Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

4Referentiefuncties

Een handvol eenvoudige functies — de affiene, het kwadraat, het omgekeerde, de vierkantswortel, de derde macht — duikt overal op, alleen of gecombineerd. Wie hun grafieken en hun verloop uit het hoofd kent, herleidt veel vraagstukken tot een snelle schets. Dit hoofdstuk bestudeert ze een voor een en bewijst hun verloop met de vergelijkingstechniek van Hoofdstuk 3.

4.1 Affiene functies

Definitie 4.1 (Affiene functie)

Een affiene functie is een functie van de vorm

f(x) = mx + p,

waarbij $m$ en $p$ vaste reële getallen zijn. Haar grafiek is een rechte: $m$ is de richtingscoëfficiënt en $p$ de $y$ -afsnede (de rechte snijdt de verticale as in $(0, p)$ ). Is $p = 0$ , dan heet de functie lineair: $f(x) = mx$ drukt evenredigheid uit.

Propositie 4.2 (Richtingscoëfficiënt en verloop)

Zij $f(x) = mx + p$ .

Voor elke twee verschillende invoeren $u \neq v$ geldt $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (de richtingscoëfficiënt is de verandering van de uitvoer per eenheid verandering van de invoer).
Is $m > 0$ , dan is $f$ strikt stijgend op $\R$ ; is $m < 0$ , dan strikt dalend; is $m = 0$ , dan constant.

Bewijs. 1. Bereken $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ , en deel daarna door $v - u \neq 0$ .

2. Is $u < v$ , dan heeft $f(v) - f(u) = m(v-u)$ het teken van $m$ , want $v - u > 0$ : een positieve $m$ geeft $f(u) < f(v)$ (stijgend), een negatieve $m$ geeft $f(u) > f(v)$ (dalend). ∎

Twee affiene functies: stijgend voor m = 1/2 > 0, dalend voor m = -1 < 0. Eén eenheid naar rechts verandert y met m. — Twee affiene functies: stijgend voor $m = \frac12 > 0$ , dalend voor $m = -1 < 0$ . Eén eenheid naar rechts verandert $y$ met $m$ .

Voorbeeld 4.3

Zoek de affiene functie waarvan de grafiek door $A(1, 3)$ en $B(4, 9)$ gaat. De richtingscoëfficiënt is

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Dan is $f(x) = 2x + p$ , en $f(1) = 3$ geeft $2 + p = 3$ , dus $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Controle met $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 De kwadraatfunctie

Propositie 4.4 (Kwadraatfunctie)

De functie $f(x) = x^2$ , gedefinieerd op $\R$ :

is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ , met minimum $0$ in $x = 0$ ;
voldoet aan $f(-x) = f(x)$ voor alle $x$ : haar grafiek, een parabool, is symmetrisch om de verticale as.

Bewijs. 1. Zij $0 \leq u < v$ . Dan is

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

want $v - u > 0$ en $v + u > 0$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ . Is $u < v \leq 0$ , dan is $v - u > 0$ maar $v + u < 0$ , dus $f(v) - f(u) < 0$ : strikt dalend. Ten slotte is $x^2 \geq 0 = f(0)$ voor alle $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; dus liggen de punten $(x, x^2)$ en $(-x, x^2)$ , elkaars spiegelbeeld om de verticale as, allebei op de grafiek. ∎

Opmerking 4.5 (Kwadraten en orde)

Doordat de kwadraatfunctie aan de negatieve kant daalt, keert kwadrateren de orde van negatieve getallen om: $-3 < -2$ maar $9 > 4$ . Kwadrateer beide leden van een ongelijkheid dus nooit zonder de tekens na te gaan.

4.3 De omgekeerde functie

Propositie 4.6 (Omgekeerde functie)

De functie $f(x) = \dfrac1x$ , gedefinieerd voor $x \neq 0$ :

is strikt dalend op $\intoo{-\infty}{0}$ en strikt dalend op $\intoo{0}{+\infty}$ ;
voldoet aan $f(-x) = -f(x)$ : haar grafiek, een hyperbool, is symmetrisch om de oorsprong.

Bewijs. 1. Zij $0 < u < v$ . Dan is

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

want $u - v < 0$ en $uv > 0$ : strikt dalend op $\intoo{0}{+\infty}$ . Op $\intoo{-\infty}{0}$ heeft hetzelfde quotiënt opnieuw $u - v < 0$ en $uv > 0$ (product van twee negatieve getallen), dus daalt $f$ ook daar.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Opmerking 4.7

Opgelet: $\frac1x$ is niet dalend op haar hele domein. Van $u = -1$ naar $v = 1$ springt de waarde van $-1$ omhoog naar $1$ . De twee takken moeten apart bestudeerd worden.

De parabool y = x2 (symmetrisch om de verticale as) en de hyperbool y = 1x (twee takken, symmetrisch om de oorsprong). — De parabool $y = x^2$ (symmetrisch om de verticale as) en de hyperbool $y = \frac1x$ (twee takken, symmetrisch om de oorsprong).

4.4 Vierkantswortel en derde macht

Propositie 4.8 (Vierkantswortelfunctie)

De functie $f(x) = \sqrt{x}$ , gedefinieerd op $\intco{0}{+\infty}$ , is strikt stijgend.

Bewijs. Zij $0 \leq u < v$ . Vermenigvuldig en deel door de toegevoegde uitdrukking:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

want $v - u > 0$ en $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (merk op dat $v > 0$ , dus $\sqrt v > 0$ ). ∎

Propositie 4.9 (Derdemachtsfunctie)

De functie $f(x) = x^3$ , gedefinieerd op $\R$ , is strikt stijgend, en haar grafiek is symmetrisch om de oorsprong.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De vierkantswortel (alleen voor x ≥ 0 gedefinieerd) en de derde macht, allebei stijgend. — De vierkantswortel (alleen voor $x \geq 0$ gedefinieerd) en de derde macht, allebei stijgend.

Propositie 4.10 ( $x$ , $x^2$ en $\sqrt x$ vergeleken)

Voor $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Voor $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . In $x = 0$ en $x = 1$ zijn de drie waarden gelijk.

Bewijs. Stel $0 < x < 1$ . Vermenigvuldigen van $x < 1$ met $x > 0$ geeft $x^2 < x$ . Vervolgens $x < \sqrt x$ : omdat beide leden positief zijn en kwadrateren stijgend is op de positieve getallen, is die ongelijkheid gelijkwaardig met $x^2 < x$ , wat we net bewezen. Voor $x > 1$ geeft $x > 1$ vermenigvuldigd met $x$ dat $x^2 > x$ , en $\sqrt x < x$ volgt met hetzelfde kwadrateerargument. ∎

De drie krommen snijden elkaar in (0,0) en (1,1) en wisselen daar van volgorde: tussen 0 en 1 is x2 de kleinste en √ x de grootste; voorbij 1 is de volgorde omgekeerd. — De drie krommen snijden elkaar in $(0,0)$ en $(1,1)$ en wisselen daar van volgorde: tussen $0$ en $1$ is $x^2$ de kleinste en $\sqrt x$ de grootste; voorbij $1$ is de volgorde omgekeerd.

Methode 4.11 (Beelden vergelijken)

Om $f(a)$ en $f(b)$ te vergelijken voor een referentiefunctie $f$ :

plaats $a$ en $b$ op een interval waar het verloop van $f$ bekend is;
stijgt $f$ daar, dan staan de beelden in dezelfde volgorde als de invoeren; daalt $f$ , dan is de volgorde omgekeerd;
liggen $a$ en $b$ niet in hetzelfde interval van monotonie, regel dan eerst de tekens (bijvoorbeeld bij het kwadraat: een negatieve en een positieve invoer).

Voorbeeld 4.12

Vergelijk $\dfrac{1}{2.3}$ en $\dfrac{1}{2.4}$ : beide invoeren liggen in $\intoo{0}{+\infty}$ , waar de omgekeerde functie daalt, en $2.3 < 2.4$ , dus $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Vergelijk $(-1.2)^2$ en $(-1.5)^2$ : op $\intoc{-\infty}{0}$ daalt het kwadraat, en $-1.5 < -1.2$ , dus $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — en inderdaad is $2.25 > 1.44$ .

