Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

11Functies en variaties

Dit hoofdstuk ordent wat men over functies moet weten vóór de analyse: de kleine familie van referentiefuncties waarvan de grafieken uit het hoofd bekend moeten zijn, de precieze betekenis van stijgend en dalend, en hoe variaties zich gedragen wanneer functies gecombineerd worden.

11.1 Functies en krommen

Definitie 11.1 (Functie, domein, kromme)

Een functie $f$ koppelt aan elk getal $x$ van een verzameling $D \subseteq \R$ (haar domein) precies één getal $f(x)$ . Haar kromme (of grafiek) is de verzameling van punten $\bigl(x, f(x)\bigr)$ voor $x \in D$ .

Voorbeeld 11.2

De formule $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ eist $x + 2 \geq 0$ (voor de vierkantswortel) en $x \neq 1$ (niet-nul noemer): het domein is $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 De referentiefuncties

De volgende vijf functies en hun krommen moeten reflexen worden.

Definitie 11.3 (Referentiefuncties)

x \mapsto x^2 \text{ (kwadraat)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (derdemacht)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Hun domeinen zijn $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ en $\R$ respectievelijk. De kromme van $x \mapsto \frac1x$ is een hyperbool.

De vijf referentiekrommen: de parabool x2 en de derdemacht x3 (links); √ x, x en de hyperbool 1x (rechts). — De vijf referentiekrommen: de parabool $x^2$ en de derdemacht $x^3$ (links); $\sqrt x$ , $\abs x$ en de hyperbool $\frac1x$ (rechts).

11.3 Variaties op een interval

Definitie 11.4 (Stijgend, dalend)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval $I$ . De functie $f$ is stijgend op $I$ als ze de volgorde behoudt:

\text{voor alle } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

en dalend als ze de volgorde omkeert ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Met strikte ongelijkheden rechts is $f$ strikt stijgend (resp. dalend). Een functie die stijgend of dalend is op $I$ is monotoon op $I$ .

Methode 11.5 (Een variatie bewijzen vanuit de definitie)

Neem twee willekeurige getallen $u < v$ in het interval, en bepaal het teken van het verschil $f(v) - f(u)$ , meestal door het te ontbinden. Als het teken constant is op het interval, concludeer.

Propositie 11.6 (Variaties van de referentiefuncties)

$x^2$ is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ is strikt stijgend op $\R$ .
$\sqrt x$ is strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ is strikt dalend op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{0}{+\infty}$ (maar niet op hun vereniging).
$\abs x$ is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .

Bewijs. Laat $u < v$ . We ontbinden $f(v) - f(u)$ in elk geval.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Op $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ en $v + u > 0$ (omdat $v > u \geq 0$ ), dus $v^2 > u^2$ . Op $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , dus $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , en de tweede factor is gelijk aan $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ tenzij $u = v = 0$ . Dus $v^3 > u^3$ wanneer $v > u$ .

3. Voor $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Voor $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ omdat $u - v < 0$ en $uv > 0$ ; zelfde berekening voor $u < v < 0$ . Op de vereniging faalt de claim: $-1 < 1$ maar $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. Op $\intco{0}{+\infty}$ is $\abs x = x$ strikt stijgend; op $\intoc{-\infty}{0}$ is $\abs x = -x$ strikt dalend. ∎

Opmerking 11.7

Punt 4 is een klassieke valkuil: “dalend op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{0}{+\infty}$ ” is niet hetzelfde als “dalend op $\R \setminus \{0\}$ ”. Variaties hebben alleen zin op intervallen.

Voorbeeld 11.8 (Vergelijken zonder te rekenen)

Omdat $\sqrt x$ strikt stijgend is, is $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; omdat $x^2$ strikt dalend is op $\intoc{-\infty}{0}$ , is $(-3)^2 > (-2)^2$ . Monotonie zet vergelijkingen van beelden om in vergelijkingen van argumenten.

11.4 Nieuwe functies uit oude

Propositie 11.9 (Transformaties)

Laat $u$ een functie zijn gedefinieerd op een interval $I$ en $k \in \R$ .

$u + k$ heeft dezelfde variaties als $u$ op $I$ ; haar kromme is die van $u$ verticaal verschoven met $k$ .
Voor $\lambda > 0$ heeft $\lambda u$ dezelfde variaties als $u$ ; voor $\lambda < 0$ zijn de variaties omgekeerd.
Als $u \geq 0$ op $I$ , dan heeft $\sqrt u$ dezelfde variaties als $u$ .
Als $u \neq 0$ en $u$ constant teken heeft op $I$ , dan heeft $\frac1u$ de tegengestelde variaties van $u$ .

Bewijs. Laat $u < v$ in $I$ (we misbruiken notatie en vergelijken $x$ -waarden $u < v$ ; schrijf $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ voor de beelden van $x_1 < x_2$ ).

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : het verschil van beelden blijft onveranderd, dus het teken ook.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : het teken blijft als $\lambda > 0$ , keert om als $\lambda < 0$ .

3. Als $u$ stijgend is en $x_1 < x_2$ , dan $0 \leq s \leq t$ , en omdat $\sqrt{}$ stijgend is (Propositie 11.6) volgt $\sqrt s \leq \sqrt t$ . Hetzelfde argument in het dalende geval.

4. Als $u$ stijgend is, $0 < s \leq t$ (of $s \leq t < 0$ ), dan $\frac1s \geq \frac1t$ omdat $x \mapsto \frac1x$ dalend is aan weerszijden van $0$ : de volgorde is omgekeerd. ∎

Voorbeeld 11.10

Bestudeer $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ op $\R$ . De binnelfunctie $u(x) = x^2 + 1$ is positief, dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ (een verschoven kwadraat). Volgens punt 3 heeft $f$ dezelfde variaties: dalend dan stijgend, met minimum $f(0) = 1$ .

Transformaties in actie: x2 met 1 omhoog verschuiven (rood) houdt de variaties; de vierkantswortel nemen (oranje) houdt ze opnieuw, zoals in . — Transformaties in actie: $x^2$ met $1$ omhoog verschuiven (rood) houdt de variaties; de vierkantswortel nemen (oranje) houdt ze opnieuw, zoals in Voorbeeld 11.10.

11.5 Even en oneven functies

Definitie 11.11 (Pariteit)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een domein $D$ symmetrisch t.o.v. $0$ (d.w.z. $-x \in D$ wanneer $x \in D$ ). De functie $f$ is even als $f(-x) = f(x)$ voor alle $x \in D$ , en oneven als $f(-x) = -f(x)$ voor alle $x \in D$ .

Propositie 11.12 (Meetkundige betekenis)

De kromme van een even functie is symmetrisch t.o.v. de $y$ -as; de kromme van een oneven functie is symmetrisch t.o.v. de oorsprong.

Bewijs. Als $f$ even is en $(x, y)$ op de kromme ligt (dus $y = f(x)$ ), dan $f(-x) = f(x) = y$ : het spiegelpunt $(-x, y)$ ligt ook op de kromme. Als $f$ oneven is, $f(-x) = -y$ : het punt $(-x, -y)$ , symmetrisch van $(x,y)$ t.o.v. de oorsprong, ligt op de kromme. ∎

Voorbeeld 11.13

$x^2$ en $\abs x$ zijn even; $x^3$ en $\frac1x$ zijn oneven; $f(x) = x^2 + x$ is geen van beide: $f(-1) = 0$ terwijl $f(1) = 2$ , dus $f(-1) \neq \pm f(1)$ . Pariteit halveert het werk: een even of oneven functie hoeft alleen bestudeerd te worden op $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 Oefeningen

Oefening 11.1 ★

Geef het domein van elke functie:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.1.

$f$ : eist $3 - x \geq 0$ , domein $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : eist $x^2 - 4 \neq 0$ , d.w.z. $x \neq \pm 2$ : domein $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : eist $x \geq 0$ en $x \neq 5$ : domein $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Oefening 11.2 ★

Vergelijk met de variaties van de referentiefuncties zonder rekenmachine:

\sqrt{11} \text{ en } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ en } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ en } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ en } (-0.99)^3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ omdat $\sqrt{}$ stijgend is en $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ omdat $x^2$ dalend is op $\intoc{-\infty}{0}$ en $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ omdat $\frac1x$ dalend is op $\intoo{0}{+\infty}$ en $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ omdat $x^3$ stijgend is en $-1.01 < -0.99$ .

Oefening 11.3 ★

Bepaal of elke functie even, oneven, of geen van beide is:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : even.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : oneven.

$h(1) = 2$ en $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , dus $h(-1)$ is noch $h(1)$ noch $-h(1)$ : noch even noch oneven.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : oneven.

Oefening 11.4 ★

Een functie $f$ heeft het volgende variatiegedrag: stijgend op $\intcc{-3}{1}$ van $f(-3) = -2$ tot $f(1) = 4$ , daarna dalend op $\intcc{1}{5}$ tot $f(5) = 0$ . Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking $f(x) = 1$ op $\intcc{-3}{5}$ ? En $f(x) = 5$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.4.

Lees de veranderingstabel. Op $\intcc{-3}{1}$ klimt $f$ van $-2$ naar $4$ en kruist de waarde $1$ precies één keer; op $\intcc{1}{5}$ daalt ze van $4$ naar $0$ en kruist $1$ nog eens: de vergelijking $f(x) = 1$ heeft $2$ oplossingen. Het maximum van $f$ is $f(1) = 4 < 5$ , dus $f(x) = 5$ heeft geen oplossing.

Oefening 11.5 ★★

Bewijs met Methode 11.5 (teken van $f(v) - f(u)$ ) dat $f(x) = x^2 - 4x$ strikt stijgend is op $\intco{2}{+\infty}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.5.

Laat $2 \leq u < v$ . Dan

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Beide factoren zijn positief: $v - u > 0$ , en $u + v > 2 + 2 = 4$ omdat $u \geq 2$ en $v > 2$ . Dus $f(v) > f(u)$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{2}{+\infty}$ .

Oefening 11.6 ★★

Geef zonder enige afgeleide te berekenen de variaties van

\begin{gather*} f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ op } \intoc{-\infty}{5}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ op } \intco{0}{+\infty}, \\ h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ op } \intco{0}{+\infty}. \end{gather*}

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.6.

$f = \sqrt{u}$ met $u(x) = 5 - x$ dalend en niet-negatief op $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ is daar dalend (Propositie 11.9).

$g = \frac1u$ met $u(x) = x^2 + 1$ stijgend en positief op $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ is daar dalend.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ is stijgend, vermenigvuldigen met $-2 < 0$ keert om, $3$ optellen verandert niets: $h$ is dalend op $\intco{0}{+\infty}$ .

Oefening 11.7 ★★

Laat $f(x) = (x-2)^2 - 3$ op $\R$ .

Geef de variaties van $f$ en haar minimum.
Leid de variaties van $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ en haar maximum af. (Merk op $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.7.

1. $f$ staat in canonieke vorm: dalend op $\intoc{-\infty}{2}$ , stijgend op $\intco{2}{+\infty}$ , minimum $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ met $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . De verschuiving met $4$ houdt de variaties van $f$ , en $u \geq 1 > 0$ . Omkeren keert ze om: $g$ is stijgend op $\intoc{-\infty}{2}$ en dalend op $\intco{2}{+\infty}$ , met maximum $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Oefening 11.8 ★★

De kromme van een functie $f$ gaat door de punten $(0, 1)$ , $(2, 3)$ en $(4, 1)$ , en $f$ is stijgend op $\intcc{0}{2}$ en dalend op $\intcc{2}{4}$ . Schets een mogelijke kromme, daarna de krommen van $f + 2$ , van $-f$ , en van $2f$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.8.

Elke heuvelvormige kromme door de drie punten werkt. Dan: $f + 2$ gaat door $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , dezelfde variaties (verticale verschuiving); $-f$ gaat door $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ met omgekeerde variaties (de top wordt een dal); $2f$ gaat door $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , dezelfde variaties maar verticaal versterkt.

Oefening 11.9 ★★

Toon aan dat de functie $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ geschreven kan worden als $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ , en leid haar variaties af op $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . Op $\intoo{-1}{+\infty}$ is $u(x) = x + 1$ stijgend en positief, dus $\frac1u$ is dalend, $-\frac1u$ is stijgend, en $2$ optellen verandert niets: $f$ is strikt stijgend op $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Oefening 11.10 ★★

Waar of onwaar (rechtvaardig of geef een tegenvoorbeeld):

De som van twee stijgende functies op $I$ is stijgend op $I$ .
Het product van twee stijgende functies op $I$ is stijgend op $I$ .
Als $f$ stijgend is op $I$ , dan is $f^2$ ( $= f \times f$ ) stijgend op $I$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.10.

1. Waar. Als $u < v$ , dan is $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ een som van twee niet-negatieve getallen.

2. Onwaar. $f(x) = g(x) = x$ zijn stijgend op $\R$ , maar hun product $x^2$ is niet stijgend op $\R$ (het daalt op $\intoc{-\infty}{0}$ ). (De uitspraak wordt waar als beide functies ook niet-negatief zijn.)

3. Onwaar. Hetzelfde tegenvoorbeeld: $f(x) = x$ is stijgend op $\R$ maar $f^2(x) = x^2$ niet.

Oefening 11.11 ★★★

Laat $f(x) = x + \frac{1}{x}$ voor $x > 0$ .

Toon aan dat voor $0 < u < v$ , $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
Leid af dat $f$ strikt dalend is op $\intoc{0}{1}$ en strikt stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ .
Concludeer dat $x + \frac1x \geq 2$ voor alle $x > 0$ , met gelijkheid alleen bij $x = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.11.

1. Voor $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Altijd $v - u > 0$ en $uv > 0$ . Als $0 < u < v \leq 1$ , dan $uv < 1$ , dus $uv - 1 < 0$ en $f(v) < f(u)$ : $f$ is strikt dalend op $\intoc{0}{1}$ . Als $1 \leq u < v$ , dan $uv > 1$ en $f(v) > f(u)$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ daalt vóór $1$ en stijgt erna, dus $f(x) \geq f(1) = 2$ voor alle $x > 0$ , met gelijkheid precies bij $x = 1$ . (Deze ongelijkheid keert in vele gedaanten terug; vergelijk Voorbeeld 10.3 en de raaklijnongelijkheden van Hoofdstuk 22.)