Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

24Moteurs et machines thermiques

Un moteur de voiture, une centrale électrique, un réfrigérateur et une pompe à chaleur sont un même objet vu de quatre côtés : un fluide que l’on fait décrire un cycle, en contact tour à tour avec une source chaude et une source froide, échangeant de la chaleur avec les deux et du travail avec un arbre. Le premier principe tient la comptabilité de l’énergie ; le second, par le bilan d’entropie sur un cycle, fixe la limite qu’aucune ingéniosité ne franchira — le théorème de Carnot, l’inégalité la plus lourde de conséquences de toute l’ingénierie. Ce chapitre établit cette limite, calcule le cycle idéal et les cycles réels qui s’en approchent (Otto, Diesel, Stirling), retourne la machine pour produire du froid et chauffer les maisons, et montre comment l’entropie créée par une machine réelle se paie, joule par joule, en travail perdu.

24.1 Machines cycliques et les deux principes

Définition 24.1 (Machine thermodynamique)

Une machine thermodynamique est un système fermé (le fluide) que l’on fait décrire un cycle, de sorte qu’il revient périodiquement au même état, tout en échangeant un travail $W$ avec l’extérieur et des chaleurs $Q_i$ avec des sources aux températures $T_i$ — des thermostats, dont l’échange ne modifie pas la température. Une machine ditherme utilise deux thermostats : la source chaude à $T_h$ et la source froide à $T_c < T_h$ . C’est un moteur si elle fournit du travail ( $W < 0$ ), un réfrigérateur si elle est entraînée ( $W > 0$ ) pour prélever de la chaleur à la source froide, une pompe à chaleur si elle est entraînée pour en céder à la source chaude. Toutes les grandeurs sont comptées sur un cycle, algébriquement, comme reçues par le fluide.

Théorème 24.2 (Les deux principes sur un cycle ; inégalité de Clausius)

Sur un cycle d’une machine ditherme,

W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad \frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\text{créée}} \leq 0 ,

avec égalité dans la seconde relation si et seulement si le cycle est réversible. Plus généralement, pour un nombre quelconque de thermostats, $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (inégalité de Clausius).

Démonstration. $U$ et $S$ sont des fonctions d’état, donc $\Delta U = 0$ et $\Delta S = 0$ sur un cycle. Le premier principe donne $0 = W + Q_h + Q_c$ ; le bilan d’entropie (Théorème 23.1) donne $0 = S_{\text{éch}} + S_{\text{créée}}$ avec $S_{\text{éch}} = \sum Q_i/T_i$ , chaque thermostat échangeant à sa propre température fixée (Proposition 23.5). ∎

Corollaire 24.3 (Kelvin, à nouveau)

Une machine monotherme ( $Q_c = 0$ ) a $Q_h \leq 0$ , donc $W \geq 0$ : aucun cycle ne peut convertir en travail la chaleur d’une source unique. Un navire ne peut avancer en refroidissant la mer — un moteur a besoin d’une source froide où rejeter de la chaleur, et le second principe dit combien.

Les deux sens de parcours d’un cycle ditherme. À gauche : le moteur prend de la chaleur à la source chaude, en rejette une partie à la source froide et fournit la différence en travail. À droite : la même machine entraînée à l’envers pompe la chaleur du froid vers le chaud ; c’est un réfrigérateur si l’on veut Q_c, une pompe à chaleur si l’on veut |Q_h|. — Les deux sens de parcours d’un cycle ditherme. À gauche : le moteur prend de la chaleur à la source chaude, en rejette une partie à la source froide et fournit la différence en travail. À droite : la même machine entraînée à l’envers pompe la chaleur du froid vers le chaud ; c’est un réfrigérateur si l’on veut $Q_c$ , une pompe à chaleur si l’on veut $|Q_h|$ .

24.2 Le théorème de Carnot

Définition 24.4 (Rendement et efficacités)

Le rendement d’un moteur est le travail fourni par unité de chaleur prélevée à la source chaude, $\eta = -W/Q_h$ ; l’efficacité d’un réfrigérateur est le froid produit par unité de travail, $e_f = Q_c/W$ ; celle d’une pompe à chaleur est la chaleur fournie par unité de travail, $e_p = -Q_h/W$ . Chacun est le rapport de « ce que l’on veut » sur « ce que l’on paie » ; un rendement vaut au plus 1, une efficacité peut dépasser 1.

Théorème 24.5 (Carnot)

Entre des thermostats $T_h > T_c$ ,

\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},

avec égalité si et seulement si le cycle est réversible. Ces bornes ne dépendent que des températures — ni du fluide, ni du mécanisme.