4.5 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Geef voor elke affiene functie de richtingscoëfficiënt en de $y$ -afsnede, en zeg of ze stijgend of dalend is:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

$f$ : richtingscoëfficiënt $3$ , $y$ -afsnede $-2$ , stijgend. $g$ : richtingscoëfficiënt $-\frac12$ , $y$ -afsnede $4$ , dalend. $h$ : richtingscoëfficiënt $0$ , $y$ -afsnede $7$ , constant. $k$ : richtingscoëfficiënt $-1$ , $y$ -afsnede $0$ , dalend (en lineair).

Oefening 4.2 ★

Zoek de affiene functie waarvan de grafiek door $(2, 1)$ en $(5, 10)$ gaat; en daarna die door $(-1, 4)$ en $(3, -4)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

Door $(2,1)$ en $(5,10)$ : richtingscoëfficiënt $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; daarna geeft $1 = 3 \times 2 + p$ dat $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Door $(-1,4)$ en $(3,-4)$ : richtingscoëfficiënt $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; daarna geeft $4 = -2 \times (-1) + p$ dat $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Oefening 4.3 ★

Vergelijk zonder rekenmachine:

(3.1)^2 \text{ en } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ en } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ en } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ en } \sqrt{15}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : het kwadraat stijgt op de positieve getallen.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : het kwadraat daalt op de negatieve getallen en $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : het omgekeerde daalt op de positieve getallen.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : de vierkantswortel stijgt.

Oefening 4.4 ★

Los met de grafiek van de kwadraatfunctie $x^2 = 16$ op, daarna $x^2 \leq 16$ , en ten slotte $x^2 > 9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

$x^2 = 16$ : twee oplossingen, $x = 4$ en $x = -4$ (de horizontale rechte $y = 16$ snijdt de parabool twee keer).

$x^2 \leq 16$ : de parabool ligt tussen de twee snijpunten onder de rechte: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : de parabool ligt buiten $\intcc{-3}{3}$ strikt boven $y = 9$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Oefening 4.5 ★

Zij $x \in \intoo{0}{1}$ . Rangschik de getallen $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $\sqrt x$ van klein naar groot, en toets je antwoord met $x = 0.25$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

Voor $0 < x < 1$ geeft $x < 1$ herhaaldelijk met $x$ vermenigvuldigen dat $x^3 < x^2 < x$ , en Propositie 4.10 geeft $x < \sqrt x$ , dus

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Controle met $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Oefening 4.6 ★★

Los grafisch en daarna algebraïsch op: $\dfrac1x = 2$ , en $\dfrac1x < 2$ voor $x > 0$ . Wat verandert er als je ook $x < 0$ toelaat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

$\frac1x = 2$ heeft de enige oplossing $x = \frac12$ (de hyperbool ontmoet de horizontale rechte $y = 2$ één keer, op de positieve tak).

Voor $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Vermenigvuldigen met $x > 0$ geeft $1 < 2x$ , dus $x > \frac12$ : oplossingsverzameling $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Laat je ook $x < 0$ toe, dan voldoet elke negatieve $x$ aan $\frac1x < 0 < 2$ , zodat de volledige oplossingsverzameling $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ is.

Oefening 4.7 ★★

Klem $x^2$ in, wetend dat de kwadraatfunctie daalt op $\intoc{-\infty}{0}$ en stijgt op $\intco{0}{+\infty}$ , wanneer:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(Let op in geval (c): het minimum van $x^2$ ligt niet in een randpunt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

(a) Op $\intcc{2}{5}$ zijn alle invoeren positief en stijgt het kwadrateren: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) Op $\intcc{-3}{-1}$ daalt het kwadrateren: het grootste kwadraat komt van $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) Op $\intcc{-2}{3}$ bevat het interval $0$ , waar het kwadraat zijn minimum $0$ bereikt; het maximum is de grootste van $(-2)^2 = 4$ en $3^2 = 9$ . Dus $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Oefening 4.8 ★★

Een taxibedrijf rekent een vast bedrag van $4$ plus $1.5$ per kilometer; een ander rekent niets vast en $2$ per kilometer. Beschrijf elke prijs met een affiene functie van de afstand $x$ , teken beide rechten, en zoek vanaf welke afstand het eerste bedrijf goedkoper is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

Eerste bedrijf: $f(x) = 1.5x + 4$ ; tweede: $g(x) = 2x$ . Het eerste is goedkoper wanneer

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Voorbij $8$ km is het eerste bedrijf goedkoper; op precies $8$ km rekenen beide $16$ .

Oefening 4.9 ★★

Toon aan dat voor alle $a, b \geq 0$ geldt: $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Tip: beide leden zijn niet-negatief, vergelijk dus hun kwadraten.) Wanneer is er gelijkheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

Beide leden zijn niet-negatief, dus is de ongelijkheid gelijkwaardig met die tussen hun kwadraten:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{en}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Omdat $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , is het tweede kwadraat minstens het eerste, wat $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ bewijst. Gelijkheid treedt precies op wanneer $\sqrt a \sqrt b = 0$ , dus wanneer $a = 0$ of $b = 0$ .

Oefening 4.10 ★★★

Zij $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , gedefinieerd voor $x \neq 1$ .

Toon aan dat $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ voor alle $x \neq 1$ .
Leid het verloop van $f$ op $\intoo{1}{+\infty}$ af uit dat van de omgekeerde functie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

1. Breng het rechterlid op één noemer:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. Op $\intoo{1}{+\infty}$ groeit $x - 1$ mee met $x$ en blijft het positief, dus daalt $\frac{3}{x-1}$ (de omgekeerde functie, maal de positieve constante $3$ ), en daalt dus ook $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ : $f$ is strikt dalend op $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 Opgave: de natuurwetten spreken in referentiefuncties

Probleem 4.1

Weekendopgave — remafstanden groeien als $v^2$ , hefbomen gehoorzamen aan $1/d$ , planeten volgen $a^{3/2}$ : natuurkunde lezen met de referentiefuncties

Sla een natuurkundeboek open en op elke bladzijde duiken dezelfde paar grafieken op: de parabool, de hyperbool, de wortelkromme. De natuur schrijft haar wetten met de referentiefuncties van dit hoofdstuk — en hun vormen kennen (Propositie 4.4, Propositie 4.6, Propositie 4.8, Propositie 4.9) volstaat om een auto af te remmen, een hefboom in evenwicht te brengen en de planeten te klokken. Het slotstuk is de derde wet van Kepler, rechtstreeks van de gegevens van het zonnestelsel afgelezen.

Deel I — De kwadratische wet van het remmen. Een vuistregel voor de remafstand van een auto op een droge weg: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ meter, bij een snelheid $v$ km/u.

Bereken de remafstanden bij $30$ , $50$ , $90$ en $130$ km/u.
Met hoeveel wordt de remafstand vermenigvuldigd als je de snelheid verdubbelt? Verklaar het uit het schaalgedrag van de kwadraatfunctie, en ga het na op $50 \to 100$ km/u.
Forensisch onderzoek: de remsporen meten $50$ m. Van welke snelheid beschuldigt de formule de bestuurder (op de km/u nauwkeurig)? Welke referentiefunctie gaf het antwoord — en op welk domein is de aflezing ondubbelzinnig (Propositie 4.8)?
Vergelijk de extra afstand die één km/u meer kost, bij lage en bij hoge snelheid: bereken $d(31) - d(30)$ en $d(91) - d(90)$ . Welke eigenschap van de parabool (Propositie 4.4) illustreren de twee antwoorden?
Echt stoppen vraagt ook reactietijd — ongeveer één seconde, waarin de auto $0.28v$ meter aflegt: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Bereken $D(50)$ en $D(130)$ . Welke van de twee termen — de affiene of de kwadratische — overheerst bij stadssnelheid, en welke op de snelweg?

Deel II — De hyperbolen van het dagelijks leven.

Een hefboom is in evenwicht wanneer kracht $\times$ afstand aan beide kanten gelijk is. Een kind van $60$ kg zit op $2$ m van het draaipunt; de kracht die aan de andere kant op afstand $d$ evenwicht maakt, is $F(d) = \frac{120}{d}$ (in kilogramequivalenten). Bereken $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
Wat zegt het verloop van de omgekeerde functie (Propositie 4.6) over hefbomen — en waarom schuilt de grootspraak van Archimedes (“geef mij een steunpunt en ik verplaats de Aarde”) in de staart van de hyperbool? Wat verbiedt $d = 0$ ?
Geluid en licht doven uit met het kwadraat van de afstand: op $1$ m van een lamp is de intensiteit $100$ eenheden; geef ze op $2$ , $3$ en $10$ m. Verklaar de exponent $2$ met een bol: over welke oppervlakte heeft het licht zich op afstand $d$ verspreid (de weekendopgave over de grafsteen van Archimedes in het onderbouwvolume)?
Een bus voor de schoolreis kost $600$ euro, gelijk verdeeld over $n$ deelnemers. Zet de kostprijs per hoofd in een tabel voor $n = 10, 20, 30$ , zoek hoeveel deelnemers ze op $25$ euro of minder brengen, en zeg wat de vorm van de hyperbool belooft — en weigert — naarmate $n$ groeit.
$x$ affiches drukken kost $2x + 3$ euro ( $3$ euro opstartkosten). Toon aan dat de gemiddelde kostprijs per affiche $a(x) = 2 + \frac3x$ is, beschrijf het verloop ervan, en duid de horizontale asymptoot economisch. (Vergelijk met de algebra van Oefening 4.10.)

Deel III — De harmonie van Kepler. Noteer voor elke planeet $a$ voor haar gemiddelde afstand tot de Zon (in astronomische eenheden, Aarde $= 1$ ) en $T$ voor haar omlooptijd (in jaren). Gegevens: Mars $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; Jupiter $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; Saturnus $a = 9.54$ , $T = 29.4$ .

Bereken $a^3$ en $T^2$ voor de Aarde, Mars en Jupiter. Wat merkte Kepler in 1618 op?
Formuleer de wet als een functie: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Toets ze op Saturnus.
Twee voorspellingen: een planetoïde draait op $a = 4$ AE — zoek haar omlooptijd (de getallen komen mooi uit); een komeet keert elke $27$ jaar terug — zoek haar gemiddelde afstand (zoek een volkomen derde macht).
Welke drie referentiefuncties vlecht de wet samen? En haar schaalregel: wat gebeurt er met $T$ als $a$ met $4$ vermenigvuldigd wordt? (Ga het na met de planetoïde tegenover de Aarde.)
Kepler las deze wet af in de gegevens van Tycho Brahe, zeventig jaar vóór de gravitatie van Newton haar verklaarde. In één zin: wat zegt die episode over de kracht van het herkennen van een referentiefunctie in een tabel met getallen?

Deel IV — De schildpad en de haas.

Rangschik $\sqrt x$ , $x$ en $x^2$ op $\intoo{0}{1}$ en op $\intoo{1}{+\infty}$ (Propositie 4.10), en ga beide rangschikkingen na in $x = 0.25$ en $x = 4$ .
Los $\sqrt x > x$ volledig op (kwadrateer voor $x \geq 0$ met de nodige zorg en eindig met een tekentabel).
Neem de derde macht erbij: rangschik $x$ , $x^2$ , $x^3$ in $x = 0.5$ en in $x = 2$ , en zoek alle punten waar de kwadraatfunctie en de derdemachtsfunctie elkaar snijden.
Twee spaarplannen keren na $t$ jaar $100\sqrt t$ euro uit (plan A) of $10 t^2$ euro (plan B). Toon aan dat B A voorbijsteekt wanneer $t^3 = 100$ , en geef het omslagpunt op de maand nauwkeurig. Welke moraal over wortels tegenover machten op lange termijn?
Slotstuk: zeg voor elke wet uit deze opgave — het remmen ( $v^2$ ), de hefboom ( $1/d$ ), de lamp ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), plan A ( $\sqrt t$ ) — in één bijzin welk kenmerk van haar referentiegrafiek de fysische betekenis draagt (steeds steilere stijging, verticale asymptoot, uitdijende bol, schaalexponent, afvlakkende groei). Besluit: de referentiefuncties zijn het alfabet; de natuur schrijft ermee.

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m.

2. $v$ verdubbelen verdubbelt $\frac v{10}$ en vermenigvuldigt het kwadraat ervan met $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ . Dubbele snelheid, viervoudige afstand — het schaalgedrag van de kwadraatfunctie.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ geeft $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ , dus $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/u. De vierkantswortel gaf het antwoord; de aflezing is ondubbelzinnig omdat snelheden positief zijn en de kwadraatfunctie op $\intco{0}{+\infty}$ strikt klimt (Propositie 4.8: één positief origineel).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, terwijl $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: dezelfde $+1$ km/u kost bij hoge snelheid drie keer meer afstand. De parabool stijgt niet alleen, ze wordt steiler — haar klimtempo groeit met $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. In de stad weegt de affiene term (de reactie) het zwaarst; op de snelweg verplettert de kwadratische term hem — affien groeit gestaag, kwadraten lopen weg.

