Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

17Beschrijvende statistiek

De statistiek perst een lijst getallen samen tot enkele betekenisvolle kengetallen: waar de gegevens liggen (gemiddelde, mediaan) en hoe verspreid ze zijn (kwartielen, variantie, standaardafwijking). Dit hoofdstuk werkt alles uit op één doorlopend voorbeeld. Dezelfde kengetallen duiken opnieuw op bij toevalsvariabelen in Hoofdstuk 18, en hun kanswetten in Hoofdstuk 34.

Doorheen het hoofdstuk is onze gegevensreeks het puntenaantal (op $20$ ) van een klas met $12$ leerlingen:

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Gemiddelde en mediaan

Definitie 17.1 (Gemiddelde)

Het gemiddelde van de waarden $x_1, x_2, \dots, x_n$ is

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Komt de waarde $x_i$ voor met frequentie $n_i$ (met $n_1 + \dots + n_k = n$ ), dan is $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Definitie 17.2 (Mediaan)

Een mediaan van een gesorteerde gegevensreeks is een waarde die haar in twee helften splitst: minstens de helft van de waarden is kleiner dan of gelijk aan de mediaan, en minstens de helft is groter dan of gelijk. In de praktijk sorteer je de $n$ waarden; is $n$ oneven, dan is de mediaan de middelste waarde; is $n$ even, neem dan het midden van de twee middelste waarden.

Voorbeeld 17.3

Voor onze gegevensreeks is de som $144$ , dus $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . De twee middelste waarden (de $6$ de en de $7$ de van de gesorteerde lijst) zijn allebei $12$ , dus is ook de mediaan $12$ . Gemiddelde en mediaan moeten niet samenvallen: de mediaan negeert hoe ver de uiterste waarden liggen, het gemiddelde niet. Vervang je het hoogste punt $17$ door $20$ , dan schuift het gemiddelde naar $12.25$ , terwijl de mediaan op $12$ blijft.

17.2 Kwartielen

Definitie 17.4 (Kwartielen, interkwartielafstand)

Het eerste kwartiel $Q_1$ is de kleinste waarde waarvoor minstens een kwart van de gegevens $\leq Q_1$ is; het derde kwartiel $Q_3$ is de kleinste waarde waarvoor minstens drie kwart van de gegevens $\leq Q_3$ is. De interkwartielafstand is $Q_3 - Q_1$ : de breedte van de middelste helft van de gegevens.

Voorbeeld 17.5

$n = 12$ : een kwart is $3$ , dus is $Q_1$ de $3$ de gesorteerde waarde: $Q_1 = 10$ . Drie kwart is $9$ , dus is $Q_3$ de $9$ de waarde: $Q_3 = 13$ . De interkwartielafstand is $3$ : de middelste helft van de klas ligt binnen $3$ punten.

De gegevensreeks als puntenwolk, haar gemiddelde (rood), en erboven de vijfgetallensamenvatting (oranje): minimum, Q_1, mediaan, Q_3, maximum. De doos bevat de middelste helft van de gegevens. — De gegevensreeks als puntenwolk, haar gemiddelde (rood), en erboven de vijfgetallensamenvatting (oranje): minimum, $Q_1$ , mediaan, $Q_3$ , maximum. De doos bevat de middelste helft van de gegevens.

17.3 Variantie en standaardafwijking

Definitie 17.6 (Variantie, standaardafwijking)

De variantie van de gegevensreeks is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

en de standaardafwijking is $\sigma = \sqrt{V}$ , uitgedrukt in dezelfde eenheid als de gegevens.

Propositie 17.7 (Rekenformule)

De variantie is het gemiddelde van de kwadraten min het kwadraat van het gemiddelde:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Bewijs. Werk elke gekwadrateerde afwijking uit: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . Optellen en door $n$ delen geeft

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

Dezelfde identiteit, voor toevalsvariabelen, is Propositie 18.13. ∎

Voorbeeld 17.8

Voor onze gegevensreeks zijn de afwijkingen van $\bar x = 12$ gelijk aan $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; hun kwadraten tellen op tot

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

Bijgevolg is

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ punten}.

Ruwweg gezegd ligt een typisch resultaat ongeveer $2.6$ punten van het gemiddelde af.

Propositie 17.9 (Verandering van eenheid)

Wordt elke waarde omgezet door $y_i = a x_i + b$ , dan geldt

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Bewijs. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . Vervolgens is $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : elke afwijking wordt met $a$ geschaald (de verschuiving $b$ valt weg), dus elke gekwadrateerde afwijking met $a^2$ , en dus ook hun gemiddelde. De vierkantswortel trekken geeft $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Voorbeeld 17.10

Temperaturen die in graden Celsius genoteerd zijn met gemiddelde $20$ en standaardafwijking $3$ zet je naar Fahrenheit om met $F = 1.8\,C + 32$ : het gemiddelde wordt $1.8 \times 20 + 32 = 68$ en de standaardafwijking $1.8 \times 3 = 5.4$ . Een gegevensreeks verschuiven verandert haar spreiding niet; ze herschalen herschaalt de spreiding.

Methode 17.11 (Gegevensreeksen samenvatten en vergelijken)

Om twee gegevensreeksen te vergelijken zet je naast elkaar: het gemiddelde (of de mediaan) voor de ligging, en de standaardafwijking (of de interkwartielafstand) voor de spreiding. Het paar (mediaan, interkwartielafstand) is robuust tegen extreme waarden; het paar (gemiddelde, standaardafwijking) gebruikt elke waarde en voedt de kansrekening.

Voorbeeld 17.12

Twee boogschutters schieten elk $10$ pijlen; hun scores hebben allebei gemiddelde $8.5$ , maar de standaardafwijkingen zijn $0.5$ en $2.1$ . Gemiddeld even sterk — maar de eerste boogschutter is veel regelmatiger.

17.4 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Bereken het gemiddelde, de mediaan, de kwartielen en de interkwartielafstand van de gegevensreeks

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

$n = 8$ , som $71$ : gemiddelde $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Mediaan: het midden van de $4$ de en de $5$ de waarde, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Kwartielen: een kwart van $8$ is $2$ , dus is $Q_1$ de $2$ de waarde, $7$ ; drie kwart is $6$ , dus is $Q_3$ de $6$ de waarde, $10$ . Interkwartielafstand: $10 - 7 = 3$ .

Oefening 17.2 ★

Bereken de variantie en de standaardafwijking van de gegevensreeks $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (eerst het gemiddelde, daarna de rekenformule van Propositie 17.7).

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

Som $40$ , dus $\bar x = 5$ . Som van de kwadraten: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Met de rekenformule:

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Oefening 17.3 ★

Er wordt $50$ keer met een dobbelsteen gegooid; de uitkomsten zijn in frequenties samengevat:

uitkomst	1	2	3	4	5	6
frequentie	6	9	8	10	9	8

Bereken de gemiddelde uitkomst en de mediaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

Gemiddelde:

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Mediaan: de cumulatieve frequenties zijn $6, 15, 23, 33, \dots$ , zodat de $25$ ste en de $26$ ste gesorteerde uitkomst allebei $4$ zijn: de mediaan is $4$ .

Oefening 17.4 ★★

Een klas van $15$ leerlingen heeft gemiddeld $11.2$ . Een $16$ de leerling komt erbij en haalt $18$ . Wat is het nieuwe klasgemiddelde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

Het totaal van de $15$ resultaten is $15 \times 11.2 = 168$ ; met de nieuwkomer wordt dat $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Oefening 17.5 ★★

Het gemiddelde van de gegevensreeks $6, 8, x, 12, 14$ is $10$ . Zoek $x$ , en bereken daarna de standaardafwijking van de aangevulde reeks.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ geeft $40 + x = 50$ , dus $x = 10$ . De afwijkingen van $6, 8, 10, 12, 14$ ten opzichte van het gemiddelde $10$ zijn $-4, -2, 0, 2, 4$ , met kwadraten die optellen tot $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ en $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Oefening 17.6 ★

Punten met gemiddelde $12.4$ en standaardafwijking $2.5$ worden herschaald met $y = \frac{x}{2} + 4$ . Geef het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

Volgens Propositie 17.9 met $a = \frac12$ en $b = 4$ : het nieuwe gemiddelde is $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; de nieuwe standaardafwijking is $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Oefening 17.7 ★★

Groep A ( $20$ waarden) heeft gemiddelde $10$ ; groep B ( $30$ waarden) heeft gemiddelde $15$ . Bereken het gemiddelde van de $50$ samengevoegde waarden. Is dat het midden $12.5$ ? Waarom niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

Het samengevoegde gemiddelde is het gewogen gemiddelde

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

en niet $12.5$ : groep B levert meer waarden en trekt het gezamenlijke gemiddelde dus naar zich toe.

Oefening 17.8 ★★

Twee productielijnen vullen zakken suiker van $1$ kg. Steekproeven geven: lijn 1: gemiddelde $1.002$ kg, standaardafwijking $0.006$ kg; lijn 2: gemiddelde $1.001$ kg, standaardafwijking $0.019$ kg. Welke lijn moet als eerste bijgeregeld worden, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

Beide lijnen zitten gemiddeld bijna op doel ( $1.002$ en $1.001$ kg), maar de standaardafwijking van lijn 2 is drie keer groter: haar zakken variëren veel meer, wat veel merkbaarder te licht en te zwaar gevulde zakken oplevert. Lijn 2 moet als eerste aangepakt worden — niet alleen het gemiddelde, maar vooral de regelmaat vraagt herstel.

Oefening 17.9 ★★

Een gegevensreeks van $n = 10$ waarden heeft $\sum x_i = 70$ en $\sum x_i^2 = 540$ . Bereken het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Oefening 17.10 ★★★

De gegevensreeks $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ bevat een uitschieter.

Bereken het gemiddelde en de mediaan met en zonder de waarde $23$ .
Bereken de interkwartielafstand met en zonder $23$ .
Welke kengetallen zijn robuust tegen de uitschieter? Besluit met een aanbeveling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

1. Met $23$ : som $50$ , gemiddelde $5$ ; mediaan $=$ het midden van de $5$ de en de $6$ de waarde $= 3$ . Zonder $23$ : som $27$ , gemiddelde $3$ ; mediaan (de $5$ de van $9$ waarden) $= 3$ .

2. Met $23$ ( $n = 10$ ): $Q_1$ is de $3$ de waarde ( $2$ ) en $Q_3$ de $8$ ste ( $4$ ): interkwartielafstand $2$ . Zonder ( $n = 9$ ): $Q_1$ is de $3$ de waarde ( $2$ ) en $Q_3$ de $7$ de ( $4$ ): opnieuw $2$ .

3. De ene uitschieter sleurt het gemiddelde van $3$ naar $5$ , maar laat de mediaan en de interkwartielafstand onaangeroerd: die twee zijn robuust. Kan een gegevensreeks afwijkende waarden bevatten, meld dan de mediaan en de interkwartielafstand in plaats van het gemiddelde en de standaardafwijking.

17.5 Opgave: de z-score, een universele meetlat

Probleem 17.1

Weekendopgave — standaardafwijkingen vergelijken appelen met peren, de ongelijkheid van Chebyshev maakt van $\sigma$ een garantie, en het gemiddelde wint zijn eigen medaille

Is $15/20$ op een moeilijk examen beter dan $13/20$ op een makkelijk? Is een $23$ in een lijst kleine getallen een toevalligheid of een uitschieter? Ruwe getallen kunnen dat niet zeggen — maar gedeeld door de juiste standaardafwijking spreken ze allemaal één taal, die van de z-score. Deze opgave beheerst de machinerie van de variantie (Definitie 17.6, Propositie 17.7), bouwt de universele meetlat, en bewijst de merkwaardige ongelijkheid die van $\sigma$ meer maakt dan een beschrijvend getal: een garantie.

