Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

18Kansrekening en stochastische variabelen

Kansrekening modelleert experimenten waarvan de uitkomst onzeker is: een dobbelworp, een getrokken kaart, een gespeeld spel. Dit hoofdstuk zet de woordenschat op eindige verzamelingen op, en introduceert daarna de centrale figuur van de hele kansrekening: de stochastische variabele en haar verwachting. Deze begrippen worden hernomen en verdiept in Hoofdstuk 33, en voorwaardelijke kansen volgen in Hoofdstuk 32.

18.1 Kans op een eindige verzameling

Definitie 18.1 (Kansmodel)

Een experiment met eindig veel uitkomsten wordt gemodelleerd door zijn uitkomstenruimte $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (de verzameling uitkomsten) samen met een kans $\P$ die aan elke uitkomst $\omega_i$ een getal $p_i \geq 0$ toekent, met $p_1 + \dots + p_n = 1$ . Een gebeurtenis is een deelverzameling $A \subseteq \Omega$ , en

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Wanneer alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn ( $p_i = \frac1n$ : het uniforme model),

\P(A) = \frac{\text{aantal uitkomsten in } A} {\text{aantal uitkomsten in } \Omega}.

Voorbeeld 18.2

Gooi twee onderscheidbare dobbelstenen: $\Omega$ is de verzameling van $36$ geordende paren $(i, j)$ met $1 \leq i, j \leq 6$ , alle even waarschijnlijk. De gebeurtenis $S$ = “de som is $7$ ” bevat de $6$ paren $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ , dus $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . De gebeurtenis “de som is $12$ ” bevat alleen $(6,6)$ : kans $\frac{1}{36}$ . De juiste uitkomstenruimte kiezen — geordende paren, niet ongeordende — is wat het uniforme model toepasbaar maakt.

Propositie 18.3 (Kansregels)

Voor gebeurtenissen $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

waar $\bar A$ het complement van $A$ is (alle uitkomsten niet in $A$ ). In het bijzonder $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ wanneer $A$ en $B$ onverenigbaar zijn ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Bewijs. De lege gebeurtenis bevat geen uitkomst (lege som), en $\Omega$ bevat ze allemaal (totale som $1$ ). Elke uitkomst zit in precies één van $A$ , $\bar A$ , dus $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Voor de vereniging: sommeren van de $p_i$ over $A$ en daarna over $B$ telt de uitkomsten van $A \cap B$ twee keer; aftrekken van $\P(A \cap B)$ corrigeert de dubbeltelling. ∎

Voorbeeld 18.4

In een klas studeert $60\%$ muziek ( $M$ ), speelt $45\%$ een sport ( $S$ ), en doet $25\%$ beide. Het aandeel dat minstens één doet is $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , dus $20\%$ doet geen van beide (complement).

18.2 Stochastische variabelen

Definitie 18.5 (Stochastische variabele, verdeling)

Een stochastische variabele op $\Omega$ is een functie $X$ die aan elke uitkomst een getal toekent. Haar verdeling is de tabel van haar mogelijke waarden $x_1, \dots, x_k$ samen met hun kansen

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Voorbeeld 18.6

Een spel: betaal $2$ euro, gooi één eerlijke dobbelsteen, ontvang de getoonde waarde als die minstens $5$ is, anders niets. Laat $G$ de winst zijn (ontvangen minus betaald). De uitkomsten $1, 2, 3, 4$ geven $G = -2$ ; de uitkomst $5$ geeft $G = 3$ ; de uitkomst $6$ geeft $G = 4$ . De verdeling van $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Methode 18.7 (Een verdelingstabel opbouwen)

Som de mogelijke waarden van $X$ op; verzamel voor elke waarde de uitkomsten die haar produceren en tel hun kansen op; controleer dat de rij van kansen tot $1$ somt.

18.3 Verwachting

Definitie 18.8 (Verwachting)

De verwachting (of het gemiddelde) van $X$ is het gemiddelde van haar waarden gewogen met hun kansen:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Opmerking 18.9

$\E(X)$ is wat het gemiddelde van een enorm aantal onafhankelijke herhalingen van het experiment zou zijn — de precieze versie van deze uitspraak is de wet van de grote aantallen, bewezen in Hoofdstuk 34. Merk de formele analogie op met het gemiddelde van een dataset met frequenties (Definitie 17.1): kansen spelen de rol van de relatieve frequenties $\frac{n_i}{n}$ .

Voorbeeld 18.10

Voor het spel van Voorbeeld 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Gemiddeld verliest de speler ongeveer $17$ cent per spel: het spel is ongunstig. Een spel heet eerlijk wanneer de verwachte winst $0$ is.

Propositie 18.11 (Lineariteit)

Voor alle reële $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Bewijs. De variabele $aX + b$ neemt de waarde $a x_i + b$ aan met kans $\P(X = x_i)$ , dus

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Variantie en standaardafwijking

Definitie 18.12 (Variantie)

De variantie van $X$ meet de spreiding van haar waarden rond de verwachting $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Propositie 18.13 (Snelle formule)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Bewijs. Ontwikkel $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ in de som:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

wat $\E(X^2) - m^2$ is. Dit is de stochastische-variabele-versie van de identiteit bewezen voor datasets in Propositie 17.7. ∎

Propositie 18.14 (Affiene transformatie)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ en $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Bewijs. Door lineariteit wijkt $aX + b$ af van haar verwachting $a m + b$ met $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : elke afwijking wordt geschaald met $a$ , dus elke gekwadrateerde afwijking met $a^2$ , en hun gewogen gemiddelde ook. De verschuiving $b$ is verdwenen — een variabele verschuiven verandert haar spreiding niet. ∎

Voorbeeld 18.15

Voor het spel van Voorbeeld 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , dus

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Het verlies van $0.17$ per spel gemiddeld gaat gepaard met schommelingen van typische grootte $2.6$ euro — verwachting zonder standaardafwijking vertelt maar half het verhaal.

De verdeling van de winst G van , en haar verwachting (G) = -1/6 (gestippeld): het evenwichtspunt van de kansmassa’s. — De verdeling van de winst $G$ van Voorbeeld 18.6, en haar verwachting $\E(G) = -\frac16$ (gestippeld): het evenwichtspunt van de kansmassa’s.

18.5 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Een kaart wordt getrokken uit een standaard spels van $52$ kaarten. Bereken de kans op: een harten; een heer; een harten of een heer; noch een harten noch een heer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

Uniform model op $52$ kaarten. Harten: $\frac{13}{52} = \frac14$ . Heren: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Harten of heer: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (de hartenheer wordt één keer geteld). Geen van beide: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Oefening 18.2 ★

Twee eerlijke dobbelstenen worden gegooid en hun som $S$ genoteerd. Bereken met het $36$ -uitkomstenmodel van Voorbeeld 18.2 $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ en $\P(S \text{ is even})$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

$S = 6$ : de paren $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , dus $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : drie paren voor $10$ , twee voor $11$ , één voor $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ even: sommen $2, 4, 6, 8, 10, 12$ hebben $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ paren: kans $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Oefening 18.3 ★

Een stochastische variabele heeft verdeling

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Vind $p$ , bereken daarna $\E(X)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

De kansen sommen tot $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . Dan

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Oefening 18.4 ★

$X$ voldoet aan $\E(X) = 3$ en $\V(X) = 4$ . Geef de verwachting, variantie en standaardafwijking van $Y = 2X - 5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Oefening 18.5 ★★

Een rad van fortuin heeft $10$ gelijke sectoren: $5$ tonen $0$ euro, $3$ tonen $2$ euro, $2$ tonen $5$ euro. Spelen kost $2$ euro. Geef de verdeling van de winst $G$ (winst minus inzet), bereken $\E(G)$ , en beslis of het spel gunstig is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

De winsten zijn $0$ , $2$ , $5$ euro met kansen $0.5$ , $0.3$ , $0.2$ ; na aftrek van de $2$ -euro inzet neemt $G$ de waarden $-2, 0, 3$ aan:

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : de speler verliest $40$ cent per spel gemiddeld — ongunstig.

Oefening 18.6 ★★

Een urn bevat $3$ rode en $2$ blauwe ballen; twee ballen worden getrokken zonder teruglegging. Laat $X$ het aantal rode ballen zijn. Bouw de verdeling van $X$ (sommeer de $20$ geordende trekkingen, of gebruik een boom), en bereken $\E(X)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

Trekking in volgorde: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (rood dan rood); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (blauw dan blauw); dus $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . Dan

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

consistent met de intuïtie: $\frac35$ van de twee trekkingen is rood gemiddeld.

Oefening 18.7 ★★

Bereken voor het rad van Oefening 18.5 $\V(G)$ en $\sigma(G)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , dus met de snelle formule $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ en $\sigma(G) \approx 1.9$ euro.

Oefening 18.8 ★★

Een verzekeringsmaatschappij verkoopt een polis voor $80$ euro. Met kans $0.05$ claimt de klant $1000$ euro, met kans $0.01$ claimt de klant $5000$ euro, anders niets. Laat $B$ het voordeel van de maatschappij op één polis zijn. Geef de verdeling van $B$ , bereken $\E(B)$ , en interpreteer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

Het voordeel is $80$ minus de claim:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : tegen deze prijs verliest de maatschappij $20$ euro per polis gemiddeld. De premie is te laag voor de gedekte risico’s (ze zou $100$ euro moeten overschrijden voor een positief verwacht voordeel).

Oefening 18.9 ★★

Een meerkeuzevraag heeft $4$ antwoorden, waarvan één correct. Een correct antwoord scoort $+1$ ; om raden te ontmoedigen scoort een fout antwoord $x < 0$ . Een leerling antwoordt willekeurig. Voor welke waarde van $x$ is de verwachte score van de leerling nul?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

De stochastische score is $+1$ met kans $\frac14$ en $x$ met kans $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Met de straf $-\frac13$ brengt willekeurig raden gemiddeld niets op.

Oefening 18.10 ★★

Twee eerlijke munten worden opgegooid. Ann stelt voor: “als beide munten matchen, betaal ik jou $1$ euro; als ze verschillen, betaal jij mij $1$ euro.” Bereken de verwachte winst van elke speler. Is het spel eerlijk? Zelfde vraag met drie munten, waarbij Ann $2$ euro betaalt als alle drie matchen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Twee munten: ze matchen (KK of MM) met kans $\frac24 \times 2 = \frac12$ . De winst van de speler is $+1$ of $-1$ met gelijke kansen: verwachting $0$ voor beide spelers — het spel is eerlijk.

Drie munten: alle matchen (KKK of MMM) met kans $\frac{2}{8} = \frac14$ . De speler ontvangt $2$ met kans $\frac14$ en betaalt $1$ met kans $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . Het spel begunstigt Ann met $25$ cent per ronde; het zou eerlijk zijn als ze $3$ euro betaalde voor een driedubbele match.

Oefening 18.11 ★★★

Een loterij verkoopt $1000$ loten à $5$ euro. Eén lot wint $2000$ euro, vijf loten winnen $200$ euro, twintig loten winnen $25$ euro.

Geef de verdeling van de totale opbrengst minus prijzen van de organisator, en van de winst $G$ van één speler.
Bereken $\E(G)$ en de totale verwachte winst van de organisator. Controleer dat de twee antwoorden consistent zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

1. De organisator ontvangt $1000 \times 5 = 5000$ euro en keert $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euro uit in totaal: de winst is de constante $1500$ (geen toeval zodra alle loten verkocht zijn). De winst $G$ van één speler (prijs minus het $5$ -euro lot):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Elke speler verwacht $1.50$ euro te verliezen; over $1000$ spelers is dat $1500$ euro — precies de winst van de organisator. De boeken kloppen: wat de spelers gemiddeld verliezen is precies wat de organisator opstrijkt.