Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

6Vectoren

Een vector legt een verplaatsing vast: een richting en een lengte, los van het beginpunt. Vectoren leveren nette bewijzen van meetkundige feiten en herleiden ze, zodra er coördinaten bij komen, tot kleine berekeningen. Ze worden een sleutelgereedschap in Hoofdstuk 7 en, later, voor het scalair product in Hoofdstuk 16.

6.1 Verschuivingen en vectoren

Definitie 6.1 (Vector)

Bij twee punten $A$ en $B$ stelt de vector $\vect{AB}$ de verplaatsing van $A$ naar $B$ voor: hij heeft een richting (die van de rechte $(AB)$ , samen met de zin waarin je haar doorloopt, van $A$ naar $B$ ) en een lengte (de afstand $AB$ , ook geschreven als $\norm{\vect{AB}}$ ). Twee vectoren zijn gelijk wanneer ze dezelfde verplaatsing vastleggen: $\vect{AB} = \vect{CD}$ betekent dat de twee verplaatsingen op elk punt hetzelfde resultaat geven.

Propositie 6.2 (Gelijke vectoren en parallellogrammen)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ geldt precies wanneer $ABDC$ (in die volgorde!) een parallellogram is, eventueel een platgedrukt — of gelijkwaardig: wanneer $[AD]$ en $[BC]$ hetzelfde midden hebben.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Gelijke vectoren AB = CD: dezelfde richting, dezelfde zin, dezelfde lengte. De vierhoek ABDC is een parallellogram. — Gelijke vectoren $\vect{AB} = \vect{CD}$ : dezelfde richting, dezelfde zin, dezelfde lengte. De vierhoek $ABDC$ is een parallellogram.

Notatie 6.3

Een vector krijgt vaak één letter als naam, $\vec u$ of $\vec v$ , wanneer de eindpunten er niet toe doen. De nulvector $\vec 0 = \vect{AA}$ is de verplaatsing die niets verplaatst. De tegengestelde van $\vect{AB}$ is $\vect{BA}$ : dezelfde lengte, tegengestelde zin. We schrijven $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Vectoren optellen

Definitie 6.4 (Som van twee vectoren)

De som $\vec u + \vec v$ is de verplaatsing die je krijgt door eerst $\vec u$ en daarna $\vec v$ uit te voeren.

Stelling 6.5 (Relatie van Chasles)

Voor elke drie punten $A$ , $B$ , $C$ geldt

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Bewijs. Van $A$ naar $B$ gaan en daarna van $B$ naar $C$ is een verplaatsing die $A$ naar $C$ brengt: precies de verplaatsing die $\vect{AC}$ vastlegt. ∎

Opmerking 6.6 (Parallellogramregel)

Om twee vectoren op te tellen die vanuit hetzelfde punt vertrekken, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , vervolledig je het parallellogram $ABDC$ : de som is de diagonaal $\vect{AD}$ . Inderdaad is $\vect{AC} = \vect{BD}$ , dus $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ volgens de relatie van Chasles.

Twee beelden van de som: kop aan staart (relatie van Chasles, links) en de parallellogramregel (rechts).

Voorbeeld 6.7 (Vereenvoudigen met Chasles)

Vereenvoudig $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : de verplaatsingen aan elkaar rijgen geeft $\vect{MQ}$ . Vereenvoudig $\vect{AB} - \vect{AC}$ : herschrijf het verschil als een som met de tegengestelde vector,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Een vector met een getal vermenigvuldigen

Definitie 6.8 (Scalair veelvoud)

Zij $\vec u$ een vector verschillend van $\vec 0$ en $k$ een reëel getal. De vector $k\vec u$ heeft dezelfde richting als $\vec u$ , lengte $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ , en dezelfde zin als $\vec u$ wanneer $k > 0$ , de tegengestelde zin wanneer $k < 0$ . Voor $k = 0$ is $0\vec u = \vec 0$ .

Definitie 6.9 (Collineariteit)

Twee vectoren $\vec u$ en $\vec v$ heten collineair wanneer ze dezelfde richting hebben, dus wanneer $\vec v = k \vec u$ voor een zeker reëel getal $k$ (of wanneer een van beide $\vec 0$ is).

