Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

20Théorie cinétique et gaz parfait

L’air d’une salle de classe pèse autant qu’un homme adulte et contient plus de molécules qu’il n’y a de grains de sable sur Terre, chacune filant à la vitesse d’une balle de fusil et heurtant ses voisines dix milliards de fois par seconde. Personne ne peut en suivre une ; personne n’en a besoin. Une poignée de moyennes — pression, température, volume, quantité de matière — décrit l’air complètement pour tous les usages de l’ingénieur, et une image simple de molécules qui rebondissent sur les parois explique d’où viennent ces moyennes et comment elles sont reliées. Ce chapitre ouvre la partie thermodynamique du volume en regardant la matière par les deux bouts : le chaos microscopique et le calme macroscopique, et la théorie cinétique qui les relie dans le cas du gaz parfait.

20.1 Deux échelles de description

Définition 20.1 (Échelles microscopique et macroscopique)

À l’échelle microscopique, la matière est faite de molécules : $1\,\mathrm{mol}$ en contient $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ , chacune large d’environ $0.3\,\mathrm{nm}$ ; dans un gaz aux conditions ordinaires, elles sont distantes de $3\,\mathrm{nm}$ , se déplacent à des centaines de mètres par seconde et se heurtent tous les $70\,\mathrm{nm}$ environ. À l’échelle macroscopique, un système est décrit par quelques variables d’état — pression $P$ , volume $V$ , température $T$ , quantité de matière $n$ — qui sont des moyennes sur des nombres énormes de molécules. Une variable est extensive si elle double quand le système double ( $V$ , $n$ , masse, énergie), intensive sinon ( $P$ , $T$ , masse volumique).

Définition 20.2 (Équilibre thermodynamique)

Un système est en équilibre thermodynamique lorsque ses variables d’état sont uniformes et constantes dans le temps et qu’aucun écoulement macroscopique de matière ou d’énergie ne le traverse. C’est seulement alors que $P$ et $T$ ont un sens pour le système entier ; l’équation d’état les relie à $V$ et à $n$ .

Définition 20.3 (Pression)

Un fluide au repos pousse sur chaque élément de surface $\dd S$ d’une paroi avec une force $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ normale à celle-ci et dirigée vers elle ; $P$ est la pression, en pascals ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ) ; $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . En un point donné, elle ne dépend pas de l’orientation de la surface (Chapitre 21).

Définition 20.4 (Température)

Deux systèmes en contact par une paroi qui laisse passer l’énergie atteignent, à la longue, un état commun : ils sont alors à la même température, et deux corps chacun en équilibre avec un troisième sont en équilibre entre eux (le principe zéro). L’échelle des kelvins est fixée par $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ exactement ; en degrés Celsius, $\theta = T - 273.15$ . La théorie cinétique qui suit donne à $T$ son sens microscopique.

20.2 Le modèle cinétique du gaz parfait

Définition 20.5 (Gaz parfait, modèle microscopique)

Un gaz parfait est un ensemble de $N$ molécules, traitées comme des points de masse $m$ , se déplaçant librement et au hasard — sans interaction hormis de brefs chocs — dans un récipient de volume $V$ . À l’équilibre, la distribution des vitesses est isotrope et stationnaire ; $n^* = N/V$ est la densité particulaire et $\langle v^2\rangle$ la vitesse quadratique moyenne.

Théorème 20.6 (Pression cinétique)

La pression qu’exerce le gaz sur les parois vaut

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

où $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ est l’énergie cinétique moyenne d’une molécule.

Démonstration partielle. Prenons le modèle simplifié où toutes les molécules ont la vitesse $u$ et se déplacent selon les trois axes, un sixième dans chaque sens. Une molécule qui frappe de plein fouet la paroi $x = 0$ rebondit élastiquement et lui cède la quantité de mouvement $2mu$ . Pendant $\dd t$ , les molécules qui vont vers la paroi et atteignent une aire $S$ sont celles de la tranche d’épaisseur $u\,\dd t$ , soit un sixième des $n^*Su\,\dd t$ qui s’y trouvent. Force $=$ quantité de mouvement par unité de temps $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ , d’où $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Moyenner sur la vraie distribution des vitesses et des directions remplace $u^2$ par $\langle v^2\rangle$ (l’isotropie donne $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ ) ; le volume de deuxième année le fait complètement. ∎

À gauche : l’origine cinétique de la pression — les molécules qui frappent une paroi et rebondissent lui cèdent de la quantité de mouvement ; leur nombre par seconde multiplié par 2mu est la force. À droite : les vitesses réelles sont réparties (distribution de Maxwell, ici pour l’azote à deux températures) ; l’unique u du modèle est remplacé par la vitesse quadratique moyenne. — À gauche : l’origine cinétique de la pression — les molécules qui frappent une paroi et rebondissent lui cèdent de la quantité de mouvement ; leur nombre par seconde multiplié par $2mu$ est la force. À droite : les vitesses réelles sont réparties (distribution de Maxwell, ici pour l’azote à deux températures) ; l’unique $u$ du modèle est remplacé par la vitesse quadratique moyenne.

Définition 20.7 (Température cinétique ; équation d’état)

La température d’un gaz parfait est définie par l’énergie cinétique moyenne de ses molécules,

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

de sorte que, en combinant avec le Théorème 20.6,

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

c’est l’équation d’état du gaz parfait. La vitesse quadratique moyenne vaut $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ , où $M$ est la masse molaire.

Exemple 20.8 (Quelques nombres pour l’air)

Azote à $300\,\mathrm{K}$ : $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hydrogène, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; plus c’est lourd, plus c’est lent, en $1/\sqrt M$ . À $1\,\mathrm{bar}$ et $300\,\mathrm{K}$ , $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $24\,\mathrm{L}$ par mole, $2.7 \times 10^{22}\,$ molécules dans un litre. Une salle de $200\,\mathrm{m}^{3}$ : $8300\,\mathrm{mol}$ , soit $240\,\mathrm{kg}$ d’air.

Remarque 20.9 (Pourquoi le modèle marche, et quand il échoue)

Entre deux chocs, une molécule d’air vole sur un libre parcours moyen $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — deux cents fois sa taille : le gaz est surtout du vide, les interactions sont rares, et $PV = nRT$ vaut à mieux qu’un pour cent aux pressions ordinaires. À haute pression ou à basse température, le volume propre des molécules et leur attraction comptent : l’équation de van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ corrige les deux, et sous une température critique le gaz se liquéfie (Chapitre 25).

Le diagramme de Clapeyron d’un gaz parfait : à chaque température, l’isotherme est une hyperbole P = nRT/V, d’autant plus haute que T est grande. Une transformation est un chemin dans ce plan ; un cycle, une boucle fermée (). — Le diagramme de Clapeyron d’un gaz parfait : à chaque température, l’isotherme est une hyperbole $P = nRT/V$ , d’autant plus haute que $T$ est grande. Une transformation est un chemin dans ce plan ; un cycle, une boucle fermée (Chapitre 24).

20.3 Énergie interne du gaz parfait

Définition 20.10 (Énergie interne)

L’énergie interne $U$ d’un système est la somme des énergies cinétiques de ses molécules dans le référentiel où le système est au repos et de leurs énergies potentielles mutuelles ; c’est une fonction d’état extensive.

Proposition 20.11 (Énergie interne des gaz parfaits)

Pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$ (première loi de Joule) :

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatomique~: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatomique aux températures ordinaires~: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

si bien que la capacité thermique molaire à volume constant $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ vaut respectivement $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ et $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

Démonstration partielle. Aucune énergie potentielle mutuelle par hypothèse, donc $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ pour des molécules ponctuelles. Une molécule diatomique tourne aussi : chacun de ses deux degrés de liberté de rotation porte, à l’équilibre, le même $\tfrac12 k_BT$ que chaque degré de translation (théorème de l’équipartition, admis ; le volume de troisième année l’établit et explique pourquoi la vibration ne s’y joint qu’au-dessus du millier de kelvins). ∎

Exemple 20.12 (Ce que contient une salle)

Les $8300\,\mathrm{mol}$ d’air de la salle de classe à $300\,\mathrm{K}$ : $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — l’énergie d’un litre et demi d’essence, tenue dans l’agitation moléculaire. Réchauffer la salle de $1$ K coûte $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (à volume constant).

20.4 Les phases condensées

Proposition 20.13 (Modèle de la phase incompressible et indilatable)

Les liquides et les solides sont modélisés, à ce niveau, par des phases de volume fixe — ni compressibles ni dilatables — dont l’énergie interne ne dépend que de $T$ : $\dd U = C\,\dd T$ avec $C = mc$ , où $c$ est la capacité thermique massique ( $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ pour l’eau, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ pour l’acier). Les petits écarts réels se mesurent par le coefficient de dilatation thermique $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ( $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ pour les métaux, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ pour les liquides) et par la compressibilité isotherme $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ( $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ pour l’eau, contre $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ pour un gaz).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 20.14 (À quel point incompressible)

L’eau au fond de la fosse des Mariannes ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) est comprimée de $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ ; un rail d’acier de $30\,\mathrm{m}$ réchauffé de $50$ K s’allonge de $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ — d’où les joints de dilatation. Face à un gaz, dont le volume est divisé par deux quand la pression double, le modèle du volume fixe est bon à quelques pour cent près dans presque toutes les situations de ce volume.

20.5 Exercices

Exercice 20.1 ★

Nombre de molécules dans $1.0\,\mathrm{L}$ de gaz à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $1\,\mathrm{atm}$ ; distance moyenne entre voisines ; comparer à la taille moléculaire $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solution

Solution de Exercice 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ , dix fois la taille d’une molécule.

Exercice 20.2 ★

Vitesses quadratiques moyennes de H $_2$ , N $_2$ , O $_2$ et CO $_2$ à $300\,\mathrm{K}$ , et de N $_2$ à $77\,\mathrm{K}$ (azote bouillant).

Solution

Solution de Exercice 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; N $_2$ à $77\,\mathrm{K}$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 20.3 ★

Un pneu de voiture de $30\,\mathrm{L}$ est gonflé à une pression relative de $2.5\,\mathrm{bar}$ à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Quantité de matière et masse d’air à l’intérieur ; pression absolue après un trajet qui la porte à $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Solution

Solution de Exercice 20.3.

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ en absolu : $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ , soit $125\,\mathrm{g}$ . À $323\,\mathrm{K}$ , $P \propto T$ : $3.86\,\mathrm{bar}$ ( $2.85\,\mathrm{bar}$ au manomètre).

Exercice 20.4 ★

Estimer le libre parcours moyen des molécules d’air à $1\,\mathrm{bar}$ et $300\,\mathrm{K}$ ( $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ ), ainsi que la fréquence des chocs d’une molécule. À quelle pression le libre parcours moyen atteint-il $1\,\mathrm{m}$ (un « vide ») ?

Solution

Solution de Exercice 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ; fréquence $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ . $\lambda \propto 1/P$ : $1\,\mathrm{m}$ pour $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ .

Exercice 20.5 ★★

Masse volumique de l’air à $1.013\,\mathrm{bar}$ et $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), puis à $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Force ascensionnelle d’une montgolfière de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (différence des deux poids d’air).

Solution

Solution de Exercice 20.5.

$\rho = PM/RT$ : $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à $293\,\mathrm{K}$ , $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à $373\,\mathrm{K}$ . Force ascensionnelle $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : environ $720\,\mathrm{kg}$ .

Exercice 20.6 ★★

L’air contient $21\%$ de O $_2$ en molécules. Pression partielle de l’oxygène au niveau de la mer ; à $5000\,\mathrm{m}$ où $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ ; au sommet de l’Everest ( $0.33\,\mathrm{atm}$ ). Pourquoi le corps y peine-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : $0.21\,\mathrm{atm}$ ; $0.11\,\mathrm{atm}$ à $5000\,\mathrm{m}$ ; $0.07\,\mathrm{atm}$ sur l’Everest — le tiers de la valeur au niveau de la mer. L’oxygène passe dans le sang proportionnellement à sa pression partielle ; réduite au tiers, elle ne permet plus aux poumons de saturer l’hémoglobine.

Exercice 20.7 ★★

Une mole de CO $_2$ à $300\,\mathrm{K}$ dans $1.0\,\mathrm{L}$ : pression par la loi du gaz parfait, puis par van der Waals ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ , $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ ). Quelle correction domine ici ?

Solution

Solution de Exercice 20.7.

Gaz parfait : $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ . Van der Waals : $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : l’attraction ( $-3.6$ bar) l’emporte sur le volume exclu ( $+1.2$ bar) ; le CO $_2$ réel est $10\%$ au-dessous de la valeur idéale.

Exercice 20.8 ★★

Énergie interne de l’air d’une pièce de $50\,\mathrm{m}^{3}$ à $1\,\mathrm{bar}$ et $300\,\mathrm{K}$ ; énergie pour la réchauffer de $5\,\mathrm{K}$ à volume constant ; durée avec un radiateur de $2\,\mathrm{kW}$ (sans pertes).

Solution

Solution de Exercice 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ; $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ; $104\,\mathrm{s}$ à $2\,\mathrm{kW}$ .

Exercice 20.9 ★★

Un rail d’acier de $30\,\mathrm{m}$ ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) entre $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ : variation de longueur. Une bague de laiton ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) de diamètre intérieur $49.95\,\mathrm{mm}$ doit se glisser sur un arbre de $50.00\,\mathrm{mm}$ : de combien faut-il la chauffer ?

Solution

Solution de Exercice 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ . Anneau : $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (le trou se dilate comme le métal qui l’entoure).

Exercice 20.10 ★★★

Énergie par molécule à $300\,\mathrm{K}$ ( $\tfrac32 k_BT$ ) en joules et en eV ; capacités thermiques molaires $C_{V,m}$ de l’argon et de l’azote ; pourquoi celle de l’azote est-elle plus grande alors que ses molécules sont plus légères ?

Solution

Solution de Exercice 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ . Argon : $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; azote : $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : la molécule diatomique stocke aussi de l’énergie en rotation (deux degrés de liberté de plus), quelle que soit sa masse.

Exercice 20.11 ★★★

Refaire l’établissement de la pression cinétique dans le modèle à six directions, puis montrer que pour une distribution isotrope des vitesses $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ et que la formule de la pression est inchangée.

Solution

Solution de Exercice 20.11.

Modèle à six directions : comme dans le cours, $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Isotropie : $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ et leur somme vaut $\langle v^2\rangle$ , donc chacun vaut $\tfrac13\langle v^2\rangle$ . L’argument de flux avec une distribution donne $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (les molécules de $v_x > 0$ frappent la paroi, chacune cède $2mv_x$ , avec un flux $n^*v_x/2$ par classe de vitesse, que l’on moyenne), c’est-à-dire $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — le même.

Exercice 20.12 ★★★

Vitesses quadratiques moyennes de H $_2$ et de O $_2$ à $300\,\mathrm{K}$ , comparées à la vitesse de libération de la Terre puis à celle de la Lune ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Sachant que la fraction de molécules plus rapides que $3u$ est petite mais non nulle, expliquer pourquoi la Terre a perdu son hydrogène et la Lune toute son atmosphère.

Solution

Solution de Exercice 20.12.

H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Terre $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , Lune $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Pour O $_2$ sur Terre, $v_e/u = 23$ : la queue de la distribution au-delà est parfaitement négligeable ; pour H $_2$ , $v_e/u \approx 6$ : une fraction infime mais constante s’échappe chaque année, et en quelques milliards d’années l’hydrogène a disparu. Sur la Lune, $v_e/u$ vaut $5$ pour O $_2$ et $1.2$ pour H $_2$ : tout s’est échappé.

20.6 Problème : l’air de la salle

Problème 20.1

Problème du week-end — une salle de classe pleine d’air : compter ses molécules, la peser, chronométrer leurs vols, et retrouver du même modèle la portance d’une montgolfière, la rareté de l’air en altitude et la vitesse du son

Une salle de classe mesure $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ ; son air est à $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ et $T = 293\,\mathrm{K}$ , de masse molaire $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , avec $79\%$ de N $_2$ et $21\%$ de O $_2$ en molécules. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Partie I — Compter et peser.

Quantité de matière (en moles) et nombre de molécules dans la salle.
Masse de cet air ; la comparer à celle d’une personne.
Densité particulaire $n^*$ et distance moyenne entre molécules ( $n^{*-1/3}$ ) ; comparer au diamètre moléculaire $0.37\,\mathrm{nm}$ .
Vitesse quadratique moyenne de N $_2$ et de O $_2$ ; pourquoi le gaz le plus lourd va-t-il moins vite à même température ?
Énergie cinétique moyenne d’une molécule ; énergie cinétique de translation totale de l’air de la salle ; comparer à l’énergie cinétique d’une voiture à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Libre parcours moyen $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ et temps moyen entre deux chocs d’une molécule.

Partie II — La pression, par les chocs.

Avec le modèle à six directions et $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , calculer le nombre de chocs par seconde sur $1\,\mathrm{cm}^{2}$ de paroi.
Calculer la quantité de mouvement cédée par seconde, et vérifier qu’elle reproduit la pression atmosphérique.
Force totale de l’air sur une paroi de $8\,\mathrm{m}$ sur $2.5\,\mathrm{m}$ ; pourquoi la paroi ne bouge-t-elle pas ?
La salle est réchauffée à $303\,\mathrm{K}$ , fenêtres fermées et étanches : nouvelle pression, et force résultante sur la paroi.
Même réchauffement fenêtre ouverte : qu’est-ce qui sort, et combien ?

Partie III — La poussée d’Archimède.

Masse volumique de l’air de la salle, et de l’air à $373\,\mathrm{K}$ sous la même pression.
Une montgolfière de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ est remplie d’air à $373\,\mathrm{K}$ : poids de l’air chaud, poids de l’air froid déplacé, et force ascensionnelle disponible (Archimède, Chapitre 21).
L’enveloppe, la nacelle, le brûleur et le gaz pèsent $300\,\mathrm{kg}$ : combien de passagers de $75\,\mathrm{kg}$ peut-elle emporter ?
À quelle température faudrait-il chauffer l’air pour doubler la force ascensionnelle, et pourquoi ne le fait-on pas (l’enveloppe est en nylon) ?
Un ballon d’hélium de même volume à $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) : quelle force ascensionnelle ? Pourquoi les ballons touristiques emploient-ils malgré tout l’air chaud ?

Partie IV — L’air raréfié et la vitesse du son.

Pression partielle de l’oxygène dans la salle.
Au sommet de l’Everest, $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ et $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : densité particulaire de l’oxygène comparée à celle de la salle.
La pression de l’atmosphère décroît avec l’altitude à peu près comme $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ avec $H = RT/Mg$ (Chapitre 21) : calculer $H$ pour $260\,\mathrm{K}$ et l’altitude où $P = P_0/2$ .
La vitesse du son dans un gaz parfait vaut $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ avec $\gamma = 1.4$ pour l’air (Chapitre 22) : la calculer à $293\,\mathrm{K}$ et la comparer à la vitesse quadratique moyenne ; interpréter cette proximité.
Comment $c_s$ varie-t-elle avec $T$ ? Vitesse du son dans la salle à $303\,\mathrm{K}$ , et dans l’hélium à $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ) : pourquoi une voix à l’hélium sonne-t-elle aiguë ?
Au sommet de l’Everest, le son va-t-il plus vite ou moins vite que dans la salle ? De combien ?
On remplace l’air de la salle par de l’argon aux mêmes $P$ et $T$ : qu’est-ce qui change dans le décompte, la masse, les vitesses, l’énergie interne ?
Énergie interne de l’air de la salle ( $U = \tfrac52 nRT$ ) et énergie pour la réchauffer de $10\,\mathrm{K}$ à volume constant.
Récapituler en trois lignes ce qu’a donné le modèle cinétique : quelles grandeurs macroscopiques il a expliquées, et à partir de quelle unique moyenne microscopique.

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ .

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : trois personnes.

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; distance $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ , soit neuf diamètres moléculaires.

4. N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Même $\tfrac32 k_BT$ par molécule : $\tfrac12 mu^2$ est fixé, donc $u \propto 1/\sqrt m$ .

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ; au total $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — l’agitation moléculaire de la salle vaut quatre-vingts voitures.

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ; durée $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

7. Chocs par seconde sur $S$ : $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

8. Chacun cède $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ) : force $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ sur $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , soit $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . Le modèle reproduit la pression atmosphérique.

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — deux cents tonnes ; la même pression s’exerce de l’autre côté.

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; résultante $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ vers l’extérieur : sept tonnes sur le mur.

11. L’air sort jusqu’à ce que les pressions s’égalisent : $n \propto 1/T$ à $P$ et $V$ fixés : $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ , soit $8\,\mathrm{kg}$ qui s’en vont.

12. $\rho = PM/RT$ : $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à $293\,\mathrm{K}$ ; $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à $373\,\mathrm{K}$ .

13. Air chaud $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ; air froid déplacé $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ; force ascensionnelle $7.1\,\mathrm{kN}$ ( $725\,\mathrm{kg}$ ).

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : cinq passagers.

15. Force ascensionnelle $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : doubler $1 - 293/373 = 0.215$ exige $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ( $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), bien au-delà de ce que le nylon supporte (environ $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

16. Hélium : $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , d’où $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ( $2.9\,\mathrm{t}$ ), quatre fois plus — mais l’hélium coûte cher et se perd à chaque atterrissage, alors que l’air chaud est gratuit et que le brûleur en règle la force ascensionnelle.

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ .

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : dans la salle $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; sur l’Everest $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $38\%$ de la valeur dans la salle.

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ; $P_0/2$ à $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ .

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , contre $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour le mélange : $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ . Le son est une perturbation transportée par les molécules elles-mêmes : il se propage donc à une vitesse de leur ordre de grandeur — un peu moindre, puisque seule compte la composante selon la direction de propagation.

21. $c_s \propto \sqrt T$ : $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hélium : $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : les résonances du conduit vocal suivent $c_s$ , de sorte que chaque formant monte d’un facteur trois.

22. Plus froid : $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $8\%$ plus lent ; la pression n’intervient pas.

23. Même $N$ (mêmes $P$ , $V$ , $T$ ) ; masse $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ; vitesses $\times\sqrt{29/40}$ : $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $U = \tfrac32 nRT$ au lieu de $\tfrac52$ : $60\%$ .

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

25. Une seule moyenne, $\langle v^2\rangle$ , fixe la pression ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ ), définit la température ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ ), donne l’équation d’état et l’énergie interne, et fixe l’ordre de grandeur de la vitesse du son.

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