Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

2Algebra: vergelijkingen en ongelijkheden

Algebra is de kunst van het rekenen met letters. Dit hoofdstuk herneemt en verscherpt de twee basisbewegingen — uitwerken en ontbinden — en gebruikt ze om vergelijkingen en ongelijkheden stelselmatig op te lossen, met de tekentabel als centraal gereedschap.

2.1 Uitwerken en ontbinden

Definitie 2.1 (Uitwerken, ontbinden)

Een uitdrukking uitwerken betekent producten omzetten in sommen; ontbinden is het omgekeerde, een som omzetten in een product. De basisregel is de distributiviteit:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Voorbeeld 2.2

Werk $(2x + 3)(x - 5)$ stap voor stap uit:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Stelling 2.3 (Merkwaardige producten)

Voor alle reële getallen $a$ en $b$ geldt

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Bewijs. Elk ervan is een rechtstreekse uitwerking. Voor het eerste:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

Het tweede volgt door $b$ door $-b$ te vervangen: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . En voor het derde: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Waarom (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: een vierkant met zijde a + b valt uiteen in een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b en twee rechthoeken a × b. — Waarom $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : een vierkant met zijde $a + b$ valt uiteen in een vierkant met zijde $a$ , een vierkant met zijde $b$ en twee rechthoeken $a \times b$ .

Voorbeeld 2.4

Heen gebruikt (uitwerken) en terug (ontbinden):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

Ook het hoofdrekenen vaart er wel bij: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Methode 2.5 (Een uitdrukking ontbinden)

Probeer, in deze volgorde:

Gemeenschappelijke factor: zoek een factor die in elke term voorkomt en haal hem buiten haakjes, bijvoorbeeld $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . Die factor mag een hele haak zijn: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Merkwaardig product: herken $a^2 - b^2$ of $a^2 \pm 2ab + b^2$ , bijvoorbeeld $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Combineer beide, en controleer het resultaat door het weer uit te werken.

Voorbeeld 2.6

Ontbind $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Dit is een verschil van twee kwadraten $a^2 - b^2$ met $a = 2x+1$ en $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Let op de tweede haak: $x - 3$ aftrekken betekent $x$ aftrekken en $3$ optellen.

2.2 Vergelijkingen

Definitie 2.7 (Vergelijking, oplossing)

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal $x$ erin; een oplossing is een waarde van $x$ die de gelijkheid waar maakt. De vergelijking oplossen betekent alle oplossingen vinden.

Twee vergelijkingen heten gelijkwaardig wanneer ze precies dezelfde oplossingen hebben. Bij beide leden hetzelfde getal optellen, of beide leden met eenzelfde getal verschillend van nul vermenigvuldigen, levert een gelijkwaardige vergelijking.

Voorbeeld 2.8 (Vergelijking van de eerste graad)

Los $5x - 7 = 2x + 8$ op, stap voor stap:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(tel $7 - 2x$ bij beide leden op)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(deel beide leden door $3$).} \end{align*}

De enige oplossing is $5$ . Controle: $5 \times 5 - 7 = 18$ en $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Stelling 2.9 (Nulproductregel)

Een product van reële getallen is nul dan en slechts dan als minstens één van zijn factoren nul is:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ of } \ B = 0 .

Bewijs. Is $A = 0$ of $B = 0$ , dan is het product duidelijk $0$ . Omgekeerd, stel dat $AB = 0$ en $A \neq 0$ . Beide leden door $A$ delen geeft $B = 0$ . ∎

Methode 2.10 (Oplossen door te ontbinden)

Om een vergelijking op te lossen waarvan het rechterlid $0$ is en het linkerlid ontbonden kan worden:

breng alles naar links, zodat de vergelijking $E = 0$ luidt;
ontbind $E$ in een product van factoren van de eerste graad;
pas de nulproductregel toe en los elke kleine vergelijking op;
verzamel alle gevonden oplossingen.

Voorbeeld 2.11

Los $(x - 2)(3x + 6) = 0$ op: ofwel $x - 2 = 0$ , wat $x = 2$ geeft, ofwel $3x + 6 = 0$ , wat $x = -2$ geeft. Oplossingen: $-2$ en $2$ .

