Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

22Differentiaalrekening en convexiteit

De afgeleide meet de ogenblikkelijke veranderingsverhouding van een functie; het is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan haar grafiek. Dit hoofdstuk herhaalt en breidt de differentiatieregels uit, koppelt het teken van $f'$ aan de variaties van $f$ , en introduceert convexiteit, die door de tweede afgeleide wordt gestuurd.

22.1 De afgeleide

Definitie 22.1 (Afgeleide in een punt)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie $f$ is afleidbaar in $a$ als het verschilquotiënt

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

een eindige limiet heeft als $h \to 0$ . Deze limiet heet de afgeleide van $f$ in $a$ en wordt genoteerd $f'(a)$ . Als $f$ afleidbaar is in elk punt van $I$ , is de functie $f' \colon x \mapsto f'(x)$ de afgeleide van $f$ .

Definitie 22.2 (Raaklijn)

Als $f$ afleidbaar is in $a$ , is de raaklijn aan de kromme van $f$ in het punt $(a, f(a))$ de lijn met vergelijking

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Als h afneemt, roteert de secant door A = (a, f(a)) en (a+h, f(a+h)) (oranje) naar de raaklijn in A (rood): haar richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h neigt naar f'(a). — Als $h$ afneemt, roteert de secant door $A = (a, f(a))$ en $(a+h, f(a+h))$ (oranje) naar de raaklijn in $A$ (rood): haar richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ neigt naar $f'(a)$ .

Propositie 22.3

Een functie afleidbaar in $a$ is continu in $a$ . Het omgekeerde is onwaar.

Bewijs. Voor $h \neq 0$ klein is $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Als $h \to 0$ , neigt het rechterlid naar $0 \times f'(a) = 0$ , dus $f(a+h) \to f(a)$ . Voor het omgekeerde is $x \mapsto \abs{x}$ continu in $0$ , maar haar verschilquotiënt in $0$ is gelijk aan $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ afhankelijk van het teken van $h$ , en heeft geen limiet. ∎

22.1.1 Differentiatieregels

Propositie 22.4 (Bewerkingen)

Laat $u, v$ afleidbaar zijn op $I$ en $\lambda \in \R$ . Dan zijn $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ afleidbaar op $I$ , evenals $\frac{u}{v}$ waar $v \neq 0$ , en

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Bewijs van de productregel. Schrijf het verschilquotiënt van $uv$ in $a$ als

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Als $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ door continuïteit (Propositie 22.3), dus neigt het rechterlid naar $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . De andere regels worden evenzo bewezen. ∎

Stelling 22.5 (Kettingregel)

Laat $u$ afleidbaar zijn op $I$ met waarden in $J$ , en $g$ afleidbaar op $J$ . Dan is $g \circ u$ afleidbaar op $I$ en

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

In het bijzonder, voor $u$ afleidbaar:

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Bewijsschets. Wanneer $u(a+h) \neq u(a)$ voor $h$ klein, schrijf

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Als $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , dus neigt de eerste factor naar $g'(u(a))$ en de tweede naar $u'(a)$ . (Een volledig bewijs moet het geval behandelen waarin $u(a+h) = u(a)$ voor willekeurig kleine $h$ ; dit technische punt wordt op de universiteit behandeld.) ∎

Voorbeeld 22.6

De gebruikelijke afgeleiden, geldig op de natuurlijke domeinen:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

De eerste wordt door inductie bewezen uit de productregel, en de laatste twee in Hoofdstuk 24.

22.2 Variaties en extrema

Stelling 22.7 (Teken van de afgeleide en variaties)

Laat $f$ afleidbaar zijn op een interval $I$ .

$f$ is stijgend op $I$ dan en slechts dan als $f' \geq 0$ op $I$ .
$f$ is dalend op $I$ dan en slechts dan als $f' \leq 0$ op $I$ .
Als $f' > 0$ op $I$ behalve in eindig veel punten waar ze verdwijnt, dan is $f$ strikt stijgend op $I$ .

Gedeeltelijk bewijs. Als $f$ stijgend is, is elk verschilquotiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $\geq 0$ , en naar de limiet gaan geeft $f'(a) \geq 0$ . De omgekeerde implicaties steunen op de middelwaardestelling, bewezen op de universiteit; ze zijn toegegeven op dit niveau. ∎

Definitie 22.8 (Lokaal extremum)

$f$ heeft een lokaal maximum in $a$ als $f(x) \leq f(a)$ voor alle $x$ nabij $a$ ; lokale minima worden symmetrisch gedefinieerd.

Propositie 22.9 (Eerste-orde-voorwaarde)

Als $f$ afleidbaar is op een open interval $I$ en een lokaal extremum heeft in $a \in I$ , dan $f'(a) = 0$ . Het omgekeerde is onwaar ( $f(x) = x^3$ in $a = 0$ ).

Bewijs. Zeg $a$ is een lokaal maximum. Voor $h > 0$ klein, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , dus $h \to 0^+$ geeft $f'(a) \leq 0$ ; voor $h < 0$ is het quotiënt $\geq 0$ , wat $f'(a) \geq 0$ geeft. Dus $f'(a) = 0$ . ∎

In een lokaal extremum binnen een open interval is de raaklijn (oranje) horizontaal: f'(a) = 0. Hier f(x) = x3 - 3x, met een lokaal maximum in -1 en een lokaal minimum in 1. — In een lokaal extremum binnen een open interval is de raaklijn (oranje) horizontaal: $f'(a) = 0$ . Hier $f(x) = x^3 - 3x$ , met een lokaal maximum in $-1$ en een lokaal minimum in $1$ .

Methode 22.10 (Veranderingstabel)

Om een functie $f$ te bestuderen: bepaal haar domein en limieten aan de rand; bereken $f'$ en ontbind haar; bepaal het teken van $f'$ op elk deelinterval; noteer alles in een veranderingstabel, markeer extrema; leid het aantal oplossingen van $f(x) = k$ af met de bijectiestelling (Stelling 21.15).

22.3 Convexiteit

Definitie 22.11 (Convexe functie)

Een functie $f$ gedefinieerd op een interval $I$ is convex op $I$ als elke koorde van haar grafiek boven de grafiek ligt: voor alle $a, b \in I$ en $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Ze is concaaf als de omgekeerde ongelijkheid geldt ( $-f$ convex).

Een convexe functie: elke koorde (rood) ligt boven de grafiek, en de grafiek ligt boven elk van haar raaklijnen (oranje). Het gestippelde segment toont de kloof tussen f ((1-t)a+tb ) en (1-t)f(a)+tf(b). — Een convexe functie: elke koorde (rood) ligt boven de grafiek, en de grafiek ligt boven elk van haar raaklijnen (oranje). Het gestippelde segment toont de kloof tussen $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ en $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Stelling 22.12 (Convexiteit en afgeleiden)

Laat $f$ afleidbaar zijn op een interval $I$ . De volgende zijn equivalent:

$f$ is convex op $I$ ;
$f'$ is stijgend op $I$ ;
de grafiek van $f$ ligt boven elk van haar raaklijnen.

Als $f$ tweemaal afleidbaar is, zijn deze ook equivalent met $f'' \geq 0$ op $I$ .

Bewijs van (2) $\Rightarrow$ (3). Fixeer $a \in I$ en stel $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , de kloof tussen de kromme en de raaklijn in $a$ . Dan is $g$ afleidbaar en $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Als $f'$ stijgend is, is $g' \leq 0$ op $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ en $g' \geq 0$ op $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ daalt vóór $a$ en stijgt erna, dus bereikt $g$ haar minimum $g(a) = 0$ , vandaar $g \geq 0$ . De overige implicaties zijn toegegeven op dit niveau; de equivalentie met $f'' \geq 0$ volgt uit Stelling 22.7 toegepast op $f'$ . ∎

Definitie 22.13 (Buigpunt)

Een punt waar de kromme van $f$ haar raaklijn kruist is een buigpunt. Voor $f$ tweemaal afleidbaar zijn buigpunten de punten waar $f''$ van teken wisselt.

Voorbeeld 22.14

$f(x) = x^3$ heeft $f''(x) = 6x$ : $f$ is concaaf op $\intoc{-\infty}{0}$ , convex op $\intco{0}{+\infty}$ , met een buigpunt in de oorsprong, waar de kromme haar raaklijn (de $x$ -as) kruist.

Het buigpunt van x x3 in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links, convex rechts. — Het buigpunt van $x \mapsto x^3$ in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links, convex rechts.

Voorbeeld 22.15 (Convexiteitsongelijkheden)

De exponentiële is convex op $\R$ (haar tweede afgeleide is zijzelf, positief). Haar raaklijn in $0$ is $y = 1 + x$ , dus

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{voor alle } x \in \R .

Dergelijke raaklijnongelijkheden zijn een standaardproduct van convexiteit.

Methode 22.16 (Convexiteit gebruiken)

Om een ongelijkheid $f(x) \geq ax + b$ te bewijzen: herken de lijn als een raaklijn van een convexe $f$ en roep Stelling 22.12(3) in.
Om buigpunten te lokaliseren: los $f''(x) = 0$ op en controleer dat $f''$ daar van teken wisselt.
In een veranderingstabel verfijnt convexiteit de schets van de kromme (welke kant ze buigt).

22.4 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Differentieer de volgende functies op hun domeinen:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Quotiëntrregel: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Kettingregel met $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Kettingregel met $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Oefening 22.2 ★

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de kromme van $f(x) = x^2 - 3x + 1$ in het punt met abscis $a = 2$ , en bepaal de posities van de kromme t.o.v. deze raaklijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , dus $f(2) = -1$ en $f'(2) = 1$ : de raaklijn is $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . De kloof is

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

dus ligt de kromme overal boven de raaklijn, en raakt haar alleen in $x = 2$ (zoals verwacht: $f$ is convex).

Oefening 22.3 ★

Bereken met de definitie van de afgeleide

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{en}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

Beide zijn verschilquotiënten. Met $f(x) = (1+x)^{100}$ in $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , dus de limiet is $f'(0) = 100$ . Met $g(x) = \sqrt{x}$ in $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , dus de limiet is $g'(4) = \frac14$ .

Oefening 22.4 ★★

Bestudeer de functie $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ op haar domein: limieten, afgeleide, veranderingstabel, lokale extrema.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

Domein $\R \setminus \{1\}$ . Limieten: in $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; in $1^\pm$ , teller $\to 4 > 0$ en noemer $\to 0^\pm$ , dus $f \to \pm\infty$ ; de lijn $x = 1$ is een verticale asymptoot.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

Dus $f' > 0$ op $\intoo{-\infty}{-1}$ en $\intoo{3}{+\infty}$ , $f' < 0$ op $\intoo{-1}{1}$ en $\intoo{1}{3}$ . De functie stijgt tot een lokaal maximum $f(-1) = -2$ , daalt tot $-\infty$ , springt naar $+\infty$ na de asymptoot, daalt tot een lokaal minimum $f(3) = 6$ , en stijgt daarna.

Oefening 22.5 ★★

Een doos zonder deksel wordt gemaakt van een vierkant kartonblad met zijde $30\,$ cm door gelijke vierkanten van zijde $x$ uit de hoeken te snijden en de zijkanten omhoog te vouwen. Bepaal $x$ die de inhoud van de doos maximaliseert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

Voor $x \in \intoo{0}{15}$ heeft de doos een vierkante basis van zijde $30 - 2x$ en hoogte $x$ , dus

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . Op $\intoo{0}{15}$ is $30 - 2x > 0$ , dus $V'$ heeft het teken van $30 - 6x$ : positief vóór $x = 5$ , negatief erna. De inhoud is maximaal voor $x = 5$ cm, wat $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ geeft.

Oefening 22.6 ★★

Laat $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Bereken $f''$ en bepaal de convexiteitsintervallen en buigpunten van $f$ .
Toon aan dat de raaklijn in het buigpunt met abscis $2$ de kromme daar kruist.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ en $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Dus $f'' > 0$ op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{2}{+\infty}$ (convex), $f'' < 0$ op $\intoo{0}{2}$ (concaaf). $f''$ wisselt van teken in $0$ en in $2$ : beide zijn buigpunten.

2. In $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , raaklijn $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . De kloof is

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Omdat $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , deelt $(x-2)^3$ $g$ ; deling geeft $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Nabij $x = 2$ is $x + 2 > 0$ , dus heeft $g$ het teken van $(x-2)^3$ : negatief vóór $2$ , positief erna. De kromme kruist de raaklijn: $2$ is inderdaad een buigpunt.

Oefening 22.7 ★★

Toon met een raaklijnongelijkheid aan dat voor alle $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

en identificeer wanneer gelijkheid geldt. (Hint: de vierkantswortel is concaaf.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

De functie $f(x) = \sqrt{x}$ voldoet aan $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ op $\intoo{0}{+\infty}$ : ze is concaaf, dus ligt haar grafiek onder elke raaklijn. De raaklijn in $a = 1$ is

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

vandaar $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ voor alle $x > 0$ . Gelijkheid betekent dat de kromme de raaklijn raakt, wat alleen gebeurt in het raakpunt $x = 1$ . (Equivalent: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Oefening 22.8 ★★★

Laat $f$ convex en afleidbaar zijn op $\R$ , en stel dat $f'$ verdwijnt in zekere $a$ . Toon aan dat $f(a)$ het globale minimum van $f$ op $\R$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

Volgens Stelling 22.12 ligt de grafiek van een afleidbare convexe functie boven elk van haar raaklijnen. De raaklijn in $a$ is horizontaal ( $f'(a) = 0$ ), met vergelijking $y = f(a)$ . Dus $f(x) \geq f(a)$ voor alle $x \in \R$ : $f(a)$ is het globale minimum.

Oefening 22.9 ★★★

Toon aan dat onder alle rechthoeken met vaste omtrek $p$ het vierkant de grootste oppervlakte heeft. Toon daarna dat onder alle rechthoeken met vaste oppervlakte $A$ het vierkant de kleinste omtrek heeft, en leg uit hoe de twee uitspraken samenhangen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Vaste omtrek. Een rechthoek met zijden $x$ en $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) heeft oppervlakte $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Dan verdwijnt $S'(x) = \frac p2 - 2x$ in $x = \frac p4$ , positief ervoor en negatief erna: het maximum ligt in $x = \frac{p}{4}$ , waar beide zijden $\frac p4$ zijn — een vierkant.

Vaste oppervlakte. Zijden $x$ en $\frac Ax$ geven omtrek $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , met $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , negatief voor $x < \sqrt A$ en positief erna: minimum in $x = \sqrt{A}$ , opnieuw een vierkant.

Relatie. De twee uitspraken zijn duaal. Stel een niet-vierkante rechthoek minimaliseerde de omtrek bij vaste oppervlakte $A$ ; het vierkant met dezelfde omtrek zou oppervlakte $> A$ hebben volgens de eerste uitspraak, en het homothetisch verkleinen tot oppervlakte $A$ zou haar omtrek strikt verkleinen — in strijd met minimaliteit. Elke uitspraak impliceert dus de andere.