Physics · Livre 3 · Bachelor Year 1

Physique universitaire — 1re année

Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

3Miroirs et lentilles minces

Un miroir de maquillage montre un visage deux fois plus grand ; le dos d’une cuillère le montre minuscule et droit, son creux minuscule et renversé ; une loupe tenue à bout de bras met la pièce à l’envers, tenue près de l’œil elle agrandit un timbre ; un objectif de téléphone gros comme une lentille peint toute la rue sur un capteur. Une seule relation algébrique entre trois distances gouverne chacune de ces images, et ce chapitre l’établit — pour les miroirs courbes d’abord, puis pour la lentille mince dont presque tous les instruments d’optique sont faits.

Une lentille convergente forme sur un écran l’image réelle et renversée d’une flamme de bougie : les distances de l’objet et de l’image obéissent à la relation de conjugaison de ce chapitre.
Une lentille convergente forme sur un écran l’image réelle et renversée d’une flamme de bougie : les distances de l’objet et de l’image obéissent à la relation de conjugaison de ce chapitre.

3.1 Images et conditions de Gauss

Définition 3.1 (Objet, image, stigmatisme)

Un système optique reçoit les rayons issus d’un point AA (le point objet). Si tous les rayons émergents passent par un même point A′A', ou semblent tous provenir d’un même point A′A', le système est stigmatique pour AA et A′A' est l’image de AA. L’image est réelle si les rayons émergents se coupent effectivement en A′A' (on peut la recueillir sur un écran), virtuelle si seuls leurs prolongements se coupent (on la voit à travers le système, on ne la projette pas). De même, l’objet est réel si les rayons incidents divergent depuis AA, virtuel s’ils convergent vers AA au-delà de l’entrée du système. Le couple (A,A′)(A, A') est conjugué.

Définition 3.2 (Système centré ; conditions de Gauss)

Un système centré possède un axe de symétrie de révolution, l’axe optique. Les rayons qui restent proches de l’axe et font avec lui de petits angles sont dits paraxiaux ; un système utilisé avec des rayons paraxiaux seulement travaille dans les conditions de Gauss. Dans ces conditions, un système centré est approximativement stigmatique pour tout point, et un plan objet perpendiculaire à l’axe a pour image un plan perpendiculaire à l’axe (aplanétisme).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 3.3 (Pourquoi de petits angles)

Le miroir plan est le seul système simple rigoureusement stigmatique pour tout point. Un miroir ou une lentille sphérique n’est stigmatique que dans la mesure où sin⁡θ≈tan⁡θ≈θ\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta : c’est cette approximation qui transforme la loi de Snell-Descartes en relations linéaires entre distances. En dehors d’elle, l’image d’un point est une tache (les aberrations), et le travail du concepteur — diaphragmes, associations de lentilles, surfaces asphériques — consiste à ramener la tache sous ce que l’œil ou le capteur peut résoudre.

Notation 3.4 (Mesures algébriques et grandissement)

L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière incidente ; la direction transversale est orientée vers le haut. Pour deux points PP, QQ de l’axe, PQ‾\overline{PQ} désigne la mesure algébrique (PQ‾>0\overline{PQ} > 0 si QQ est en aval de PP) ; pour un objet ABAB perpendiculaire à l’axe et son image A′B′A'B', le grandissement transversal vaut

γ=A′B′‾AB‾,\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,

négatif pour une image renversée, de valeur absolue supérieure à 11 pour une image agrandie.

3.2 Miroirs sphériques

Définition 3.5 (Miroir sphérique)

Un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante de centre CC et de sommet SS (son intersection avec l’axe). Il est concave si la lumière rencontre le côté creux (CC du côté de la lumière incidente), convexe sinon. Son foyer FF est l’image d’un point à l’infini sur l’axe ; sa distance focale vaut f=SF‾f = \overline{SF}.

Proposition 3.6 (Foyer d’un miroir sphérique)

Dans les conditions de Gauss, le foyer est le milieu de SCSC : SF‾=SC‾/2\overline{SF} = \overline{SC}/2. Un miroir concave a f<0f < 0 (foyer réel, en avant) ; un miroir convexe a f>0f > 0 (foyer virtuel, en arrière).

Démonstration. Un rayon parallèle à l’axe, à la hauteur hh, rencontre le miroir en II ; la normale en II est le rayon CICI, qui fait l’angle α\alpha avec l’axe, sin⁡α=h/R\sin\alpha = h/R. Réfléchi sous le même angle α\alpha par rapport à la normale, le rayon coupe l’axe en FF ; le triangle CIFCIF a des angles égaux α\alpha en CC et en II, donc CF=IFCF = IF et, en projetant, CF=R/(2cos⁡α)CF = R/(2\cos\alpha). Pour des rayons paraxiaux cos⁡α→1\cos\alpha \to 1 et CF=R/2CF = R/2 : tous ces rayons coupent l’axe au même point, le milieu de SCSC. Signe : pour un miroir concave, CC et FF sont en avant (en amont), et SC‾<0\overline{SC} < 0. ∎

Théorème 3.7 (Conjugaison pour un miroir sphérique)

Dans les conditions de Gauss, l’image A′A' d’un point AA de l’axe vérifie

1SA′‾+1SA‾=2SC‾=1SF‾,γ=−SA′‾SA‾.\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{\overline{SF}}, \qquad \gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .

Démonstration. Prenons un miroir concave et un objet réel AA au-delà de CC ; la forme algébrique couvre ensuite tous les cas. Un rayon issu de AA frappe le miroir en II (à la hauteur hh) et revient en A′A' sur l’axe. Notons uu, u′u', ω\omega les angles de AIAI, A′IA'I et CICI avec l’axe ; en paraxial, u=h/ASu = h/AS, u′=h/A′Su' = h/A'S, ω=h/CS\omega = h/CS (distances). La loi de la réflexion dit que la normale CICI est la bissectrice de l’angle entre AIAI et A′IA'I : ω−u=u′−ω\omega - u = u' - \omega, c’est-à-dire u+u′=2ωu + u' = 2\omega, soit 1/AS+1/A′S=2/CS1/AS + 1/A'S = 2/CS ; comme SA‾\overline{SA}, SA′‾\overline{SA'} et SC‾\overline{SC} sont tous négatifs, c’est bien la relation affichée. Pour le grandissement, le rayon B→S→B′B \to S \to B' réfléchi au sommet fait des angles égaux avec l’axe : A′B′/SA′=AB/SAA'B'/SA' = AB/SA en longueurs, et l’image est renversée : γ=−SA′‾/SA‾\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}. ∎

Méthode 3.8 (Construire une image dans un miroir)

Pour un point objet BB hors de l’axe, tracer deux des quatre rayons remarquables ; leur intersection (ou celle de leurs prolongements) est B′B' :

  1. parallèle à l’axe →\to réfléchi en passant par FF ;
  2. passant par FF →\to réfléchi parallèlement à l’axe ;
  3. passant par CC →\to réfléchi sur lui-même ;
  4. vers le sommet SS →\to réfléchi symétriquement par rapport à l’axe.

Puis A′A' est le pied de la perpendiculaire abaissée de B′B' sur l’axe.

Un miroir concave (C, foyer F à mi-rayon). Pour un objet AB au-delà de C, le rayon parallèle à l’axe repart par F et le rayon passant par F repart parallèle : ils se croisent en B' — une image réelle, renversée et réduite, entre F et C.
Un miroir concave (CC, foyer FF à mi-rayon). Pour un objet ABAB au-delà de CC, le rayon parallèle à l’axe repart par FF et le rayon passant par FF repart parallèle : ils se croisent en B′B' — une image réelle, renversée et réduite, entre FF et CC.

Exemple 3.9 (Miroir de rasage, rétroviseur)

Un miroir concave de rayon 60 cm60\,\mathrm{cm} (f=−30 cmf = -30\,\mathrm{cm}) devant un visage placé à 20 cm20\,\mathrm{cm} : 1/SA′‾=−1/30+1/20=1/601/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60, SA′‾=+60 cm\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm} — derrière le miroir, virtuelle — et γ=−60/(−20)=+3\gamma = -60/(-20) = +3 : droite, trois fois plus grande, c’est le miroir de rasage. Un miroir convexe de rayon 2.0 m2.0\,\mathrm{m} (f=+1.0 mf = +1.0\,\mathrm{m}), avec une voiture à 20 m20\,\mathrm{m} derrière : 1/SA′‾=1+1/201/\overline{SA'} = 1 + 1/20, SA′‾=0.95 m\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m} (virtuelle, derrière), γ=+0.048\gamma = +0.048 : droite, vingt fois plus petite, donc un champ large — le rétroviseur, avec son avertissement que les objets sont plus proches qu’ils ne le paraissent.

3.3 Lentilles minces

Définition 3.10 (Lentille mince)

Une lentille est un milieu transparent limité par deux surfaces sphériques (ou planes) ; elle est mince lorsque son épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure et devant les distances en jeu, de sorte que les deux sommets se confondent en un point, le centre optique OO. Un rayon passant par OO n’est pas dévié. Le foyer image F′F' est l’image d’un point à l’infini sur l’axe ; le foyer objet FF est le point dont l’image est à l’infini ; tous deux sont à la même distance de OO : OF′‾=−OF‾=f′\overline{OF'} = -\overline{OF} = f', la distance focale. La lentille est convergente si f′>0f' > 0 (F′F' réel, en aval ; bords plus minces que le centre), divergente si f′<0f' < 0. Sa vergence V=1/f′V = 1/f' se mesure en dioptries (1 δ=1 m−11\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}).

Théorème 3.11 (Conjugaison pour une lentille mince)

Dans les conditions de Gauss, l’image A′A' d’un point AA de l’axe vérifie la relation de Descartes

1OA′‾−1OA‾=1f′,γ=OA′‾OA‾,\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}, \qquad \gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},

et, de façon équivalente, la relation de Newton

FA‾⋅F′A′‾=−f′2,γ=f′FA‾=−F′A′‾f′.\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2, \qquad \gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .

Démonstration partielle. Le fait décisif est qu’une lentille mince dévie vers l’axe un rayon qui la traverse à la hauteur hh de l’angle h/f′h/f', quelle que soit la direction de ce rayon — chaque zone de la lentille agit comme un prisme mince (Remarque 2.21) dont l’angle au sommet croît linéairement avec hh pour des surfaces sphériques ; cette linéarité, exacte en paraxial, est admise ici et démontrée à partir de la loi de Snell-Descartes sur deux surfaces sphériques dans le volume de deuxième année. Cela accordé : un rayon issu de AA (à la distance p=−OA‾>0p = -\overline{OA} > 0 pour un objet réel) qui atteint la lentille à la hauteur hh y arrive avec la pente h/ph/p, est dévié de h/f′h/f' et repart avec la pente h/p−h/f′h/p - h/f' ; il coupe l’axe en A′A' avec h/OA′‾=h/f′−h/ph/\overline{OA'} = h/f' - h/p, soit 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f', indépendamment de hh : tous les rayons issus de AA se rejoignent en A′A'. Le rayon B→O→B′B \to O \to B' passant par le centre est rectiligne, donc A′B′‾/AB‾=OA′‾/OA‾\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}. La forme de Newton s’obtient en substituant OA‾=OF‾+FA‾=−f′+FA‾\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA} = -f' + \overline{FA} et OA′‾=f′+F′A′‾\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}. ∎

Méthode 3.12 (Construire une image à travers une lentille mince)

Trois rayons remarquables issus de BB :

  1. passant par OO : non dévié ;
  2. parallèle à l’axe : émerge en passant par F′F' ;
  3. passant par FF : émerge parallèlement à l’axe.

Deux suffisent ; pour une lentille divergente, on utilise les prolongements (le rayon dirigé vers le FF situé derrière la lentille émerge parallèle ; le rayon parallèle émerge comme s’il venait de F′F', en avant).

Une lentille convergente : objet AB au-delà de F. Le rayon passant par O va tout droit, le rayon parallèle se courbe en passant par F', le rayon passant par F ressort parallèle ; tous trois se rejoignent en B' : image réelle et renversée. Ici OA = -1.5f', donc OA' = 3f' et = -2.
Une lentille convergente : objet ABAB au-delà de FF. Le rayon passant par OO va tout droit, le rayon parallèle se courbe en passant par F′F', le rayon passant par FF ressort parallèle ; tous trois se rejoignent en B′B' : image réelle et renversée. Ici OA‾=−1.5f′\overline{OA} = -1.5f', donc OA′‾=3f′\overline{OA'} = 3f' et γ=−2\gamma = -2.
Une lentille divergente (F' en amont, F en aval) : le rayon parallèle émerge comme s’il venait de F', le rayon central va tout droit ; leurs prolongements se rejoignent en B' — une image virtuelle, droite et réduite, quelle que soit la position de l’objet.
Une lentille divergente (F′F' en amont, FF en aval) : le rayon parallèle émerge comme s’il venait de F′F', le rayon central va tout droit ; leurs prolongements se rejoignent en B′B' — une image virtuelle, droite et réduite, quelle que soit la position de l’objet.

Exemple 3.13 (La même lentille, trois usages)

Une lentille convergente, f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}. Timbre à 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm} : 1/OA′‾=1/5−1/3=−2/151/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15, OA′‾=−7.5 cm\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}, virtuelle, γ=+2.5\gamma = +2.5 : c’est la loupe. Lampe à 20 cm20\,\mathrm{cm} : OA′‾=6.7 cm\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}, réelle, γ=−1/3\gamma = -1/3 : une image renversée et réduite sur un carton. Fenêtre à 4 m4\,\mathrm{m} : OA′‾≈f′\overline{OA'} \approx f', minuscule image renversée dans le plan focal — l’appareil photographique. Trois usages, une seule relation.

Proposition 3.14 (Grandissement longitudinal)

Si l’objet se déplace le long de l’axe de  ⁣dOA‾\dd\overline{OA}, l’image se déplace de  ⁣dOA′‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}, dans le même sens.

Démonstration. Différentions la relation de Descartes à f′f' fixé : − ⁣dOA′‾/OA′‾2+ ⁣dOA‾/OA‾2=0-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0, d’où  ⁣dOA′‾=(OA′‾/OA‾)2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}. ∎

Remarque 3.15 (Profondeur de mise au point)

Un projecteur de γ=−50\gamma = -50 a γ2=2500\gamma^2 = 2500 : une diapositive qui gondole de 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} sous la chaleur de la lampe envoie son image 25 cm25\,\mathrm{cm} hors du plan de l’écran. À l’inverse, un appareil photographique (∣γ∣≪1\abs\gamma \ll 1) tolère de grands déplacements de l’objet pour un minuscule décalage de l’image — c’est la profondeur de champ.

3.4 Mesurer une distance focale

Méthode 3.16 (Autocollimation)

Placer un miroir plan juste derrière la lentille et déplacer le long de l’axe un objet lumineux (une croix sur un verre dépoli) jusqu’à ce que son image, renvoyée à travers la lentille, se forme nette sur l’objet lui-même, renversée et de même taille. L’objet est alors dans le plan focal : les rayons quittent la lentille parallèles, reviennent parallèles du miroir, et sont refocalisés dans le plan focal. La distance objet–lentille vaut f′f'.

Proposition 3.17 (Méthode de Bessel)

Un objet et un écran sont fixés à la distance DD l’un de l’autre. Une lentille convergente forme une image réelle nette sur l’écran pour exactement deux positions si D>4f′D > 4f', pour une seule si D=4f′D = 4f', pour aucune si D<4f′D < 4f'. Les deux positions sont distantes de dd, avec

f′=D2−d24D.f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .

À D=4f′D = 4f' (Silbermann), l’unique position donne γ=−1\gamma = -1.

Démonstration. Soit p=−OA‾>0p = -\overline{OA} > 0 la distance objet–lentille ; alors OA′‾=D−p\overline{OA'} = D - p et Descartes donne 1/(D−p)+1/p=1/f′1/(D - p) + 1/p = 1/f', c’est-à-dire p2−Dp+Df′=0p^2 - Dp + Df' = 0 : le discriminant D2−4Df′D^2 - 4Df' est positif si et seulement si D>4f′D > 4f'. Les deux racines p1,2=(D∓D2−4Df′)/2p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2 ont pour somme DD (les positions sont symétriques : les distances objet et image s’échangent) et diffèrent de d=D2−4Df′d = \sqrt{D^2 - 4Df'} ; on en tire f′f'. Pour D=4f′D = 4f', p=2f′=OA′‾p = 2f' = \overline{OA'} et γ=−1\gamma = -1. ∎

Méthode de Bessel : objet et écran fixés à D > 4f' ; la lentille donne une image nette pour deux positions symétriques distantes de d (agrandie, réduite), et f' = (D2 - d2)/4D.
Méthode de Bessel : objet et écran fixés à D>4f′D > 4f' ; la lentille donne une image nette pour deux positions symétriques distantes de dd (agrandie, réduite), et f′=(D2−d2)/4Df' = (D^2 - d^2)/4D.

3.5 Deux lentilles minces

Proposition 3.18 (Lentilles accolées ; doublet afocal)

Deux lentilles minces accolées se comportent comme une seule lentille mince de vergence V=V1+V2V = V_1 + V_2. Deux lentilles placées de sorte que F1′=F2F_1' = F_2 forment un système afocal : un faisceau parallèle émerge parallèle, et un faisceau incliné de α\alpha émerge incliné de α′=Gα\alpha' = G\alpha, avec le grossissement angulaire G=−f1′/f2′G = -f_1'/f_2'.

Démonstration. L’image A1A_1 donnée par L1L_1 est l’objet pour L2L_2. Accolées, O1=O2=OO_1 = O_2 = O : 1/OA1‾−1/OA‾=V11/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1 et 1/OA′‾−1/OA1‾=V21/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2 ; il suffit d’additionner. Système afocal : un faisceau parallèle incliné de α\alpha converge dans le plan focal commun, à la hauteur h=f1′αh = f_1'\alpha de l’axe (rayon passant par O1O_1) ; vu de L2L_2, ce point est dans son plan focal objet, donc le faisceau émerge parallèle, sous l’angle du rayon qui joint ce point à O2O_2 : α′=−h/f2′\alpha' = -h/f_2'. ∎

Exemple 3.19 (Une lunette en une ligne)

f1′=1000 mmf_1' = 1000\,\mathrm{mm}, f2′=25 mmf_2' = 25\,\mathrm{mm} : G=−40G = -40 ; la Lune, large d’un demi-degré, devient un disque de 20∘20^\circ — la lunette astronomique du chapitre suivant. Avec un oculaire divergent, f2′=−25 mmf_2' = -25\,\mathrm{mm}, G=+40G = +40 : image droite, c’est la lunette de Galilée.

3.6 Exercices

Exercice 3.1 ★

Un miroir concave a R=40 cmR = 40\,\mathrm{cm}. Trouver l’image d’un objet placé à 60 cm60\,\mathrm{cm}, 30 cm30\,\mathrm{cm} puis 10 cm10\,\mathrm{cm} du sommet : position, nature réelle ou virtuelle, grandissement.

Solution

Solution de Exercice 3.1.

SF‾=−20 cm\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm} ; 1/SA′‾=1/SF‾−1/SA‾1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} - 1/\overline{SA}. À 60 cm60\,\mathrm{cm} : SA′‾=−30 cm\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}, réelle, γ=−0.5\gamma = -0.5. À 30 cm30\,\mathrm{cm} : SA′‾=−60 cm\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}, réelle, γ=−2\gamma = -2. À 10 cm10\,\mathrm{cm} : 1/SA′‾=−1/20+1/10=1/201/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10 = 1/20, SA′‾=+20 cm\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm} derrière le miroir, virtuelle, γ=+2\gamma = +2 (droite, agrandie).

Exercice 3.2 ★

Une lentille convergente a f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}. Trouver l’image d’un objet à 20 cm20\,\mathrm{cm}, puis à 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm} ; faire les constructions.

Solution

Solution de Exercice 3.2.

OA‾=−20 cm\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm} : 1/OA′‾=1/5−1/20=3/201/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20, OA′‾=+6.7 cm\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}, réelle et renversée, γ=−1/3\gamma = -1/3. OA‾=−3.0 cm\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm} : 1/OA′‾=1/5−1/3=−2/151/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15, OA′‾=−7.5 cm\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}, virtuelle et droite, γ=+2.5\gamma = +2.5.

Exercice 3.3 ★

Donner la vergence d’une lentille de distance focale 25 cm25\,\mathrm{cm} ; la distance focale d’une lentille de −2.0 δ-2.0\,\delta ; la distance focale d’une lentille de +3.0 δ+3.0\,\delta accolée à une lentille de −1.0 δ-1.0\,\delta.

Solution

Solution de Exercice 3.3.

V=1/0.25=+4.0 δV = 1/0.25 = +4.0\,\delta ; f′=1/(−2.0)=−50 cmf' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm} ; V=3.0−1.0=+2.0 δV = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta, f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}.

Exercice 3.4 ★

Avec f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} et un objet situé 15 cm15\,\mathrm{cm} avant FF, utiliser la relation de Newton pour situer l’image et trouver γ\gamma ; vérifier avec la relation de Descartes.

Solution

Solution de Exercice 3.4.

FA‾=−15 cm\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm} : F′A′‾=−f′2/FA‾=+100/15=6.7 cm\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA} = +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm} au-delà de F′F', soit OA′‾=16.7 cm\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm} ; γ=f′/FA‾=−0.67\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67. Par Descartes : OA‾=−25 cm\overline{OA} = -25\,\mathrm{cm}, 1/OA′‾=1/10−1/25=3/501/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50, OA′‾=16.7 cm\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}, γ=16.7/(−25)=−0.67\gamma = 16.7/(-25) = -0.67.

Exercice 3.5 ★★

Un rétroviseur convexe a R=2.0 mR = 2.0\,\mathrm{m}. Une voiture de 1.5 m1.5\,\mathrm{m} de haut est à 20 m20\,\mathrm{m} derrière : trouver la position de l’image, sa hauteur, et expliquer l’avertissement « les objets sont plus proches qu’ils ne le paraissent ».

Solution

Solution de Exercice 3.5.

SF‾=+1.0 m\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}, SA‾=−20 m\overline{SA} = -20\,\mathrm{m} : 1/SA′‾=1+1/201/\overline{SA'} = 1 + 1/20, SA′‾=0.95 m\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m} derrière le miroir (virtuelle, droite) ; γ=−0.95/(−20)=+0.048\gamma = -0.95/(-20) = +0.048, image haute de 7.1 cm7.1\,\mathrm{cm}. Le cerveau juge la distance sur la taille apparente : une voiture vue vingt fois plus petite à 0.95 m0.95\,\mathrm{m} se lit comme une voiture lointaine — plus loin que 20 m20\,\mathrm{m}.

Exercice 3.6 ★★

Un objectif photographique, f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}, fait la mise au point sur un sujet à 2.0 m2.0\,\mathrm{m}. De combien doit-il se déplacer depuis son réglage sur l’infini ? Quel est le grandissement ? À quelle distance le photographe doit-il reculer pour qu’une personne de 1.8 m1.8\,\mathrm{m} tienne dans les 24 mm24\,\mathrm{mm} de hauteur du capteur ?

Solution

Solution de Exercice 3.6.

1/OA′‾=1/50−1/2000=0.0195 mm−11/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}, OA′‾=51.3 mm\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm} : l’objectif s’éloigne de 1.3 mm1.3\,\mathrm{mm} du capteur. γ=51.3/(−2000)=−0.026\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026. Pour ∣γ∣=24/1800=1/75\abs\gamma = 24/1800 = 1/75 : OA‾=f′(1/γ−1)=50×(−76)=−3.8 m\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) = -3.8\,\mathrm{m}.

Exercice 3.7 ★★

Un projecteur doit montrer une diapositive large de 36 mm36\,\mathrm{mm} sous la forme d’une image large de 1.8 m1.8\,\mathrm{m} sur un écran situé à 5.0 m5.0\,\mathrm{m} de la lentille. Trouver la distance focale nécessaire et la distance diapositive–lentille. Pourquoi la diapositive est-elle introduite à l’envers ?

Solution

Solution de Exercice 3.7.

γ=−1.8/0.036=−50\gamma = -1.8/0.036 = -50 ; OA′‾=5.0 m\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}, OA‾=OA′‾/γ=−10 cm\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm} ; 1/f′=1/5.0+1/0.10=10.2 m−11/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}, f′=98 mmf' = 98\,\mathrm{mm}. L’image est renversée (γ<0\gamma < 0), haut–bas et gauche–droite : la diapositive s’introduit tournée de 180∘180^\circ.

Exercice 3.8 ★★

Expliquer, schéma de rayons à l’appui, pourquoi l’autocollimation repère exactement le plan focal, et pourquoi l’image renvoyée est renversée et de même taille que l’objet. Qu’advient-il de cette image si le miroir est légèrement incliné ?

Solution

Solution de Exercice 3.8.

Objet dans le plan focal ⇒\Rightarrow les rayons issus de chaque point quittent la lentille parallèles ; le miroir plan les renvoie parallèles (direction symétrique) ; la lentille focalise un faisceau parallèle dans son plan focal, au point symétrique du point source par rapport à l’axe : image dans le plan de l’objet, renversée, γ=−1\gamma = -1. Incliner le miroir de α\alpha fait tourner le faisceau de retour de 2α2\alpha et décale l’image latéralement de 2αf′2\alpha f', toujours nette dans le même plan.

Exercice 3.9 ★★

Un objet et un écran sont distants de 1.00 m1.00\,\mathrm{m} ; on obtient des images nettes pour deux positions de la lentille distantes de 40 cm40\,\mathrm{cm}. Trouver f′f'. Quelle est la plus petite distance objet–écran à laquelle cette lentille peut encore projeter une image nette, et avec quel grandissement ?

Solution

Solution de Exercice 3.9.

f′=(1002−402)/(4×100)=21 cmf' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}. Distance minimale 4f′=84 cm4f' = 84\,\mathrm{cm}, avec γ=−1\gamma = -1.

Exercice 3.10 ★★★

Une lentille convergente L1L_1 (f1′=20 cmf_1' = 20\,\mathrm{cm}) est suivie, 15 cm15\,\mathrm{cm} plus loin, d’une lentille divergente L2L_2 (f2′=−10 cmf_2' = -10\,\mathrm{cm}). Situer l’image d’un objet à l’infini. Montrer qu’un objet lointain de diamètre apparent α\alpha donne une image de hauteur 40 cm×α40\,\mathrm{cm}\times\alpha, et comparer à la longueur du montage : c’est le principe du téléobjectif.

Solution

Solution de Exercice 3.10.

L1L_1 image l’infini en F1′F_1', 20 cm20\,\mathrm{cm} après L1L_1, soit 5 cm5\,\mathrm{cm} après L2L_2 : c’est un objet virtuel, O2A1‾=+5 cm\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}. 1/O2A′‾=−1/10+1/5=1/101/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10 : image finale 10 cm10\,\mathrm{cm} après L2L_2. Hauteur de l’image intermédiaire h1=f1′α=20αh_1 = f_1'\alpha = 20\alpha (cm) ; γ2=10/5=2\gamma_2 = 10/5 = 2, donc h=40αh = 40\alpha : distance focale équivalente 40 cm40\,\mathrm{cm}, dans un barillet long de 15+10=25 cm15 + 10 = 25\,\mathrm{cm} — un téléobjectif.

Exercice 3.11 ★★★

Un miroir concave forme, sur un écran situé à 80 cm80\,\mathrm{cm} du filament d’une lampe, une image de ce filament trois fois plus grande. Trouver les positions du miroir et son rayon de courbure.

Solution

Solution de Exercice 3.11.

γ=−3=−SA′‾/SA‾\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA} donne SA′‾=3SA‾\overline{SA'} = 3\overline{SA} ; les deux sont réels, en avant : SA‾=−x\overline{SA} = -x, SA′‾=−3x\overline{SA'} = -3x, et la distance écran–lampe vaut 2x=80 cm2x = 80\,\mathrm{cm} : x=40 cmx = 40\,\mathrm{cm}. Le miroir est à 40 cm40\,\mathrm{cm} de la lampe et 120 cm120\,\mathrm{cm} de l’écran ; 1/SF‾=−1/40−1/120=−1/301/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30 : R=2×30=60 cmR = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}.

Exercice 3.12 ★★★

Le Soleil est vu sous 0.53∘0.53^\circ. Une lentille convergente de diamètre 10 cm10\,\mathrm{cm} et de distance focale 50 cm50\,\mathrm{cm} en forme l’image sur une feuille de papier. Calculer le diamètre de l’image, la puissance recueillie (éclairement solaire 1.0 kW/m21.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}) et l’éclairement dans l’image ; comparer à l’éclairement solaire direct et conclure.

Solution

Solution de Exercice 3.12.

θ=0.53∘=9.3×10−3 rad\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} ; diamètre de l’image f′θ=4.6 mmf'\theta = 4.6\,\mathrm{mm}. Puissance recueillie 103×π(0.05)2=7.9 W10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W} ; aire de l’image π(2.3×10−3)2=1.7×10−5 m2\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} ; éclairement 4.7×105 W/m24.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, soit 470470 fois le soleil direct : le papier noircit puis s’enflamme — c’est la loupe ardente. En général le gain vaut (D/f′θ)2(D/f'\theta)^2.

3.7 Problème : le projecteur de diapositives

Problème 3.1

Problème du week-end — une lentille, mesurée sur un banc, puis chargée de projeter une diapositive à travers une salle : comment un projecteur se conçoit, se règle et se dote d’un convertisseur longue portée

Un objectif de projection L1L_1 est une lentille mince convergente de distance focale f1′f_1' inconnue. La diapositive mesure 24 mm24\,\mathrm{mm} de haut et 36 mm36\,\mathrm{mm} de large.

Partie I — La lentille sur le banc.

  1. Énoncer la relation de Descartes et le grandissement d’une lentille mince, avec les conventions de signe.
  2. Un objet et un écran sont fixés à la distance DD l’un de l’autre. Montrer qu’une image réelle sur l’écran exige D≥4f1′D \geq 4f_1'.
  3. Montrer que, lorsque D>4f1′D > 4f_1', les deux positions de la lentille donnant une image nette sont symétriques par rapport au milieu de l’objet et de l’écran, et que f1′=(D2−d2)/4Df_1' = (D^2 - d^2)/4D, où dd est leur écart.
  4. Avec D=80.0 cmD = 80.0\,\mathrm{cm} et d=40.0 cmd = 40.0\,\mathrm{cm}, calculer f1′f_1'.
  5. La lentille est logée dans un barillet épais dont on ne sait pas situer précisément le centre optique. Pourquoi cela n’affecte-t-il pas la méthode ?
  6. Les distances portent u(D)=0.2 cmu(D) = 0.2\,\mathrm{cm} et u(d)=0.5 cmu(d) = 0.5\,\mathrm{cm}. Calculer u(f1′)u(f_1') et écrire le résultat.
  7. Donner le grandissement à chacune des deux positions. Laquelle correspond à un projecteur ?
  8. Quel est le plus petit DD pour lequel une image nette existe, et quel est alors le grandissement (Silbermann) ?

Partie II — Projeter l’image. L’image sur l’écran doit être large de 1.80 m1.80\,\mathrm{m}. On prend f1′=15.0 cmf_1' = 15.0\,\mathrm{cm}.

  1. Quel grandissement faut-il (avec son signe) ?
  2. Calculer la distance lentille–écran et la distance diapositive–lentille.
  3. Pourquoi la diapositive est-elle introduite à l’envers et inversée gauche–droite ?
  4. L’écran est reculé à 10.0 m10.0\,\mathrm{m}. De combien, et dans quel sens, faut-il déplacer la lentille par rapport à la diapositive pour retrouver la netteté ? Quelle est alors la largeur de l’image ?

Partie III — Tolérance de mise au point et lumière.

  1. Montrer qu’un petit déplacement  ⁣dOA‾\dd\overline{OA} de la diapositive décale l’image de  ⁣dOA′‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}.
  2. Le film gondole de 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} sous la chaleur de la lampe. De combien le plan image se déplace-t-il (écran à 7.65 m7.65\,\mathrm{m}) ? Commenter.
  3. L’ouverture de l’objectif a 30 mm30\,\mathrm{mm} de diamètre. Si l’écran se trouve 20 cm20\,\mathrm{cm} hors du plan image, quel est le diamètre de la tache de flou d’un point de la diapositive ? Vue de 5 m5\,\mathrm{m}, l’œil (résolution angulaire d’environ 3×10−4 rad3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}) s’en aperçoit-il ?
  4. La diapositive reçoit 2.0 W2.0\,\mathrm{W} de lumière, qui parviennent intégralement à l’écran. Calculer l’éclairement (puissance par unité d’aire) sur la diapositive et sur l’écran, et montrer que leur rapport vaut γ2\gamma^2.

Partie IV — Le convertisseur longue portée. Dans une salle plus grande, l’écran est à 12.0 m12.0\,\mathrm{m}. Une lentille divergente L2L_2, f2′=−30.0 cmf_2' = -30.0\,\mathrm{cm}, est fixée 8.0 cm8.0\,\mathrm{cm} derrière L1L_1 ; l’écran est à 12.0 m12.0\,\mathrm{m} de L2L_2.

  1. Pour que l’image finale soit réelle et sur l’écran, où (par rapport à L2L_2) l’image intermédiaire donnée par L1L_1 doit-elle se trouver ? Est-ce un objet réel ou virtuel pour L2L_2 ?
  2. En déduire la position O1A‾\overline{O_1A} de la diapositive.
  3. Calculer γ1\gamma_1, γ2\gamma_2 et le grandissement total.
  4. Donner la largeur de l’image, et la comparer à celle que L1L_1 seule donnerait sur le même écran (à 12.08 m12.08\,\mathrm{m} de L1L_1).

  5. Pour un objet à l’infini, montrer que le système équivaut à une lentille unique de distance focale feqf_{\mathrm{eq}} avec

    1feq=1f1′+1f2′−ef1′f2′,\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},

    e=O1O2‾e = \overline{O_1O_2}, au sens où un faisceau incliné de α\alpha converge à la hauteur feq αf_{\mathrm{eq}}\,\alpha de l’axe. Calculer feqf_{\mathrm{eq}}.

  6. Vérifier que le rapport des largeurs d’image (avec et sans convertisseur) est proche de f1′/feqf_1'/f_{\mathrm{eq}}. Pourquoi seulement de façon approchée ?
  7. Pourquoi l’image intermédiaire doit-elle se trouver à moins de ∣f2′∣\abs{f_2'} au-delà de L2L_2 pour que l’image finale soit réelle ?
  8. Avec la même lampe, de quel facteur l’éclairement de l’écran change-t-il lorsqu’on monte le convertisseur (même distance d’écran) ?
  9. Récapituler : de quel facteur le convertisseur multiplie-t-il la distance focale, et qu’advient-il de la taille et de la luminosité de l’image à distance de projection donnée ?
Solution

Solution de Problème 3.1.

1. 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f', γ=OA′‾/OA‾\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} ; axe orienté dans le sens de la lumière, distances algébriques comptées depuis OO.

2. p=−OA‾p = -\overline{OA}, OA′‾=D−p\overline{OA'} = D - p : 1/(D−p)+1/p=1/f1′1/(D - p) + 1/p = 1/f_1', soit p2−Dp+Df1′=0p^2 - Dp + Df_1' = 0 ; racines réelles si et seulement si D2−4Df1′≥0D^2 - 4Df_1' \geq 0, c’est-à-dire D≥4f1′D \geq 4f_1'.

3. La somme des racines vaut DD : p1+p2=Dp_1 + p_2 = D, donc p2=D−p1p_2 = D - p_1 — les distances objet et image s’échangent, les positions sont symétriques par rapport au milieu. d=p2−p1=D2−4Df1′d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}, d’où f1′=(D2−d2)/4Df_1' = (D^2 - d^2)/4D.

4. f1′=(6400−1600)/320=15.0 cmf_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}.

5. Seuls interviennent le déplacement dd du barillet entre les deux réglages nets et la distance objet–écran DD : ni l’un ni l’autre n’exige de savoir où se trouve OO à l’intérieur du barillet.

6. ∂f1′/∂D=1/4+d2/4D2=0.3125\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125, ∂f1′/∂d=−d/2D=−0.25\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25 ; donc u(f1′)2=(0.3125×0.2)2+(0.25×0.5)2=0.0195 cm2u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 = 0.0195\,\mathrm{cm}^{2} et u(f1′)=0.14 cmu(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm} : f1′=(15.00±0.14) cmf_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}.

7. p=(80∓40)/2=20p = (80 \mp 40)/2 = 20 ou 60 cm60\,\mathrm{cm} : γ=−60/20=−3\gamma = -60/20 = -3 (diapositive près de la lentille, image agrandie : le projecteur) et γ=−1/3\gamma = -1/3.

8. Dmin⁡=4f1′=60.0 cmD_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}, γ=−1\gamma = -1.

9. γ=−1.80/0.036=−50\gamma = -1.80/0.036 = -50.

10. OA′‾=f1′(1−γ)=15×51=765 cm=7.65 m\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 = 765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m} ; OA‾=OA′‾/γ=−15.3 cm\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -15.3\,\mathrm{cm}.

11. γ<0\gamma < 0 : l’image réelle est tournée de 180∘180^\circ autour de l’axe, donc la diapositive s’introduit tournée de 180∘180^\circ (à l’envers et inversée gauche–droite).

12. OA′‾=1000 cm\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm} : 1/OA‾=1/1000−1/151/\overline{OA} = 1/1000 - 1/15, OA‾=−15.23 cm\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm} : la lentille se rapproche de 0.7 mm0.7\,\mathrm{mm} de la diapositive. γ=1000/(−15.23)=−65.7\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7 : image large de 2.36 m2.36\,\mathrm{m}.

13. Différentions Descartes : − ⁣dOA′‾/OA′‾2+ ⁣dOA‾/OA‾2=0-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0, donc  ⁣dOA′‾=(OA′‾/OA‾)2  ⁣dOA‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}.

14. 2500×0.10 mm=25 cm2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm} : l’image sort de la netteté à mesure que le film chauffe — d’où les diapositives montées sous verre, ou une mise au point qui suit le film.

15. Triangles semblables entre l’ouverture et le point image : flou =30×0.20/7.65=0.78 mm= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm} ; vu de 5 m5\,\mathrm{m}, cela sous-tend 1.6×10−4 rad<3×10−4 rad1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} : imperceptible.

16. Aire de la diapositive 8.64×10−4 m28.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2} : Ediapo=2.0/8.64×10−4=2.3×103 W/m2E_{\text{diapo}} = 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} ; aire de l’écran γ2\gamma^2 fois plus grande, 2.16 m22.16\,\mathrm{m}^{2} : Eeˊcran=0.93 W/m2E_{\text{écran}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} ; même puissance, aires dans le rapport γ2=2500\gamma^2 = 2500.

17. O2A′‾=1200 cm\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm} : 1/O2A‾=1/1200+1/30=0.034171/\overline{O_2A} = 1/1200 + 1/30 = 0.03417, O2A‾=+29.3 cm\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm} : l’image intermédiaire se trouve 29.3 cm29.3\,\mathrm{cm} au-delà de L2L_2 — un objet virtuel pour L2L_2 (les rayons issus de L1L_1 convergent vers elle).

18. O1A1′‾=8.0+29.3=37.3 cm\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm} ; 1/O1A‾=1/37.3−1/15=−0.03981/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398, O1A‾=−25.1 cm\overline{O_1A} = -25.1\,\mathrm{cm}.

19. γ1=37.3/(−25.1)=−1.49\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49 ; γ2=1200/29.3=41.0\gamma_2 = 1200/29.3 = 41.0 ; γ=−60.9\gamma = -60.9.

20. Largeur 60.9×36=2.19 m60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}. Avec L1L_1 seule : γ=1−OA′‾/f1′=1−1208/15=−79.5\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5, largeur 2.86 m2.86\,\mathrm{m}.

21. Faisceau incliné de α\alpha : L1L_1 le focalise à la hauteur h1=f1′αh_1 = f_1'\alpha dans son plan focal, situé à O2A1‾=f1′−e\overline{O_2A_1} = f_1' - e de L2L_2 ; L2L_2 image ce point en O2A′‾\overline{O_2A'} avec 1/O2A′‾=1/f2′+1/(f1′−e)1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(f_1' - e) et le grandit de γ2=O2A′‾/(f1′−e)\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1' - e), donc h=γ2f1′αh = \gamma_2 f_1'\alpha et feq=γ2f1′=f1′f2′f1′+f2′−ef_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1' = \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}, dont l’inverse est la formule annoncée. 1/feq=1/15−1/30+8/450=0.0511 cm−11/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}, feq=19.6 cmf_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}.

22. 2.19/2.86=0.772.19/2.86 = 0.77 et 15/19.6=0.7715/19.6 = 0.77. Seulement de façon approchée, parce que la diapositive est à distance finie et que les deux portées se mesurent depuis des lentilles différentes ; pour un objet à l’infini le rapport serait exact.

23. Objet virtuel à p>0p > 0 au-delà d’une lentille divergente : 1/O2A′‾=1/p+1/f2′=1/p−1/∣f2′∣1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}, positif (image réelle) si et seulement si p<∣f2′∣p < \abs{f_2'}.

24. Même puissance sur une image d’aire (2.19/2.86)2=0.59(2.19/2.86)^2 = 0.59 fois plus petite : éclairement ×1.7\times 1.7.

25. Le convertisseur multiplie la distance focale par feq/f1′=1.3f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3 ; à portée donnée, l’image est 1.31.3 fois plus petite dans chaque direction et 1.71.7 fois plus lumineuse — un objectif longue portée.

Termes définis dans ce chapitre

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