Los $x^2 = 9x$ op. Deel niet door $x$ (dat kan nul zijn!); breng alles naar één lid en ontbind:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ of } \ x = 9 .

Voorbeeld 2.12 (Vergelijking met een quotiënt)

Los $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ op. Een quotiënt is nul precies wanneer de teller nul is en de noemer niet. Hier geeft $x - 1 = 0$ dat $x = 1$ , en $1 + 2 = 3 \neq 0$ : de enige oplossing is $1$ . De waarde $x = -2$ is verboden (deling door nul) en moet altijd eerst worden uitgesloten.

2.3 Ongelijkheden en tekentabellen

Propositie 2.13 (Rekenregels voor ongelijkheden)

Zij $a \leq b$ .

Voor elke $c$ : $a + c \leq b + c$ (optellen behoudt de orde).
Is $c > 0$ : $ac \leq bc$ (vermenigvuldigen met een positief getal behoudt de orde).
Is $c < 0$ : $ac \geq bc$ (vermenigvuldigen met een negatief getal keert de orde om).

Bewijs. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ is het product van twee niet-negatieve getallen, dus $bc \geq ac$ . 3. Nu is $(b-a)c \leq 0$ als product van een niet-negatief en een negatief getal, dus $bc \leq ac$ . ∎

Voorbeeld 2.14

Los $-2x + 3 > 9$ op:

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(trek 3 af)} \\ x &< -3 && \text{(deel door $-2 < 0$: keer de ongelijkheid om).} \end{align*}

De oplossingsverzameling is $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Definitie 2.15 (Tekentabel)

Een tekentabel noteert, met één rij per factor, het teken ( $+$ of $-$ ) van elke factor van een uitdrukking terwijl $x$ heel $\R$ doorloopt, met een $0$ bij elke waarde waar de factor verdwijnt; een laatste rij geeft het teken van het product, kolom per kolom volgens de tekenregel.

Voorbeeld 2.16

Het teken van $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . De factor $x - 2$ verdwijnt in $2$ en is daarna positief; de factor $3 - x$ verdwijnt in $3$ en is daarvóór positief:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Dus is $P(x) > 0$ precies op $\intoo{2}{3}$ , en $P(x) \leq 0$ op $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

De grafiek van P(x) = (x-2)(3-x) bevestigt de tekentabel: positief tussen de nulpunten 2 en 3, negatief daarbuiten. — De grafiek van $P(x) = (x-2)(3-x)$ bevestigt de tekentabel: positief tussen de nulpunten $2$ en $3$ , negatief daarbuiten.

Methode 2.17 (Een ongelijkheid oplossen met een tekentabel)

Om een ongelijkheid als $E(x) \geq 0$ of $E(x) < 0$ op te lossen:

breng alles naar het linkerlid, zodat rechts $0$ staat (vermenigvuldig beide leden nooit met een uitdrukking waarvan het teken onbekend is);
ontbind het linkerlid, of breng het op één noemer als het een quotiënt is;
bouw de tekentabel met één rij per factor (zet bij een quotiënt de verboden waarden met een dubbele streep in de laatste rij);
lees de intervallen af waar het gevraagde teken geldt, en ga voor elke grens na of ze meetelt.

Voorbeeld 2.18

Los $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ op. De teller verdwijnt in $-1$ , de noemer in $3$ (verboden waarde). Het quotiënt is negatief wanneer beide een tegengesteld teken hebben, en dat gebeurt voor $x$ tussen $-1$ en $3$ . De grens waar de teller verdwijnt telt mee, de verboden waarde niet: de oplossingsverzameling is $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

Werk uit en vereenvoudig:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Oefening 2.2 ★

Ontbind:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (verschil van kwadraten).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (gemeenschappelijke factor).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Oefening 2.3 ★

Los op:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(Eén ervan heeft geen oplossing — leg uit waarom.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , dus $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , dus $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ werkt uit tot $2x - 6 = 2x + 1$ , dus $-6 = 1$ : onwaar voor elke $x$ . Geen oplossing — de twee leden beschrijven evenwijdige rechten die elkaar nooit ontmoeten.