Deel I — Mechanica van de variantie.

Bereken voor de gegevensreeks $4, 8, 6, 5, 2$ het gemiddelde, daarna de variantie rechtstreeks uit de definitie, en daarna $\sigma$ .
Bereken de variantie opnieuw met de rekenformule (Propositie 17.7) — het gemiddelde van de kwadraten min het kwadraat van het gemiddelde — en ga de overeenstemming na.
Met frequenties: de punten $8$ , $10$ , $14$ werden behaald door $3$ , $5$ en $2$ leerlingen. Bereken het gemiddelde, de variantie en $\sigma$ (twee decimalen).
Temperaturen hebben gemiddelde $20$ en $\sigma = 3$ (in graden Celsius). Geef het gemiddelde en $\sigma$ in Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; Propositie 17.9).
Bewijs de twee regels die je zonet gebruikte: een constante $b$ bij elke waarde optellen verschuift het gemiddelde met $b$ en laat $\sigma$ ongemoeid; met $a$ vermenigvuldigen vermenigvuldigt het gemiddelde met $a$ en $\sigma$ met $\abs a$ .

Deel II — De universele meetlat. De z-score van een waarde $x$ in een gegevensreeks met gemiddelde $\bar x$ en standaardafwijking $\sigma$ is $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ : het aantal standaardafwijkingen tussen $x$ en het gemiddelde.

Examen A heeft gemiddelde $12$ en $\sigma = 2$ ; examen B heeft gemiddelde $8$ en $\sigma = 4$ . Alice haalde $15$ op A, Bob $13$ op B. Bereken beide z-scores: wiens prestatie steekt verder boven de massa uit?
Bereken de vijf z-scores van de gegevensreeks uit vraag 1, en ga na dat ze gemiddelde $0$ en standaardafwijking $1$ hebben. Leg met vraag 5 uit waarom standaardiseren altijd gemiddelde $0$ en $\sigma = 1$ oplevert.
Een aanlegtest heeft gemiddelde $100$ en $\sigma = 15$ . Welke ruwe score hoort bij $z = 2$ ? En wat is de z-score van $76$ ?
Een kinderarts noteert het gewicht van een baby als “ $z = -2.5$ ”. Zeg wat dat betekent, en waarom groei in z-scores en niet in kilogram wordt gevolgd naarmate het kind ouder wordt.
De uitschieter uit Oefening 17.10 (de reeks $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): bereken het gemiddelde, $\sigma$ en de z-score van $23$ . De klassieke alarmdrempel is $\abs z \geq 3$ : wat is het oordeel?
Bereken $\sigma$ opnieuw zonder de waarde $23$ , en de z-score die $23$ zou krijgen tegenover het gemiddelde en de $\sigma$ van de schone gegevens. Wat deed de uitschieter met de meetlat die hem juist moest meten, en welke tegenzet stelt Oefening 17.10 voor?

Deel III — De garantie van Chebyshev.

Bewijs de ongelijkheid van Bienaymé en Chebyshev voor een gegevensreeks: voldoet een aandeel $p$ van de waarden aan $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$ , dan geeft het behouden van alleen die termen in de variantiesom

$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2, \qquad\text{en dus}\qquad p \leq \frac{1}{k^2} .$
Wat garandeert de ongelijkheid over het aandeel van eender welke gegevensreeks verder dan $2\sigma$ van haar gemiddelde? En verder dan $3\sigma$ ? Ga de uitspraak over $2\sigma$ na op de gegevensreeks uit vraag 1.
Een fabriek maakt bouten met gemiddelde $50$ mm en $\sigma = 0.1$ mm. Wat garandeert Chebyshev over het aandeel bouten buiten $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (In werkelijkheid doet de productie het veel beter — de klokkromme van jaar 12 maakt van dit voorzichtige $\frac19$ een fractie van een procent.)
Twee fondsen brengen allebei gemiddeld $5\,\%$ per jaar op, met $\sigma = 2\,\%$ voor fonds A en $\sigma = 12\,\%$ voor fonds B. Wat zegt Chebyshev voor elk fonds over het aandeel jaren met een rendement onder $-19\,\%$ ? Hoe noemt de financiële wereld $\sigma$ ?

