Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

10Kwadratische functies en vergelijkingen

Kwadratische functies zijn de eenvoudigste functies na de lineaire, en de eerste waarvan de grafieken echt gekromd zijn. Dit hoofdstuk ontwikkelt het volledige gereedschap ervoor: de canonieke vorm, de discriminant, het teken van een kwadratische uitdrukking, en de meetkunde van de parabool.

10.1 De canonieke vorm

Definitie 10.1 (Kwadratische functie)

Een kwadratische functie is een functie van de vorm

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

waar $a$ , $b$ , $c$ reële getallen zijn. De uitdrukking $ax^2 + bx + c$ heet ook een kwadratische trinomiaal.

Stelling 10.2 (Canonieke vorm)

Elke kwadratische functie kan op precies één manier geschreven worden als

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{waar } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ en } \beta = f(\alpha).

Dit is de canonieke vorm van $f$ .

Bewijs. We voltooien het kwadraat. Omdat $a \neq 0$ , factoreren we $a$ uit de eerste twee termen:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Nu is $x^2 + \frac{b}{a}x$ het begin van het kwadraat $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , dus $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Substitueren:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

met $\alpha = -\frac{b}{2a}$ en $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Evalueren in $x = \alpha$ doodt de gekwadrateerde term, dus $\beta = f(\alpha)$ . Uniciteit: ontwikkelen van $a(x-\alpha)^2 + \beta$ en identificeren van de coëfficiënten van $x$ forceert $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , en dan is $\beta$ bepaald. ∎

Voorbeeld 10.3

Laat $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Dan $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ en $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , dus

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Controle door te ontwikkelen: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Propositie 10.4 (Extremum en variaties)

Laat $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Als $a > 0$ , dan is $f$ dalend op $\intoc{-\infty}{\alpha}$ en stijgend op $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ heeft een minimum $\beta$ , bereikt bij $x = \alpha$ .
Als $a < 0$ , zijn de variaties omgekeerd: $f$ heeft een maximum $\beta$ bij $x = \alpha$ .

Bewijs. Stel $a > 0$ en laat $\alpha \leq u < v$ . Dan

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Elke factor is positief: $a > 0$ , $v - u > 0$ , en $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ omdat $v > \alpha$ en $u \geq \alpha$ . Dus $f(v) > f(u)$ : $f$ is stijgend op $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Voor $u < v \leq \alpha$ is de laatste factor negatief, dus $f(v) < f(u)$ : $f$ is daar dalend. Ten slotte $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ voor alle $x$ , dus $\beta = f(\alpha)$ is het minimum. Het geval $a < 0$ volgt door het bovenstaande toe te passen op $-f$ . ∎

Voorbeeld 10.5

Een boer heeft $100$ meter hek om een rechthoekig veld af te sluiten tegen een rechte muur (geen hek nodig langs de muur). Als $x$ de breedte is, is de ingesloten oppervlakte $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Hier $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ en $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : de oppervlakte is het grootst bij een breedte van $25$ m, wat $1250$ m $^2$ geeft.

10.2 Wortels en ontbinding

Definitie 10.6 (Wortel, discriminant)

Een wortel van de trinomiaal $ax^2+bx+c$ is een oplossing van de vergelijking $ax^2 + bx + c = 0$ . De discriminant van de trinomiaal is het getal

\Delta = b^2 - 4ac .

Stelling 10.7 (Oplossen van $ax^2+bx+c=0$ )

Als $\Delta > 0$ , heeft de vergelijking twee verschillende wortels

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

en $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Als $\Delta = 0$ , heeft de vergelijking de enige wortel $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , en $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Als $\Delta < 0$ , heeft de vergelijking geen reële oplossing, en de trinomiaal kan niet ontbonden worden met reële coëfficiënten.

Bewijs. Start vanuit de canonieke vorm berekend in Stelling 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

omdat $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Als $\Delta > 0$ , dan $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ en de haak is een verschil van twee kwadraten:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Een product is nul precies wanneer één van de factoren nul is, wat de twee wortels geeft, verschillend omdat $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Als $\Delta = 0$ , is de haak $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , die alleen verdwijnt bij $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Als $\Delta < 0$ , dan $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , dus de haak is een kwadraat plus een positief getal: hij verdwijnt nooit, en de vergelijking heeft geen reële oplossing. Een ontbinding $a(x-x_1)(x-x_2)$ zou wortels produceren, dus bestaat die niet. ∎

Voorbeeld 10.8

Los $2x^2 - 8x + 3 = 0$ op. Hier $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , dus er zijn twee wortels:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Voor $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , geen reële oplossing.

Propositie 10.9 (Som en product van de wortels)

Als $\Delta \geq 0$ en $x_1, x_2$ de wortels zijn (gelijk wanneer $\Delta = 0$ ), dan

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Omgekeerd zijn twee getallen met som $s$ en product $p$ de oplossingen van $x^2 - sx + p = 0$ .

Bewijs. Ontwikkel de ontbinding van Stelling 10.7:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Identificeren van de coëfficiënten met $ax^2 + bx + c$ geeft $-a(x_1+x_2) = b$ en $a\,x_1x_2 = c$ . Voor het omgekeerde: als $u + v = s$ en $uv = p$ , dan $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , dus $u$ en $v$ zijn de wortels. ∎

Voorbeeld 10.10

Vind twee getallen met som $10$ en product $21$ . Ze lossen $x^2 - 10x + 21 = 0$ op; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , wortels $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ en $3$ . Snelle wortelherkenning: omdat de coëfficiënten van $x^2 - 5x + 4$ voldoen aan $1 - 5 + 4 = 0$ , is het getal $1$ een wortel, en de andere is $\frac{c}{a} = 4$ (hun product moet $\frac ca$ zijn).

10.3 Teken van een kwadratische

Stelling 10.11 (Teken van een trinomiaal)

Laat $f(x) = ax^2+bx+c$ met $a \neq 0$ .

Als $\Delta > 0$ , met wortels $x_1 < x_2$ : $f(x)$ heeft het teken van $a$ buiten $\intcc{x_1}{x_2}$ , en het teken van $-a$ op $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Als $\Delta = 0$ : $f(x)$ heeft het teken van $a$ voor alle $x \neq x_0$ , en verdwijnt bij $x_0$ .
Als $\Delta < 0$ : $f(x)$ heeft het teken van $a$ voor alle $x$ .

Kortom: een trinomiaal heeft het teken van $a$ , behalve tussen haar wortels.

Bewijs. 1. Schrijf $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ en volg de tekens van de factoren. Als $x < x_1$ : zowel $x - x_1$ als $x - x_2$ zijn negatief, hun product is positief, dus $f(x)$ heeft het teken van $a$ . Als $x_1 < x < x_2$ : de factoren hebben tegengestelde tekens, het product is negatief, en $f(x)$ heeft het teken van $-a$ . Als $x > x_2$ : beide factoren zijn positief en $f(x)$ heeft opnieuw het teken van $a$ .

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ en $(x-x_0)^2 > 0$ voor $x \neq x_0$ .

3. Uit het bewijs van Stelling 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , en de haak is altijd positief. ∎

Methode 10.12 (Kwadratische ongelijkheden oplossen)

Om $ax^2 + bx + c \leq 0$ (of $\geq$ , $<$ , $>$ ) op te lossen:

bereken $\Delta$ en de wortels, indien aanwezig;
teken de tekentabel met Stelling 10.11 (teken van $a$ buiten de wortels);
lees de oplossingsinterval(len) af, met aandacht of de wortels zelf inbegrepen zijn (brede ongelijkheid) of niet (strikte).

Voorbeeld 10.13

Los $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ op. Hier $\Delta = 9 + 16 = 25$ , en de wortels zijn $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , d.w.z. $x_1 = -1$ en $x_2 = 4$ . Omdat $a = -1 < 0$ , is de trinomiaal negatief buiten de wortels en positief ertussen. Met de brede ongelijkheid is de oplossingsverzameling $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 De parabool

Definitie 10.14 (Parabool)

De grafiek van een kwadratische functie $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ is een parabool met top $S(\alpha, \beta)$ . Ze opent omhoog als $a > 0$ , omlaag als $a < 0$ , en is symmetrisch t.o.v. de verticale lijn $x = \alpha$ .

Opmerking 10.15

De symmetrie is eenvoudig te controleren: voor elke $h$ is $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , dus twee punten op gelijke horizontale afstand van de lijn $x = \alpha$ hebben dezelfde hoogte.

De drie posities van een opwaartse parabool (a > 0) t.o.v. de x-as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top S heeft abscis = -b/2a. — De drie posities van een opwaartse parabool ( $a > 0$ ) t.o.v. de $x$ -as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top $S$ heeft abscis $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Teken van een neerwaartse trinomiaal (a < 0) met twee wortels: het teken van -a tussen de wortels (gearceerd), het teken van a erbuiten. — Teken van een neerwaartse trinomiaal ( $a < 0$ ) met twee wortels: het teken van $-a$ tussen de wortels (gearceerd), het teken van $a$ erbuiten.

Methode 10.16 (Een parabool lezen)

Om $f(x) = ax^2+bx+c$ te schetsen: vind de oriëntatie (teken van $a$ ), de top $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , het snijpunt $(0, c)$ met de $y$ -as, en de wortels, indien aanwezig. De symmetrie-as $x = -\frac{b}{2a}$ plaatst elk berekend punt twee keer.

Voorbeeld 10.17

Voor $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : omhoog, top $(2, -1)$ , snijdt de $y$ -as in $(0,3)$ , wortels $1$ en $3$ (gespot: $1 - 4 + 3 = 0$ ). Door symmetrie ligt het punt $(4, 3)$ ook op de kromme, spiegelbeeld van $(0, 3)$ .

10.5 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Los de vergelijkingen op

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , wortels $\frac{5 \pm 1}{2}$ , d.w.z. $2$ en $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , wortels $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , d.w.z. $\frac12$ en $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , geen reële oplossing.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , één (dubbele) wortel $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Oefening 10.2 ★

Schrijf in canonieke vorm en geef de top van de parabool:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : top $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : top $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : top $(-1, -3)$ .

Oefening 10.3 ★

Los de ongelijkheden op

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , wortels $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ en $5$ ; positieve leidende coëfficiënt, dus de trinomiaal is strikt negatief tussen de wortels: de oplossingsverzameling is $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ en $a = 2 > 0$ : altijd positief, de oplossingsverzameling is $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : ze is $\geq 0$ alleen waar $(x-3)^2 \leq 0$ , d.w.z. bij $x = 3$ . De oplossingsverzameling is $\{3\}$ .

Oefening 10.4 ★

Vind zonder $\Delta$ te berekenen één voor de hand liggende wortel, daarna de andere:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Hint: test $x = 1$ en $x = -1$ , gebruik daarna het product van de wortels.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , dus $1$ is een wortel; het product van de wortels is $6$ , dus de andere wortel is $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , dus $1$ is een wortel; het product is $\frac{c}{a} = -\frac72$ , dus de andere wortel is $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , dus $1$ is een wortel; het product is $-5$ , dus de andere wortel is $-5$ .

Oefening 10.5 ★★

Vind twee getallen waarvan de som $14$ is en het product $45$ . Vind daarna de afmetingen van een rechthoek met omtrek $34$ en oppervlakte $60$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

De twee getallen lossen $x^2 - 14x + 45 = 0$ op (Propositie 10.9); $\Delta = 196 - 180 = 16$ , wortels $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ en $5$ .

Voor de rechthoek: half de omtrek geeft lengte $+$ breedte $= 17$ , en de oppervlakte geeft hun product $60$ . Ze lossen $x^2 - 17x + 60 = 0$ op; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , wortels $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ en $5$ . De rechthoek is $12 \times 5$ .

Oefening 10.6 ★★

Laat $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , waar $m$ een reële parameter is. Voor welke waarden van $m$ heeft de vergelijking $f(x) = 0$ precies één oplossing? Geen oplossing?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Precies één oplossing wanneer $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , dus $m - 2 = \pm 2$ , d.w.z. $m = 0$ of $m = 4$ . Geen oplossing wanneer $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , d.w.z. $-2 < m - 2 < 2$ , dat is $0 < m < 4$ .

Oefening 10.7 ★★

Een bal wordt omhoog gegooid; haar hoogte na $t$ seconden is $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (in meters). Wat is de maximale bereikte hoogte, en op welk moment? Gedurende welk tijdsinterval is de bal minstens $16$ m hoog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

De top ligt bij $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , en $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : maximale hoogte $21$ m, bereikt na $2$ seconden.

$h(t) \geq 16$ betekent $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , d.w.z. (delen door $-5$ , wat de ongelijkheid omkeert) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . De wortels van $t^2-4t+3$ zijn $1$ en $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , product $3$ ), dus $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ precies op $\intcc{1}{3}$ : de bal is minstens $16$ m hoog tussen de tijden $t = 1$ s en $t = 3$ s.

Oefening 10.8 ★★

Los de vergelijking $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ op door $X = x^2$ te stellen (een biquadratische vergelijking).

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

Met $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , dus $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ of $4$ . Terug naar $x$ : $x^2 = 9$ geeft $x = \pm 3$ , en $x^2 = 4$ geeft $x = \pm 2$ . De oplossingsverzameling is $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Oefening 10.9 ★★

Voor welke waarden van $x$ ligt het punt $M(x, x^2)$ van de parabool $y = x^2$ strikt onder de lijn $y = x + 2$ ? Interpreteer op een schets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

De voorwaarde is $x^2 < x + 2$ , d.w.z. $x^2 - x - 2 < 0$ . Omdat $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (wortels $-1$ en $2$ ), geldt de ongelijkheid strikt tussen de wortels: $x \in \intoo{-1}{2}$ . Op een schets duikt de parabool $y = x^2$ onder de lijn $y = x+2$ precies tussen hun twee snijpunten $(-1, 1)$ en $(2, 4)$ .

Oefening 10.10 ★★

De som van een positief getal en zijn omgekeerde is $\frac{13}{6}$ . Vind het getal. (Herleid tot een kwadratische vergelijking.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

Laat $x > 0$ voldoen aan $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Vermenigvuldigen met $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , d.w.z. $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Dan $\Delta = 169 - 144 = 25$ en $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , wat $x = \frac32$ of $x = \frac23$ geeft. Beide zijn positief en elkaars omgekeerden, zoals verwacht: het getal is $\frac32$ (of $\frac23$ ).

Oefening 10.11 ★★★

Laat $\mathcal P$ de parabool $y = x^2$ zijn en laat $d_m$ de lijn $y = mx - 1$ zijn, waar $m$ een reële parameter is.

Voor welke waarden van $m$ snijden $\mathcal P$ en $d_m$ elkaar in twee punten? Eén punt? Geen punt?
Wanneer ze in precies één punt raken, bereken het raakpunt. (In Hoofdstuk 12 zul je $d_m$ herkennen als de raaklijn aan $\mathcal P$ in dat punt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

1. Snijpunten komen overeen met oplossingen van $x^2 = mx - 1$ , d.w.z. $x^2 - mx + 1 = 0$ , waarvan de discriminant $\Delta = m^2 - 4$ is. Twee punten wanneer $\abs{m} > 2$ ; precies één wanneer $m = \pm 2$ ; geen wanneer $-2 < m < 2$ .

2. Voor $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , dus het unieke raakpunt is $(1, 1)$ . Voor $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , raakpunt $(-1, 1)$ . In beide gevallen ontmoet de lijn de parabool in één punt zonder haar te kruisen — het is de raaklijn daar, en inderdaad is haar richtingscoëfficiënt $m = \pm 2$ gelijk aan de waarde bij $x = \pm 1$ van de afgeleide $2x$ van $x^2$ (Hoofdstuk 12).