Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

6Vectoren

Een vector codeert een verplaatsing: een richting en een lengte, ongeacht het beginpunt. Vectoren geven schone bewijzen van meetkundige feiten en, zodra coördinaten in beeld komen, herleiden die tot kleine berekeningen. Ze zijn een sleutelinstrument in Hoofdstuk 7 en, later, voor het inwendig product in Hoofdstuk 16.

6.1 Translaties en vectoren

Definitie 6.1 (Vector)

Gegeven twee punten $A$ en $B$ , stelt de vector $\vect{AB}$ de verplaatsing van $A$ naar $B$ voor: hij heeft een richting (de richting van de lijn $(AB)$ , samen met de zin van bewegen, van $A$ naar $B$ ) en een lengte (de afstand $AB$ , ook genoteerd $\norm{\vect{AB}}$ ). Twee vectoren zijn gelijk wanneer ze dezelfde verplaatsing coderen: $\vect{AB} = \vect{CD}$ betekent dat het toepassen van de twee verplaatsingen op enig punt hetzelfde resultaat geeft.

Propositie 6.2 (Gelijke vectoren en parallellogrammen)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ precies wanneer $ABDC$ (in deze volgorde!) een parallellogram is, eventueel afgeplat — equivalent, wanneer $[AD]$ en $[BC]$ hetzelfde midden hebben.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Gelijke vectoren AB = CD:zelfde richting, zelfde zin, zelfde lengte. De vierhoek ABDC is een parallellogram. — Gelijke vectoren $\vect{AB} = \vect{CD}$ :zelfde richting, zelfde zin, zelfde lengte. De vierhoek $ABDC$ is een parallellogram.

Notatie 6.3

Een vector wordt vaak met één letter genoemd, $\vec u$ of $\vec v$ , wanneer de eindpunten er niet toe doen. De nulvector $\vec 0 = \vect{AA}$ is de verplaatsing die niets verplaatst. De tegengestelde van $\vect{AB}$ is $\vect{BA}$ : zelfde lengte, tegengestelde zin. We schrijven $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Vectoren optellen

Definitie 6.4 (Som van twee vectoren)

De som $\vec u + \vec v$ is de verplaatsing die men krijgt door eerst $\vec u$ en dan $\vec v$ uit te voeren.

Stelling 6.5 (Relatie van Chasles)

Voor willekeurige drie punten $A$ , $B$ , $C$ :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Bewijs. Van $A$ naar $B$ gaan, daarna van $B$ naar $C$ , is een verplaatsing die $A$ naar $C$ brengt: het is de verplaatsing gecodeerd door $\vect{AC}$ . ∎

Opmerking 6.6 (Parallellogramregel)

Om twee vectoren vanuit hetzelfde punt op te tellen, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , voltooi het parallellogram $ABDC$ : de som is de diagonaal $\vect{AD}$ . Inderdaad $\vect{AC} = \vect{BD}$ , dus $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ volgens de relatie van Chasles.

Twee beelden van de som: tip-aan-staart (relatie van Chasles, links) en de parallellogramregel (rechts).

Voorbeeld 6.7 (Vereenvoudigen met Chasles)

Vereenvoudig $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : de verplaatsingen aaneenschakelen geeft $\vect{MQ}$ . Vereenvoudig $\vect{AB} - \vect{AC}$ : herschrijf het verschil als som met de tegengestelde vector,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Een vector vermenigvuldigen met een getal

Definitie 6.8 (Scalaïr veelvoud)

Laat $\vec u$ een niet-nul vector zijn en $k$ een reëel getal. De vector $k\vec u$ heeft dezelfde richting als $\vec u$ , lengte $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ , en wijst dezelfde zin als $\vec u$ als $k > 0$ , de tegengestelde zin als $k < 0$ . Voor $k = 0$ is $0\vec u = \vec 0$ .

Definitie 6.9 (Collineariteit)

Twee vectoren $\vec u$ en $\vec v$ zijn collineair wanneer ze dezelfde richting hebben, d.w.z. wanneer $\vec v = k \vec u$ voor een zeker reëel $k$ (of één van hen $\vec 0$ is).

Opmerking 6.10

Collineariteit is de vectorentaal voor evenwijdigheid en collineariteit van punten:

de lijnen $(AB)$ en $(CD)$ zijn evenwijdig precies wanneer $\vect{AB}$ en $\vect{CD}$ collineair zijn;
de punten $A$ , $B$ , $C$ zijn collineair precies wanneer $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ collineair zijn.

6.4 Coördinaten van vectoren

Definitie 6.11 (Coördinaten van een vector)

In een coördinatenstelsel zijn de coördinaten van de vector $\vect{AB}$ de getallen die de verplaatsing beschrijven:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Een vector $\vec u\,(a, b)$ verplaatst elk punt $a$ eenheden horizontaal en $b$ eenheden verticaal.

Propositie 6.12 (Rekenen met coördinaten)

Laat $\vec u\,(a, b)$ en $\vec v\,(c, d)$ , en $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ precies wanneer $a = c$ en $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ heeft coördinaten $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ heeft coördinaten $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (orthonormaal stelsel).

Bewijs. 1–3 herformuleren, coördinaat voor coördinaat, wat de verplaatsingen doen: bijvoorbeeld $\vec u$ dan $\vec v$ uitvoeren verplaatst een punt horizontaal met $a$ dan $c$ , dus in totaal met $a + c$ . Punt 4 is de afstandsformule van Stelling 5.4 toegepast op een lijnstuk dat $\vec u$ voorstelt. ∎

Stelling 6.13 (Collineariteitscriterium)

Twee vectoren $\vec u\,(a, b)$ en $\vec v\,(c, d)$ zijn collineair dan en slechts dan als

ad - bc = 0 .

Bewijs. Als $\vec v = k\vec u$ , dan $c = ka$ en $d = kb$ , dus $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . Hetzelfde geldt als $\vec u = k \vec v$ of als één van de vectoren nul is.

Omgekeerd, stel $ad - bc = 0$ met $\vec u \neq \vec 0$ , zeg $a \neq 0$ (het geval $b \neq 0$ is analoog). Stel $k = \frac{c}{a}$ ; dan $c = ka$ , en $ad = bc = b(ka)$ geeft, na delen door $a \neq 0$ , $d = kb$ . Dus $\vec v = k\vec u$ . ∎

Voorbeeld 6.14

Zijn $\vec u\,(3, -2)$ en $\vec v\,(-6, 4)$ collineair? Bereken $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : ja, en inderdaad $\vec v = -2\vec u$ . Voor $\vec u\,(3, -2)$ en $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : niet collineair.

Methode 6.15 (Collineariteit en evenwijdigheid)

Om te bewijzen dat drie punten $A$ , $B$ , $C$ collineair zijn:

bereken de coördinaten van $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ ;
controleer het criterium $ad - bc = 0$ van Stelling 6.13;
concludeer: de vectoren zijn collineair en delen het punt $A$ , dus de drie punten zijn collineair.

Dezelfde berekening met $\vect{AB}$ en $\vect{CD}$ bewijst dat de lijnen $(AB)$ en $(CD)$ evenwijdig zijn.

Voorbeeld 6.16

Laat $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ en $C(7, 11)$ . Dan $\vect{AB}\,(2, 3)$ en $\vect{AC}\,(6, 9)$ , en $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : de punten zijn collineair (in feite $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Collineaire punten: AC is een scalaïr veelvoud van AB. — Collineaire punten: $\vect{AC}$ is een scalaïr veelvoud van $\vect{AB}$ .

6.5 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Vereenvoudig met de relatie van Chasles:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Oefening 6.2 ★

Laat $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Bereken de coördinaten van $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ , en controleer op de coördinaten dat $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Controle: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coördinaat voor coördinaat.

Oefening 6.3 ★

Laat $\vec u\,(2, -3)$ en $\vec v\,(-1, 4)$ . Geef de coördinaten van $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ , en bereken $\norm{\vec u}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Oefening 6.4 ★

Zeg in elk geval of $\vec u$ en $\vec v$ collineair zijn:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : collineair ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : collineair ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Oefening 6.5 ★

Laat $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Vind de coördinaten van het punt $D$ zodat $ABCD$ een parallellogram is, d.w.z. zodat $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ , en $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . De voorwaarde $\vect{AB} = \vect{DC}$ geeft $6 - x_D = 4$ en $3 - y_D = -2$ , dus $D(2, 5)$ .

Oefening 6.6 ★★

Laat $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Bereken de coördinaten van het punt $M$ zodat $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
Wat is de vierhoek $ABMC$ ? Rechtvaardig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ en $\vect{AC}\,(6, -2)$ , dus $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ en $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Volgens de parallellogramregel betekent $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ dat $ABMC$ een parallellogram is ( $M$ is het vierde hoekpunt tegenover $A$ ). Men kan controleren: $\vect{AB}\,(3,2)$ en $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ zijn gelijk.

Oefening 6.7 ★★

Laat $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Zijn de punten $A$ , $B$ , $C$ collineair? Zelfde vraag voor $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

Eerste drietal: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : collineair ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Tweede drietal: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : eveneens collineair ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Oefening 6.8 ★★

Laat $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Toon aan dat $(AB)$ en $(CD)$ evenwijdig zijn, en daarna dat $ABCD$ een parallellogram is. Welke verificatie impliceert de andere?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ en $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : de twee vectoren zijn gelijk, dus $ABCD$ is een parallellogram, en in het bijzonder $(AB) \parallel (CD)$ . De parallellogrameigenschap is de sterkere: ze impliceert de evenwijdigheid (collineariteit van de vectoren), niet omgekeerd.

Oefening 6.9 ★★

Laat $ABC$ een driehoek zijn, en laat $I$ het punt zijn gedefinieerd door $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Met $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (zodat de berekeningen eenvoudig blijven):

bereken de coördinaten van $I$ ;
laat $J$ zodat $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; bereken de coördinaten van $J$ ;
toon aan dat $(IJ)$ evenwijdig is met $(AC)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , dus $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ en $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , dus $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ en $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ en $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Collineariteitscriterium:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

de vectoren zijn collineair, dus $(IJ)$ is evenwijdig met $(AC)$ . (Zowel $I$ als $J$ liggen op een derde van de weg vanaf de zijde naar $B$ : de kleine driehoek $IBJ$ is een verkleining van $ABC$ .)

Oefening 6.10 ★★★

Laat $ABCD$ een willekeurige vierhoek zijn, en laat $I$ , $J$ , $K$ , $L$ de middens van $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ zijn. Toon met coördinaten $A(x_A, y_A)$ , enz., dat $\vect{IJ} = \vect{LK}$ , en concludeer dat de middens van de zijden van elke vierhoek een parallellogram vormen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

De middens zijn

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Eerste coördinaten van de twee vectoren:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

en dezelfde berekening geldt voor de tweede coördinaten. Dus $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (beide gelijk aan $\frac12\vect{AC}$ ), en $IJKL$ is een parallellogram, ongeacht hoe de vierhoek $ABCD$ eruitziet.