Deel IV — De medaille van het gemiddelde, en een waarschuwing.

Zij $f(c)$ het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen $(x_i - c)^2$ ten opzichte van een willekeurig middelpunt $c$ . Bewijs de identiteit

$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$

en besluit: het gemiddelde is de unieke minimalisator van de gemiddelde gekwadrateerde afwijking — zijn medaille, tegenhanger van de minimalisering van absolute afwijkingen door de mediaan in Probleem 8.1.
Ga de identiteit na op de gegevensreeks uit vraag 1 met $c = 6$ : bereken $f(6)$ rechtstreeks en via de formule.
Dezelfde kengetallen, andere gegevens: ga na dat $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ en $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ hetzelfde gemiddelde maar niet dezelfde variantie hebben; bouw daarna een gegevensreeks van de vorm $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ met precies het gemiddelde en de variantie van $P$ — en toch een heel eigen vorm.
Bewijs dat $\sigma = 0$ afdwingt dat alle waarden gelijk zijn. (Wat moet elke term van een som van kwadraten die nul is, zelf zijn?)
Slotstuk — de ladder van de statisticus, één regel per sport: middens (gemiddelde, mediaan), spreidingen ( $\sigma$ , interkwartielafstand), de universele meetlat ( $z$ ), de garantie (Chebyshev), en de waarschuwing van vraag 18: kengetallen persen samen, en samenpersen verliest — met de klokkromme van jaar 12 die klaarstaat om z-scores in exacte kansen om te zetten.

Oplossing

Oplossing van Probleem 17.1.

1. Gemiddelde $\bar x = \frac{25}{5} = 5$ . Gekwadrateerde afwijkingen: $1, 9, 1, 0, 9$ : variantie $\frac{20}{5} = 4$ , dus $\sigma = 2$ .

2. Gemiddelde van de kwadraten: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; min $\bar x^2 = 25$ : variantie $4$ . Hetzelfde antwoord, half het werk.

3. Gemiddelde $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$ ; variantie $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$ .

4. Gemiddelde: $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$ F; $\sigma$ : $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$ F — de verschuiving $+32$ spreidt niets.

5. $b$ optellen: elke afwijking $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ blijft ongewijzigd, en dus ook de variantie. Met $a$ vermenigvuldigen: de afwijkingen worden met $a$ vermenigvuldigd, hun kwadraten met $a^2$ , de variantie met $a^2$ , en $\sigma$ met $\sqrt{a^2} = \abs a$ .

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$ . Alice steekt verder boven haar groep uit: de $15$ op het moeilijke examen verslaat de $13$ op het makkelijke.

7. De z-scores zijn $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : gemiddelde $0$ , standaardafwijking $1$ . In het algemeen trekt standaardiseren eerst $\bar x$ af (waardoor het gemiddelde $0$ wordt en $\sigma$ onaangeroerd blijft) en deelt het daarna door $\sigma$ (waardoor de nieuwe $\sigma$ gelijk aan $1$ wordt): twee keer vraag 5.

8. $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$ . En $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$ .

9. De baby ligt $2.5$ standaardafwijkingen onder het gemiddelde gewicht van baby’s van zijn leeftijd — alarmerend licht voor zijn groep. Ruwe kilogrammen laten zich niet over leeftijden heen vergelijken (alle baby’s komen aan); z-scores meten elk kind tegenover zijn eigen leeftijdsgroep, één meetlat voor alle leeftijden.

10. Gemiddelde $5$ ; gemiddelde van de kwadraten $\frac{622}{10} = 62.2$ , variantie $37.2$ , $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : net onder de alarmdrempel — de toets knippert nauwelijks.

