Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Wiskunde bovenbouw

Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

24Trigonometrische functies

De functies cos⁡\cos en sin⁡\sin zetten de meetkunde van de cirkel om in analyse. Gedefinieerd door de reële lijn om de eenheidscirkel te winden, zijn ze het archetypie van periodieke functies, en hun afgeleiden maken er oplossingen van van de oscillatievergelijking y′′=−yy'' = -y.

24.1 De eenheidscirkel

Definitie 24.1 (Cosinus en sinus)

Laat C\mathcal{C} de cirkel van straal 11 zijn, gecentreerd in de oorsprong van een orthonormaal stelsel. Aan elk reëel getal tt koppelt men het punt M(t)M(t) verkregen door een lengte ∣t∣\abs{t} langs C\mathcal{C} te winden vanaf het punt I(1,0)I(1,0), in de tegenwijzerzin als t≥0t \geq 0 en met de klok mee anders. Dan zijn cos⁡t\cos t en sin⁡t\sin t de coördinaten van M(t)M(t):

M(t)=(cos⁡t,sin⁡t).M(t) = (\cos t, \sin t).

Omdat de cirkel omtrek 2π2\pi heeft, blijft het punt M(t)M(t) onveranderd wanneer tt met 2π2\pi toeneemt; en omdat M(t)M(t) op de eenheidscirkel ligt:

Propositie 24.2 (Fundamentele identiteiten)

Voor alle t∈Rt \in \R en k∈Zk \in \Z:

cos⁡2t+sin⁡2t=1,cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t,\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,
cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Bewijs. De eerste identiteit is de vergelijking van de eenheidscirkel; de andere drukken de symmetrieën van de cirkel uit: M(−t)M(-t) is het spiegelbeeld van M(t)M(t) t.o.v. de xx-as, M(π−t)M(\pi - t) t.o.v. de yy-as, en M(π2−t)M(\frac\pi2 - t) t.o.v. de lijn y=xy = x. ∎

De waarden om uit het hoofd te kennen:

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

Propositie 24.3 (Optelformules)

Voor alle a,b∈Ra, b \in \R:

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

In het bijzonder cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a en sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

Bewijs. De vectoren u→=(cos⁡a,sin⁡a)\vect{u} = (\cos a, \sin a) en v→=(cos⁡b,sin⁡b)\vect{v} = (\cos b, \sin b) zijn eenheidsvectoren die een hoek a−ba - b maken; hun inwendig product is tegelijk cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b + \sin a \sin b (coördinaten) en ∥u→∥ ∥v→∥cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b) (meetkunde), wat de derde formule is. Vervangen van bb door −b-b geeft de eerste; de sinusformules volgen met sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos(\frac\pi2 - x). De verdubbelingsformules zijn het geval b=ab = a gecombineerd met cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1. ∎

24.2 Analytische studie

Lemma 24.4 (Fundamentele limiet)

lim⁡t→0sin⁡tt=1enlim⁡t→0cos⁡t−1t=0.\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{en}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Bewijs. Voor 0<t<π20 < t < \frac{\pi}{2}, vergelijk drie oppervlaktes in de eenheidscirkel: de driehoek OIM(t)OIM(t), de cirkelsector OIM(t)OIM(t), en de rechthoekige driehoek met basis OIOI en hoogte tan⁡t\tan t:

sin⁡t2≤t2≤tan⁡t2.\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
De drie geneste oppervlaktes: de driehoek OIM (blauw, oppervlakte t/2), de cirkelsector (begrensd door de rode boog, oppervlakte t/2), en de rechthoekige driehoek van hoogte t (oranje, oppervlakte t/2).
De drie geneste oppervlaktes: de driehoek OIMOIM (blauw, oppervlakte sin⁡t2\frac{\sin t}{2}), de cirkelsector (begrensd door de rode boog, oppervlakte t2\frac{t}{2}), en de rechthoekige driehoek van hoogte tan⁡t\tan t (oranje, oppervlakte tan⁡t2\frac{\tan t}{2}).

De eerste ongelijkheid geeft sin⁡tt≤1\frac{\sin t}{t} \leq 1; de tweede geeft cos⁡t≤sin⁡tt\cos t \leq \frac{\sin t}{t}. Als t→0+t \to 0^+, cos⁡t→1\cos t \to 1 (continuïteit), en de insluitstelling geeft sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1; evenheid breidt dit uit naar t→0t \to 0. Voor de tweede limiet,

cos⁡t−1t=cos⁡2t−1t(cos⁡t+1)=−sin⁡tt⋅sin⁡tcos⁡t+1→t→0−1⋅02=0.\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Stelling 24.5 (Afgeleiden van sinus en cosinus)

De functies sin⁡\sin en cos⁡\cos zijn afleidbaar op R\R, met

(sin⁡)′=cos⁡,(cos⁡)′=−sin⁡.(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Algemener, (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b) en (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b).

Bewijs. Met de optelformules,

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x cos⁡h−1h+cos⁡x sin⁡hh→h→0sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x,\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

met Lemma 24.4. De berekening voor cos⁡\cos is identiek, en de algemene vorm volgt uit de kettingregel. ∎

Propositie 24.6 (Variaties)

Op [0, π]\intcc{0}{\pi} daalt cos⁡\cos van 11 tot −1-1. Op [−π2, π2]\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2} stijgt sin⁡\sin van −1-1 tot 11. Beide functies zijn 2π2\pi-periodiek en hebben beeld [−1, 1]\intcc{-1}{1}; cos⁡\cos is even, sin⁡\sin is oneven.

Bewijs. Op (0, π)\intoo{0}{\pi} is (cos⁡)′=−sin⁡<0(\cos)' = -\sin < 0 omdat het punt M(t)M(t) daar een positieve ordinaat heeft; evenzo (sin⁡)′=cos⁡>0(\sin)' = \cos > 0 op (−π2, π2)\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}. Periodiciteit en pariteit komen uit Propositie 24.2. ∎

De krommen van (blauw) en (rood).
De krommen van cos⁡\cos (blauw) en sin⁡\sin (rood).

Methode 24.7 (cos⁡x=a\cos x = a en sin⁡x=a\sin x = a oplossen)

Voor a∈[−1, 1]a \in \intcc{-1}{1}, vind een bijzondere oplossing α\alpha (uit de waardentabel of een rekenmachine). Dan zijn alle oplossingen:

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ of x=−α+2kπ,k∈Z;\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ of } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;
sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ of x=π−α+2kπ,k∈Z.\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ of } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Voor ongelijkheden, lokaliseer de oplossingsbogen op de eenheidscirkel en lees de intervallen af op één periode.

Voorbeeld 24.8

Los cos⁡x=12\cos x = \frac12 op in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: een bijzondere oplossing is π3\frac\pi3, dus de oplossingen zijn x=π3x = \frac\pi3 en x=−π3x = -\frac\pi3. In heel R\R: x=±π3+2kπx = \pm\frac\pi3 + 2k\pi, k∈Zk \in \Z.

24.3 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Bereken cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3}, sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}, cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4} en sin⁡(−π3)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) met de identiteiten van Propositie 24.2.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12.

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12.

cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=cos⁡(−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}.

sin⁡(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}.

Oefening 24.2 ★

Differentieer f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin^2 x, g(x)=cos⁡(3x)+xsin⁡xg(x) = \cos(3x) + x\sin x en h(x)=sin⁡x2+cos⁡xh(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xf'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x (kettingregel).

g′(x)=−3sin⁡(3x)+sin⁡x+xcos⁡xg'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x (ketting- en productregel).

Quotiëntrregel:

h′(x)=cos⁡x (2+cos⁡x)−sin⁡x (−sin⁡x)(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2.h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Oefening 24.3 ★

Los op in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}, daarna in R\R:

(a) sin⁡x=32;(b) cos⁡(2x)=22.\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

(a) Een bijzondere oplossing van sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt3}{2} is π3\frac\pi3. Algemene oplossingen: x=π3+2kπx = \frac\pi3 + 2k\pi of x=π−π3+2kπ=2π3+2kπx = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. In (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: x∈{π3,2π3}x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}.

(b) cos⁡2x=22=cos⁡π4\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4 geeft 2x=±π4+2kπ2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi, dus x=±π8+kπx = \pm\frac\pi8 + k\pi. In (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: x∈{−7π8,−π8,π8,7π8}x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}.

Oefening 24.4 ★★

Bereken met de optelformules de exacte waarde van cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} en sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}. (Hint: π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

Met a=π3a = \frac\pi3, b=π4b = \frac\pi4:

cos⁡π12=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=12⋅22+32⋅22=2+64,\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
sin⁡π12=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=32⋅22−12⋅22=6−24.\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Oefening 24.5 ★★

Los op in [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} de ongelijkheid 2sin⁡2x−sin⁡x−1≥02\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0. (Hint: ontbind de trinomiaal in sin⁡x\sin x.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

Stel s=sin⁡xs = \sin x: 2s2−s−1=(2s+1)(s−1)≥02s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0 ssi s≤−12s \leq -\frac12 of s=1s = 1.

sin⁡x=1\sin x = 1 geeft x=π2x = \frac\pi2. sin⁡x≤−12\sin x \leq -\frac12: op de cirkel, de boog onder de horizontale lijn y=−12y = -\frac12, die in [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} is x∈[7π6, 11π6]x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}. Dus

S={π2}∪[7π6, 11π6].S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Oefening 24.6 ★★

Bereken de limieten

lim⁡x→0sin⁡3xx,lim⁡x→01−cos⁡xx2,lim⁡x→+∞xsin⁡1x.\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

sin⁡3xx=3 sin⁡3x3x→3⋅1=3\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3 (samenstelling met u=3x→0u = 3x \to 0).

Met 1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}:

1−cos⁡xx2=(sin⁡xx) ⁣211+cos⁡x→x→01⋅12=12.\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

Met substitutie u=1x→0+u = \frac1x \to 0^+: xsin⁡1x=sin⁡uu→1x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1.

Oefening 24.7 ★★

Bestudeer de functie f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x op [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}: variaties en extrema. Toon aan dat ff stijgend is op R\R hoewel f′f' in oneindig veel punten verdwijnt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

f′(x)=1−sin⁡x≥0f'(x) = 1 - \sin x \geq 0 voor alle xx, met gelijkheid precies wanneer sin⁡x=1\sin x = 1, d.w.z. x=π2+2kπx = \frac\pi2 + 2k\pi. Op [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} stijgt ff van f(0)=1f(0) = 1 tot f(2π)=2π+1f(2\pi) = 2\pi + 1 (het nulpunt van f′f' in π2\frac{\pi}{2} is geïsoleerd, dus de stijging is zelfs strikt); minimum 11 in 00, maximum 2π+12\pi + 1 in 2π2\pi. Op R\R is f′≥0f' \geq 0 overal met alleen geïsoleerde nulpunten, dus is ff (strikt) stijgend volgens Stelling 22.7, hoewel f′f' verdwijnt in elke π2+2kπ\frac\pi2 + 2k\pi.

Oefening 24.8 ★★★

Laat f(x)=Acos⁡x+Bsin⁡xf(x) = A\cos x + B \sin x met (A,B)≠(0,0)(A,B) \neq (0,0).

  1. Toon aan dat ff geschreven kan worden als f(x)=Rcos⁡(x−φ)f(x) = R\cos(x - \varphi) met R=A2+B2R = \sqrt{A^2 + B^2} en een geschikte φ\varphi.
  2. Leid het maximum en minimum van ff af, en los cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1 op in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

1. Laat R=A2+B2>0R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0. Het punt (AR,BR)\left(\frac AR, \frac BR\right) ligt op de eenheidscirkel, dus bestaat er φ\varphi met cos⁡φ=AR\cos\varphi = \frac AR en sin⁡φ=BR\sin\varphi = \frac BR. Dan

Rcos⁡(x−φ)=R(cos⁡xcos⁡φ+sin⁡xsin⁡φ)=Acos⁡x+Bsin⁡x=f(x).R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Omdat cos⁡\cos beeld [−1, 1]\intcc{-1}{1} heeft, heeft ff maximum RR en minimum −R-R. Voor cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x: A=B=1A = B = 1, R=2R = \sqrt2, φ=π4\varphi = \frac\pi4, dus de vergelijking wordt 2cos⁡(x−π4)=1\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1, d.w.z. cos⁡(x−π4)=22\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}, wat x−π4=±π4+2kπx - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi geeft: in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}, x∈{0,π2}x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}.

Oefening 24.9 ★★★

Toon aan dat sin⁡\sin en cos⁡\cos beide de differentiaalvergelijking y′′=−yy'' = -y voldoen. Omgekeerd, laat yy een oplossing van y′′=−yy'' = -y zijn met y(0)=ay(0) = a en y′(0)=by'(0) = b; toon aan dat y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin. (Hint: beschouw g=(y−acos⁡−bsin⁡)g = (y - a\cos - b\sin) en de “energie” E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

(sin⁡)′′=(cos⁡)′=−sin⁡(\sin)'' = (\cos)' = -\sin en (cos⁡)′′=(−sin⁡)′=−cos⁡(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos: beide lossen y′′=−yy'' = -y op.

Laat g=y−acos⁡−bsin⁡g = y - a\cos - b\sin. Dan g′′=−gg'' = -g (lineariteit van differentiatie), g(0)=y(0)−a=0g(0) = y(0) - a = 0 en g′(0)=y′(0)−b=0g'(0) = y'(0) - b = 0. Stel E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2. Dan

E′=2gg′+2g′g′′=2gg′−2g′g=0,E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

dus EE is constant gelijk aan E(0)=0E(0) = 0. Een som van twee kwadraten die identiek verdwijnt forceert g=0g = 0, vandaar y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin.