Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

17Beschrijvende statistiek

Statistiek comprimeert een lijst getallen tot een paar betekenisvolle samenvattingen: waar de data zit (gemiddelde, mediaan), en hoe gespreid ze is (kwartielen, variantie, standaardafwijking). Dit hoofdstuk werkt alles uit op één doorlopend voorbeeld. Dezelfde samenvattingen keren terug voor stochastische variabelen in Hoofdstuk 18, en hun kanswetten in Hoofdstuk 34.

Doorheen het hoofdstuk is onze doorlopende dataset de cijfers (op $20$ ) van een klas van $12$ leerlingen:

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Gemiddelde en mediaan

Definitie 17.1 (Gemiddelde)

Het gemiddelde van de waarden $x_1, x_2, \dots, x_n$ is

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Als de waarde $x_i$ voorkomt met frequentie $n_i$ (met $n_1 + \dots + n_k = n$ ), dan $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Definitie 17.2 (Mediaan)

Een mediaan van een gesorteerde dataset is een waarde die haar in tweeën deelt: minstens de helft van de waarden is $\leq$ haar, en minstens de helft is $\geq$ haar. In de praktijk: sorteer de $n$ waarden; als $n$ oneven is, is de mediaan de middelste waarde; als $n$ even is, neem het midden van de twee middelste waarden.

Voorbeeld 17.3

Voor de doorlopende dataset is de som $144$ , dus $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . De twee middelste waarden ( $6$ de en $7$ de van de gesorteerde lijst) zijn beide $12$ , dus de mediaan is ook $12$ . Gemiddelde en mediaan hoeven niet samen te vallen: de mediaan negeert hoe ver de extreme waarden liggen, het gemiddelde niet. Vervangen van het topcijfer $17$ door $20$ verplaatst het gemiddelde naar $12.25$ maar laat de mediaan op $12$ .

17.2 Kwartielen

Definitie 17.4 (Kwartielen, interkwartielafstand)

Het eerste kwartiel $Q_1$ is de kleinste waarde zodat minstens een kwart van de data $\leq Q_1$ is; het derde kwartiel $Q_3$ is de kleinste waarde zodat minstens drie kwart van de data $\leq Q_3$ is. De interkwartielafstand is $Q_3 - Q_1$ : de breedte van de centrale helft van de data.

Voorbeeld 17.5

$n = 12$ : een kwart is $3$ , dus $Q_1$ is de $3$ de gesorteerde waarde: $Q_1 = 10$ . Drie kwart is $9$ , dus $Q_3$ is de $9$ de waarde: $Q_3 = 13$ . De interkwartielafstand is $3$ : de centrale helft van de klas zit binnen $3$ punten.

De doorlopende dataset als dotplot, haar gemiddelde (rood), en de vijfgetallensamenvatting erboven (oranje): minimum, Q_1, mediaan, Q_3, maximum. De doos bevat de centrale helft van de data. — De doorlopende dataset als dotplot, haar gemiddelde (rood), en de vijfgetallensamenvatting erboven (oranje): minimum, $Q_1$ , mediaan, $Q_3$ , maximum. De doos bevat de centrale helft van de data.

17.3 Variantie en standaardafwijking

Definitie 17.6 (Variantie, standaardafwijking)

De variantie van de dataset is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

en de standaardafwijking is $\sigma = \sqrt{V}$ , uitgedrukt in dezelfde eenheid als de data.

Propositie 17.7 (Snelle formule)

De variantie is het gemiddelde van de kwadraten minus het kwadraat van het gemiddelde:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Bewijs. Ontwikkel elke gekwadrateerde afwijking: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . Sommeren en delen door $n$ :

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

Dezelfde identiteit, voor stochastische variabelen, is Propositie 18.13. ∎

Voorbeeld 17.8

Voor de doorlopende dataset zijn de afwijkingen van $\bar x = 12$ $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; hun kwadraten sommen tot

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

Dus

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ punten}.

Globaal genomen ligt een typisch cijfer ongeveer $2.6$ punten van het gemiddelde.

Propositie 17.9 (Eenhedenwisseling)

Als elke waarde getransformeerd wordt door $y_i = a x_i + b$ , dan

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Bewijs. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . Dan $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : elke afwijking wordt geschaald met $a$ (de verschuiving $b$ valt weg), dus elk gekwadrateerd afwijking wordt geschaald met $a^2$ , en hun gemiddelde ook. Vierkantswortels nemen geeft $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Voorbeeld 17.10

Temperaturen in graden Celsius met gemiddelde $20$ en standaardafwijking $3$ converteren naar Fahrenheit via $F = 1.8\,C + 32$ : het gemiddelde wordt $1.8 \times 20 + 32 = 68$ , de standaardafwijking $1.8 \times 3 = 5.4$ . Verschuiven van een dataset verandert haar spreiding niet; herschalen herschaalt de spreiding.

Methode 17.11 (Datasets samenvatten en vergelijken)

Om twee datasets te vergelijken, zet naast elkaar: gemiddelde (of mediaan) voor positie, standaardafwijking (of interkwartielafstand) voor spreiding. Het paar (mediaan, interkwartielafstand) is robuust tegen extreme waarden; het paar (gemiddelde, standaardafwijking) gebruikt elke waarde en voedt de kansrekening.

Voorbeeld 17.12

Twee boogschutters schieten elk $10$ pijlen; scores middelen $8.5$ voor beide, maar de standaardafwijkingen zijn $0.5$ en $2.1$ . Zelfde niveau gemiddeld — maar de eerste schutter is veel consistenter.

17.4 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Bereken het gemiddelde, de mediaan, de kwartielen en de interkwartielafstand van de dataset

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

$n = 8$ , som $71$ : gemiddelde $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Mediaan: midden van de $4$ de en $5$ de waarden, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Kwartielen: een kwart van $8$ is $2$ , dus $Q_1$ is de $2$ de waarde, $7$ ; drie kwart is $6$ , dus $Q_3$ is de $6$ de waarde, $10$ . Interkwartielafstand: $10 - 7 = 3$ .

Oefening 17.2 ★

Bereken de variantie en standaardafwijking van de dataset $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (eerst het gemiddelde, daarna de snelle formule van Propositie 17.7).

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

Som $40$ , dus $\bar x = 5$ . Som van kwadraten: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Met de snelle formule,

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Oefening 17.3 ★

Een dobbelsteen wordt $50$ keer gegooid; de uitkomsten worden samengevat door frequenties:

uitkomst	1	2	3	4	5	6
frequentie	6	9	8	10	9	8

Bereken de gemiddelde uitkomst en de mediaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

Gemiddelde:

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Mediaan: de cumulatieve frequenties zijn $6, 15, 23, 33, \dots$ , dus de $25$ ste en $26$ ste gesorteerde uitkomsten zijn beide $4$ : de mediaan is $4$ .

Oefening 17.4 ★★

Een klas van $15$ leerlingen heeft gemiddeld cijfer $11.2$ . Een $16$ de leerling komt erbij en scoort $18$ . Wat is het nieuwe klasgemiddelde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

Het totaal van de $15$ cijfers is $15 \times 11.2 = 168$ ; met de nieuwkomer, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Oefening 17.5 ★★

Het gemiddelde van de dataset $6, 8, x, 12, 14$ is $10$ . Vind $x$ , bereken daarna de standaardafwijking van de volledige dataset.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ geeft $40 + x = 50$ , dus $x = 10$ . De afwijkingen van $6, 8, 10, 12, 14$ van het gemiddelde $10$ zijn $-4, -2, 0, 2, 4$ , met kwadraten sommerend tot $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ en $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Oefening 17.6 ★

Cijfers met gemiddelde $12.4$ en standaardafwijking $2.5$ worden herschald door $y = \frac{x}{2} + 4$ . Geef het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

Volgens Propositie 17.9 met $a = \frac12$ , $b = 4$ : nieuw gemiddelde $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; nieuwe standaardafwijking $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Oefening 17.7 ★★

Groep A ( $20$ waarden) heeft gemiddelde $10$ ; groep B ( $30$ waarden) heeft gemiddelde $15$ . Bereken het gemiddelde van de $50$ waarden samengevoegd. Is het het midden $12.5$ ? Waarom niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

Het samengevoegde gemiddelde is het gewogen gemiddelde

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

niet $12.5$ : groep B draagt meer waarden bij, dus trekt ze het samengevoegde gemiddelde naar haar eigen.

Oefening 17.8 ★★

Twee productielijnen vullen suikerzakken van $1$ kg. Steekproeven geven: lijn 1: gemiddelde $1.002$ kg, standaardafwijking $0.006$ kg; lijn 2: gemiddelde $1.001$ kg, standaardafwijking $0.019$ kg. Welke lijn moet eerst herijkt worden, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

Beide lijnen liggen gemiddeld bijna op target ( $1.002$ en $1.001$ kg), maar de standaardafwijking van lijn 2 is drie keer groter: haar zakken variëren veel meer, wat veel meer merkbaar te weinig en te veel gevulde zakken oplevert. Lijn 2 moet eerst aangepakt worden — consistentie, niet alleen het gemiddelde, moet hersteld worden.

Oefening 17.9 ★★

Een dataset van $n = 10$ waarden heeft $\sum x_i = 70$ en $\sum x_i^2 = 540$ . Bereken haar gemiddelde, variantie en standaardafwijking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Oefening 17.10 ★★★

De dataset $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ bevat een uitbijter.

Bereken het gemiddelde en de mediaan met en zonder de waarde $23$ .
Bereken de interkwartielafstand met en zonder $23$ .
Welke samenvattingen zijn robuust tegen de uitbijter? Concludeer met een aanbeveling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

1. Met $23$ : som $50$ , gemiddelde $5$ ; mediaan = midden van $5$ de en $6$ de waarden $= 3$ . Zonder $23$ : som $27$ , gemiddelde $3$ ; mediaan ( $5$ de van $9$ waarden) $= 3$ .

2. Met $23$ ( $n = 10$ ): $Q_1$ is de $3$ de waarde ( $2$ ), $Q_3$ de $8$ ste ( $4$ ): interkwartielafstand $2$ . Zonder ( $n = 9$ ): $Q_1$ is de $3$ de waarde ( $2$ ), $Q_3$ de $7$ de ( $4$ ): nog steeds $2$ .

3. De ene uitbijter trekt het gemiddelde van $3$ naar $5$ maar laat de mediaan en de interkwartielafstand onveranderd: die twee zijn robuust. Wanneer een dataset afwijkende waarden kan bevatten, rapporteer mediaan en interkwartielafstand in plaats van gemiddelde en standaardafwijking.