Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

8Beschrijvende statistiek

Statistiek vat een grote verzameling getallen — cijfers, salarissen, temperaturen — samen met een paar goed gekozen indicatoren. Dit hoofdstuk introduceert de twee families van indicatoren: die de centrum van de data lokaliseren (gemiddelde, mediaan) en die de spreiding meten (variatiebreedte, kwartielen). Een diepere behandeling, inclusief de standaardafwijking, komt in Hoofdstuk 17.

8.1 Data en frequenties

Definitie 8.1 (Statistische reeks)

Een statistische reeks is een lijst van waarden $x_1, x_2, \dots, x_N$ waargenomen op een populatie van grootte $N$ . Wanneer een waarde $x$ $n$ keer voorkomt, is $n$ haar aantal en het quotiënt

f = \frac{n}{N}

haar frequentie (vaak uitgedrukt als percentage). De frequenties van alle waarden tellen op tot $1$ .

Voorbeeld 8.2

De cijfers van $20$ leerlingen op een quiz van $5$ punten:

cijfer $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
aantal $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
frequentie $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Controle: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ en de frequenties sommen tot $1$ .

Het staafdiagram van de quizcijfers: één staaf per waarde, met hoogte gelijk aan het aantal.

8.2 Centrummaten

Definitie 8.3 (Gemiddelde)

Het gemiddelde van de reeks is

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Als de waarden $v_1, \dots, v_k$ voorkomen met aantallen $n_1, \dots, n_k$ , wordt hetzelfde getal berekend als het gewogen gemiddelde

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Voorbeeld 8.4

Voor de quiz van Voorbeeld 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Definitie 8.5 (Mediaan)

De mediaan is een waarde die de gesorteerde reeks in twee helften deelt: minstens de helft van de waarden is $\leq$ de mediaan, en minstens de helft is $\geq$ haar. In de praktijk, sorteer de $N$ waarden;

als $N$ oneven is, is de mediaan de middelste waarde, in positie $\frac{N+1}{2}$ ;
als $N$ even is, neem het midden van de twee middelste waarden, in posities $\frac N2$ en $\frac N2 + 1$ .

Voorbeeld 8.6

Gesorteerde reeks van $7$ huizenprijzen (in duizenden): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . De mediaan is de $4$ de waarde, $180$ . Het gemiddelde is $\frac{1960}{7} = 280$ — groter dan $6$ van de $7$ prijzen! Eén extreme waarde ( $900$ ) trekt het gemiddelde veel sterker op dan de mediaan: de mediaan is robuust, het gemiddelde niet.

8.3 Spreidingsmaten

Definitie 8.7 (Variatiebreedte, kwartielen)

Voor een gesorteerde reeks:

de variatiebreedte is het verschil tussen de grootste en de kleinste waarde;
het eerste kwartiel $Q_1$ is de kleinste waarde zodat minstens een kwart ( $25\%$ ) van de waarden $\leq Q_1$ is; het derde kwartiel $Q_3$ is de kleinste waarde zodat minstens drie kwart ( $75\%$ ) van de waarden $\leq Q_3$ is;
de interkwartielafstand $Q_3 - Q_1$ meet de spreiding van de centrale helft van de data.

Methode 8.8 (De kwartielen vinden)

Voor een reeks van $N$ gesorteerde waarden:

bereken $\frac N4$ ; als het geen geheel getal is, rond omhoog af naar het volgende geheel getal; $Q_1$ is de waarde in die positie;
bereken $\frac{3N}{4}$ ; rond omhoog af indien nodig; $Q_3$ is de waarde in die positie.

Voorbeeld 8.9

Neem de $11$ gesorteerde waarden

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Mediaan: positie $\frac{11+1}{2} = 6$ , dus de mediaan is $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , omhoog afronden naar $3$ ; de $3$ de waarde is $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , omhoog afronden naar $9$ ; de $9$ de waarde is $9$ . Variatiebreedte: $12 - 2 = 10$ ; interkwartielafstand: $9 - 5 = 4$ .

De boxplot van : de doos overspant het interkwartielinterval [Q_1, Q_3] en bevat de centrale helft van de data; de snorharen reiken tot de extreme waarden. — De boxplot van Voorbeeld 8.9: de doos overspant het interkwartielinterval $\intcc{Q_1}{Q_3}$ en bevat de centrale helft van de data; de snorharen reiken tot de extreme waarden.

Voorbeeld 8.10 (Twee groepen vergelijken)

Twee klassen maken dezelfde toets (scores op $20$ ):

	mediaan	$Q_1$	$Q_3$
klas A	$12$	$10$	$14$
klas B	$12$	$6$	$17$

Zelfde mediaan, zeer verschillende spreidingen: klas A is homogeen (half haar scores in $\intcc{10}{14}$ ), klas B is heterogeen (haar centrale helft overspant $\intcc{6}{17}$ ). Alleen centrummaten vertellen nooit het hele verhaal.

Opmerking 8.11

Noch het gemiddelde noch de mediaan is “beter”: het gemiddelde gebruikt elke waarde (en is nodig om totalen te berekenen), de mediaan weerstaan extreme waarden. Een serieuze samenvatting van een reeks geeft minstens één centrummaat en één spreidingsmaat.

8.4 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Hier zijn de aantallen boeken die $15$ leerlingen in een jaar lazen:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Bereken het gemiddelde, de mediaan en de variatiebreedte van deze reeks.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

Som: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , dus het gemiddelde is $\frac{60}{15} = 4$ . De reeks is al gesorteerd en $N = 15$ is oneven: de mediaan is de $8$ ste waarde, $3$ . Variatiebreedte: $12 - 0 = 12$ .