Démonstration. Pour un moteur ( $Q_h > 0$ ) : $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$ , et l’inégalité de Clausius donne $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$ . Pour un réfrigérateur ( $Q_c > 0$ , $W > 0$ ) : $W = -Q_h - Q_c$ avec $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$ , donc $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ et $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$ . Pour la pompe à chaleur, $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$ . L’égalité est le cas réversible, $S_{\text{créée}} = 0$ tout du long. ∎

Exemple 24.6 (Trois nombres)

Une turbine à vapeur entre $T_h = 800\,\mathrm{K}$ et une rivière à $T_c = 300\,\mathrm{K}$ : $\eta_C = 0.625$ ; les centrales réelles atteignent environ $0.40$ . Un réfrigérateur domestique entre $275\,\mathrm{K}$ à l’intérieur et une cuisine à $298\,\mathrm{K}$ : $e_f \leq 275/23 = 12$ ; les machines réelles donnent $2$ à $4$ . Une pompe à chaleur qui chauffe une maison à $293\,\mathrm{K}$ à partir d’un air à $273\,\mathrm{K}$ : $e_p \leq 293/20 = 14.7$ ; les pompes réelles donnent $3$ à $5$ — trois à cinq fois encore ce que la même électricité donnerait dans une résistance (Problème 24.1).

Remarque 24.7 (Pourquoi le rendement ne peut valoir 1)

Un moteur reçoit l’entropie $Q_h/T_h$ avec la chaleur qu’il prélève ; le travail n’en emporte aucune ; la seule sortie est la chaleur rejetée à la source froide, qui en emporte $|Q_c|/T_c$ . L’entropie ne pouvant être détruite, il faut jeter au moins $Q_h T_c/T_h$ de chaleur, et le travail est ce qui reste. Plus la source froide est basse et la source chaude haute, mieux c’est — d’où les tours de refroidissement, et la course aux aubes de turbine toujours plus chaudes.

24.3 Le cycle de Carnot

Définition 24.8 (Cycle de Carnot)

Le cycle de Carnot est le cycle ditherme réversible : deux isothermes réversibles, à $T_h$ (au contact de la source chaude) et à $T_c$ (au contact de la source froide), reliées par deux adiabatiques réversibles (isentropiques, sans contact avec aucune source). Parcouru dans le sens horaire dans le plan $(V, P)$ , c’est un moteur ; dans l’autre sens, un réfrigérateur ou une pompe à chaleur. Dans le diagramme entropique, c’est un rectangle.

Proposition 24.9 (Cycle de Carnot d’un gaz parfait)

Pour $n$ moles de gaz parfait décrivant $A \to B$ (isotherme $T_h$ , détente), $B \to C$ (adiabatique), $C \to D$ (isotherme $T_c$ , compression), $D \to A$ (adiabatique) :

Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,

la valeur de Carnot — comme il se doit pour tout cycle ditherme réversible.

Démonstration. Sur une isotherme $\Delta U = 0$ , donc $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{final}}/ V_{\text{initial}})$ . Sur les adiabatiques, $TV^{\gamma-1}$ est constant : $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ et $T_hV_A^{\gamma-1} = T_cV_D^{\gamma-1}$ , d’où $V_C/V_D = V_B/V_A$ et $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) = -nRT_c\ln(V_B/V_A)$ . Puis $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$ . ∎

Le cycle de Carnot d’un gaz parfait. À gauche : dans le diagramme de Clapeyron, deux isothermes et deux adiabatiques (plus raides), parcourues dans le sens horaire ; l’aire enclose est le travail fourni. À droite : le même cycle dans le diagramme entropique est un rectangle de hauteur T_h - T_c et de largeur Q_h/T_h ; son aire vaut encore -W, et le rapport de cette aire à celle sous le côté supérieur, Q_h, vaut 1 - T_c/T_h à vue. — Le cycle de Carnot d’un gaz parfait. À gauche : dans le diagramme de Clapeyron, deux isothermes et deux adiabatiques (plus raides), parcourues dans le sens horaire ; l’aire enclose est le travail fourni. À droite : le même cycle dans le diagramme entropique est un rectangle de hauteur $T_h - T_c$ et de largeur $Q_h/T_h$ ; son aire vaut encore $-W$ , et le rapport de cette aire à celle sous le côté supérieur, $Q_h$ , vaut $1 - T_c/T_h$ à vue.

Remarque 24.10 (Le cycle de Carnot est un théorème, pas un moteur)

Des isothermes réversibles exigent un transfert thermique infiniment lent sous un écart de température qui tend vers zéro : un moteur de Carnot fournit son travail maximal à puissance nulle. Les machines réelles échangent du rendement contre de la puissance en acceptant des écarts de température finis dans leurs échangeurs (Exercice 24.10) ; la valeur de Carnot reste le plafond auquel se mesure toute conception.

24.4 Les cycles moteurs réels

Proposition 24.11 (Cycle Otto)

Le moteur à essence idéalisé fait décrire à l’air ( $\gamma$ ) : $1 \to 2$ compression adiabatique de $V_1$ à $V_2$ (taux de compression $r = V_1/V_2$ ) ; $2 \to 3$ échauffement isochore (la combustion) ; $3 \to 4$ détente adiabatique jusqu’à $V_1$ ; $4 \to 1$ refroidissement isochore (l’échappement). Son rendement vaut

\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .

Démonstration. La chaleur n’est échangée que sur les isochores : $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ et $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ . Sur les adiabatiques, $TV^{\gamma-1}$ est constant : $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ et $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$ , donc $T_3 - T_2 = (T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ et $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$ . ∎

Exemple 24.12 (Nombres pour un moteur à essence)

$r = 9$ , $\gamma = 1.4$ : $9^{0.4} = 2.41$ et $\eta = 0.58$ . Un moteur réel donne environ $0.30$ : la combustion n’est pas instantanée, le gaz n’est pas parfait à $2500\,\mathrm{K}$ , la chaleur fuit aux parois, le frottement et le pompage prennent leur part. Augmenter $r$ aide — jusqu’à ce que le mélange air–carburant s’enflamme de lui-même en fin de compression (le cliquetis) ; le moteur Diesel fait de ce vice son principe.

Proposition 24.13 (Cycle Diesel)

Remplaçons l’échauffement isochore du cycle Otto par un échauffement isobare, de $V_2$ à $V_3 = \rho V_2$ (taux d’injection $\rho > 1$ ) : le carburant, injecté dans un air déjà chaud d’un taux de compression $r$ de $15$ à $22$ , brûle à mesure qu’il arrive. Alors

\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,

plus petit que la valeur Otto pour le même $r$ , mais atteint avec des $r$ bien plus grands, donc plus grand en pratique ( $0.40$ à $0.45$ pour les gros moteurs).

Démonstration. $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ , $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ , donc $\eta = 1 - (T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$ . Avec $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ , $T_3 = \rho T_2$ et, sur l’adiabatique $3 \to 4$ ( $V_4 = V_1 = rV_2$ ), $T_4 = T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$ : $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$ . ∎

À gauche : le cycle Otto dans le diagramme de Clapeyron (tracé avec r = 4) : deux adiabatiques et deux isochores ; la chaleur entre au point mort haut et sort avec l’échappement. À droite : rendements idéaux en fonction du taux de compression ; les traits pointillés marquent un moteur à essence (r = 9) et un Diesel (r = 18, = 2). — À gauche : le cycle Otto dans le diagramme de Clapeyron (tracé avec $r = 4$ ) : deux adiabatiques et deux isochores ; la chaleur entre au point mort haut et sort avec l’échappement. À droite : rendements idéaux en fonction du taux de compression ; les traits pointillés marquent un moteur à essence ( $r = 9$ ) et un Diesel ( $r = 18$ , $\rho = 2$ ).

Proposition 24.14 (Cycle de Stirling et régénérateur)

Deux isothermes ( $T_c$ , $T_h$ ) reliées par deux isochores. La chaleur des portions isochores, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$ , est égale et opposée ; si elle est stockée lors du refroidissement dans un régénérateur (une masse poreuse que le gaz traverse) puis restituée lors du réchauffement, seules les isothermes échangent avec les sources, et $\eta = 1 - T_c/T_h$ : le moteur Stirling est un moteur de Carnot à la forme de son cycle près. Sans régénérateur, la chaleur des isochores doit venir de la source chaude et $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$ , sensiblement moins (Exercice 24.8).

Démonstration. Sur les isothermes, $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ et $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$ , donc $-W = Q_h + Q_c + 0$ une fois les chaleurs isochores compensées ; on divise par la chaleur réellement prélevée à la source chaude dans chaque cas. ∎

Remarque 24.15 (Turbines à vapeur et à gaz)

Les centrales n’utilisent pas un gaz dans un cylindre, mais de l’eau que l’on vaporise, détend dans une turbine, condense puis repompe (le cycle de Rankine, avec deux changements d’état — Chapitre 25), ou de l’air comprimé, chauffé par combustion et détendu dans une turbine à gaz (le cycle de Brayton, deux adiabatiques et deux isobares). Leur analyse demande le bilan énergétique d’un fluide en écoulement, donné dans le volume de deuxième année ; la borne de Carnot et la logique de ce chapitre s’appliquent sans changement.

24.5 Réfrigérateurs et pompes à chaleur

Définition 24.16 (Cycle à compression de vapeur)

Presque tous les réfrigérateurs, congélateurs, climatiseurs et pompes à chaleur font circuler un fluide frigorigène à travers quatre organes : un compresseur (qui reçoit le travail et élève la pression de la vapeur), un condenseur (où la vapeur chaude se liquéfie à haute pression en libérant $|Q_h|$ du côté chaud), un détendeur (où le liquide passe à basse pression sans travail ni chaleur, en se vaporisant partiellement) et un évaporateur (où le reste bout à basse pression en absorbant $Q_c$ du côté froid). La chaleur est transportée en chaleur latente de vaporisation, et les deux pressions fixent les deux températures d’ébullition (Chapitre 25).

Le cycle à compression de vapeur. Le fluide frigorigène bout dans l’évaporateur, plus froid que le côté froid, et se condense dans le condenseur, plus chaud que le côté chaud : la chaleur circule dans le sens naturel à travers chaque échangeur, et le compresseur paie pour la faire remonter de T_ ev à T_ cd. — Le cycle à compression de vapeur. Le fluide frigorigène bout dans l’évaporateur, plus froid que le côté froid, et se condense dans le condenseur, plus chaud que le côté chaud : la chaleur circule dans le sens naturel à travers chaque échangeur, et le compresseur paie pour la faire remonter de $T_{\mathrm{ev}}$ à $T_{\mathrm{cd}}$ .

Proposition 24.17 (Le prix des écarts de température)

Une machine réversible qui travaille entre ses propres températures internes $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ et $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ a $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$ , inférieure à la valeur de Carnot entre les sources ; une machine réelle n’en atteint qu’une fraction (typiquement $0.4$ à $0.6$ ). Les performances d’une pompe à chaleur chutent donc lorsque la température extérieure baisse et lorsque la température exigée par le circuit de chauffage monte.

Démonstration. Il suffit d’appliquer le Théorème 24.5 au fluide, dont les thermostats sont en fait les températures des échangeurs ; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} > T_h - T_c$ abaisse le rapport. ∎

Efficacité d’une pompe à chaleur en fonction de la température extérieure : la borne de Carnot entre la maison (20 C) et l’air extérieur ; la borne une fois comptés les écarts de température aux échangeurs (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ ext - 8\, K) ; et une machine réaliste à 0.55 de cette dernière. Même à -10 C, la pompe réelle fournit environ trois joules de chaleur par joule d’électricité, là où une résistance en donne un. — Efficacité d’une pompe à chaleur en fonction de la température extérieure : la borne de Carnot entre la maison ( $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) et l’air extérieur ; la borne une fois comptés les écarts de température aux échangeurs ( $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{ext}} - 8\,\mathrm{K}$ ) ; et une machine réaliste à $0.55$ de cette dernière. Même à $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ , la pompe réelle fournit environ trois joules de chaleur par joule d’électricité, là où une résistance en donne un.

Exemple 24.18 (Pompe à chaleur ou résistance ?)

Une maison qui perd $6\,\mathrm{kW}$ par $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ au-dehors demande $6\,\mathrm{kW}$ d’électricité avec des résistances ; une pompe à chaleur idéale de $268\,\mathrm{K}$ vers $293\,\mathrm{K}$ n’en demanderait que $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$ ; une pompe réelle, avec des températures d’échangeurs de $260\,\mathrm{K}$ et $313\,\mathrm{K}$ et un facteur de qualité $0.55$ , soit $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$ , en demande $1.9\,\mathrm{kW}$ . Le problème du week-end parcourt toute la saison, entropie comprise.

24.6 Entropie et travail perdu

Théorème 24.19 (Travail perdu)

Un moteur ditherme qui crée l’entropie $S_{\text{créée}}$ par cycle fournit

-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\text{créée}} ,

et une pompe à chaleur ditherme qui fournit $|Q_h|$ consomme $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\text{créée}}$ : chaque joule par kelvin créé coûte $T_c$ joules de travail, la température de la source froide étant le taux de change entre entropie et travail.

Démonstration. D’après le Théorème 24.2, $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\text{créée}})$ ; on reporte dans $-W = Q_h + Q_c$ . Pour la pompe, on écrit les deux mêmes relations avec $Q_h < 0$ . ∎

Méthode 24.20 (Auditer une machine)

Mesurer (ou calculer) les chaleurs échangées avec chaque source ainsi que le travail ; vérifier le premier principe ; calculer $S_{\text{créée}} = -\sum Q_i/T_i$ par cycle ou par seconde ; la puissance perdue vaut $T_c\dot S_{\text{créée}}$ ; localiser la création (écarts de température finis dans les échangeurs, frottement, détente à travers un robinet, compression non quasi statique) en appliquant le bilan d’entropie à chaque organe tour à tour. Un organe qui ne crée pas d’entropie ne vaut pas la peine d’être amélioré.

Exemple 24.21 (Audit d’une centrale)

Source chaude $800\,\mathrm{K}$ , rivière $300\,\mathrm{K}$ , $1.0\,\mathrm{GW}$ d’électricité à $\eta = 0.40$ : $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$ , $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$ , donc $\dot S_{\text{créée}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ et la puissance perdue vaut $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$ : exactement l’écart entre la production de Carnot $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ et le $1.0\,\mathrm{GW}$ réel. La rivière s’échauffe des $1.5\,\mathrm{GW}$ qu’elle doit emporter ; l’été, quand elle est chaude et basse, les centrales réduisent la charge.

24.7 Exercices

Exercice 24.1 ★

Une centrale prélève de la chaleur à $800\,\mathrm{K}$ et la rejette à une rivière à $300\,\mathrm{K}$ . Rendement de Carnot ; si le rendement réel vaut $0.40$ et la production électrique $1.0\,\mathrm{GW}$ , chaleur prélevée au combustible et chaleur rejetée à la rivière par seconde.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$ . À $0.40$ : $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ prélevés au combustible, $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ vers la rivière — on jette plus de chaleur qu’on n’en vend.

Exercice 24.2 ★

Un réfrigérateur maintient son intérieur à $275\,\mathrm{K}$ dans une cuisine à $298\,\mathrm{K}$ . Efficacité maximale ; avec une efficacité réelle de $3$ , puissance électrique nécessaire pour évacuer les $100\,\mathrm{W}$ qui entrent par les parois.

Solution

Solution de Exercice 24.2.

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$ . Avec $e_f = 3$ : $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (et $133\,\mathrm{W}$ partent dans la cuisine).

Exercice 24.3 ★

Rendement idéal d’un cycle Otto avec $r = 9$ et $\gamma = 1.4$ ; puis avec $r = 11$ (un moteur moderne à injection directe). Pourquoi pas $r = 20$ ?

Solution

Solution de Exercice 24.3.

$r = 9$ : $9^{0.4} = 2.41$ , $\eta = 0.585$ ; $r = 11$ : $11^{0.4} = 2.61$ , $\eta = 0.62$ . À $r = 20$ , le mélange essence–air, comprimé jusqu’à $900\,\mathrm{K}$ environ, s’enflammerait avant l’étincelle (cliquetis) et détruirait le moteur ; seul le Diesel, qui ne comprime que de l’air, peut y aller.

Exercice 24.4 ★

Une pompe à chaleur chauffe une maison à $300\,\mathrm{K}$ à partir d’un air extérieur à $280\,\mathrm{K}$ . $e_p$ maximale ; puissance électrique pour un besoin de chauffage de $5\,\mathrm{kW}$ avec cette pompe idéale, puis avec une pompe réelle de $e_p = 3.5$ ; comparer avec une résistance.

Solution

Solution de Exercice 24.4.

$e_p \leq 300/20 = 15$ : puissance idéale $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$ ; réelle, $5/3.5 = 1.43\,\mathrm{kW}$ ; résistance, $5\,\mathrm{kW}$ .

Exercice 24.5 ★★

Une mole de gaz parfait ( $\gamma = 1.4$ ) décrit un cycle de Carnot entre $T_h = 500\,\mathrm{K}$ et $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ; l’isotherme chaude la mène de $1.0\,\mathrm{L}$ à $3.0\,\mathrm{L}$ . Calculer $V_C$ , $V_D$ , $Q_h$ , $Q_c$ , $W$ et vérifier le rendement.

Solution

Solution de Exercice 24.5.

Adiabatiques : $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} = 10.8\,\mathrm{L}$ , $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (donc $V_C/V_D = 3 = V_B/V_A$ ). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$ , $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$ , $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$ , $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$ .

Exercice 24.6 ★★

Un inventeur annonce une machine cyclique qui prélève $1000\,\mathrm{J}$ par cycle à une source à $400\,\mathrm{K}$ , en rejette $800\,\mathrm{J}$ à une source à $300\,\mathrm{K}$ et fournit $200\,\mathrm{J}$ de travail. Est-ce possible ? Entropie créée par cycle. Un second inventeur annonce $300\,\mathrm{J}$ de travail à partir des mêmes $1000\,\mathrm{J}$ , en n’en rejetant que $700\,\mathrm{J}$ . Est-ce possible ? Quel est le travail maximal que l’on puisse tirer de ces $1000\,\mathrm{J}$ ?

Solution

Solution de Exercice 24.6.

Première annonce : l’énergie s’équilibre, $200 = 1000 - 800$ ; Clausius $1000/400 - 800/300 = 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , donc $S_{\text{créée}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$ : c’est possible ( $\eta = 0.20$ ). Seconde : $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$ : il faudrait détruire de l’entropie — impossible. Maximum : $\eta_C = 1 - 300/400 = 0.25$ , soit $250\,\mathrm{J}$ .

Exercice 24.7 ★★

Cycle Diesel avec $r = 18$ , $\rho = 2$ , $\gamma = 1.4$ : rendement ; comparer à un cycle Otto de même $r$ , puis au cycle Otto pour $r = 9$ . Pourquoi le Diesel peut-il employer un $r$ aussi grand ?

Solution

Solution de Exercice 24.7.

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$ ; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$ : $\eta = 1 - 1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$ . Otto à $r = 18$ : $1 - 1/3.18 = 0.69$ ; à $r = 9$ : $0.585$ . Le Diesel ne comprime que de l’air : aucun carburant n’est là pour s’enflammer trop tôt, et celui que l’on injecte dans un air à $900\,\mathrm{K}$ brûle à mesure qu’il entre — la limite du cliquetis n’existe pas.

Exercice 24.8 ★★

Cycle de Stirling d’une mole de gaz diatomique ( $C_{V,m} = \tfrac52R$ ) entre $600\,\mathrm{K}$ et $300\,\mathrm{K}$ , avec un rapport de volumes $V_1/V_2 = 2$ . Travail par cycle ; rendement avec un régénérateur parfait, puis sans.

Solution

Solution de Exercice 24.8.

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$ , $Q_c = -8.314 \times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$ : $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ par cycle. Avec le régénérateur, $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$ . Sans lui, la source chaude doit aussi fournir $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 = 6.24\,\mathrm{kJ}$ : $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$ .

Exercice 24.9 ★★

Deux blocs identiques de capacité thermique $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ à $T_1 = 400\,\mathrm{K}$ et $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ servent de sources à un moteur jusqu’à ce qu’ils atteignent une température commune $T_f$ . Montrer que le travail maximal est obtenu pour un moteur réversible, qu’alors $T_f = \sqrt{T_1T_2}$ , et calculer $W_{\max}$ . Que vaudrait $T_f$ si l’on mettait simplement les blocs en contact, et quelle entropie serait alors créée ?

Solution

Solution de Exercice 24.9.

Entropie des deux blocs : $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) = C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\text{créée}} \geq 0$ (l’entropie propre du moteur revient à sa valeur à chaque cycle), donc $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$ , et $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (premier principe) est maximal pour le plus petit $T_f$ : le cas réversible, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$ , $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$ . Contact direct : $T_f = 350\,\mathrm{K}$ , aucun travail, $S_{\text{créée}} = 4000\ln(350^2/120000) = 82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

Exercice 24.10 ★★★

Moteur à puissance maximale. Un moteur réversible travaille entre les températures internes $x$ et $y$ , et échange de la chaleur avec les sources à travers des échangeurs de conductance $K$ : $\dot Q_h = K(T_h - x)$ et $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$ . (a) Écrire la puissance $P$ et la condition d’entropie du cœur réversible. (b) Montrer que $y = xT_c/(2x - T_h)$ et que $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ avec $u = 2x - T_h$ . (c) Maximiser en $u$ et montrer que le rendement à puissance maximale vaut $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ . (d) Applications numériques pour $T_h = 800\,\mathrm{K}$ , $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ; comparer à l’Exercice 24.1.

Solution

Solution de Exercice 24.10.

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$ ; le cœur réversible n’échange aucune entropie nette : $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$ . (b) En croisant : $y(T_h - x) = x(y - T_c)$ , donc $y(T_h - 2x) = -xT_c$ et $y = xT_c/(2x - T_h)$ . Puis $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$ ; avec $u = 2x - T_h$ , $T_h - x = (T_h - u)/2$ et $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) = \tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$ . (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 + T_hT_c/u^2) = 0$ en $u = \sqrt{T_hT_c}$ , qui est un maximum ; alors $x = (T_h + \sqrt{T_hT_c})/2$ , $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$ , et $\eta^\ast = 1 - y/x = 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ ; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$ . (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$ , contre $\eta_C = 0.625$ : le $0.40$ réel de l’Exercice 24.1 est un moteur construit pour la puissance, non pour le rendement.

Exercice 24.11 ★★★

Réfrigérateur à absorption. Une machine sans pièce mobile prélève la chaleur $Q_h$ à un brûleur à $T_h$ , la chaleur $Q_c$ à une chambre froide à $T_c$ , et rejette de la chaleur à la pièce à $T_0$ ( $T_c < T_0 < T_h$ ), sans aucun travail. Montrer que $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$ , interpréter les deux facteurs, et calculer la borne pour $T_h = 400\,\mathrm{K}$ , $T_0 = 300\,\mathrm{K}$ , $T_c = 275\,\mathrm{K}$ .

Solution

Solution de Exercice 24.11.

Cycle : $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ et $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$ . Éliminons $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$ : $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$ , c’est-à-dire $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$ , d’où $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$ . Le premier facteur est le rendement d’un moteur de Carnot entre le brûleur et la pièce, le second l’efficacité d’un réfrigérateur de Carnot entre la chambre et la pièce : la borne est ce que donne le couplage idéal des deux. Numériquement : $0.25 \times 11 = 2.75$ (les réfrigérateurs à absorption réels : environ $0.6$ ).

Exercice 24.12 ★★★

Chauffer à l’électricité, de trois façons. L’électricité est produite dans une centrale thermique de rendement $0.40$ . Par joule de chaleur de combustible, quelle chaleur parvient à une maison (a) par une résistance, (b) par une pompe à chaleur de $e_p = 3.5$ , (c) si le combustible est brûlé directement dans une chaudière de rendement $0.90$ ? (d) L’idéal : un moteur réversible entre $800\,\mathrm{K}$ et $293\,\mathrm{K}$ entraînant une pompe à chaleur réversible entre $273\,\mathrm{K}$ et $293\,\mathrm{K}$ — quelle chaleur par joule de combustible, et pourquoi la réponse dépasse-t-elle un sans rien contredire ?

Solution

Solution de Exercice 24.12.

(a) $0.40\,\mathrm{J}$ . (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$ . (c) $0.90\,\mathrm{J}$ . (d) Moteur $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$ , pompe $e_p = 293/20 = 14.65$ : $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (et les $0.37\,\mathrm{J}$ que le moteur rejette à $293\,\mathrm{K}$ pourraient aussi chauffer la maison : $9.7\,\mathrm{J}$ ). Plus d’un joule, parce que le reste est prélevé à l’air extérieur : l’énergie est conservée, et le second principe demande seulement que l’entropie ne soit pas détruite, ce qu’une chaîne réversible respecte exactement.

Une pompe à chaleur sur air extérieur, en hiver : elle prélève de la chaleur à l’air froid du dehors et délivre à la maison trois à quatre fois l’énergie électrique qu’elle consomme — c’est le problème du week-end.

24.8 Problème : la pompe à chaleur de la maison

Problème 24.1

Problème du week-end — chauffer une maison tout un hiver : la facture avec des résistances, avec du gaz, avec une pompe à chaleur idéale et avec une pompe réelle, et où passe l’électricité de cette dernière

Une maison perd de la chaleur au rythme $K(T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}})$ avec $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; elle est maintenue à $T_{\mathrm{int}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Température extérieure de base $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; saison de chauffe : $200$ jours à une température extérieure moyenne de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Prix : électricité 0.25 € le $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ , gaz 0.10 € le $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$ .

Partie I — La maison et les procédés anciens.

Puissance de chauffage nécessaire à la température de base.
Énergie nécessaire sur la saison, en joules et en $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
Coût de la saison avec des résistances électriques.
Coût avec une chaudière à gaz de rendement $0.90$ .
L’électricité vient d’une centrale thermique de rendement $0.40$ . Énergie de combustible consommée sur la saison par les résistances puis par la chaudière ; commenter l’idée que « le chauffage électrique est thermodynamiquement dispendieux ».

Partie II — La pompe à chaleur idéale.

Définir $e_p$ et démontrer, à partir des deux principes sur un cycle, que $e_p \leq T_{\mathrm{int}}/(T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}})$ .
$e_p$ idéale à la température de base, et puissance électrique alors nécessaire.
$e_p$ idéale à la température moyenne de la saison, et (en retenant cette valeur pour toute la saison) l’électricité saisonnière.
Expliquer physiquement pourquoi $e_p$ diminue lorsque la température extérieure baisse, et pourquoi c’est le pire comportement possible pour un appareil de chauffage.
Au point de base, la pompe idéale consomme $0.53\,\mathrm{kW}$ et fournit $6.25\,\mathrm{kW}$ : d’où viennent les $5.7\,\mathrm{kW}$ restants, et pourquoi refroidir l’air extérieur froid pour chauffer une maison chaude ne viole-t-il pas le second principe ?

Partie III — La machine réelle. La pompe décrit un cycle à compression de vapeur. Le fluide frigorigène s’évapore à $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{ext}} - 8\,\mathrm{K}$ et se condense à $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (l’eau d’un plancher chauffant circule à $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) ; la machine atteint $0.55$ de la valeur de Carnot calculée entre $T_{\mathrm{ev}}$ et $T_{\mathrm{cd}}$ . Chaleur latente du fluide : $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

Nommer les quatre organes du cycle, dire dans lequel le fluide reçoit $Q_c$ , cède $|Q_h|$ et reçoit $W$ , et pourquoi l’évaporateur doit être plus froid que l’air extérieur et le condenseur plus chaud que la maison.
À la température de base : $T_{\mathrm{ev}}$ , et l’ $e_p$ de Carnot entre $T_{\mathrm{ev}}$ et $T_{\mathrm{cd}}$ .
$e_p$ réelle, puissance électrique consommée et chaleur prélevée à l’air extérieur, à la température de base.
Débit massique de fluide frigorigène dans l’évaporateur.
Mêmes questions ( $e_p$ réelle, puissance électrique) à la température moyenne de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , où la maison perd $3.25\,\mathrm{kW}$ .
Donner $e_p$ en fonction de $T_{\mathrm{ext}}$ ; électricité et coût saisonniers, en retenant l’ $e_p$ de la température moyenne pour toute la saison. Comparer à la partie I.
Énergie de combustible consommée à la centrale pour la saison avec la pompe ; comparer aux résistances et à la chaudière.
Un coup de froid à $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : besoin de chaleur, $e_p$ réelle, puissance électrique si la pompe pouvait la fournir. La capacité du compresseur diminue en réalité avec $T_{\mathrm{ev}}$ et la pompe ne peut y délivrer que $3.8\,\mathrm{kW}$ : puissance d’appoint électrique nécessaire, et ce que signifie « dimensionner une pompe à chaleur ».
Si la maison avait de vieux radiateurs exigeant de l’eau à $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ) : $e_p$ réelle et puissance électrique à la température de base ; conclure sur le choix des émetteurs.

Partie IV — Où passe l’électricité.

Montrer que, pour une pompe à chaleur qui fournit $|Q_h|$ à la maison à $T_{\mathrm{int}}$ à partir d’un air extérieur à $T_{\mathrm{ext}}$ , $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{ext}}/T_{\mathrm{int}}) + T_{\mathrm{ext}}S_{\text{créée}}$ .
Au point de base, entropie créée par seconde par le transfert thermique à travers le condenseur (de $313\,\mathrm{K}$ vers la maison) et à travers l’évaporateur (de l’air extérieur vers $260\,\mathrm{K}$ ).
Puissance électrique que coûtent ces deux écarts de température ; fraction des $1.92\,\mathrm{kW}$ consommés.
Entropie totale créée par seconde par la machine réelle (comparer ses $1.92\,\mathrm{kW}$ aux $0.53\,\mathrm{kW}$ idéaux) ; part des échangeurs ; nommer les autres sources.
Diviser par deux les deux écarts ( $4\,\mathrm{K}$ et $10\,\mathrm{K}$ ) : entropie créée dans les échangeurs et puissance électrique économisée ; que coûte au concepteur le fait de diviser un écart par deux ?
Résumer en trois nombres : kilowattheures de chaleur par kilowattheure d’électricité sur la saison ; coût saisonnier face au gaz ; et, avec une électricité à $60\,\mathrm{g}$ de CO $_2$ par $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ et un gaz à $200\,\mathrm{g}$ , le carbone émis par chaque voie.

Solution

Solution de Problème 24.1.

1. $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$ .

2. Perte moyenne $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ pendant $200 \times 86400 = 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ : $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .

3. $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

4. Gaz $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : $1730$ €.

5. Résistances : $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustible ; chaudière $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : $2.25$ fois moins. L’électricité est du travail, la forme qui peut tout faire ; la transformer en chaleur à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans une résistance jette à la fois les $60\%$ du combustible déjà perdus à la centrale et la possibilité de pomper de la chaleur.

6. Sur un cycle, $W + Q_h + Q_c = 0$ et $Q_h/T_{\mathrm{int}} + Q_c/T_{\mathrm{ext}} \leq 0$ avec $Q_h < 0$ , $Q_c > 0$ : $Q_c \leq |Q_h|T_{\mathrm{ext}}/T_{\mathrm{int}}$ , donc $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 - T_{\mathrm{ext}}/T_{\mathrm{int}})$ et $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{int}}/(T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}})$ .

7. $293/25 = 11.7$ ; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$ .

8. $293/13 = 22.5$ ; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (environ $170$ €).

9. Le travail par joule remonté vaut $(T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}})/ T_{\mathrm{int}}$ , la « hauteur » de la remontée ; plus il fait froid dehors, plus haut chaque joule doit être pompé — et plus il en faut, puisque la perte est elle aussi proportionnelle à $T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}}$ : la puissance électrique croît comme le carré de l’écart de température, au pire précisément quand le chauffage compte le plus.

10. De l’air extérieur, que l’on refroidit : $Q_c = 6.25 - 0.53 = 5.7\,\mathrm{kW}$ . Le second principe interdit à la chaleur d’aller spontanément du froid vers le chaud ; ici, le travail paie la remontée. Vérification : entropie prise à l’air $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ , entropie cédée à la maison $6.25/293 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — rien de détruit, rien de créé : la pompe idéale.

11. Compresseur (reçoit $W$ ), condenseur (cède $|Q_h|$ ), détendeur (ni l’un ni l’autre), évaporateur (reçoit $Q_c$ ). La chaleur ne descend que la pente des températures : le fluide doit être plus froid que l’air pour lui prendre de la chaleur, et plus chaud que l’eau de la maison pour lui en céder.

12. $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$ ; $e_{p,C} = 313/(313 - 260) = 5.9$ .

13. $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$ ; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$ ; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ prélevés à l’air.

14. $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$ , soit $1.3\,\mathrm{kg}$ par minute.

15. $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$ , $313/41 = 7.6$ , $e_p = 4.2$ ; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$ .

16. $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{ext}}) = 172/(321 - T_{\mathrm{ext}})$ ( $T_{\mathrm{ext}}$ en kelvins). Sur la saison : $15600/4.2 = 3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ , $930$ € — contre $3900$ avec les résistances et $1730$ avec le gaz.

17. $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustible : $46\%$ de moins que la chaudière et quatre fois moins que les résistances, et cela au travers d’une centrale à $40\%$ .

18. Besoin $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$ ; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$ , $313/63 = 5.0$ , $e_p = 2.7$ , $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ si elle le pouvait. Capacité $3.8\,\mathrm{kW}$ : appoint $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ de résistances. Une pompe dimensionnée pour l’heure la plus froide serait surdimensionnée — et fonctionnerait par cycles courts, sans rendement — tout l’hiver ; on la dimensionne à la température de base et l’on laisse une résistance bon marché couvrir l’extrême rare.

19. $338/(338 - 260) = 4.33$ , $e_p = 2.4$ , $W = 6.25/2.4 = 2.6\,\mathrm{kW}$ : $36\%$ d’électricité de plus qu’avec le plancher à $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Les émetteurs à basse température sont la moitié de l’installation.

20. Entropie sur un cycle : $Q_h/T_{\mathrm{int}} + Q_c/T_{\mathrm{ext}} + S_{\text{créée}} = 0$ donne $Q_c = T_{\mathrm{ext}}|Q_h|/T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}}S_{\text{créée}}$ ; on reporte dans $W = |Q_h| - Q_c$ .

21. Condenseur : $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; évaporateur : $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

22. $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$ : le quart des $1.92\,\mathrm{kW}$ .

23. $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; les échangeurs en font $36\%$ ; le reste vient du compresseur (frottement, compression non isentropique, pertes du moteur), du laminage dans le détendeur (une détente libre), des pertes de charge et des ventilateurs.

24. $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$ : condenseur $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ , évaporateur $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ au lieu de $1.86$ , soit $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ économisés ( $13\%$ ; la machine entière, calée à $0.55$ d’une meilleure valeur de Carnot, gagnerait davantage). Diviser un écart par deux, c’est doubler la surface d’échange : des échangeurs plus gros, plus chers, et plus de puissance de ventilation.

25. $15600/3700 = 4.2$ kilowattheures de chaleur par kilowattheure d’électricité ; $930$ € contre $1730$ pour le gaz ; carbone : $3700 \times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ contre $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — quinze fois moins.

Termes définis dans ce chapitre

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