Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

29Induction électromagnétique et applications

Approchez un aimant d’une bobine et un courant apparaît dans la bobine ; arrêtez l’aimant et le courant cesse. Faraday l’a découvert en 1831, après dix ans de recherches, et c’est le fait sur lequel repose tout le monde électrique : chaque centrale, chaque transformateur, chaque moteur, haut-parleur et microphone, chaque plaque à induction et chaque chargeur sans fil convertit de l’énergie par la loi selon laquelle un flux magnétique qui varie engendre une force électromotrice. Ce chapitre énonce la loi avec ses signes, lui donne les deux visages qu’elle prend (un champ variable dans un circuit fixe, un circuit mobile dans un champ fixe), définit l’inductance propre et l’inductance mutuelle, puis parcourt les machines électromécaniques — la barre glissante, l’alternateur, le transformateur, le haut-parleur — où la même loi transforme la puissance mécanique en puissance électrique et réciproquement, jamais gratuitement.

Un imageur à résonance magnétique : un solénoïde supraconducteur qui maintient 1.5\, T autour d’un patient — un mégajoule d’énergie magnétique dans un champ où il n’y a rien. Photographie : Jan Ainali, CC BY 3.0. — Un imageur à résonance magnétique : un solénoïde supraconducteur qui maintient $1.5\,\mathrm{T}$ autour d’un patient — un mégajoule d’énergie magnétique dans un champ où il n’y a rien. Photographie : Jan Ainali, CC BY 3.0.

29.1 La loi de Faraday

Définition 29.1 (Flux magnétique à travers un circuit)

Orientons un circuit fermé $\Gamma$ (en choisissant un sens de parcours) ; sa surface reçoit la normale $\vect n$ donnée par la règle de la main droite. Le flux magnétique à travers le circuit est $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ sur une surface quelconque s’appuyant sur $\Gamma$ (le weber, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$ ) — « quelconque », parce que le flux de $\vect B$ à travers une surface fermée est nul. Pour un champ uniforme et une bobine plane de $N$ spires et d’aire $S$ , $\Phi = NBS\cos\alpha$ , où $\alpha$ est l’angle entre $\vect B$ et $\vect n$ .

Théorème 29.2 (Loi de l’induction de Faraday)

Dès que le flux à travers un circuit varie, celui-ci est le siège d’une force électromotrice induite

e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,

comptée dans l’orientation du circuit, c’est-à-dire agissant comme une source idéale de tension de f.é.m. $e$ dans ce sens ; dans un circuit de résistance $R$ elle fait passer le courant $i = e/R$ . Le signe moins est la loi de Lenz : le courant induit circule de manière à s’opposer à la variation de flux qui lui donne naissance — son propre champ, et les forces qu’il subit, combattent la cause.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 29.3 (Deux visages d’une même loi)

Le flux varie soit parce que $\vect B$ varie dans le temps à travers un circuit fixe (induction de Neumann : transformateur, plaque à induction), soit parce que le circuit se déplace ou se déforme dans un champ permanent (induction de Lorentz : alternateur, haut-parleur). Dans le second cas, la f.é.m. se calcule aussi directement : les porteurs d’un élément conducteur $\dd\vect l$ animé de la vitesse $\vect v$ subissent la force $q\vect v\wedge \vect B$ , équivalente à un champ électrique $\vect v\wedge\vect B$ , de sorte que $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — et cela s’accorde toujours avec $-\dd\Phi/\dd t$ . La loi de Faraday couvre les deux ; le volume de deuxième année explique pourquoi les deux mécanismes donnent une seule formule.

Orientation et loi de Lenz. À gauche : l’orientation du circuit fixe n et le signe de . Au milieu : un aimant qui s’approche d’un anneau augmente le flux ; le courant induit crée un champ opposé à celui de l’aimant et l’anneau le repousse. À droite : une barre glisse sur des rails dans un champ dirigé vers le lecteur ; le flux du circuit croît, et le courant induit circule de telle sorte que la force de Laplace sur la barre s’oppose à son mouvement. — Orientation et loi de Lenz. À gauche : l’orientation du circuit fixe $\vect n$ et le signe de $\Phi$ . Au milieu : un aimant qui s’approche d’un anneau augmente le flux ; le courant induit crée un champ opposé à celui de l’aimant et l’anneau le repousse. À droite : une barre glisse sur des rails dans un champ dirigé vers le lecteur ; le flux du circuit croît, et le courant induit circule de telle sorte que la force de Laplace sur la barre s’oppose à son mouvement.

Exemple 29.4 (Ordres de grandeur)

Une bobine de $100$ spires et de $10\,\mathrm{cm}^{2}$ dans le champ terrestre, que l’on retourne en $0.1\,\mathrm{s}$ : $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$ , $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — mesurable avec un galvanomètre sensible, comme on a autrefois cartographié le champ terrestre. La même bobine dans l’entrefer de $1\,\mathrm{T}$ d’un aimant, retirée en $0.1\,\mathrm{s}$ : $1\,\mathrm{V}$ . Une bobine de transformateur de $1000$ spires avec $1\,\mathrm{T}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ sur $10\,\mathrm{cm}^{2}$ : $e_{\max} = 1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — le secteur.

