Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

22Le premier principe de la thermodynamique

Gonflez un pneu de vélo et le corps de la pompe devient trop chaud pour qu’on le tienne. Un moteur Diesel n’a pas de bougie : il comprime son air vingt fois, et l’air devient assez chaud pour enflammer le carburant tout seul. Une bouteille de gaz comprimé se couvre de givre en se vidant. Dans chaque cas l’énergie change de forme — le travail devient chaleur, la chaleur devient travail, tous deux deviennent énergie interne — et le premier principe de la thermodynamique est la comptabilité qui fait tomber les comptes juste. Ce chapitre définit le travail et la chaleur d’un système thermodynamique, énonce le premier principe, introduit l’énergie interne et l’enthalpie comme les grandeurs qu’il conserve, et l’applique aux transformations du gaz parfait et à la calorimétrie.

Une pompe à vélo : le travail de la main sur l’air enfermé augmente son énergie interne, et le corps de la pompe s’échauffe — le premier principe dans la paume.

22.1 Transformations, travail et chaleur

Définition 22.1 (Système, transformation)

Un système thermodynamique est la matière contenue à l’intérieur d’une frontière choisie ; tout le reste est le milieu extérieur. Une transformation le fait passer d’un état d’équilibre à un autre. Elle est quasi statique si le système traverse une succession d’états d’équilibre (assez lentement pour que $P$ et $T$ soient définis partout), et réversible si, de plus, inverser les conditions extérieures inverse le chemin suivi (ni frottement, ni écart fini de température ou de pression avec l’extérieur). On les nomme d’après ce qui reste constant : isotherme ( $T$ ), isobare ( $P$ ), isochore ( $V$ ) ; adiabatique si aucune chaleur n’est échangée ; monobare (monotherme) si la pression (la température) extérieure est constante, quoi qu’il arrive à l’intérieur.

Proposition 22.2 (Travail des forces de pression)

Un système dont le volume varie de $\dd V$ contre une pression extérieure $P_{\mathrm{ext}}$ reçoit le travail

\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

Pour une transformation quasi statique, $P_{\mathrm{ext}} = P$ (la pression du système lui-même) et $W = -\int P\,\dd V$ est l’opposé de l’aire sous le chemin dans le diagramme de Clapeyron : positif à la compression, négatif à la détente.

Démonstration. Un piston d’aire $S$ poussé par l’extérieur avec la force $P_{\mathrm{ext}}S$ se déplace de $\dd x$ vers l’extérieur : le milieu extérieur fournit au système le travail $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ . Toute frontière est une réunion de tels pistons. En quasi statique, le piston est en équilibre et $P_{\mathrm{ext}} = P$ à une différence infinitésimale près. ∎

Définition 22.3 (Chaleur)

La chaleur $Q$ est l’énergie transférée au système autrement que par un travail macroscopique — par chocs moléculaires sur une paroi (conduction), par circulation d’un fluide (convection), par rayonnement. Un thermostat est un corps assez grand pour que sa température ne change pas, quelle que soit la chaleur qu’il échange. Convention de signe dans tout l’ouvrage : $W$ et $Q$ sont reçus par le système, positifs lorsqu’ils entrent.

22.2 Le premier principe

Théorème 22.4 (Premier principe de la thermodynamique)

Un système fermé possède une fonction d’état, son énergie interne $U$ (extensive), telle que pour toute transformation

\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

où $E_k$ est l’énergie cinétique macroscopique (nulle pour un système au repos) : l’énergie reçue sous forme de travail et de chaleur est stockée en énergie interne. $W$ et $Q$ dépendent chacun du chemin ; leur somme, non.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 22.5 (Ce qu’il dit)

C’est la conservation de l’énergie, la chaleur étant reconnue comme un transfert d’énergie (expérience des palettes de Joule : un travail mesuré élève toujours autant la température de l’eau qu’une chaleur mesurée). Dire que « $U$ est une fonction d’état » signifie que $\Delta U$ est fixé par les états initial et final — de sorte qu’un cycle a $\Delta U = 0$ et $W + Q = 0$ : un moteur qui fournit du travail doit recevoir de la chaleur. Le contenu microscopique de $U$ est celui de la Définition 20.10.

Définition 22.6 (Enthalpie ; capacités thermiques)

L’enthalpie $H = U + PV$ est une fonction d’état adaptée aux transformations à pression constante. Les capacités thermiques à volume et à pression constants valent

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

en $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; par mole $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ ; par kilogramme, les capacités thermiques massiques $c_V$ , $c_P$ .

Proposition 22.7 (Chaleur à volume constant et à pression constante)

Pour un système au repos qui n’échange de travail que par les forces de pression :

transformation isochore : $W = 0$ et $Q_V = \Delta U$ ;
transformation monobare entre deux états à la pression extérieure $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ .

Démonstration. Isochore : $\dd V = 0$ . Monobare : $W = -P_0(V_2 - V_1)$ , donc $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ puisque $P_1 = P_2 = P_0$ . ∎

Proposition 22.8 (Gaz parfait : $U$ , $H$ , relation de Mayer)

Pour un gaz parfait, $U$ et $H$ ne dépendent que de $T$ (lois de Joule) : $\dd U = C_V\,\dd T$ , $\dd H = C_P\,\dd T$ , et

C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

$\gamma = 5/3$ pour les gaz monoatomiques, $7/5$ pour les diatomiques aux températures ordinaires. Pour une phase condensée, dans le modèle de la Proposition 20.13, $C_P \approx C_V = C$ et $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$ .

Démonstration. $H = U + nRT$ ; on dérive par rapport à $T$ . $C_{V,m} = \tfrac32 R$ ou $\tfrac52 R$ d’après la Proposition 20.11. ∎

22.3 Transformations du gaz parfait

Proposition 22.9 (Les quatre transformations usuelles)

Pour $n$ moles de gaz parfait :

isochore : $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ;
isobare (quasi statique) : $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ , $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ;
isotherme réversible : $\Delta U = 0$ , $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ;
adiabatique réversible : $Q = 0$ , $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , et, le long du chemin (loi de Laplace),

$PV^\gamma = \text{const}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{const}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{const} .$

Démonstration. Isochore et isobare : les propositions précédentes. Isotherme : $W = -\int nRT\,\dd V/V$ . Adiabatique : $\dd U = \delta W$ , c’est-à-dire $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$ , donc $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (en utilisant $R/C_{V,m} = \gamma - 1$ ) ; on intègre : $TV^{\gamma - 1}$ est constant ; les autres formes viennent de $PV = nRT$ . ∎

À gauche : dans le diagramme de Clapeyron, le travail reçu lors d’une compression quasi statique est l’aire sous le chemin ; à partir du même point, une adiabatique est plus raide qu’une isotherme (> 1) : un gaz comprimé sans perte de chaleur s’échauffe et rejoint une isotherme plus haute. À droite : le travail de l’extérieur sur un piston. — À gauche : dans le diagramme de Clapeyron, le travail reçu lors d’une compression quasi statique est l’aire sous le chemin ; à partir du même point, une adiabatique est plus raide qu’une isotherme ( $\gamma > 1$ ) : un gaz comprimé sans perte de chaleur s’échauffe et rejoint une isotherme plus haute. À droite : le travail de l’extérieur sur un piston.

Exemple 22.10 (Pompe et moteur Diesel)

De l’air ( $\gamma = 1.4$ ) comprimé adiabatiquement de $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ à $7\,\mathrm{bar}$ (une pompe à vélo) : $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ l’espace d’un instant, ce que le corps de la pompe ressent. Avec le taux de compression $20$ d’un Diesel : $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ , $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — au-dessus de la température d’auto-inflammation du carburant : le moteur n’a pas besoin de bougie (le problème du week-end parcourt tout le cycle).

Remarque 22.11 (Transformations irréversibles)

Lorsque la transformation n’est pas quasi statique, la loi de Laplace et $W = -\int P\,\dd V$ ne s’appliquent plus ; seuls valent $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ et le premier principe. Deux cas classiques : un gaz qui se détend dans le vide (détente de Joule–Gay-Lussac) ne reçoit aucun travail et, entre parois adiabatiques, aucune chaleur — $\Delta U = 0$ , et un gaz parfait garde sa température ; un gaz brusquement comprimé par une pression extérieure portée d’un coup à $P_2$ reçoit $W = -P_2\Delta V$ , plus que le travail réversible jusqu’à la même pression, et finit plus chaud (Exercice 22.11).

22.4 Calorimétrie

Méthode 22.12 (Bilan calorimétrique)

Des corps mis en contact thermique dans une enceinte isolée à pression (atmosphérique) constante n’échangent de la chaleur qu’entre eux : au total $\Delta H = \sum Q_P = 0$ . Pour chaque corps, $\Delta H = mc\,\Delta T$ (sans changement d’état) ou $\pm mL$ pour un changement d’état à sa température de transition, où $L$ est la chaleur latente (enthalpie de fusion ou de vaporisation par unité de masse : pour l’eau, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ à $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ). Écrire le bilan, en tirer la température finale, et vérifier que la phase supposée de chaque corps est compatible avec elle.

Exemple 22.13 (De la glace dans l’eau)

$50\,\mathrm{g}$ de glace à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans $200\,\mathrm{g}$ d’eau à $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ : la fusion demande $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; l’eau peut céder $25.1\,\mathrm{kJ}$ en se refroidissant jusqu’à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , donc toute la glace fond et le bilan $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ kJ donne $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Avec $100\,\mathrm{g}$ de glace, il aurait fallu $33.4\,\mathrm{kJ}$ : une partie seulement fond et $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — la vérification n’est pas facultative.

Chauffage d’un kilogramme d’eau, de la glace à -20 C jusqu’à la vapeur : la température fait une pause à chaque changement d’état, le temps que la chaleur latente soit fournie — 334\, kJ pour fondre, 2260\, kJ pour bouillir, bien plus que les 418\, kJ qui portent le liquide de 0\, à 100 C. — Chauffage d’un kilogramme d’eau, de la glace à $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ jusqu’à la vapeur : la température fait une pause à chaque changement d’état, le temps que la chaleur latente soit fournie — $334\,\mathrm{kJ}$ pour fondre, $2260\,\mathrm{kJ}$ pour bouillir, bien plus que les $418\,\mathrm{kJ}$ qui portent le liquide de $0\,$ à $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

22.5 Exercices

Exercice 22.1 ★

Une mole d’air ( $C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ) est chauffée de $300\,\mathrm{K}$ à $400\,\mathrm{K}$ à pression constante. Chaleur reçue, travail reçu, variation d’énergie interne.

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$ ; $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$ .

Exercice 22.2 ★

Une mole de gaz à $300\,\mathrm{K}$ est comprimée de façon isotherme et réversible de $2.0\,\mathrm{L}$ à $0.50\,\mathrm{L}$ . Travail reçu, chaleur échangée, $\Delta U$ .

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = 0$ donc $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (cédée au thermostat).

Exercice 22.3 ★

De l’air à $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ est comprimé de façon adiabatique et réversible jusqu’au dixième de son volume. Température et pression finales.

Solution

Solution de Exercice 22.3.

$T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$ ; $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$ .

Exercice 22.4 ★

Donner $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ et $\gamma$ pour l’argon et pour l’azote. Pour l’eau liquide ( $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ), pourquoi ne distingue-t-on plus $c_P$ de $c_V$ ?

Solution

Solution de Exercice 22.4.

Argon : $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ , $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ J/(mol K), $\gamma = 1.67$ ; azote : $20.8$ , $29.1$ , $\gamma = 1.40$ . Pour l’eau, la dilatation au chauffage est minime, donc le travail $P\,\dd V$ à pression constante est négligeable devant la chaleur : $c_P - c_V \approx 0$ .

Exercice 22.5 ★★

$200\,\mathrm{g}$ d’eau à $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ sont mélangés à $300\,\mathrm{g}$ à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans un récipient isolé. Température finale ; qu’est-ce qui change si le récipient lui-même a une capacité thermique de $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ et part de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

Solution

Solution de Exercice 22.5.

$T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Avec le récipient : $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Exercice 22.6 ★★

$50\,\mathrm{g}$ de glace à $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c_{\text{glace}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) tombent dans $200\,\mathrm{g}$ d’eau à $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . État et température finals. Même question avec $150\,\mathrm{g}$ de glace.

Solution

Solution de Exercice 22.6.

Glace : réchauffement jusqu’à $0$ : $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$ ; fusion : $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; au total $17.8\,\mathrm{kJ}$ . L’eau peut céder $25.1\,\mathrm{kJ}$ en descendant à $0$ : tout fond, puis $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ kJ : $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Avec $150\,\mathrm{g}$ : il faudrait $53.3\,\mathrm{kJ}$ $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$ : seuls $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ de glace fondent, $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , et $84\,\mathrm{g}$ de glace subsistent.

Exercice 22.7 ★★

Un gaz décrit un cycle rectangulaire dans le diagramme de Clapeyron : $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ avec $V_2 > V_1$ , $P_2 > P_1$ . Travail reçu sur le cycle, en fonction de l’aire ; signe, et signification de ce signe.

Solution

Solution de Exercice 22.7.

$W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$ : le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique (détente à basse pression, compression à haute), donc le gaz reçoit un travail net, égal à l’aire enclose ; dans l’autre sens il le fournirait — un moteur.

Exercice 22.8 ★★

Une pompe à vélo comprime de l’air de $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ à $7\,\mathrm{bar}$ , assez vite pour que ce soit adiabatique. Température atteinte ; pourquoi la pompe s’échauffe ; et pourquoi la pression du pneu baisse un peu une fois le gonflage terminé.

Solution

Solution de Exercice 22.8.

$T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ . L’air comprimé et chaud échauffe le corps de la pompe par conduction à chaque coup. Dans le pneu, l’air refroidit jusqu’à l’ambiante à volume fixé : $P \propto T$ , la pression baisse dans le rapport des températures — il faut regonfler.

Exercice 22.9 ★★

Un gaz parfait se détend dans une enceinte vide et isolée (détente de Joule–Gay-Lussac). Travail, chaleur, $\Delta U$ , $\Delta T$ . La transformation est-elle réversible ? Que ferait un gaz réel ?

Solution

Solution de Exercice 22.9.

$W = 0$ (aucune pression extérieure à repousser), $Q = 0$ : $\Delta U = 0$ , donc $\Delta T = 0$ pour un gaz parfait. Transformation irréversible : le gaz ne revient jamais de lui-même. Un gaz réel, dont les molécules s’attirent, se refroidit légèrement (une part de l’énergie cinétique devient potentielle lorsqu’elles s’éloignent).

Exercice 22.10 ★★★

Ébullition de $1.0\,\mathrm{kg}$ d’eau à $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $1\,\mathrm{atm}$ (volume de vapeur $1.67\,\mathrm{m}^{3}$ ). Chaleur fournie, travail échangé avec l’atmosphère, $\Delta U$ . Où passe l’essentiel de la chaleur latente ?

Solution

Solution de Exercice 22.10.

$Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$ ; $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$ ; $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$ : $93\%$ de la chaleur sert à séparer les molécules (énergie interne), $7\%$ à repousser l’atmosphère.

Exercice 22.11 ★★★

Une mole de gaz diatomique à $300\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{bar}$ , dans un cylindre isolé, est comprimée en portant brusquement la pression extérieure à $5\,\mathrm{bar}$ , puis on attend l’équilibre. Température et volume finals (premier principe avec $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$ ) ; comparer à la compression adiabatique réversible jusqu’à $5\,\mathrm{bar}$ .

Solution

Solution de Exercice 22.11.

$W = -P_2(V_2 - V_1)$ , $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , $V_2 = nRT_2/P_2$ , $V_1 = nRT_1/P_1$ : $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ , $3.5T_2 = 2250$ , $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$ . Cas réversible : $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$ . La compression brusque fournit plus de travail au gaz (les $5\,\mathrm{bar}$ agissent dès le départ) : il finit plus chaud et moins comprimé.

Exercice 22.12 ★★★

Le son est une compression rapide, donc adiabatique : sa célérité vaut $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (la valeur isotherme $\sqrt{P/\rho}$ fut l’erreur de Newton). Calculer les deux pour l’air à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ et comparer aux $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mesurés. Montrer que $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ et comparer à la vitesse quadratique moyenne du Chapitre 20.

Solution

Solution de Exercice 22.12.

$\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , soit $15\%$ trop bas. Avec $P/\rho = RT/M$ : $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ ; face à $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ .

22.6 Problème : de la pompe à vélo au moteur Diesel

Problème 22.1

Problème du week-end — une pompe à main qui brûle les doigts, un cylindre qui enflamme lui-même son carburant et une bille d’acier qui rebondit sur un coussin d’air : le premier principe en trois compressions

Air : gaz parfait diatomique, $\gamma = 1.40$ , $C_{V,m} = \tfrac52 R$ , $C_{P,m} = \tfrac72 R$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . État initial partout : $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ , $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ .

Partie I — La pompe à vélo. Le corps de la pompe a un volume $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$ ; l’air qu’il contient est comprimé de façon réversible et adiabatique jusqu’à la pression du pneu, $7.0\,\mathrm{bar}$ .

Quantité d’air dans le corps de la pompe.
Volume à la fin de la compression.
Température à la fin de la compression.
Travail reçu par l’air pendant un coup de pompe.
Le pneu ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) doit passer de $1\,\mathrm{bar}$ à $7\,\mathrm{bar}$ à $300\,\mathrm{K}$ : combien de coups de pompe, et quel travail au total (on prendra le travail par coup constant) ?
L’air chaud se refroidit ensuite dans le pneu jusqu’à $300\,\mathrm{K}$ : qu’advient-il de la pression du pneu, et que fait le cycliste ?
Comparer le travail adiabatique par coup au travail d’une compression isotherme jusqu’aux mêmes $7\,\mathrm{bar}$ . Pourquoi le travail isotherme est-il plus grand alors que le gaz finit plus froid ?

Partie II — La compression Diesel. Un cylindre de $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ comprime son air de façon réversible et adiabatique d’un facteur $20$ .

Quantité d’air, et température $T_2$ après compression.
Pression $P_2$ .
Le carburant s’enflamme spontanément au-dessus de $500\,\mathrm{K}$ environ : expliquer pourquoi un moteur Diesel n’a pas besoin de bougie, et pourquoi un moteur à essence (taux $\approx 10$ , voir l’Exercice 22.3) ne doit pas s’auto-enflammer.
Travail reçu par l’air pendant la compression.
À $3000\,\mathrm{tr}/\mathrm{min}$ , un cylindre comprime $25$ fois par seconde : puissance absorbée par la compression (elle est restituée plus loin dans le cycle).
Les compressions réelles sont rapides (irréversibilité) et perdent de la chaleur aux parois : dans quel sens chacun de ces effets déplace-t-il $T_2$ ?

Partie III — Combustion et détente. En haut de course, $20\,\mathrm{mg}$ de carburant (pouvoir calorifique $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) brûlent tandis que le piston commence à descendre, à pression constante $P_2$ ; le gaz se détend ensuite de façon réversible et adiabatique jusqu’à $V_1$ . On traitera le gaz comme de l’air d’un bout à l’autre.

Chaleur libérée par le carburant.
Température $T_3$ et volume $V_3$ à la fin de la combustion isobare.
Travail échangé pendant la phase isobare (attention au signe !).
Température $T_4$ à la fin de la détente adiabatique, et travail échangé pendant celle-ci.
Travail net fourni par le gaz sur les quatre temps, et rapport à la chaleur libérée (le rendement idéal).
Comparer ce rendement à $1 - T_1/T_3$ , la borne que le Chapitre 24 établira pour tout moteur fonctionnant entre ces températures extrêmes.
Chaleur évacuée avec les gaz d’échappement, par le premier principe sur le cycle ; vérifier le bilan.

Partie IV — Mesurer $\gamma$ avec une bille qui rebondit. Une bille d’acier de masse $m = 16.5\,\mathrm{g}$ s’ajuste dans un tube de verre vertical de section $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , fermé en bas par un ballon de volume $V = 10\,\mathrm{L}$ d’air à $P = 1.0\,\mathrm{bar}$ ; écartée de $x$ de sa position d’équilibre, elle oscille.

Pourquoi peut-on considérer les compressions et les détentes de l’air comme adiabatiques ? Écrire la relation entre un petit déplacement $x$ et la variation de pression $\dd P$ (loi de Laplace, linéarisée).
En déduire la force de rappel sur la bille et montrer que son mouvement est harmonique, avec $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .
Calculer la période, et la valeur de $\gamma$ que l’on déduirait d’une période mesurée de $1.10\,\mathrm{s}$ .
Pourquoi le frottement entre la bille et le tube, ainsi que les fuites d’air, biaisent-ils le résultat, et dans quel sens ?
Récapituler les trois compressions : quelle grandeur le premier principe a conservée dans chacune, et ce que le coefficient adiabatique $\gamma$ y gouvernait.

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ .

2. $PV^\gamma$ constant : $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$ .

3. $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ .

4. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$ .

5. Air à ajouter : $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$ : $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ coups de pompe, environ $2.2\,\mathrm{kJ}$ — une minute d’effort honnête.

6. À volume constant, $P \propto T$ : la pression baisse à mesure que l’air refroidit (jusqu’au facteur $300/523$ pour l’air du dernier coup) ; le cycliste redonne quelques coups après une pause.

7. $W_{\text{iso}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$ : le chemin isotherme comprime davantage le gaz (jusqu’à $30\,\mathrm{cm}^{3}$ au lieu de $53\,\mathrm{cm}^{3}$ ) pour atteindre $7\,\mathrm{bar}$ , parce qu’il reste froid — plus de volume balayé, donc plus de travail.

8. $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$ ; $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ .

9. $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ .

10. $994\,\mathrm{K}$ , c’est bien au-dessus du point d’auto-inflammation du carburant : celui-ci s’enflamme dès son injection. Un moteur à essence ne comprime son mélange air–carburant que jusqu’à $750\,\mathrm{K}$ environ, pour qu’il ne s’enflamme pas avant l’étincelle ; un taux trop élevé donne le « cliquetis ».

11. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$ .

12. $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ par cylindre, stockés dans le gaz chaud et restitués à la détente.

13. L’irréversibilité (le gaz ne suit pas le chemin quasi statique ; un travail supplémentaire est dissipé) élève $T_2$ ; la chaleur perdue aux parois l’abaisse. Dans un moteur réel, le second effet l’emporte en général : $T_2$ est un peu au-dessous de la valeur idéale.

14. $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$ .

15. Isobare : $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ : $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ , $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$ ; $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$ .

16. $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$ : travail fourni par le gaz.

17. $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$ ; $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$ .

18. Travail net fourni $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$ ; rapport $537/860 = 62\%$ (le rendement idéal du cycle Diesel avec ces réglages ; les moteurs réels atteignent environ $40\%$ ).

19. $1 - 300/2470 = 88\%$ : le cycle Diesel idéal reste nettement au-dessous de la borne de Carnot, parce qu’il reçoit sa chaleur sur toute une plage de températures et non à la plus haute.

20. Sur un cycle, $\Delta U = 0$ : $Q_{\text{out}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$ , c’est-à-dire $323\,\mathrm{J}$ qui partent à l’échappement ; vérification : $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$ .

21. L’oscillation est rapide (une seconde) devant la conduction thermique à travers $10\,\mathrm{L}$ d’air : elle est adiabatique. En linéarisant $PV^\gamma$ : $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$ .

22. Force sur la bille $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$ : $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$ , mouvement harmonique, $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .

23. $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$ : $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$ . À partir de $T = 1.10\,\mathrm{s}$ : $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$ .

24. Le frottement amortit le mouvement et, s’il est sec, déplace la position d’équilibre ; les fuites autour de la bille laissent l’air s’échapper pendant une compression, ce qui affaiblit la force de rappel : les deux allongent la période et biaisent $\gamma$ vers le bas — comme le $1.35$ ci-dessus.

25. Pompe et Diesel : $Q = 0$ , donc $\Delta U = W$ — le travail est devenu énergie interne, donc température, par la loi de Laplace d’exposant $\gamma$ . Bille : une compression rapide est adiabatique, et $\gamma$ fixe la raideur d’un ressort d’air.

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