Opmerking 6.10

Collineariteit is de vectortaal voor evenwijdigheid en voor het op één rechte liggen:

de rechten $(AB)$ en $(CD)$ zijn evenwijdig precies wanneer $\vect{AB}$ en $\vect{CD}$ collineair zijn;
de punten $A$ , $B$ , $C$ liggen op één rechte precies wanneer $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ collineair zijn.

6.4 Coördinaten van vectoren

Definitie 6.11 (Coördinaten van een vector)

In een assenstelsel zijn de coördinaten van de vector $\vect{AB}$ de getallen die de verplaatsing beschrijven:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Een vector $\vec u\,(a, b)$ verplaatst elk punt over $a$ eenheden horizontaal en $b$ eenheden verticaal.

Propositie 6.12 (Rekenen met coördinaten)

Zij $\vec u\,(a, b)$ en $\vec v\,(c, d)$ , en $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ precies wanneer $a = c$ en $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ heeft coördinaten $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ heeft coördinaten $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (orthonormaal assenstelsel).

Bewijs. 1–3 herhalen, coördinaat per coördinaat, wat de verplaatsingen doen: eerst $\vec u$ en dan $\vec v$ uitvoeren verplaatst een punt horizontaal eerst over $a$ en dan over $c$ , dus in totaal over $a + c$ . Punt 4 is de afstandsformule van Stelling 5.4, toegepast op een lijnstuk dat $\vec u$ voorstelt. ∎

Stelling 6.13 (Criterium voor collineariteit)

Twee vectoren $\vec u\,(a, b)$ en $\vec v\,(c, d)$ zijn collineair dan en slechts dan als

ad - bc = 0 .

Bewijs. Is $\vec v = k\vec u$ , dan is $c = ka$ en $d = kb$ , dus $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . Hetzelfde geldt als $\vec u = k \vec v$ of als een van beide vectoren nul is.

Omgekeerd, stel $ad - bc = 0$ met $\vec u \neq \vec 0$ , zeg $a \neq 0$ (het geval $b \neq 0$ verloopt net zo). Stel $k = \frac{c}{a}$ ; dan is $c = ka$ , en uit $ad = bc = b(ka)$ volgt na deling door $a \neq 0$ dat $d = kb$ . Dus is $\vec v = k\vec u$ . ∎

Voorbeeld 6.14

Zijn $\vec u\,(3, -2)$ en $\vec v\,(-6, 4)$ collineair? Bereken $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : ja, en inderdaad is $\vec v = -2\vec u$ . Voor $\vec u\,(3, -2)$ en $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : niet collineair.

Methode 6.15 (Op één rechte liggen en evenwijdigheid)

Om te bewijzen dat drie punten $A$ , $B$ , $C$ op één rechte liggen:

bereken de coördinaten van $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ ;
ga het criterium $ad - bc = 0$ van Stelling 6.13 na;
besluit: de vectoren zijn collineair en delen het punt $A$ , dus liggen de drie punten op één rechte.

Dezelfde berekening met $\vect{AB}$ en $\vect{CD}$ bewijst dat de rechten $(AB)$ en $(CD)$ evenwijdig zijn.

Voorbeeld 6.16

Zij $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ en $C(7, 11)$ . Dan is $\vect{AB}\,(2, 3)$ en $\vect{AC}\,(6, 9)$ , en $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : de punten liggen op één rechte (er geldt zelfs $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Punten op één rechte: AC is een scalair veelvoud van AB. — Punten op één rechte: $\vect{AC}$ is een scalair veelvoud van $\vect{AB}$ .

6.5 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Vereenvoudig met de relatie van Chasles:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Oefening 6.2 ★

Zij $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Bereken de coördinaten van $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ , en ga op de coördinaten na dat $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Controle: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coördinaat per coördinaat.

