Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

10Kwadratische functies en vergelijkingen

Kwadratische functies zijn de eenvoudigste functies na de lineaire, en de eerste waarvan de grafieken werkelijk gebogen zijn. Dit hoofdstuk bouwt de volledige gereedschapskist voor hen op: de toppuntsvorm, de discriminant, het teken van een kwadratische uitdrukking en de meetkunde van de parabool.

10.1 De toppuntsvorm

Definitie 10.1 (Kwadratische functie)

Een kwadratische functie is een functie van de vorm

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

waarbij $a$ , $b$ , $c$ reële getallen zijn. De uitdrukking $ax^2 + bx + c$ heet ook een kwadratische drieterm.

Stelling 10.2 (Toppuntsvorm)

Elke kwadratische functie laat zich op precies één manier schrijven als

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{waarbij } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ en } \beta = f(\alpha).

Dit is de toppuntsvorm van $f$ .

Bewijs. We vullen het kwadraat aan. Omdat $a \neq 0$ , halen we die factor uit de eerste twee termen:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Nu is $x^2 + \frac{b}{a}x$ het begin van het kwadraat $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , zodat $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Invullen geeft

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

met $\alpha = -\frac{b}{2a}$ en $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Invullen van $x = \alpha$ maakt de kwadratische term nul, dus is $\beta = f(\alpha)$ . Uniciteit: $a(x-\alpha)^2 + \beta$ uitwerken en de coëfficiënten van $x$ gelijkstellen dwingt $\alpha = -\frac{b}{2a}$ af, en daarna ligt $\beta$ vast. ∎

Voorbeeld 10.3

Zij $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Dan is $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ en $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , dus

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Controle door uit te werken: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Propositie 10.4 (Extremum en verloop)

Zij $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Is $a > 0$ , dan is $f$ dalend op $\intoc{-\infty}{\alpha}$ en stijgend op $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ heeft een minimum $\beta$ , bereikt in $x = \alpha$ .
Is $a < 0$ , dan is het verloop omgekeerd: $f$ heeft een maximum $\beta$ in $x = \alpha$ .

Bewijs. Stel $a > 0$ en zij $\alpha \leq u < v$ . Dan is

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Elke factor is positief: $a > 0$ , $v - u > 0$ , en $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ omdat $v > \alpha$ en $u \geq \alpha$ . Dus is $f(v) > f(u)$ : $f$ is stijgend op $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Voor $u < v \leq \alpha$ is de laatste factor negatief, dus $f(v) < f(u)$ : daar is $f$ dalend. Ten slotte is $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ voor alle $x$ , zodat $\beta = f(\alpha)$ het minimum is. Het geval $a < 0$ volgt door het bovenstaande op $-f$ toe te passen. ∎

Voorbeeld 10.5

Een boer heeft $100$ meter omheining om een rechthoekig veld tegen een rechte muur af te bakenen (langs de muur is geen omheining nodig). Is $x$ de breedte, dan is de omsloten oppervlakte $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Hier is $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ en $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : de oppervlakte is het grootst bij een breedte van $25$ m, en bedraagt dan $1250$ m $^2$ .

10.2 Wortels en ontbinding

Definitie 10.6 (Wortel, discriminant)

Een wortel van de drieterm $ax^2+bx+c$ is een oplossing van de vergelijking $ax^2 + bx + c = 0$ . De discriminant van de drieterm is het getal

\Delta = b^2 - 4ac .

Stelling 10.7 ( $ax^2+bx+c=0$ oplossen)

Is $\Delta > 0$ , dan heeft de vergelijking twee verschillende wortels

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

en is $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Is $\Delta = 0$ , dan heeft de vergelijking de enkele wortel $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , en is $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Is $\Delta < 0$ , dan heeft de vergelijking geen reële oplossing, en laat de drieterm zich niet met reële coëfficiënten ontbinden.

Bewijs. Vertrek van de toppuntsvorm uit Stelling 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

want $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Is $\Delta > 0$ , dan is $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ en is de haak een verschil van twee kwadraten:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Een product is nul precies wanneer een van zijn factoren nul is, wat de twee wortels geeft; ze zijn verschillend omdat $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Is $\Delta = 0$ , dan is de haak $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , en die verdwijnt alleen in $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Is $\Delta < 0$ , dan is $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , zodat de haak een kwadraat plus een positief getal is: ze verdwijnt nooit, en de vergelijking heeft geen reële oplossing. Een ontbinding $a(x-x_1)(x-x_2)$ zou wortels opleveren, dus bestaat er geen. ∎

Voorbeeld 10.8

Los $2x^2 - 8x + 3 = 0$ op. Hier is $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , dus zijn er twee wortels:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Voor $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , geen reële oplossing.

Propositie 10.9 (Som en product van de wortels)

Is $\Delta \geq 0$ en zijn $x_1, x_2$ de wortels (gelijk wanneer $\Delta = 0$ ), dan geldt

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Omgekeerd zijn twee getallen met som $s$ en product $p$ de oplossingen van $x^2 - sx + p = 0$ .

Bewijs. Werk de ontbinding van Stelling 10.7 uit:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

De coëfficiënten gelijkstellen aan die van $ax^2 + bx + c$ geeft $-a(x_1+x_2) = b$ en $a\,x_1x_2 = c$ . Voor het omgekeerde: is $u + v = s$ en $uv = p$ , dan is $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , dus zijn $u$ en $v$ de wortels ervan. ∎

Voorbeeld 10.10

Zoek twee getallen met som $10$ en product $21$ . Ze lossen $x^2 - 10x + 21 = 0$ op; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , met wortels $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ en $3$ . Snel een wortel spotten: omdat de coëfficiënten van $x^2 - 5x + 4$ voldoen aan $1 - 5 + 4 = 0$ , is $1$ een wortel, en is de andere $\frac{c}{a} = 4$ (hun product moet immers $\frac ca$ zijn).

10.3 Het teken van een drieterm

Stelling 10.11 (Teken van een drieterm)

Zij $f(x) = ax^2+bx+c$ met $a \neq 0$ .

Is $\Delta > 0$ , met wortels $x_1 < x_2$ : dan heeft $f(x)$ het teken van $a$ buiten $\intcc{x_1}{x_2}$ en het teken van $-a$ op $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Is $\Delta = 0$ : dan heeft $f(x)$ het teken van $a$ voor alle $x \neq x_0$ , en verdwijnt $f$ in $x_0$ .
Is $\Delta < 0$ : dan heeft $f(x)$ het teken van $a$ voor alle $x$ .

Kortom: een drieterm heeft het teken van $a$ , behalve tussen zijn wortels.

Bewijs. 1. Schrijf $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ en volg de tekens van de factoren. Is $x < x_1$ : dan zijn $x - x_1$ en $x - x_2$ allebei negatief, is hun product positief, en heeft $f(x)$ het teken van $a$ . Is $x_1 < x < x_2$ : dan hebben de factoren tegengestelde tekens, is het product negatief, en heeft $f(x)$ het teken van $-a$ . Is $x > x_2$ : dan zijn beide factoren positief en heeft $f(x)$ opnieuw het teken van $a$ .

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ , en $(x-x_0)^2 > 0$ voor $x \neq x_0$ .

3. Uit het bewijs van Stelling 10.7 volgt $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , en de haak is altijd positief. ∎

Methode 10.12 (Kwadratische ongelijkheden oplossen)

Om $ax^2 + bx + c \leq 0$ (of $\geq$ , $<$ , $>$ ) op te lossen:

bereken $\Delta$ en de eventuele wortels;
stel de tekentabel op met Stelling 10.11 (het teken van $a$ buiten de wortels);
lees het oplossingsinterval of de oplossingsintervallen af, met oog voor de vraag of de wortels zelf meetellen (ruime ongelijkheid) of niet (strikte).

Voorbeeld 10.13

Los $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ op. Hier is $\Delta = 9 + 16 = 25$ , en zijn de wortels $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , dus $x_1 = -1$ en $x_2 = 4$ . Omdat $a = -1 < 0$ , is de drieterm negatief buiten de wortels en positief ertussen. Bij de ruime ongelijkheid is de oplossingsverzameling $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 De parabool

Definitie 10.14 (Parabool)

De grafiek van een kwadratische functie $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ is een parabool met top $S(\alpha, \beta)$ . Ze opent naar boven wanneer $a > 0$ en naar beneden wanneer $a < 0$ , en is symmetrisch om de verticale rechte $x = \alpha$ .

Opmerking 10.15

De symmetrie is snel na te gaan: voor elke $h$ is $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , zodat twee punten op gelijke horizontale afstand van de rechte $x = \alpha$ dezelfde hoogte hebben.

De drie mogelijke liggingen van een naar boven openende parabool (a > 0) ten opzichte van de x-as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top S heeft abscis = -b/2a. — De drie mogelijke liggingen van een naar boven openende parabool ( $a > 0$ ) ten opzichte van de $x$ -as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top $S$ heeft abscis $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Het teken van een naar beneden openende drieterm (a < 0) met twee wortels: het teken van -a tussen de wortels (gearceerd), het teken van a daarbuiten. — Het teken van een naar beneden openende drieterm ( $a < 0$ ) met twee wortels: het teken van $-a$ tussen de wortels (gearceerd), het teken van $a$ daarbuiten.

Methode 10.16 (Een parabool lezen)

Om $f(x) = ax^2+bx+c$ te schetsen: bepaal de opening (het teken van $a$ ), de top $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , het snijpunt $(0, c)$ met de $y$ -as en de eventuele wortels. De symmetrieas $x = -\frac{b}{2a}$ plaatst daarna elk berekend punt twee keer.

Voorbeeld 10.17

Voor $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : opent naar boven, top $(2, -1)$ , snijdt de $y$ -as in $(0,3)$ , wortels $1$ en $3$ (gespot: $1 - 4 + 3 = 0$ ). Door de symmetrie ligt ook het punt $(4, 3)$ op de kromme, als spiegelbeeld van $(0, 3)$ .

10.5 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Los de vergelijkingen op:

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , wortels $\frac{5 \pm 1}{2}$ , dus $2$ en $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , wortels $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , dus $\frac12$ en $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , geen reële oplossing.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , één (dubbele) wortel $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Oefening 10.2 ★

Schrijf in toppuntsvorm en geef de top van de parabool:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : top $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : top $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : top $(-1, -3)$ .

Oefening 10.3 ★

Los de ongelijkheden op:

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , wortels $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ en $5$ ; de kopcoëfficiënt is positief, dus is de drieterm strikt tussen de wortels negatief: de oplossingsverzameling is $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ en $a = 2 > 0$ : altijd positief, dus is de oplossingsverzameling $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : dat is alleen $\geq 0$ waar $(x-3)^2 \leq 0$ , dus in $x = 3$ . De oplossingsverzameling is $\{3\}$ .

Oefening 10.4 ★

Zoek zonder $\Delta$ te berekenen één voor de hand liggende wortel, en daarna de andere:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Tip: probeer $x = 1$ en $x = -1$ , en gebruik daarna het product van de wortels.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , dus is $1$ een wortel; het product van de wortels is $6$ , dus is de andere wortel $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , dus is $1$ een wortel; het product is $\frac{c}{a} = -\frac72$ , dus is de andere wortel $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , dus is $1$ een wortel; het product is $-5$ , dus is de andere wortel $-5$ .

Oefening 10.5 ★★

Zoek twee getallen met som $14$ en product $45$ . Zoek daarna de afmetingen van een rechthoek met omtrek $34$ en oppervlakte $60$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

De twee getallen lossen $x^2 - 14x + 45 = 0$ op (Propositie 10.9); $\Delta = 196 - 180 = 16$ , met wortels $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ en $5$ .

Voor de rechthoek: de halve omtrek geeft lengte $+$ breedte $= 17$ , en de oppervlakte geeft hun product $60$ . Ze lossen $x^2 - 17x + 60 = 0$ op; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , met wortels $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ en $5$ . De rechthoek meet $12 \times 5$ .

Oefening 10.6 ★★

Zij $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , met $m$ een reële parameter. Voor welke waarden van $m$ heeft de vergelijking $f(x) = 0$ precies één oplossing? En geen enkele?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Precies één oplossing wanneer $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , dus $m - 2 = \pm 2$ , dus $m = 0$ of $m = 4$ . Geen oplossing wanneer $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , dus $-2 < m - 2 < 2$ , dus $0 < m < 4$ .

Oefening 10.7 ★★

Een bal wordt omhoog geworpen; zijn hoogte na $t$ seconden is $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (in meter). Wat is de grootste bereikte hoogte, en op welk tijdstip? Op welk tijdsinterval bevindt de bal zich op minstens $16$ m hoogte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

De top ligt in $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , en $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : grootste hoogte $21$ m, na $2$ seconden bereikt.

$h(t) \geq 16$ betekent $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , dus (na deling door $-5$ , wat de ongelijkheid omkeert) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . De wortels van $t^2-4t+3$ zijn $1$ en $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , product $3$ ), zodat $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ precies op $\intcc{1}{3}$ geldt: de bal bevindt zich tussen de tijdstippen $t = 1$ s en $t = 3$ s op minstens $16$ m hoogte.

Oefening 10.8 ★★

Los de vergelijking $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ op door $X = x^2$ te stellen (een bikwadratische vergelijking).

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

Met $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , dus $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ of $4$ . Terug naar $x$ : $x^2 = 9$ geeft $x = \pm 3$ , en $x^2 = 4$ geeft $x = \pm 2$ . De oplossingsverzameling is $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Oefening 10.9 ★★

Voor welke waarden van $x$ ligt het punt $M(x, x^2)$ van de parabool $y = x^2$ strikt onder de rechte $y = x + 2$ ? Duid het op een schets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

De voorwaarde is $x^2 < x + 2$ , dus $x^2 - x - 2 < 0$ . Omdat $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (wortels $-1$ en $2$ ), geldt de ongelijkheid strikt tussen de wortels: $x \in \intoo{-1}{2}$ . Op een schets duikt de parabool $y = x^2$ precies tussen haar twee snijpunten $(-1, 1)$ en $(2, 4)$ onder de rechte $y = x+2$ .

Oefening 10.10 ★★

De som van een positief getal en zijn omgekeerde is $\frac{13}{6}$ . Zoek het getal. (Herleid tot een kwadratische vergelijking.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

Zij $x > 0$ met $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Vermenigvuldigen met $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , dus $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Dan is $\Delta = 169 - 144 = 25$ en $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , wat $x = \frac32$ of $x = \frac23$ geeft. Beide zijn positief en elkaars omgekeerde, zoals verwacht: het getal is $\frac32$ (of $\frac23$ ).

Oefening 10.11 ★★★

Zij $\mathcal P$ de parabool $y = x^2$ en $d_m$ de rechte $y = mx - 1$ , met $m$ een reële parameter.

Voor welke waarden van $m$ snijden $\mathcal P$ en $d_m$ elkaar in twee punten? In één punt? In geen enkel punt?
Bereken, wanneer ze elkaar in precies één punt raken, het raakpunt. (In Hoofdstuk 12 zul je $d_m$ herkennen als de raaklijn aan $\mathcal P$ in dat punt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

1. De snijpunten horen bij de oplossingen van $x^2 = mx - 1$ , dus van $x^2 - mx + 1 = 0$ , met discriminant $\Delta = m^2 - 4$ . Twee punten wanneer $\abs{m} > 2$ ; precies één wanneer $m = \pm 2$ ; geen enkel wanneer $-2 < m < 2$ .

2. Voor $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , dus is het enige raakpunt $(1, 1)$ . Voor $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , raakpunt $(-1, 1)$ . In beide gevallen ontmoet de rechte de parabool in één punt zonder haar te kruisen — het is daar de raaklijn, en inderdaad is haar richtingscoëfficiënt $m = \pm 2$ gelijk aan de waarde in $x = \pm 1$ van de afgeleide $2x$ van $x^2$ (Hoofdstuk 12).

10.6 Opgave: het geheime punt van de parabool

Probleem 10.1

Weekendopgave — brandpunt en richtlijn: waarom schotelantennes, koplampen en hangbruggen alle dezelfde kromme tekenen, waarvan er in wezen maar één bestaat

Elke schotelantenne op elk balkon richt haar ontvanger op één welbepaald punt binnenin; elke koplamp verbergt haar lampje op dezelfde bijzondere plek. Dat punt — het brandpunt — is een geheim dat de parabool al sinds de Griekse meetkunde bewaart, en de afstandsformule volstaat om het eruit te halen. Onderweg oefent deze opgave de discriminant, werpt ze projectielen over muren, hangt ze een brug op, en bewijst ze een verbluffend slotfeit: op een vergroting na is er maar één parabool ter wereld.

Deel I — Vlot met drietermen.

Los $x^2 - 5x + 6 = 0$ op, daarna $2x^2 + x - 6 = 0$ , en ten slotte $x^2 + x + 1 = 0$ (Stelling 10.7).
Schrijf $2x^2 - 4x - 6$ in ontbonden vorm en in toppuntsvorm (Stelling 10.2). Samen met de uitgewerkte vorm heb je nu drie kostuums van één functie: zeg welk kenmerk elk kostuum in één oogopslag toont (wortels, top, $y$ -afsnede).
Los $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ op met de tekenregel (Stelling 10.11).
Viète als speurder (Propositie 10.9, in het spoor van Babylon in Probleem 2.1): zoek twee getallen met som $7$ en product $12$ door hun vergelijking op te schrijven. En daarna: één wortel van $x^2 - 5x + c = 0$ is gelijk aan $2$ ; zoek $c$ en de andere wortel zonder ook maar iets op te lossen.
Voor welke waarden van $m$ heeft $x^2 + mx + 9 = 0$ een dubbele wortel? Geen wortel? Twee wortels?

Deel II — Het brandpunt onthuld. Werk met de parabool $y = x^2$ , het punt $F\left(0, \frac14\right)$ en de horizontale rechte $\delta$ met vergelijking $y = -\frac14$ .

Werk voor een punt $P(x, x^2)$ van de parabool $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ uit en toon aan dat het het volkomen kwadraat $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ is. Leid $PF$ af.
Bereken de afstand van $P$ tot de rechte $\delta$ , en besluit: elk punt van de parabool ligt precies even ver van $F$ als van $\delta$ . ( $F$ is het brandpunt, $\delta$ de richtlijn.)
Bewijs het omgekeerde: een punt $P(x, y)$ met $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ moet aan $y = x^2$ voldoen. (Kwadrateer beide afstanden en vereenvoudig.) De parabool is dus een meetkundige plaats, net als de cirkel in Probleem 5.1: gelijke afstand tot een punt en een rechte, in plaats van tot één punt.
Pas voor de wijdere parabool $y = \frac{x^2}{4f}$ (met $f > 0$ ) vraag 6 aan om aan te tonen dat het brandpunt $(0, f)$ is en de richtlijn $y = -f$ . Toepassing: een schotelantenne is $60$ cm breed en $9$ cm diep — haar rand gaat door $(30, 9)$ . Zoek $f$ : hoe hoog boven de top moet de ontvanger hangen?
Waarom schotels werken: stralen die evenwijdig met de as binnenkomen weerkaatsen alle door het brandpunt (en een lampje in het brandpunt werpt een evenwijdige bundel — koplampen zijn schotels die achterstevoren werken). Leg uit waarom de gelijke afstanden van vraag 7 dat aannemelijk maken (denk aan de stralen als oprukkende golffronten), en zeg welk gereedschap uit Hoofdstuk 12 (zie Oefening 10.11) aannemelijkheid in een bewijs omzet.

Deel III — Parabolen aan het werk.

Een bal volgt de baan $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ en $y$ in meter). Zoek waar hij neerkomt, de horizontale plaats van zijn hoogste punt, en de grootste hoogte (Propositie 10.4).
Op dezelfde baan staat een muur in $x = 4$ . Bereken de hoogte van de bal daar: gaat hij over een muur van $3$ m? En over een van $4$ m?
Een paraboolboog overspant $40$ m met een grootste hoogte van $10$ m: in gecentreerde coördinaten is $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Kan een vrachtwagen van $7$ m hoog erdoor op $10$ m van het midden? En op $15$ m?
De opbrengst van een theater bij een ticketprijs van $p$ euro is $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (de vraag zakt als de prijs stijgt). Zoek de prijs die de opbrengst maximaal maakt, en dat maximum.
De hoofdkabels van de Golden Gate zijn tot op grote nauwkeurigheid parabolisch (een gelijkmatig verdeelde last op het brugdek levert een parabool op — een vrij hangende ketting niet: haar kromme, de kettinglijn, vraagt de exponentiële functie van jaar 12). Met een overspanning van $1\,280$ m en een doorhang van $143$ m volgt de kabel $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ vanaf het midden. Hoe hoog ligt de kabel boven zijn laagste punt in $x = 320$ m?

Deel IV — Rechten, raaklijnen en de laatste verrassing.

Vervolledig Oefening 10.11: de rechten $y = mx - 1$ door het uitwendige punt $(0, -1)$ ontmoeten $y = x^2$ naargelang het teken van een discriminant. Zoek de twee raaklijnen vanuit $(0, -1)$ en hun raakpunten.
En nu de rechten $y = mx + 1$ door het inwendige punt $(0, 1)$ : bereken de discriminant van de snijvergelijking en toon aan dat elke zulke rechte de parabool twee keer snijdt. Moraal: van binnenuit geen raaklijnen — net als bij een cirkel.
De brandpuntskoorde: snijd $y = x^2$ met de horizontale rechte door het brandpunt, $y = \frac14$ . Hoe lang is die koorde? Ga de algemene regel na (het onthouden waard voor schotels): voor $y = \frac{x^2}{4f}$ heeft de koorde door het brandpunt evenwijdig met de richtlijn lengte $4f$ .
De laatste verrassing: pas de vergroting $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ toe op de parabool $y = x^2$ en toon aan dat het beeld precies $y = \frac{x^2}{k}$ is. Besluit: elke parabool $y = \frac{x^2}{4f}$ is een vergroting van de eenheidsparabool — anders dan cirkels en ellipsen met verschillende verhoudingen zijn alle parabolen gelijkvormig.
Slotstuk: het portret van de parabool in vijf regels — een vergelijking met drie kostuums (vraag 2), een meetkundige plaats (vragen 7–8), de weerkaatser van de ingenieur (vragen 9, 10), de baan van een projectiel en de kabel van een brug (vragen 11–15), en op een vergroting na één enkele kromme (vraag 19). Telkens één zin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , wortels $2$ en $3$ . $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , wortels $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : $\frac32$ en $-2$ . $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : geen reële oplossing.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : wortels $3$ en $-1$ , dus is $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; de toppuntsvorm is $2(x - 1)^2 - 8$ . De ontbonden vorm toont de wortels, de toppuntsvorm de top $(1, -8)$ , en de uitgewerkte vorm de $y$ -afsnede $-6$ .

3. Wortels $1$ en $3$ , met negatieve kopcoëfficiënt: de drieterm is $\geq 0$ tussen de wortels: $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. De getallen zijn de wortels van $x^2 - 7x + 12 = 0$ : $3$ en $4$ . Is $2$ een wortel van $x^2 - 5x + c$ , dan voldoet de andere wortel $r$ aan $2 + r = 5$ (som), dus $r = 3$ , en $c = 2 \times 3 = 6$ (product): Viète leest het zo af.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : een dubbele wortel voor $m = \pm 6$ (wortel $\mp 3$ ); geen wortel voor $-6 < m < 6$ ; twee wortels voor $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Bijgevolg is $PF = x^2 + \frac14$ (beide factoren zijn positief).

7. De afstand van $P(x, x^2)$ tot de horizontale rechte $y = -\frac14$ is $x^2 + \frac14$ — precies $PF$ . Elk punt van de parabool ligt even ver van het brandpunt als van de richtlijn.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ en $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . Gelijkstellen geeft $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ , dus $x^2 = y$ : de meetkundige plaats is precies de parabool. Eén punt en één rechte brengen de kromme voort, zoals één punt en één afstand de cirkel voortbrachten.

9. Voor $y = \frac{x^2}{4f}$ geeft dezelfde uitwerking met $F(0, f)$ dat $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : de afstand tot $F$ is gelijk aan de afstand tot $y = -f$ . Schotel: $9 = \frac{30^2}{4f}$ geeft $4f = 100$ , dus $f = 25$ cm: de ontvanger hangt een kwart meter boven de top — buiten de $9$ cm diepe schotel, zoals echte antennes laten zien.

10. Een golffront dat evenwijdig met de as binnenkomt heeft gelijke afstanden afgelegd om de hoogte van de richtlijn te bereiken; de gelijke afstanden zetten “even ver van de richtlijn” om in “even ver van $F$ ”: alle weerkaatste signalen komen in de pas in $F$ aan en versterken elkaar — daar moet je dus luisteren. Het eerlijke bewijs vraagt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in elk punt — de afgeleide van Hoofdstuk 12, waarvan Oefening 10.11 een glimp geeft.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : hij komt neer in $x = 20$ m. De top ligt halverwege: $x = 10$ , met hoogte $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: ruim over een muur van $3$ m, maar knal tegen een muur van $4$ m.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : de vrachtwagen raakt erdoor op $10$ m van het midden. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: op $15$ m niet.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : top in $p = \frac{120}{4} = 30$ euro, met opbrengst $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euro.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m boven het laagste punt.

16. $x^2 = mx - 1$ geeft $x^2 - mx + 1 = 0$ , met $\Delta = m^2 - 4$ : twee punten voor $\abs m > 2$ , geen voor $\abs m < 2$ , en raking voor $m = \pm 2$ met raakpunt $x = \frac m2 = \pm 1$ : de raaklijnen $y = 2x - 1$ in $(1, 1)$ en $y = -2x - 1$ in $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ geeft $\Delta = m^2 + 4 > 0$ voor elke $m$ : dus altijd twee snijpunten. Vanuit een inwendig punt kruist elke rechte de kromme twee keer — raaklijnen teken je alleen van buitenaf, net als bij cirkels.

18. $y = \frac14$ ontmoet $y = x^2$ in $x = \pm\frac12$ : koordelengte $1$ . Voor $y = \frac{x^2}{4f}$ geeft $y = f$ dat $x^2 = 4f^2$ , dus $x = \pm 2f$ : lengte $4f$ — de brandpuntsbreedte is vier keer de brandpuntsafstand (schotelontwerpers noemen ze de latus rectum).

19. Een punt van $y = x^2$ is $(a, a^2)$ ; zijn beeld is $(X, Y) = (ka, ka^2)$ , en $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : de beeldkromme is precies $y = \frac{x^2}{k}$ . Met $k = 4f$ bereik je elke parabool: het zijn allemaal vergrotingen van één moederkromme. (Ook cirkels zijn onderling gelijkvormig — ellipsen niet: samendrukken telt, vergroten niet.)

20. Een vergelijking met drie leesbare kostuums; de meetkundige plaats van de gelijke afstand tot een punt en een rechte; de weerkaatser die evenwijdige stralen in zijn brandpunt bundelt en de kabel die een gelijkmatig belast dek draagt; de baan van elke geworpen bal; en, op een vergroting na, één enkele kromme — één parabool, overal.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst