Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

12Differentiaalrekening: een eerste cursus

Hoe snel verandert een functie? Het antwoord in één punt is de afgeleide, het nuttigste getal in alle toegepaste wiskunde. Dit hoofdstuk construeert haar uit gemiddelde veranderingsverhoudingen, berekent haar voor de referentiefuncties, en gebruikt haar teken om de variaties van een functie te lezen. Alles hier wordt uitgebreid en verdiept in Hoofdstuk 22.

12.1 De gemiddelde veranderingsverhouding

Definitie 12.1 (Gemiddelde veranderingsverhouding)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval $I$ , en $a \neq b$ in $I$ . De gemiddelde veranderingsverhouding van $f$ tussen $a$ en $b$ is

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Het is de richtingscoëfficiënt van de secant door de punten $\bigl(a, f(a)\bigr)$ en $\bigl(b, f(b)\bigr)$ van de kromme.

Voorbeeld 12.2

Een auto rijdt $140$ km tussen 14u en 16u: haar gemiddelde snelheid is $\frac{140}{2} = 70$ km/h. De snelheidsmeter toont echter een ogenblikkelijke snelheid op elk moment — dat is precies het begrip dat de afgeleide precies maakt.

12.2 De afgeleide in een punt

Definitie 12.3 (Afgeleide in een punt)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval dat $a$ bevat. Voor $h \neq 0$ , vorm de gemiddelde veranderingsverhouding tussen $a$ en $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Als $r(h)$ een enkel vast getal nadert wanneer $h$ willekeurig dicht bij $0$ komt, zeggen we dat $f$ afleidbaar is in $a$ ; dit getal is de afgeleide van $f$ in $a$ , genoteerd $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Voorbeeld 12.4

Laat $f(x) = x^2$ en $a = 1$ . Voor $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Als $h$ naar $0$ nadert, nadert dit $2$ : de functie $x^2$ is afleidbaar in $1$ en $f'(1) = 2$ . Let op de strategie: vereenvoudig het quotiënt tot $h$ niet meer in een noemer voorkomt, en laat daarna $h \to 0$ .

Voorbeeld 12.5 (Een niet-afleidbaar punt)

Laat $f(x) = \abs{x}$ en $a = 0$ . Dan $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , wat $1$ is voor $h > 0$ en $-1$ voor $h < 0$ : er wordt geen enkel getal genaderd, en $\abs x$ is niet afleidbaar in $0$ . Haar kromme heeft daar een hoek.

12.3 De raaklijn

Definitie 12.6 (Raaklijn)

Als $f$ afleidbaar is in $a$ , is de raaklijn aan de kromme in het punt $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ de lijn door $A$ met richtingscoëfficiënt $f'(a)$ . Haar vergelijking is

y = f(a) + f'(a)(x - a).

De raaklijn is de limietpositie van de secanten door $A$ : als $h \to 0$ , schuift het tweede punt $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ langs de kromme naar $A$ , en de richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ van de secant nadert $f'(a)$ .

De secant door A en B = (a+h, f(a+h) ) heeft richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h. Als B naar A schuift, kantelt de secant in de raaklijn, waarvan de richtingscoëfficiënt f'(a) is. — De secant door $A$ en $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Als $B$ naar $A$ schuift, kantelt de secant in de raaklijn, waarvan de richtingscoëfficiënt $f'(a)$ is.

Voorbeeld 12.7

Voor $f(x) = x^2$ in $a = 1$ : $f(1) = 1$ en $f'(1) = 2$ (Voorbeeld 12.4), dus de raaklijn is

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

Dit is de lijn $d_2$ die puur algebraïsch gevonden werd in Oefening 10.11.

12.4 Afgeleiden van de referentiefuncties

Propositie 12.8

Op hun domeinen van afleidbaarheid:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Algemener, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ voor elk geheel getal $n \geq 1$ .

Bewijs. Elk bewijs volgt de strategie van Voorbeeld 12.4: vereenvoudig de verhouding, laat daarna $h \to 0$ . Fixeer $a$ in het domein.

Constante en identiteit. $\frac{c - c}{h} = 0$ en $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ voor alle $h$ : de limieten zijn $0$ en $1$ .

Kwadraat. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Derdemacht. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , dus de verhouding is $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Omgekeerde. Voor $a \neq 0$ en $h$ klein genoeg dat $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Vierkantswortel. Voor $a > 0$ , vermenigvuldig met de toegevoegde:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Algemene macht. Het patroon $2a$ , $3a^2$ zet door: bij ontwikkelen van $(a+h)^n$ dragen de termen na $a^n + n\,a^{n-1}h$ alle $h^2$ , dus de verhouding neigt naar $n\,a^{n-1}$ . (Een volledige inductie staat in Hoofdstuk 22.) ∎

12.5 Differentiatieregels

Stelling 12.9 (Bewerkingen)

Laat $u$ en $v$ afleidbaar zijn op $I$ en $\lambda \in \R$ . Dan zijn $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ afleidbaar op $I$ , evenals $\frac{u}{v}$ waar $v \neq 0$ , en

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Bewijs van de eerste drie regels. Fixeer $a \in I$ en noteer kort $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Som. De verhouding van $u + v$ is $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Veelvoud. De verhouding van $\lambda u$ is $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Product. Tel op en trek af de gemengde term $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Als $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ , en $u(a+h) \to u(a)$ (haar verhouding heeft een limiet, dus $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). De verhouding neigt dus naar $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

De quotiëntrregel wordt op dezelfde wijze bewezen; ze is toegegeven op dit niveau en bewezen in Hoofdstuk 22. ∎

Voorbeeld 12.10

Polynoom. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Quotiënt. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : met $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Product. $k(x) = x\sqrt x$ voor $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Teken van de afgeleide en variaties

Stelling 12.11 (Afgeleide en variaties)

Laat $f$ afleidbaar zijn op een interval $I$ .

Als $f' \geq 0$ op $I$ , dan is $f$ stijgend op $I$ .
Als $f' \leq 0$ op $I$ , dan is $f$ dalend op $I$ .
Als $f' > 0$ op $I$ (behalve eventueel in eindig veel punten waar ze verdwijnt), dan is $f$ strikt stijgend op $I$ .

Bewijs. De intuïtie is duidelijk — een kromme waarvan alle raaklijnen omhoog wijzen moet klimmen — maar een rigoureus bewijs heeft de middelwaardestelling nodig. Het resultaat is toegegeven op dit niveau; zie Stelling 22.7. ∎

Propositie 12.12 (Extrema)

Als $f'$ van teken wisselt in $a$ van $+$ naar $-$ , dan heeft $f$ een lokaal maximum in $a$ ; van $-$ naar $+$ , een lokaal minimum. In zo’n punt is $f'(a) = 0$ en de raaklijn is horizontaal.

Bewijs. Als $f' \geq 0$ op een interval dat eindigt in $a$ en $f' \leq 0$ op een interval dat in $a$ begint, dan stijgt $f$ tot $f(a)$ en daalt daarna (Stelling 12.11): $f(a)$ is het grootst in de buurt. Omdat $f'$ van teken wisselt in $a$ en daar gedefinieerd is, is $f'(a) = 0$ . ∎

Methode 12.13 (Een functie bestuderen)

Bereken $f'(x)$ en vereenvoudig haar — idealiter tot een ontbonden vorm.
Bepaal het teken van $f'(x)$ op elk interval (voor een kwadratische $f'$ , gebruik Stelling 10.11).
Noteer de resultaten in een veranderingstabel: één rij voor het teken van $f'$ , één rij pijlen voor $f$ , met de waarden van $f$ in de keerpunten.
Concludeer: extrema, aantal oplossingen van $f(x) = k$ , ongelijkheden.

Voorbeeld 12.14

Bestudeer $f(x) = x^3 - 3x + 1$ op $\R$ . Eerst $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : een kwadratische met wortels $-1$ en $1$ , positief erbuiten. Dus $f$ is stijgend op $\intoc{-\infty}{-1}$ , dalend op $\intcc{-1}{1}$ , stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ , met een lokaal maximum $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ en een lokaal minimum $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

De kromme van f(x) = x3 - 3x + 1 (): horizontale raaklijnen (oranje) in het lokale maximum (-1, 3) en het lokale minimum (1, -1), waar f' van teken wisselt. — De kromme van $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Voorbeeld 12.14): horizontale raaklijnen (oranje) in het lokale maximum $(-1, 3)$ en het lokale minimum $(1, -1)$ , waar $f'$ van teken wisselt.

Voorbeeld 12.15 (Optimalisatie)

Een open doos wordt gemaakt van een blad van $12 \times 12$ cm door een vierkant van zijde $x$ uit elke hoek te snijden en om te vouwen. Haar inhoud is $V(x) = x(12 - 2x)^2$ voor $0 < x < 6$ . Ontwikkelen geeft $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , dus

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

Op $\intoo{0}{6}$ is de factor $x - 6$ negatief, dus $V'(x)$ heeft het teken van $-(x-2)$ : positief vóór $2$ , negatief erna. De inhoud is maximaal voor $x = 2$ cm, wat $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ geeft.

12.7 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

Bereken met de definitie (veranderingsverhouding, daarna $h \to 0$ ) $f'(2)$ voor $f(x) = x^2$ , daarna $g'(1)$ voor $g(x) = x^2 + 3x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

Voor $f(x) = x^2$ in $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

dus $f'(2) = 4$ . Voor $g(x) = x^2 + 3x$ in $a = 1$ : $g(1) = 4$ en

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

dus $g'(1) = 5$ .

Oefening 12.2 ★

Differentieer:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (op $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (productregel).

Oefening 12.3 ★

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de kromme van $f$ in het punt met abscis $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ dus $f'(2) = 1$ ; raaklijn $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; raaklijn $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; raaklijn $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Oefening 12.4 ★

Differentieer de quotiënten:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (quotiëntrregel met $u = 1$ ).

Oefening 12.5 ★★

Bestudeer de variaties van $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ op $\R$ (veranderingstabel, lokale extrema).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positief buiten $\intcc{1}{3}$ , negatief erin. Dus $f$ is stijgend op $\intoc{-\infty}{1}$ , dalend op $\intcc{1}{3}$ , stijgend op $\intco{3}{+\infty}$ , met een lokaal maximum $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ en een lokaal minimum $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Oefening 12.6 ★★

Bestudeer de variaties van $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ op $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

Op $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Voor $x > -1$ zijn zowel $x + 3$ als $(x+1)^2$ positief, dus $f'(x)$ heeft het teken van $x - 1$ : $f$ is dalend op $\intoc{-1}{1}$ en stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ , met minimum $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Oefening 12.7 ★★

Laat $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Vind het punt van de kromme waar de raaklijn horizontaal is.
Vind het/de punt(en) waar de raaklijn evenwijdig is met de lijn $y = 2x + 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Horizontale raaklijn: $f'(x) = 0$ bij $x = 2$ ; het punt is $(2, f(2)) = (2, 1)$ (de top van de parabool).

2. Evenwijdig met $y = 2x + 1$ betekent richtingscoëfficiënt $2$ : $2x - 4 = 2$ , dus $x = 3$ , wat het punt $(3, f(3)) = (3, 2)$ geeft.

Oefening 12.8 ★★

Een rechthoekige omheining wordt tegen een muur gebouwd met $60$ m hek (drie zijden). Druk de oppervlakte uit als functie van de breedte $x$ , en gebruik de afgeleide om de afmetingen van maximale oppervlakte te vinden. (Vergelijk met de topmethode van Hoofdstuk 10.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

Met breedte $x$ (twee omheinde zijden) en lengte $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ op $\intoo{0}{30}$ . Dan $A'(x) = 60 - 4x$ , positief vóór $x = 15$ en negatief erna: de oppervlakte is maximaal voor $x = 15$ , wat een omheining van $15 \times 30$ m met oppervlakte $450$ m $^2$ geeft. De topformule $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ van Hoofdstuk 10 geeft hetzelfde antwoord zonder differentiaalrekening.

Oefening 12.9 ★★

Toon aan dat voor alle $x > 0$ , $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , door de functie $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ te bestuderen op $\intoo{0}{+\infty}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

Laat $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ . Dan

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

wat het teken van $\sqrt x - 1$ heeft: negatief op $\intoo{0}{1}$ , positief op $\intoo{1}{+\infty}$ . Dus $f$ daalt dan stijgt, met minimum $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Dus $f(x) \geq 0$ voor alle $x > 0$ , d.w.z. $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , met gelijkheid alleen bij $x = 1$ .

Oefening 12.10 ★★

Een cilindrisch blik moet $500$ cm $^3$ bevatten. Haar oppervlakte (twee schijven plus de zijkant) is $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ met $\pi r^2 h = 500$ . Druk $S$ uit als functie van $r$ alleen, en toon aan dat $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . Leid de straal af die de oppervlakte minimaliseert, als exacte uitdrukking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

Uit $\pi r^2 h = 500$ , $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , dus

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ wanneer $4\pi r^3 = 1000$ , d.w.z. $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , dus $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Omdat $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ negatief is vóór deze waarde en positief erna, is het een minimum.

Oefening 12.11 ★★★

Hoeveel raaklijnen aan de parabool $y = x^2$ gaan door het externe punt $P(1, -3)$ ? Bepaal hun vergelijkingen. (Laat $a$ de abscis van het raakpunt zijn en druk uit dat de raaklijn in $a$ door $P$ gaat.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

De raaklijn aan $y = x^2$ in het punt met abscis $a$ is $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Ze gaat door $P(1, -3)$ wanneer $-3 = 2a - a^2$ , d.w.z. $a^2 - 2a - 3 = 0$ , waarvan de wortels $a = 3$ en $a = -1$ zijn ( $\Delta = 16$ ). Er zijn dus twee raaklijnen door $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Oefening 12.12 ★★★

Laat $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (zie Voorbeeld 12.14). Bepaal met de veranderingstabel het aantal oplossingen van de vergelijking $f(x) = k$ naargelang de waarde van het reële getal $k$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

Uit Voorbeeld 12.14 stijgt $f$ tot het lokale maximum $f(-1) = 3$ , daalt tot het lokale minimum $f(1) = -1$ , en stijgt daarna opnieuw; voor grote positieve (resp. negatieve) $x$ domineert $x^3$ en neemt $f$ willekeurig grote (resp. kleine) waarden aan. Horizontale lijnen $y = k$ aflezen op de veranderingstabel:

$k > 3$ of $k < -1$ : de lijn snijdt de kromme één keer — $1$ oplossing;
$k = 3$ of $k = -1$ : de lijn raakt een keerpunt en kruist één andere tak — $2$ oplossingen;
$-1 < k < 3$ : de lijn kruist alle drie de takken — $3$ oplossingen.