Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

8Régime sinusoïdal forcé et impédance

Tournez le bouton d’un vieux poste de radio et, sur les cent stations qui atteignent l’antenne à la fois, une seule passe : une bobine et un condensateur variable ont été accordés pour qu’une fréquence, et une seule, les fasse résonner. Le secteur qui ronronne dans les murs est une sinusoïde à $50\,\mathrm{Hz}$ ; l’usine qui y fait tourner de gros moteurs paie une pénalité si son courant retarde trop sur sa tension. Les sinusoïdes sont la langue naturelle des circuits linéaires — elles en ressortent telles qu’elles y sont entrées, à un facteur et un décalage près — et ce chapitre leur donne leur algèbre : amplitudes complexes, impédances, résonance du circuit RLC, et puissance que les courants sinusoïdaux délivrent réellement.

Un oscilloscope montrant une sinusoïde et un signal carré : la sinusoïde est le signal dont vit ce chapitre, le carré celui que le chapitre suivant décompose en sinusoïdes.

8.1 Le régime sinusoïdal forcé

Proposition 8.1 (Régime sinusoïdal forcé)

Dans un circuit linéaire alimenté par une source sinusoïdale de pulsation $\omega$ , tout courant et toute tension est, une fois les transitoires éteints, une sinusoïde de même pulsation $\omega$ , chacune avec son amplitude et sa phase propres : $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ .

Démonstration. Les équations du circuit sont des équations différentielles linéaires à coefficients constants ; leur solution générale est une solution particulière plus les solutions de l’équation homogène, qui sont les transitoires du Chapitre 7 et s’amortissent (tout circuit réel possède une résistance). Une solution particulière sinusoïdale existe parce que dériver une sinusoïde de pulsation $\omega$ donne une sinusoïde de même pulsation : les équations peuvent être satisfaites terme à terme — la méthode complexe ci-dessous la construit explicitement. ∎

Définition 8.2 (Amplitude complexe)

À la sinusoïde $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ on associe le signal complexe $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$ , de sorte que $x = \Rea(\underline{x})$ , et l’amplitude complexe

\underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t},

qui porte l’amplitude $X = \abs{\underline{X}}$ et la phase $\varphi = \arg\underline{X}$ . Ici $j$ désigne l’unité imaginaire, $j^2 = -1$ , la lettre $i$ étant réservée aux courants. Représentée par un vecteur de longueur $X$ faisant l’angle $\varphi$ , $\underline{X}$ est un vecteur de Fresnel.

Proposition 8.3 (Règles de la méthode complexe)

Les opérations linéaires commutent avec la prise de la partie réelle : l’amplitude complexe d’une somme est la somme des amplitudes complexes.
Dériver par rapport au temps multiplie l’amplitude complexe par $j\omega$ ; intégrer la divise par $j\omega$ .
Les lois de Kirchhoff, étant linéaires, valent pour les amplitudes complexes.

Démonstration. $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$ ; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$ , et $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$ puisque la dérivation est linéaire sur les réels. Les sommes de courants en un nœud et de tensions le long d’une maille sont linéaires. ∎

Exemple 8.4 (Additionner deux sinusoïdes)

$3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : les amplitudes complexes valent $3$ et $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (puisque $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$ ) ; leur somme $3 - 4j$ a pour module $5$ et pour argument $-0.927\ \mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ . Aucune identité trigonométrique n’a servi.

8.2 Impédance

Définition 8.5 (Impédance, admittance)

Pour un dipôle linéaire en régime sinusoïdal forcé (convention récepteur), l’impédance est le rapport des amplitudes complexes

\underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{en ohms}),

dont le module $Z = U/I$ relie les amplitudes et dont l’argument $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ est l’avance de phase de la tension sur le courant. Son inverse $\underline Y = 1/\underline Z$ est l’admittance (en siemens). La partie réelle de $\underline Z$ est sa résistance, la partie imaginaire sa réactance.

Proposition 8.6 (Impédances de R, L, C)

\underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} .

Un conducteur ohmique garde tension et courant en phase ; dans une bobine la tension est en avance de $\pi/2$ sur le courant ; dans un condensateur elle est en retard de $\pi/2$ . À basse fréquence une bobine tend vers un fil et un condensateur vers un circuit ouvert ; à haute fréquence, l’inverse.

Démonstration. $u = Ri$ ; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$ ; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$ . Les arguments de $1$ , $j$ et $-j$ sont $0$ , $\pi/2$ , $-\pi/2$ . ∎

Proposition 8.7 (Associations ; diviseurs ; théorèmes)

Les impédances en série s’ajoutent ; les admittances en dérivation s’ajoutent ; les diviseurs de tension et de courant, les théorèmes de Thévenin et de Norton, la superposition et le théorème de Millman du Chapitre 6 valent tous avec amplitudes complexes et impédances à la place des tensions, courants et résistances réels.

Démonstration. Toutes les démonstrations du Chapitre 6 n’utilisaient que les lois de Kirchhoff et la linéarité de $u = Ri$ , valables l’une et l’autre sous forme complexe. ∎

Exemple 8.8 (Le diviseur RC)

Une résistance $R$ et un condensateur $C$ en série sous $\underline E$ , la sortie étant prise aux bornes de $C$ : $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$ . Amplitude $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$ , phase $-\arctan(RC\omega)$ : transmission totale à basse fréquence, $1/\sqrt2$ et $-45^\circ$ en $\omega = 1/RC$ , une décroissance en $1/\omega$ au-delà — un filtre passe-bas, objet du Chapitre 9.

8.3 Le circuit RLC série : la résonance

Théorème 8.9 (Résonance en intensité)

Une résistance $R$ , une bobine $L$ et un condensateur $C$ en série sous $e(t) = E\cos\omega t$ sont parcourus par le courant d’amplitude complexe

\underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} .

L’amplitude est maximale, $I_{\max} = E/R$ , courant et tension en phase, à la résonance $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ . Avec $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ et $x = \omega/\omega_0$ ,

\frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} ,

et la bande passante — l’intervalle de $\omega$ sur lequel $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — vaut

\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} .

Démonstration. Les impédances en série s’ajoutent : $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$ , et $\underline I = \underline E/\underline Z$ . Le module est le plus grand lorsque la réactance $L\omega - 1/C\omega$ s’annule, c’est-à-dire en $\omega_0$ . En factorisant $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ et en divisant par $R$ : $L\omega_0/R = Q$ . Aux bords de la bande, $Q(x - 1/x) = \pm 1$ , c’est-à-dire $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , dont les racines positives sont $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$ ; leur différence vaut $1/Q$ . ∎

RLC série : amplitude du courant (à gauche) et sa phase par rapport à la source (à droite) en fonction de / _0, pour Q = 1, 3, 10. Le pic s’affine quand Q croît (= _0/Q) ; sous la résonance le circuit est capacitif (le courant est en avance), au-dessus il est inductif (le courant retarde). — RLC série : amplitude du courant (à gauche) et sa phase par rapport à la source (à droite) en fonction de $\omega/\omega_0$ , pour $Q = 1, 3, 10$ . Le pic s’affine quand $Q$ croît ( $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ) ; sous la résonance le circuit est capacitif (le courant est en avance), au-dessus il est inductif (le courant retarde).

Diagramme de Fresnel du RLC série au-dessus de la résonance : U_R le long de I, U_L un quart de tour en avance, U_C un quart de tour en retard ; leur somme E est en avance de sur le courant. À la résonance, U_L et U_C se compensent et E = U_R. — Diagramme de Fresnel du RLC série au-dessus de la résonance : $\underline U_R$ le long de $\underline I$ , $\underline U_L$ un quart de tour en avance, $\underline U_C$ un quart de tour en retard ; leur somme $\underline E$ est en avance de $\varphi$ sur le courant. À la résonance, $\underline U_L$ et $\underline U_C$ se compensent et $\underline E = \underline U_R$ .

Proposition 8.10 (Surtension)

À la résonance, les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur ont la même amplitude $QE$ et des phases opposées : pour $Q \gg 1$ , le condensateur porte une tension $Q$ fois plus grande que celle de la source. L’amplitude $U_C(\omega)$ elle-même passe par un maximum, pour $Q > 1/\sqrt2$ , en $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , légèrement sous $\omega_0$ , avec $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ .

Démonstration. En $\omega_0$ , $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ et $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ puisque $I = E/R$ . En général $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (multiplier numérateur et dénominateur par $1/C\omega_0$ ) ; le carré du dénominateur vaut $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$ , trinôme en $x^2$ minimal en $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ lorsque cette quantité est positive, de minimum $1/Q^2 - 1/4Q^4$ . ∎

Exemple 8.11 (Accorder une radio)

Une bobine $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ et un condensateur variable : $C = 127\,\mathrm{pF}$ accorde $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$ . Avec la résistance du fil de la bobine $R = 12.6\,\Omega$ , $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ et $Q = 100$ : bande passante $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — la largeur d’un canal AM — et les $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ induits par un émetteur lointain deviennent $QE = 1\,\mathrm{mV}$ aux bornes du condensateur, gratuitement. Le problème du week-end construit ce récepteur.

Remarque 8.12 (Encore $Q$ )

Le $Q$ de ce chapitre est le $Q$ du Chapitre 7 : le circuit qui sonne pendant environ $Q$ oscillations lorsqu’on le percute est celui qui résonne sur une bande large de $\omega_0/Q$ lorsqu’on l’excite. Tous deux expriment un même rapport : $2\pi$ fois l’énergie stockée sur l’énergie dissipée par période (Exercice 8.12). Une résonance aiguë et une sonnerie longue sont une seule et même propriété, tout comme la lenteur de la réponse : un filtre de bande passante $\Delta\omega$ met un temps de l’ordre de $1/\Delta\omega$ à s’établir.

8.4 Puissance en régime sinusoïdal

Définition 8.13 (Valeur efficace)

La valeur efficace (ou valeur quadratique moyenne) d’un signal périodique $x(t)$ est $X_{\mathrm{eff}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$ , la racine carrée de la moyenne temporelle de $x^2$ sur une période. Pour une sinusoïde d’amplitude $X$ , $X_{\mathrm{eff}} = X/\sqrt2$ . Les $230\,\mathrm{V}$ du secteur sont une valeur efficace ; l’amplitude vaut $325\,\mathrm{V}$ .

Théorème 8.14 (Puissance moyenne)

Un dipôle sous $u = U\cos\omega t$ parcouru par $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ (convention récepteur) reçoit la puissance instantanée $p = ui$ , de valeur moyenne

P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2,

où $\cos\varphi$ est le facteur de puissance. Une résistance reçoit $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{eff}}^2$ ; une bobine ou un condensateur idéal ( $\varphi = \pm\pi/2$ ) ne reçoit aucune puissance moyenne — il stocke de l’énergie pendant une demi-période et la rend pendant l’autre.

Démonstration. $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$ ; le second terme est de moyenne nulle. Avec $\underline U = U$ et $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ , $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$ , dont la partie réelle vaut $UI\cos\varphi$ ; et $\underline U = \underline Z\,\underline I$ donne $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$ . ∎

Puissance instantanée reçue par un dipôle avec un déphasage de 60 entre courant et tension : elle pulse à 2, passe sous zéro (énergie rendue à la source), et vaut en moyenne 1/2 UI — ici la moitié de ce qu’elle serait en phase. — Puissance instantanée reçue par un dipôle avec un déphasage de $60^\circ$ entre courant et tension : elle pulse à $2\omega$ , passe sous zéro (énergie rendue à la source), et vaut en moyenne $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — ici la moitié de ce qu’elle serait en phase.

Exemple 8.15 (Relèvement du facteur de puissance)

Le moteur d’un atelier, sous $230\,\mathrm{V}$ efficaces, consomme $2.0\,\mathrm{kW}$ avec $\cos\varphi = 0.70$ (inductif) : $I_{\mathrm{eff}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ , contre $8.7\,\mathrm{A}$ si le facteur de puissance valait $1$ — le courant en trop chauffe pour rien les câbles du distributeur, d’où la pénalité. Un condensateur en dérivation fournit localement les échanges d’énergie par quart de période de la bobine : la puissance réactive $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ demande $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{eff}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ , et le courant de ligne retombe à $8.7\,\mathrm{A}$ .

8.5 Exercices

Exercice 8.1 ★

Donner l’amplitude complexe de $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V), sous forme polaire et cartésienne. À l’aide des amplitudes complexes, écrire $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ comme un unique cosinus.

Solution

Solution de Exercice 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V). Pour $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$ , de module $5$ et d’argument $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ .

Exercice 8.2 ★

Calculer l’impédance de $R = 100\,\Omega$ , $L = 0.10\,\mathrm{H}$ et $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ puis à $1.0\,\mathrm{kHz}$ . Donner le module et la phase de l’impédance de $R$ et $L$ en série à $50\,\mathrm{Hz}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.2.

$R$ : $100\,\Omega$ dans les deux cas. $L\omega$ : $31.4\,\Omega$ ( $50\,\mathrm{Hz}$ ), $628\,\Omega$ ( $1\,\mathrm{kHz}$ ). $1/C\omega$ : $318\,\Omega$ , $15.9\,\Omega$ . $RL$ en série à $50\,\mathrm{Hz}$ : $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$ , phase $\arctan(0.314) = 17^\circ$ .

Exercice 8.3 ★

Le secteur vaut $230\,\mathrm{V}$ efficaces : quelle est son amplitude ? Un radiateur de $2.0\,\mathrm{kW}$ : courant efficace et courant de crête. Montrer que la puissance moyenne dans une résistance vaut $RI_{\mathrm{eff}}^2$ .

Solution

Solution de Exercice 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$ . $I_{\mathrm{eff}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ , crête $12.3\,\mathrm{A}$ . $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{eff}}^2$ par définition de la valeur efficace.

Exercice 8.4 ★

RLC série : $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ , $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Donner $f_0$ , $Q$ , la bande passante en hertz et l’amplitude du courant à la résonance.

Solution

Solution de Exercice 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$ ; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$ .

Exercice 8.5 ★★

Diviseur RC, sortie aux bornes de $C$ : $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ . À quelle fréquence la sortie vaut-elle $1/\sqrt2$ de l’entrée ? Donner le rapport des amplitudes et la phase à $1.0\,\mathrm{kHz}$ puis à $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.5.

$1/\sqrt2$ en $\omega = 1/RC$ : $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . À $1.0\,\mathrm{kHz}$ : rapport $0.71$ , phase $-45^\circ$ . À $10\,\mathrm{kHz}$ : $RC\omega = 10$ , rapport $1/\sqrt{101} = 0.10$ , phase $-84^\circ$ .

Exercice 8.6 ★★

À une certaine fréquence, un RLC série a $R = 100\,\Omega$ , $L\omega = 250\,\Omega$ , $1/C\omega = 100\,\Omega$ , et $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Calculer $\underline Z$ , l’amplitude et la phase du courant, et les trois amplitudes de tension ; tracer le diagramme de Fresnel. Le circuit est-il au-dessus ou au-dessous de la résonance ?

Solution

Solution de Exercice 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$ : $Z = 180\,\Omega$ , $\arg = 56^\circ$ . $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$ , en retard de $56^\circ$ sur la source. $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ , $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ , $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$ ; diagramme : $U_R$ le long de $I$ , $U_L$ vers le haut, $U_C$ vers le bas, résultante $1.0\,\mathrm{V}$ . $L\omega > 1/C\omega$ : au-dessus de la résonance (inductif).

Exercice 8.7 ★★

Radio : $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , $C$ réglable de $50\,$ à $500\,\mathrm{pF}$ . Trouver la gamme de fréquences, la capacité qui accorde $1.00\,\mathrm{MHz}$ , et, avec $Q = 100$ , la bande passante ainsi que l’atténuation (rapport des amplitudes) d’une station distante de $9\,\mathrm{kHz}$ . Pour une fém d’antenne de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : tension aux bornes de $C$ à la résonance ?

Solution

Solution de Exercice 8.7.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ : de $1.59\,\mathrm{MHz}$ ( $50\,\mathrm{pF}$ ) à $0.50\,\mathrm{MHz}$ ( $500\,\mathrm{pF}$ ). À $1.00\,\mathrm{MHz}$ : $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ . $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ . Station à $1.009\,\mathrm{MHz}$ : $x = 1.009$ , $Q(x - 1/x) = 1.8$ , rapport $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$ . Tension du condensateur $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ .

Exercice 8.8 ★★

Établir les deux fréquences de demi-puissance du RLC série et montrer que leur différence vaut $\omega_0/Q$ et leur produit $\omega_0^2$ .

Solution

Solution de Exercice 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ ; racines positives $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ . Différence $1/Q$ , donc $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ; produit $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$ , donc $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (la bande est symétrique en échelle logarithmique).

Exercice 8.9 ★★

Un moteur sous $230\,\mathrm{V}$ efficaces, $50\,\mathrm{Hz}$ , absorbe $2.0\,\mathrm{kW}$ avec $\cos\varphi = 0.70$ . Calculer le courant efficace, la puissance réactive, la capacité à placer en dérivation pour ramener le facteur de puissance à $1$ , et le nouveau courant. La ligne d’alimentation vaut $0.50\,\Omega$ : pertes par effet Joule avant et après.

Solution

Solution de Exercice 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ . Puissance réactive $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$ . $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Nouveau courant $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ . Pertes $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ avant, $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ après.

Exercice 8.10 ★★★

RLC en dérivation alimenté par une source de courant : écrire l’admittance, montrer que la tension est maximale en $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ et y vaut $RI$ , et que la bande passante vaut $\Delta\omega = 1/RC$ , c’est-à-dire $Q = R\sqrt{C/L}$ . Application : $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\mathrm{nF}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$ ; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ est maximale lorsque la susceptance s’annule, en $\omega_0$ , où $U = RI$ . Demi-puissance : $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$ , c’est-à-dire $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$ : $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ et $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ . Application : $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$ , $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$ .

Exercice 8.11 ★★★

Montrer que la tension aux bornes du condensateur d’un RLC série vaut $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ , qu’elle est maximale en $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ si $Q > 1/\sqrt2$ , et calculer $x_r$ et $U_{C,\max}/E$ pour $Q = 3.16$ . Que se passe-t-il pour $Q < 1/\sqrt2$ ?

Solution

Solution de Exercice 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$ ; en multipliant sous la racine par $C\omega$ , il vient $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$ . Avec $s = x^2$ , $(1 - s)^2 + s/Q^2$ est minimal en $s = 1 - 1/2Q^2$ (si cette valeur est positive), de minimum $1/Q^2 - 1/4Q^4$ : $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ . Pour $Q = 3.16$ : $x_r = 0.975$ , $U_{C,\max} = 3.2E$ . Pour $Q < 1/\sqrt2$ , le minimum est en $s = 0$ : $U_C$ décroît de $E$ de façon monotone, sans maximum.

Exercice 8.12 ★★★

À la résonance d’un RLC série, montrer que l’énergie totale stockée $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ est constante et vaut $\tfrac12 LI^2$ , calculer l’énergie dissipée dans $R$ par période, et démontrer que $2\pi\,(\text{stockée})/(\text{dissipée par période}) = Q$ .

Solution

Solution de Exercice 8.12.

À la résonance, $i = I\cos\omega_0 t$ et $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$ , donc, en utilisant $1/C\omega_0^2 = L$ ,

\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 .

Dissipée par période : $\tfrac12 RI^2T$ . Rapport $\times 2\pi$ : $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$ .

Accorder un poste à lampes : tourner le bouton change un condensateur, le condensateur fixe la fréquence de résonance d’un circuit LC, et la station dont la fréquence correspond est celle que l’on entend — c’est le problème du week-end. — Accorder un poste à lampes : tourner le bouton change un condensateur, le condensateur fixe la fréquence de résonance d’un circuit $LC$ , et la station dont la fréquence correspond est celle que l’on entend — c’est le problème du week-end.

8.6 Problème : le récepteur radio à résonance

Problème 8.1

Problème du week-end — une bobine, un condensateur variable et une antenne : comment une résonance série choisit une station sur cent, multiplie son signal ténu par cent, et pourquoi on ne peut pas la rendre arbitrairement sélective

L’antenne est modélisée par une fém sinusoïdale idéale $e(t) = E\cos\omega t$ en série avec une bobine $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , dont le fil a une résistance $R = 12.6\,\Omega$ , et un condensateur variable $C$ . Le récepteur lit la tension aux bornes de $C$ . Plus loin (partie IV), on tiendra compte de la résistance propre de l’antenne $R_a = 50\,\Omega$ .

Partie I — Le courant résonnant.

Écrire l’impédance complexe du circuit série.
Donner l’amplitude complexe du courant, puis son amplitude $I(\omega)$ et sa phase $\varphi_i(\omega)$ par rapport à $e$ .
Montrer que $I$ est maximal en $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; donner $I_{\max}$ et la phase à cet endroit.
Quelle capacité accorde $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ? Calculer $L\omega_0$ .
Définir $Q = L\omega_0/R$ et le calculer.
Montrer que $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ avec $x = \omega/\omega_0$ .
Donner le signe de $\varphi_i$ au-dessous puis au-dessus de la résonance et l’interpréter (comportement capacitif ou inductif).

Partie II — La sélectivité.

Écrire la condition qui définit les deux fréquences auxquelles $I = I_{\max}/\sqrt2$ .
La résoudre et montrer que $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ .
Calculer la bande passante $\Delta f$ de ce récepteur.
Une deuxième station émet à $1.010\,\mathrm{MHz}$ , une troisième à $1.020\,\mathrm{MHz}$ : calculer le rapport d’amplitudes $I/I_{\max}$ pour chacune, et le rapport de puissances correspondant en décibels.
Les stations AM sont espacées de $9\,$ à $10\,\mathrm{kHz}$ . Le récepteur est-il assez sélectif ? Qu’est-ce qui l’améliorerait ?
Le condensateur se règle entre $50\,$ et $500\,\mathrm{pF}$ : quelle bande de fréquences le récepteur couvre-t-il ?

Partie III — La surtension.

Exprimer l’amplitude complexe de la tension aux bornes du condensateur et montrer qu’à la résonance son amplitude vaut $QE$ .
La fém d’antenne vaut $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : calculer $I_{\max}$ et la tension du condensateur à la résonance. Commenter.
Montrer que la tension de la bobine a la même amplitude et est en opposition de phase avec celle du condensateur à la résonance : que « voit » la source ?
Calculer l’énergie stockée dans le circuit à la résonance et l’énergie dissipée par période ; vérifier que leur rapport, multiplié par $2\pi$ , vaut $Q$ .
D’après le Chapitre 7, que vaut la constante de temps $\tau = 2Q/\omega_0$ de ce circuit ? Pourquoi un $Q$ très élevé finit-il par déformer la parole et la musique (bande passante audio : environ $5\,\mathrm{kHz}$ en AM) ?
Si la résistance du fil de la bobine doublait (fil plus fin), comment $Q$ , la bande passante et la tension du condensateur changeraient-ils ?

Partie IV — La résistance de l’antenne, et la puissance.

Avec $R_a = 50\,\Omega$ en série, recalculer $Q$ , la bande passante et la tension du condensateur pour $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . Conclure.
Calculer la puissance moyenne délivrée par la fém d’antenne à la résonance et la fraction dissipée dans $R_a$ .
Le théorème du transfert maximal de puissance réclamerait une résistance de charge égale à $R_a$ : pourquoi cet objectif entre-t-il en conflit avec la sélectivité ?
Les récepteurs réels relient l’antenne à une prise intermédiaire de la bobine, ou par un petit condensateur de couplage. Expliquer qualitativement ce que cela apporte.
À l’aide de $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ , calculer le facteur de puissance aux deux fréquences de coupure et expliquer le nom de « demi-puissance ».
Récapituler la conception : ce qu’apporte $Q$ , ce qu’il coûte, et la valeur retenue pour un récepteur à $1\,\mathrm{MHz}$ avec des canaux de $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$ .

2. $\underline I = E/\underline Z$ ; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$ ; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$ .

3. La réactance s’annule en $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ : $I_{\max} = E/R$ , $\varphi_i = 0$ .

4. $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ ; $L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$ .

5. $Q = 1257/12.6 = 100$ .

6. $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ , que l’on divise par $R$ .

7. Pour $x < 1$ : réactance négative, $\varphi_i > 0$ , le courant est en avance (capacitif) ; pour $x > 1$ : en retard (inductif).

8. $Q(x - 1/x) = \pm1$ .

9. $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ , $x_2 - x_1 = 1/Q$ : $\Delta\omega = \omega_0/Q$ .

10. $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ .

11. $1.010\,\mathrm{MHz}$ : $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$ , rapport $1/\sqrt{5.0} = 0.45$ , puissance $0.20$ : $-7\,\mathrm{dB}$ . $1.020\,\mathrm{MHz}$ : $3.96$ , rapport $0.25$ , puissance $0.06$ : $-12\,\mathrm{dB}$ .

12. Tout juste : la voisine n’est atténuée que de $7\,\mathrm{dB}$ . Un $Q$ plus élevé (un $R$ plus faible), ou plusieurs étages accordés en cascade, affine la sélection.

13. De $0.50\,\mathrm{MHz}$ à $1.59\,\mathrm{MHz}$ : la bande AM.

14. $\underline U_C = \underline I/jC\omega$ ; en $\omega_0$ , $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$ .

15. $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ : un gain en tension de cent, sans aucun amplificateur.

16. $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , $\underline U_C = -jQE$ : égales et opposées, elles se compensent ; la source ne voit que $R$ .

17. Stockée $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ; dissipée par période $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ ; $2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$ .

18. $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Le circuit ne peut pas suivre des variations plus rapides que $\sim\tau$ : une bande passante $\Delta f$ ne laisse passer que des modulations plus lentes que $\Delta f$ ; avec $Q = 1000$ , $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ et les aigus de l’émission seraient perdus.

19. $Q$ est divisé par deux, à $50$ , $\Delta f$ double, à $20\,\mathrm{kHz}$ , et $U_C$ est divisée par deux, à $0.5\,\mathrm{mV}$ .

20. $R_{\text{tot}} = 62.6\,\Omega$ : $Q = 1257/62.6 = 20$ , $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$ , $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$ : sensibilité et sélectivité s’effondrent ensemble.

21. $P = E^2/(2R_{\text{tot}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$ ; fraction dans $R_a$ : $50/62.6 = 80\%$ .

22. L’adaptation demande une résistance de charge égale à $R_a$ , c’est-à-dire une grande résistance totale ; la sélectivité demande la plus petite résistance totale possible ( $Q = L\omega_0/R_{\text{tot}}$ ). On ne peut pas avoir les deux avec une liaison directe.

23. Une prise intermédiaire, ou un petit condensateur de couplage, ne présente à l’antenne qu’une fraction du circuit résonnant : la résistance de l’antenne est « vue » très réduite par le circuit, ce qui garde $Q$ élevé, tandis que l’antenne délivre encore une puissance proche de son optimum.

24. Aux fréquences de demi-puissance, la réactance vaut $\pm R$ , donc $\varphi = \pm45^\circ$ et $\cos\varphi = 1/\sqrt2$ ; comme $I = I_{\max}/\sqrt2$ également, $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ vaut la moitié de sa valeur à la résonance.

25. $Q$ multiplie le signal par $Q$ et resserre la bande à $f_0/Q$ , au prix d’une réponse plus lente ( $\tau = 2Q/\omega_0$ ) et d’un couplage fragile à l’antenne ; pour des canaux de $10\,\mathrm{kHz}$ à $1\,\mathrm{MHz}$ , $Q \approx 100$ est le bon nombre — et il faut coupler l’antenne faiblement pour le conserver.

Termes définis dans ce chapitre

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