Oefening 2.4 ★

Los op met de nulproductregel:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ of $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ of $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : de enkele oplossing $x = -3$ .

Oefening 2.5 ★

Los de ongelijkheden op en schrijf de oplossingsverzamelingen als intervallen:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , dus $x \leq 4$ : oplossingsverzameling $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , en delen door $-4$ keert de ongelijkheid om: $x < -2$ : oplossingsverzameling $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , dus $-3x \geq 6$ , dus $x \leq -2$ : oplossingsverzameling $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Oefening 2.6 ★★

Ontbind $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ , en los daarna $E = 0$ op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

De gemeenschappelijke factor is $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Dan is $E = 0$ voor $x = 1$ of $x = 8$ (nulproductregel).

Oefening 2.7 ★★

Los $x^2 = 5x$ op, en daarna $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Breng voor de tweede alles naar links en ontbind het verschil van kwadraten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , dus $x = 0$ of $x = 5$ (deel nooit door $x$ : de oplossing $0$ zou verloren gaan).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : breng naar links en ontbind het verschil van kwadraten:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Nulproductregel: $x = 1$ of $x = -5$ .

Oefening 2.8 ★★

Los met een tekentabel op:

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : de factor $x + 2$ verdwijnt in $-2$ (daarna positief), $4 - x$ verdwijnt in $4$ (daarvóór positief). Het product is positief precies wanneer beide factoren positief zijn, dus op $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : teller nul in $3$ , noemer nul in $-1$ (verboden). Tekentabel: het quotiënt is positief wanneer beide delen hetzelfde teken hebben, dus voor $x < -1$ of $x > 3$ ; het verdwijnt in $x = 3$ . Oplossingsverzameling: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Oefening 2.9 ★★

Een streamingdienst kost $9$ per maand, plus $15$ eenmalig inschrijfgeld; een concurrent kost $12$ per maand zonder inschrijfgeld. Vanaf hoeveel maanden is de eerste dienst in totaal de goedkoopste keuze? Stel een ongelijkheid op en los ze op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

Na $x$ maanden kost de eerste dienst $9x + 15$ en de tweede $12x$ . De eerste is goedkoper wanneer

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

Vanaf de $6$ de maand is de eerste dienst in totaal de goedkoopste keuze.

Oefening 2.10 ★★

Los $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ op. (Vermenigvuldig beide leden met $x - 1$ nadat je de verboden waarde hebt uitgesloten, of breng alles naar links op één noemer.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

Verboden waarde: $x = 1$ . Voor $x \neq 1$ vermenigvuldig je beide leden met $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Omdat $5 \neq 1$ is de oplossing $x = 5$ . Controle: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Oefening 2.11 ★★★

Zij $n$ een geheel getal. Toon aan dat $(n + 1)^2 - n^2$ altijd oneven is, en dat het verschil tussen de kwadraten van twee opeenvolgende oneven getallen altijd een veelvoud van $8$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , en dat is oneven voor elk geheel getal $n$ .

Twee opeenvolgende oneven getallen schrijf je als $2n - 1$ en $2n + 1$ . Dan is

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

een veelvoud van $8$ .

2.5 Opgave: van Babylon tot de gulden snede

Probleem 2.1

Weekendopgave — som-en-productvraagstukken, het kwadraat aanvullen zoals al-Chwarizmi het tekende, en de vergelijking $x^2 = x + 1$

Vierduizend jaar geleden losten Babylonische schrijvers dit op in klei: vind twee getallen als je hun som en hun product kent. Hun truc — zoek de getallen symmetrisch rond de halve som — kraakt vandaag nog elke vierkantsvergelijking, onder haar moderne naam kwadraatafsplitsing. Deze opgave leert de truc, kijkt toe hoe al-Chwarizmi letterlijk een vierkant aanvult, en zet de methode aan het werk op de beroemdste verhouding van allemaal.

Deel I — Het Babylonische vraagstuk.

Opwarming (Stelling 2.3): ontbind $x^2 - 10x + 25$ , daarna $9x^2 - 49$ , en ten slotte — door een merkwaardig product met een verschil van kwadraten te combineren — $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
Los $(x + 1)(x + 5) = 0$ en $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ op (Stelling 2.9).
Het vraagstuk van de schrijver: twee getallen hebben som $10$ en product $21$ . Schrijf ze in Babylonische stijl als $5 - t$ en $5 + t$ (symmetrisch rond de halve som), bepaal $t$ en daarna de twee getallen.
Dezelfde methode: som $14$ , product $33$ .
Het algemene recept: toon aan dat de twee getallen bij som $s$ en product $p$ gelijk zijn aan

$\frac s2 - t \quad\text{en}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{waarbij}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$

en formuleer de voorwaarde op $s$ en $p$ opdat het vraagstuk een oplossing heeft.

Deel II — Het kwadraat aanvullen.

Werk $(x - a)(x - b)$ uit en besluit: de oplossingen van $x^2 - sx + p = 0$ zijn precies de paren getallen met som $s$ en product $p$ . (De schrijvers losten vierkantsvergelijkingen op zonder het te weten.)
Ga na dat $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ , en los $x^2 - 10x + 21 = 0$ op door het rechterlid als verschil van kwadraten te ontbinden. Vergelijk met vraag 3.
Los $x^2 + 6x - 7 = 0$ op door het kwadraat aan te vullen.
Vul het kwadraat aan in $x^2 + 4x + 5$ , en leg uit waarom de vergelijking $x^2 + 4x + 5 = 0$ geen reële oplossing heeft. Formuleer het algemene criterium: wanneer verdwijnt een uitdrukking van de tweede graad, eenmaal geschreven als $(x + h)^2 + k$ ?
De naam is letterlijk bedoeld. In het Bagdad van de negende eeuw tekende al-Chwarizmi $x^2 + 6x = 7$ als een vierkant met zijde $x$ met aan twee zijden een rechthoek $3 \times x$ geplakt, en vulde het vierkant aan met de ontbrekende hoek $3 \times 3$ . Teken de figuur en leg uit hoe ze de vergelijking omzet in $(x + 3)^2 = 16$ — en los daarna op.

Deel III — Tekens, tabellen en twee oude beloften.

Bouw de tekentabel van $(x - 3)(x + 2)$ (Definitie 2.15) en los $(x - 3)(x + 2) < 0$ op.
Los $x^2 \leq 10x - 21$ op (breng alles naar één lid en hergebruik vraag 7).
Los $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ op met een tekentabel, met oog voor de verboden waarde.
Een oude belofte ingelost: voor de boer uit de weekendopgave over de omheining van koningin Dido in het onderbouwvolume, met $20$ m omheining, voldoet de oppervlakte van een wei $x \times (10 - x)$ aan

$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$

Ga de identiteit na, en lees er een bewijs uit af van wat in jaar 6 nog maar een vermoeden kon zijn: de grootste oppervlakte, en de unieke $x$ die haar bereikt.
Nog een: bewijs dat $x + \dfrac1x \geq 2$ voor elke $x > 0$ , met gelijkheid alleen in $x = 1$ . (Vermenigvuldig met $x$ , breng samen, herken een kwadraat — de ongelijkheid tussen het rekenkundig en het meetkundig gemiddelde uit de weekendopgave over de betrekkingen van Euclides in het onderbouwvolume, in een nieuw kleedje.)

Deel IV — De gulden snede. Verdeel een lijnstuk van lengte $1$ in een groot stuk $x$ en een klein stuk $1 - x$ zó dat het geheel zich tot het grote stuk verhoudt als het grote stuk tot het kleine: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ .

Toon aan dat de voorwaarde luidt: $x^2 + x - 1 = 0$ .
Los op door het kwadraat aan te vullen, en houd de wortel over die een lengte is: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
Het gulden getal is $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Maak de noemer wortelvrij (vermenigvuldig teller en noemer met $\sqrt5 + 1$ : een merkwaardig product aan het werk) en toon aan dat $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
Ga de twee magische identiteiten van $\varphi$ exact na:

$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$
Slotstuk: leg uit waarom $\varphi$ irrationaal is (de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume levert het sleutelfeit over $\sqrt5$ ), en bereken daarna de verhoudingen $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ van opeenvolgende getallen van Hemachandra en Fibonacci (de weekendopgave over het tellen van ritmes in het onderbouwvolume) tot op drie decimalen. Wat lijken ze na te jagen? (Het bewijs dat ze het inhalen hoort bij de hoofdstukken over rijen.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$ .