Oefening 6.3 ★

Zij $\vec u\,(2, -3)$ en $\vec v\,(-1, 4)$ . Geef de coördinaten van $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ , en bereken $\norm{\vec u}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Oefening 6.4 ★

Zeg in elk geval of $\vec u$ en $\vec v$ collineair zijn:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : collineair ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : collineair ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Oefening 6.5 ★

Zij $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Zoek de coördinaten van het punt $D$ waarvoor $ABCD$ een parallellogram is, dus waarvoor $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ , en $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . De voorwaarde $\vect{AB} = \vect{DC}$ geeft $6 - x_D = 4$ en $3 - y_D = -2$ , dus $D(2, 5)$ .

Oefening 6.6 ★★

Zij $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Bereken de coördinaten van het punt $M$ waarvoor $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
Wat is de vierhoek $ABMC$ ? Verantwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ en $\vect{AC}\,(6, -2)$ , dus $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ en $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Volgens de parallellogramregel betekent $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ dat $ABMC$ een parallellogram is ( $M$ is het vierde hoekpunt, tegenover $A$ ). Ga na: $\vect{AB}\,(3,2)$ en $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ zijn gelijk.

Oefening 6.7 ★★

Zij $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Liggen de punten $A$ , $B$ , $C$ op één rechte? Dezelfde vraag voor $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

Eerste drietal: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : op één rechte ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Tweede drietal: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : eveneens op één rechte ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Oefening 6.8 ★★

Zij $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Toon aan dat $(AB)$ en $(CD)$ evenwijdig zijn, en daarna dat $ABCD$ een parallellogram is. Welke vaststelling houdt de andere in?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ en $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : de twee vectoren zijn gelijk, dus is $ABCD$ een parallellogram, en in het bijzonder is $(AB) \parallel (CD)$ . De parallellogrameigenschap is de sterkste: ze houdt de evenwijdigheid (de collineariteit van de vectoren) in, niet omgekeerd.

Oefening 6.9 ★★

Zij $ABC$ een driehoek en $I$ het punt bepaald door $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Neem $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (zodat de berekeningen eenvoudig blijven):

bereken de coördinaten van $I$ ;
zij $J$ zo dat $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; bereken de coördinaten van $J$ ;
toon aan dat $(IJ)$ evenwijdig is met $(AC)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , dus $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ en $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , dus $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ en $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ en $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Criterium voor collineariteit:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

de vectoren zijn collineair, dus is $(IJ)$ evenwijdig met $(AC)$ . (Zowel $I$ als $J$ ligt op een derde van de weg vanaf de zijde naar $B$ : de kleine driehoek $IBJ$ is een verkleining van $ABC$ .)

Oefening 6.10 ★★★

Zij $ABCD$ een willekeurige vierhoek, en zijn $I$ , $J$ , $K$ , $L$ de middens van $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Toon met coördinaten $A(x_A, y_A)$ enzovoort aan dat $\vect{IJ} = \vect{LK}$ , en besluit dat de middens van de zijden van elke vierhoek een parallellogram vormen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

De middens zijn

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

De eerste coördinaten van de twee vectoren:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

en dezelfde berekening werkt voor de tweede coördinaten. Dus is $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (beide gelijk aan $\frac12\vect{AC}$ ), en is $IJKL$ een parallellogram, hoe de vierhoek $ABCD$ er ook uitziet.

6.6 Opgave: de algebra van de pijlen

Probleem 6.1

Weekendopgave — gymnastiek met Chasles, het zwaartepunt in twee regels opnieuw bewezen, en krachten in evenwicht: waar vectoren werkelijk voor dienen

In jaar 8 werd bewezen dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar op twee derde van hun lengte ontmoeten — met een vernuftig parallellogram verborgen in de driehoek (de weekendopgave over het zwaartepunt in het onderbouwvolume). Vectoren bewijzen het in twee regels, en geven de concurrentie er gratis bij. Daar dient deze nieuwe algebra voor: stellingen worden berekeningen met pijlen. Deze opgave oefent het rekenwerk (Chasles vooral), levert het bewijs van twee regels, breidt Varignon uit (Oefening 6.10) en eindigt waar de vectoren geboren zijn: krachten en snelheden.

Deel I — Gymnastiek met Chasles.

Vereenvoudig met de relatie van Chasles (Stelling 6.5): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
De oorsprongtruc: toon aan dat voor elk punt $O$ geldt $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
Bewijs de twee karakteriseringen van het midden $I$ van $[AB]$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{en}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{voor elke } O .$
Zoek met $\vect{AB} = \vect{DC}$ het vierde hoekpunt $D$ van het parallellogram $ABCD$ terug, met $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — en vergelijk met het antwoord via de middentruc uit Probleem 5.1.
Een vaste vector $\vec u$ bij elk punt van het vlak optellen voert welke transformatie uit — dezelfde die met twee spiegels opdook in de weekendopgave over de twee spiegels en met twee halve draaiingen in de weekendopgave over halve draaiingen, beide in het onderbouwvolume? Bereken het beeld van $(1, 2)$ onder $\vec u = (3, -1)$ .

Deel II — Het zwaartepunt, derde bewijs. Definieer het punt $G$ van een driehoek $ABC$ door de sierlijke voorwaarde

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

Toon met de oorsprongtruc aan dat die voorwaarde $G$ ondubbelzinnig vastlegt: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ voor elke $O$ — zodat de coördinaten van $G$ de gemiddelden van die van de hoekpunten zijn (de weekendopgave over het zwaartepunt in het onderbouwvolume zag het al met getallen).
Bewijs $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ , en, met $K$ voor het midden van $[BC]$ , $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . Besluit: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — de tweederdestelling, opnieuw bewezen.
Waarom gaan de zwaartelijnen uit $B$ en uit $C$ door dezelfde $G$ , zonder ook maar één berekening extra? Vergelijk de drie beschikbare bewijzen van deze stelling — het verborgen parallellogram uit jaar 8, de coördinaten en de vectoren — in telkens één zin.
Numerieke controle: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Bereken $G$ , daarna $K$ , en ga $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ na met het criterium voor collineariteit (Stelling 6.13).
De natuurkunde leest $G$ als het evenwichtspunt van drie gelijke massa’s in de hoekpunten. Verdubbel de massa in $A$ (massa’s $2, 1, 1$ ): het evenwichtspunt wordt $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Bereken $G'$ voor de driehoek van vraag 9 en vergelijk zijn ligging met die van $G$ .

Deel III — Collineariteit aan het werk.

Zijn $\vec u(3, -2)$ en $\vec v(-6, 4)$ collineair? En $\vec w(2, 5)$ en $\vec z(4, 9)$ ? Beslis met het determinantcriterium.
Liggen de punten $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ op één rechte?
Voorbij Varignon (Oefening 6.10): in elke vierhoek $ABCD$ verbinden de bimedianen de middens van overstaande zijden ( $[IK]$ en $[JL]$ ). Toon met plaatsvectoren ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ enzovoort) aan dat beide bimedianen hetzelfde midden hebben, met plaatsvector $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : het zwaartepunt van de vierhoek.
Thales in één regel: $M$ en $N$ zijn de punten bepaald door $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ en $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Bereken $\vect{MN}$ in termen van $\vect{BC}$ en besluit tot evenwijdigheid en verhouding.
Veralgemeen vraag 14 tot een willekeurige verhouding $k$ , en zeg in één zin hoe het vectorrekenen de middenparallelstelling en de stelling van Thales in één klap opslokt.

Deel IV — Krachten en snelheden.

Een boot wordt door een stroming van $3$ km/u pal naar het oosten geduwd terwijl er met $4$ km/u pal naar het noorden geroeid wordt. Geef de resulterende snelheidsvector, zijn grootte, en beschrijf de werkelijke koers. (Er duikt een zeer oud drietal op.)
Op een ring werken drie krachten: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Bereken de resultante. Wat doet de ring? En waarom is de som van de pijlen langs elke gesloten veelhoek altijd $\vec 0$ (Chasles)?
Twee krachten $\vec u(4, -1)$ en $\vec v(-1, 3)$ werken op een haak. Welke derde kracht houdt de haak in evenwicht?
Een zwemmer steekt een rivier over en zwemt recht naar de overkant met $2$ m/s; de stroming loopt met $1.5$ m/s. Geef de resulterende snelheid en haar grootte. De rivier is $50$ m breed: hoe lang duurt de overtocht, en hoever stroomafwaarts komt de zwemmer aan land?
Slotstuk: één voorwerp, drie kostuums — verplaatsingspijl, coördinatenpaar, kracht of snelheid. Noem de drie klassieke stellingen die deze opgave met vectoralgebra opnieuw bewees, en noem de ene meetkundige grootheid die de vectoren van dit hoofdstuk nog niet kunnen meten — het gereedschap dat dat verhelpt komt met het scalair product, in jaar 11.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (na het herschikken van de derde som).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ volgens Chasles.

