Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

14Trigonometrie: de eenheidscirkel

Trigonometrie begint in rechthoekige driehoeken, maar haar echte thuis is de eenheidscirkel, waar cosinus en sinus functies worden van een willekeurig reëel getal. Dit hoofdstuk installeert de radiaal, het opwinden van de reële lijn op de cirkel, de exacte waarden om uit het hoofd te kennen, en de symmetrieën die alle klassieke identiteiten voortbrengen. De studie van $\cos$ en $\sin$ als functies — variaties, afgeleiden — gebeurt in Hoofdstuk 24.

14.1 Radialen en het opwinden

Definitie 14.1 (Radiaal)

Laat $\mathcal C$ de cirkel van straal $1$ met middelpunt de oorsprong $O$ zijn, en $I(1, 0)$ . De radiaal-maat van een hoek in het middelpunt van $\mathcal C$ is de lengte van de boog die ze op $\mathcal C$ snijdt. Omdat de volledige cirkel omtrek $2\pi$ heeft:

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Methode 14.2 (Omrekenen)

Graden en radialen zijn evenredig: vermenigvuldig met $\frac{\pi}{180}$ om van graden naar radialen te gaan, met $\frac{180}{\pi}$ de andere kant. Bijvoorbeeld $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ , en $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ .

Definitie 14.3 (De lijn op de cirkel opwinden)

Aan elk reëel getal $t$ koppelt men het punt $M(t)$ van $\mathcal C$ verkregen door vanaf $I$ een afstand $\abs t$ langs de cirkel te lopen, tegen de klok in als $t \geq 0$ , met de klok mee als $t < 0$ . Omdat de omtrek $2\pi$ is, bereiken de getallen $t$ en $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) hetzelfde punt: $M(t + 2k\pi) = M(t)$ .

Voorbeeld 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , de top van de cirkel; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; en $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

14.2 Cosinus en sinus

Definitie 14.5 (Cosinus en sinus)

Voor elke reële $t$ zijn de cosinus en sinus van $t$ de coördinaten van het punt $M(t)$ van de eenheidscirkel:

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

De eenheidscirkel: het reële getal t, tegen de klok in opgewonden vanaf I, landt in het punt M(t) waarvan de coördinaten t en t definiëren. — De eenheidscirkel: het reële getal $t$ , tegen de klok in opgewonden vanaf $I$ , landt in het punt $M(t)$ waarvan de coördinaten $\cos t$ en $\sin t$ *definiëren*.

Propositie 14.6 (Eerste eigenschappen)

Voor alle $t \in \R$ en $k \in \Z$ :

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Bewijs. $M(t)$ ligt op de eenheidscirkel, dus haar coördinaten liggen tussen $-1$ en $1$ , en ze voldoen aan de cirkelvergelijking $x^2 + y^2 = 1$ , wat de identiteit $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ is. Periodiciteit herhaalt $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (Definitie 14.3). ∎

Voorbeeld 14.7

Als $\sin t = \frac35$ en $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (tweede kwadrant), dan $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , dus $\cos t = \pm\frac45$ ; in het tweede kwadrant is de abscis negatief, dus $\cos t = -\frac45$ .

De waarden om uit het hoofd te kennen:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Opmerking 14.8

Een geheugensteuntje: de sinussen lezen $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ , en de cosinussen zijn dezelfde lijst omgekeerd.

14.3 Geassocieerde hoeken

Propositie 14.9 (Geassocieerde hoeken)

Voor alle $t \in \R$ :

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Bewijs. Elke regel drukt een symmetrie van de cirkel uit.

$M(-t)$ is de spiegeling van $M(t)$ in de $x$ -as: de abscis blijft onveranderd, de ordinaat wisselt van teken.

$M(\pi - t)$ is de spiegeling van $M(t)$ in de $y$ -as: achteruit lopen vanaf $\pi$ met $t$ landt horizontaal tegenover vooruit lopen vanaf $0$ met $t$ . De abscis wisselt van teken, de ordinaat blijft onveranderd.

$M(\pi + t)$ ligt diametraal tegenover $M(t)$ (halve draai): beide coördinaten wisselen van teken.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ is de spiegeling van $M(t)$ in de diagonaal $y = x$ , die de twee coördinaten verwisselt. ∎

De vier geassocieerde punten: M(-t) spiegelt M(t) in de x-as, M(π - t) in de y-as, en M(π + t) ligt diametraal tegenover. Elke identiteit van wordt van dit plaatje afgelezen. — De vier geassocieerde punten: $M(-t)$ spiegelt $M(t)$ in de $x$ -as, $M(\pi - t)$ in de $y$ -as, en $M(\pi + t)$ ligt diametraal tegenover. Elke identiteit van Propositie 14.9 wordt van dit plaatje afgelezen.

Voorbeeld 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , en $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ . De tabel van vijf waarden, uitgebreid met de symmetrieën, dekt de hele cirkel.

14.4 Trigonometrische vergelijkingen oplossen

Stelling 14.11 (De vergelijkingen $\cos t = \cos a$ en $\sin t = \sin a$ )

Voor reële getallen $t$ en $a$ :

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{of}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{of}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Bewijs. Twee punten van de eenheidscirkel hebben dezelfde abscis precies wanneer ze gelijk zijn of spiegelbeelden van elkaar in de $x$ -as; volgens Propositie 14.9 is het spiegelbeeld van $M(a)$ gelijk aan $M(-a)$ . Dus $\cos t = \cos a$ betekent $M(t) = M(a)$ of $M(t) = M(-a)$ , d.w.z. $t = \pm a$ op een veelvoud van $2\pi$ na. Evenzo betekenen gelijke ordinaten gelijke punten of spiegelbeelden in de $y$ -as, en het spiegelbeeld van $M(a)$ is $M(\pi - a)$ . ∎

Methode 14.12 ( $\cos t = c$ oplossen op een interval)

Vind één hoek $a$ met $\cos a = c$ , uit de tabel van bekende waarden.
Schrijf de algemene oplossingen $t = \pm a + 2k\pi$ (Stelling 14.11).
Kies de gehele $k$ die binnen het gevraagde interval vallen, en som de oplossingen op.

Ga evenzo te werk voor $\sin t = c$ met $t = a + 2k\pi$ of $t = \pi - a + 2k\pi$ .

Voorbeeld 14.13

Los $\cos t = \frac12$ op op $\intoc{-\pi}{\pi}$ . Eén oplossing van $\cos a = \frac12$ is $a = \frac{\pi}{3}$ . De algemene oplossingen zijn $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ en $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ . Binnen $\intoc{-\pi}{\pi}$ draagt alleen $k = 0$ bij: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ .

Los $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ op op $\intco{0}{2\pi}$ . Eén hoek is $a = -\frac\pi4$ ; de oplossingen zijn $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ en $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ . In $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (van $k = 1$ ) en $t = \frac{5\pi}{4}$ .

t = 1/2 oplossen: de verticale lijn x = 1/2 (oranje) snijdt de eenheidscirkel in twee punten, symmetrisch t.o.v. de x-as — vandaar de twee oplossingsfamilies t = ± π3 + 2kπ. — $\cos t = \frac12$ oplossen: de verticale lijn $x = \frac12$ (oranje) snijdt de eenheidscirkel in twee punten, symmetrisch t.o.v. de $x$ -as — vandaar de twee oplossingsfamilies $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ .

14.5 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Zet om naar radialen: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ . Zet om naar graden: $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

Naar radialen: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ .

Naar graden: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ .

Oefening 14.2 ★

Plaats op de eenheidscirkel de punten $M(t)$ voor

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

na elke te herleiden tot een waarde in $\intoc{-\pi}{\pi}$ modulo $2\pi$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ en $-\frac{\pi}{4}$ liggen al in $\intoc{-\pi}{\pi}$ : tweede kwadrant respectievelijk vierde kwadrant.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : tweede kwadrant, dicht bij de negatieve $x$ -as.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : de top van de cirkel, $(0, 1)$ .

Oefening 14.3 ★

Geef met de tabel en de geassocieerde hoeken de exacte waarden van

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ .

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ .

Oefening 14.4 ★

Gegeven $\cos t = \frac{5}{13}$ met $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ , bereken $\sin t$ exact.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , dus $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ . Op $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (vierde kwadrant) is de ordinaat negatief: $\sin t = -\frac{12}{13}$ .

Oefening 14.5 ★★

Vereenvoudig, voor elke reële $x$ :

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Met Propositie 14.9:

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Oefening 14.6 ★★

Los op op $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : één oplossing is $\frac\pi6$ , dus $t = \pm\frac\pi6$ (de verschuivingen met $2k\pi$ verlaten het interval).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ of $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

$\cos t = -1$ : het enige punt met abscis $-1$ is $M(\pi)$ , dus $t = \pi$ .

Oefening 14.7 ★★

Los op op $\intco{0}{2\pi}$ :

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : vanaf $a = -\frac\pi3$ zijn de families $-\frac\pi3 + 2k\pi$ en $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; in $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ en $t = \frac{5\pi}{3}$ .

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ en $t = \frac{3\pi}{2}$ .

$2\sin t + 1 = 0$ betekent $\sin t = -\frac12$ : vanaf $a = -\frac\pi6$ , in $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ en $t = \frac{11\pi}{6}$ .

Oefening 14.8 ★★

Los op $\R$ de vergelijking $\cos 2t = \cos t$ op. (Gebruik Stelling 14.11 met $a = t$ , en bespreek de twee families van oplossingen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Volgens Stelling 14.11 betekent $\cos 2t = \cos t$ dat $2t = t + 2k\pi$ of $2t = -t + 2k\pi$ , d.w.z. $t = 2k\pi$ of $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ ). De eerste familie is bevat in de tweede (neem $k$ een veelvoud van $3$ ), dus de oplossingsverzameling is

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

— op de cirkel de drie punten $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ , $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ .

Oefening 14.9 ★★

Toon aan dat voor alle reële $x$ ,

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

Beide kwadraten ontwikkelen en $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ gebruiken:

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Oefening 14.10 ★★

Een wiel van straal $30$ cm rolt zonder slippen. Door welke hoek (in radialen, daarna in graden) draait het wanneer de fiets $1.5$ m vooruitgaat? Hoe ver gaat de fiets vooruit tijdens één volledige omwenteling van het wiel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

Rollen zonder slippen betekent dat de booglengte gelijk is aan de afgelegde afstand: $r\theta = 150$ cm geeft $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ . Eén volledige omwenteling brengt de fiets vooruit over de omtrek $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, ongeveer $1.88$ m.

Oefening 14.11 ★★★

Los op $\intoc{-\pi}{\pi}$ de ongelijkheid $\cos t \leq \frac12$ op. (Schets de eenheidscirkel, markeer de regio waar de abscis ten hoogste $\frac12$ is, en lees het interval van $t$ -waarden af.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

Op de eenheidscirkel zijn de punten met abscis precies $\frac12$ $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ . De punten met abscis ten hoogste $\frac12$ vormen de boog links van de verticale lijn $x = \frac12$ , doorlopen als $t$ van $\frac\pi3$ tot $\pi$ gaat, of van $-\pi$ tot $-\frac\pi3$ . Dus, op $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(De eindpunten $\pm\frac\pi3$ zijn inbegrepen omdat de ongelijkheid breed is.)