Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

13Rijen: een eerste cursus

Een rij is een lijst getallen voortgebracht door een regel: de opeenvolgende saldi van een spaarrekening, de groottes van een populatie jaar na jaar. Dit hoofdstuk bestudeert de twee families die toepassingen domineren — rekenkundige rijen, die met gelijke stappen groeien, en meetkundige rijen, die met gelijke verhoudingen groeien. De rigoureuze theorie van limieten wordt ontwikkeld in Hoofdstuk 20.

13.1 Een rij definiëren

Definitie 13.1 (Rij)

Een rij $(u_n)$ koppelt aan elk geheel getal $n \geq 0$ (of $n \geq 1$ ) een reëel getal $u_n$ , haar term van index $n$ . Een rij kan gegeven worden

expliciet, door een formule voor $u_n$ in termen van $n$ : bijv. $u_n = n^2 + 1$ ;
recursief, door haar eerste term en een regel om van elke term naar de volgende te gaan: bijv. $u_0 = 3$ en $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Voorbeeld 13.2

Voor $u_n = n^2 + 1$ : $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = 5$ , en $u_{10} = 101$ direct. Voor $u_0 = 3$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ — elke term heeft de vorige nodig; $u_{10}$ bereiken kost tien stappen (of een algemene formule, zie Oefening 13.11).

13.2 Rekenkundige rijen

Definitie 13.3 (Rekenkundige rij)

Een rij is rekenkundig met gemeenschappelijk verschil $d$ als elke term uit de vorige verkregen wordt door $d$ op te tellen:

u_{n+1} = u_n + d \quad \text{voor alle } n.

Equivalent: het verschil $u_{n+1} - u_n$ is constant, gelijk aan $d$ .

Stelling 13.4 (Algemene term)

Als $(u_n)$ rekenkundig is met eerste term $u_0$ en gemeenschappelijk verschil $d$ , dan

u_n = u_0 + n\,d \quad \text{voor alle } n \geq 0, \qquad\text{en algemener } u_n = u_p + (n - p)\,d .

Bewijs. Om van $u_0$ naar $u_n$ te gaan wordt de regel “tel $d$ op” $n$ keer toegepast: één stap geeft $u_1 = u_0 + d$ , twee stappen geven $u_2 = u_0 + 2d$ , en na $n$ stappen heeft elke toepassing één $d$ bijgedragen, dus $u_n = u_0 + nd$ . (Dit “enzovoort” wordt rigoriseerd door inductie in Hoofdstuk 20.) De algemene formule volgt door de $n - p$ stappen van $u_p$ naar $u_n$ te tellen. ∎

Stelling 13.5 (Som van opeenvolgende gehele getallen)

Voor elk geheel getal $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Algemener is een som van opeenvolgende termen van een rekenkundige rij gelijk aan

(\text{aantal termen}) \times \frac{\text{eerste term} + \text{laatste term}}{2}.

Bewijs. Schrijf de som $S$ twee keer, de tweede keer in omgekeerde volgorde, en tel kolom voor kolom op:

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

Er zijn $n$ kolommen, elk sommerend tot $n + 1$ , dus $2S = n(n+1)$ . Voor een algemene rekenkundige rij werkt hetzelfde paren: eerste $+$ laatste $=$ tweede $+$ voorlaatste $= \dots$ , omdat één stap vooruit aan het linkereind ( $+d$ ) gecompenseerd wordt door één stap achteruit aan het rechtereind ( $-d$ ). ∎

Voorbeeld 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ . De som van de oneven getallen $1 + 3 + \dots + 99$ ( $50$ termen) is $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ .

13.3 Meetkundige rijen

Definitie 13.7 (Meetkundige rij)

Een rij is meetkundig met gemeenschappelijke verhouding $q \neq 0$ als elke term uit de vorige verkregen wordt door met $q$ te vermenigvuldigen:

u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{voor alle } n.

Equivalent, wanneer geen term verdwijnt: de verhouding $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ is constant, gelijk aan $q$ .

Stelling 13.8 (Algemene term)

Als $(u_n)$ meetkundig is met eerste term $u_0$ en verhouding $q$ , dan

u_n = u_0\, q^n \quad \text{voor alle } n \geq 0, \qquad\text{en algemener } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

Bewijs. Zelfde stappentelling als in Stelling 13.4: van $u_0$ naar $u_n$ wordt de regel “vermenigvuldig met $q$ ” $n$ keer toegepast, wat een factor $q^n$ bijdraagt. ∎

Stelling 13.9 (Meetkundige som)

Voor elke reële $q \neq 1$ en geheel getal $n \geq 0$ :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

Bewijs. Laat $S = 1 + q + \dots + q^n$ . Vermenigvuldig met $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ . Trek af:

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

omdat elke tussenterm één keer in elke som voorkomt en wegvalt. Dus $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ , en delen door $1 - q \neq 0$ geeft de formule. ∎

Voorbeeld 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : rijstkorrels verdubbelen op de velden van een schaakbord overweldigt elke graanschuur ruim vóór het $64$ ste veld, waar het totaal $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ is.

Gelijke stappen versus gelijke verhoudingen: een rekenkundige rij (u_n+1 = u_n + 0.9, blauw) volgt een lijn, een meetkundige rij (u_n+1 = 1.2\,u_n, rood) volgt een exponentiële kromme die haar uiteindelijk overgroeit. — Gelijke stappen versus gelijke verhoudingen: een rekenkundige rij ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ , blauw) volgt een lijn, een meetkundige rij ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ , rood) volgt een exponentiële kromme die haar uiteindelijk overgroeit.

Methode 13.11 (Het type van een rij herkennen)

Bereken $u_{n+1} - u_n$ en vereenvoudig. Als het resultaat een constante $d$ is, is de rij rekenkundig. Anders bereken $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (termen niet-nul) en vereenvoudig: een constante $q$ betekent meetkundig. Als geen van beide constant is, is de rij van geen van beide types — concludeer nooit alleen uit de eerste paar termen.

Voorbeeld 13.12

Voor $u_n = 3 \times 5^n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ voor alle $n$ : meetkundig met verhouding $5$ . Voor $u_n = n^2$ : $u_1 - u_0 = 1$ maar $u_2 - u_1 = 3$ , en $\frac{u_1}{u_0}$ is zelfs niet gedefinieerd — noch rekenkundig noch meetkundig.

13.4 Monotonie

Definitie 13.13 (Monotone rij)

Een rij $(u_n)$ is stijgend als $u_{n+1} \geq u_n$ voor alle $n$ , en dalend als $u_{n+1} \leq u_n$ voor alle $n$ .

Methode 13.14 (Monotonie bestuderen)

Bestudeer het teken van $u_{n+1} - u_n$ . Voor rijen met positieve termen mag men in plaats daarvan $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ met $1$ vergelijken.

Voorbeeld 13.15

Een rekenkundige rij is stijgend wanneer $d \geq 0$ ( $u_{n+1} - u_n = d$ ), dalend wanneer $d \leq 0$ . Een meetkundige rij met $u_0 > 0$ en $q > 1$ is stijgend: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; met $u_0 > 0$ en $0 < q < 1$ is ze dalend.

13.5 Lange-termijngedrag, informeel

Wat gebeurt er met $u_n$ wanneer $n$ zeer groot wordt? Voor een rekenkundige rij met $d > 0$ overschrijden de termen $u_0 + nd$ uiteindelijk elk vast getal. Voor een meetkundige rij met $0 < q < 1$ krimpen de termen $u_0 q^n$ naar $0$ : herhaaldelijk vermenigvuldigen met $0.9$ , zeg, erodeert elke startwaarde. En voor $q > 1$ exploderen de termen, zoals in Voorbeeld 13.10.

Opmerking 13.16

Deze uitspraken kunnen perfect precies gemaakt worden — “de termen blijven uiteindelijk binnen elke gegeven afstand van $0$ ” — en bewezen. Dat is de theorie van limieten, het openings thema van Hoofdstuk 20.

13.6 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Bereken voor elke rij $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ :

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac23$ , $u_3 = \frac34$ .

$u_0 = 5$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ , $u_2 = 37$ , $u_3 = 109$ .

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = -3$ .

Oefening 13.2 ★

$(u_n)$ is rekenkundig met $u_0 = 7$ en $d = -3$ . Bereken $u_{10}$ en $u_{25}$ . $(v_n)$ is rekenkundig met $v_3 = 11$ en $v_8 = 26$ . Vind het gemeenschappelijk verschil en $v_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ en $u_{25} = 7 - 75 = -68$ .

Voor $(v_n)$ : $v_8 = v_3 + 5d$ geeft $26 = 11 + 5d$ , dus $d = 3$ ; dan $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ .

Oefening 13.3 ★

$(u_n)$ is meetkundig met $u_0 = 5$ en $q = 2$ . Bereken $u_8$ . $(v_n)$ is meetkundig met positieve termen, $v_2 = 12$ en $v_4 = 48$ . Vind de verhouding en $v_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ .

Voor $(v_n)$ : $v_4 = v_2\, q^2$ geeft $48 = 12 q^2$ , dus $q^2 = 4$ en $q = 2$ (de termen zijn positief). Dan $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Oefening 13.4 ★

Bereken

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ .

$4 + 7 + \dots + 61$ is rekenkundig met $d = 3$ en $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ termen: som $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ .

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ is meetkundig met $q = \frac12$ en $11$ termen: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ .

Oefening 13.5 ★

Bepaal of elke rij rekenkundig, meetkundig, of geen van beide is:

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : rekenkundig met $d = 4$ .

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : meetkundig met $q = \frac23$ .

$w_0 = 0$ , $w_1 = 2$ , $w_2 = 6$ : de verschillen $2$ en $4$ verschillen, dus niet rekenkundig; $\frac{w_1}{w_0}$ is zelfs niet gedefinieerd, en de verhoudingen $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : geen van beide.

Oefening 13.6 ★★

Een theater heeft $20$ rijen: $16$ stoelen in de eerste rij, en elke rij heeft $2$ stoelen meer dan de vorige. Hoeveel stoelen staan in de laatste rij? In het hele theater?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

De rijgroottes zijn rekenkundig: eerste term $16$ , verschil $2$ . De laatste (20ste) rij heeft $16 + 19 \times 2 = 54$ stoelen. Het totaal is $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ stoelen.

Oefening 13.7 ★★

Een bacteriepopulatie verdubbelt elk uur; om twaalf uur zijn er $500$ bacteriën. Hoeveel zijn er om 20u? Na hoeveel volle uren overschrijdt de populatie voor het eerst één miljoen? (Los op door opeenvolgende machten van $2$ te proberen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

Na $n$ uren is de populatie $500 \times 2^n$ . Om 20u, $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ bacteriën. We hebben $500 \times 2^n > 10^6$ nodig, d.w.z. $2^n > 2000$ : omdat $2^{10} = 1024$ en $2^{11} = 2048$ , overschrijdt de populatie één miljoen voor het eerst na $11$ volle uren, om 23u.

Oefening 13.8 ★★

Elke maand stort een spaarder $100$ euro op een rekening die $0.2\%$ rente per maand betaalt over het bestaande saldo (rente wordt bijgeschreven vlak vóór de storting). Laat $c_n$ het saldo zijn vlak na de $n$ -de storting, dus $c_1 = 100$ en $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ . Bereken $c_2$ en $c_3$ , en leg uit waarom $(c_n)$ noch rekenkundig noch meetkundig is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ en $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ . De verschillen $c_2 - c_1 = 100.20$ en $c_3 - c_2 \approx 100.40$ zijn niet gelijk, dus $(c_n)$ is niet rekenkundig; de verhoudingen $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ en $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ zijn evenmin gelijk, dus ook niet meetkundig. (Gemengde “vermenigvuldig dan tel op”-recursies zoals deze worden opgelost met de hulprijtruc van Oefening 13.11.)

Oefening 13.9 ★★

Bestudeer de monotonie van de rijen

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

waar $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . (Voor $(v_n)$ , vergelijk $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ met $1$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : negatief voor $n \leq 3$ , positief voor $n \geq 4$ . Dus daalt $(u_n)$ tot $u_4 = 16 - 32 = -16$ , en stijgt daarna: ze is niet monotoon.

$(v_n)$ heeft positieve termen en

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

wat $> 1$ is voor $n \leq 1$ , $= 1$ voor $n = 2$ , en $< 1$ voor $n \geq 3$ : de rij stijgt tot $v_2 = v_3 = \frac92$ , en daalt daarna.

Oefening 13.10 ★★

De som van de eerste $n$ termen van een rekenkundige rij met $u_0 = 3$ en $d = 4$ is gelijk aan $903$ . Vind $n$ . (Stel een kwadratische vergelijking in $n$ op en gebruik Hoofdstuk 10.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

De eerste $n$ termen zijn $u_0, \dots, u_{n-1}$ , met $u_0 = 3$ en $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ . Hun som is

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

dus $2n^2 + n - 903 = 0$ . Hier $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ , en $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (de negatieve wortel wordt verworpen). Controle: $21 \times 43 = 903$ .

Oefening 13.11 ★★★

Laat $u_0 = 3$ en $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Bereken $u_1, u_2, u_3$ en vermoed een formule voor $u_n$ .
Laat $v_n = u_n - 1$ . Toon aan dat $(v_n)$ meetkundig is, geef haar verhouding en eerste term.
Leid een expliciete formule voor $u_n$ af en verifieer je vermoeden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

1. $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ : elke term is één meer dan $4, 8, 16$ , wat $u_n = 2^{n+1} + 1$ suggereert.

2. Met $v_n = u_n - 1$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

dus $(v_n)$ is meetkundig met verhouding $2$ en eerste term $v_0 = u_0 - 1 = 2$ .

3. Dus $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ en $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ , wat het vermoeden bevestigt. (Het getal $1$ dat in $v_n$ afgetrokken wordt is het vastpunt van $x \mapsto 2x - 1$ ; hetzelfde idee keert terug voor $u_{n+1} = au_n + b$ in Hoofdstuk 20.)