Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

2Algebra: vergelijkingen en ongelijkheden

Algebra is de kunst van rekenen met letters. Dit hoofdstuk herhaalt en scherpt de twee basishandelingen — ontwikkelen en ontbinden — en gebruikt die om systematisch vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen, met de tekentabel als centraal gereedschap.

2.1 Ontwikkelen en ontbinden

Definitie 2.1 (Ontwikkelen, ontbinden)

Ontwikkelen van een uitdrukking betekent producten omzetten in sommen; ontbinden betekent het omgekeerde, een som omzetten in een product. De basisregel is de distributiviteit:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Voorbeeld 2.2

Ontwikkel $(2x + 3)(x - 5)$ stap voor stap:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Stelling 2.3 (Merkwaardige producten)

Voor alle reële getallen $a$ en $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Bewijs. Elk is een directe ontwikkeling. Voor het eerste:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

Het tweede volgt door $b$ te vervangen door $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Voor het derde: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Waarom (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: een vierkant met zijde a + b valt uiteen in een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en twee rechthoeken a × b. — Waarom $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : een vierkant met zijde $a + b$ valt uiteen in een vierkant met zijde $a$ , een vierkant met zijde $b$ , en twee rechthoeken $a \times b$ .

Voorbeeld 2.4

Voorwaarts gebruikt (ontwikkelen) en achterwaarts (ontbinden):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

Hoofdrekenen profiteert ook: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Methode 2.5 (Een uitdrukking ontbinden)

Probeer, in deze volgorde:

Gemeenschappelijke factor: zoek een factor die in elke term voorkomt en haal die eruit, bijv. $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . De gemeenschappelijke factor kan een hele haak zijn: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Merkwaardig product: herken $a^2 - b^2$ , of $a^2 \pm 2ab + b^2$ , bijv. $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Combineer beide, en controleer het resultaat door opnieuw te ontwikkelen.

Voorbeeld 2.6

Ontbind $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Dit is een verschil van twee kwadraten $a^2 - b^2$ met $a = 2x+1$ en $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Let op de tweede haak: $(x - 3)$ aftrekken betekent $x$ aftrekken en $3$ optellen.

2.2 Vergelijkingen

Definitie 2.7 (Vergelijking, oplossing)

Een vergelijking is een gelijkheid die een onbekend getal $x$ bevat; een oplossing is een waarde van $x$ die de gelijkheid waar maakt. De vergelijking oplossen betekent alle oplossingen vinden.

Twee vergelijkingen zijn equivalent wanneer ze precies dezelfde oplossingen hebben. Dezelfde getal bij beide kanten optellen, of beide kanten vermenigvuldigen met hetzelfde niet-nul getal, levert een equivalente vergelijking.

Voorbeeld 2.8 (Eerstegraadsvergelijking)

Los $5x - 7 = 2x + 8$ op, één stap tegelijk:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(tel $7 - 2x$ bij beide kanten op)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(deel beide kanten door $3$).} \end{align*}

De unieke oplossing is $5$ . Controle: $5 \times 5 - 7 = 18$ en $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Stelling 2.9 (Product-nul-regel)

Een product van reële getallen is nul dan en slechts dan als minstens één van de factoren nul is:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ of } \ B = 0 .

Bewijs. Als $A = 0$ of $B = 0$ , is het product duidelijk $0$ . Omgekeerd, stel $AB = 0$ en $A \neq 0$ . Delen van beide kanten door $A$ geeft $B = 0$ . ∎

Methode 2.10 (Oplossen door ontbinden)

Om een vergelijking op te lossen waarvan het rechterlid $0$ is en waarvan het linkerlid ontbonden kan worden:

breng alles naar links zodat de vergelijking $E = 0$ luidt;
ontbind $E$ in een product van eerstegraadsfactoren;
pas de product-nul-regel toe en los elke kleine vergelijking op;
verzamel alle gevonden oplossingen.

Voorbeeld 2.11

Los $(x - 2)(3x + 6) = 0$ op: ofwel $x - 2 = 0$ , wat $x = 2$ geeft, ofwel $3x + 6 = 0$ , wat $x = -2$ geeft. Oplossingen: $-2$ en $2$ .

Los $x^2 = 9x$ op. Deel niet door $x$ (die kan nul zijn!); breng alles naar één kant en ontbind:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ of } \ x = 9 .

Voorbeeld 2.12 (Quotiëntvergelijking)

Los $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ op. Een quotiënt is nul precies wanneer de teller nul is en de noemer dat niet is. Hier geeft $x - 1 = 0$ $x = 1$ , en $1 + 2 = 3 \neq 0$ : de enige oplossing is $1$ . De waarde $x = -2$ is verboden (deling door nul) en moet altijd eerst worden uitgesloten.

2.3 Ongelijkheden en tekentabellen

Propositie 2.13 (Regels voor ongelijkheden)

Laat $a \leq b$ .

Voor elke $c$ : $a + c \leq b + c$ (optellen behoudt de volgorde).
Als $c > 0$ : $ac \leq bc$ (vermenigvuldigen met een positief getal behoudt de volgorde).
Als $c < 0$ : $ac \geq bc$ (vermenigvuldigen met een negatief getal keert de volgorde om).

Bewijs. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ is het product van twee niet-negatieve getallen, dus $bc \geq ac$ . 3. Nu is $(b-a)c \leq 0$ als product van een niet-negatief en een negatief getal, dus $bc \leq ac$ . ∎

Voorbeeld 2.14

Los $-2x + 3 > 9$ op:

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(trek $3$ af)} \\ x &< -3 && \text{(deel door $-2 < 0$: keer de ongelijkheid om).} \end{align*}

De oplossingsverzameling is $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Definitie 2.15 (Tekentabel)

Een tekentabel noteert, op één rij per factor, het teken ( $+$ of $-$ ) van elke factor van een uitdrukking terwijl $x$ over $\R$ loopt, met een $0$ bij elke waarde waar de factor verdwijnt; een laatste rij geeft het teken van het product, kolom voor kolom met de tekenregels.

Voorbeeld 2.16

Teken van $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . De factor $x - 2$ verdwijnt bij $2$ en is positief erna; de factor $3 - x$ verdwijnt bij $3$ en is positief ervoor:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Dus $P(x) > 0$ precies op $\intoo{2}{3}$ , en $P(x) \leq 0$ op $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

De grafiek van P(x) = (x-2)(3-x) bevestigt de tekentabel: positief tussen de wortels 2 en 3, negatief erbuiten. — De grafiek van $P(x) = (x-2)(3-x)$ bevestigt de tekentabel: positief tussen de wortels $2$ en $3$ , negatief erbuiten.

Methode 2.17 (Een ongelijkheid oplossen met een tekentabel)

Om een ongelijkheid zoals $E(x) \geq 0$ of $E(x) < 0$ op te lossen:

breng alles naar het linkerlid, zodat het rechterlid $0$ is (vermenigvuldig nooit beide kanten met een uitdrukking waarvan het teken onbekend is);
ontbind het linkerlid, of zet het op een gemeenschappelijke noemer als het een quotiënt is;
bouw de tekentabel met één rij per factor (voor een quotiënt, markeer verboden waarden met een dubbele streep in de laatste rij);
lees de intervallen af waar het gevraagde teken geldt, en controleer of elke grens is inbegrepen.

Voorbeeld 2.18

Los $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ op. De teller verdwijnt bij $-1$ , de noemer bij $3$ (verboden waarde). Het quotiënt is negatief wanneer de twee tegengestelde tekens hebben, wat gebeurt voor $x$ tussen $-1$ en $3$ . De grens waar de teller verdwijnt is inbegrepen, de verboden waarde is uitgesloten: de oplossingsverzameling is $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

Ontwikkel en vereenvoudig:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Oefening 2.2 ★

Ontbind:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (verschil van kwadraten).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (gemeenschappelijke factor).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Oefening 2.3 ★

Los op:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(Eén ervan heeft geen oplossing — leg uit waarom.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , dus $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , dus $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ ontwikkelt tot $2x - 6 = 2x + 1$ , d.w.z. $-6 = 1$ : onwaar voor elke $x$ . Geen oplossing — de twee kanten definiëren evenwijdige lijnen die elkaar nooit snijden.

Oefening 2.4 ★

Los op met de product-nul-regel:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ of $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ of $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : de enige oplossing $x = -3$ .

Oefening 2.5 ★

Los de ongelijkheden op en schrijf de oplossingsverzamelingen als intervallen:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , dus $x \leq 4$ : oplossingsverzameling $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , delen door $-4$ keert de ongelijkheid om: $x < -2$ : oplossingsverzameling $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , dus $-3x \geq 6$ , dus $x \leq -2$ : oplossingsverzameling $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Oefening 2.6 ★★

Ontbind $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ , en los daarna $E = 0$ op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

De gemeenschappelijke factor is $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Dan $E = 0$ wanneer $x = 1$ of $x = 8$ (product-nul-regel).

Oefening 2.7 ★★

Los $x^2 = 5x$ op, daarna $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Voor de tweede: breng alles naar links en ontbind het verschil van kwadraten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , dus $x = 0$ of $x = 5$ (deel nooit door $x$ : de oplossing $0$ zou verloren gaan).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : breng naar links en ontbind het verschil van kwadraten:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Product-nul-regel: $x = 1$ of $x = -5$ .

Oefening 2.8 ★★

Los met een tekentabel op

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : de factor $x + 2$ verdwijnt bij $-2$ (positief erna), $4 - x$ verdwijnt bij $4$ (positief ervoor). Het product is positief precies wanneer beide factoren positief zijn, d.w.z. op $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : teller nul bij $3$ , noemer nul bij $-1$ (verboden). Tekentabel: het quotiënt is positief wanneer beide delen hetzelfde teken hebben, d.w.z. voor $x < -1$ of $x > 3$ ; het verdwijnt bij $x = 3$ . Oplossingsverzameling: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Oefening 2.9 ★★

Een streamingdienst kost $9$ per maand, plus een eenmalige inschrijfkosten van $15$ ; een concurrent kost $12$ per maand zonder kosten. Na hoeveel maanden wordt de eerste dienst in totaal de goedkopere keuze? Stel een ongelijkheid op en los die op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

Na $x$ maanden kost de eerste dienst $9x + 15$ en de tweede $12x$ . De eerste is goedkoper wanneer

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

Vanaf de $6$ de maand is de eerste dienst in totaal de goedkopere keuze.

Oefening 2.10 ★★

Los $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ op. (Vermenigvuldig beide kanten met $x - 1$ na uitsluiting van de verboden waarde, of breng alles naar links over een gemeenschappelijke noemer.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

Verboden waarde: $x = 1$ . Voor $x \neq 1$ , vermenigvuldig beide kanten met $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Omdat $5 \neq 1$ , is de oplossing $x = 5$ . Controle: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Oefening 2.11 ★★★

Laat $n$ een geheel getal zijn. Toon aan dat $(n + 1)^2 - n^2$ altijd oneven is, en dat het verschil tussen de kwadraten van twee opeenvolgende oneven getallen altijd een veelvoud van $8$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , wat oneven is voor elk geheel getal $n$ .

Twee opeenvolgende oneven getallen kunnen geschreven worden als $2n - 1$ en $2n + 1$ . Dan

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

een veelvoud van $8$ .