2. $x = -1$ of $x = -5$ ; $x = \frac73$ of $x = -\frac73$ .

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ geeft $t^2 = 4$ , dus $t = 2$ : de getallen zijn $3$ en $7$ (som $10$ , product $21$ : klopt).

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$ , getallen $3$ en $11$ .

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ dwingt $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ af. Er is een oplossing precies wanneer dit $\geq 0$ is, dus wanneer $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — het product van twee getallen met gegeven som kan het kwadraat van de halve som nooit overtreffen (de weekendopgave over de omheining van koningin Dido in het onderbouwvolume wist dat al).

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : de vergelijking $x^2 - sx + p = 0$ zegt precies “ $x$ is een van twee getallen met som $s$ en product $p$ ”.

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$ . Verschil van kwadraten: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : oplossingen $3$ en $7$ — de getallen van de schrijver uit vraag 3.

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ geeft $(x + 3)^2 = 16$ , dus $x + 3 = \pm 4$ : $x = 1$ of $x = -7$ .

9. $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ voor elke $x$ : geen reële oplossing. In de vorm $(x + h)^2 + k$ bestaan er oplossingen precies wanneer $k \leq 0$ (dan heeft $(x+h)^2 = -k$ de twee wortels $-h \pm \sqrt{-k}$ ); is $k > 0$ , dan blijft de uitdrukking positief.

10. Het vierkant met zijde $x$ (oppervlakte $x^2$ ) met twee rechthoeken $3 \times x$ ( $6x$ samen) vormt een L met oppervlakte $x^2 + 6x = 7$ ; de ontbrekende hoek $3 \times 3$ (oppervlakte $9$ ) vult het aan tot een groot vierkant met zijde $x + 3$ . $9$ bij beide leden optellen geeft $(x + 3)^2 = 16$ , dus $x + 3 = 4$ (lengten zijn positief) en $x = 1$ . De algebra en de tekening zijn dezelfde handeling.

11. $(x-3)(x+2)$ : negatief tussen de nulpunten. Oplossing van $< 0$ : $x \in \intoo{-2}{3}$ .

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$ , dus $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : tussen de nulpunten, grenzen meegerekend: $x \in \intcc{3}{7}$ .

13. Nul in $x = 1$ , verboden in $x = -2$ ; het quotiënt is positief buiten de nulpunten: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$ .

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : de identiteit klopt. Omdat $(x-5)^2 \geq 0$ altijd geldt, is $A(x) \leq 25$ , met gelijkheid precies in $x = 5$ : de vierkante wei $5 \times 5$ , met maximum $25$ m $^2$ — de tabel uit jaar 6, nu een bewijs van twee regels.

15. Vermenigvuldig de bewering voor $x > 0$ met $x$ : $x^2 + 1 \geq 2x$ , dus $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — waar, met gelijkheid alleen in $x = 1$ . Terugdelen door $x > 0$ behoudt alles (Propositie 2.13).

16. Kruiselings vermenigvuldigen in $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (alle lengten positief): $x^2 = 1 - x$ , dus $x^2 + x - 1 = 0$ .

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ geeft $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ . De positieve wortel: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$ , en $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : gelijk. En $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (zo werd $\varphi$ juist gedefinieerd). Het gulden getal is het getal waarvan het kwadraat er één bij optelt en het omgekeerde er één van aftrekt.

20. $\sqrt5$ is irrationaal (de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume: $5$ is geen volkomen kwadraat), en $1$ optellen en daarna halveren behoudt de irrationaliteit (rationale bewerkingen, Probleem 1.1). Verhoudingen: $\frac53 \approx 1.667$ , $\frac85 = 1.600$ , $\frac{13}{8} = 1.625$ , $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : afwisselend boven en onder, en steeds dichter bij $\varphi = 1.618\ldots$ — de ritmegetallen uit de weekendopgave over het tellen van ritmes in het onderbouwvolume jagen in het geheim de gulden snede na; de hoofdstukken over rijen zullen ze op heterdaad betrappen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst