Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

4Referentiefuncties

Een handvol eenvoudige functies — affiene, kwadraat, omgekeerde, vierkantswortel, derdemacht — komen overal voor, alleen of gecombineerd. Hun grafieken en variaties uit het hoofd kennen maakt van veel problemen een snelle schets. Dit hoofdstuk bestudeert ze elk op hun beurt en bewijst hun variaties met de vergelijkingstechniek van Hoofdstuk 3.

4.1 Affiene functies

Definitie 4.1 (Affiene functie)

Een affiene functie is een functie van de vorm

f(x) = mx + p,

waar $m$ en $p$ vaste reële getallen zijn. Haar grafiek is een rechte lijn: $m$ is de richtingscoëfficiënt en $p$ het snijpunt met de $y$ -as (de lijn snijdt de verticale as in $(0, p)$ ). Wanneer $p = 0$ is de functie lineair: $f(x) = mx$ drukt evenredigheid uit.

Propositie 4.2 (Richtingscoëfficiënt en variaties)

Laat $f(x) = mx + p$ .

Voor twee verschillende inputs $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (de richtingscoëfficiënt is de verandering van de output per eenheid verandering van de input).
Als $m > 0$ , is $f$ strikt stijgend op $\R$ ; als $m < 0$ , strikt dalend; als $m = 0$ , constant.

Bewijs. 1. Bereken $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ , en deel door $v - u \neq 0$ .

2. Als $u < v$ , dan heeft $f(v) - f(u) = m(v-u)$ het teken van $m$ , omdat $v - u > 0$ : positieve $m$ geeft $f(u) < f(v)$ (stijgend), negatieve $m$ geeft $f(u) > f(v)$ (dalend). ∎

Twee affiene functies: stijgend voor m = 1/2 > 0, dalend voor m = -1 < 0. Eén eenheid naar rechts bewegen verandert y met m. — Twee affiene functies: stijgend voor $m = \frac12 > 0$ , dalend voor $m = -1 < 0$ . Eén eenheid naar rechts bewegen verandert $y$ met $m$ .

Voorbeeld 4.3

Vind de affiene functie waarvan de grafiek door $A(1, 3)$ en $B(4, 9)$ gaat. De richtingscoëfficiënt is

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Dan $f(x) = 2x + p$ , en $f(1) = 3$ geeft $2 + p = 3$ , dus $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Controle met $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 De kwadraatfunctie

Propositie 4.4 (Kwadraatfunctie)

De functie $f(x) = x^2$ , gedefinieerd op $\R$ :

is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ , met minimum $0$ bij $x = 0$ ;
voldoet aan $f(-x) = f(x)$ voor alle $x$ : haar grafiek, een parabool, is symmetrisch t.o.v. de verticale as.

Bewijs. 1. Laat $0 \leq u < v$ . Dan

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

omdat $v - u > 0$ en $v + u > 0$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ . Als $u < v \leq 0$ , dan $v - u > 0$ maar $v + u < 0$ , dus $f(v) - f(u) < 0$ : strikt dalend. Ten slotte is $x^2 \geq 0 = f(0)$ voor alle $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; dus de punten $(x, x^2)$ en $(-x, x^2)$ , spiegelbeelden t.o.v. de verticale as, liggen beide op de grafiek. ∎

Opmerking 4.5 (Kwadraten en volgorde)

Omdat de kwadraatfunctie daalt aan de negatieve kant, keert kwadrateren de volgorde van negatieve getallen om: $-3 < -2$ maar $9 > 4$ . Kwadrateer nooit beide kanten van een ongelijkheid zonder de tekens te controleren.

4.3 De omgekeerde functie

Propositie 4.6 (Omgekeerde functie)

De functie $f(x) = \dfrac1x$ , gedefinieerd voor $x \neq 0$ :

is strikt dalend op $\intoo{-\infty}{0}$ en strikt dalend op $\intoo{0}{+\infty}$ ;
voldoet aan $f(-x) = -f(x)$ : haar grafiek, een hyperbool, is symmetrisch t.o.v. de oorsprong.

Bewijs. 1. Laat $0 < u < v$ . Dan

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

omdat $u - v < 0$ en $uv > 0$ : strikt dalend op $\intoo{0}{+\infty}$ . Op $\intoo{-\infty}{0}$ heeft hetzelfde quotiënt $u - v < 0$ en $uv > 0$ opnieuw (product van twee negatieven), dus $f$ daalt daar ook.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Opmerking 4.7

Let op: $\frac1x$ is niet dalend op haar hele domein. Van $u = -1$ naar $v = 1$ springt de waarde van $-1$ omhoog naar $1$ . De twee takken moeten apart bestudeerd worden.

De parabool y = x2 (symmetrisch t.o.v. de verticale as) en de hyperbool y = 1x (twee takken, symmetrisch t.o.v. de oorsprong). — De parabool $y = x^2$ (symmetrisch t.o.v. de verticale as) en de hyperbool $y = \frac1x$ (twee takken, symmetrisch t.o.v. de oorsprong).

4.4 Vierkantswortel en derdemacht

Propositie 4.8 (Vierkantswortelfunctie)

De functie $f(x) = \sqrt{x}$ , gedefinieerd op $\intco{0}{+\infty}$ , is strikt stijgend.

Bewijs. Laat $0 \leq u < v$ . Vermenigvuldig en deel door de toegevoegde:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

omdat $v - u > 0$ en $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (merk op $v > 0$ , dus $\sqrt v > 0$ ). ∎

Propositie 4.9 (Derdemachtfunctie)

De functie $f(x) = x^3$ , gedefinieerd op $\R$ , is strikt stijgend, en haar grafiek is symmetrisch t.o.v. de oorsprong.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

De vierkantswortel (alleen gedefinieerd voor x ≥ 0) en de derdemacht, beide stijgend. — De vierkantswortel (alleen gedefinieerd voor $x \geq 0$ ) en de derdemacht, beide stijgend.

Propositie 4.10 (Vergelijken van $x$ , $x^2$ en $\sqrt x$ )

Voor $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Voor $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Bij $x = 0$ en $x = 1$ zijn de drie waarden gelijk.

Bewijs. Stel $0 < x < 1$ . Vermenigvuldigen van $x < 1$ met $x > 0$ geeft $x^2 < x$ . Vervolgens $x < \sqrt x$ : omdat beide kanten positief zijn en kwadrateren stijgend is op positieve getallen, is deze ongelijkheid equivalent met $x^2 < x$ , wat we zojuist bewezen. Voor $x > 1$ geeft vermenigvuldigen van $x > 1$ met $x$ dat $x^2 > x$ , en $\sqrt x < x$ volgt met hetzelfde kwadrateringsargument. ∎

De drie krommen snijden elkaar in (0,0) en (1,1) en wisselen daar van volgorde: tussen 0 en 1 is x2 het kleinst en √ x het grootst; voorbij 1 is de volgorde omgekeerd. — De drie krommen snijden elkaar in $(0,0)$ en $(1,1)$ en wisselen daar van volgorde: tussen $0$ en $1$ is $x^2$ het kleinst en $\sqrt x$ het grootst; voorbij $1$ is de volgorde omgekeerd.

Methode 4.11 (Beelden vergelijken)

Om $f(a)$ en $f(b)$ te vergelijken voor een referentiefunctie $f$ :

plaats $a$ en $b$ op een interval waar de variaties van $f$ bekend zijn;
als $f$ daar stijgt, staan de beelden in dezelfde volgorde als de inputs; als $f$ daalt, is de volgorde omgekeerd;
als $a$ en $b$ niet in hetzelfde monotonie-interval liggen, werk eerst de tekens uit (bijv. voor het kwadraat: een negatieve en een positieve input).

Voorbeeld 4.12

Vergelijk $\dfrac{1}{2.3}$ en $\dfrac{1}{2.4}$ : beide inputs liggen in $\intoo{0}{+\infty}$ , waar de omgekeerde functie daalt, en $2.3 < 2.4$ , dus $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Vergelijk $(-1.2)^2$ en $(-1.5)^2$ : op $\intoc{-\infty}{0}$ daalt het kwadraat, en $-1.5 < -1.2$ , dus $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — inderdaad $2.25 > 1.44$ .

4.5 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Geef voor elke affiene functie de richtingscoëfficiënt, het snijpunt met de $y$ -as, en zeg of ze stijgend of dalend is:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

$f$ : richtingscoëfficiënt $3$ , snijpunt $-2$ , stijgend. $g$ : richtingscoëfficiënt $-\frac12$ , snijpunt $4$ , dalend. $h$ : richtingscoëfficiënt $0$ , snijpunt $7$ , constant. $k$ : richtingscoëfficiënt $-1$ , snijpunt $0$ , dalend (en lineair).

Oefening 4.2 ★

Vind de affiene functie waarvan de grafiek door $(2, 1)$ en $(5, 10)$ gaat; daarna die door $(-1, 4)$ en $(3, -4)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

Door $(2,1)$ en $(5,10)$ : $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; dan $1 = 3 \times 2 + p$ geeft $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Door $(-1,4)$ en $(3,-4)$ : $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; dan $4 = -2 \times (-1) + p$ geeft $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Oefening 4.3 ★

Vergelijk zonder rekenmachine:

(3.1)^2 \text{ en } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ en } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ en } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ en } \sqrt{15}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : het kwadraat stijgt op positieven.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : het kwadraat daalt op negatieven en $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : de omgekeerde daalt op positieven.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : de vierkantswortel stijgt.

Oefening 4.4 ★

Los met de grafiek van de kwadraatfunctie $x^2 = 16$ op, daarna $x^2 \leq 16$ , daarna $x^2 > 9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

$x^2 = 16$ : twee oplossingen, $x = 4$ en $x = -4$ (de horizontale lijn $y = 16$ snijdt de parabool twee keer).

$x^2 \leq 16$ : de parabool ligt onder de lijn tussen de twee snijpunten: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : de parabool ligt strikt boven $y = 9$ buiten $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Oefening 4.5 ★

Laat $x \in \intoo{0}{1}$ . Orden de getallen $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $\sqrt x$ van klein naar groot, en controleer je antwoord met $x = 0.25$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

Voor $0 < x < 1$ : herhaald vermenigvuldigen van $x < 1$ met $x$ geeft $x^3 < x^2 < x$ , en Propositie 4.10 geeft $x < \sqrt x$ , dus

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Controle met $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Oefening 4.6 ★★

Los grafisch, daarna algebraïsch op: $\dfrac1x = 2$ , en $\dfrac1x < 2$ voor $x > 0$ . Wat verandert er als we ook $x < 0$ toestaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

$\frac1x = 2$ heeft de unieke oplossing $x = \frac12$ (de hyperbool snijdt de horizontale lijn $y = 2$ één keer, op de positieve tak).

Voor $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Vermenigvuldigen met $x > 0$ : $1 < 2x$ , dus $x > \frac12$ : oplossingsverzameling $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Als $x < 0$ is toegestaan: elke negatieve $x$ voldoet aan $\frac1x < 0 < 2$ , dus de volledige oplossingsverzameling is $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Oefening 4.7 ★★

Wetende dat de kwadraatfunctie daalt op $\intoc{-\infty}{0}$ en stijgt op $\intco{0}{+\infty}$ , omkader $x^2$ wanneer:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(In geval (c): pas op: het minimum van $x^2$ ligt niet in een eindpunt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

(a) Op $\intcc{2}{5}$ zijn alle inputs positief en stijgt kwadrateren: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) Op $\intcc{-3}{-1}$ daalt kwadrateren: het grootste kwadraat komt van $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) Op $\intcc{-2}{3}$ bevat het interval $0$ , waar het kwadraat zijn minimum $0$ bereikt; het maximum is het grotere van $(-2)^2 = 4$ en $3^2 = 9$ . Dus $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Oefening 4.8 ★★

Een taxibedrijf rekent een vast bedrag van $4$ plus $1.5$ per kilometer; een ander rekent geen vast bedrag en $2$ per kilometer. Modelleer elke prijs door een affiene functie van de afstand $x$ , teken beide lijnen, en vind vanaf welke afstand het eerste bedrijf goedkoper is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

Eerste bedrijf: $f(x) = 1.5x + 4$ ; tweede: $g(x) = 2x$ . Het eerste is goedkoper wanneer

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Voorbij $8$ km is het eerste bedrijf goedkoper; bij precies $8$ km rekenen beide $16$ .

Oefening 4.9 ★★

Toon aan dat voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Hint: beide kanten zijn niet-negatief, dus vergelijk hun kwadraten.) Wanneer is er gelijkheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

Beide kanten zijn niet-negatief, dus de ongelijkheid is equivalent met die tussen hun kwadraten:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{en}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Omdat $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , is het tweede kwadraat minstens het eerste, wat $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ bewijst. Gelijkheid geldt precies wanneer $\sqrt a \sqrt b = 0$ , d.w.z. wanneer $a = 0$ of $b = 0$ .

Oefening 4.10 ★★★

Laat $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , gedefinieerd voor $x \neq 1$ .

Toon aan dat $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ voor alle $x \neq 1$ .
Leid de variaties van $f$ op $\intoo{1}{+\infty}$ af uit die van de omgekeerde functie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

1. Zet het rechterlid op een gemeenschappelijke noemer:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. Op $\intoo{1}{+\infty}$ , als $x$ toeneemt, neemt $x - 1$ toe en blijft positief, dus $\frac{3}{x-1}$ daalt (omgekeerde functie, maal de positieve constante $3$ ), dus $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ daalt: $f$ is strikt dalend op $\intoo{1}{+\infty}$ .