31.

16.1 Definitie en eerste berekeningen

Definitie 16.1 (Inwendig product)

Het inwendig product van twee vectoren u⃗\vec u en v⃗\vec v is het getal

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

waar ∥u⃗∥\norm{\vec u} de lengte (norm) van u⃗\vec u aanduidt.

Stelling 16.2 (De vier gezichten van het inwendig product)

Laat u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) en v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') niet-nul vectoren zijn, en θ\theta de hoek ertussen. Dan

  1. (coördinaten) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (cosinus) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (projectie) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', waar v⃗′\vec v' de orthogonale projectie is van v⃗\vec v op de richting van u⃗\vec u; als u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} en v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, dan u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, een product van gerichte lengtes, waar HH de voet is van de loodlijn vanuit BB op de lijn (OA)(OA);
  4. (normen) de definiërende formule van Definitie 16.1.

Bewijs van 1 en 2. 1. In coördinaten is ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pythagoras) en u⃗+v⃗\vec u + \vec v heeft coördinaten (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), dus

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

na ontwikkelen van de kwadraten en wegstrepen.

2. Kies het coördinatenstelsel zodat u⃗\vec u langs de positieve xx-as wijst:

u⃗ (∥u⃗∥,0)env⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) \quad\text{en}\quad \vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)

(Hoofdstuk 14). Formule 1 geeft dan u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. Formule 3 leest dezelfde berekening af: de projectie van v⃗\vec v op de xx-as heeft gerichte lengte ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

Het projectiebeeld: u v = OA × OH, waar H de voet is van de loodlijn vanuit de tip van v. Het oranje segment OH heeft gerichte lengte v.
Het projectiebeeld: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, waar HH de voet is van de loodlijn vanuit de tip van v⃗\vec v. Het oranje segment OHOH heeft gerichte lengte ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Voorbeeld 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) en v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. De normen zijn ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} en ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, dus cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: de hoek is iets minder dan 82∘82^\circ.

Propositie 16.4 (Algebraïsche regels)

Voor alle vectoren en alle λ∈R\lambda \in \R:

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Bewijs. Alles volgt uit de coördinatenformule: bijvoorbeeld u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). De laatste identiteit ontwikkelt ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) met de eerste drie regels — het inwendig product gedraagt zich precies als een gewoon product, dus de gebruikelijke algebraïsche identiteiten gelden voor vectoren. ∎

16.2 Orthogonaliteit

Definitie 16.5 (Orthogonale vectoren)

Twee vectoren zijn orthogonaal, genoteerd u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, als u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Opmerking 16.6

Voor niet-nul vectoren toont formule 2 van Stelling 16.2 u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff de richtingen loodrecht zijn. De nulvector is orthogonaal op alles.

Voorbeeld 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) en v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: orthogonaal. In het algemeen is u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) altijd orthogonaal op v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) — een kwartslagrotatie.

16.3 De cosinusregel

Stelling 16.8 (Cosinusregel)

In een driehoek ABCABC met zijden a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB en hoek A^\widehat A in het hoekpunt AA:

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Bewijs. Schrijf BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} en ontwikkel met Propositie 16.4:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Volgens de cosinusformule is AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Opmerking 16.9

Wanneer A^\widehat A een rechte hoek is, is cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 en reduceert de cosinusregel tot de stelling van Pythagoras a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2: het is Pythagoras met een correctieterm voor niet-rechte hoeken.

De cosinusregel: twee zijden b, c en de ingesloten hoek kennen bepaalt de derde zijde a.
De cosinusregel: twee zijden bb, cc en de ingesloten hoek kennen bepaalt de derde zijde aa.

Voorbeeld 16.10

Twee zijden van een driehoek meten b=5b = 5 en c=8c = 8, met ingesloten hoek A^=π3\widehat A = \frac\pi3. Dan

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

dus a=7a = 7.

16.4 Toepassingen: cirkels en loodrechte lijnen

Propositie 16.11 (Cirkel met gegeven diameter)

Een punt MM ligt op de cirkel met diameter [AB][AB] dan en slechts dan als

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Bewijs. Als M≠A,BM \neq A, B, zegt de voorwaarde dat de hoek in MM in de driehoek AMBAMB recht is, en de punten die een lijnstuk onder een rechte hoek zien zijn precies die van de cirkel met die diameter. Hier een direct bewijs: laat OO het midden van [AB][AB] zijn en r=AB2r = \frac{AB}{2}. Dan MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} en MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, dus

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

wat precies verdwijnt wanneer MO=rMO = r, d.w.z. wanneer MM op de cirkel met middelpunt OO en straal rr ligt. ∎

Propositie 16.12 (Normaalvector van een lijn)

De vector n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) is orthogonaal op elke richtingsvector van de lijn d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0; men zegt dat n⃗\vec n een normaalvector van dd is. Twee lijnen zijn loodrecht precies wanneer hun normaal- (of richtings)vectoren orthogonaal zijn.

Bewijs. Een richtingsvector van dd is u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Stelling 15.9), en n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Methode 16.13 (Normaalvectoren gebruiken)

  • Lijn door AA met normaal n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b): schrijf AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, wat uitwerkt tot ax+by+c=0ax + by + c = 0 met cc bepaald door AA.
  • Loodrechtheid van d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 en d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0: controleer aa′+bb′=0aa' + bb' = 0.

Voorbeeld 16.14

De lijn door P(2,−1)P(2, -1) loodrecht op d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0: een richtingsvector van dd is (1,3)(1, 3), die dient als normaalvector van de loodlijn. Vergelijking: x+3y+c=0x + 3y + c = 0 met 2−3+c=02 - 3 + c = 0, dus c=1c = 1: de lijn is x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Voorbeeld 16.15 (Vergelijking van een cirkel)

De cirkel met middelpunt Ω(1,2)\Omega(1, 2) en straal 33 is de verzameling punten M(x,y)M(x,y) met ΩM2=9\Omega M^2 = 9:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Omgekeerd herschrijft x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0, door de kwadraten te voltooien (Hoofdstuk 10), tot (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9: dezelfde cirkel.

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Bereken u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v voor

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (orthogonale vectoren).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Oefening 16.2 ★

ABCABC is een gelijkzijdige driehoek met zijde 66. Bereken AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} en AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

De vectoren AB→\vect{AB} en BC→\vect{BC} maken een hoek van 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (plaats ze staart-aan-staart in BB), dus AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Oefening 16.3 ★

Voor welke waarde van tt zijn u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) en v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) orthogonaal? En voor welke waarde(n) van tt is u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) orthogonaal op zichzelf minus v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), d.w.z. u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 geeft t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), dus u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, wat verdwijnt voor t=0t = 0 of t=4t = 4.

Oefening 16.4 ★

Bereken de hoek θ\theta tussen u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) en v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (geef cos⁡θ\cos\theta exact, daarna θ\theta op de dichtstbijzijnde graad).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, dus

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

vandaar θ=45∘\theta = 45^\circ exact.

Oefening 16.5 ★★

Een driehoek heeft zijden b=4b = 4, c=6c = 6 en hoek A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3} ertussen. Bereken de derde zijde aa. Bereken daarna, in een driehoek met zijden a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4, cos⁡A^\cos\widehat A en beslis of A^\widehat A scherp of stomp is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, dus a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Voor de tweede driehoek geeft de cosinusregel opgelost naar de hoek

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

negatief: A^\widehat A is stomp.

Oefening 16.6 ★★

Laat A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) en C(3,5)C(3, 5). Bereken AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC}; is de hoek A^\widehat A recht? Bereken de drie zijdelengtes en controleer je antwoord met de cosinusregel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) en AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, dus de hoek in AA is recht. Zijden: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, en BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) geeft BC=40BC = \sqrt{40}. Consistentie: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, de cosinusregel met cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pythagoras).

Oefening 16.7 ★★

Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) en straal 55. Bepaal daarna het middelpunt en de straal van de cirkel

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

Middelpunt–straal-vorm: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Voor de tweede cirkel, voltooi de kwadraten:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

middelpunt (3,−1)(3, -1), straal 44.

Oefening 16.8 ★★

Laat A(−3,0)A(-3, 0) en B(0,2)B(0, 2). Vind met Propositie 16.11 een vergelijking van de cirkel met diameter [AB][AB], en controleer dat de oorsprong O(0,0)O(0,0) erop ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

M(x,y)M(x,y) ligt op de cirkel wanneer MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 met MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) en MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y):

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Voor de oorsprong: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, dus OO ligt op de cirkel — meetkundig zijn OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) en OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) orthogonaal, dus ziet OO [AB][AB] onder een rechte hoek. (Kwadraten voltooien: middelpunt (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), straal 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Oefening 16.9 ★★

Vind een vergelijking van de lijn door P(1,3)P(1, 3) loodrecht op d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0, en de coördinaten van de voet HH van de loodlijn (het snijpunt van de twee lijnen). Leid de afstand van PP tot dd af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

De loodlijn door PP heeft de richtingsvector van dd, namelijk (−1,2)(-1, 2), als normaalvector: vergelijking −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; door P(1,3)P(1,3): −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, c=−5c = -5, dus x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Snijpunt met dd: uit 2x+y=72x + y = 7, y=7−2xy = 7 - 2x; substitueren, x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, dus x=95x = \frac95, y=175y = \frac{17}5: H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). Dan PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) en

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Oefening 16.10 ★★

Bewijs met ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 en haar analogon voor u⃗−v⃗\vec u - \vec v de parallellogramidentiteit:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

en interpreteer die in een parallellogram (diagonalen versus zijden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

Optellen van

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2en∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{en}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

de kruistermen vallen weg en ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. In een parallellogram met zijden u⃗\vec u en v⃗\vec v zijn de diagonalen u⃗+v⃗\vec u + \vec v en u⃗−v⃗\vec u - \vec v: de som van de kwadraten van de twee diagonalen is gelijk aan de som van de kwadraten van de vier zijden.

Oefening 16.11 ★★★

Laat AA en BB twee punten zijn met AB=4AB = 4, en II het midden van [AB][AB].

  1. Toon aan dat voor elk punt MM: MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Voeg II in: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. Leid de verzameling punten MM af zodat MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

1. Omdat II het midden is, IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} en IA=2IA = 2. Dan

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. De voorwaarde MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 wordt MI2=16MI^2 = 16, d.w.z. MI=4MI = 4: de verzameling is de cirkel met middelpunt II en straal 44.