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ .

7. De omgekeerde functie daalt: hoe verder van het draaipunt, hoe kleiner de nodige kracht — met een lange genoeg hefboomarm ( $d$ enorm) houdt elke kracht, hoe klein ook, elke last in evenwicht: de grootspraak van Archimedes leeft in de staart van de hyperbool, die $0$ nadert zonder het te bereiken. En $d = 0$ is de verboden waarde: geen arm, geen hefboom — de verticale asymptoot.

8. $\frac{100}{4} = 25$ op $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ op $3$ m, $1$ op $10$ m. Op afstand $d$ heeft het licht zich verspreid over een bol met oppervlakte $4\pi d^2$ (de weekendopgave over de grafsteen van Archimedes in het onderbouwvolume): dezelfde energie gedeeld door een oppervlakte die als $d^2$ groeit — vandaar het omgekeerde kwadraat.

9. $60$ , $30$ , $20$ euro per hoofd voor $n = 10, 20, 30$ . Uit $\frac{600}{n} \leq 25$ volgt $n \geq 24$ deelnemers. De hyperbool belooft almaar goedkopere aandelen naarmate $n$ groeit — en weigert ooit $0$ te bereiken: de bus wordt nooit gratis.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : dalend op $\intoo{0}{+\infty}$ (de verschoven omgekeerde functie), naderend tot de asymptoot $y = 2$ . Economisch: de vaste $3$ euro over meer affiches spreiden duwt de kostprijs per stuk omlaag naar de onsamendrukbare $2$ euro materiaal — schaalvoordeel, met een harde ondergrens.

11. Aarde: $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ . Mars: $1.52^3 \approx 3.51$ en $1.88^2 \approx 3.53$ . Jupiter: $5.20^3 \approx 140.6$ en $11.86^2 \approx 140.7$ . Wat Kepler opmerkte: $T^2 = a^3$ voor elke planeet — één wet voor de hele hemel.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : voor Saturnus $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ jaar, tegenover de waargenomen $29.4$ : de wet klopt op een tiende na.

13. Planetoïde: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ jaar. Komeet: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , dus $a = 9$ AE.

14. Het kwadraat ( $T^2$ ), de derde macht ( $a^3$ ) en de vierkantswortel (om $T$ vrij te maken). Schaalregel: $a$ met $4$ vermenigvuldigen vermenigvuldigt $T$ met $4\sqrt4 = 8$ — zoals de planetoïde bevestigt ( $a$ vier keer die van de Aarde, $T$ acht keer).

15. Een tabel met getallen, gelegd naast de vormen van een paar referentiefuncties, leverde een wet van het heelal op, zeventig jaar voordat iemand wist waarom ze gold — de functie herkennen is de helft van de wetenschap.

16. Op $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; op $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Controles: in $x = 0.25$ is $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; in $x = 4$ is $2 < 4 < 16$ .

17. Voor $x \geq 0$ zijn beide leden $\geq 0$ , dus $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. In $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . In $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : de volgorde keert om. Snijpunten van $x^2$ en $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ : in $x = 0$ en $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ geeft $t^2 = 10\sqrt t$ ; kwadrateren geeft $t^4 = 100t$ , dus $t^3 = 100$ en $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ jaar — ongeveer $4$ jaar en $8$ maanden. (Beide plannen keren dan ongeveer $215$ euro uit.) Moraal: wortels spurten vroeg, machten winnen elke marathon.

20. Remmen: het steiler worden van de parabool is het gevaar van snelheid. Hefboom: de verticale asymptoot in $0$ en de lange staart zijn het voordeel van de mecanicien. Lamp: de $d^2$ van de uitdijende bol bepaalt het uitdoven. Kepler: de exponent $\frac32$ is het tempo van het zonnestelsel. Plan A: het afvlakken van de wortel is het lot van de trage spaarder. Vijf grafieken, vijf wetten: het alfabet van de natuur, inderdaad.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Affiene functie

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst