Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

7Régimes transitoires : premier et second ordre

Appuyez sur le coin d’une voiture à l’arrêt, puis lâchez. Une voiture en bon état remonte une fois et s’arrête ; une voiture aux amortisseurs fatigués oscille deux ou trois fois avant de se stabiliser. Dans un laboratoire d’électronique, les deux mêmes comportements apparaissent à l’oscilloscope lorsqu’un condensateur se décharge dans une bobine : un retour sans oscillation, ou une sonnerie qui s’éteint. L’un et l’autre sont le transitoire entre deux régimes permanents, et tous deux obéissent à la même petite famille d’équations différentielles linéaires — du premier ordre pour un seul réservoir d’énergie, du second ordre pour deux qui s’échangent. Ce chapitre les résout une fois pour toutes, nomme leurs paramètres (constante de temps, pulsation propre, facteur de qualité), et montre que les mêmes nombres décrivent un circuit et une suspension.

Une bobine, un condensateur et une résistance sur une plaque d’essai, et à l’oscilloscope l’oscillation amortie qui suit un échelon : le régime pseudo-périodique de ce chapitre.

7.1 Systèmes du premier ordre

Définition 7.1 (Système linéaire du premier ordre)

Une grandeur $x(t)$ obéit à une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants lorsque

\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,

avec $\tau > 0$ la constante de temps et $x_\infty$ une constante (la valeur imposée par la source). Son régime permanent est $x = x_\infty$ ; le régime transitoire est l’approche vers lui depuis la valeur initiale $x(0) = x_0$ .

Théorème 7.2 (Solution)

L’unique solution vérifiant $x(0) = x_0$ est

x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .

L’écart au régime permanent est divisé par $\eu^{-1} \approx 0.37$ à chaque $\tau$ : $63\%$ du chemin en $\tau$ , $95\%$ en $3\tau$ , $99\%$ en $4.6\tau$ . La tangente à l’origine atteint $x_\infty$ en $t = \tau$ .

Démonstration. $y = x - x_\infty$ obéit à $\tau y' + y = 0$ , dont les solutions sont $y = K\eu^{-t/\tau}$ (le cours de mathématiques sur les équations différentielles linéaires démontre qu’il n’y en a pas d’autres) ; $K = x_0 - x_\infty$ . La pente en $0$ vaut $-(x_0 - x_\infty)/\tau$ , qui comblerait l’écart en une durée $\tau$ . ∎

Réponse indicielle du premier ordre depuis x_0 = 0 : la tangente initiale rencontre l’asymptote en t = ; 63\% du chemin en , 95\% en 3. Tout transitoire du premier ordre est cette courbe, dilatée par et translatée par x_0 et x_∈fty. — Réponse indicielle du premier ordre depuis $x_0 = 0$ : la tangente initiale rencontre l’asymptote en $t = \tau$ ; $63\%$ du chemin en $\tau$ , $95\%$ en $3\tau$ . Tout transitoire du premier ordre est cette courbe, dilatée par $\tau$ et translatée par $x_0$ et $x_\infty$ .

Proposition 7.3 (Circuits RC et RL)

Un condensateur $C$ chargé à travers une résistance $R$ par une source idéale $E$ obéit à $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ : $\tau = RC$ , $u_{C,\infty} = E$ . Une bobine $L$ en série avec $R$ sous $E$ obéit à $(L/R)\,\dd i/\dd t + i = E/R$ : $\tau = L/R$ , $i_\infty = E/R$ . Source retirée ( $E \to 0$ ), les mêmes équations décrivent la décharge vers zéro.

Démonstration. Loi des mailles $E = Ri + u_C$ avec $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ; loi des mailles $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$ . ∎

Proposition 7.4 (Conditions de continuité)

La tension aux bornes d’un condensateur et le courant dans une bobine sont des fonctions continues du temps : à un instant de commutation $t_0$ , $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ et $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$ . Les courants dans les résistances et les tensions aux bornes des bobines peuvent, elles, sauter.

Démonstration. Un saut de $u_C$ exigerait $i = C\,\dd u_C/\dd t$ infini, un saut de $i_L$ exigerait $u = L\,\dd i/\dd t$ infini ; l’un et l’autre sont impossibles dans un circuit aux tensions et courants finis (de façon équivalente, les énergies stockées $\tfrac12 Cu_C^2$ et $\tfrac12 Li^2$ ne peuvent varier instantanément sans puissance infinie). ∎

Méthode 7.5 (Résoudre un transitoire du premier ordre)

Écrire les lois des mailles et des nœuds après la commutation, avec les lois des composants ; se ramener à une seule équation en $u_C$ ou $i_L$ et la mettre sous la forme $\tau x' + x = x_\infty$ ; y lire $\tau$ et $x_\infty$ (cette dernière est aussi le régime permanent, obtenu en remplaçant $C$ par un circuit ouvert et $L$ par un fil).
Trouver $x_0$ par continuité de $u_C$ ou de $i_L$ à l’instant de commutation, en utilisant le circuit d’avant.
Écrire $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; en déduire les autres grandeurs par dérivation et loi des mailles.

Lorsque le condensateur voit un réseau de résistances et de sources, on remplace d’abord ce réseau par son équivalent de Thévenin $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ (Chapitre 6) : $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$ , $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$ .

Proposition 7.6 (Bilan énergétique de la charge d’un RC)

En chargeant un condensateur de $0$ à $E$ à travers une résistance $R$ quelconque, la source fournit $CE^2$ , le condensateur stocke $\tfrac12 CE^2$ , et la résistance dissipe l’autre $\tfrac12 CE^2$ — quelle que soit $R$ .

Démonstration. $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ ; la source fournit $\int_0^\infty Ei\,\dd t = E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ ; la résistance prend $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ; la différence est l’énergie stockée $\tfrac12 CE^2$ . Une $R$ plus petite dissipe la même énergie plus vite. ∎

Exemple 7.7 (La bobine d’un relais)

$L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ : $\tau = 4.0\,\mathrm{ms}$ , $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ; les contacts se ferment lorsque $i$ atteint $1.5\,\mathrm{A}$ , c’est-à-dire en $t = -\tau\ln(1 - 0.75) = 5.5\,\mathrm{ms}$ . À l’ouverture du circuit, $i$ doit retomber depuis $2\,\mathrm{A}$ ; une diode « de roue libre » placée aux bornes de la bobine lui offre un chemin par $R$ seule, $\tau = 4\,\mathrm{ms}$ , au lieu d’une étincelle.

7.2 Systèmes du second ordre

Définition 7.8 (Forme canonique du second ordre)

Une grandeur $x(t)$ est un système linéaire du second ordre lorsque

\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = \omega_0^2\,x_\infty ,

avec $\omega_0 > 0$ la pulsation propre, $Q > 0$ le facteur de qualité (sans dimension), et $x_\infty$ le régime permanent. On écrit aussi $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ , avec $\xi = 1/2Q$ le coefficient d’amortissement.

Proposition 7.9 (Le circuit RLC série)

Un condensateur $C$ , une bobine $L$ et une résistance $R$ en série sous une source $E$ : la tension du condensateur obéit à la forme canonique avec

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}, \qquad u_{C,\infty} = E .

Démonstration. Loi des mailles : $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ avec $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ; on divise par $LC$ et on identifie $\omega_0^2 = 1/LC$ , $\omega_0/Q = R/L$ . ∎

Les deux visages du système du second ordre : le circuit RLC série (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) et le système masse–ressort–amortisseur (_0 = √k/m, Q = √km/). Même équation, mêmes trois régimes. — Les deux visages du système du second ordre : le circuit RLC série ( $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ ) et le système masse–ressort–amortisseur ( $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ). Même équation, mêmes trois régimes.

Proposition 7.10 (L’oscillateur mécanique)

Une masse $m$ au bout d’un ressort de raideur $k$ , munie d’un amortisseur visqueux de coefficient $\alpha$ (force $-\alpha\dot x$ ), et écartée de $x$ de sa position d’équilibre, obéit à $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ : c’est la forme canonique avec

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .

La correspondance $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ transporte tout résultat d’un système sur l’autre.

Démonstration. La deuxième loi de Newton (Chapitre 12) avec la force de rappel $-kx$ et la force d’amortissement ; on divise par $m$ . ∎

Théorème 7.11 (Les trois régimes)

Les solutions de l’équation homogène $x'' + (\omega_0/Q)x' + \omega_0^2 x = 0$ sont gouvernées par les racines de $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , de discriminant $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ :

$Q < \tfrac12$ , régime apériodique : deux racines réelles négatives $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , un retour sans oscillation ;
$Q = \tfrac12$ , régime critique : une racine double $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , le retour le plus rapide sans dépassement ;
$Q > \tfrac12$ , régime pseudo-périodique : racines complexes $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ avec

$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}, \qquad x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$

une oscillation amortie de pseudo-période $T = 2\pi/\omega$ à l’intérieur de l’enveloppe $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$ .

La solution complète avec un second membre constant est $x_\infty$ plus la solution homogène ; $A$ et $B$ se tirent de $x(0)$ et $x'(0)$ .

Démonstration. Équation caractéristique d’une équation linéaire à coefficients constants (cours de mathématiques, équations linéaires du second ordre) : les racines valent $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$ . Pour $Q > \tfrac12$ , $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$ , d’où la partie réelle $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ et la partie imaginaire $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; les solutions réelles sont les combinaisons de $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ et de $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$ . ∎

Réponse indicielle d’un système du second ordre initialement au repos, pour trois facteurs de qualité. Q petit : une reptation lente ; Q = 1/2 : le retour le plus rapide sans dépassement ; Q grand : une sonnerie qui dure environ Q oscillations. — Réponse indicielle d’un système du second ordre initialement au repos, pour trois facteurs de qualité. $Q$ petit : une reptation lente ; $Q = \tfrac12$ : le retour le plus rapide sans dépassement ; $Q$ grand : une sonnerie qui dure environ $Q$ oscillations.

Proposition 7.12 (Lire $Q$ sur un tracé pseudo-périodique)

En régime pseudo-périodique, deux maxima successifs sont dans le rapport $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ ; le décrément logarithmique

\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)

donne $Q$ ; le nombre d’oscillations visibles avant que l’amplitude ne tombe sous $5\%$ vaut environ $Q$ . Pour $Q \gg 1$ , $\omega \approx \omega_0$ et $T \approx 2\pi/\omega_0$ .

Démonstration. L’enveloppe $\eu^{-t/\tau}$ est multipliée par $\eu^{-T/\tau}$ à chaque période ; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$ . L’enveloppe atteint $\eu^{-3} \approx 5\%$ en $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$ , c’est-à-dire après environ $Q$ périodes. ∎

Décroissance libre pseudo-périodique, x = x_0 -t/ t : les maxima successifs sont réduits d’un facteur constant -T/, et (x_n/x_n+1) = T/ π/Q mesure le facteur de qualité sur le tracé. — Décroissance libre pseudo-périodique, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : les maxima successifs sont réduits d’un facteur constant $\eu^{-T/\tau}$ , et $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ mesure le facteur de qualité sur le tracé.

Exemple 7.13 (Une sonnerie RLC)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : régime pseudo-périodique, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $\omega = 0.987\,\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ , trois oscillations visibles. La résistance critique vaut $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ ; au-delà, la décharge est apériodique.

Méthode 7.14 (Résoudre un transitoire du second ordre)

Écrire l’équation ; la mettre sous forme canonique ; y lire $\omega_0$ , $Q$ et $x_\infty$ .
Décider du régime d’après $Q$ et écrire la solution générale comme $x_\infty$ plus la solution homogène.
Trouver $x(0)$ et $x'(0)$ par continuité de $u_C$ et de $i_L$ (pour le RLC : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ et $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ) ; en tirer les deux constantes.

Exemple 7.15 (Conditions initiales)

Le condensateur de l’exemple précédent est chargé sous $U_0$ puis, à $t = 0$ , refermé sur $L$ et $R$ (sans source) : $x_\infty = 0$ , $u_C(0) = U_0$ , $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ puisque le courant dans la bobine était nul. D’où $A = U_0$ et $-A/\tau + B\omega = 0$ , $B = U_0/(\omega\tau) = U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — pour $Q \gg 1$ , simplement $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ , et le courant $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ culmine près de $U_0\sqrt{C/L} = U_0/(\omega_0 L)$ .

Remarque 7.16 (Énergie)

L’énergie stockée $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (ou $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 m\dot x^2$ ) décroît au rythme $Ri^2$ ( $\alpha\dot x^2$ ) : il suffit de dériver et d’utiliser l’équation. À chaque pseudo-période l’énergie est multipliée par $\eu^{-2T/\tau}$ ; avec $Q = 3$ , environ $88\%$ en est perdue par oscillation. Un $Q$ élevé signifie une fuite lente devant l’oscillation — une bonne horloge, une résonance aiguë (Chapitre 8) — et un $Q$ faible un retour rapide : le bon choix pour une suspension ou l’aiguille d’un appareil de mesure.

7.3 Exercices

Exercice 7.1 ★

Un circuit RC : $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 47\,\mathrm{nF}$ , chargé sous $E$ . Calculer $\tau$ , $u_C(\tau)/E$ , et le temps pour atteindre $99\%$ de $E$ .

Solution

Solution de Exercice 7.1.

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ; $u_C(\tau)/E = 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ; pour $99\%$ : $\eu^{-t/\tau} = 0.01$ , $t = \tau\ln 100 = 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$ .

Exercice 7.2 ★

Un circuit RL : $L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ . Calculer $\tau$ , le courant final, le courant à $t = \tau$ , et la tension aux bornes de la bobine juste après la fermeture de l’interrupteur.

Solution

Solution de Exercice 7.2.

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ; en $0^+$ , $i = 0$ (continuité), donc $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$ .

Exercice 7.3 ★

Un RLC série : $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ . Calculer $\omega_0$ , $f_0$ , $Q$ ; nommer le régime ; donner $\tau$ et la pseudo-période.

Solution

Solution de Exercice 7.3.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : pseudo-périodique ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2} = 0.987\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ .

Exercice 7.4 ★

Pour les mêmes $L$ et $C$ , quelle résistance donne le régime critique ? Que vaut alors $Q$ ? Que se passe-t-il pour $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ , $Q = \tfrac12$ . À $2\,\mathrm{k}\Omega$ , $Q = 0.16$ : apériodique, une reptation lente gouvernée par la petite racine $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (échelle de temps $0.2\,\mathrm{ms}$ , mais sans oscillation).

Exercice 7.5 ★★

Un condensateur chargé $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se décharge dans une résistance $R$ inconnue ; la tension est divisée par deux toutes les $3.5\,\mathrm{ms}$ . Montrer que cette demi-vie vaut $\tau\ln 2$ et trouver $R$ .

Solution

Solution de Exercice 7.5.

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ est divisée par deux lorsque $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : $t_{1/2} = \tau\ln 2$ . $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$ , $R = \tau/C = 5.1\,\mathrm{k}\Omega$ .

Exercice 7.6 ★★

Montrer par intégration directe que charger un condensateur de $0$ à $E$ à travers $R$ dissipe exactement $\tfrac12 CE^2$ dans $R$ , indépendamment de $R$ . Que devient le rendement du transfert, et comment pourrait-on faire mieux ?

Solution

Solution de Exercice 7.6.

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ , sans trace de $R$ . La source fournit $CE^2$ : rendement de $50\%$ quelle que soit la résistance. Mieux : charger à travers une bobine (le courant n’est alors plus proportionnel à l’écart de tension) ou par paliers de tension — chaque palier de $E/n$ ne perd que $\tfrac12 C(E/n)^2$ .

Exercice 7.7 ★★

À l’oscilloscope, la décharge libre d’un RLC montre des maxima successifs de $2.0\,\mathrm{V}$ , $1.5\,\mathrm{V}$ et $1.12\,\mathrm{V}$ , espacés de $0.40\,\mathrm{ms}$ . En déduire $Q$ , $\omega_0$ , puis, avec $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ , les valeurs de $L$ et de $R$ .

Solution

Solution de Exercice 7.7.

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (et $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : cohérent) ; $Q \approx \pi/\delta = 11$ . $T = 0.40\,\mathrm{ms}$ , donc $\omega_0 \approx 2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (la correction $1/8Q^2$ vaut $0.1\%$ ). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$ .

Exercice 7.8 ★★

Un condensateur chargé sous $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ( $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ ) est basculé sur une bobine $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ de faible résistance ( $Q \gg 1$ ). Écrire $u_C(t)$ et $i(t)$ , et estimer le courant de crête. Où se trouve l’énergie au moment de ce maximum ?

Solution

Solution de Exercice 7.8.

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ; $i = -C\,\dd u_C/\dd t \approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (pour $t \ll \tau$ ), de crête $U_0\sqrt{C/L} = 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$ , atteinte un quart de période après la fermeture, quand $u_C = 0$ : toute l’énergie ( $\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ) est alors magnétique, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ .

Exercice 7.9 ★★

Un quart de voiture : $m = 400\,\mathrm{kg}$ sur un ressort $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Calculer $\omega_0$ , $f_0$ et le coefficient d’amortissement critique. Avec un amortisseur $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , donner $Q$ , le régime, la pseudo-période et le temps de décroissance $\tau$ .

Solution

Solution de Exercice 7.9.

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . Pour $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$ , régime pseudo-périodique ; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$ .

Exercice 7.10 ★★★

Une bobine $L = 0.50\,\mathrm{H}$ est parcourue par $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ; on débranche la source et on laisse la bobine sur une résistance de décharge $R = 100\,\Omega$ . Donner $i(t)$ , $\tau$ , la tension de crête aux bornes de la bobine et l’énergie dissipée. Que se passerait-il sans la résistance ?

Solution

Solution de Exercice 7.10.

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; tension de crête $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ en $t = 0^+$ ; énergie $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ dissipée dans $R$ . Sans la résistance, le courant n’a plus de chemin : $\dd i/\dd t$ devient énorme, la tension de la bobine atteint des kilovolts, et un arc jaillit à l’interrupteur.

Exercice 7.11 ★★★

Un condensateur $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ est chargé sous $E = 12\,\mathrm{V}$ à travers $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , tandis que $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ est branchée à ses bornes. À l’aide d’un équivalent de Thévenin, trouver la constante de temps et la tension finale ; écrire $u_C(t)$ depuis $u_C(0) = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 7.11.

Vu de $C$ : $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$ , $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ ; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

Exercice 7.12 ★★★

Régime critique, échelon depuis le repos ( $x(0) = x'(0) = 0$ ) : montrer que $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ , et trouver numériquement le temps pour atteindre $95\%$ de $x_\infty$ (en unités de $1/\omega_0$ ). Le comparer au temps d’établissement de l’enveloppe pour $Q = 5$ et à celui de la racine lente pour $Q = 0.1$ ; conclure sur les raisons qui font du régime critique la cible de l’ingénieur.

Solution

Solution de Exercice 7.12.

Racine double $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ; $x(0) = 0$ donne $A = -x_\infty$ , $x'(0) = 0$ donne $B = \omega_0 A$ : $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ . Pour $95\%$ : $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$ , $s \approx 4.7$ : $t_{95} = 4.7/\omega_0$ . Pour $Q = 5$ , l’enveloppe $\eu^{-t/\tau}$ avec $\tau = 10/\omega_0$ demande $3\tau = 30/\omega_0$ ; pour $Q = 0.1$ , la racine lente vaut $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q$ et $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$ . Les deux sont six fois plus lents : l’amortissement critique est le retour sans dépassement le plus rapide, exactement ce que veulent un appareil de mesure, un ferme-porte ou une suspension.

7.4 Problème : dimensionner une suspension

Problème 7.1

Problème du week-end — la même équation différentielle sur une paillasse et sous une voiture : combien de rebonds tolère un amortisseur usé, ce que choisit le concepteur, et comment un seul nombre distingue les deux

La partie I étudie un circuit RLC série, $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; les parties II à IV un quart de voiture : une masse $m = 350\,\mathrm{kg}$ posée sur un ressort $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ et un amortisseur exerçant $-\alpha\dot x$ . Dépassement de la réponse indicielle en régime pseudo-périodique (donné) : $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$ , $\xi = 1/2Q$ .

Partie I — Le circuit.

Écrire la loi des mailles pour le RLC série sous une source $E$ , puis l’équation différentielle vérifiée par $u_C$ .
La mettre sous forme canonique ; exprimer $\omega_0$ et $Q$ .
Calculer $\omega_0$ , $f_0$ et la résistance critique $R_c$ .
Écrire l’équation caractéristique et son discriminant ; énoncer les trois régimes en fonction de $Q$ .
Dans le cas pseudo-périodique, donner $\tau$ , $\omega$ et la forme de $u_C(t)$ .
Pour $R = 100\,\Omega$ , calculer $Q$ , $\tau$ , la pseudo-période et le nombre d’oscillations visibles.
Le condensateur, chargé sous $U_0$ , est basculé sur $L$ et $R$ à $t = 0$ . Donner $u_C(0^+)$ et $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , avec la raison physique de chacune.

Partie II — Le quart de voiture.

En comptant $x$ depuis la position d’équilibre, écrire la deuxième loi de Newton pour la caisse et montrer que le poids disparaît.
Mettre l’équation sous forme canonique ; donner $\omega_0$ et $Q$ en fonction de $m$ , $k$ , $\alpha$ , et lister les correspondances électromécaniques.
Calculer $\omega_0$ , $f_0$ et le coefficient critique $\alpha_c$ .
Le concepteur monte $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : calculer $Q$ , $\xi$ , et nommer le régime.
Calculer $\tau$ et la pseudo-période.
Calculer le dépassement après un échelon (un trottoir) : la voiture est-elle confortable ?
Quelle résistance $R$ donnerait au circuit de la partie I le même $Q$ que cette suspension ?

Partie III — L’amortisseur usé. L’huile a fui : $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

Calculer $Q$ , la pseudo-période et $\tau$ .
De quel facteur les maxima successifs diminuent-ils ? Combien de rebonds sont visibles avant que l’amplitude passe sous $5\%$ ?
Le test du rebond : on enfonce le coin de $x_0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ puis on lâche. Donner les conditions initiales, l’énergie stockée dans le ressort, et dire où passe cette énergie.
Estimer la vitesse maximale de la caisse lors du premier retour ( $\approx x_0\omega_0$ pour $Q \gg 1$ ) et la force maximale dans l’amortisseur.
Pourquoi l’amortissement exactement critique ( $Q = \tfrac12$ ) n’est-il pas le choix du concepteur, bien qu’il ne donne aucun dépassement ? (Penser aux derniers millimètres du retour.)
Calculer le dépassement pour l’amortisseur usé et le comparer à celui de la partie II.

Partie IV — Diagnostiquer $Q$ sur un tracé. Un accéléromètre fixé sur la caisse enregistre la décroissance libre.

Pour la voiture usée, les maxima successifs valent $1.00$ , $0.25$ et $0.062$ (unités arbitraires). Calculer le décrément logarithmique, en déduire $\xi$ exactement par $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , puis $Q$ ; comparer à la partie III.
Pour la voiture saine, aucun second maximum n’est visible ; seul le dépassement, $3.8\%$ , se lit. Inverser la formule du dépassement pour trouver $\xi$ et $Q$ .
Quelle fraction de l’énergie mécanique l’amortisseur usé dissipe-t-il par pseudo-période ?
Un technicien qui n’a pas de voiture sous la main monte le RLC de la partie I avec un $R$ choisi pour que $Q = 2.3$ : quelle valeur de $R$ , et pourquoi le tracé de l’oscilloscope, porté en fonction de $\omega_0 t$ , a-t-il exactement la même forme que celui de la voiture ?
Récapituler : quel nombre sans dimension décide de la forme de tout transitoire du second ordre, quelle valeur vise le concepteur d’une suspension, et ce qu’un conducteur doit conclure de « plus d’un rebond ».

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ , $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ .

2. $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ avec $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ .

3. $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ , $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ .

4. $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ : $Q < \tfrac12$ apériodique, $Q = \tfrac12$ critique, $Q > \tfrac12$ pseudo-périodique.

5. $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ , $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ .

6. $Q = 3.16$ , $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $T = 2\pi/\omega = 0.20\,\mathrm{ms}$ , environ trois oscillations.

7. $u_C(0^+) = U_0$ ( $u_C$ continue : courant fini) ; $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ( $i_L$ continue et nulle avant).

8. $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ avec $kx_{\text{eq}} = mg$ : $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ .

9. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ; $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.26\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

11. $Q = 2775/4000 = 0.69$ , $\xi = 0.72$ : pseudo-périodique, juste en deçà du critique.

12. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 1.1\,\mathrm{s}$ .

13. Dépassement $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : une petite remontée au-delà de l’équilibre, et c’est fini — confortable.

14. $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$ .

15. $Q = 2775/1200 = 2.3$ , $\xi = 0.22$ ; $\omega = 0.976\omega_0$ , $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$ .

16. $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : chaque rebond vaut le quart du précédent ; $0.25^3 = 1.6\%$ : trois rebonds visibles.

17. $x(0) = -x_0$ , $\dot x(0) = 0$ ; énergie $\tfrac12 kx_0^2 = 0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$ , dissipée en chaleur dans l’huile de l’amortisseur.

18. $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; force dans l’amortisseur $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$ .

19. À $Q = \tfrac12$ , le retour est en $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}$ , qui rampe asymptotiquement : les derniers millimètres sont longs. Un système légèrement sous-amorti ( $\xi \approx 0.7$ ) dépasse de quelques pour cent mais entre plus tôt, et reste, dans une bande de tolérance.

20. $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$ , contre $3.8\%$ : la voiture usée rebondit à mi-hauteur au-delà de l’équilibre.

21. $\delta = \ln 4 = 1.39$ (deux fois, cohérent) ; $\xi = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$ , $Q = 1/2\xi = 2.3$ : la valeur de l’amortisseur usé.

22. $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , donc $\xi = 3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$ , $Q = 0.69$ .

23. L’énergie est $\propto$ amplitude $^2$ : fraction restante par période $0.25^2 = 6\%$ , donc $94\%$ dissipés par pseudo-période.

24. $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$ . Dans la variable $\omega_0 t$ , l’équation canonique ne contient plus que $Q$ : deux systèmes de même $Q$ tracent la même courbe.

25. Le facteur de qualité $Q$ (ou $\xi$ ) fixe à lui seul la forme ; un concepteur vise $Q \approx 0.7$ ( $\xi \approx 0.7$ ) ; plus d’un rebond visible signifie un $Q$ nettement supérieur à $1$ : l’amortisseur est usé.

Termes définis dans ce chapitre

Voir les 393 termes du glossaire