Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

30Introduction à la physique quantique

Éclairez un métal propre en ultraviolet et des électrons s’échappent aussitôt, avec une énergie qui dépend de la couleur de la lumière et nullement de son éclat ; éclairez-le en rouge et il ne sort rien, si puissante que soit la lampe. Envoyez des électrons un à un à travers deux fentes : chacun arrive en un point, un seul — et les points, par milliers, dessinent les franges d’une onde. Ni l’un ni l’autre de ces faits ne tient dans la physique des vingt-neuf premiers chapitres. Ce dernier chapitre introduit les idées qui les accueillent : la lumière s’échange par quanta, les photons ; la matière a une longueur d’onde ; ce qui se propage est une amplitude dont le carré est une probabilité ; position et quantité de mouvement ne peuvent être nettes ensemble ; et une particule confinée n’a que certaines énergies — d’où la taille des atomes, les raies des spectres, et l’éclat d’un grain de semi-conducteur de quelques nanomètres, dont le diamètre choisit la couleur.

30.1 Le photon

Théorème 30.1 (Relations de Planck–Einstein)

La lumière de fréquence $\nu$ et de longueur d’onde $\lambda$ n’échange d’énergie avec la matière que par quanta entiers, les photons, d’énergie et de quantité de mouvement

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,

avec la constante de Planck $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ( $\hbar = h/2\pi = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ). Utile : $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — un photon de $620\,\mathrm{nm}$ transporte $2\,\mathrm{eV}$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Proposition 30.2 (L’effet photoélectrique)

La lumière qui tombe sur un métal de travail d’extraction $W$ (l’énergie qui retient ses électrons les moins liés, quelques eV) en arrache des électrons d’énergie cinétique maximale

E_{k,\max} = h\nu - W ,

donc seulement au-dessus du seuil $\nu_0 = W/h$ , instantanément, avec une énergie indépendante de l’intensité ; l’intensité, elle, fixe le nombre d’électrons par seconde. Le potentiel d’arrêt $V_s$ qui annule tout juste le courant mesure $E_{k,\max} = eV_s$ , et le tracé de $V_s$ en fonction de $\nu$ est une droite de pente $h/e$ — c’est ainsi que Millikan a mesuré $h$ .

Démonstration. Chaque photon est absorbé par un électron, qui en retient au mieux $h\nu - W$ ; une onde livrerait l’énergie continûment à tous les électrons, l’énergie croîtrait avec l’intensité, et une lumière faible mettrait des heures à accumuler $W$ sur un seul atome (Problème 30.1) — rien de tout cela ne s’observe. L’interprétation d’Einstein (1905) est admise comme loi. ∎

À gauche : la cellule photoélectrique — la lumière arrache des électrons à la cathode ; une tension inverse V_s tout juste suffisante pour les arrêter mesure leur énergie maximale. À droite : le potentiel d’arrêt en fonction de la fréquence est une droite pour tout métal, de pente h/e ; l’ordonnée à l’origine donne le travail d’extraction, le seuil la fréquence minimale. — À gauche : la cellule photoélectrique — la lumière arrache des électrons à la cathode ; une tension inverse $V_s$ tout juste suffisante pour les arrêter mesure leur énergie maximale. À droite : le potentiel d’arrêt en fonction de la fréquence est une droite pour tout métal, de pente $h/e$ ; l’ordonnée à l’origine donne le travail d’extraction, le seuil la fréquence minimale.

Exemple 30.3 (Ordres de grandeur)

Un photon visible : $2\,\mathrm{eV}$ ; un photon X de $0.1\,\mathrm{nm}$ : $12\,\mathrm{keV}$ ; un photon radio à $100\,\mathrm{MHz}$ : $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . Un laser rouge de $1\,\mathrm{mW}$ émet $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ photons par seconde ; une antenne qui capte $1\,\mathrm{pW}$ à $100\,\mathrm{MHz}$ en reçoit $10^{13}$ par seconde — si nombreux, si petits, que la description ondulatoire est exacte à toute fin utile ; l’œil, lui, enregistre un éclair d’une centaine de photons. La nature quantique de la lumière se manifeste quand les photons sont rares ou énergétiques : cellules photoélectriques, détecteurs de rayons X, grain d’une photographie sous-exposée.

Remarque 30.4 (Diffusion Compton)

Un photon qui rebondit sur un électron libre lui cède de la quantité de mouvement comme une boule de billard : sa longueur d’onde augmente de $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$ , avec $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (admis — c’est un choc relativiste, volume de deuxième année). Invisible pour la lumière ( $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$ ), l’effet atteint $20\%$ pour les rayons X ; c’est l’expérience qui a convaincu les sceptiques (1923) que le photon porte la quantité de mouvement $h/\lambda$ .

30.2 Les ondes de matière

Théorème 30.5 (de Broglie)

Une particule de quantité de mouvement $p$ se propage comme une onde de longueur d’onde

\lambda = \frac{h}{p} ,

et donne diffraction et interférences en conséquence : des électrons sur un cristal (Davisson et Germer, 1927), à travers deux fentes (Jönsson, 1961), des neutrons, des atomes, des molécules de soixante atomes de carbone. Pour un électron accéléré sous $U$ , $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 30.6 (Pourquoi on ne l’a jamais vue)

Un électron de $100\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , la distance entre atomes d’un cristal — d’où la diffraction, et le microscope électronique. Un neutron thermique ( $0.025\,\mathrm{eV}$ ) : $0.18\,\mathrm{nm}$ . Une bille de $1\,\mathrm{g}$ à $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ , $10^{20}$ fois plus petite qu’un noyau : aucune fente, aucun cristal ne la diffractera jamais. La nature ondulatoire de la matière est universelle ; c’est sa longueur d’onde qui ne la rend visible que pour le léger et le lent.

Proposition 30.7 (Les particules construisent les franges une à une)

Des électrons envoyés un à un à travers deux fentes (Tonomura, 1989) font chacun un point unique sur l’écran, en un lieu imprévisible ; les points s’accumulent en la figure d’interférences à deux fentes d’une onde de longueur d’onde $h/p$ . Boucher une fente efface les franges — la figure n’est pas due à des électrons qui interféreraient entre eux, mais à l’onde de chaque électron, qui passe par les deux fentes. Détecter par quelle fente une particule est passée efface aussi les franges.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Des électrons un à un à travers deux fentes. Chacun arrive en un point, quelque part (à gauche, en haut) ; les points s’entassent là où l’onde issue des deux fentes est intense (à gauche, en bas), suivant la densité de probabilité | |2 de l’amplitude passée par les deux fentes (à droite). La figure est la même pour les photons, les neutrons et les molécules. — Des électrons un à un à travers deux fentes. Chacun arrive en un point, quelque part (à gauche, en haut) ; les points s’entassent là où l’onde issue des deux fentes est intense (à gauche, en bas), suivant la densité de probabilité $|\psi|^2$ de l’amplitude passée par les deux fentes (à droite). La figure est la même pour les photons, les neutrons et les molécules.

30.3 Amplitudes, probabilités et principe d’incertitude

Définition 30.8 (Fonction d’onde)

L’état d’une particule est décrit par une fonction d’onde $\psi(x, t)$ (complexe), telle que $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ soit la probabilité de trouver la particule entre $x$ et $x + \dd x$ lorsqu’on regarde : $|\psi|^2$ est une densité de probabilité, et $\int|\psi|^2\dd x = 1$ . Les amplitudes s’ajoutent (superposition) : si deux chemins mènent au même point, $\psi = \psi_1 + \psi_2$ et $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — le dernier terme est l’interférence. Une mesure donne l’un des résultats possibles, au hasard avec les probabilités que prescrivent les amplitudes, et laisse la particule dans l’état trouvé.

Remarque 30.9 (Ce qui ondule)

$\psi$ n’est pas un champ physique comme $\vect E$ : on ne le mesure pas, on ne mesure que son carré, et il décrit le meilleur savoir possible sur le lieu où la particule sera trouvée. Un électron unique n’est pas étalé sur l’écran ; il est détecté entier, en un point ; ce qui est étalé, c’est la probabilité. Tel est le contenu de la théorie, et il n’a jamais été pris en défaut.

Théorème 30.10 (Principe d’incertitude de Heisenberg)

La position et la quantité de mouvement d’une particule selon un même axe ne peuvent être toutes deux nettes : leurs écarts types, dans n’importe quel état, vérifient

\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .

Une particule confinée dans une région de taille $\ell$ a donc une dispersion en quantité de mouvement au moins égale à $\hbar/2\ell$ , donc une énergie cinétique de l’ordre de $\hbar^2/2m\ell^2$ qu’aucun refroidissement n’enlève : confiner coûte de l’énergie.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 30.11 (La taille de l’atome d’hydrogène)

Un électron situé à moins de $r$ du proton a $p \gtrsim \hbar/r$ et l’énergie $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$ : le premier terme explose si $r$ diminue, le second s’il augmente. $\dd E/\dd r = 0$ pour

a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :

le rayon de Bohr et l’énergie d’ionisation de l’hydrogène, jusqu’au dernier chiffre. La physique classique n’expliquait ni pourquoi l’électron ne tombe pas en spirale sur le noyau (il rayonne), ni pourquoi tous les atomes d’un élément sont identiques ; le principe d’incertitude répond aux deux en une ligne : l’atome est aussi petit qu’il peut l’être sans que l’énergie cinétique l’emporte sur la liaison.

30.4 La quantification de l’énergie

Proposition 30.12 (Particule dans une boîte)

Une particule de masse $m$ confinée entre deux parois impénétrables distantes de $L$ n’admet, comme la corde de Melde (Chapitre 5), que les ondes stationnaires $\lambda_n = 2L/n$ , donc les seules quantités de mouvement $p_n = nh/2L$ et les seules énergies

E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

de fonctions d’onde $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$ . L’énergie est quantifiée ; la plus basse, l’état fondamental $E_1 > 0$ , est l’énergie de confinement du principe d’incertitude rendue exacte ; la particule saute d’un niveau à l’autre en absorbant ou en émettant un photon d’énergie $h\nu = E_p - E_n$ .

Démonstration. $\psi$ doit s’annuler aux parois (la particule ne peut y être), de sorte que l’onde loge un nombre entier de demi-longueurs d’onde dans $L$ — la condition de la corde ; de Broglie donne $p$ , et $E = p^2/2m$ . Que $\psi$ obéisse à une équation d’onde avec ces conditions aux limites est admis (l’équation de Schrödinger, volume de deuxième année). ∎

À gauche : les trois états les plus bas d’une particule dans une boîte — les fonctions d’onde sont les ondes stationnaires d’une corde, les énergies croissent comme n2, et l’état fondamental n’est pas à zéro. À droite : les niveaux de l’atome d’hydrogène et ses deux premières séries de raies ; chaque raie est un photon d’énergie égale à l’écart qu’elle franchit. — À gauche : les trois états les plus bas d’une particule dans une boîte — les fonctions d’onde sont les ondes stationnaires d’une corde, les énergies croissent comme $n^2$ , et l’état fondamental n’est pas à zéro. À droite : les niveaux de l’atome d’hydrogène et ses deux premières séries de raies ; chaque raie est un photon d’énergie égale à l’écart qu’elle franchit.

Proposition 30.13 (L’atome d’hydrogène)

L’électron de l’atome d’hydrogène possède les énergies discrètes

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,

$n = 1$ étant l’état fondamental et $E \geq 0$ l’atome ionisé. Son spectre est fait de raies en $h\nu = E_p - E_n$ : la série de Lyman qui descend vers $n = 1$ (ultraviolet, $122\,\mathrm{nm}$ pour $2 \to 1$ ), la série de Balmer qui descend vers $n = 2$ (visible : $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ , …), et ainsi de suite. Le modèle de Bohr (1913) obtient ces énergies en quantifiant le moment cinétique d’une orbite circulaire, $m_evr = n\hbar$ (Exercice 30.9) ; la théorie complète remplace les orbites par des fonctions d’onde, mais garde les énergies.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 30.14 (La couleur par la taille : la boîte quantique)

Un nanocristal de semi-conducteur de quelques nanomètres confine ses électrons comme une boîte : plus le cristal est petit, plus l’énergie de confinement qui s’ajoute à la bande interdite du semi-conducteur est grande, et plus la lumière émise est bleue. Des boîtes de séléniure de cadmium de rayon $2\,\mathrm{nm}$ brillent en bleu, $3\,\mathrm{nm}$ en jaune, $4\,\mathrm{nm}$ en rouge — un seul matériau, des couleurs choisies à la règle (Problème 30.1). Les écrans de télévision en usent.

Remarque 30.15 (Ce qu’ajoute le reste de la théorie)

L’équation de Schrödinger rend exacts la boîte, l’atome et la molécule ; elle prédit qu’une particule peut franchir une barrière qu’elle n’a pas l’énergie d’escalader (l’effet tunnel, derrière la radioactivité et le microscope à effet tunnel) ; que les particules identiques sont soit sociables (les bosons — d’où le laser, où les photons s’entassent dans un même mode), soit exclusives (les fermions — d’où la classification périodique et la rigidité de la matière) ; et que le spin de l’électron est un moment magnétique sans équivalent classique. Tout cela relève du volume de deuxième année et au-delà ; tout cela repose sur les quelques idées de ce chapitre.

30.5 Exercices

Exercice 30.1 ★

Énergie d’un photon : radio à $100\,\mathrm{MHz}$ ; lumière à $500\,\mathrm{nm}$ ; rayons X à $0.10\,\mathrm{nm}$ ; rayons gamma de $1\,\mathrm{MeV}$ (en donner la longueur d’onde). Nombre de photons par seconde d’un laser de $1.0\,\mathrm{mW}$ à $633\,\mathrm{nm}$ .

Solution

Solution de Exercice 30.1.

$h\nu$ : $100\,\mathrm{MHz}$ : $6.6 \times 10^{-26}$ J $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ ; $500\,\mathrm{nm}$ : $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$ ; $0.10\,\mathrm{nm}$ : $12.4\,\mathrm{keV}$ ; $1\,\mathrm{MeV}$ : $\lambda = 1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$ . Laser : $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , donc $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ photons par seconde.

Exercice 30.2 ★

Sodium, $W = 2.3\,\mathrm{eV}$ : longueur d’onde seuil ; énergie cinétique maximale et potentiel d’arrêt pour une lumière de $400\,\mathrm{nm}$ ; qu’est-ce qui change si l’on double l’intensité ? et avec une lumière de $600\,\mathrm{nm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 30.2.

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$ . À $400\,\mathrm{nm}$ , $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$ : $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$ , $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$ . Doubler l’intensité double le courant et laisse $V_s$ inchangé. À $600\,\mathrm{nm}$ ( $2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$ ) : rien, quelle que soit l’intensité.

Exercice 30.3 ★

Longueur d’onde de de Broglie d’un électron de $100\,\mathrm{eV}$ , de $1.0\,\mathrm{keV}$ ; d’un neutron de $0.025\,\mathrm{eV}$ ; d’une bille de $1\,\mathrm{g}$ à $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Lesquelles un cristal (pas de $0.2\,\mathrm{nm}$ ) peut-il diffracter ?

Solution

Solution de Exercice 30.3.

Électron : $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$ ; à $1\,\mathrm{keV}$ : $0.039\,\mathrm{nm}$ . Neutron : $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$ . Bille : $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ . Les trois premières ont un $\lambda$ de l’ordre de la distance interatomique et sont diffractées (cristallographie électronique, neutronique, par rayons X) ; la bille, jamais.

Exercice 30.4 ★

Un électron dans une boîte de $1.0\,\mathrm{nm}$ : $E_1$ , $E_2$ , longueur d’onde du photon émis lors de $2 \to 1$ . Un proton dans une boîte de $5\,\mathrm{fm}$ (un noyau) : $E_1$ en $\mathrm{MeV}$ .

Solution

Solution de Exercice 30.4.

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) = 6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$ ; photon de $1.13\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (proche infrarouge). Proton dans $5\,\mathrm{fm}$ : $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) = 1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — l’échelle des énergies nucléaires, par le seul confinement.

Exercice 30.5 ★★

Potentiels d’arrêt mesurés pour un métal : $0.40\,\mathrm{V}$ à $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.23\,\mathrm{V}$ à $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $2.05\,\mathrm{V}$ à $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ . En déduire $h$ ( $e$ étant connu) et le travail d’extraction ; la longueur d’onde seuil ; de quel métal peut-il s’agir (césium $2.1\,\mathrm{eV}$ , potassium $2.3\,\mathrm{eV}$ , zinc $4.3\,\mathrm{eV}$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 30.5.

Pente $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = e \times 4.1 \times 10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$ , seuil $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$ : le césium.

Exercice 30.6 ★★

Compton : un photon X de $10\,\mathrm{pm}$ est diffusé à $90{}^{\circ}$ par un électron. Nouvelle longueur d’onde ; énergies du photon avant et après ; énergie cédée à l’électron. Décalage relatif pour une lumière de $500\,\mathrm{nm}$ — pourquoi il fallait des rayons X à Compton.

Solution

Solution de Exercice 30.6.

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$ : $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$ . Avant : $1240/0.010 = 124\,\mathrm{keV}$ ; après : $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$ ; l’électron emporte $24\,\mathrm{keV}$ . Pour la lumière, $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6}$ : immesurable en 1923 — les rayons X portent le décalage à $25\%$ .

Exercice 30.7 ★★

L’expérience de Jönsson. Des électrons de $50\,\mathrm{keV}$ (prendre $p = \sqrt{2m_eE}$ ), deux fentes distantes de $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ , écran à $35\,\mathrm{cm}$ . Longueur d’onde ; interfrange ; pourquoi il a fallu une lentille électronique grossissante. Dans la version de Tonomura, un seul électron à la fois traverse le dispositif : que montre l’écran après 10, puis après $10^5$ électrons, et qu’est-ce que cela enseigne ?

Solution

Solution de Exercice 30.7.

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} = 1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (la relativité la corrige en $5.4\,\mathrm{pm}$ ) ; interfrange $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : invisible à l’œil, d’où la lentille grossissante. Dix électrons : dix points, apparemment au hasard ; $10^5$ : les franges. Chaque électron arrive en un point ; c’est la probabilité d’y arriver qui suit l’onde des deux fentes — l’onde d’un seul électron passe par les deux.

Exercice 30.8 ★★

Énergie cinétique minimale, d’après le principe d’incertitude : d’un électron confiné dans $0.1\,\mathrm{nm}$ (un atome) ; d’un électron confiné dans $5\,\mathrm{fm}$ (un noyau — prendre $E \approx pc$ si le résultat est relativiste, et conclure si un noyau peut contenir des électrons) ; d’un grain de poussière de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ localisé à $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (donner $\Delta v$ ).

Solution

Solution de Exercice 30.8.

Atome : $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$ : le bon ordre. Noyau : $\Delta p \geq 1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta p^2/2m_e$ vaudrait $400\,\mathrm{MeV}$ , bien au-delà de $m_ec^2$ , donc $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$ : aucune force nucléaire ne retiendrait un électron aussi énergétique — les noyaux ne contiennent pas d’électrons (ceux du rayonnement bêta sont créés à l’émission). Grain : $\Delta v \geq \hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : sans conséquence.

Exercice 30.9 ★★

Le modèle de Bohr. Un électron sur une orbite circulaire de rayon $r$ autour d’un proton : (a) vitesse et énergie en fonction de $r$ (dynamique coulombienne, Chapitre 16) ; (b) imposer $m_evr = n\hbar$ et en déduire $r_n = n^2a_0$ , $E_n = E_1/n^2$ avec $a_0$ et $E_1$ comme dans Exemple 30.11 ; (c) $v_1$ et $v_1/c$ ; (d) longueurs d’onde de Lyman $\alpha$ ( $2 \to 1$ ) et de H $\alpha$ ( $3 \to 2$ ) ; (e) montrer que l’orbite $n$ contient exactement $n$ longueurs d’onde de de Broglie.

Solution

Solution de Exercice 30.9.

(a) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ , $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ . (b) $m_evr = n\hbar$ et $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : diviser le carré de la première par la seconde : $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$ , $r_n = n^2a_0$ , et $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0 = E_1/n^2$ avec $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (c) $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_1/c = 1/137$ . (d) $2 \to 1$ : $\tfrac34 \times 13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ ; $3 \to 2$ : $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 = 1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ . (e) $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (puisque $m_ev_1a_0 = \hbar$ ), et $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ .

Exercice 30.10 ★★★

Les hydrogénoïdes. (a) Pour un noyau de charge $Ze$ , montrer que $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ et $r_n = n^2a_0/Z$ : énergie d’ionisation de He $^+$ et du dernier électron de l’uranium ( $Z = 92$ ; commenter). (b) Hydrogène muonique : le muon a $207$ fois la masse de l’électron : rayon et énergie fondamentale ; longueur d’onde de sa raie Lyman $\alpha$ ; pourquoi on s’en sert pour mesurer la taille du proton (rayon $0.84\,\mathrm{fm}$ ). (c) Positronium (un électron et un positron, de masses égales) : montrer que la masse réduite divise les énergies par deux : sa raie Lyman $\alpha$ .

Solution

Solution de Exercice 30.10.

(a) Remplacer $e^2$ par $Ze^2$ : $a_0 \to a_0/Z$ , $E_1 \to Z^2E_1$ . He $^+$ : $54.4\,\mathrm{eV}$ . U $^{91+}$ : $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — mais $v_1 = Z\alpha c = 0.67c$ : le modèle non relativiste n’y est qu’indicatif. (b) $a_0/207 = 256\,\mathrm{fm}$ , $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$ ; Lyman $\alpha$ : $2.1\,\mathrm{keV}$ , $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (rayons X). L’orbite du muon ne fait que $300$ rayons du proton : ses niveaux se déplacent sensiblement avec la taille du proton, et c’est ainsi qu’on l’a remesurée (2010). (c) Les deux particules tournent autour de leur centre commun : la masse réduite $m_e/2$ divise par deux toutes les énergies : $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$ , Lyman $\alpha$ à $5.1\,\mathrm{eV}$ , $243\,\mathrm{nm}$ .

Exercice 30.11 ★★★

Les boîtes quantiques. Dans un nanocristal sphérique de rayon $R$ , l’énergie de confinement d’une particule de masse effective $m^\ast$ vaut $h^2/8m^\ast R^2$ (admis). CdSe : bande interdite $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ , $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ , $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (le « trou » laissé par l’électron excité confine lui aussi). (a) Énergie du photon émis $E_g + E_e + E_h$ et longueur d’onde pour $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ , $4.0\,\mathrm{nm}$ ; couleurs. (b) Rayon pour une émission à $520\,\mathrm{nm}$ (vert). (c) Pourquoi le CdSe massif n’émet-il qu’à $713\,\mathrm{nm}$ ? (d) Une dispersion de $10\,\%$ sur le rayon dans un lot : dispersion en longueur d’onde à $3\,\mathrm{nm}$ .

Solution

Solution de Exercice 30.11.

(a) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$ . $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/ (0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ , $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$ , au total $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ : bleu. $3\,\mathrm{nm}$ : confinement $\times4/9$ , $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ : jaune. $4\,\mathrm{nm}$ : $\times1/4$ , $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ : rouge. (b) $520\,\mathrm{nm}$ font $2.38\,\mathrm{eV}$ : confinement $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$ , $R = 2.4\,\mathrm{nm}$ . (c) Sans confinement : $E_g$ seul, $713\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$ , soit $4\%$ de $2.15\,\mathrm{eV}$ : environ $20\,\mathrm{nm}$ de dispersion — des couleurs pures exigent des lots monodisperses.

Exercice 30.12 ★★★

L’énergie de point zéro. (a) Pour un oscillateur harmonique $E = p^2/2m + \tfrac12m\omega^2x^2$ , prendre $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ et minimiser $E \approx \Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ par rapport à $\Delta x$ : montrer que $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (c’est l’énergie fondamentale exacte). (b) La molécule H $_2$ vibre à $\omega = 8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : énergie de point zéro en eV, et température la plus basse à laquelle sa vibration est « thermique » ( $k_BT \sim \hbar\omega$ ). (c) L’hélium liquide ne gèle jamais sous la pression atmosphérique : estimer l’énergie de point zéro d’un atome d’hélium localisé à $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (une fraction de la distance interatomique) dans un cristal, et la comparer à son énergie de liaison dans le solide, environ $1\,\mathrm{meV}$ . (d) Comparer la formule de la boîte $E_1 = h^2/8mL^2$ à la borne d’incertitude pour $\Delta x = L/2$ : laquelle est la plus grande, et pourquoi doit-elle l’être ?

Solution

Solution de Exercice 30.12.

(a) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ ; dérivée nulle en $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$ , où les deux termes valent $\hbar\omega/4$ : $E_{\min} = \hbar\omega/2$ . (b) $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ ; $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — à température ambiante la vibration est gelée dans son état fondamental. (c) $\Delta p = \hbar/2\Delta x = 1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times 10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$ : la moitié de l’énergie de liaison — les atomes ne tiennent pas assez tranquilles pour cristalliser ; l’hélium reste liquide jusqu’au zéro absolu tant qu’on ne le comprime pas ( $25\,\mathrm{bar}$ ). (d) $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ contre $\hbar^2/2mL^2$ : dix fois plus grand, et il le faut — la borne est une minoration, et l’état de la boîte a $\Delta x \approx 0.18L$ , non $L/2$ .

Le spectre d’émission visible de l’hydrogène : les raies de Balmer à 656\, nm, 486\, nm, 434\, nm et 410\, nm, chacune une chute vers n = 2. — Le spectre d’émission visible de l’hydrogène : les raies de Balmer à $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ et $410\,\mathrm{nm}$ , chacune une chute vers $n = 2$ .

Des boîtes quantiques d’un même matériau en flacons : plus le nanocristal est petit, plus l’énergie de confinement est grande et plus la lumière est bleue — la couleur choisie par la taille.

30.6 Problème : le spectre de l’hydrogène et une boîte quantique

Problème 30.1

Problème du week-end — mesurer $h$ avec de la lumière et un voltmètre, construire l’atome d’hydrogène à partir de trois constantes, et choisir la couleur d’un cristal par sa taille

Constantes : $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ , $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

Partie I — Mesurer la constante de Planck. Une photocathode au potassium est éclairée en lumière monochromatique ; on mesure le potentiel d’arrêt : $0.30\,\mathrm{V}$ à $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $0.69\,\mathrm{V}$ à $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.13\,\mathrm{V}$ à $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.50\,\mathrm{V}$ à $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $2.36\,\mathrm{V}$ à $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ .

Décrire la cellule et expliquer pourquoi une tension inverse peut annuler le courant, et ce que mesure $eV_s$ .
Écrire la relation d’Einstein et dire ce que donnent la pente et l’ordonnée à l’origine de $V_s(\nu)$ .
À partir des mesures (régression linéaire, ou les deux points extrêmes), en déduire $h$ ; comparer à la valeur admise.
Travail d’extraction du potassium en eV ; fréquence et longueur d’onde seuils ; un pointeur laser rouge arracherait-il des électrons ?
On double l’intensité de la lampe : qu’advient-il de $V_s$ , du courant ? Pourquoi est-ce incompatible avec une image purement ondulatoire ?
Estimation classique : une lumière de $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ tombe sur le métal ; un atome offre une aire d’environ $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : combien de temps faudrait-il pour accumuler $2.2\,\mathrm{eV}$ sur un atome ? Qu’observe-t-on à la place ?

Partie II — L’atome d’hydrogène de Bohr.

Un électron sur une orbite circulaire de rayon $r$ autour d’un proton fixe : vitesse $v(r)$ et énergie mécanique $E(r)$ .
Condition de Bohr $m_evr = n\hbar$ : montrer que $r_n = n^2a_0$ et donner $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ numériquement.
$E_n = E_1/n^2$ avec $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ; valeur numérique en eV.
Vitesse sur la première orbite et rapport $v_1/c$ (la constante de structure fine $\alpha \approx 1/137$ ).
Longueurs d’onde des raies $2 \to 1$ (Lyman $\alpha$ ), $3 \to 2$ et $4 \to 2$ (Balmer H $\alpha$ , H $\beta$ ) : lesquelles sont visibles ?
Montrer que $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ et calculer la constante de Rydberg $R_H$ ; la plus courte longueur d’onde de Balmer.
Énergie d’ionisation de l’hydrogène depuis l’état fondamental ; longueur d’onde du photon qui l’ionise tout juste.
De Broglie : montrer que la circonférence de l’orbite $n$ vaut $n$ longueurs d’onde — la condition de Bohr est une condition d’onde stationnaire.
Deux choses que le modèle rate, une qu’il donne exactement juste, et ce qui remplace l’orbite dans la théorie complète.

Partie III — La boîte quantique. Un nanocristal de CdSe de rayon $R$ confine un électron excité (masse effective $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ ) et le trou qu’il laisse ( $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ ) ; l’énergie de confinement de chacun dans une sphère de rayon $R$ vaut $h^2/8m^\ast R^2$ (admis) ; la bande interdite du CdSe massif est $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ .

Établir les énergies $E_n = n^2h^2/8mL^2$ d’une particule dans une boîte à une dimension à partir de la condition d’onde stationnaire, et commenter l’analogie avec la formule de la sphère.
Énergies de confinement de l’électron et du trou pour $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
Énergie et longueur d’onde du photon émis pour $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ et $4.0\,\mathrm{nm}$ ; couleurs.
Expliquer en une phrase pourquoi les petites boîtes sont plus bleues.
Vérifier l’ordre de grandeur avec le principe d’incertitude : $\Delta p \sim \hbar/R$ pour l’électron à $R = 2\,\mathrm{nm}$ , et l’énergie cinétique qui en découle.
Une boîte émet $1.0\,\mathrm{nW}$ à $577\,\mathrm{nm}$ : photons par seconde.

Partie IV — Compter les quanta.

Photons par seconde d’un laser de $1.0\,\mathrm{mW}$ à $633\,\mathrm{nm}$ .
L’œil adapté à l’obscurité détecte un éclair d’environ $100$ photons à $500\,\mathrm{nm}$ arrivant en $0.1\,\mathrm{s}$ : la puissance correspondante.
Une antenne FM reçoit $1.0\,\mathrm{pW}$ à $100\,\mathrm{MHz}$ : photons par seconde ; peut-on espérer les détecter un à un ?
Bilan : à partir de $h$ , $e$ , $m_e$ seuls, quelles trois grandeurs du monde atomique ce problème a-t-il produites, et avec quels ordres de grandeur ?

Solution

Solution de Problème 30.1.

1. La lumière arrache à la cathode des électrons d’énergies diverses ; portée à $-V_s$ , l’anode les repousse et seuls arrivent ceux dont $E_k > eV_s$ . Le courant s’annule lorsque $eV_s = E_{k,\max}$ .

2. $eV_s = h\nu - W$ : pente $h/e$ , ordonnée à l’origine $-W/e$ ; $V_s = 0$ au seuil $\nu_0 = W/h$ .

3. Points extrêmes : $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (une régression sur les cinq points donne $6.62$ ) : à $0.5\%$ de $6.626 \times 10^{-34}$ .

4. $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W/h = 5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$ . Un pointeur rouge ( $650\,\mathrm{nm}$ , $1.9\,\mathrm{eV}$ ) n’arrache rien.

5. $V_s$ inchangé, courant doublé : deux fois plus de photons, chacun de même énergie. Une onde donnerait à chaque électron plus d’énergie à mesure que l’intensité croît, et un seuil en intensité plutôt qu’en fréquence.

6. $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ sur l’atome ; $2.2\,\mathrm{eV}$ $= 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ demandent $3.5 \times 10^7$ s — un an. Or l’émission s’observe en quelques nanosecondes : l’énergie arrive par quanta entiers.

7. $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ ; $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ .

8. $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ et $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : $r_n = n^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$ , $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$ .

9. $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$ ; $E_1 = -2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$ .

10. $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} = 1/137$ .

11. $2 \to 1$ : $10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ (ultraviolet) ; $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (rouge) ; $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (bleu-vert) : les raies de Balmer sont les raies visibles.

12. $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$ : $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 = 1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ . Limite de Balmer ( $p \to \infty$ ) : $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$ .

13. $13.6\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$ .

14. $v_n = v_1/n$ , $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (puisque $m_ev_1a_0 = \hbar$ ) ; $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ : l’orbite porte $n$ ondes entières — la règle de Bohr est une règle d’onde stationnaire.

15. Faux : l’électron n’a pas d’orbite (il rayonnerait ; l’état fondamental a un moment cinétique nul), et le modèle échoue dès qu’un atome a deux électrons. Juste : les niveaux de l’hydrogène, donc chaque raie de son spectre. L’orbite est remplacée par une fonction d’onde, un nuage de probabilité de taille $\sim n^2a_0$ .

16. Ondes stationnaires : $L = n\lambda/2$ , $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$ , $E_n = p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$ . La formule de la sphère est la même avec $L \to R$ : l’état fondamental loge une demi-longueur d’onde dans le rayon.

17. $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ ; $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$ .

18. $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ , bleu ; $3\,\mathrm{nm}$ : $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ , jaune ; $4\,\mathrm{nm}$ : $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ , rouge.

19. L’énergie de confinement croît comme $1/R^2$ : une boîte plus petite relève les niveaux, le photon est plus énergétique, la lumière plus bleue.

20. $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast = 1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$ : le bon ordre (le coefficient exact $\pi^2/2$ et l’estimation grossière de $\Delta p$ expliquent le facteur dix).

21. $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^9$ photons par seconde.

22. $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ par seconde.

23. $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ en $0.1\,\mathrm{s}$ : $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$ .

24. $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$ : $1.5 \times 10^{13}$ photons par seconde — et chacun est $10^5$ fois plus petit que l’énergie thermique $k_BT$ de l’antenne : aucun espoir, et aucun besoin ; la description ondulatoire y est exacte.

25. La taille des atomes, $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$ ; leur échelle d’énergie, $13.6\,\mathrm{eV}$ (d’où des photons de quelques eV, la chimie, le spectre visible) ; et la vitesse de leurs électrons, $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — les trois à partir de $h$ , $e$ et $m_e$ (et $\varepsilon_0$ ), sans rien ajuster.

Termes définis dans ce chapitre

Fonction d’onde

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