3. $I$ is het midden van $[AB]$ precies wanneer $\vect{IA} = -\vect{IB}$ , dus wanneer $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . Dan is voor elke $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , dus $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — en omgekeerd.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ , en $D$ voldoet aan $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — dezelfde $D$ als in Probleem 5.1, één regel sneller.

5. De translatie over de vector $\vec u$ — precies de transformatie die twee evenwijdige spiegels of twee halve draaiingen voortbrengen. Beeld van $(1, 2)$ : $(4, 1)$ .

6. Werk elke $\vect{GX}$ uit als $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , dus $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : er is precies één zo’n punt, en zijn coördinaten zijn de gemiddelden van die van de drie hoekpunten.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , waaruit $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . De formule voor het midden (vraag 3, vanuit $A$ gezien) geeft $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . Vergelijken levert $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ ligt op de zwaartelijn $[AK]$ , op twee derde van de weg vanaf $A$ .

8. De definiërende voorwaarde behandelt $A$ , $B$ en $C$ op dezelfde manier, dus zet dezelfde berekening vanuit $B$ of vanuit $C$ dezelfde $G$ op twee derde van die zwaartelijnen: de concurrentie kost niets. Het parallellogrambewijs was vernuftig maar op maat gemaakt; de coördinaten rekenen maar verduisteren; de vectoren maken de symmetrie zichtbaar en het bewijs twee regels lang.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ en $\vect{AK} = (3, 3)$ : determinant $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , dus collineair, en inderdaad is $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : van $G(3,3)$ weggetrokken naar het verzwaarde hoekpunt $A(1,1)$ , zoals een evenwichtspunt betaamt.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : collineair ( $\vec v = -2\vec u$ ). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : niet collineair.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : determinant $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : op één rechte.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ en $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , dus heeft het midden van $[IK]$ als plaatsvector $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — en de berekening voor $[JL]$ levert precies dezelfde vector. De twee bimedianen (en, volgens Varignon, ook de diagonalen van het parallellogram $IJKL$ ) delen dus dit middelpunt: het zwaartepunt van de vierhoek.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : dus $(MN) \parallel (BC)$ en $MN = \frac13 BC$ .

15. Met $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ en $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — één regel die de middenparallelstelling ( $k = \frac12$ ) en de stelling van Thales (elke $k$ ) bevat: de verhouding komt ongeschonden door het aftrekken.

16. Resultante $(3, 4)$ , met grootte $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/u: de boot vaart in werkelijkheid noordoostwaarts, langs de schuine zijde van de $3$ – $4$ – $5$ -driehoek.

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : de ring blijft liggen — evenwicht. Langs een gesloten veelhoek $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ schuift Chasles de som ineen tot $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : rondgaan brengt je terug.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. Resultante $(1.5,\ 2)$ , met grootte $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. De overtocht: $50$ m aan $2$ m/s dwars: $25$ s; de afdrijving: $1.5 \times 25 = 37.5$ m stroomafwaarts.

20. Dit weekend opnieuw bewezen: de tweederdestelling voor het zwaartepunt (vraag 7), het middelpunt van de bimedianen en Varignon (vraag 13), en de middenparallelstelling samen met Thales (vragen 14–15). Wat de pijlen nog niet kunnen: hoeken meten (en dus lengten in willekeurige richtingen) — het scalair product van jaar 11 is precies het ontbrekende instrument.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst