Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

5Analytische meetkunde

Descartes’ grote idee was punten te beschrijven door paren van getallen, zodat meetkundige problemen berekeningen worden. Met slechts twee formules — het midden en de afstand — kan men bewijzen dat een driehoek gelijkbenig is, dat een vierhoek een parallellogram is, of dat drie punten collineair zijn, zonder een enkele hulplijn te tekenen.

5.1 Coördinaten in het vlak

Definitie 5.1 (Coördinatenstelsel)

Een coördinatenstelsel van het vlak bestaat uit een oorsprong $O$ en twee gegradueerde assen door $O$ : de horizontale $x$ -as en de verticale $y$ -as. Elk punt $M$ heeft dan een uniek paar coördinaten $(x, y)$ : zijn abscis $x$ en zijn ordinaat $y$ . Het stelsel is orthonormaal wanneer de assen loodrecht op elkaar staan en dezelfde lengte-eenheid dragen. Alle stelsels in dit hoofdstuk zijn orthonormaal.

Elk punt van het vlak wordt gelokaliseerd door twee getallen: eerst de abscis (horizontaal), dan de ordinaat (verticaal).

5.2 Midden van een lijnstuk

Propositie 5.2 (Middenformule)

Laat $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ . Het midden $I$ van het lijnstuk $[AB]$ heeft coördinaten

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Bewijs. Bekijk de horizontale coördinaten. Van $A$ naar $B$ verandert de abscis met $x_B - x_A$ ; het punt halverwege heeft abscis

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

het gemiddelde van de twee abscissen. Dezelfde berekening geldt voor de ordinaten. ∎

Voorbeeld 5.3

Met $A(-1, 4)$ en $B(5, -2)$ is het midden van $[AB]$

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

De formule loopt ook achterwaarts: als $A(-1, 4)$ en het midden $I(2, 1)$ is, dan voldoet $B$ aan $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ en $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ , dus $x_B = 5$ en $y_B = -2$ : het punt $B$ is het symmetrische van $A$ t.o.v. $I$ .

5.3 Afstand tussen twee punten

Stelling 5.4 (Afstandsformule)

In een orthonormaal stelsel is de afstand tussen $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Bewijs. Laat $C$ het punt $(x_B, y_A)$ zijn: het heeft dezelfde hoogte als $A$ en dezelfde abscis als $B$ , dus de driehoek $ACB$ heeft een rechte hoek in $C$ . Zijn benen zijn horizontale en verticale lijnstukken, van lengtes $AC = \abs{x_B - x_A}$ en $CB = \abs{y_B - y_A}$ . Volgens de stelling van Pythagoras

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

en de vierkantswortel nemen (beide kanten zijn niet-negatief) geeft de formule. ∎

De afstandsformule is de stelling van Pythagoras toegepast op de rechthoekige driehoek ACB gebouwd op een horizontaal en een verticaal been. — De afstandsformule is de stelling van Pythagoras toegepast op de rechthoekige driehoek $ACB$ gebouwd op een horizontaal en een verticaal been.

Voorbeeld 5.5

Met $A(1, 1)$ en $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

Afstanden worden meestal in exacte (vierkantswortel-)vorm gehouden; rond alleen helemaal aan het eind als een decimaal antwoord nodig is.

Opmerking 5.6

De volgorde van de punten speelt geen rol: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . Maar vergeet de kwadraten niet! De afstand is niet $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 De formules gebruiken in de meetkunde

Methode 5.7 (Aard van een driehoek)

Gegeven drie punten $A$ , $B$ , $C$ door hun coördinaten:

bereken de drie gekwadrateerde lengtes $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ met de afstandsformule (kwadraten houden vermijdt vierkantswortels);
twee gelijke gekwadrateerde lengtes $\Rightarrow$ de driehoek is gelijkbenig;
als de grootste gekwadrateerde lengte de som is van de twee andere, is de driehoek rechthoekig in het hoekpunt tegenover de langste zijde, volgens de omgekeerde van de stelling van Pythagoras.

Voorbeeld 5.8

Laat $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ en $C(2, -3)$ . Dan

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

Eerst, $AB^2 = AC^2$ , dus $AB = AC$ : de driehoek is gelijkbenig in $A$ . Bovendien $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , dus volgens de omgekeerde van de stelling van Pythagoras is de driehoek ook rechthoekig in $A$ .

Methode 5.9 (Een parallellogram herkennen)

Een vierhoek $ABCD$ is een parallellogram precies wanneer zijn diagonalen $[AC]$ en $[BD]$ hetzelfde midden hebben. Dus: bereken beide middens met de middenformule en vergelijk ze.

Voorbeeld 5.10

Laat $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ en $D(2, -1)$ gegeven zijn. Het midden van $[AC]$ is $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; het midden van $[BD]$ is $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . Ze vallen samen, dus $ABCD$ is een parallellogram.

ABCD is een parallellogram omdat zijn twee diagonalen hetzelfde midden I(2, 1/2) delen. — $ABCD$ is een parallellogram omdat zijn twee diagonalen hetzelfde midden $I(2, \frac12)$ delen.

5.5 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Laat $A(2, 5)$ en $B(-4, 1)$ . Bereken de coördinaten van het midden van $[AB]$ en de afstand $AB$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

Midden: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . Afstand:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Oefening 5.2 ★

Laat $A(3, -2)$ en $I(1, 2)$ . Vind de coördinaten van het punt $B$ zodat $I$ het midden is van $[AB]$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

$I$ is het midden van $[AB]$ betekent $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ en $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , dus $x_B = -1$ en $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ .

Oefening 5.3 ★

Welk van de punten $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ en $R(0, -5)$ ligt het dichtst bij de oorsprong $O(0,0)$ ? Antwoord met exacte afstanden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . Omdat $13 < 17 < 25$ en de vierkantswortel stijgend is, ligt $Q$ het dichtst bij de oorsprong.

Oefening 5.4 ★

Teken de punten $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ op ruitjespapier, en toon dan door berekening dat de driehoek $ABC$ gelijkbenig is. Is hij rechthoekig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

Gekwadrateerde lengtes:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : de driehoek is gelijkbenig in $B$ . Bovendien $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : volgens de omgekeerde van de stelling van Pythagoras is hij ook rechthoekig in $B$ .

Oefening 5.5 ★★

Laat $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ en $D(1, -1)$ .

Toon aan dat $ABCD$ een parallellogram is.
Bereken $AB$ en $BC$ . Is $ABCD$ een ruit (alle zijden gelijk)?
Bereken $AC$ en $BD$ . Is $ABCD$ een rechthoek (gelijke diagonalen)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

1. Midden van $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; midden van $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . Zelfde midden: $ABCD$ is een parallellogram.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ en $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , geen ruit.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ en $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , geen rechthoek. $ABCD$ is een gewoon parallellogram.

Oefening 5.6 ★★

De cirkel met middelpunt $\Omega(2, 1)$ en straal $5$ bestaat uit alle punten op afstand $5$ van $\Omega$ . Welke van de punten $A(5, 5)$ , $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ liggen op deze cirkel? Erbinnen? Erbuiten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

Bereken gekwadrateerde afstanden tot $\Omega(2,1)$ en vergelijk met $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ en $B$ liggen op de cirkel; $C$ ligt erin ( $17 < 25$ ).

Oefening 5.7 ★★

Laat $A(1, 1)$ en $B(7, 5)$ . Vind alle punten $M(x, 0)$ van de $x$ -as die op gelijke afstand van $A$ en $B$ liggen. (Schrijf $MA^2 = MB^2$ en los op naar $x$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ en $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . Stel $MA^2 = MB^2$ :

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

Het unieke zulke punt is $M(6, 0)$ .

Oefening 5.8 ★★

Laat $A(0, 3)$ , $B(4, 1)$ .

Bereken de coördinaten van het midden $I$ van $[AB]$ .
Toon aan dat $M(2, 2) = I$ , en verifieer door $MA$ , $MB$ te berekenen dat $M$ op gelijke afstand van $A$ en $B$ ligt.
Vind een tweede punt, op de $y$ -as, op gelijke afstand van $A$ en $B$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. $M(2,2)$ is inderdaad $I$ . En $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : het midden ligt op gelijke afstand van de twee eindpunten, zoals verwacht.

3. Zoek $N(0, y)$ met $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

dus $y = -2$ : het punt $N(0, -2)$ .

Oefening 5.9 ★★

De punten $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ en $C(11, 5)$ zijn gegeven. Bereken $AB$ , $BC$ en $AC$ , en leid af dat $A$ , $B$ , $C$ collineair zijn. (Drie punten zijn collineair precies wanneer de grootste van de drie afstanden de som is van de twee andere.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

Dan $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : de driehoeksongelijkheid is een gelijkheid, dus $B$ ligt op het lijnstuk $[AC]$ — de drie punten zijn collineair.

Oefening 5.10 ★★★

Laat $A(a, 0)$ en $B(0, b)$ met $a, b > 0$ , en laat $I$ het midden van $[AB]$ zijn. Toon door berekening dat $OI = IA = IB$ , waar $O$ de oorsprong is. (Dit bewijst een klassieke stelling: in een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde op gelijke afstand van de drie hoekpunten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

Het midden van $[AB]$ is $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . Dan

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

en $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ eveneens. De drie gekwadrateerde afstanden zijn gelijk, dus $OI = IA = IB$ : het midden van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek $OAB$ ligt op gelijke afstand van alle drie hoekpunten (het is het middelpunt van de omgeschreven cirkel).