Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

8Beschrijvende statistiek

De statistiek vat een grote verzameling getallen — punten, lonen, temperaturen — samen in enkele goed gekozen kengetallen. Dit hoofdstuk voert de twee families kengetallen in: die welke het midden van de gegevens aanwijzen (gemiddelde, mediaan) en die welke hun spreiding meten (variatiebreedte, kwartielen). Een diepere behandeling, met de standaardafwijking, volgt in Hoofdstuk 17.

8.1 Gegevens en frequenties

Definitie 8.1 (Statistische reeks)

Een statistische reeks is een lijst waarden $x_1, x_2, \dots, x_N$ die op een populatie van omvang $N$ waargenomen zijn. Komt een waarde $x$ $n$ keer voor, dan is $n$ haar aantal en is het quotiënt

f = \frac{n}{N}

haar frequentie (vaak als percentage uitgedrukt). De frequenties van alle waarden tellen op tot $1$ .

Voorbeeld 8.2

De punten van $20$ leerlingen op een toets van $5$ punten:

punten $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
aantal $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
frequentie $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Controle: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ , en de frequenties tellen op tot $1$ .

Het staafdiagram van de toetspunten: één staaf per waarde, met een hoogte gelijk aan het aantal.

8.2 Kengetallen van het midden

Definitie 8.3 (Gemiddelde)

Het gemiddelde van de reeks is

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Komen de waarden $v_1, \dots, v_k$ voor met aantallen $n_1, \dots, n_k$ , dan bereken je hetzelfde getal als het gewogen gemiddelde

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Voorbeeld 8.4

Voor de toets van Voorbeeld 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Definitie 8.5 (Mediaan)

De mediaan is een waarde die de gesorteerde reeks in twee helften splitst: minstens de helft van de waarden is $\leq$ de mediaan, en minstens de helft is $\geq$ de mediaan. In de praktijk sorteer je de $N$ waarden;

is $N$ oneven, dan is de mediaan de middelste waarde, op plaats $\frac{N+1}{2}$ ;
is $N$ even, neem dan het midden van de twee middelste waarden, op de plaatsen $\frac N2$ en $\frac N2 + 1$ .

Voorbeeld 8.6

Een gesorteerde reeks van $7$ huizenprijzen (in duizenden): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . De mediaan is de $4$ de waarde, $180$ . Het gemiddelde is $\frac{1960}{7} = 280$ — groter dan $6$ van de $7$ prijzen! Eén extreme waarde ( $900$ ) trekt het gemiddelde veel harder mee dan de mediaan: de mediaan is robuust, het gemiddelde niet.

8.3 Kengetallen van de spreiding

Definitie 8.7 (Variatiebreedte, kwartielen)

Voor een gesorteerde reeks:

de variatiebreedte is het verschil tussen de grootste en de kleinste waarde;
het eerste kwartiel $Q_1$ is de kleinste waarde waarvoor minstens een kwart ( $25\%$ ) van de waarden $\leq Q_1$ is; het derde kwartiel $Q_3$ is de kleinste waarde waarvoor minstens drie kwart ( $75\%$ ) van de waarden $\leq Q_3$ is;
de interkwartielafstand $Q_3 - Q_1$ meet de spreiding van de middelste helft van de gegevens.

Methode 8.8 (De kwartielen bepalen)

Voor een reeks van $N$ gesorteerde waarden:

bereken $\frac N4$ ; is dat geen geheel getal, rond dan naar boven af tot het volgende gehele getal; $Q_1$ is de waarde op die plaats;
bereken $\frac{3N}{4}$ ; rond zo nodig naar boven af; $Q_3$ is de waarde op die plaats.

Voorbeeld 8.9

Neem de $11$ gesorteerde waarden

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Mediaan: plaats $\frac{11+1}{2} = 6$ , dus de mediaan is $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , naar boven $3$ ; de $3$ de waarde is $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , naar boven $9$ ; de $9$ de waarde is $9$ . Variatiebreedte: $12 - 2 = 10$ ; interkwartielafstand: $9 - 5 = 4$ .

De boxplot van : de doos beslaat het interkwartielinterval [Q_1, Q_3] en bevat de middelste helft van de gegevens; de snorharen reiken tot de extreme waarden. — De boxplot van Voorbeeld 8.9: de doos beslaat het interkwartielinterval $\intcc{Q_1}{Q_3}$ en bevat de middelste helft van de gegevens; de snorharen reiken tot de extreme waarden.

Voorbeeld 8.10 (Twee groepen vergelijken)

Twee klassen maken dezelfde toets (punten op $20$ ):

	mediaan	$Q_1$	$Q_3$
klas A	$12$	$10$	$14$
klas B	$12$	$6$	$17$

Dezelfde mediaan, heel verschillende spreiding: klas A is homogeen (de helft van haar punten ligt in $\intcc{10}{14}$ ), klas B is heterogeen (haar middelste helft loopt over $\intcc{6}{17}$ ). Kengetallen van het midden vertellen alleen nooit het hele verhaal.

Opmerking 8.11

Noch het gemiddelde noch de mediaan is “beter”: het gemiddelde gebruikt elke waarde (en is nodig om totalen te berekenen), de mediaan weerstaat extreme waarden. Een ernstige samenvatting van een reeks geeft minstens één kengetal van het midden en één van de spreiding.

8.4 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Hier staan de aantallen boeken die $15$ leerlingen in een jaar lazen:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Bereken het gemiddelde, de mediaan en de variatiebreedte van deze reeks.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

Som: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , dus is het gemiddelde $\frac{60}{15} = 4$ . De reeks staat al gesorteerd en $N = 15$ is oneven: de mediaan is de $8$ ste waarde, $3$ . Variatiebreedte: $12 - 0 = 12$ .

Oefening 8.2 ★

Er werd $50$ keer met een dobbelsteen gegooid:

uitkomst	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
aantal	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Bereken de frequentie van elke uitkomst en de gemiddelde uitkomst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

Frequenties: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (som $1$ ). Gemiddelde uitkomst:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Oefening 8.3 ★

Bepaal de mediaan, $Q_1$ en $Q_3$ van de gesorteerde reeks

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

en teken de bijhorende boxplot.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$N = 12$ (even): de mediaan is het midden van de $6$ de en de $7$ de waarde, allebei gelijk aan $6$ : mediaan $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , dus is $Q_1$ de $3$ de waarde: $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , dus is $Q_3$ de $9$ de waarde: $8$ .

Boxplot: doos van $4$ tot $8$ met de medianenstreep in $6$ , snorharen van $1$ tot $11$ .

Oefening 8.4 ★

Het gemiddelde van $24$ toetsresultaten is $11.5$ . Een $25$ ste leerling maakt de toets en haalt $19$ . Wat is het nieuwe klasgemiddelde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

De $24$ resultaten tellen op tot $24 \times 11.5 = 276$ . Met het nieuwe resultaat is het totaal $276 + 19 = 295$ voor $25$ leerlingen: het nieuwe gemiddelde is $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Oefening 8.5 ★★

Een leerling heeft na $5$ toetsen, alle even zwaar, een gemiddelde van $12$ . Welk resultaat op de $6$ de toets zou het gemiddelde naar $13$ tillen? Is een gemiddelde van $14$ haalbaar (de punten staan op $20$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

Huidig totaal: $5 \times 12 = 60$ . Een gemiddelde van $13$ over $6$ toetsen vraagt een totaal van $78$ , dus moet het $6$ de resultaat $78 - 60 = 18$ zijn. Een gemiddelde van $14$ zou $84 - 60 = 24 > 20$ vragen: niet haalbaar.

