Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

5Analytische meetkunde

Het grote idee van Descartes was punten door getallenparen te beschrijven, zodat meetkundige vraagstukken berekeningen worden. Met slechts twee formules — die voor het midden en die voor de afstand — bewijs je dat een driehoek gelijkbenig is, dat een vierhoek een parallellogram is of dat drie punten op één rechte liggen, zonder één hulplijn te tekenen.

5.1 Coördinaten in het vlak

Definitie 5.1 (Assenstelsel)

Een assenstelsel van het vlak bestaat uit een oorsprong $O$ en twee geijkte assen door $O$ : de horizontale $x$ -as en de verticale $y$ -as. Elk punt $M$ heeft dan een uniek paar coördinaten $(x, y)$ : zijn abscis $x$ en zijn ordinaat $y$ . Het stelsel heet orthonormaal wanneer de assen loodrecht op elkaar staan en dezelfde lengte-eenheid dragen. Alle stelsels in dit hoofdstuk zijn orthonormaal.

Elk punt van het vlak wordt door twee getallen vastgelegd: eerst de abscis (horizontaal), dan de ordinaat (verticaal).

5.2 Het midden van een lijnstuk

Propositie 5.2 (Formule voor het midden)

Zij $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ . Het midden $I$ van het lijnstuk $[AB]$ heeft coördinaten

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Bewijs. Bekijk de horizontale coördinaten. Van $A$ naar $B$ verandert de abscis met $x_B - x_A$ ; het punt halverwege heeft dus abscis

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

het gemiddelde van de twee abscissen. Dezelfde berekening geldt voor de ordinaten. ∎

Voorbeeld 5.3

Met $A(-1, 4)$ en $B(5, -2)$ is het midden van $[AB]$

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

De formule werkt ook achterwaarts: is $A(-1, 4)$ en is het midden $I(2, 1)$ , dan voldoet $B$ aan $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ en $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ , dus $x_B = 5$ en $y_B = -2$ : het punt $B$ is het spiegelbeeld van $A$ om $I$ .

5.3 Afstand tussen twee punten

Stelling 5.4 (Afstandsformule)

In een orthonormaal assenstelsel is de afstand tussen $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ gelijk aan

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Bewijs. Zij $C$ het punt $(x_B, y_A)$ : het ligt op dezelfde hoogte als $A$ en heeft dezelfde abscis als $B$ , zodat de driehoek $ACB$ een rechte hoek in $C$ heeft. Zijn rechthoekszijden zijn een horizontaal en een verticaal lijnstuk, met lengten $AC = \abs{x_B - x_A}$ en $CB = \abs{y_B - y_A}$ . Volgens de stelling van Pythagoras is

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

en de vierkantswortel trekken (beide leden zijn niet-negatief) geeft de formule. ∎

De afstandsformule is de stelling van Pythagoras, toegepast op de rechthoekige driehoek ACB die op een horizontale en een verticale rechthoekszijde staat. — De afstandsformule is de stelling van Pythagoras, toegepast op de rechthoekige driehoek $ACB$ die op een horizontale en een verticale rechthoekszijde staat.

Voorbeeld 5.5

Met $A(1, 1)$ en $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

Afstanden houd je gewoonlijk in exacte vorm (met wortels); rond pas op het allerlaatst af als er een decimaal antwoord nodig is.

Opmerking 5.6

De volgorde van de punten doet er niet toe: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . Maar vergeet de kwadraten niet! De afstand is niet $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 De formules meetkundig gebruiken

Methode 5.7 (De aard van een driehoek)

Zijn drie punten $A$ , $B$ , $C$ door hun coördinaten gegeven:

bereken met de afstandsformule de drie kwadraten $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ (met kwadraten werken spaart wortels uit);
twee gelijke kwadraten $\Rightarrow$ de driehoek is gelijkbenig;
is het grootste kwadraat de som van de twee andere, dan is de driehoek rechthoekig in het hoekpunt tegenover de langste zijde (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Voorbeeld 5.8

Zij $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ en $C(2, -3)$ . Dan is

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

Ten eerste is $AB^2 = AC^2$ , dus $AB = AC$ : de driehoek is gelijkbenig in $A$ . Bovendien is $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , zodat de driehoek volgens de omgekeerde stelling van Pythagoras ook rechthoekig is in $A$ .

Methode 5.9 (Een parallellogram herkennen)

Een vierhoek $ABCD$ is precies dan een parallellogram wanneer zijn diagonalen $[AC]$ en $[BD]$ hetzelfde midden hebben. Bereken dus beide middens met de formule voor het midden en vergelijk ze.

Voorbeeld 5.10

Zij $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ en $D(2, -1)$ . Het midden van $[AC]$ is $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; het midden van $[BD]$ is $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . Ze vallen samen, dus is $ABCD$ een parallellogram.

ABCD is een parallellogram omdat zijn twee diagonalen hetzelfde midden I(2, 1/2) delen. — $ABCD$ is een parallellogram omdat zijn twee diagonalen hetzelfde midden $I(2, \frac12)$ delen.

5.5 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Zij $A(2, 5)$ en $B(-4, 1)$ . Bereken de coördinaten van het midden van $[AB]$ en de afstand $AB$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

Midden: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . Afstand:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Oefening 5.2 ★

Zij $A(3, -2)$ en $I(1, 2)$ . Zoek de coördinaten van het punt $B$ waarvoor $I$ het midden van $[AB]$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

Dat $I$ het midden van $[AB]$ is, betekent $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ en $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , dus $x_B = -1$ en $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ .

Oefening 5.3 ★

Welk van de punten $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ en $R(0, -5)$ ligt het dichtst bij de oorsprong $O(0,0)$ ? Antwoord met exacte afstanden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . Omdat $13 < 17 < 25$ en de vierkantswortel stijgend is, ligt $Q$ het dichtst bij de oorsprong.

Oefening 5.4 ★

Zet de punten $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ op ruitjespapier uit, en toon daarna met een berekening aan dat de driehoek $ABC$ gelijkbenig is. Is hij rechthoekig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

Kwadraten van de lengten:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : de driehoek is gelijkbenig in $B$ . Bovendien is $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : volgens de omgekeerde stelling van Pythagoras is hij ook rechthoekig in $B$ .

Oefening 5.5 ★★

Zij $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ en $D(1, -1)$ .

Toon aan dat $ABCD$ een parallellogram is.
Bereken $AB$ en $BC$ . Is $ABCD$ een ruit (alle zijden gelijk)?
Bereken $AC$ en $BD$ . Is $ABCD$ een rechthoek (gelijke diagonalen)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

1. Midden van $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; midden van $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . Zelfde midden: $ABCD$ is een parallellogram.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ en $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , dus geen ruit.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ en $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , dus geen rechthoek. $ABCD$ is een gewoon parallellogram.

Oefening 5.6 ★★

De cirkel met middelpunt $\Omega(2, 1)$ en straal $5$ bestaat uit alle punten op afstand $5$ van $\Omega$ . Welke van de punten $A(5, 5)$ , $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ liggen op die cirkel? Welke erbinnen? Welke erbuiten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

Bereken de kwadraten van de afstanden tot $\Omega(2,1)$ en vergelijk met $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ en $B$ liggen op de cirkel; $C$ ligt erbinnen ( $17 < 25$ ).

Oefening 5.7 ★★

Zij $A(1, 1)$ en $B(7, 5)$ . Zoek alle punten $M(x, 0)$ van de $x$ -as die op gelijke afstand van $A$ en $B$ liggen. (Schrijf $MA^2 = MB^2$ en los op naar $x$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ en $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . Uit $MA^2 = MB^2$ volgt

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

Het enige zulke punt is $M(6, 0)$ .

Oefening 5.8 ★★

Zij $A(0, 3)$ , $B(4, 1)$ .

Bereken de coördinaten van het midden $I$ van $[AB]$ .
Toon aan dat $M(2, 2) = I$ , en ga daarna met $MA$ en $MB$ na dat $M$ op gelijke afstand van $A$ en $B$ ligt.
Zoek een tweede punt, op de $y$ -as, dat op gelijke afstand van $A$ en $B$ ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. $M(2,2)$ is inderdaad $I$ . En $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : het midden ligt op gelijke afstand van de twee uiteinden, zoals verwacht.

3. Zoek $N(0, y)$ met $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

dus $y = -2$ : het punt $N(0, -2)$ .

Oefening 5.9 ★★

Gegeven zijn de punten $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ en $C(11, 5)$ . Bereken $AB$ , $BC$ en $AC$ , en leid af dat $A$ , $B$ , $C$ op één rechte liggen. (Drie punten liggen precies dan op één rechte wanneer de grootste van de drie afstanden de som van de twee andere is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

Nu is $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : de driehoeksongelijkheid is een gelijkheid, dus ligt $B$ op het lijnstuk $[AC]$ — de drie punten liggen op één rechte.

Oefening 5.10 ★★★

Zij $A(a, 0)$ en $B(0, b)$ met $a, b > 0$ , en zij $I$ het midden van $[AB]$ . Toon met een berekening aan dat $OI = IA = IB$ , waarbij $O$ de oorsprong is. (Dit bewijst een klassieke stelling: in een rechthoekige driehoek ligt het midden van de schuine zijde op gelijke afstand van de drie hoekpunten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

Het midden van $[AB]$ is $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . Dan is

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

en eveneens $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ . De drie kwadraten zijn gelijk, dus $OI = IA = IB$ : het midden van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek $OAB$ ligt op gelijke afstand van alle drie de hoekpunten (het is het middelpunt van de omgeschreven cirkel).

5.6 Opgave: de brug van Descartes — cirkelvergelijkingen en hoe je te weten komt waar je bent

Probleem 5.1

Weekendopgave — de cirkel wordt een vergelijking, oude stellingen worden berekeningen, en drie bakens bepalen een punt: trilateratie met algebra

In 1637 bouwde René Descartes een brug tussen twee continenten: elke kromme van de meetkunde werd een vergelijking, elke meetkundige vraag een berekening. Deze opgave loopt de brug in beide richtingen over — ze leidt de vergelijking van de cirkel af uit de afstandsformule (Stelling 5.4), bewijst klassieke stellingen opnieuw in drie regels algebra, en eindigt waar de brug vandaag het drukst bereden wordt: een positie berekenen uit afstandssignalen, het platte hart van gps.

Deel I — De cirkel krijgt een vergelijking.

Een punt $M(x, y)$ ligt precies dan op de cirkel met middelpunt $\Omega(2, 1)$ en straal $5$ wanneer $\Omega M = 5$ . Kwadrateer die voorwaarde om de vergelijking van de cirkel te krijgen:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$
Toets het lidmaatschap: welke van $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ liggen op de cirkel, erbinnen, erbuiten?
Een cirkel in vermomming: vul de kwadraten aan (Probleem 2.1) in

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

en geef middelpunt en straal.
Doe hetzelfde met $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . Wat onthult de aangevulde vorm? Formuleer het criterium: wanneer beschrijft $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ een cirkel, wanneer één enkel punt, en wanneer helemaal niets?
Snijd de cirkel van vraag 3 met de horizontale rechte $y = 3$ : vul in en los op. Hoeveel punten, en hoe heet zo’n rechte meetkundig?

Deel II — Oude stellingen in drie regels.

De cirkelstelling uit het onderbouwvolume (een rechte hoek in elke halve cirkel), opnieuw bewezen met algebra: zij $A(-r, 0)$ en $B(r, 0)$ de uiteinden van een middellijn en $M(x, y)$ een willekeurig punt van de cirkel $x^2 + y^2 = r^2$ . Bereken $MA^2 + MB^2$ en besluit met de omgekeerde stelling van Pythagoras dat $\widehat{AMB}$ recht is.
De zwaartelijnstelling: toon voor $A(-a, 0)$ , $B(a, 0)$ (zodat het midden van $[AB]$ de oorsprong $I$ is) aan dat voor elk punt $M(x, y)$ geldt:

$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$
Leid de meetkundige plaats af van de punten $M$ met $MA^2 + MB^2 = 26$ wanneer $AB = 6$ : welke kromme, welk middelpunt, welke straal?
Een andere meetkundige plaats: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; zoek alle punten met $MA = 2\,MB$ . (Kwadrateer, werk uit, vul de kwadraten aan: er verschijnt een beroemde cirkel — Apollonius kende hem zonder coördinaten.)
In één of twee zinnen: wat verandert de brug van Descartes aan de manier waarop stellingen bewezen worden? Vergelijk vraag 6 met het rechthoekbewijs van de cirkelstelling uit het onderbouwvolume.

Deel III — Drie bakens vinden je. Je positie $M(x, y)$ is onbekend. Baken $P(0, 0)$ meet je afstand als $5$ ; baken $Q(6, 0)$ meet eveneens $5$ .

Schrijf de twee cirkelvergelijkingen op, trek ze van elkaar af en kijk hoe de kwadraten wegvallen: welke eenvoudige vergelijking blijft over? Combineer met één cirkel om de twee kandidaatposities te vinden.
Een derde baken $R(0, 8)$ meet je afstand als $5$ . Bereken zijn afstand tot elke kandidaat en beslis waar je bent.
Leg uit waarom het aftrekken van twee cirkelvergelijkingen altijd de vergelijking van een rechte oplevert (welke termen vallen weg?), en wat die rechte meetkundig is wanneer de cirkels elkaar in twee punten snijden.
Echte satellietplaatsbepaling werkt in de ruimte en met onvolmaakte klokken: elke satelliet geeft (via de looptijd van het signaal) één afstand, en dus één bol. Hoeveel onbekenden heeft een ontvanger (positie én zijn eigen klokfout), en waarom luistert gps daarom naar minstens vier satellieten?
Nauwkeurigheid: stel dat de afstand van baken $P$ in werkelijkheid $5.1$ is in plaats van $5$ (al de rest ongewijzigd). Doe de aftrekking van vraag 11 opnieuw om de nieuwe $x$ te vinden, en kwantificeer hoever de schatting opschoof. (Vergelijk met de foutenbegroting van Probleem 1.1.)

Deel IV — De gereedschapskist van de landmeter.

De kortste weg langs het water: een kamp in $A(1, 5)$ , een schuur in $B(7, 3)$ , en een rechte rivier langs de as $y = 0$ . Om van $A$ naar de rivier en dan naar $B$ te gaan met zo weinig mogelijk stappen: spiegel $B$ over de rivier naar $B'$ , en zoek waar het lijnstuk $[AB']$ de rivier kruist. Geef het snijpunt en de kortste totale lengte. (Het idee is de biljartoefening uit het onderbouwvolume, nu volledig berekenbaar.)
Bevestig de minimaliteit met een concurrent: bereken de totale weg via $Q(3, 0)$ en ga na dat ze het van jouw antwoord verliest.
Bepaal de vierhoek $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ volledig: parallellogram? ruit? rechthoek? vierkant? (Methode 5.9, Methode 5.7 — vergelijk ook de diagonalen.)
Zoek bij $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ het punt $D$ waarvoor $ABCD$ een parallellogram is (de truc met het midden van de diagonalen uit de weekendopgave over halve draaiingen in het onderbouwvolume, nu in formules).
Slotstuk: drie gereedschappen — de formule voor het midden, de afstandsformule en het aftrekken van cirkelvergelijkingen. Noem voor elk het soort vraag dat het in deze opgave beslechtte, en zeg wat de twee volgende hoofdstukken aan de kist toevoegen (richtingen en richtingscoëfficiënten: vectoren en vergelijkingen van rechten).

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ volgens de afstandsformule (Stelling 5.4) — kwadrateren is onschadelijk, want beide leden zijn positief.

2. $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : op de cirkel. $B$ : $16 + 9 = 25$ : eveneens erop. $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : erbinnen.

3. $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ en $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ , zodat de vergelijking luidt $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : middelpunt $(3, -2)$ , straal $5$ .

4. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : een som van kwadraten is nooit negatief — geen enkel punt voldoet eraan: de lege verzameling. Algemeen is $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ een cirkel met straal $\sqrt c$ als $c > 0$ , het enkele punt $(h, k)$ als $c = 0$ , en leeg als $c < 0$ .

5. Met $y = 3$ : $(x - 3)^2 + 25 = 25$ , dus $(x - 3)^2 = 0$ : het enkele punt $(3, 3)$ . Eén raakpunt: de rechte is een raaklijn aan de cirkel.

6. $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (met $x^2 + y^2 = r^2$ ). Omdat $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$ , voldoet de driehoek $AMB$ aan $MA^2 + MB^2 = AB^2$ : rechthoekig in $M$ (omgekeerde stelling van Pythagoras) — drie regels, zoals beloofd.

7. $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$ , en $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$ . De identiteit is bewezen.

8. $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ geeft $MI^2 = 4$ : de cirkel met als middelpunt het midden $I$ en straal $2$ .

9. $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ , dus $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$ , of $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ ; aanvullen geeft $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — de cirkel met middelpunt $(4, 0)$ en straal $2$ (de cirkel van Apollonius met verhouding $2$ ).

10. De brug zet constructies om in berekeningen: geen hulprechthoek, geen gevalsonderscheid — één uitwerking en de stelling valt eruit. De prijs: berekeningen dragen minder meetkundig inzicht; het klassieke bewijs laat zien waarom, het algebraïsche dat — een werkende wiskundige houdt beide bij de hand.

11. $x^2 + y^2 = 25$ en $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ . Aftrekken geeft $x^2 - (x - 6)^2 = 0$ , dus $12x - 36 = 0$ : $x = 3$ . Daarna $9 + y^2 = 25$ : $y = \pm 4$ . Kandidaten $(3, 4)$ en $(3, -4)$ .

12. Van $(3, 4)$ naar $R(0, 8)$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ — dat klopt. Van $(3, -4)$ : $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — fout. Je bevindt je in $(3, 4)$ .

13. Beide vergelijkingen dragen dezelfde $x^2 + y^2$ (of na uitwerken met gelijke coëfficiënten): het aftrekken schrapt de kwadraten en laat een vergelijking van de eerste graad over — een rechte. Snijden de cirkels elkaar twee keer, dan gaat die rechte door beide snijpunten: ze draagt de gemeenschappelijke koorde.

14. Vier onbekenden: drie coördinaten plus de klokfout van de ontvanger (een goedkoop uurwerk, door de wiskunde gecorrigeerd). Elke satelliet levert één vergelijking, dus geven vier satellieten vier vergelijkingen voor vier onbekenden — en meer satellieten verbeteren de nauwkeurigheid.

15. Het aftrekken geeft nu $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ : een fout van $10$ cm in één afstand verschoof de schatting hier ongeveer $8$ cm. Fouten planten zich door elke formule voort — de waarschuwing over rekenen met intervallen uit Probleem 1.1, nu met coördinaten.

16. $B'(7, -3)$ . De rechte $(AB')$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ en kruist $y = 0$ in $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ : drink in $P(4.75,\ 0)$ . Kortste lengte: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

17. Via $Q(3, 0)$ : $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$ . De gespiegelde rechte lijn wint.

18. Middens van de diagonalen: $[AC]$ : $(3, 3)$ ; $[BD]$ : $(3, 3)$ — gelijk: parallellogram. Zijden: $AB = \sqrt{10} = AD$ : ruit. Diagonalen: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : geen rechthoek, en dus ook geen vierkant. Oordeel: een ruit, en niets meer.

19. $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : dan delen $[AC]$ en $[BD]$ het midden $\left(\frac52, 1\right)$ .

20. Formule voor het midden: parallellogrammen en middelpunten (vragen 18, 19). Afstandsformule: cirkels, meetkundige plaatsen, de aard van driehoeken, kortste wegen (vragen 1–9, 16). Aftrekken van cirkelvergelijkingen: de rechte die een positie vastlegt (vragen 11–15). Wat nog ontbreekt in de kist: een nette algebra van richtingen — vectoren — en van richtingscoëfficiënten — vergelijkingen van rechten en stelsels: de twee volgende hoofdstukken leveren precies dat.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Assenstelsel

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst