Physics · Livre 3 · Bachelor Year 1

Physique universitaire — 1re année

Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

28Magnétostatique : champ, forces et dipôles

Une aiguille de boussole tourne lorsqu’un fil voisin est parcouru par un courant : cette observation d’Ørsted, en 1820, a réuni deux sciences qui avaient grandi séparément, l’électricité et le magnétisme, et en quelques mois Ampère tenait la loi de la force entre courants, Biot et Savart le champ d’un fil. Ce chapitre est la statique du champ magnétique : ce que créent les courants (cartes de champ, loi de Biot et Savart, et théorème d’Ampère, le jumeau magnétique du théorème de Gauss), ce que le champ fait aux courants (la force de Laplace, qui fait tourner tous les moteurs et dévier tous les appareils de mesure), et le dipôle magnétique, cette spire de courant qui explique la boussole, l’aimant et le champ de la Terre elle-même.

Le plus ancien instrument du magnétisme : une aiguille de boussole est un petit dipôle magnétique qui s’aligne sur le champ terrestre.
Le plus ancien instrument du magnétisme : une aiguille de boussole est un petit dipôle magnétique qui s’aligne sur le champ terrestre.
L’expérience d’Ørsted : on ferme le circuit et l’aiguille tourne — un courant crée un champ magnétique, qui s’enroule autour du fil.
L’expérience d’Ørsted : on ferme le circuit et l’aiguille tourne — un courant crée un champ magnétique, qui s’enroule autour du fil.

28.1 Sources et cartes de champ

Définition 28.1 (Champ magnétostatique)

Des courants permanents (des charges en mouvement permanent) créent en tout point un champ magnétique B→\vect B (le tesla, T\mathrm{T}), défini par la force qv→∧B→q\vect v\wedge\vect B qu’il exerce sur une charge d’épreuve en mouvement (Définition 17.1). Ses lignes de champ sont tangentes à B→\vect B et orientées dans son sens. Les aimants permanents créent des champs de même nature, à partir des courants microscopiques de leurs atomes. Ordres de grandeur : Terre 5×10−5 T5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} ; aimant de réfrigérateur 0.01 T0.01\,\mathrm{T} ; imageur à résonance magnétique 1.5 T1.5\,\mathrm{T} à 3 T3\,\mathrm{T} ; les plus grands champs permanents de laboratoire, 45 T45\,\mathrm{T}.

Proposition 28.2 (Cartes de champ)

  1. Un fil rectiligne : des cercles centrés sur le fil, dans des plans qui lui sont perpendiculaires, orientés par la règle de la main droite (pouce dans le sens du courant, doigts dans le sens de B→\vect B).
  2. Une spire circulaire : des lignes qui la traversent selon son axe et se referment au-dehors ; de loin, la carte d’un petit aimant.
  3. Un long solénoïde : des lignes parallèles, denses et uniformes à l’intérieur ; presque aucun champ au-dehors ; la carte d’un aimant droit, dont la face « nord » est celle par où les lignes sortent.
  4. Les lignes de champ magnétique n’ont ni début ni fin : elles se referment sur elles-mêmes ou partent à l’infini. De façon équivalente, le flux de B→\vect B à travers toute surface fermée est nul — il n’existe pas de charges magnétiques.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Trois cartes de champ. Un point est un courant qui vient vers le lecteur, une croix un courant qui s’en éloigne. Les lignes d’un fil sont des cercles ; celles d’une spire la traversent et se referment au-dehors ; celles d’un long solénoïde sont droites et uniformes à l’intérieur et se referment au loin, là où le champ est faible — dans tous les cas, elles n’ont ni source ni puits.
Trois cartes de champ. Un point est un courant qui vient vers le lecteur, une croix un courant qui s’en éloigne. Les lignes d’un fil sont des cercles ; celles d’une spire la traversent et se referment au-dehors ; celles d’un long solénoïde sont droites et uniformes à l’intérieur et se referment au loin, là où le champ est faible — dans tous les cas, elles n’ont ni source ni puits.

Proposition 28.3 (Symétries de B→\vect B)

B→\vect B se comporte par réflexion dans un miroir à l’inverse de E→\vect E (c’est un pseudo-vecteur, construit sur un produit vectoriel) : en un point d’un plan de symétrie des courants, B→\vect B est perpendiculaire au plan ; en un point d’un plan d’antisymétrie (l’image miroir renverse les courants), B→\vect B est contenu dans le plan. Les invariances se transmettent comme pour E→\vect E.

Démonstration. Le champ d’un élément de courant est ∝I  ⁣dl→∧e→r\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r (voir plus bas) ; un miroir renverse l’un des facteurs d’un produit vectoriel par rapport à l’image d’un vrai vecteur, de sorte que l’image de B→\vect B est l’opposée de l’image miroir de la flèche. Sur un plan de symétrie, B→\vect B doit être égal à l’opposé de sa propre image miroir, donc normal au plan ; sur un plan d’antisymétrie, à l’opposé de l’opposé : il est dans le plan. ∎

Exemple 28.4 (Se servir des symétries)

Pour un fil rectiligne, tout plan contenant le fil est un plan de symétrie ; donc en tout point B→\vect B est perpendiculaire au plan passant par le fil et le point : il est orthoradial, B→=B(r) e→θ\vect B = B(r)\,\vect e_\theta par invariance le long du fil et autour de lui. Pour une spire, le plan de la spire est un plan de symétrie : dessus, B→\vect B est normal à la spire ; l’axe appartient à tout plan d’antisymétrie qui le contient : sur l’axe, B→\vect B est porté par l’axe.

28.2 La loi de Biot et Savart

Théorème 28.5 (Biot et Savart)

Un circuit parcouru par le courant II crée en MM le champ

B→(M)=μ04π∑circuitI  ⁣dl→∧e→PMPM2,\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{circuit}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

somme sur les éléments  ⁣dl→\dd\vect l du circuit, situés aux points PP et orientés dans le sens du courant, où e→PM\vect e_{PM} est le vecteur unitaire de PP vers MM et μ0=4π×10−7 T m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} la perméabilité du vide. Chaque élément apporte un champ perpendiculaire à lui-même et à la droite PMPM, décroissant en 1/PM21/PM^2.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Proposition 28.6 (Fil, spire, solénoïde)

  1. Fil rectiligne infini, à la distance rr : B=μ0I2πrB = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}.
  2. Spire circulaire de rayon RR, sur son axe à la distance zz du centre : Bz=μ0IR22(R2+z2)3/2=μ0I2Rsin⁡3αB_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha, où α\alpha est le demi-angle sous lequel la spire est vue de MM ; au centre, B=μ0I/2RB = \mu_0I/2R.
  3. Solénoïde de nn spires par mètre, sur son axe : B=12μ0nI(cos⁡α1−cos⁡α2)B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2), où α1,α2\alpha_1, \alpha_2 sont les angles sous lesquels on voit les deux extrémités ; pour un solénoïde long, B=μ0nIB = \mu_0nI à l’intérieur, la moitié à une extrémité.

Démonstration. (1) MM à la distance rr du fil, PP d’abscisse zz sur celui-ci :  ⁣dl→∧e→PM\dd\vect l\wedge\vect e_{PM} a pour norme  ⁣dz sin⁡β= ⁣dz⋅r/PM\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM avec PM=r2+z2PM = \sqrt{r^2 + z^2}, et toutes les contributions sont orthoradiales : B=μ0I4π∫−∞∞r  ⁣dz(r2+z2)3/2=μ0I4π 2rB = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}. (2) Chaque élément de la spire est à la même distance R2+z2\sqrt{R^2 + z^2} de MM, perpendiculairement à e→PM\vect e_{PM} ; son champ a pour norme μ0I  ⁣dl/4π(R2+z2)\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2), et seule la composante axiale, la fraction R/R2+z2R/\sqrt{R^2 + z^2} de celle-ci, survit à la somme sur la spire : Bz=μ0I⋅2πR⋅R/4π(R2+z2)3/2B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}. (3) Une tranche  ⁣dz′\dd z' de solénoïde est une spire de courant nI  ⁣dz′nI\,\dd z' ; avec z′−z=R/tan⁡αz' - z = R/\tan\alpha,  ⁣dz′=−R  ⁣dα/sin⁡2α\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha, et B=μ0nI2∫sin⁡3α  ⁣dαsin⁡2αB = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha} sur tout le solénoïde =12μ0nI(cos⁡α1−cos⁡α2)= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) ; infiniment long, α1→0\alpha_1 \to 0, α2→π\alpha_2 \to \pi. ∎

Les trois calculs de Biot et Savart du chapitre : l’élément l d’un fil et sa contribution en M, perpendiculaire au plan de la figure ; la spire vue de M sous le demi-angle ; le solénoïde, dont les extrémités sont vues sous _1 et _2.
Les trois calculs de Biot et Savart du chapitre : l’élément  ⁣dl→\dd\vect l d’un fil et sa contribution en MM, perpendiculaire au plan de la figure ; la spire vue de MM sous le demi-angle α\alpha ; le solénoïde, dont les extrémités sont vues sous α1\alpha_1 et α2\alpha_2.

Exemple 28.7 (Ordres de grandeur)

Un fil de 10 A10\,\mathrm{A} à 1 cm1\,\mathrm{cm} : B=2×10−7×10/0.01=2×10−4 TB = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}, quatre fois le champ terrestre — la boussole tourne bel et bien. Une bobine de 100100 spires, de rayon 5 cm5\,\mathrm{cm}, sous 2 A2\,\mathrm{A} : μ0NI/2R=2.5 mT\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT} en son centre. Un solénoïde de 10001000 spires par mètre sous 5 A5\,\mathrm{A} : 6.3 mT6.3\,\mathrm{mT} ; avec un noyau de fer de perméabilité relative 10001000, on obtiendrait plusieurs teslas si le fer ne saturait pas vers 2 T2\,\mathrm{T} — le plafond de tout électroaimant, et la raison pour laquelle les champs les plus intenses viennent de bobines supraconductrices sans fer.

28.3 Le théorème d’Ampère

Théorème 28.8 (Ampère)

La circulation de B→\vect B le long de toute courbe fermée orientée Γ\Gamma vaut μ0\mu_0 fois le courant total qui traverse une surface quelconque s’appuyant sur Γ\Gamma, compté positivement lorsqu’il la traverse dans le sens donné par la règle de la main droite à partir de l’orientation de Γ\Gamma :

∮ΓB→⋅ ⁣dl→=μ0Ienlaceˊ.\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{enlacé}} .

Démonstration. Pour un cercle de rayon rr centré sur un fil rectiligne, B→\vect B est tangent et de norme μ0I/2πr\mu_0I/2\pi r partout, de sorte que la circulation vaut 2πr×μ0I/2πr=μ0I2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I, indépendante de rr ; pour une courbe qui n’entoure pas le fil, les contributions se compensent. Le cas général est admis (volume de deuxième année). ∎

Méthode 28.9 (Utiliser le théorème d’Ampère)

Comme pour Gauss : (1) les symétries donnent la direction de B→\vect B et la variable dont il dépend ; (2) choisir un contour d’Ampère passant par MM, sur lequel B→\vect B est soit tangent et de norme constante, soit perpendiculaire ; (3) compter le courant qui le traverse ; (4) résoudre. Cela fonctionne pour les fils et cylindres infinis, les solénoïdes infinis et les tores, ainsi que pour les nappes de courant infinies.

Proposition 28.10 (Cylindre, solénoïde, tore)

  1. Un fil cylindrique de rayon aa parcouru uniformément par II : B=μ0Ir2πa2B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2} à l’intérieur, μ0I2πr\dfrac{\mu_0I}{2\pi r} à l’extérieur — le maximum est à la surface.
  2. Un solénoïde infini de nn spires par mètre : B→=μ0nI e→z\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z uniforme à l’intérieur, 0→\vect 0 à l’extérieur, quelle que soit la forme de sa section.
  3. Un tore de NN spires : B=μ0NI2πrB = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r} à l’intérieur des enroulements, nul au-dehors — un solénoïde refermé sur lui-même, sans champ de fuite.

Démonstration. (1) Cercle de rayon rr : 2πrB=μ0I(r/a)22\pi rB = \mu_0I(r/a)^2 ou μ0I\mu_0I. (2) B→\vect B est axial par symétrie et, en appliquant Ampère à un rectangle dont les deux grands côtés sont à l’extérieur, uniforme au-dehors, donc nul (il s’annule à l’infini) ; un rectangle dont un grand côté, de longueur ℓ\ell, est à l’intérieur donne Bℓ=μ0nℓIB\ell = \mu_0n\ell I. (3) Cercle de rayon rr à l’intérieur du tore : 2πrB=μ0NI2\pi rB = \mu_0NI ; au-dehors, le courant enlacé est nul. ∎

À gauche : le champ d’un fil épais, linéaire à l’intérieur et en 1/r à l’extérieur, maximal à la surface. À droite : le rectangle d’Ampère qui donne le champ d’un solénoïde infini — seul le côté intérieur contribue à la circulation. À gauche : le champ d’un fil épais, linéaire à l’intérieur et en 1/r à l’extérieur, maximal à la surface. À droite : le rectangle d’Ampère qui donne le champ d’un solénoïde infini — seul le côté intérieur contribue à la circulation.
À gauche : le champ d’un fil épais, linéaire à l’intérieur et en 1/r1/r à l’extérieur, maximal à la surface. À droite : le rectangle d’Ampère qui donne le champ d’un solénoïde infini — seul le côté intérieur contribue à la circulation.

28.4 La force de Laplace

Théorème 28.11 (Force de Laplace)

Un élément de conducteur  ⁣dl→\dd\vect l parcouru par II dans un champ B→\vect B reçoit la force  ⁣dF→=I  ⁣dl→∧B→\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B ; un segment rectiligne L→\vect L dans un champ uniforme reçoit F→=IL→∧B→\vect F = I\vect L\wedge\vect B, de norme ILBsin⁡θILB\sin\theta, perpendiculaire à la fois au fil et au champ.

Démonstration. Les porteurs de charge de  ⁣dl→\dd\vect l (au nombre de n S  ⁣dln\,S\,\dd l, de charge qq, de vitesse de dérive v→\vect v) subissent chacun qv→∧B→q\vect v\wedge\vect B ; leur somme vaut nSq  ⁣dl v→∧B→=I  ⁣dl→∧B→nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B puisque I=nqvSI = nqvS et que v→\vect v est porté par  ⁣dl→\dd\vect l. Les porteurs transmettent la force au réseau du fil par leurs chocs. ∎

Proposition 28.12 (Force entre deux fils parallèles)

Deux longs fils parallèles distants de dd, parcourus par I1I_1 et I2I_2, s’attirent si les courants sont de même sens, se repoussent s’ils sont opposés, avec la force par unité de longueur

Fℓ=μ0I1I22πd.\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

Deux fils distants de 1 m1\,\mathrm{m} parcourus par 1 A1\,\mathrm{A} subissent 2×10−72 \times 10^{-7} N par mètre — la définition de l’ampère de 1948 à 2019, et l’origine de la valeur μ0=4π×10−7\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}.

Démonstration. Le fil 1 crée μ0I1/2πd\mu_0I_1/2\pi d au niveau du fil 2, perpendiculairement à celui-ci ; la force de Laplace sur une longueur ℓ\ell du fil 2 vaut I2ℓ×μ0I1/2πdI_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d, dirigée vers le fil 1 lorsque les courants sont de même sens (à vérifier avec la règle de la main droite). ∎

La force de Laplace : entre fils parallèles (à gauche et au milieu) et sur une barre glissante parcourue par un courant dans un champ (à droite) — les rails de Laplace, dont le bilan énergétique fait l’objet du .
La force de Laplace : entre fils parallèles (à gauche et au milieu) et sur une barre glissante parcourue par un courant dans un champ (à droite) — les rails de Laplace, dont le bilan énergétique fait l’objet du Chapitre 29.

28.5 Le dipôle magnétique

Définition 28.13 (Moment magnétique)

Une spire plane d’aire SS parcourue par II, orientée par la règle de la main droite (la normale n→\vect n selon le pouce quand les doigts suivent II), a pour moment magnétique m→=IS n→\vect m = IS\,\vect n (A m2\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}) ; pour NN spires, NIS n→NIS\,\vect n. Vue des distances r≫Sr \gg \sqrt S, la spire est un dipôle magnétique : son champ a exactement la forme de celui du dipôle électrique, avec p→/ε0→μ0m→\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m :

Br=μ04π 2mcos⁡θr3,Bθ=μ04π msin⁡θr3.B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

Un aimant droit, un atome, la Terre sont des dipôles magnétiques : le moment de la Terre vaut 8×1022 A m28 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}, celui d’un électron 9.3×10−24 A m29.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2} (le magnéton de Bohr).

Démonstration. Sur l’axe, le champ de la spire μ0IR2/2z3\mu_0IR^2/2z^3 pour z≫Rz \gg R vaut μ0⋅2m/4πz3\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3 avec m=IπR2m = I\pi R^2, ce qui coïncide avec BrB_r en θ=0\theta = 0 ; la forme angulaire complète est admise. ∎

Théorème 28.14 (Dipôle dans un champ)

Un moment magnétique m→\vect m placé dans un champ uniforme B→\vect B ne subit aucune force résultante, mais un couple Γ→=m→∧B→\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B qui l’aligne sur le champ, et il a l’énergie potentielle Ep=−m→⋅B→E_p = -\vect m\cdot\vect B. Dans un champ non uniforme, il est attiré vers la région de champ intense lorsqu’il est aligné (et repoussé lorsqu’il est anti-aligné).

Démonstration. Pour une spire rectangulaire a×ba \times b dont la normale n→\vect n fait l’angle θ\theta avec B→\vect B : les forces de Laplace sur les deux côtés de longueur bb parallèles à l’axe de rotation valent ±IbB\pm IbB, opposées et distantes de asin⁡θa\sin\theta : un couple de moment IabBsin⁡θ=mBsin⁡θIabB\sin\theta = mB\sin\theta, qui tend à diminuer θ\theta ; les forces sur les deux autres côtés sont opposées et colinéaires. Énergie : Γ=− ⁣dEp/ ⁣dθ\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta avec Γ=−mBsin⁡θ\Gamma = -mB\sin\theta donne Ep=−mBcos⁡θE_p = -mB\cos\theta. Toute spire plane est une somme de petits rectangles ; le cas non uniforme est admis. ∎

À gauche : une spire de courant dans un champ uniforme, vue selon son axe de rotation — les forces de Laplace sur les deux côtés forment un couple qui aligne le moment sur le champ. À droite : les lignes de champ d’un aimant droit sont celles d’un dipôle magnétique, de forme identique à celles du dipôle électrique, sortant par la face nord et revenant par la face sud.
À gauche : une spire de courant dans un champ uniforme, vue selon son axe de rotation — les forces de Laplace sur les deux côtés forment un couple qui aligne le moment sur le champ. À droite : les lignes de champ d’un aimant droit sont celles d’un dipôle magnétique, de forme identique à celles du dipôle électrique, sortant par la face nord et revenant par la face sud.

Exemple 28.15 (La boussole et la Terre)

Une aiguille de boussole est un petit aimant, de moment m∼0.1 A m2m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2} ; dans la composante horizontale du champ terrestre, Bh≈2×10−5 TB_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}, le couple mBhsin⁡θmB_h\sin\theta la tourne vers le nord, et elle oscille autour du nord avec la période 2πJ/mBh∼1 s2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s} (Exercice 28.9). Le dipôle propre de la Terre, 8×1022 A m28 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}, équivaut à un courant de quelques milliards d’ampères circulant dans le noyau de fer liquide ; le champ qu’il produit à la surface est le plus faible du chapitre et le premier dont on se soit servi.

28.6 Exercices

Exercice 28.1 ★

Champ à 1.0 cm1.0\,\mathrm{cm} d’un fil rectiligne parcouru par 10 A10\,\mathrm{A} ; courant nécessaire pour atteindre 1 T1\,\mathrm{T} à cette distance ; distance à laquelle le champ d’un fil de 100 A100\,\mathrm{A} égale les 5×10−5 T5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} terrestres.

Solution

Solution de Exercice 28.1.

B=μ0I/2πr=2×10−7×10/0.01=2×10−4 TB = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}. Pour 1 T1\,\mathrm{T} : I=2πrB/μ0=5×104 AI = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}. La valeur terrestre est atteinte en r=2×10−7×100/5×10−5=0.4 mr = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}.

Exercice 28.2 ★

Champ au centre d’une bobine de 100100 spires, de rayon 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm}, parcourue par 2.0 A2.0\,\mathrm{A} ; sur son axe à 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} puis à 50 cm50\,\mathrm{cm} du centre.

Solution

Solution de Exercice 28.2.

Centre : μ0NI/2R=4π×10−7×200/0.1=2.5 mT\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}. En z=Rz = R : ×(R2/2R2)3/2=2−3/2\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}, soit 0.89 mT0.89\,\mathrm{mT}. En z=10Rz = 10R : ×(1/101)3/2=10−3\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}, soit 2.5 µT2.5\,\text{µ}\mathrm{T}, déjà la loi dipolaire en 1/z31/z^3.

Exercice 28.3 ★

Un solénoïde de 10001000 spires par mètre est parcouru par 5.0 A5.0\,\mathrm{A} : champ à l’intérieur, loin des extrémités ; puis tout au bout. Nombre de spires de fil de 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} que l’on peut bobiner par mètre en une seule couche, et champ obtenu alors sous 5 A5\,\mathrm{A}.

Solution

Solution de Exercice 28.3.

B=μ0nI=4π×10−7×1000×5=6.3 mTB = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT} ; au bout, la moitié : 3.1 mT3.1\,\mathrm{mT}. Avec du fil de 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} : 20002000 spires par mètre, donc 12.6 mT12.6\,\mathrm{mT} sous 5 A5\,\mathrm{A}.

Exercice 28.4 ★

Force sur un fil de 1.0 m1.0\,\mathrm{m} parcouru par 10 A10\,\mathrm{A} perpendiculairement à un champ de 0.10 T0.10\,\mathrm{T} ; sur le même fil à 30∘30{}^{\circ} du champ. Un moteur porte 100100 fils de ce genre sur un rotor de rayon 5 cm5\,\mathrm{cm} : moment du couple (ordre de grandeur).

Solution

Solution de Exercice 28.4.

F=ILB=10×1×0.1=1.0 NF = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N} ; à 30∘30{}^{\circ}, il faut sin⁡30∘\sin30^\circ : 0.5 N0.5\,\mathrm{N}. Moteur : 100×1 N×0.05 m=5 N m100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} — un petit moteur industriel.

Exercice 28.5 ★★

Champ d’un segment rectiligne fini à la distance dd de sa droite support, ses extrémités étant vues sous les angles α1\alpha_1 et α2\alpha_2 (comptés depuis la perpendiculaire) : B=μ0I4πd(sin⁡α2−sin⁡α1)B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1). Vérifier la limite du fil infini. Champ au centre d’une spire carrée de côté aa.

Solution

Solution de Exercice 28.5.

Avec z=dtan⁡αz = d\tan\alpha : B=μ0I4π∫d  ⁣dz(d2+z2)3/2=μ0I4πd∫α1α2cos⁡α  ⁣dα=μ0I4πd(sin⁡α2−sin⁡α1)B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1) ; fil infini, α1,2=∓π/2\alpha_{1,2} = \mp\pi/2 : μ0I/2πd\mu_0I/2\pi d. Carré : chaque côté, à d=a/2d = a/2 et vu sous ±45∘\pm45^\circ, donne μ0I2/2πa\mu_0I\sqrt2/2\pi a ; pour les quatre côtés : B=22 μ0I/πa=0.90 μ0I/aB = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a (un cercle de même « rayon » a/2a/2 donnerait μ0I/a\mu_0I/a).

Exercice 28.6 ★★

Bobines de Helmholtz. Deux bobines identiques (NN spires, rayon RR) sur un même axe, distantes de RR, parcourues par le même courant dans le même sens. Champ au milieu ; montrer que les dérivées première et seconde de BB le long de l’axe y sont nulles. Application : N=100N = 100, R=15 cmR = 15\,\mathrm{cm}, I=1.0 AI = 1.0\,\mathrm{A}.

Solution

Solution de Exercice 28.6.

B(z)=f(z−R/2)+f(z+R/2)B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2) avec f(u)=μ0NIR2/2(R2+u2)3/2f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}. Au milieu : 2f(R/2)=μ0NIR2/(5R2/4)3/2=(4/5)3/2μ0NI/R2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R. f′f' est impaire, donc B′(0)=f′(−R/2)+f′(R/2)=0B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0 ; f′′(u)∝(4u2−R2)(R2+u2)−7/2f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2} s’annule en u=R/2u = R/2, donc B′′(0)=2f′′(R/2)=0B''(0) = 2f''(R/2) = 0 : le champ est uniforme au troisième ordre. Application : 0.716×4π×10−7×100/0.15=0.60 mT0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}.

Exercice 28.7 ★★

Un fil de cuivre de rayon 2.0 mm2.0\,\mathrm{mm} est parcouru par 100 A100\,\mathrm{A}. Champ à la surface, à 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} de l’axe, à 1.0 cm1.0\,\mathrm{cm}. Esquisser B(r)B(r). Ce fil devient l’âme d’un câble coaxial dont la gaine porte le courant de retour : champ à l’extérieur de la gaine.

Solution

Solution de Exercice 28.7.

Surface : μ0I/2πa=2×10−7×100/0.002=10 mT\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT} ; à 1 mm1\,\mathrm{mm}, à l’intérieur, ×r/a\times r/a : 5 mT5\,\mathrm{mT} ; à 1 cm1\,\mathrm{cm} : 2 mT2\,\mathrm{mT}. BB croît linéairement jusqu’à la surface, puis décroît en 1/r1/r. Coaxial : à l’extérieur de la gaine le courant enlacé est nul, donc B=0B = 0.

Exercice 28.8 ★★

Force par mètre entre deux fils distants de 1 m1\,\mathrm{m} sous 1 A1\,\mathrm{A} ; entre deux jeux de barres distants de 10 cm10\,\mathrm{cm} parcourus par 10 kA10\,\mathrm{kA} ; sous un court-circuit de 100 kA100\,\mathrm{kA}. Que faut-il prévoir pour tenir les barres ?

Solution

Solution de Exercice 28.8.

2×10−72 \times 10^{-7} N/m. Jeux de barres : 2×10−7×108/0.1=200 N/m2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m} ; sous 100 kA100\,\mathrm{kA} : 2×104 N/m2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m} — deux tonnes par mètre. Les supports isolants de l’appareillage sont dimensionnés pour le courant de défaut, non pour celui de service.

Exercice 28.9 ★★

Une aiguille de boussole, de moment m=0.10 A m2m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2} et de moment d’inertie J=1.0×10−7 kg m2J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}, dans un champ horizontal Bh=2.0×10−5 TB_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}. Moment du couple à 90∘90{}^{\circ} ; travail pour la tourner du nord au sud ; période des petites oscillations. Comment mesure-t-on BhB_h avec elle ?

Solution

Solution de Exercice 28.9.

Γ=mBh=2×10−6 N m\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} ; W=2mBh=4×10−6 JW = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J} ; Jθ¨=−mBhθJ\ddot\theta = -mB_h\theta : T=2πJ/mBh=2π10−7/2×10−6=1.4 sT = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}. On chronomètre les oscillations : Bh=4π2J/mT2B_h = 4\pi^2J/mT^2 une fois mm et JJ connus (Gauss mesurait mm séparément, par la déviation qu’il imprime à une seconde aiguille).

Exercice 28.10 ★★★

La Terre comme dipôle. (a) Montrer que sur son axe, au loin, le champ d’une spire vaut B=μ0m/2πz3B = \mu_0m/2\pi z^3 avec m=IπR2m = I\pi R^2 ; comparer au dipôle électrique. (b) Le champ au pôle magnétique vaut environ 6×10−5 T6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} : en déduire le moment dipolaire de la Terre. (c) Courant dans une spire de rayon 3000 km3000\,\mathrm{km} (le noyau) qui le produirait. (d) Champ à l’équateur dans le modèle dipolaire ; inclinaison du champ à la latitude 45∘45{}^{\circ} (utiliser BrB_r et BθB_\theta).

Solution

Solution de Exercice 28.10.

(a) μ0IR2/2z3=μ0(IπR2)/2πz3=μ0m/2πz3=(μ0/4π) 2m/z3\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3 : c’est le 2p/4πε0z32p/4\pi\varepsilon_0z^3 électrique avec 1/ε0→μ01/\varepsilon_0 \to \mu_0. (b) m=2πRE3B/μ0=2π×2.58×1020×6×10−5/1.26×10−6=7.7×1022 A m2m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}. (c) I=m/πR2=7.7×1022/(π×9×1012)=2.7×109 AI = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}. (d) Équateur (θ=90∘\theta = 90^\circ) : Bθ=μ0m/4πRE3=3×10−5 TB_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}, la moitié de la valeur polaire. En θ=45∘\theta = 45^\circ : tan⁡(inclinaison)=Br/Bθ=2cot⁡θ=2\tan(\text{inclinaison}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2, inclinaison =63∘= 63{}^{\circ} — aux latitudes moyennes, le champ plonge fortement dans le sol.

Exercice 28.11 ★★★

Solénoïde fini. Longueur L=20 cmL = 20\,\mathrm{cm}, rayon R=2.0 cmR = 2.0\,\mathrm{cm}, n=2000 m−1n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}, I=3.0 AI = 3.0\,\mathrm{A}. Champ au centre et à une extrémité par la formule du cours ; fraction de la valeur du solénoïde infini ; à quelle distance au-dehors, sur l’axe, le champ est-il tombé à 1%1\% de la valeur centrale ? Esquisser B(z)B(z) le long de l’axe.

Solution

Solution de Exercice 28.11.

μ0nI=4π×10−7×2000×3=7.5 mT\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}. Au centre : tan⁡α1=R/(L/2)=0.2\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2, cos⁡α1=−cos⁡α2=0.981\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981 : B=0.981 μ0nI=7.4 mTB = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT} (98%98\%). Au bout : cos⁡α1=0\cos\alpha_1 = 0, tan⁡α2=R/L\tan\alpha_2 = R/L, cos⁡α2=−0.995\cos\alpha_2 = -0.995 : B=0.497 μ0nI=3.7 mTB = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT} (50%50\%). À l’extérieur, en xx au-delà de l’extrémité, les deux bouts étant du même côté : B=12μ0nI(cos⁡α1−cos⁡α2)≈12μ0nI R22[1/x2−1/(x+L)2]B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2] ; 1%1\% de la valeur centrale vers x≈10 cmx \approx 10\,\mathrm{cm}, une demi-longueur plus loin. B(z)B(z) : un plateau plat sur presque toute la longueur, qui tombe à la moitié aux extrémités et à quelques pour cent une longueur plus loin.

Exercice 28.12 ★★★

Pression magnétique. Dans un long solénoïde, le champ vaut BB à l’intérieur et 00 au-dehors ; les enroulements portent le courant surfacique K=nIK = nI par mètre de longueur. (a) Montrer que le champ au niveau des enroulements, moyenne de celui du dedans et de celui du dehors, vaut B/2B/2, et que la force de Laplace qui s’exerce sur eux est une pression dirigée vers l’extérieur, p=B2/2μ0p = B^2/2\mu_0. (b) Applications numériques pour 1 T1\,\mathrm{T}, 10 T10\,\mathrm{T}, 45 T45\,\mathrm{T} ; comparer à la pression atmosphérique et à la limite de rupture de l’acier (1 GPa1\,\mathrm{GPa}). (c) Qu’est-ce qui limite les aimants les plus intenses fonctionnant en continu ?

Solution

Solution de Exercice 28.12.

(a) Le champ propre des enroulements saute de 00 à BB à leur traversée ; le champ qui agit sur eux est la moyenne, B/2B/2 (une nappe ne peut pas se pousser elle-même). Force sur un élément d’enroulement de longueur  ⁣dl\dd l et de largeur  ⁣dz\dd z parcouru par K  ⁣dzK\,\dd z : K  ⁣dz  ⁣dl B/2K\,\dd z\,\dd l\,B/2, radiale vers l’extérieur (à vérifier avec I  ⁣dl→∧B→I\,\dd\vect l \wedge\vect B) : pression p=KB/2=B2/2μ0p = KB/2 = B^2/2\mu_0 puisque K=nI=B/μ0K = nI = B/\mu_0. (b) 1 T1\,\mathrm{T} : 4×105 Pa4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 4 bar4\,\mathrm{bar} ; 10 T10\,\mathrm{T} : 400 bar400\,\mathrm{bar} ; 45 T45\,\mathrm{T} : 8×108 Pa8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 8000 bar8000\,\mathrm{bar}, proche du 1 GPa1\,\mathrm{GPa} de l’acier. (c) Les enroulements doivent tenir une pression qui croît comme B2B^2 : au-delà de 40 T40\,\mathrm{T} environ, aucun matériau ni aucun refroidissement n’y suffit — la limite des aimants à champ continu est mécanique (et, pour les supraconducteurs, leur champ critique).

Une ligne de transport à haute tension : trois conducteurs par circuit dont les courants ont une somme nulle, de sorte que leurs champs se compensent à distance. Photographie : Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.
Une ligne de transport à haute tension : trois conducteurs par circuit dont les courants ont une somme nulle, de sorte que leurs champs se compensent à distance. Photographie : Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.

28.7 Problème : le câble, la ligne et l’appareil de mesure

Problème 28.1

Problème du week-end — le théorème d’Ampère sur un câble coaxial, les forces de Laplace sur une ligne électrique, et la conception d’un galvanomètre à cadre mobile

μ0=4π×10−7\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} SI ; résistivité du cuivre ρ=1.7×10−8 Ω m\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}.

Partie I — Le câble coaxial. Un câble transporte I=1.0 AI = 1.0\,\mathrm{A} dans une âme de cuivre pleine de rayon a=0.50 mma = 0.50\,\mathrm{mm} et le ramène par une gaine de rayon intérieur b=2.5 mmb = 2.5\,\mathrm{mm} et de rayon extérieur c=3.0 mmc = 3.0\,\mathrm{mm} ; les courants sont uniformes sur la section de chaque conducteur.

  1. Symétries et invariances : direction de B→\vect B et variable dont il dépend.
  2. B(r)B(r) dans l’âme, entre les conducteurs, puis à l’extérieur du câble, par le théorème d’Ampère.
  3. Valeurs en r=ar = a et r=br = b.
  4. On remplace l’âme par un mince tube de cuivre de même rayon aa portant le même courant : qu’est-ce qui change dans chaque région ?
  5. B(r)B(r) à l’intérieur de la gaine (b<r<cb < r < c) ; vérifier les valeurs en bb et en cc ; esquisser B(r)B(r) de 00 à 4 mm4\,\mathrm{mm}.
  6. Force de Laplace sur la gaine : sens (attraction ou répulsion vis-à-vis de l’âme ?) et valeur par unité d’aire, en prenant pour champ à la gaine la moyenne de ses valeurs en bb et en cc. Même question pour un courant impulsionnel de 10 kA10\,\mathrm{kA}.
  7. Pourquoi emploie-t-on la géométrie coaxiale pour les signaux ? Comparer à une paire de fils parallèles distants de d=2 mmd = 2\,\mathrm{mm} : champ à la distance D=10 cmD = 10\,\mathrm{cm} de la paire (superposer deux fils).

Partie II — La ligne électrique. Deux conducteurs horizontaux distants de d=1.0 md = 1.0\,\mathrm{m}, à h=10 mh = 10\,\mathrm{m} au-dessus du sol, portent I=500 AI = 500\,\mathrm{A} en sens opposés.

  1. Champ d’un conducteur au point du sol situé sous le milieu des deux ; montrer que les deux champs se composent en un champ vertical et en donner la valeur ; comparer au champ terrestre et à la valeur repère d’exposition de 100 µT100\,\text{µ}\mathrm{T}.
  2. Montrer qu’aux distances D≫dD \gg d le champ de la paire décroît comme μ0Id/2πD2\mu_0Id/2\pi D^2 : pourquoi plus vite que celui d’un fil seul ?
  3. Champ à 1.0 m1.0\,\mathrm{m} sous l’un des conducteurs, là où un technicien pourrait travailler.
  4. Force par mètre entre les conducteurs ; attraction ou répulsion ? Même question sous un courant de court-circuit de 20 kA20\,\mathrm{kA}.
  5. Force sur une portée de 300 m300\,\mathrm{m}, en régime normal puis en court-circuit ; comparer au poids de la portée (1.0 kg/m1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}) ; que font les lignes lors d’un court-circuit ?
  6. Une ligne triphasée porte trois courants de même amplitude déphasés de 120∘120{}^{\circ} : montrer que leur somme s’annule à chaque instant, et ce que cela implique pour le champ lointain.
  7. Une boussole au point de la question 8, où le champ horizontal terrestre vaut 2.0×10−5 T2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} : le champ de la ligne la dévie-t-il ? (Penser à sa direction.)

Partie III — Le galvanomètre à cadre mobile. Un cadre rectangulaire de N=200N = 200 spires, de côtés a=2.0 cma = 2.0\,\mathrm{cm} (parallèles à l’axe de rotation) et b=3.0 cmb = 3.0\,\mathrm{cm}, tourne autour de son axe dans l’entrefer de pièces polaires cylindriques où le champ, B=0.20 TB = 0.20\,\mathrm{T}, est radial : toujours dans le plan du cadre et perpendiculaire à ses côtés aa. Un ressort spiral exerce le couple de rappel −Cθ-C\theta avec C=1.0×10−5 N m/radC = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}. Moment d’inertie du cadre et de l’aiguille : J=6.7×10−8 kg m2J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}.

  1. Forces de Laplace sur les quatre côtés ; lesquelles produisent un moment autour de l’axe ?
  2. Moment du couple pour un courant II ; pourquoi le champ radial le rend-il indépendant de θ\theta ?
  3. Déviation θ\theta à l’équilibre ; sensibilité en radians par milliampère ; courant donnant la déviation pleine échelle de 1.2 rad1.2\,\mathrm{rad}.
  4. Le cadre est bobiné avec un fil de cuivre de 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} de diamètre : résistance du cadre ; tension à ses bornes et puissance dissipée en pleine échelle.
  5. Équation du mouvement du cadre ; période propre des oscillations autour de l’équilibre.
  6. Le mouvement du cadre dans le champ induit un couple de freinage −αθ˙-\alpha\dot\theta (Chapitre 29) ; valeur de α\alpha pour un amortissement critique, et pourquoi on le recherche.
  7. Résistance en série pour en faire un voltmètre de 10 V10\,\mathrm{V} pleine échelle ; résistance en dérivation pour en faire un ampèremètre de 1.0 A1.0\,\mathrm{A} pleine échelle.
  8. Moment magnétique du cadre en pleine échelle ; énergie −m→⋅B→-\vect m\cdot \vect B qu’il aurait, aligné, dans un champ uniforme de 0.20 T0.20\,\mathrm{T} ; comparer à l’énergie emmagasinée dans le ressort en pleine échelle.
  9. Si le champ était uniforme au lieu d’être radial, montrer que la graduation ne serait plus linéaire : écrire la condition d’équilibre avec θ\theta compté depuis la position où le plan du cadre contient B→\vect B.
  10. On envoie dans l’appareil un courant de 50 Hz50\,\mathrm{Hz} et de 0.5 mA0.5\,\mathrm{mA} d’amplitude : qu’indique l’aiguille, et pourquoi ? (Comparer 50 Hz50\,\mathrm{Hz} à la fréquence propre.)
  11. Résumer les trois scènes en trois nombres, et dire quelle loi unique a produit chacun.
Solution

Solution de Problème 28.1.

1. Tout plan contenant l’axe est un plan de symétrie des courants : B→\vect B lui est perpendiculaire, donc orthoradial ; par invariance le long de l’axe et autour de lui : B→=B(r) e→θ\vect B = B(r)\,\vect e_\theta.

2. Cercle de rayon rr : 2πrB=μ0Ienlaceˊ2\pi rB = \mu_0I_{\text{enlacé}}. Dans l’âme : Ienlaceˊ=Ir2/a2I_{\text{enlacé}} = Ir^2/a^2, B=μ0Ir/2πa2B = \mu_0Ir/2\pi a^2 ; entre les conducteurs : μ0I/2πr\mu_0I/2\pi r ; au-dehors (r>cr > c) : I−I=0I - I = 0, donc B=0B = 0.

3. B(a)=2×10−7/5×10−4=4.0×10−4 TB(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} ; B(b)=2×10−7/2.5×10−3=8.0×10−5 TB(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}.

4. À l’intérieur du tube, aucun courant n’est enlacé : B=0B = 0 au lieu de la croissance linéaire ; partout ailleurs rien ne change — le champ à l’extérieur d’un courant cylindrique ne dépend que du courant total.

5. Ienlaceˊ=I−I(r2−b2)/(c2−b2)=I(c2−r2)/(c2−b2)I_{\text{enlacé}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2) : B=μ0I2πr c2−r2c2−b2B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}, qui vaut μ0I/2πb\mu_0I/2\pi b en bb et 00 en cc : c’est continu. Tracé : croissance linéaire jusqu’à 4×10−4 T4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} à 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}, décroissance en 1/r1/r jusqu’à 8×10−5 T8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} à 2.5 mm2.5\,\mathrm{mm}, chute à zéro à 3 mm3\,\mathrm{mm}, nul au-delà.

6. Le courant de la gaine est de sens opposé à celui de l’âme : répulsion, donc une pression vers l’extérieur. Courant surfacique K=I/2πb=64 A/mK = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m} ; champ moyen 12(8×10−5+0)=4×10−5 T\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} : p=KB=2.5×10−3 Pap = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}. Sous 10 kA10\,\mathrm{kA} : ×108\times10^8, soit 2.5×105 Pa2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 2.5 bar2.5\,\mathrm{bar} — les câbles de puissance impulsionnelle sont construits pour l’encaisser.

7. Aucun champ au-dehors : le câble ne rayonne pas et ne capte pas les perturbations magnétiques de ses voisins. Pour une paire de fils, les deux champs se compensent presque, laissant ≈μ0Id/2πD2=2×10−7×2×10−3/10−2=4×10−8 T\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T} à 10 cm10\,\mathrm{cm} — c’est peu, mais le coaxial donne zéro.

8. D=h2+d2/4=10.0 mD = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m} : chacun donne μ0I/2πD=1.0×10−5 T\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}, perpendiculaire à la droite qui joint le conducteur au point. Les courants étant opposés, les composantes parallèles à la droite qui joint les deux conducteurs se compensent et les verticales s’ajoutent : B=2×10−5×(d/2)/D=1.0×10−6 TB = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}, vertical. Cinquante fois sous le champ terrestre, cent fois sous la valeur repère.

9. Pour D≫dD \gg d, B≈μ0I2π(1D1−1D2)∼μ0I2πdD2B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2} : les deux champs en 1/D1/D se compensent au premier ordre et seule survit leur différence, d’ordre relatif d/Dd/D — un « dipôle à deux fils ».

10. Son propre conducteur à 1 m1\,\mathrm{m} : 1.0×10−4 T1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} horizontal ; l’autre à 1.41 m1.41\,\mathrm{m} : 7.1×10−5 T7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} à 45∘45{}^{\circ}, en sens contraire : résultante (5×10−5,5×10−5)(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5}), soit 7×10−5 T7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} — 70 µT70\,\text{µ}\mathrm{T}, sous la valeur repère du public et très loin sous la valeur professionnelle.

11. F/ℓ=μ0I2/2πd=2×10−7×2.5×105=0.05 N/mF/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}, répulsive ; sous 20 kA20\,\mathrm{kA} : 80 N/m80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

12. 15 N15\,\mathrm{N} en régime normal ; 24 kN24\,\mathrm{kN} en court-circuit, huit fois le poids de la portée (2.9 kN2.9\,\mathrm{kN}) : les conducteurs sont écartés violemment, balancent et peuvent s’entrechoquer en retombant — d’où les entretoises et des disjoncteurs qui ouvrent en quelques périodes.

13. Icos⁡ωt+Icos⁡(ωt−2π/3)+Icos⁡(ωt+2π/3)=Icos⁡ωt (1+2cos⁡2π/3)=0I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0 : les trois vecteurs de Fresnel ont une somme nulle. Les champs en 1/D1/D se compensent comme pour le coaxial ; le champ lointain décroît en 1/D21/D^2 ou plus vite.

14. Le champ de la ligne y est vertical ; une boussole ne répond qu’à la composante horizontale : aucune déviation (l’inclinaison change de 10−6/(2×10−5)10^{-6}/(2 \times 10^{-5}), soit trois degrés, que la boussole ne montre pas).

15. Côtés aa (parallèles à l’axe) : le B→\vect B radial leur est perpendiculaire, d’où une force NIaBNIaB sur chacun, perpendiculaire au plan du cadre et opposée sur les deux côtés : un couple. Côtés bb :  ⁣dl→\dd\vect l y est radial, donc parallèle à B→\vect B : aucune force.

16. Γ=2×NIaB×b/2=NIabB=NISB=0.024 I\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I (en N m, II en A). Le champ radial est toujours dans le plan du cadre et perpendiculaire aux côtés aa : les forces sont toujours normales au plan et leur bras de levier b/2b/2 ne change jamais.

17. Cθ=NISBC\theta = NISB : θ=2400 I\theta = 2400\,I rad, soit 2.4 rad/mA2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA} ; pleine échelle à 1.2 rad1.2\,\mathrm{rad} pour I=0.50 mAI = 0.50\,\mathrm{mA}.

18. Longueur 200×2(0.02+0.03)=20 m200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}, section π(5×10−5)2=7.9×10−9 m2\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2} : R=1.7×10−8×20/7.9×10−9=43 ΩR = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega ; U=43×5×10−4=22 mVU = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV} ; P=UI=11 µWP = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}.

19. Jθ¨=−Cθ+NISB IJ\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I : ω0=C/J=10−5/6.7×10−8=12 rad/s\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, T=0.51 sT = 0.51\,\mathrm{s}.

20. Jθ¨+αθ˙+Cθ=NISB IJ\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I : critique pour α=2JC=26.7×10−13=1.6×10−6 N m s\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s} ; l’aiguille atteint alors sa valeur le plus vite possible sans dépassement.

21. Voltmètre : Rs=10/5×10−4−43≈20 kΩR_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega. Ampèremètre : le shunt porte 0.9995 A0.9995\,\mathrm{A} sous 22 mV22\,\mathrm{mV}, d’où Rsh=22 mΩR_{\text{sh}} = 22\,\mathrm{m}\Omega.

22. m=NIS=200×5×10−4×6×10−4=6×10−5 A m2m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2} ; −mB=−1.2×10−5 J-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J} ; ressort 12Cθ2=12×10−5×1.44=7.2×10−6 J\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J} : le même ordre — le ressort emmagasine ce que le couple magnétique a fourni pendant la rotation du cadre.

23. Dans un champ uniforme, le moment vaut mBcos⁡θmB\cos\theta (maximal quand le plan contient B→\vect B, nul quand la normale lui est parallèle) : Cθ=NISB Icos⁡θC\theta = NISB\,I\cos\theta — linéaire seulement aux petits θ\theta, et tassé en haut de l’échelle.

24. 50 Hz50\,\mathrm{Hz} contre ω0/2π=2 Hz\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz} : le cadre ne peut pas suivre ; il reste à la moyenne du courant, c’est-à-dire zéro, avec un frémissement d’amplitude ≈θstatique(ω0/ω)2=1.2×(12/314)2≈2×10−3 rad\approx \theta_{\text{statique}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}, invisible. Un appareil à cadre mobile indique la moyenne — pour l’alternatif, il lui faut un redresseur.

25. 4×10−4 T4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} au cœur d’un coaxial de 1 A1\,\mathrm{A} et rien au-dehors (théorème d’Ampère) ; 1 µT1\,\text{µ}\mathrm{T} sous une ligne de 500 A500\,\mathrm{A} et 0.05 N/m0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m} entre ses conducteurs (Biot et Savart, puis Laplace) ; 2.4 rad/mA2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA} pour l’appareil (couple de Laplace contre un ressort).

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