11. Zonder $23$ : gemiddelde $3$ , variantie $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$ , $\sigma \approx 1.15$ ; tegenover die schone meetlat scoort $23$ een $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : een monster. De uitschieter blies zowel het gemiddelde als $\sigma$ op en camoufleerde zichzelf — en daarom beveelt Oefening 17.10 robuuste kengetallen (mediaan, interkwartielafstand) aan zodra besmetting dreigt.

12. Houd in de variantiesom $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ alleen de termen over met $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : dat zijn er $pN$ , elk minstens $(k\sigma)^2$ , dus $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$ : deel door $k^2 \sigma^2$ (met spreiding verschillend van nul) en er blijft $p \leq \frac{1}{k^2}$ over.

13. Verder dan $2\sigma$ : hoogstens $\frac14 = 25\,\%$ van eender welke gegevensreeks; verder dan $3\sigma$ : hoogstens $\frac19 \approx 11\,\%$ . De gegevens van vraag 1: verder dan $2\sigma = 4$ van het gemiddelde $5$ betekent $\leq 1$ of $\geq 9$ : geen enkele van de vijf waarden — $0\,\% \leq 25\,\%$ , zoals beloofd.

14. Buiten $\intcc{49.7}{50.3}$ betekent verder dan $3\sigma$ : hoogstens $\frac19$ van de productie, welke vorm de verdeling ook heeft — Chebyshev vraagt niets meer dan een gemiddelde en een $\sigma$ . Een klokvormige productie concentreert zich veel beter (ongeveer $0.3\,\%$ verder dan $3\sigma$ ): de normale verdeling, jaar 12.

15. $-19\,\%$ ligt $24$ punten onder het gemiddelde $5$ . Fonds B: $24 = 2\sigma_B$ : Chebyshev laat tot $\frac14$ van de jaren zo slecht toe. Fonds A: $24 = 12\sigma_A$ : hoogstens $\frac{1}{144}$ . Hetzelfde gemiddelde, onvergelijkbare gevaren — $\sigma$ is wat de financiële wereld risico (of volatiliteit) noemt.

16. Werk uit rond $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$ . Middelen: de middelste term sterft (de afwijkingen van het gemiddelde tellen op tot nul), zodat $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ overblijft — minimaal precies in $c = \bar x$ , met minimum $\sigma^2$ . Het gemiddelde is het kleinstekwadratenmiddelpunt, zoals de mediaan het middelpunt van de kleinste absolute afwijking is (Probleem 8.1).

17. Rechtstreeks: de afwijkingen van $6$ zijn $-2, 2, 0, -1, -4$ , met kwadraten $4, 4, 0, 1, 16$ : $f(6) = \frac{25}{5} = 5$ . Via de formule: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$ . Overeenstemming.

18. Beide hebben gemiddelde $7$ ; de varianties zijn $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ en $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : verschillende spreidingen achter één gemiddelde. Voor $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ geeft de variantie $\frac{2a^2}{5} = 8$ dat $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : de reeks $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ draagt precies het gemiddelde en de variantie van $P$ met een compleet ander profiel — kengetallen persen samen, en samenpersen verliest.

19. $\sigma^2 = 0$ betekent dat een som van kwadraten $(x_i - \bar x)^2$ verdwijnt; kwadraten zijn $\geq 0$ , dus dwingt een som gelijk aan nul elke term nul te zijn: $x_i = \bar x$ voor alle $i$ — alle waarden gelijk.

20. Middens zeggen waar de gegevens wonen; spreidingen hoe los; de z-score legt één meetlat over alle gegevensreeksen, examens, leeftijden en munteenheden; Chebyshev zet $\sigma$ om in een onvoorwaardelijke garantie; en vraag 18 houdt ons eerlijk — geen handvol getallen bevat ooit het hele verhaal. Volgend jaar verscherpt de klokkromme de meetlat tot exacte kansen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst