Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

25Integratie

Integratie beantwoordt twee vragen tegelijk: wat is de oppervlakte onder een kromme, en hoe herstelt men een functie uit haar veranderingsverhouding? De fundamentele stelling van de analyse zegt dat dit dezelfde vraag is — de diepste en nuttigste ontdekking van de wiskunde van de zeventiende eeuw.

25.1 De integraal van een continue functie

Definitie 25.1 (Integraal van een positieve functie)

Laat $f$ continu en positief zijn op $\intcc{a}{b}$ . De integraal

\int_a^b f(x)\,\dd x

is de oppervlakte, in oppervlakte-eenheden, van het gebied begrensd door de kromme van $f$ , de $x$ -as, en de verticale lijnen $x = a$ en $x = b$ .

Voor een functie van willekeurig teken worden oppervlaktes onder de $x$ -as negatief geteld; en men stelt $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Algebraïsche oppervlaktes: ∈t_02π x\, x = 0, het gebied onder de as (rood) heft het gebied erboven (blauw) op. — Algebraïsche oppervlaktes: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , het gebied onder de as (rood) heft het gebied erboven (blauw) op.

Propositie 25.2 (Eigenschappen van de integraal)

Laat $f, g$ continu zijn op een interval dat $a, b, c$ bevat, en $\lambda \in \R$ .

Lineariteit: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Relatie van Chasles: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Positiviteit: als $a \leq b$ en $f \geq 0$ op $\intcc{a}{b}$ , dan $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; als $f \leq g$ , dan $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Bewijs. Chasles en positiviteit zijn onmiddellijk uit de oppervlakte-interpretatie (oppervlaktes tellen op wanneer gebieden naast elkaar liggen; een gebied van positieve hoogte heeft positieve oppervlakte). Vergelijking volgt door positiviteit toe te passen op $g - f$ . Lineariteit is intuïtief voor de som van positieve functies (oppervlaktes stapelen) en wordt rigoriseerd op de universiteit; ze is hier toegegeven. ∎

25.2 De fundamentele stelling van de analyse

Definitie 25.3 (Primitieve)

Een primitieve (of antiafgeleide) van $f$ op een interval $I$ is een afleidbare functie $F$ op $I$ zodat $F' = f$ .

Propositie 25.4

Als $F$ een primitieve is van $f$ op een interval $I$ , zijn de primitieven van $f$ op $I$ precies de functies $F + c$ , $c \in \R$ . Gegeven $x_0 \in I$ en $y_0 \in \R$ , bestaat er een unieke primitieve met $F(x_0) = y_0$ .

Bewijs. Als $G' = F' = f$ , dan $(G - F)' = 0$ op het interval $I$ , dus is $G - F$ constant.¹ Omgekeerd is elke $F + c$ een primitieve. De voorwaarde $F(x_0) = y_0$ legt de constante vast. ∎

Stelling 25.5 (Fundamentele stelling van de analyse)

Laat $f$ continu zijn op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

is de primitieve van $f$ op $I$ die in $a$ verdwijnt. Bijgevolg, voor elke primitieve $G$ van $f$ en $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

Het idee van het bewijs: de toename F(x+h) - F(x) is de oppervlakte van de smalle band (oranje), ingekadererd tussen de rechthoeken van hoogtes f(x) en f(x+h) op een basis van lengte h. — Het idee van het bewijs: de toename $F(x+h) - F(x)$ is de oppervlakte van de smalle band (oranje), ingekadererd tussen de rechthoeken van hoogtes $f(x)$ en $f(x+h)$ op een basis van lengte $h$ .

Bewijs wanneer $f$ stijgend is. Fixeer $x \in I$ en $h > 0$ met $x + h \in I$ . Volgens Chasles,

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Omdat $f$ stijgend is, $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ voor $t \in \intcc{x}{x+h}$ , en door vergelijking van integralen (de integraal van een constante $c$ over een interval van lengte $h$ is $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

dus

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Als $h \to 0^+$ , $f(x+h) \to f(x)$ door continuïteit, en de insluitstelling geeft dat het verschilquotiënt naar $f(x)$ neigt; het geval $h < 0$ is symmetrisch. Dus $F' = f$ , en $F(a) = 0$ . Het algemene geval (niet monotoon) continu wordt op de universiteit bewezen.

Ten slotte, als $G$ een willekeurige primitieve is, $G = F + c$ (Propositie 25.4), dus $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Voorbeeld 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : de oppervlakte onder de parabool is een derde van het eenheidsvierkant, zoals Archimedes wist.

De tabel van primitieven leest men van de tabel van afgeleiden ( $u$ is een afleidbare functie, $c$ een willekeurige constante):

$f(x)$	primitieve	$f$	primitieve
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Methode 25.7 (De vorm $u' \times (\text{iets in } u)$ herkennen)

Om een product te integreren, zoek een factor die de afgeleide is van een binnelfunctie $u$ , op een multiplicatieve constante na. Bijvoorbeeld in $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ is de factor $x$ gelijk aan $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Stelling 25.8 (Partieel integreren)

Laat $u, v$ afleidbaar zijn op $\intcc{a}{b}$ met continue afgeleiden. Dan

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Bewijs. De productregel geeft $(uv)' = u'v + uv'$ ; integreren van beide kanten over $\intcc{a}{b}$ en de fundamentele stelling toepassen op het linkerlid geeft $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Voorbeeld 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : neem $u' = \eu^t$ , $v = t$ , dus $u = \eu^t$ , $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Toepassingen

Definitie 25.10 (Gemiddelde waarde)

De gemiddelde waarde van een continue functie $f$ op $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) is

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Propositie 25.11

Als $m \leq f \leq M$ op $\intcc{a}{b}$ , dan $m \leq \mu \leq M$ .

Bewijs. Integreer de ongelijkheden $m \leq f(t) \leq M$ over $\intcc{a}{b}$ en deel door $b - a > 0$ . ∎

Methode 25.12 (Oppervlakte tussen twee krommen)

Als $f \geq g$ op $\intcc{a}{b}$ , is de oppervlakte tussen de twee krommen $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Als de krommen snijden, knip het interval bij de snijpunten en integreer $\abs{f - g}$ stuk voor stuk.

De oppervlakte tussen de lijn y = x + 1 (rood) en de parabool y = x2 - 1 (blauw) is ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — De oppervlakte tussen de lijn $y = x + 1$ (rood) en de parabool $y = x^2 - 1$ (blauw) is $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Oefeningen

Oefening 25.1 ★

Bereken

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Met $u = 2t+1$ , $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Oefening 25.2 ★

Vind de primitieve $F$ van $f(x) = x\eu^{x^2}$ op $\R$ zodat $F(0) = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ heeft primitieven $\frac12\eu^{x^2} + c$ . De voorwaarde $F(0) = 1$ geeft $\frac12 + c = 1$ , dus

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Oefening 25.3 ★

Bereken de gemiddelde waarde van $f(t) = \sin t$ op $\intcc{0}{\pi}$ , en interpreteer het resultaat op een grafiek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Grafisch heeft de rechthoek met basis $\intcc{0}{\pi}$ en hoogte $\frac{2}{\pi}$ dezelfde oppervlakte als de boog van de sinuskromme.

Oefening 25.4 ★★

Bereken met partieel integreren

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{en}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

Neem $u' = 1$ , $v = \ln t$ , dus $u = t$ , $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Neem $u' = \sin t$ , $v = t$ , dus $u = -\cos t$ , $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Oefening 25.5 ★★

Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de parabool $y = x^2$ en de lijn $y = x + 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

De krommen snijden waar $x^2 = x + 2$ , d.w.z. $x \in \{-1, 2\}$ , en op $\intcc{-1}{2}$ ligt de lijn boven de parabool. De oppervlakte is

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Oefening 25.6 ★★

Laat $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Bereken $I$ .
Voor $n \in \N$ , laat $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Toon aan dat $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ , en dat $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
Leid af dat $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

Op $\intcc{0}{1}$ , $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , dus door vergelijking $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. Uit de recurrentie, door een telescoperende inductie,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

d.w.z. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (merk op $I_0 = \ln 2$ ). Omdat $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , neigt de alternerende harmonische som naar $\ln 2$ .

Oefening 25.7 ★★

De snelheid van een trein (in m/s) tijdens de eerste $100$ seconden na vertrek wordt gemodelleerd door $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Bereken de afgelegde afstand tijdens deze $100$ seconden, en de gemiddelde snelheid van de trein over het interval.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

Afstand:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

Numeriek $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Gemiddelde snelheid: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Oefening 25.8 ★★★

Voor $n \geq 1$ , laat $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Interpreteer $S_n$ als een oppervlakte van rechthoeken die een gebied onder de kromme van $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ op $\intcc{0}{1}$ benaderen.
Toon met de monotonie van $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ aan dat

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

en leid af $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

1. $S_n$ is de totale oppervlakte van $n$ rechthoeken van breedte $\frac1n$ en hoogtes $f\left(\frac kn\right)$ , $k = 1, \dots, n$ , waar $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : het is de “rechtereindpunt”-rechthoeksbenadering van de oppervlakte onder $f$ op $\intcc{0}{1}$ .

2. $f$ is dalend, dus op elk interval $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ , $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; integreren en sommeren over $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(De middelste term van de oefening, met $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , is precies deze grens.) Dus $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ , vandaar $S_n \to \ln 2$ .

Oefening 25.9 ★★★

(Integralen van Wallis.) Voor $n \in \N$ , laat $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Bereken $W_0$ en $W_1$ .
Toon door $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ te schrijven en partieel te integreren aan dat $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
Leid $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ af en toon aan dat $(W_n)$ dalend en positief is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ en $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Partieel integreren met $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n+1} t$ , dus $u = -\cos t$ , $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

de haak verdwijnt aan beide einden. Dus $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , d.w.z. $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ , $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , dus $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ met strikte ongelijkheid in het inwendige; integreren, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (in feite $<$ ): $(W_n)$ is dalend en positief.

Dat een functie met afgeleide nul op een interval constant is, volgt uit Stelling 22.7: ze is zowel stijgend als dalend. ↩