29.2 Inductance propre et inductance mutuelle

Définition 29.5 (Inductance)

Le flux du champ propre d’un circuit à travers lui-même est proportionnel à son courant : $\Phi_{\text{propre}} = Li$ , où $L > 0$ est son inductance propre (le henry, $\mathrm{H}$ ). Le flux que le circuit 1 envoie dans le circuit 2 vaut $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$ , et symétriquement $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$ , où $M$ est leur inductance mutuelle (dont le signe dépend des orientations). Le flux total du circuit 1 vaut alors $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$ .

Proposition 29.6 (La bobine ; le solénoïde)

Un circuit d’inductance $L$ parcouru par un courant variable est le siège de la f.é.m. $e = -L\,\dd i/\dd t$ : en convention récepteur, c’est la tension $u = L\,\dd i/\dd t$ de la bobine utilisée depuis le Chapitre 7. Il stocke l’énergie $W = \tfrac12Li^2$ . Un long solénoïde de $n$ spires par mètre, de longueur $\ell$ et de section $S$ , a $L = \mu_0n^2S\ell$ ; l’énergie qu’il stocke vaut $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell = \dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$ : l’énergie magnétique réside dans le champ, à la densité $B^2/2\mu_0$ , exactement comme l’énergie électrique à $\varepsilon_0E^2/2$ .

Démonstration. Faraday avec $\Phi = Li$ et $L$ constante. Énergie : la puissance reçue par la bobine vaut $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$ . Solénoïde : $B = \mu_0nI$ à l’intérieur, flux $BS$ à travers chacune des $n\ell$ spires, donc $\Phi = \mu_0n^2S\ell I$ . La densité générale est admise. ∎

Exemple 29.7 (Un aimant d’IRM)

$1.5\,\mathrm{T}$ sur environ un mètre cube : $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} = 0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — l’énergie d’une batterie de voiture, stockée dans du vide. Avec un courant de $500\,\mathrm{A}$ dans la bobine, $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$ . Si le supraconducteur redevient brusquement résistif (une transition résistive), ce mégajoule devient de la chaleur en quelques secondes et fait bouillir des centaines de litres d’hélium liquide : la salle de l’aimant a un évent pour cela.

Proposition 29.8 (Le transformateur idéal)

Deux bobines de $N_1$ et $N_2$ spires enroulées sur un même circuit magnétique fermé en fer, de sorte que le même flux $\varphi$ traverse chaque spire, vérifient

\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(sans pertes en charge, sans courant magnétisant)},

de sorte que $u_2i_2 = -u_1i_1$ : la puissance prise au primaire est fournie au secondaire ; les tensions se transforment dans le rapport des nombres de spires, les courants en raison inverse. Cela ne fonctionne qu’avec des courants variables.

Démonstration. $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ et $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ (convention récepteur des deux côtés, orientations choisies selon le flux commun) : on divise. La relation entre les courants est le théorème d’Ampère sur le circuit magnétique : sa circulation, soit $\mu_0\mu_r$ fois le total des ampères-tours, devrait créer le flux ; pour un circuit magnétique idéal ( $\mu_r \to \infty$ ), il y faut des ampères-tours qui tendent vers zéro, d’où $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$ . Admis sous cette forme. ∎

À gauche : un transformateur — deux bobines sur un circuit magnétique fermé en fer partagent le même flux ; les tensions suivent les nombres de spires, les courants en raison inverse. À droite : deux bobines couplées dans l’air et leur inductance mutuelle M ; le flux propre d’une bobine vaut Li. — À gauche : un transformateur — deux bobines sur un circuit magnétique fermé en fer partagent le même flux ; les tensions suivent les nombres de spires, les courants en raison inverse. À droite : deux bobines couplées dans l’air et leur inductance mutuelle $M$ ; le flux propre d’une bobine vaut $Li$ .

29.3 Conducteurs en mouvement : génératrices et moteurs

Proposition 29.9 (La barre glissante)

Une barre de longueur $\ell$ glisse à la vitesse $v$ sur deux rails fermés par une résistance $R$ , dans un champ uniforme $B$ normal au plan. Elle est le siège de la f.é.m. $e = B\ell v$ , débite $i = B\ell v/R$ , et subit la force de Laplace $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ qui s’oppose à son mouvement. La puissance mécanique dépensée pour la pousser, $Fv$ , égale la puissance électrique $ei = Ri^2$ dissipée : la barre est une génératrice. Alimentée au contraire par une source $E$ , c’est un moteur : le courant $(E - B\ell v)/R$ la pousse jusqu’à ce que la f.c.é.m. $B\ell v$ équilibre $E$ , à la vitesse à vide $E/B\ell$ .

Démonstration. Le flux vaut $B\ell x$ , et $e = -B\ell\dot x$ dans l’orientation pour laquelle $\vect n$ est selon $\vect B$ ; la force de Laplace $i\vect\ell\wedge\vect B$ sur le courant ainsi orienté est dirigée contre $\vect v$ (Théorème 29.2, Lenz). En multipliant l’équation électrique $e = Ri$ par $i$ et l’équation mécanique par $v$ : $Fv = B\ell iv = ei$ . La puissance électromécanique $ei$ et la puissance de Laplace $-Fv$ sont toujours opposées — c’est la loi de la conversion. ∎

Proposition 29.10 (La spire tournante : l’alternateur)

Une bobine de $N$ spires et d’aire $S$ qui tourne à $\omega$ autour d’un axe perpendiculaire à un champ uniforme $B$ a $\Phi = NBS\cos\omega t$ et

e = NBS\omega\sin\omega t :

soit une f.é.m. sinusoïdale d’amplitude $NBS\omega$ et de fréquence égale à celle de la rotation. Dans une résistance $R$ , elle délivre la puissance moyenne $(NBS\omega)^2/2R$ , fournie par le couple qui la maintient en rotation contre le couple de Laplace $-\vect m\wedge\vect B$ de son propre courant.

Démonstration. On dérive le flux ; $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ . Le couple est celui du Théorème 28.14 avec $m = Ni S$ ; sa puissance moyenne $\langle\Gamma\omega\rangle$ égale $\langle ei\rangle$ par le même calcul que pour la barre. ∎

À gauche : la barre glissante en génératrice — f.é.m. B v, courant dans R, force de Laplace qui freine la barre ; la puissance de celui qui pousse est la chaleur du résistor. Au milieu et à droite : la bobine tournante d’un alternateur et sa f.é.m. sinusoïdale. — À gauche : la barre glissante en génératrice — f.é.m. $B\ell v$ , courant dans $R$ , force de Laplace qui freine la barre ; la puissance de celui qui pousse est la chaleur du résistor. Au milieu et à droite : la bobine tournante d’un alternateur et sa f.é.m. sinusoïdale.

Exemple 29.11 (Courants de Foucault)

Un conducteur massif qui se déplace dans un champ non uniforme, ou qui baigne dans un champ variable, est traversé par un flux changeant le long d’une infinité de chemins fermés : des courants de Foucault y circulent, qui l’échauffent et — par Lenz — le freinent. Un aimant lâché dans un tube de cuivre descend lentement ; les freins des camions et des montagnes russes utilisent ce phénomène (sans contact, sans usure, sans défaillance — mais sans freinage à l’arrêt) ; la plaque à induction chauffe la casserole par les mêmes courants, à $25\,\mathrm{kHz}$ ; et les circuits magnétiques des transformateurs sont feuilletés précisément pour les briser.

29.4 Le haut-parleur : un système couplé

Proposition 29.12 (Couplage électromécanique d’une bobine dans un champ radial)

Une bobine dont le fil a la longueur totale $\ell$ est placée dans un champ radial $B$ , de sorte que chaque élément de fil soit perpendiculaire à $\vect B$ ; elle se déplace selon son axe à la vitesse $v$ et porte le courant $i$ . Elle subit alors la force de Laplace axiale $F = B\ell i$ et est le siège de la f.c.é.m. $e = -B\ell v$ (en convention récepteur, une tension $B\ell v$ ). Avec une masse $m$ , une suspension de raideur $k$ et un amortissement mécanique $h$ , alimentée sous la tension $u$ à travers la résistance $R$ et l’inductance $L$ de la bobine :

u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .

En multipliant par $i$ et par $v$ puis en ajoutant : la puissance électrique $ui$ égale les pertes Joule $Ri^2$ , plus l’accroissement des énergies stockées $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ , plus les pertes mécaniques $hv^2$ (qui contiennent le son) : le terme de conversion $B\ell iv$ se compense entre les deux équations. Pris à l’envers (mouvement imposé, $u$ lu), le même appareil est un microphone dynamique.

Démonstration. Force de Laplace sur chaque élément, $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , toutes axiales et de même sens ; f.é.m. par $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ sommé le long du fil. Le bilan énergétique est la somme des deux équations multipliées comme il vient d’être dit. ∎

Un haut-parleur à bobine mobile, en coupe : la bobine se trouve dans l’entrefer annulaire d’un aimant où le champ est radial, de sorte qu’un courant donne une force axiale quelle que soit la position ; la membrane qu’elle entraîne est tenue par une suspension raide et amortie ; le mouvement de la bobine renvoie une f.c.é.m. B v dans le circuit électrique. — Un haut-parleur à bobine mobile, en coupe : la bobine se trouve dans l’entrefer annulaire d’un aimant où le champ est radial, de sorte qu’un courant donne une force axiale quelle que soit la position ; la membrane qu’elle entraîne est tenue par une suspension raide et amortie ; le mouvement de la bobine renvoie une f.c.é.m. $B\ell v$ dans le circuit électrique.

Remarque 29.13 (Pourquoi le couplage amortit)

À basse fréquence ( $L\omega \ll R$ ), $i \approx (u - B\ell v)/R$ et la force vaut $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$ : le circuit électrique ajoute l’amortissement $B^2\ell^2/R$ à l’amortissement mécanique. Un haut-parleur branché sur un amplificateur (de faible résistance de sortie) est fortement amorti — sa membrane s’arrête quand le signal s’arrête — et c’est le même couplage qui permet au microphone de prélever de l’énergie au son (Problème 29.1).

29.5 Exercices

Exercice 29.1 ★

Une bobine de $100$ spires et de $10\,\mathrm{cm}^{2}$ dans un champ uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ faisant $30{}^{\circ}$ avec sa normale. Flux ; f.é.m. moyenne si le champ est coupé en $10\,\mathrm{ms}$ ; puis en $1\,\mathrm{ms}$ ; sens du courant induit par rapport au champ (Lenz).

Solution

Solution de Exercice 29.1.

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$ ; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$ , $17\,\mathrm{V}$ en $1\,\mathrm{ms}$ . Le courant circule de façon à recréer le flux qui disparaît : son champ est dirigé selon l’ancien $\vect B$ .

Exercice 29.2 ★

Une barre de $20\,\mathrm{cm}$ glisse à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur des rails fermés par $0.10\,\Omega$ , dans $0.50\,\mathrm{T}$ . F.é.m., courant, force de Laplace, force que doit exercer celui qui pousse, puissance mécanique, puissance électrique.

Solution

Solution de Exercice 29.2.

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$ ; $i = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 0.20\,\mathrm{N}$ qui freine, de sorte que celui qui pousse exerce $0.20\,\mathrm{N}$ ; $Fv = 0.40\,\mathrm{W} = Ri^2$ .

Exercice 29.3 ★

Solénoïde de $1000\,\mathrm{spires}/\mathrm{m}$ , de longueur $20\,\mathrm{cm}$ et de section $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$ : inductance ; énergie sous $5.0\,\mathrm{A}$ ; constante de temps avec une résistance de $1.0\,\Omega$ ; champ intérieur et densité d’énergie, pour vérifier $B^2/2\mu_0$ .

Solution

Solution de Exercice 29.3.

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 = 0.10\,\mathrm{mH}$ ; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$ ; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$ . $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ , $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ sur $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ : $1.3\,\mathrm{mJ}$ .

Exercice 29.4 ★

Un transformateur de $230\,\mathrm{V}$ vers $12\,\mathrm{V}$ : rapport des nombres de spires ; nombre de spires au primaire pour un secondaire de $50$ spires ; courant au primaire lorsque le secondaire débite $2.0\,\mathrm{A}$ . Pourquoi ne fonctionne-t-il pas sur une batterie de voiture ?

Solution

Solution de Exercice 29.4.

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$ ; $N_1 = 50/0.052 = 960$ spires ; $i_1 = 2 \times 0.052 = 0.10\,\mathrm{A}$ . Un courant permanent donne un flux permanent : pas de $\dd\varphi/\dd t$ , pas de tension au secondaire — et le primaire, en court-circuit, brûlerait.

Exercice 29.5 ★★

Loi de Lenz : donner le sens du courant induit et la direction de la force dans chaque cas — (a) un pôle nord s’approche d’un anneau selon son axe ; (b) un anneau est plongé dans un champ qui croît ; (c) on laisse tomber un anneau sur un aimant ; (d) un aimant tombe dans un long tube de cuivre. Pour (d), expliquer par l’énergie pourquoi il tombe à petite vitesse constante.

Solution

Solution de Exercice 29.5.

(a) Le flux (selon l’approche) croît : le courant crée un champ qui s’y oppose — son propre pôle nord fait face au nord de l’aimant — et l’anneau est repoussé. (b) Un courant dont le champ s’oppose à la croissance ; l’anneau, dipôle anti-aligné sur $\vect B$ , est poussé vers les champs plus faibles. (c) En tombant, le flux croît : même courant qu’en (a), l’anneau est freiné. (d) Chaque tronçon de tube en avant de l’aimant voit un flux croître, en arrière décroître ; les deux courants induits freinent l’aimant ; à la vitesse pour laquelle la force de Laplace équilibre le poids, l’aimant tombe régulièrement et son énergie potentielle perdue devient de la chaleur Joule dans le tube.

Exercice 29.6 ★★

Alternateur : $N = 200$ , $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ , $50\,\mathrm{Hz}$ . F.é.m. maximale et efficace ; courant maximal et couple maximal dans $10\,\Omega$ ; puissance électrique moyenne ; comparer à la puissance mécanique moyenne et au couple instantané à l’instant où la f.é.m. s’annule.

Solution

Solution de Exercice 29.6.

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$ , soit $8.9\,\mathrm{V}$ efficaces ; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ , $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (quand $\sin\omega t = 1$ ) ; $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $= \langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$ ; quand $e = 0$ le courant est nul et le couple s’annule — le couple pulse à $100\,\mathrm{Hz}$ .

Exercice 29.7 ★★

Frein magnétique. Une spire carrée de côté $a = 10\,\mathrm{cm}$ et de résistance $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$ , de masse $1.0\,\mathrm{kg}$ , quitte une région de champ uniforme $B = 1.0\,\mathrm{T}$ à la vitesse $v$ (un côté est encore dans le champ). F.é.m., courant, force de freinage ; équation du mouvement et constante de temps ; distance parcourue avant l’arrêt depuis $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; où est passée l’énergie cinétique ?

Solution

Solution de Exercice 29.7.

$e = Bav$ , $i = Bav/R$ , $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (en N). $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$ : $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ; distance $v_0\tau = 10\,\mathrm{cm}$ (si la région de champ est assez longue). L’énergie cinétique, $0.5\,\mathrm{J}$ , est dissipée en $Ri^2$ dans la spire.

Exercice 29.8 ★★

Une petite bobine ( $N_2 = 50$ spires, section $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) est placée dans un long solénoïde ( $n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), axes confondus. Inductance mutuelle ; f.é.m. dans la bobine lorsque le courant du solénoïde croît à $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$ , puis lorsqu’il vaut $1.0\,\mathrm{A}$ à $10\,\mathrm{kHz}$ . $M$ dépend-il de celle des deux bobines qui porte le courant ?

Solution

Solution de Exercice 29.8.

Flux du champ du solénoïde, $\mu_0n_1i_1$ , à travers les $N_2$ spires : $M = \mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Rampe : $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$ ; à $10\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{A}$ : $e_{\max} = M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$ . $M$ est symétrique : le même nombre donne le flux que la petite bobine envoie dans le solénoïde — bien plus difficile à calculer directement.

Exercice 29.9 ★★

Énergie dans un champ : $B = 1.5\,\mathrm{T}$ sur $1.0\,\mathrm{m}^{3}$ , comme dans un aimant d’IRM. Énergie ; inductance pour $I = 500\,\mathrm{A}$ ; hauteur à laquelle cette énergie élèverait une voiture de $1\,\mathrm{t}$ ; volume d’hélium liquide qu’elle fait bouillir lors d’une transition résistive ( $2.6\,\mathrm{kJ}$ par litre). Énergie du champ terrestre ( $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) dans une pièce de $50\,\mathrm{m}^{3}$ .

Solution

Solution de Exercice 29.9.

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$ ; $L = 2W/I^2 = 7.2\,\mathrm{H}$ ; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$ ; hélium : $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$ . Champ terrestre : $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , soit $50\,\mathrm{mJ}$ dans la pièce.

Exercice 29.10 ★★★

Les rails en moteur. La barre de l’Exercice 29.2 (masse $m$ , sans frottement) est reliée à une source $E$ à travers la résistance $R$ . (a) Équations électrique et mécanique ; montrer que $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) Vitesse limite et constante de temps. (c) Bilan de puissance : puissance de la source $=$ Joule $+$ mécanique ; rendement en fonction de $v$ . (d) Application : $E = 2.0\,\mathrm{V}$ , $m = 50\,\mathrm{g}$ , le reste comme dans l’Exercice 29.2. (e) Un canon électromagnétique accélère un projectile de $10\,\mathrm{g}$ avec $1\,\mathrm{MA}$ sur $5\,\mathrm{m}$ dans $1\,\mathrm{T}$ : vitesse de sortie (ordre de grandeur).

Solution

Solution de Exercice 29.10.

(a) $E - B\ell v = Ri$ (la f.c.é.m. s’oppose à la source), $m\,\dd v/\dd t = B\ell i$ : $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) $v_\infty = E/B\ell$ , $\tau = mR/B^2\ell^2$ . (c) On multiplie l’équation électrique par $i$ : $Ei = Ri^2 + B\ell vi$ , et $B\ell vi = Fv$ est la puissance mécanique ; rendement $Fv/Ei = B\ell v/E = v/v_\infty$ — $100\%$ seulement à vide, où rien n’est fourni. (d) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tau = 0.05 \times 0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$ . (e) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (en prenant $\ell = 10\,\mathrm{cm}$ ), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{2a \times 5} = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dix kilomètres par seconde, la promesse et le problème des canons électromagnétiques (les rails s’érodent).

Exercice 29.11 ★★★

Le disque de Faraday. Un disque de cuivre de rayon $R$ tourne à $\omega$ autour de son axe dans un champ uniforme $B$ porté par l’axe ; des balais touchent le centre et le bord. (a) F.é.m. entre le centre et le bord, en sommant $(\vect v\wedge \vect B)\cdot\dd\vect l$ le long d’un rayon : $e = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) Application : $R = 10\,\mathrm{cm}$ , $3000\,\mathrm{tr}/\mathrm{min}$ , $1.0\,\mathrm{T}$ . (c) Pourquoi est-ce une machine à basse tension et à fort courant ; courant dans $1\,\mathrm{m}\Omega$ et couple de freinage. (d) Retrouver $e$ par la loi de Faraday appliquée au circuit balai–rayon–bord–balai : quel flux varie ?

Solution

Solution de Exercice 29.11.

(a) Au rayon $r$ , le métal se déplace à $v = \omega r$ ; $\vect v\wedge\vect B$ est radial, de norme $\omega rB$ : $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) $\omega = 314$ : $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$ . (c) Une seule « spire », donc quelques volts au plus ; dans $1\,\mathrm{m}\Omega$ : $1.6\,\mathrm{kA}$ , couple $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (d) Le circuit balai–rayon– bord–balai balaie l’aire $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ pendant $\dd t$ : $\dd\Phi/\dd t = \tfrac12BR^2\omega$ — le flux à travers le circuit mobile et déformable.

Exercice 29.12 ★★★

Plaque à induction. La bobine placée sous le verre porte $i_1 = I_1\cos\omega t$ avec $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ à $25\,\mathrm{kHz}$ ; le fond de la casserole se comporte comme une spire unique de résistance $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ couplée par $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (on néglige l’inductance de cette spire). (a) F.é.m. induite dans la casserole, valeur maximale. (b) Courant et puissance moyenne dissipée dans la casserole. (c) Pourquoi une fréquence élevée, et pourquoi la chaleur apparaît-elle dans la casserole et non dans le verre ? (d) Le courant de la casserole réagit sur la bobine : f.é.m. qu’il y induit (valeur maximale), et supplément de puissance que le générateur doit fournir — vérifier que cela vaut (b).

Solution

Solution de Exercice 29.12.

(a) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$ , de valeur maximale $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 = 4.7\,\mathrm{V}$ . (b) $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ en crête ; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2 = 1.1\,\mathrm{kW}$ . (c) La f.é.m. est $\propto\omega$ : une fréquence élevée donne une f.é.m. utile avec un $M$ modeste ; le verre est isolant, rien n’y circule — la chaleur naît dans le métal. (d) Le courant de la casserole induit dans la bobine $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ en crête, en phase avec $i_1$ (le courant de la casserole, purement résistif, ne retarde pas sur $e_2$ , et $e_2$ retarde sur $i_1$ de $90{}^{\circ}$ … de sorte que la f.é.m. réfléchie vaut $-M\,\dd i_2/\dd t$ , en opposition de phase avec la tension motrice de $i_1$ ) : le générateur fournit $\tfrac12 \times 74 \times 30 = 1.1\,\mathrm{kW}$ de plus — exactement ce que dissipe la casserole.

Une dynamo de bicyclette : la roue fait tourner un aimant à l’intérieur d’une bobine, le flux à travers la bobine varie, et la lampe s’allume — la loi de Faraday sur un vélo.

29.6 Problème : la dynamo de bicyclette et le haut-parleur

Problème 29.1

Problème du week-end — deux convertisseurs électromécaniques démontés : une dynamo qui se régule toute seule, et un haut-parleur dont l’amplificateur est aussi le frein

Partie I — La dynamo de bicyclette. Une bobine de $N = 300$ spires et d’aire $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ tourne dans un champ uniforme $B = 0.30\,\mathrm{T}$ ; son axe porte un galet de rayon $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ pressé contre le pneu, de sorte que la bobine tourne à $\omega = v/r$ pour une vitesse $v$ du vélo. Résistance de la bobine $r_c = 4.0\,\Omega$ , inductance $L = 20\,\mathrm{mH}$ ; la lampe est une résistance $R = 12\,\Omega$ .

Flux à travers la bobine et f.é.m. induite en fonction du temps ; amplitude et fréquence à $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
En négligeant d’abord $L$ : courant efficace et puissance dans la lampe à $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; une lampe « $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ » est-elle à l’aise ?
Puissance mécanique moyenne que le cycliste fournit à la dynamo, et force correspondante sur le pneu (comparer au frottement de roulement, environ $2\,\mathrm{N}$ ).
Expliquer par la loi de Lenz pourquoi la dynamo résiste, et pourquoi une lampe qui s’allume « gratuitement » ne contredit pas la conservation de l’énergie.
Tenir compte de $L$ à présent : impédance complexe du circuit ; montrer que l’amplitude du courant vaut $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ et qu’elle sature à grande vitesse ; sa limite, et la vitesse à laquelle elle atteint $70\%$ de cette limite.
Sans l’inductance, que recevrait la lampe à $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dans une descente ? Et avec elle ?
Courant et puissance dans la lampe à $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ puis à $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; commenter l’autorégulation.
Les dynamos réelles font tourner un aimant à l’intérieur d’une bobine fixe. L’analyse change-t-elle ? Quel problème pratique cela supprime-t-il ?
Que fait la lampe quand le vélo s’arrête à un feu rouge, et comment les éclairages modernes y remédient-ils ?

Partie II — Le haut-parleur. Bobine mobile : longueur de fil $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ dans un champ radial $B = 1.0\,\mathrm{T}$ , résistance $R = 8.0\,\Omega$ , inductance $L = 0.50\,\mathrm{mH}$ ; masse mobile (bobine et membrane) $m = 10\,\mathrm{g}$ ; raideur de la suspension $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , amortissement mécanique $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . Régime sinusoïdal, amplitudes complexes.

Force sur la bobine pour un courant $i$ ; f.c.é.m. pour une vitesse $v$ (établir les deux, avec les signes).
Écrire l’équation électrique et l’équation mécanique.
Éliminer $i$ et montrer que $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
Aux fréquences où $L\omega \ll R$ , montrer que le couplage agit comme un amortissement mécanique supplémentaire $B^2\ell^2/R$ ; sa valeur ; fréquence de résonance de la membrane et facteur de qualité avec et sans l’amortissement électrique.
L’amplificateur délivre un courant $i$ d’amplitude $1.0\,\mathrm{A}$ à $1\,\mathrm{kHz}$ : force, accélération, élongation et vitesse de la membrane en amplitude (régime contrôlé par la masse) ; amplitude de la f.c.é.m. comparée à $Ri$ .
Même courant à la fréquence de résonance : amplitude de la vitesse (régime contrôlé par l’amortissement) et f.c.é.m. ; commenter.
Puissance électrique à $1\,\mathrm{kHz}$ ; puissance mécanique dissipée dans $h$ (assimilée au son et aux pertes de la suspension) ; rendement.
Pourquoi le fait que la pression acoustique soit proportionnelle à l’accélération de la membrane (on l’admettra) explique-t-il qu’une membrane contrôlée par sa masse donne une réponse plate au-dessus de la résonance ?
Pourquoi le champ doit-il être radial, et pourquoi un tweeter est-il petit ?
Esquisser le module de l’impédance $\underline u/\underline i$ vue par l’amplificateur de $10\,\mathrm{Hz}$ à $10\,\mathrm{kHz}$ : valeur à basse fréquence, à la résonance (en utilisant la vitesse contrôlée par l’amortissement), et à $10\,\mathrm{kHz}$ .

Partie III — À l’envers, et les comptes.

Le même appareil en microphone : un son fait bouger la membrane à $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; tension en circuit ouvert.
Chargé par $R_L = 600\,\Omega$ : courant, et force de freinage sur la membrane ; montrer que le microphone prélève de la puissance au son par un amortissement effectif $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
La bobine est enroulée sur un cylindre d’aluminium (la carcasse), une spire fermée de longueur $0.10\,\mathrm{m}$ et de résistance $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : amortissement qu’elle ajoute ; pourquoi les carcasses sont fendues.
On frappe la membrane d’un haut-parleur dont les bornes sont laissées ouvertes, puis celle d’un haut-parleur dont les bornes sont court-circuitées : lequel résonne le plus longtemps, et pourquoi ?
Écrire le bilan énergétique du haut-parleur sur une période en régime établi, en nommant chaque terme.
Récapituler : pour chaque appareil, la loi employée et les deux nombres à retenir.

Solution

Solution de Problème 29.1.

1. $\Phi = NBS\cos\omega t$ , $e = NBS\omega\sin\omega t$ ; $NBS = 300 \times 0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$ ; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : amplitude $13.5\,\mathrm{V}$ , fréquence $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$ .

2. $I_{\text{eff}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; lampe $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ sous $7.2\,\mathrm{V}$ : une lampe $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ est surchargée et ne durera pas.

3. Mécanique $=$ électrique : $(R + r_c)I_{\text{eff}}^2 = 16 \times 0.36 = 5.7\,\mathrm{W}$ ; $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — la moitié du frottement de roulement ; le cycliste le sent.

4. Le couple de Laplace du courant induit s’oppose à la rotation (Lenz) ; l’énergie de la lampe vient des jambes du cycliste, $5.7\,\mathrm{W}$ de leur part.

5. $\underline Z = R + r_c + jL\omega$ ; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ ; pour $L\omega \gg R + r_c$ , $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$ . À $70\%$ : $L\omega = 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$ , $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. Sans $L$ : $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$ , $I_{\text{eff}} = 1.8\,\mathrm{A}$ , $39\,\mathrm{W}$ dans la lampe — elle grille. Avec $L$ : $I = 40.5/\sqrt{256 + 900} = 1.2\,\mathrm{A}$ en crête, $8.5\,\mathrm{W}$ : chaud, mais dix fois moins.

7. À $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 6.75$ , $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$ , $I = 0.40$ , $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$ : faible. À $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 27$ , $|Z| = 25.6$ , $I = 1.05$ , $P = 6.6\,\mathrm{W}$ . Quatre fois la vitesse, $2.6$ fois le courant : l’inductance régule.

8. Seul le mouvement relatif compte : le flux à travers la bobine fixe varie de la même façon, même f.é.m. Aucun contact glissant (balai) n’est alors nécessaire pour extraire le courant d’une bobine tournante.

9. Sans mouvement, pas de variation de flux, pas de lumière — d’où le condensateur ou la petite batterie que l’on charge en roulant (l’éclairage permanent).

10. Chaque élément de fil est perpendiculaire au $\vect B$ radial : $F = B\ell i$ , axiale. En se déplaçant à $v$ , chaque élément voit $\vect v\wedge\vect B$ selon le fil : $e = -B\ell v$ , opposée au courant qui produit le mouvement (en convention récepteur, une tension $B\ell v$ ).

11. $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$ ; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$ .

12. $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$ ; $\underline v\,(jm\omega + h + k/j\omega) = B\ell\,\underline i$ ; on substitue et l’on résout en $\underline v$ .

13. $i \approx (u - B\ell v)/R$ donne $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx = B\ell u/R$ : amortissement supplémentaire $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; $Q = \sqrt{km}/h_{\text{tot}}$ : $3.2$ en circuit ouvert, $0.77$ avec l’amplificateur.

14. $F = 5.0\,\mathrm{N}$ , $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $x = a/\omega^2 = 13\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ contre $Ri = 8\,\mathrm{V}$ : $5\%$ .

15. À courant imposé, $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (une amplitude de $16\,\mathrm{mm}$ — une belle excursion pour $1\,\mathrm{A}$ ) ; $B\ell v = 25\,\mathrm{V}$ , trois fois $Ri$ : l’amplificateur doit fournir $33\,\mathrm{V}$ pour imposer $1\,\mathrm{A}$ à la résonance — c’est le pic d’impédance. Un amplificateur en source de tension laisserait au contraire l’amortissement électrique tenir la membrane.

16. $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$ ; $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 = 3.2\,\mathrm{mW}$ : rendement $0.08\%$ — les haut-parleurs sont des radiateurs qui chuchotent.

17. Au-dessus de la résonance, $a = F/m = B\ell i/m$ ne dépend pas de la fréquence à courant donné, de sorte que la pression, $\propto a$ , est plate : la bande contrôlée par la masse est la bande utile.

18. Champ radial : la force est axiale et la même quelle que soit la position de la bobine dans l’entrefer. Un tweeter doit rester contrôlé par sa masse jusqu’à $20\,\mathrm{kHz}$ avec une excursion minuscule : bobine et membrane légères ; et une petite membrane rayonne les aigus dans toutes les directions.

19. À basse fréquence, $v$ est petite et $|Z| \approx R = 8\,\Omega$ ; à $50\,\mathrm{Hz}$ : $u = Ri + B\ell v$ avec $v = B\ell i/h$ : $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 = 33\,\Omega$ ; à $10\,\mathrm{kHz}$ : $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$ . Un pic à la résonance, un plancher plat à $8\,\Omega$ , une remontée en $L\omega$ .

20. $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$ .

21. $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$ , opposée à $v$ : $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$ , soit un amortissement de $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ; la puissance $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ est prélevée au son et finit dans les deux résistances.

22. Carcasse : $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , dix fois $h$ : elle éteindrait la membrane et gaspillerait la puissance en chaleur ; une fente brise la spire fermée.

23. Bornes ouvertes : seul $h$ amortit, $Q = 3.2$ , elle résonne. Bornes court-circuitées : la f.c.é.m. fait passer un courant dans $R$ , l’amortissement $B^2\ell^2/R$ s’ajoute, $Q = 0.77$ : elle s’arrête aussitôt. (À essayer.)

24. Sur une période, les énergies stockées reprennent leurs valeurs : $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — entrée électrique $=$ chaleur Joule dans la bobine $+$ pertes mécaniques (son rayonné et frottement de la suspension) ; le terme de couplage $B\ell iv$ figure dans les deux équations avec des signes opposés et se compense.

25. Dynamo : Faraday sur une bobine tournante — $13.5\,\mathrm{V}$ à $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , courant plafonné à $1.35\,\mathrm{A}$ par sa propre inductance. Haut-parleur : force de Laplace et f.c.é.m. — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ d’amortissement électrique, $0.08\%$ de rendement. Microphone : la même bobine à l’envers — $5\,\mathrm{mV}$ par millimètre par seconde.

Termes définis dans ce chapitre

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