Oefening 8.2 ★

Een dobbelsteen werd $50$ keer gegooid:

uitkomst	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
aantal	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Bereken de frequentie van elke uitkomst en de gemiddelde uitkomst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

Frequenties: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (som $1$ ). Gemiddelde uitkomst:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Oefening 8.3 ★

Vind de mediaan, $Q_1$ en $Q_3$ van de gesorteerde reeks

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

en teken de bijbehorende boxplot.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$N = 12$ (even): de mediaan is het midden van de $6$ de en $7$ de waarden, beide gelijk aan $6$ : mediaan $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , dus $Q_1$ is de $3$ de waarde: $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , dus $Q_3$ is de $9$ de waarde: $8$ .

Boxplot: doos van $4$ tot $8$ met de mediaanstreep bij $6$ , snorharen van $1$ tot $11$ .

Oefening 8.4 ★

Het gemiddelde van $24$ toetscijfers is $11.5$ . Een $25$ ste leerling maakt de toets en scoort $19$ . Wat is het nieuwe gemiddelde van de klas?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

De $24$ scores totaliseren $24 \times 11.5 = 276$ . Met het nieuwe cijfer is het totaal $276 + 19 = 295$ voor $25$ leerlingen: nieuw gemiddelde $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Oefening 8.5 ★★

Een leerling heeft een gemiddelde van $12$ na $5$ toetsen, allemaal met hetzelfde gewicht. Welk cijfer op de $6$ de toets zou het gemiddelde verhogen tot $13$ ? Is een gemiddelde van $14$ bereikbaar (cijfers op $20$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

Huidig totaal: $5 \times 12 = 60$ . Een gemiddelde van $13$ over $6$ toetsen eist een totaal van $78$ , dus het $6$ de cijfer moet $78 - 60 = 18$ zijn. Een gemiddelde van $14$ zou $84 - 60 = 24 > 20$ eisen: niet bereikbaar.

Oefening 8.6 ★★

Verzin een reeks van $7$ niet-negatieve waarden waarvan de mediaan $10$ is en waarvan het gemiddelde groter is dan $20$ ; daarna één waarvan de mediaan $10$ is en het gemiddelde kleiner dan $6$ . Waarom kan het gemiddelde van zo’n reeks nooit kleiner zijn dan $\frac{40}{7}$ ? Wat tonen deze voorbeelden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Gemiddelde groter dan $20$ : bijvoorbeeld $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — mediaan $10$ (de $4$ de gesorteerde waarde), gemiddelde $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Gemiddelde kleiner dan $6$ : bijvoorbeeld $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — mediaan $10$ , gemiddelde $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

Het gemiddelde kan niet onder $\frac{40}{7}$ gaan: opdat de mediaan (de $4$ de gesorteerde waarde) $10$ is, moeten de waarden in posities $4$ tot $7$ alle $\geq 10$ zijn, dus het totaal is minstens $40$ en het gemiddelde minstens $\frac{40}{7}$ — het tweede voorbeeld is extremaal.

Deze voorbeelden tonen dat gemiddelde en mediaan grotendeels onafhankelijk zijn: de ene kennen zegt weinig over de andere, daarom rapporteert een goede samenvatting beide.

Oefening 8.7 ★★

In een bedrijf verdienen de $9$ werknemers elk $1800$ per maand en de directeur verdient $12000$ .

Bereken het gemiddelde en de mediane salaris.
Welke indicator beschrijft hier het best een “typisch” salaris? Waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

1. Gemiddelde: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Mediaan: gesorteerd zijn de $10$ salarissen negen waarden $1800$ dan $12000$ ; de mediaan is het midden van de $5$ de en $6$ de waarden, beide $1800$ : mediaan $1800$ .

2. De mediaan ( $1800$ ) beschrijft het typische salaris: het is wat $9$ van de $10$ werknemers daadwerkelijk verdienen. Het gemiddelde ( $2820$ ) wordt omhooggetrokken door het ene hoge salaris en komt met niemands loonstrook overeen.

Oefening 8.8 ★★

Een klas van $12$ jongens heeft een gemiddelde lengte van $168$ cm; de $18$ meisjes van dezelfde klas hebben een gemiddelde lengte van $163$ cm. Bereken de gemiddelde lengte van de hele klas. (Let op: het is niet het midden van $168$ en $163$ — weeg de gemiddelden met de groepsgroottes.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Totale lengte: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm voor $30$ leerlingen, dus het gemiddelde is $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Het ligt dichter bij het meisjesgemiddelde omdat zij talrijker zijn (gewogen gemiddelde, gewichten $12$ en $18$ ).

Oefening 8.9 ★★★

Een reeks van $N$ waarden $x_1, \dots, x_N$ heeft gemiddelde $\bar x$ . Elke waarde wordt getransformeerd tot $y_i = a x_i + b$ voor vaste getallen $a$ en $b$ .

Toon aan dat het gemiddelde van de nieuwe reeks $a \bar x + b$ is.
De temperaturen van een week, in graden Celsius, hebben gemiddelde $20$ . Wat is hun gemiddelde in graden Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

1. Het nieuwe gemiddelde is

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Met $a = 1.8$ en $b = 32$ : gemiddelde $1.8 \times 20 + 32 = 68$ graden Fahrenheit.