Oefening 8.6 ★★

Verzin een reeks van $7$ niet-negatieve waarden met mediaan $10$ en een gemiddelde groter dan $20$ ; en daarna een met mediaan $10$ en een gemiddelde kleiner dan $6$ . Waarom kan het gemiddelde van zo’n reeks nooit kleiner zijn dan $\frac{40}{7}$ ? Wat tonen deze voorbeelden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Gemiddelde groter dan $20$ : bijvoorbeeld $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — mediaan $10$ (de $4$ de gesorteerde waarde), gemiddelde $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Gemiddelde kleiner dan $6$ : bijvoorbeeld $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — mediaan $10$ , gemiddelde $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

Het gemiddelde kan niet onder $\frac{40}{7}$ zakken: opdat de mediaan (de $4$ de gesorteerde waarde) $10$ zou zijn, moeten de waarden op de plaatsen $4$ tot $7$ alle $\geq 10$ zijn, zodat het totaal minstens $40$ is en het gemiddelde minstens $\frac{40}{7}$ — het tweede voorbeeld is extremaal.

Deze voorbeelden tonen dat het gemiddelde en de mediaan grotendeels onafhankelijk zijn: de ene kennen zegt weinig over de andere, en daarom meldt een goede samenvatting beide.

Oefening 8.7 ★★

In een bedrijf verdienen de $9$ werknemers elk $1800$ per maand en de directeur $12000$ .

Bereken het gemiddelde en het mediane loon.
Welk kengetal beschrijft hier het best een “typisch” loon? Waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

1. Gemiddelde: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Mediaan: gesorteerd zijn de $10$ lonen negen keer $1800$ en dan $12000$ ; de mediaan is het midden van de $5$ de en de $6$ de waarde, allebei $1800$ : mediaan $1800$ .

2. De mediaan ( $1800$ ) beschrijft het typische loon: dat is wat $9$ werknemers op $10$ werkelijk verdienen. Het gemiddelde ( $2820$ ) wordt door het ene hoge loon omhooggetrokken en staat op niemands loonbrief.

Oefening 8.8 ★★

Een klas met $12$ jongens heeft een gemiddelde lengte van $168$ cm; de $18$ meisjes van dezelfde klas hebben een gemiddelde lengte van $163$ cm. Bereken de gemiddelde lengte van de hele klas. (Let op: dat is niet het midden van $168$ en $163$ — weeg de gemiddelden met de groepsgroottes.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Totale lengte: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm voor $30$ leerlingen, dus is het gemiddelde $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Het ligt dichter bij het gemiddelde van de meisjes, omdat zij talrijker zijn (gewogen gemiddelde, met gewichten $12$ en $18$ ).

Oefening 8.9 ★★★

Een reeks van $N$ waarden $x_1, \dots, x_N$ heeft gemiddelde $\bar x$ . Elke waarde wordt omgezet in $y_i = a x_i + b$ voor vaste getallen $a$ en $b$ .

Toon aan dat het gemiddelde van de nieuwe reeks $a \bar x + b$ is.
De temperaturen van een week hebben, in graden Celsius, gemiddelde $20$ . Wat is hun gemiddelde in graden Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

1. Het nieuwe gemiddelde is

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Met $a = 1.8$ en $b = 32$ : gemiddelde $1.8 \times 20 + 32 = 68$ graden Fahrenheit.

8.5 Opgave: de gemiddelde mens bestaat niet

Probleem 8.1

Weekendopgave — gemiddelde tegen mediaan: uitschieters, puntenaanpassingen, het magazijn langs de weg, en de cockpit die voor niemand ontworpen was

In 1950 mat de Amerikaanse luchtmacht $4\,000$ piloten op tien lichaamsmaten en bouwde ze de cockpit voor de gemiddelde man. Hij paste — zoals een luitenant al tellend ontdekte — vrijwel niemand. De statistiek vat menigten samen in enkele getallen, en elke samenvatting vertelt de waarheid over het ene en liegt over het andere. Deze opgave daagt het gemiddelde en de mediaan (Definitie 8.3, Definitie 8.5) voor de rechtbank, laat elk tonen waar het het best in is, en sluit de zaak van de cockpit.

Deel I — Twee samenvattingen voor de rechter.

In een straat worden zeven huizen verkocht, in duizenden euro’s: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — en één landhuis van $1\,200$ . Bereken de gemiddelde en de mediane prijs. Welk getal beschrijft “een huis in deze straat”?
Haal het landhuis weg en bereken beide opnieuw. Hoeveel schoof elke samenvatting op? Formuleer de moraal over uitschieters.
Een volkstellingstabel: van $100$ gezinnen hebben er $20$ geen kind, $25$ één, $30$ twee, $15$ drie en $10$ vier. Bereken het gemiddelde aantal kinderen. Geen enkel gezin “heeft $1.7$ kinderen” — welke werkelijke grootheid legt het gemiddelde dan vast? (Vermenigvuldig het met $100$ .)
Zoek voor de vijftien punten $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ de mediaan en de kwartielen $Q_1$ , $Q_3$ (Methode 8.8).
Geef voor dezelfde reeks de variatiebreedte en de interkwartielafstand. Wat meet elk van beide?

Deel II — Punten aanpassen en klassen samenvoegen.

Uit Oefening 8.9: elke waarde met $+b$ verschuiven verschuift gemiddelde, mediaan en kwartielen met $+b$ ; met $a$ schalen schaalt ze met $a$ . Wat gebeurt er met de variatiebreedte en de interkwartielafstand bij een verschuiving? En bij een schaling? Verantwoord.
Een toets heeft gemiddelde $9$ (op $20$ ) en de leerkracht wil gemiddelde $12$ . Er worden twee aanpassingen voorgesteld: iedereen $3$ punten erbij, of elk resultaat met $\frac43$ vermenigvuldigen. Bereken het lot van een leerling met $6$ en van een met $18$ onder elke aanpassing. Welke aanpassing begunstigt wie — en welke stoot haar hoofd tegen het plafond?
Klas A ( $20$ leerlingen) heeft gemiddelde $12$ ; klas B ( $30$ leerlingen) heeft gemiddelde $10$ . Bereken het gemiddelde van de $50$ leerlingen samen, en leg uit waarom het geen $11$ is (de les over gewogen gemiddelden uit de weekendopgave over het harmonisch gemiddelde in het onderbouwvolume, nu in de klas).
Toon aan dat medianen dit spel weigeren: bereken de medianen van $A = \{1, 2, 3\}$ en $B = \{0, 10\}$ , daarna de mediaan van de samengevoegde lijst, en vergelijk met het naar omvang gewogen gemiddelde van de twee medianen.
Kunstschaatsen: vijf juryleden geven $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Bereken het gemiddelde, de mediaan en het getrimde gemiddelde (laat de laagste en de hoogste vallen en middel de rest). Waarom trimmen de meeste beoordeelde sporten?

Deel III — Verdelingen lezen.

Twee fabrieken maken allebei bouten met een gemiddelde lengte van $50$ mm. Fabriek A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fabriek B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Je hebt onderling verwisselbare bouten nodig: welke fabriek, en welk kengetal besliste?
In een kliniek is de mediane wachttijd $10$ minuten, maar de gemiddelde wachttijd $25$ . Welke vorm van de gegevens verraadt dat paar? Maak een reeks van vijf waarden met precies deze mediaan en dit gemiddelde.
“Je baby zit op het 75ste percentiel voor lengte” — wat betekent die zin? En kan elk kind van een stad “boven het gemiddelde” zijn? Boven de mediaan? Leg het verschil uit.
Klas A: min $4$ , $Q_1\,8$ , mediaan $11$ , $Q_3\,13$ , max $17$ . Klas B: min $2$ , $Q_1\,9$ , mediaan $11$ , $Q_3\,12$ , max $19$ . Vergelijk: typisch punt, homogeniteit van de middelste helft, wildheid van de uitersten.
Het lijstje van de journalist: een kop zegt “gemiddeld loon bij TechCorp: $5\,000$ euro”. Noem de drie vragen die deze opgave je geleerd heeft te stellen voordat je gelooft dat de kop iets zegt over een typische werknemer.

Deel IV — De zaak van de cockpit.

Maak je eigen bewijsstuk: verzin vijf huizenprijzen met gemiddelde $300$ en mediaan $200$ (in duizenden euro’s).
Het gemiddelde is het evenwichtspunt: bewijs uit de definitie dat de afwijkingen van het gemiddelde elkaar altijd opheffen, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , en ga het na op je reeks uit vraag 16.
De mediaan bespaart boodschappen: langs een weg staan winkels op kilometer $1$ , $3$ , $4$ , $9$ en $13$ , en een magazijn moet de totale afstand tot de vijf winkels zo klein mogelijk maken. Bereken die totale afstand voor een magazijn op de mediaan ( $4$ ), op het gemiddelde ( $6$ ) en op $5$ . Wie wint? (Dit geldt algemeen: de mediaan maakt de totale absolute afstand minimaal — toets gerust een andere plek.)
De cockpit, opgelost: stel dat een piloot $30\,\%$ kans heeft om op één lichaamsmaat “dicht bij het gemiddelde” te zitten, onafhankelijk over $10$ maten. Schat de kans om op alle tien dicht bij het gemiddelde te zitten — en breng het resultaat in overeenstemming met wat de luitenant bij $4\,000$ piloten vond. Wat bouwde de luchtmacht in plaats van de gemiddelde cockpit?
Slotstuk — de handleiding, telkens één regel: gaat het om totalen (een begroting, een oogst), gebruik dan het …; gaat het om het typische individu (lonen, wachttijden), gebruik dan de …; gaat het om eerlijkheid van de spreiding, meld dan de …; dreigt er besmetting, gebruik dan het …. Sluit de zaak met de titel van deze opgave.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. Gemiddelde: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ duizend euro; mediaan: de vierde van de zeven gerangschikte prijzen, $230$ . De mediaan beschrijft de straat — zes van de zeven huizen kosten lang geen $364$ .

2. Zonder het landhuis: gemiddelde $\frac{1\,350}{6} = 225$ , mediaan $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . Het gemiddelde zakte met ongeveer $139$ ; de mediaan met $5$ . Eén extreme waarde kan het gemiddelde overal heen sleuren; de mediaan merkt het nauwelijks — ze is robuust.

3. Gemiddelde $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . Geen enkel gezin heeft $1.7$ kinderen, maar $1.7 \times 100 = 170$ is het exacte totale aantal kinderen: het gemiddelde legt het totaal vast, gelijk herverdeeld — zijn ware talent.

4. $N = 15$ : mediaan $=$ 8ste waarde $= 11$ ; $Q_1 =$ 4de waarde $= 8$ ; $Q_3 =$ 12de waarde $= 14$ .

5. Variatiebreedte $19 - 4 = 15$ : de volledige spreiding, uitersten inbegrepen. Interkwartielafstand $14 - 8 = 6$ : de breedte van de middelste helft — spreiding zonder de ruis van de uitersten.

6. Een verschuiving met $+b$ verplaatst elke waarde, dus blijven verschillen van waarden — variatiebreedte en interkwartielafstand — onveranderd: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . Een schaling met $a$ vermenigvuldigt alle verschillen met $a$ : variatiebreedte en interkwartielafstand worden met $\abs a$ geschaald.

7. Optellende aanpassing: $6 \to 9$ en $18 \to 21$ — de zwakke leerling wint $50\,\%$ , de sterke $17\,\%$ , en $21$ doet de schaal op $20$ maar net barsten. Vermenigvuldigende aanpassing: $6 \to 8$ en $18 \to 24$ — de verhoudingen blijven, maar $24$ kan niet op een schaal van $20$ : het plafondprobleem. Optellende aanpassingen vleien de onderkant; vermenigvuldigende laten de bovenkant ontploffen.

8. Totaal aantal punten: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , dus is het samengevoegde gemiddelde $\frac{540}{50} = 10.8$ : de dertig leerlingen van klas B wegen zwaarder dan de twintig van klas A — gemiddelden voeg je gewogen samen, nooit met een gewoon gemiddelde.

9. Mediaan van $A$ : $2$ ; van $B$ : $5$ . Samengevoegde lijst $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : mediaan $2$ . Het naar omvang gewogen gemiddelde van de medianen zou $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ zijn: medianen dragen geen totaal, dus bestaat er geen formule om ze samen te voegen — je moet de hele lijst opnieuw sorteren.

10. Gemiddelde: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . Mediaan: $5.4$ . Getrimd gemiddelde: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . Eén geestdriftig (of omgekocht) jurylid verschoof het gemiddelde met bijna een punt; de mediaan en het getrimde gemiddelde haalden hun schouders op — vandaar de trimregels in beoordeelde sporten.

11. Fabriek A: middelste helft binnen $0.2$ mm; fabriek B: binnen $4$ mm. Hetzelfde gemiddelde, tegengestelde betrouwbaarheid: koop bij A. De interkwartielafstand besliste — gemiddelden alleen vergelijken middens, nooit regelmaat.

12. Een mediaan ver onder het gemiddelde verraadt een lange rechterstaart: de meeste wachttijden kort, enkele rampzalig. Voorbeeld: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — mediaan $10$ , gemiddelde $\frac{125}{5} = 25$ .

13. Het betekent dat $75\,\%$ van de baby’s van die leeftijd korter is (en $25\,\%$ langer): een rangorde, geen maat. “Elk kind boven het gemiddelde” is onmogelijk — overtroffen alle waarden het gemiddelde, dan zou hun gemiddelde het gemiddelde overtreffen, en dat is het zelf: tegenspraak. Maar bijna alle kan: één heel klein kind kan het gemiddelde onder alle andere houden. Boven de mediaan: nooit meer dan de helft, per definitie. Rangordes laten zich niet vleien, gemiddelden wel.

14. Typisch punt: gelijk, mediaan $11$ voor allebei. Homogeniteit van het midden: B strakker (interkwartielafstand $3$ tegen $5$ ). Uitersten: B wilder (variatiebreedte $17$ tegen $13$ ). B is een klas van gelijkaardige leerlingen plus enkele uitschieters; A is gelijkmatig gespreid.

15. (1) Is $5\,000$ het gemiddelde of de mediaan — en mag ik de mediaan? (2) Wat is de spreiding (kwartielen), zodat ik weet hoe typisch “typisch” is? (3) Wie werd geteld — steekproefgrootte en selectie (de les over enquêtes uit de weekendopgave over hoe gegevens liegen in het onderbouwvolume)?

16. Bijvoorbeeld $100, 150, 200, 250, 800$ : mediaan $200$ , gemiddelde $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . Controle: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . Het gemiddelde is het punt waar de afwijkingen elkaar in evenwicht houden — het zwaartepunt van de gegevens (de $G$ uit de weekendopgave over het zwaartepunt in het onderbouwvolume, in één dimensie).

18. Op de mediaan $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. Op het gemiddelde $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. Op $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. De mediaan wint — je ervan verwijderen passeert altijd meer winkels dan het er nadert, zodat het totaal alleen maar kan groeien.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : ongeveer zes piloten per miljoen. Bij $4\,000$ piloten is het verwachte aantal $0.02$ — nul, zoals luitenant Daniels vaststelde. De luchtmacht stopte met ontwerpen voor de gemiddelde man en maakte alles regelbaar: stoelen, pedalen, riemen — ontwerp voor de spreiding, niet voor het midden.

20. Totalen: het gemiddelde. Typisch individu: de mediaan. Eerlijkheid van de spreiding: de kwartielen (en de interkwartielafstand). Besmetting: het getrimde gemiddelde. En de slotregel: de gemiddelde mens bestaat niet — maar de mediane mens bijna wel.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst