Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

26Differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking koppelt een functie aan haar afgeleiden. Natuurkunde, scheikunde, biologie en economie drukken hun wetten in deze vorm uit: de afkoelingssnelheid van een lichaam, het verval van een radioactieve kern, de groei van een populatie zijn allemaal uitspraken over $y'$ . Dit hoofdstuk lost volledig de lineaire eerste-ordevergelijkingen met constante coëfficiënten op.

26.1 De vergelijking $y' = ay$

Definitie 26.1 (Differentiaalvergelijking)

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarvan de onbekende een functie $y$ is, en die $y$ en haar afgeleiden bevat. Een oplossing op een interval $I$ is een differentieerbare functie die de vergelijking in elk punt van $I$ voldoet.

Stelling 26.2 (Oplossingen van $y' = ay$ )

Laat $a \in \R$ . De oplossingen op $\R$ van de vergelijking $y' = ay$ zijn precies de functies

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Voor elk paar $(x_0, y_0)$ bestaat er precies één oplossing met $y(x_0) = y_0$ .

Bewijs. Elke $y = C\eu^{ax}$ voldoet aan $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ . Omgekeerd, laat $y$ een willekeurige oplossing zijn en stel $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ . Dan

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

dus $z$ is constant, zeg $C$ , en $y(x) = C\eu^{ax}$ . De beginvoorwaarde $y(x_0) = y_0$ dwingt $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ , uniek. ∎

Opmerking 26.3

De exponentiële functie wordt zo gekarakteriseerd door de eenvoudigste van alle differentiaalvergelijkingen: groei evenredig met de grootte. Daarom verschijnt zij overal in de natuur.

De vergelijking y' = y schrijft in elk punt van het vlak een helling voor (grijze segmenten). De oplossingen C x — hier C = 1 (blauw), C = 0.3 (rood), C = -0.5 (oranje) — zijn precies de krommen die dit hellingsveld volgen. — De vergelijking $y' = y$ schrijft in elk punt van het vlak een helling voor (grijze segmenten). De oplossingen $C\eu^{x}$ — hier $C = 1$ (blauw), $C = 0.3$ (rood), $C = -0.5$ (oranje) — zijn precies de krommen die dit hellingsveld volgen.

Voorbeeld 26.4 (Radioactief verval)

Een radioactieve hoeveelheid voldoet aan $N' = -\lambda N$ met $\lambda > 0$ , dus $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; zie Voorbeeld 23.9 voor de halfwaardetijd.

26.2 De vergelijking $y' = ay + b$

Stelling 26.5 (Oplossingen van $y' = ay + b$ )

Laat $a \neq 0$ en $b \in \R$ . De oplossingen op $\R$ van $y' = ay + b$ zijn precies de functies

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

De constante functie $y_p = -\frac ba$ is de evenwichtsoplossing. Voor elk $(x_0, y_0)$ bestaat er precies één oplossing met $y(x_0) = y_0$ ; als $a < 0$ , dan nadert elke oplossing het evenwicht $-\frac ba$ als $x \to +\infty$ .

Bewijs. De constante $y_p = -\frac{b}{a}$ voldoet aan $y_p' = 0 = a y_p + b$ . Nu is $y$ een oplossing dan en slechts dan als

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

dat wil zeggen dan en slechts dan als $z = y - y_p$ de vergelijking $z' = az$ oplost. Volgens Stelling 26.2 is $z = C\eu^{ax}$ , waaruit de formule, het bestaan en de uniciteit volgen. Als $a < 0$ , dan $\eu^{ax} \to 0$ als $x \to +\infty$ , dus $y(x) \to -\frac ba$ . ∎

Methode 26.6 (Oplossen van $y' = ay + b$ met beginvoorwaarde)

Vind de evenwichtsoplossing $y_p = -\frac{b}{a}$ (los $y' = 0$ op).
Schrijf de algemene oplossing $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
Bepaal $C$ uit de beginvoorwaarde.
Controleer het lange-termijngedrag tegen fysische intuïtie (convergeert de oplossing naar het evenwicht?).

Dezelfde strategie — bijzondere oplossing + algemene oplossing van de homogene vergelijking — strekt zich uit tot $y' = ay + f(x)$ : zie Propositie 26.8.

Voorbeeld 26.7 (Newtons afkoelingswet)

Een kop koffie van $80\,^\circ$ C staat in een kamer van $20\,^\circ$ C. Newtons wet zegt dat de temperatuur $T$ voldoet aan $T' = -k(T - 20)$ voor zekere $k > 0$ , d.w.z. $T' = -kT + 20k$ . Het evenwicht is $20$ , en $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : de koffie koelt exponentieel af naar kamertemperatuur.

Wat hun begintemperatuur ook is, alle oplossingen van T' = -k(T - 20) convergeren exponentieel naar het evenwicht T = 20. — Wat hun begintemperatuur ook is, alle oplossingen van $T' = -k(T - 20)$ convergeren exponentieel naar het evenwicht $T = 20$ .

26.3 De vergelijking $y' = ay + f(x)$

Propositie 26.8 (Structuur van de oplossingsverzameling)

Laat $f$ continu zijn op een interval $I$ en laat $y_p$ één bijzondere oplossing zijn van

y' = ay + f(x)

op $I$ . Dan zijn de oplossingen op $I$ precies de functies $y = C\eu^{ax} + y_p$ , $C \in \R$ .

Bewijs. Zoals in Stelling 26.5: $y$ is een oplossing dan en slechts dan als $z = y - y_p$ voldoet aan $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ , dan en slechts dan als $z = C\eu^{ax}$ . ∎

Methode 26.9 (Een bijzondere oplossing raden)

Zoek een bijzondere oplossing van dezelfde vorm als $f$ :

$f$ polynoom van graad $n$ : probeer een polynoom van graad $n$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ met $k \neq a$ : probeer $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (resonant geval): probeer $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substitueer in de vergelijking en identificeer de coëfficiënten.

Voorbeeld 26.10

Los $y' = 2y + 4x$ op. Probeer $y_p = \alpha x + \beta$ : $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ voor alle $x$ dwingt $2\alpha + 4 = 0$ en $\alpha = 2\beta$ , dus $\alpha = -2$ , $\beta = -1$ . Algemene oplossing: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ .

26.4 Oefeningen

Oefening 26.1 ★

Los op $\R$ op: (a) $y' = 3y$ met $y(0) = 2$ ; (b) $2y' + y = 0$ met $y(0) = -1$ ; (c) $y' = -y + 5$ met $y(0) = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

(a) $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ geeft $y = 2\eu^{3x}$ .

(b) $y' = -\frac12 y$ , dus $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ geeft $y = -\eu^{-x/2}$ .

(c) Evenwicht $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ geeft $C = -5$ : $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ .

Oefening 26.2 ★

Een bacteriële populatie groeit met een snelheid evenredig met haar grootte, en verdubbelt elke $3$ uur. Schrijf de differentiaalvergelijking waaraan de populatie $N(t)$ voldoet en bepaal de evenredigheidsconstante.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

$N' = kN$ , dus $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ . Verdubbelen in $3$ uur betekent $\eu^{3k} = 2$ , d.w.z.

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

Oefening 26.3 ★

Verifieer dat $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ een oplossing is van $y' = y + \eu^x$ , en geef alle oplossingen op $\R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : $y_p$ is een bijzondere oplossing (het resonante geval van Methode 26.9). Volgens Propositie 26.8 zijn de oplossingen $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ , $C \in \R$ .

Oefening 26.4 ★★

Los $y' = -2y + \eu^{x}$ op met $y(0) = 1$ . (Hint: zoek een bijzondere oplossing van de vorm $\beta\,\eu^{x}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

Probeer $y_p = \beta\eu^x$ : $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ geeft $3\beta = 1$ , dus $y_p = \frac13\eu^x$ . Algemene oplossing $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; de voorwaarde $y(0) = 1$ geeft $C = \frac23$ :

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Oefening 26.5 ★★

Koolstof-14 vervalt met een halfwaardetijd van $5730$ jaar. Een archeologisch monster bevat $60\%$ van de koolstof-14 van een levend organisme. Schat de ouderdom.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ met $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ (Voorbeeld 23.9). Los $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ op:

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ jaar}.

Oefening 26.6 ★★

Een tank bevat $100$ L zuiver water. Pekel met $0.2$ kg zout per liter stroomt in met $5$ L/min; het mengsel (homogeen gehouden) stroomt uit met dezelfde snelheid. Laat $m(t)$ de massa zout in de tank op tijdstip $t$ zijn (in minuten).

Rechtvaardig dat $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
Los op, en bepaal de limiet van $m(t)$ als $t \to +\infty$ . Interpreteer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

1. Het zout komt binnen met $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. De uitstroom neemt de concentratie $\frac{m}{100}$ kg/L mee met $5$ L/min, d.w.z. $\frac{m}{20}$ kg/min. Dus $m' = 1 - \frac{m}{20}$ .

2. Evenwicht $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ , en $m(0) = 0$ geeft $C = -20$ :

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

Op lange termijn is de concentratie van de tank gelijk aan die van de inkomende pekel: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

Oefening 26.7 ★★

Een skydiver van massa $80$ kg valt onder invloed van de zwaartekracht ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) en luchtweerstand evenredig met de snelheid, zodat haar snelheid voldoet aan $v' = g - \frac{k}{m}v$ met $k = 16$ kg/s.

Los de vergelijking op met $v(0) = 0$ .
Bereken de eindsnelheid $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ , en de tijd nodig om $95\%$ ervan te bereiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

1. $v' = g - \frac{k}{m} v$ met $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ . Evenwicht $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ , en $v(0) = 0$ geeft

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Eindsnelheid $49$ m/s ( $\approx 176$ km/h). We willen $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ , d.w.z. $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

Oefening 26.8 ★★★

(Logistische vergelijking.) Een populatie $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (als fractie van de maximale populatie) voldoet aan

y' = y(1 - y).

Laat $z = \dfrac{1}{y}$ . Toon dat $z$ de lineaire vergelijking $z' = -z + 1$ voldoet.
Los op voor $z$ , daarna voor $y$ , met $y(0) = \frac{1}{10}$ .
Toon dat $y(t) \to 1$ als $t \to +\infty$ en schets de vorm van de oplossingskromme.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

1. $z = \frac1y$ geeft $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ .

2. Evenwicht $z_p = 1$ , dus $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ . Uit $y(0) = \frac{1}{10}$ , $z(0) = 10$ , dus $C = 9$ en

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Als $t \to +\infty$ , $9\eu^{-t} \to 0$ en $y(t) \to 1$ . De kromme is de klassieke logistische S-kromme (sigmoïde): trage groei aanvankelijk ( $y$ klein, $y' \approx y$ ), snelste groei bij $y = \frac12$ (waar $y' = y(1-y)$ maximaal is), daarna verzadiging naar de capaciteit $1$ .

Oefening 26.9 ★★★

Laat $y$ een oplossing zijn van $y' = ay + b$ en laat $u_n = y(n)$ voor $n \in \N$ . Toon dat $(u_n)$ een arithmetico-geometrische recurrentie $u_{n+1} = q u_n + r$ voldoet, en druk $q$ en $r$ uit in $a$ en $b$ . Waaraan beantwoordt de voorwaarde $\abs{q} < 1$ voor de differentiaalvergelijking?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

Volgens Stelling 26.5, $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ . Dus

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

met $q = \eu^{a}$ en $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ . De voorwaarde $\abs q < 1$ betekent $\eu^a < 1$ , d.w.z. $a < 0$ : precies de voorwaarde waaronder de oplossingen van de differentiaalvergelijking naar het evenwicht $-\frac ba$ convergeren — en inderdaad is het vastpunt van de recurrentie $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ .

26.1 De vergelijking y′=ayy' = ayy′=ay

26.2 De vergelijking y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

26.3 De vergelijking y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)y′=ay+f(x)

26.4 Oefeningen

26.1 De vergelijking $y' = ay$

26.2 De vergelijking $y' = ay + b$

26.3 De vergelijking $y' = ay + f(x)$